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DIVISORES DE UN NÚMERO
EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE VARIOS NÚMEROS
Estamos preparando unas cabañas para albergar a un grupo de 30 alumnos que van a pasar unos días de
campamento. En el grupo hay 12 chicos y 18 chicas. ¿De cuántas plazas, como máximo, debe ser cada cabaña
para que cada una de ellas esté ocupada solo por chicos o solo por chicas?
I. DEFINICIÓN DE DIVISOR DE UN NÚMERO
Decimos que un número a es divisor de otro número b, si la división de b entre a es exacta. También podemos
decir que si a es divisor de b, entonces b es múltiplo de a.
Ejemplo: comprueba si 3 es divisor de 12.
Podemos afirmar que 3 es divisor de 12 porque 12 : 3 = 4 y el resto es igual a 0.
También podemos aplicar la prueba de la división para comprobarlo. Recuerda que la prueba de la división
afirma que:
En este caso, podemos probar que 4 · 3 + 0 = 12.
Notas o propiedades:
—Para expresar que a es divisor de b se simboliza así:
. Según el ejemplo anterior, podemos decir que
.
—El 1 es divisor de cualquier número. Porque cualquier número tiene división exacta.
—Todo número es divisor de sí mismo. Porque siempre se cumple que
y, por tanto, la división es exacta.
—De ese modo, como hemos visto en las dos propiedades anteriores, todo número, exceptuando el cero,
tiene siempre dos divisores como mínimo: el 1 y él mismo.
—Si un número a es divisor de otro número b, entonces el cociente de esa división también es divisor de b. Por
ejemplo, si 6 es divisor de 18, el cociente, que en este caso es 3, también es divisor de 18 (efectivamente 18 : 3
= 6 y la división es exacta).
—Los números que solo tienen por divisores a 1 y a sí mismos se llaman números primos. Por ejemplo, 23 es
un número primo porque solo podemos realizar divisiones exactas con él si lo dividimos entre 1 o entre 23.
—Los números que no son primos, es decir, que tienen más divisores que el 1 y él mismo, se denominan
números compuestos.
II. LOS DIVISORES DE UN NÚMERO
1. LOS DIVISORES DE UN NÚMERO SON FINITOS
Todos los divisores de un número a han de ser mayores que 1 y menores que a. Por lo tanto, el conjunto de todos
los divisores de un número es un conjunto finito de valores. Por ejemplo, para expresar el conjunto de todos los
divisores de 12 lo representamos así:
Existe un método para calcular todos los divisores de un número; vamos a verlo con un ejemplo.
Ejemplo: calcula todos los divisores de 72.
Factorizamos 72:
Por lo tanto, 72 = 23 · 32.
Construimos una tabla con las potencias de los factores primos:
Y multiplicamos las filas por las columnas:
Los números contenidos en la tabla, más el 1, serían todos los divisores de 72. Expresado de otra forma:
Para comprobar que los tenemos todos, existe un método rápido para saber cuántos divisores tiene un
número: sumamos 1 a los exponentes de sus factores primos y multiplicamos el resultado. Vamos a verlo con
el ejemplo anterior.
Ejemplo: queremos saber cuántos divisores tiene 72.
Al factorizar 72 tenemos que 72 = 23 · 32.
Sumamos 1 a los exponentes del 2 y del 3: 3+1 y 2+1.
Multiplicamos los resultados: (3+1) · (2+1) = 4 · 3 = 12. El número 72 tiene 12 divisores.
2. DIVISORES COMUNES DE VARIOS NÚMEROS
Puede ocurrir que si calculamos el conjunto de los divisores de varios números, nos encontremos que hay
números que están en todos los conjuntos. Es decir, que hay números que pueden ser divisores de varios
números distintos. Vamos a verlo con un ejemplo.
Ejemplo: comprueba si el 24 y el 36 tienen algún divisor común.
Si seguimos el algoritmo descrito en el apartado anterior, obtenemos:
Si comparamos ambos conjuntos podemos apreciar que hay números que se encuentran en ambos grupos. Es
decir, que podemos crear un conjunto de números que son divisores a la vez del número 24 y del 36, y lo
expresamos así:
. Se trata de los divisores comunes de 24 y 36.
Nota: también puede ocurrir que los números no tengan divisores comunes, exceptuando el 1; entonces se dice
que los números son primos entre sí.
Ejemplo: queremos comprobar si 64 y 225 tienen divisores comunes. Calculamos:
Y obtenemos que:
El único número que aparece en los dos conjuntos es el 1. Por lo tanto, decimos que el 64 y el 225 son primos
entre sí.
3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE VARIOS NÚMEROS
Es el mayor de los divisores comunes de varios números.
Si observamos el ejemplo anterior, en el que calculábamos los divisores de 24 y 36 y obteníamos que:
, podemos comprobar que de entre todos los divisores comunes hay uno de ellos que
es el mayor. Efectivamente, estamos hablando del número 12.
En este ejemplo, el 12 es el máximo común divisor de 24 y 36. Es decir, el mayor de los divisores comunes de 24 y
36.
Para expresar de forma abreviada que 12 es el máximo común divisor de 24 y 36, lo hacemos así: M.C.D. (24, 36)
= 12.
Vuelve a leer ahora el problema de las cabañas y comprobarás que resulta fácil de resolver si hubiéramos
calculado el máximo común divisor de 12 y de 18. Observa:
De tal manera que:
Por lo tanto, el M.C.D. (12, 18) = 6. Es decir, podríamos formar cabañas de solo chicos o solo chicas si los
organizamos en grupos de 6.
4. CÁLCULO DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE DOS O MÁS NÚMEROS POR FACTORIZACIÓN
Existe un método más rápido para calcular el máximo común divisor de varios números. De esta forma nos
evitamos el proceso de tener que calcular todos los divisores, para después seleccionar el mayor de los comunes.
El método es muy parecido al del cálculo del mínimo común múltiplo (m.c.m.). De nuevo recurrimos a la
herramienta de la descomposición factorial. Vamos a ver cómo se resuelve con un ejemplo.
Ejemplo: calcula el máximo común divisor de 90, 126 y 72.
Hacemos la descomposición factorial de 90, 126 y 72:
y la expresamos así:
Ahora escogemos solamente los factores primos comunes (que estén en los tres grupos) y, de ellos, los que estén
elevados al menor exponente. Es decir, escogemos el 2 y el 32.
Los multiplicamos y ya tenemos el máximo común divisor (18). Expresado correctamente, quedaría así: M.C.D.
(90, 126, 72) = 2 · 32 = 2 · 9 = 18.
III APLICACIONES
1. SIMPLIFICAR UNA FRACCIÓN HASTA SU IRREDUCIBLE
Al realizar operaciones con fracciones nos vamos a ver en la necesidad de trabajar con aquellas que sean las más
sencillas posibles. Para conseguirlo necesitaremos simplificarlas al máximo, es decir, encontrar su equivalente
más sencilla: la fracción irreducible. Veamos cómo conseguirlo usando el máximo común divisor mediante un
ejemplo.
Ejemplo: simplifica la fracción
, hasta hallar su equivalente irreducible.
Factorizamos el numerador y el denominador:
y entonces,
Hallamos el M.C.D. (360, 336). Para ello elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y
tenemos que:
M.C.D. (360, 336) = 23 · 3 = 8 · 3 = 24.
Dividimos el numerador y el denominador entre 24 y obtenemos la fracción equivalente irreducible:
Por lo tanto,
.
2. RESOLVER PROBLEMAS
Muchos problemas de matemáticas son parecidos al que veíamos en la introducción. Siempre se trata de agrupar
cantidades diferentes en “paquetes” (máximo común divisor) que se adapten a ellas. Vamos a verlo con un
ejemplo.
Ejemplo: queremos embaldosar el suelo de una cocina rectangular con baldosas cuadradas. La cocina mide 270
cm de largo por 180 cm de ancho. ¿De qué tamaño tengo que comprar las baldosas de manera que encajen
enteras en estas dimensiones y sean lo más grande posible? ¿Cuántas baldosas tengo que comprar?
Solución: la longitud del lado de la baldosa ha de ser un divisor común de 270 y 180, y el más grande posible. Por
lo tanto, estamos buscando el máximo común divisor de 270 y 180.
Factorizamos 270 y 180:
y entonces,
M.C.D. (270,180) = 2 · 32 · 5 = 2 · 9 · 5 = 90.
Por lo tanto, comprando baldosas de 90 cm de lado podremos pavimentar la cocina sin tener que romper
ninguna. Ahora vamos a calcular cuántas necesitamos:
270 : 90 = 3. Tres baldosas de largo.
180 : 90 = 2. Dos baldosas de ancho.
3 · 2 = 6 baldosas.
EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE VARIOS NÚMEROS
Estoy en la parada del autobús y observo que los autobuses de la línea roja pasan cada 4 minutos, y que los
amarillos paran cada 6 minutos. Uno de los conductores me ha dicho que cada 12 minutos coinciden en la parada
un autobús rojo y otro amarillo. ¿Cómo lo puede saber?
I. DEFINICIÓN DE MÚLTIPLO DE UN NÚMERO
Decimos que un número a es múltiplo de otro número b, si b está contenido un número exacto de veces dentro
de a. En otras palabras, a es múltiplo de b si somos capaces de encontrar otro número c, de tal manera que al
multiplicar c x b nos dé a.
Ejemplo 1: comprueba si 27 es múltiplo de 9.
Podemos afirmar que 27 es múltiplo de 9 porque:
—el 9 está contenido un número exacto de veces dentro de 27;
—porque existe un número, en este caso el 3, que al multiplicarlo por 9 nos da 27.
Ejemplo 2: comprueba si 36 es múltiplo de 5.
Decimos que 36 no es múltiplo de 5 porque:
—el número 5 no está contenido dentro de 36 una cantidad exacta de veces;
—porque no existe ningún número que multiplicado por 5 nos dé 36.
Notas:
Para expresar que a es múltiplo de b se escribe así:
Por ejemplo, podemos expresar que:
.
Todo número es múltiplo de sí mismo: 15 es múltiplo de 15 porque existe el 1, de tal forma que al multiplicarlo
por 15 obtenemos: 15 (1 · 15 = 15); luego:
El cero es múltiplo de cualquier número, porque siempre existe un número, el cero, tal que 0 · a = 0. Por
ejemplo, 0 es múltiplo de 7 porque existe un número, el cero, tal que al multiplicarlo por 7, nos da 0.
II. LOS MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO
1. LOS MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO SON INFINITOS
Para calcular los múltiplos de un número, basta con multiplicar ese número por otros.
Ejemplo: calcula todos los múltiplos de 6.
Solución: multiplicamos 6 por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…, y obtenemos:
Podemos comprobar que los múltiplos de 6 nunca acaban; se dice que son infinitos.
2. MÚLTIPLOS COMUNES DE VARIOS NÚMEROS
Hay números que pueden ser múltiplos de varios números a la vez. Observa el ejemplo.
Ejemplo: escribe los quince primeros múltiplos de 4 y de 6 y busca en ambas l istas si hay números
comunes.
Solución: escribimos los múltiplos de 4 y 6 y después seleccionamos aquellos que estén en los dos grupos de
múltiplos. Observa:
Decimos que 0, 12, 24, 36 y 48 son múltiplos comunes de 4 y 6.
3. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE VARIOS NÚMEROS
Es el más pequeño de los múltiplos comunes de varios números, exceptuando el cero.
Si observamos el ejemplo del párrafo anterior, podemos comprobar que el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es el
12. Es decir, el 12 es el valor más pequeño de este conjunto de números:
, exceptuando el cero.
Para expresar de forma abreviada que 12 es el mínimo común múltiplo de 4 y 6, lo hacemos así: m.c.m. (4, 6) =
12.
Vuelve a leer ahora el problema de la parada del autobús y tal vez comprendas por qué el conductor calculó con
tanta facilidad que cada 12 minutos se juntaban dos autobuses en la parada.
4. CÁLCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DOS O MÁS NÚMEROS POR FACTORIZACIÓN
Hay un método más rápido de encontrar el mínimo común múltiplo de dos o más números, que no sea tener que
escribir los múltiplos de cada número y seleccionar el más pequeño de los que comparten. Vamos a verlo con un
ejemplo.
Ejemplo: calcula el mínimo común múltiplo de 9, 15 y 20.
Hacemos la descomposición factorial de 9, 15 y 20:
y la expresamos así:
Ahora escogemos aquellos factores primos comunes y no comunes (sin repetir) elevados al mayor exponente. Es
decir, escogemos el 22, el 32 y el 5.
Los multiplicamos y ya tenemos el mínimo común múltiplo: m.c.m. (9, 15, 20) = 22 · 32 · 5 = 4 · 9 · 5 = 180.
III APLICACIONES
1. REDUCIR FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR
En el trabajo diario con números fraccionarios nos vamos a ver en la necesidad de realizar comparaciones entre
ellos y operaciones de suma y resta. Para poder abordar este tipo de actividad con estos números, es necesario
que las fracciones con las que vamos a trabajar tengan el mismo denominador, y que ese denominador sea el más
pequeño posible.
Resumiendo, dadas dos o más fracciones, se trata de obtener otras tantas fracciones equivalentes pero que
tengan el mismo denominador. Veamos cómo conseguirlo usando el mínimo común múltiplo de los
denominadores:
Ejemplo: reducir a común denominador las siguientes fracciones:
, y
.
Factorizamos los denominadores:
y entonces,
Para hallar el mínimo común múltiplo escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor
exponente. De este modo obtenemos que el m.c.m (12, 9, 18) = 22 · 32 = 4 · 9 = 36. Ya tenemos el nuevo
denominador. Ahora tan solo nos queda calcular tres fracciones equivalentes a las originales pero que tengan por
denominador 36.
Para ello, dividimos 36 entre 12, 9 y 18 (36: 12 = 3; 36: 9 = 4 y 36: 18 = 2). Ahora ya sabemos por cuánto tenemos
que multiplicar los numeradores antiguos para obtener los nuevos: 5 · 3 = 15; 7 · 4 = 28 y 6 · 2 = 12.
Resumiendo: el denominador común de las tres fracciones es 36 y los nuevos numeradores son 15, 28 y 12,
respectivamente. Así que
, y
reducidas a común denominador quedarían de esta forma:
,
y
.
2. Resolver problemas
Muchos problemas de matemáticas que parecen difíciles se pueden resolver mediante un sencillo cálculo de
mínimo común múltiplo. Vamos a verlo con un ejemplo.
Ejemplo: estoy en la playa por la noche y veo dos faros en la costa. Observo que el destello de luz de uno
de ellos ocurre cada 8 segundos. En cambio, la luz del otro faro aparece cada 12 segundos. ¿Habrá algún
momento en el que pueda ver el destello de ambos faros a la vez? Si es así, ¿cada cuántos segundos
coincidirán los dos?
Solución: buscamos una cantidad de segundos que sea múltiplo de 8 y de 12. Pero además deberá ser el múltiplo
común más cercano a 8 y 12. Es decir, estamos buscando el m.c.m. (8, 12).
Factorizamos 8 y 12:
y entonces,
Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente, y calculamos el mínimo
común múltiplo. Así, el m.c.m. (8, 12) = 23 · 3 = 8 · 3 = 24.
Por lo tanto, comprobamos que las luces de los dos faros se verán al mismo tiempo cada 24 segundos.