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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL – FACULTAD REGIONAL AVELLANEDA
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
Examen Final – 22 de diciembre de 2010
Tema T-10-10
Apellido y nombres del alumno: .........................................................................................................................
Especialidad: ……………………………………………………………………………...........................................
Apellido y nombres del docente: ………………………………………………………………………………….....
1
2
3
4
5
Calificación
La condición para aprobar este examen final es tener bien resueltos al menos tres ejercicios completos, uno correspondiente a los dos primeros y dos
a los tres últimos . Usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ
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1.- Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. En caso de ser verdadera, demuéstrelo, si fuera falsa,
demuestre o brinde un contraejemplo.
a.- Dos números complejos dados en la forma polar son iguales si y solo sí sus módulos son iguales y sus argumentos son
iguales.
b.- Dos vectores a y b no paralelos y distintos del vector nulo permiten construir un paralelogramo. El área de dicho
paralelogramo es la norma del producto vectorial entre a y b .
c.- Si A  Rnn una matriz ortogonal entonces el determinante de A es 1 ó –1
2.- Resolver:
a.- Calcular la distancia desde el punto A  m;m;m  a la recta R :
xm y zm
siendo m > 0
 
m
m
m
1 1
b.- Sea la matriz A  
 . Investigar si A tiene autovalores reales. ¿Es A diagonalizable en R?
1 1 
3.- Resolver:
a.- Determine una base y la dimensión del subespacio S = { x (x, y, z) ∈ R3 / 4x – 12y + z = 0}
b.- Obtenga el complemento ortogonal de S. Interprete geométricamente el resultado.
c.- Obtenga el subespacio intersección de S con W = { x (x, y, z) ∈ R3 / 3x + 2z = 0}
4.- Resolver:
a.- Dada la ecuación de la hipérbola 4 x 2  9 y 2  36 , hallar la ecuación de su conjugada y la ecuación de las rectas
asíntotas que comparten.
b.- Determinar el valor de los coeficientes a y b en la ecuación de la superficie: a x 2  b z 2  y sabiendo que pasa por
los puntos: P1 1; 2;1 y P2  3; 3; 2  . Identificarla y ofrecer una representación gráfica.
5.- Sea T : R 2  R 2 / T  x; y    3x  y; 2 x  y  ,
a.- Analizar si T es un isomorfismo. Justifique el procedimiento empleado.
b.- Si B  1,  2  1, 3, hallar  M T   BB asociada a la transformación lineal T