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Sistema binario
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El sistema binario, en matemáticas, es un sistema de numeración en el que los números
se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Los ordenadores
trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración
natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).
Tabla de contenidos
[ocultar]






1 Historia del sistema binario
2 Representación
3 Operaciones con números binarios
o 3.1 Suma de números Binarios
o 3.2 Resta de números binarios
o 3.3 Producto de números binarios
o 3.4 División de números binarios
4 Conversión entre binario y decimal, binario y octal, y binario y hexadecimal
o 4.1 Binario a decimal
o 4.2 Decimal a binario
o 4.3 Binario a octal
o 4.4 Octal a binario
o 4.5 Binario a hexadecimal
o 4.6 Hexadecimal a binario
5 Tabla de conversión entre decimal, binario, hexadecimal, octal, BCD, Exceso
3 y Gray o Reflejado
6 Tabla de conversión entre decimal, binario, octal y hexadecimal
Historia del sistema binario [editar]
Página del artículo Explication de l'Arithmétique Binaire de Leibniz
El antiguo matemático hindú Pingala presentó la primera descripción que se conoce de
un sistema de numeración binario en el siglo tercero antes de nuestra era, lo cual
coincidió con su descubrimiento del concepto del número cero.
Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas, análogos a 3 bit y números
binarios de 6 bit, eran conocidos en la antigua china en el texto clásico del I Ching.
Series similares de combinaciones binarias también han sido utilizados en sistemas de
adivinación tradicionales africanos como el Ifá, así como en la geomancia medieval
occidental.
Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching, representando la secuencia
decimal de 0 a 63, y un método para generar el mismo, fue desarrollado por el erudito y
filósofo Chino Shao Yong en el siglo XI. Sin embargo, no hay ninguna prueba de que
Shao entendió el cómputo binario.
En 1605 Francis Bacon habló de un sistema por el cual las letras del alfabeto podrían
reducirse a secuencias de dígitos binarios, la cuales podrían ser codificados como
variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto arbitrario. En gran medida
para la teoría general de codificación de binario, él añadió que este método podría ser
usado con cualquier objeto en absoluto: "siempre que aquellos objetos sean capaces de
solo una diferencia doble; como por campanas, por trompetas, por luces y antorchas,
según el informe de Mosquetes, y cualquier instrumento de naturaleza parecida." (Ver el
código de Bacon).
El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz, en el siglo
diecisiete, en su artículo "Explication de l'Arithmétique Binaire". En él se mencionan
los símbolos binarios usados por matemáticos chinos. Leibniz usó el 0 y el 1, al igual
que el sistema de numeración binario actual.
En 1854, el matemático británico George Boole, publicó un artículo que marcó un antes
y un después, detallando un sistema de lógica que terminaría denominándose Álgebra
de Boole. Dicho sistema jugaría un papel fundamental en el desarrollo del sistema
binario actual, particularmente en el desarrollo de circuitos electrónicos.
En 1937, Claude Shannon realizó su tesis doctoral en el MIT, en la cual implementaba
el Álgebra de Boole y aritmética binaria utilizando relés y conmutadores por primera
vez en la historia. Titulada Un Análisis Simbólico de Circuitos Conmutadores y Relés,
la tesis de Shannon básicamente fundó el diseño práctico de circuitos digitales.
En noviembre de 1937, George Stibitz, trabajando por aquel entonces en los
Laboratorios Bell, construyó un ordenador basado en relés - al cual apodó "Modelo K"
(porque lo construyó en una cocina, en inglés "kitchen")- que utilizaba la suma binaria
para realizar los cálculos. Los Laboratorios Bell autorizaron un completo programa de
investigación a finales de 1938, con Stibitz al mando. El 8 de enero de 1940 terminaron
el diseño de una Calculadora de Números Complejos, la cual era capaz de realizar
cálculos con números complejos. En una demostración en la conferencia de la Sociedad
Americana de Matemáticas, el 11 de septiembre de 1940, Stibitz logró enviar comandos
de manera remota a la Calculadora de Números Complejos a través de la línea
telefónica mediante un teletipo. Fue la primera máquina computadora utilizada de
manera remota a través de la línea de teléfono. Algunos participantes de la conferencia
que presenciaron la demostración fueron John Von Neumann, John Mauchly y Norbert
Wiener, el cual escribió acerca de dicho suceso en sus diferentes tipos de memorias en
la cual alcanzo diferentes logros.
Representación [editar]
Un número binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (dígitos
binarios), que a su vez pueden ser representados por cualquier mecanismo capaz de
estar en dos estados mutuamente exclusivos. Las secuencias siguientes de símbolos
podrían ser interpretadas todas como el mismo valor binario numérico:
1
|
x
y
0
o
n
1
|
x
y
0
o
n
0
o
n
1
|
x
y
1
|
x
y
0
o
n
1
|
x
y
0
o
n
El valor numérico representado en cada caso depende del valor asignado a cada
símbolo. En un ordenador, los valores numéricos pueden ser representados por dos
voltajes diferentes y también se pueden usar polaridades magnéticas sobre un disco
magnético. Un "positivo", "sí", o "sobre el estado" no es necesariamente el equivalente
al valor numérico de uno; esto depende de la arquitectura usada.
De acuerdo con la representación acostumbrada de cifras que usan números árabes, los
números binarios comúnmente son escritos usando los símbolos 0 y 1. Cuando son
escritos, los números binarios son a menudo subindicados, prefijados o sufijados para
indicar su base, o la raíz. Las notaciones siguientes son equivalentes:

100101 binario (declaración explícita de formato)






100101b (un sufijo que indica formato binario)
100101B (un sufijo que indica formato binario)
bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)
1001012 (un subíndice que indica base 2 (binaria) notación)
%100101 (un prefijo que indica formato binario)
0b100101 (un prefijo que indica formato binario, común en lenguajes de
programación)
Operaciones con números binarios [editar]
Suma de números Binarios [editar]
Las posibles combinaciones al sumar dos bits son




0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 10
100110101
+ 11010101
———————————
1000001010
Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en
nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1
(este "1" se llama acarreo o arrastre). A continuación se suma el acarreo a la siguiente
columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente
como en decimal).
Resta de números binarios [editar]
El algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero conviene
repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es
más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y
diferencia.
Las restas básicas 0-0, 1-0 y 1-1 son evidentes:




0-0=0
1-0=1
1-1=0
0 - 1 = no cabe o se pide prestado al proximo.
La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada
de la posición siguiente: 10 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en decimal, 2 1 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente. Veamos
algunos ejemplos:
Restamos 17 - 10 = 7 (2=345)
Restamos 217 - 171 = 46 (3=690)
10001
-01010
——————
00111
11011001
-10101011
—————————
00101110
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento, es fácil confundirse. Tenemos
interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecánicamente, sin
detenernos a pensar en el significado del arrastre. Para simplificar las restas y reducir la
posibilidad de cometer errores hay varias soluciones:

Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cómo se
divide una resta larga en tres restas cortas:
100110011101
-010101110010
—————————————
010000101011

=
1001
-0101
—————
0100
1001
-0111
—————
0010
1101
-0010
—————
1011
Utilizando el complemento a dos. La resta de dos números binarios puede
obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo. Veamos
algunos ejemplos. Hagamos la siguiente resta, 91 - 46 = 45, en binario:
1011011
-0101110
————————
0101101
C2 de 46 = 1010010
1011011
+1010010
————————
10101101
En el resultado nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero, como el número
resultante no puede ser más largo que el minuendo, el bit sobrante se desprecia.
Un último ejemplo: vamos a restar 219 - 23 = 196, directamente y utilizando el
complemento a dos:
11011011
-00010111
—————————
11000100
C2 de 23 = 11101001
11011011
+11101001
—————————
111000100
Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda, llegamos al resultado correcto:
11000100 en binario, 196 en decimal.

Utilizando el complemento a 1. La resta de dos números binarios puede
obtenerse sumando al minuendo el complemento a uno del sustraendo y a su vez
sumarle el bit de overflow (bit que se desborda).
Producto de números binarios [editar]
El algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque se
lleva cabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da 0, y el 1
es el elemento neutro del producto.
Por ejemplo, multipliquemos 10110 por 1001:
10110
1001
—————————
10110
00000
00000
10110
—————————
11000110
En sistemas electrónicos, donde se suelen utilizar números mayores, no se utiliza este
método sino otro llamado algoritmo de Booth.
División de números binarios [editar]
La división en binario es similar a la decimal, la única diferencia es que a la hora de
hacer las restas, dentro de la división, estas deben ser realizadas en binario. Por ejemplo,
vamos a dividir 100010010 (274) entre 1101 (13):
100010010 |1101
——————
- 0000
010101
———————
10001
- 1101
———————
01000
- 0000
———————
10000
- 1101
———————
00111
- 0000
———————
01110
- 1101
———————
00001
Conversión entre binario y decimal, binario y octal, y
binario y hexadecimal [editar]
Binario a decimal [editar]
Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente:
1. Inicie por el lado derecho del número en binario, cada número multiplíquelo por
2 y elévelo a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0).
2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número
resultante será el equivalente al sistema decimal.
Ejemplos:

110101 (binario) = 53 (decimal). Proceso:
1*(2) elevado a
0*(2) elevado a
1*(2) elevado a
0*(2) elevado a
1*(2) elevado a
1*(2) elevado a
La suma es: 53

10010111 (binario) = 151 (decimal). Proceso:
1*(2) elevado a
1*(2) elevado a
1*(2) elevado a
0*(2) elevado a
1*(2) elevado a
0*(2) elevado a
0*(2) elevado a
1*(2) elevado a
La suma es: 151

(0)=1
(1)=0
(2)=4
(3)=0
(4)=16
(5)=32
(0)=1
(1)=2
(2)=4
(3)=0
(4)=16
(5)=0
(6)=0
(7)=128
110111 (binario) = 55 (decimal). Proceso:
1*(2) elevado a
1*(2) elevado a
1*(2) elevado a
0*(2) elevado a
1*(2) elevado a
1*(2) elevado a
La suma es: 55
(0)=1
(1)=2
(2)=4
(3)=0
(4)=16
(5)=32
Decimal a binario [editar]
Se divide el número decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y
así sucesivamente. Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el último cociente, es
decir el uno final (todo número binario excepto el 0 empieza por uno), seguido de los
residuos de las divisiones subsiguientes. Del más reciente hasta el primero que resultó.
Este número será el binario que buscamos. A continuación se puede ver un ejemplo con
el número decimal 100 pasado a binario.
100 |_2
0
50 |_2
0 25 |_2
--> 100
1 12 |_2
0 6 |_2
0 3 |_2
1 1
1100100
Otra forma de conversión consiste en un método parecido a la factorización en números
primos. Es relativamente fácil dividir cualquier número entre 2. Este método consiste
también en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar,
colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha. Si es impar, le restaremos
uno y seguiremos dividiendo por dos, hasta llegar a 1. Después sólo nos queda tomar el
último resultado de la columna izquierda (que siempre será 1) y todos los de la columna
de la derecha y ordenar los dígitos de abajo a arriba. Y luego se haría un cuadro con las
potencias con el resultado.
Ejemplo:
100|0
50|0
25|1
12|0
6|0
3|1
1|1
--> 1, 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
--> 100
1100100
Y también tenemos otro método el método de distribución en el que distribuimos el
número decimal y podemos tener el resultado en binario, trabaja de la siguiente manera
tenemos el número 151 lo que tenemos que hacer es distribuir este número buscando el
número más próximo; en este caso es 128 así que en la casilla donde hay capacidad de
contener el número que tenemos lo vamos marcando. y en las casillas que no
empleamos las marcaremos con un 0.
Ejemplo:
2^0=
1|1
2^1=
2|1
2^2=
4|1
2^3=
8|0
2^4= 16|1
2^5= 32|0
2^6= 64|0
2^7= 128|1
2^8= 256|0
128+16+4+2+1=151
Y sucesivos.
Binario a octal [editar]
Para realizar la conversión de binario a octal, realice lo siguiente:
1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 3 en 3 iniciando por el lado derecho. Si al
terminar de agrupar no completa 3 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.
2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla:
Número en binario
000
001
010
011
100
101
110
111
Número en octal
0
1
2
3
4
5
6
7
3) La cantidad correspondiente en octal se agrupa de izquierda a derecha.
Ejemplos:

110111 (binario) = 67 (octal). Proceso:
111 = 7
110 = 6
Agrupe de izquierda a derecha: 67

11001111 (binario) = 317 (octal). Proceso:
111 = 7
001 = 1
11 entonces agregue un cero, con lo que se obtiene 011 = 3
Agrupe de izquierda a derecha: 317

1000011 (binario) = 103 (octal). Proceso:
011 = 3
000 = 0
1 entonces agregue 001 = 1
Agrupe de izquierda a derecha: 103.
Octal a binario [editar]
Cada dígito octal se lo convierte en su binario equivalente de 3 bits y se juntan en el
mismo orden. Ejemplo:

247 (octal) = 010100111 (binario). El 2 en binario es 10, pero en binario de 3
bits es Oc(2) = B(010); el Oc(4) = B(100) y el Oc(7) = (111), luego el número
en binario será 010100111.
Binario a hexadecimal [editar]
Para realizar la conversión de binario a hexadecimal, realice lo siguiente:
1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 4 en 4 iniciando por el lado derecho. Si al
terminar de agrupar no completa 4 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.
2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla:
Núme
ro en
binari
o
00
00
00
01
00
10
00
11
01
00
01
01
01
10
01
11
10
00
10
01
10
10
10
11
11
00
11
01
11
10
11
11
Núme
ro en
hexad
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
ecima
l
3) La cantidad correspondiente en hexadecimal se agrupa de izquierda a derecha.
Ejemplos:

110111010 (binario) = 1BA (hexadecimal). Proceso:
1010 = A
1011 = B
1 entonces agregue 0001 = 1
Agrupe de izquierda a derecha: 1BA

11011110101 (binario) = 6F5 (hexadecimal). Proceso:
0101 = 5
1111 = F
110 entonces agregue 0110 = 6
Agrupe de izquierda a derercha: 6F5
Hexadecimal a binario [editar]
Ídem que para pasar de hexadecimal a binario, solo que se remplaza por el equivalente
de 4 bits, como de octal a binario.
Tabla de conversión entre decimal, binario,
hexadecimal, octal, BCD, Exceso 3 y Gray o Reflejado
[editar]
Decimal
Binario
Hexadecimal
Octal
BCD
Exceso 3
Gray o Reflejado
0
0000
0
0
0000
0011
0000
1
0001
1
1
0001
0100
0001
2
0010
2
2
0010
0101
0011
3
0011
3
3
0011
0110
0010
4
0100
4
4
0100
0111
0110
5
0101
5
5
0101
1000
0111
6
0110
6
6
0110
1001
0101
7
0111
7
7
0111
1010
0100
8
1000
8
10
1000
1011
1100
9
1001
9
11
1001
1100
1101
10
1010
A
12
11
1011
B
13
12
1100
C
14
13
1101
D
15
14
1110
E
16
15
1111
F
17
Tabla de conversión entre decimal, binario, octal y
hexadecimal [editar]
0hex = 0dec = 0oct
1hex = 1dec = 1oct
2hex = 2dec = 2oct
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
3hex = 3dec = 3oct
0
0
1
1
4hex
5hex
6hex
7hex
=
=
=
=
4dec
5dec
6dec
7dec
=
=
=
=
4oct
5oct
6oct
7oct
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
8hex
9hex
Ahex
Bhex
=
=
=
=
8dec
9dec
10dec
11dec
=
=
=
=
10oct
11oct
12oct
13oct
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
Chex
Dhex
Ehex
Fhex
=
=
=
=
12dec
13dec
14dec
15dec
=
=
=
=
14oct
15oct
16oct
17oct
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1