Download guias matematicas grado quinto ii periodo

INSTITUCIÓN EDUCATIVA DEPARTAMENTAL VICENTA SAMPER MADRID
AREA DE MATEMATICAS
GUIA No 2 GRADO: QUINTO SEDE B
PROFESOR: OMAR JAVIER RUIZ FORERO
ESTUDIANTE__________________________________________________
OBJETIVOS:
 Diferencia características y relaciones entre los números naturales empleando la
potenciación, la radicación y logaritmación.

Determina el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor.

Utiliza adecuadamente la regla, la escuadra y el compás para hacer construcciones
geométricas
TEMAS:
 Igualdades y ecuaciones.
 Potenciación, propiedades.
 Radicación y logaritmación como operaciones inversas de la potenciación.
 Calculo del valor de polinomios aritméticos empleando las operaciones anteriores.
 Números primos y números compuestos.
 Múltiplos y divisores.
 Criterios de divisibilidad
 Descomposición de naturales en factores primos.
 Mínimo múltiplo común y máximo divisor común
 Problemas de afianzamiento aplicando la teoría trabajada en el transcurso del
periodo.
 Uso de la regla, escuadra y compás
CONOCIMIENTO PREREQUISITO.
*Seguir las instrucciones dadas por el profesor.
*
ORIENTACION DIDÁCTICA
*Siga estrictamente las orientaciones orales dadas por el profesor
*Realizar cada una de las actividades propuestas en la competencia procedimental
*No desarrolle actividades diferentes a las establecidas por el profesor
COMPETENCIAS DE TIPO INTERPRETATIVO, PROPOSITIVO Y PROCEDIMENTAL
REFERENTES TEORICOS
POTENCIAS DE NÚMEROS NATURALES
En la planta baja de mi colegio hay seis clases, y en cada clase las mesas están ordenadas
en seis filas con seis mesas en cada fila. Si mi colegio tiene seis plantas iguales, ¿cuántas
mesas hay en total en el colegio? La respuesta es 6 × 6 × 6 × 6 = 1.296 mesas.
Podemos expresar esta multiplicación de una forma más breve, que llamamos potencia: 6 × 6
× 6 × 6 = 64
¿QUÉ ES UNA POTENCIA?
Una potencia es la manera abreviada en la que escribimos una multiplicación en la que todos
sus factores son iguales.
Se llama base al factor que se repite en la multiplicación y exponente al número de veces
que se debe multiplicar por sí misma la base. Por ejemplo:
que se leería “cinco elevado a dos” o “cinco al cuadrado”. Si el exponente fuera un 3, sería:
53 = 5 × 5 × 5 = 125y se leería “cinco elevado a tres“ o “cinco al cubo”.
Elevar un número al cuadrado es lo mismo que multiplicar ese número por sí mismo. Los
cuadrados de los quince primeros números naturales son:
Elevar cualquier número al cubo es lo mismo que multiplicar por sí mismo tres veces ese
número. Los cubos de los diez primeros números naturales son:
Potencias con exponente mayor que 3, por ejemplo 4, 5, 6…, se leen: “a la cuarta”, “a la
quinta”, “a la sexta”…
Si quieres, puedes practicar con los siguientes ejemplos:
Algunas potencias de números naturales
Potencia Base Exponente
Se lee...
Y vale...
72
7
2
Siete al cuadrado 7 x 7 = 49
3
4
3
Cuatro al cubo
4 x 4 x 4 = 64
24
2
4
Dos a la cuarta
2 x 2 x 2 x 2 = 16
65
6
5
Seis a la quinta
6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 7.776
6
1
1
6
Uno a la sexta
1x1x1x1x1x1=1
37
3
7
Tres a la séptima
3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 2.187
4
Algunas potencias de números naturales
Potencia Base Exponente
Se lee...
Y vale...
POTENCIAS DE BASE 10
Para escribir números grandes de forma abreviada usamos las potencias de base 10, que
son iguales a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente. Así,
 El número cien: 100 = 10 × 10 = 102
 El número mil: 1.000 = 10 × 10 × 10 = 103
 El número diez mil: 10.000 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 4
 El número cien mil: 100.000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10 5
 El número un millón: 1.000.000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10 6
 El número diez millones: 10.000.000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10 7 ,y así
sucesivamente.
Por ejemplo, la distancia de la Tierra al Sol, que es de unos 150.000.000 km, la podemos
escribir como 15 × 107 km.
DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUMA DE POTENCIAS DE BASE 10
Podemos descomponer cualquier número natural como suma de los productos de cada una de
sus cifras por la potencia de base 10 que corresponde al orden de unidad que ocupa cada
cifra.
Fijándonos en la tabla, en la que aparecen los seis primeros órdenes de unidades, vamos a
descomponer, por ejemplo, los números: a) 608.912, y b) 45.768.
a) 608.912 = 6 CM + 0 DM + 8 UM + 9 C + 1 D + 2 U
608.912 = 600.000 + 0 + 8.000 + 900 + 10 + 2 = 6 × 100.000 + 8 × 1.000 + 9 × 100 + 1 × 10 +
2 = 6 × 105 + 8 × 103 + 9 × 102 + 1 × 10 + 2
b) 45.768 = 4 DM + 5 UM + 7 C + 6 D + 8 U
45.768 = 4 × 10.000 + 5 × 1.000 + 7 × 100 + 6 × 10 + 8 = 4 × 104 + 5 × 103 + 7 × 102 + 6 × 10 +
8
Órdenes de unidades
Centena de millar
Decena de
millar
Unidad de
millar
1 CM = 100.000 U
= 105 U
1 DM = 10.000 U
= 104 U
1 UM = 1.000 U
= 103 U
Centena
1 C = 100 U =
102 U
Decena
1 D = 10
U
Unidad
1U
Múltiplos y divisores
En el supermercado venden los huevos en paquetes de seis. ¿Podré comprar dieciséis? ¿Es
dieciséis múltiplo de seis?
Una florista tiene doce claveles con los que quiere formar varios ramos con el mismo
número de claveles cada uno. ¿De cuántas maneras los podrá formar? ¿Cuáles son los
divisores de doce?
MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO
Los múltiplos de un número contienen a este número una cantidad exacta de veces. Los
múltiplos de un número cualquiera los podemos obtener, comenzando desde cero, sumándole
el número al resultado anterior o, lo que es lo mismo, multiplicando el número por los
números naturales: 1, 2, 3, 4, 5...
Calculemos, por ejemplo, los 10 primeros múltiplos de 3, 5 y 7; para ello multiplicamos cada
uno de estos tres números por los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...
Si en vez de multiplicar, a partir de 0 vamos sumando 3 unidades a cada resultado,
obtenemos los múltiplos de 3:
0 + 3 = 3; 3 + 3 = 6; 6 + 3 = 9; 9 + 3 = 12...
Si a partir de 0 vamos sumando 5 unidades, obtenemos, igualmente, los múltiplos de 5:
5 + 0 = 5; 5 + 5 = 10; 10 + 5 = 15; 15 + 5 = 20...
Y de la misma forma podemos operar para los múltiplos de 7:
7 + 0 = 7; 7 + 7 = 14; 14 + 7 = 21; 21 + 7 = 28...
Observamos que el 3, el 5 y el 7 son múltiplos de sí mismos. En realidad, todo número es
múltiplo de él mismo.
Si quieres, puedes seguir los mismos pasos y practicar para calcular, por ejemplo, los
múltiplos de 2, de 4 y de 6; obtendrás:
 múltiplos de 2 = 2, 4, 6, 8, 10, 12...
 múltiplos de 4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24...
 múltiplos de 6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36...
DIVISORES DE UN NÚMERO
Al efectuar la división de un número natural entre otro, puede ocurrir, según el resto que
obtengamos:
Cuando la división de un número entre otro número es exacta, decimos que el primer
número es divisible entre el segundo, y que el segundo es divisor del primero. Por ejemplo,
al dividir 10 entre 5:
Como la división es exacta, decimos que 10 es divisible entre 5, y que 5 es divisor de 10.
Para hallar los divisores de cualquier número, hemos de dividirlo entre todos los números
naturales menores o igual que dicho número: los divisores serán aquellos para los que el
resto de la división sea cero.
Por ejemplo, para obtener todos los divisores de 14, lo dividimos entre todos los números
naturales comprendidos entre 1 y 14, ambos incluidos:
Son exactas las divisiones de 14 entre 1, 2, 7 y 14. Los divisores de 14 son pues: 1, 2, 7 y
14.
Si quieres, siguiendo los mismos pasos puedes practicar y hallar, por ejemplo, los divisores
de 12 y 7.
Dividiendo 12 entre los números naturales menores que él y él mismo:
Son exactas las divisiones de 12 entre 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Los divisores de 12 son pues: 1, 2,
3, 4, 6 y 12.
Dividiendo 7 entre los números naturales menores que él y él mismo:
Son exactas las divisiones de 7 entre 1 y 7. Los divisores de 7 son pues: 1 y 7.
Observa que todo número tiene al menos dos divisores: él mismo y la unidad.
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Llamamos número primo al que solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.
En cambio, un número es compuesto si tiene más de dos divisores.
En los ejemplos anteriores, hemos visto que:
 divisores de 14 = 1, 2, 7 y 14; como tiene más de dos divisores, 14 es número
compuesto;
 divisores de 12 = 1, 2, 3, 4, 6 y 12; como tiene más de dos divisores, 12 es número
compuesto;
 divisores de 7 = 1 y 7; como solo tiene dos divisores (él mismo y la unidad), 7 es
número primo.
El número 1 no se considera número primo, ya que solo tiene un divisor: él mismo.
En la tabla siguiente aparecen marcados los números primos menores que 100:
EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Se ha organizado en el colegio un campeonato de fútbol y otro de voleibol, de manera que se
celebra un partido de fútbol cada 3 días y uno de voleibol cada 4 días. Si hoy se ha
celebrado un partido de ambos deportes, ¿dentro de cuántos días volverán a coincidir?
Si calculamos cada cuántos días se juega al fútbol: 3 – 6 – 9 – 12 – 15 – 18 – 21 - 24…
Y cada cuántos se juega al voleibol: 4 – 8 – 12 – 16 – 20 – 24…
Vemos que coinciden a los 12, a los 24…
La primera vez que vuelven a coincidir los dos deportes es dentro de 12 días, siendo 12 el
menor múltiplo que es común a 3 y a 4.
El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el menor de sus múltiplos
comunes. Se escribe abreviadamente: m.c.m.
CÁLCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DOS NÚMEROS
Para calcular el mínimo común múltiplo de dos números naturales, por ejemplo 12 y 15,
seguimos los pasos siguientes:
1. Hallamos los múltiplos de uno de los números, por ejemplo del 12; para ello lo
multiplicamos por los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...
2. Hallamos los múltiplos del otro número, el 15, multiplicándolo por los números naturales 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...
3. Comparamos los múltiplos de uno y otro número, y vemos los que tienen en común: 60,
120...
El menor de ellos es 60. Por tanto: m.c.m. (12, 15) = 60
Si quieres, puedes seguir los mismos pasos y practicar hallando: a) m.c.m. (2, 5); b) m.c.m. (4,
6); c) m.c.m. (10, 15), y d) m.c.m. (9, 21), que aparecen en la tabla siguiente.
Mínimo común múltiplo
a
Múltiplos de 2 = 2, 4, 6, 8, 10, 12...
Múltiplos de 5 = 5, 10, 15... m.c.m. (2, 5) = 10
b Múltiplos de 4 = 4, 8, 12, 16...
Múltiplos de 6 = 6, 12, 18... m.c.m. (4, 6) = 12
c
Múltiplos de 10 = 10, 20, 30, 40...
Múltiplos de 15 = 15, 30,
45...
m.c.m. (10, 15) =
30
d Múltiplos de 9 = 9, 18, 27, 36, 45, 54,
63...
Múltiplos de 21 = 21, 42,
63...
m.c.m. (9, 21) =
63
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON M.C.M.
Utilizamos el mínimo común múltiplo en problemas en los que hay que hallar una cantidad que
sea un múltiplo común de otras dos o más cantidades, y que además sea el menor de entre
ellos. Veámoslo con dos ejemplos.
1. Carlos va cada tres días a la piscina a nadar, mientras que Pedro va cada cuatro. Si han
coincidido hoy, ¿dentro de cuántos días se volverán a encontrar? ¿Y cuándo coincidirán por
tercera vez?
Hemos de calcular el mínimo común múltiplo de 3 y 4:
 múltiplos de 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24...
 múltiplos de 4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24...
Por tanto: m.c.m. (3, 4) = 12
Volverán a encontrarse en la piscina dentro de 12 días. Y la tercera vez que coincidirán será
dentro de 24 días.
¿Sabrías decir dentro de cuántos días coincidirán por cuarta vez? ¿Y cuándo será su quinto
encuentro?
2. En el árbol de Navidad ponemos bombillas de colores: rojas, azules y amarillas. Las rojas
se encienden cada 10 segundos, las azules cada 15 segundos y las amarillas cada 8 segundos.
¿Cada cuántos segundos coincidirán todas encendidas? ¿Cuántas veces lucirán todas juntas a
lo largo de una hora?
Hemos de calcular el menor de los múltiplos comunes a 10, 15 y 8 segundos, es decir, su
mínimo común múltiplo. Hallamos los múltiplos de cada uno:
 múltiplos de 10 = 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120...
 múltiplos de 15 = 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120...
 múltiplos de 8 = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, 120...
Por tanto: m.c.m. (10, 15, 8) = 120
Es decir, las bombillas de los tres colores se encenderán a la vez cada 120 segundos, que son
2 minutos.
Y como 1 hora = 60 minutos, en 1 hora coincidirán todas encendidas 60 : 2 = 30 veces.
EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR
En una excursión escolar a un museo van 20 alumnos de una clase y 30 de otra. Los
profesores y profesoras quieren formar grupos con los alumnos de cada clase, todos con el
mismo número de alumnos y el máximo posible de ellos en cada grupo. ¿Cuántos se podrán
formar sin que sobre ninguno?
Con los 20 alumnos de la primera clase se pueden hacer:
 de 1 alumno: 20 grupos;
 de 2 alumnos: 10 grupos;
 de 4 alumnos: 5 grupos;
 de 5 alumnos: 4 grupos;
 de 10 alumnos: 2 grupos;
 de 20 alumnos: 1 grupo.
Con los 30 alumnos de la segunda clase se pueden hacer:
 de 1 alumno: 30 grupos;
 de 2 alumnos: 15 grupos;
 de 3 alumnos: 10 grupos;
 de 5 alumnos: 6 grupos;
 de 6 alumnos: 5 grupos;
 de 10 alumnos: 3 grupos;
 de 15 alumnos: 2 grupos;
 de 30 alumnos: 1 grupo.
Los divisores de 20 son: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.
Los divisores de 30 son: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30.
20 y 30 tienen cuatro divisores comunes: 1, 2, 5 y 10. El mayor de ellos es 10.
Los grupos iguales de mayor número de alumnos que se pueden formar son de 10 alumnos:
serían 2 grupos de la primera clase y 3 de la segunda. En este caso, 10 es el máximo común
divisor de 20 y 30.
El máximo común divisor de dos o más números naturales es el mayor de sus divisores
comunes. Se escribe abreviadamente: m.c.d., o también M.C.D.
CÁLCULO DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE DOS NÚMEROS
Para obtener el máximo común divisor de dos números naturales, por ejemplo de 12 y 8,
seguimos los siguientes pasos:
1. Hallamos los divisores de uno de los números, por ejemplo del 12; para ello lo dividimos
entre todos los números naturales comprendidos entre 1 y 12, ambos incluidos:
Los divisores de 12 son aquellos que al dividir han dado resto cero, es decir: 1, 2, 3, 4, 6 y
12.
2. Hallamos los divisores del otro número, el 8, dividiéndolo entre todos los números
naturales comprendidos entre 1 y 8, ambos incluidos:
Los divisores de 8 son aquellos que al dividir han dado resto cero, es decir: 1, 2, 4 y 8.
3. Comparamos los divisores de ambos números, 12 y 8, y vemos los que tienen en común: 1,
2 y 4.
El mayor de ellos es 4. Por tanto: m.c.d. (12, 8) = 4
Si quieres, puedes seguir los mismos pasos y practicar hallando: a) m.c.d. (2, 5); b) m.c.d. (4,
6); c) m.c.d. (10, 15), y d) m.c.d. (9, 21), que aparecen en la tabla siguiente.
Máximo común divisor
a
Divisores de 2 = 1 y 2
b Divisores de 4 = 1, 2 y 4
c
Divisores de 5 = 1 y 5
m.c.d. (2, 5) = 1
Divisores de 6 = 1, 2, 3 y 6
m.c.d. (4, 6) = 2
Divisores de 10 = 1, 2, 5 y 10 Divisores de 15 = 1, 3, 5 y 15 m.c.d. (10, 15) = 5
d Divisores de 9 = 1, 3 y 9
Divisores de 21 = 1, 3, 7 y 21 m.c.d. (9, 21) = 3
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON M.C.D.
Utilizamos el máximo común divisor en problemas en los que hay que repartir dos o más
cantidades de objetos, personas…, en grupos del mayor tamaño posible sin que sobre
ninguno. Veámoslo con dos ejemplos.
1. En mi colegio nos hemos apuntado para jugar a baloncesto 12 chicos y 18 chicas.
¿Cuántos equipos de chicos y cuántos de chicas del mismo número de jugadores y del mayor
número posible de ellos podremos formar sin que sobre nadie?
Debemos calcular el máximo común divisor de 12 y 18. Para ello hallamos los divisores de los
dos números:
 divisores de 12 = 1, 2, 3, 4, 6 y 12;
 divisores de 18 = 1, 2, 3, 6, 9 y 18.
Por tanto: m.c.d. (12, 18) = 6
Hemos de formar equipos de 6 jugadores. Como somos 12 chicos y 18 chicas, se podrán
formar: 12 : 6 = 2 equipos de chicos 18 : 6 = 3 equipos de chicas
2. Quiero repartir 20 lápices rojos y 30 azules en varios vasos, de manera que haya el
mismo número de lápices, todos del mismo color, en cada vaso y no me sobre ninguno.
¿Cuántos puedo meter como máximo en cada vaso? ¿Cuántos vasos usaré?
Debemos calcular el máximo común divisor de 20 y 30. Hallamos sus divisores:
 divisores de 20 = 1, 2, 4, 5, 10 y 20;
 divisores de 30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30.
Por tanto: m.c.d. (20, 30) = 10
Hemos de formar grupos de 10 lápices del mismo color. Como en total hay 20 + 30 = 50
lápices, podré formar 50 : 10 = 5 grupos, sin que sobre ningún lápiz. Usaré, por tanto, 5
vasos.
COMPETENCIA INTERPRETATIVA:

Determinar el mínimo común múltiplo, y el máximo común divisor
Aplicar la potenciación, radicación y logaritmación teniendo en cuenta las
operaciones básicas.
 Identificar las clases de números y sus compuestos.
COMPETENCIA PROCEDIMENTAL:

 Actividades números primos y compuestos (texto guía pág. 44 3,4,5)
 Actividades MCMD - MCD (texto guía pág. 45 – 48)
 Actividades potenciación, radicación y logaritmos (texto guía pág. 51 - 56)

COMPETENCIA PROPOSITIVA:

Desarrollar las actividades propuestas para afianzar los conocimientos vistos
 Demostrar los conocimientos dados mediante actividades extra clase
PARAMETROS DE EVALUACION

Evaluación escrita


Exposición de los gráficos elaborados
Desarrollo de las actividades propuestas
CRONOGRAMA
Segundo periodo académico 2010
19 de abril al 25 de junio Según intensidad horaria
TEMA/ ACTIVIDAD
FECHA/DIA/HORA
BIBLIOGRAFIA
Urrego Peña Ángela Liliana. Claves 4, editorial Santillana.
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derechos.