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FACULTAD DE INGENIERÍA
Universidad Nacional de San Juan
Carreras
Bioingeniería
Programa Analítico y de Examen de la asignatura:
MATEMÁTICA I
Año: 2014-
................................................
MSc. Ing. Dora A. Christian
Profesora Titular
.............................................
MSc. Ing. María del Carmen Berenguer
Jefe de Departamento
.................................................
Ing. Daniel Eduardo Argumosa
Secretario Académico
Programa Analítico y de Examen – Curso 2014
MATEMÁTICA I
Bioingeniería
Objetivos generales del curso.
Se espera que al finalizar el curso el alumno:
Adquiera un dominio básico e integral del Álgebra y la Geometría Analítica,
asociando conceptos en una estructura lógica, que lo habilite para aplicar
los aprendizajes logrados en la solución de problemas del ámbito de
estudio.
Sea capaz de analizar problemas y soluciones obtenidas con sentido crítico.
Seleccionar y aplicar acertadamente un procedimiento entre los tratados en
el curso para la solución de un problema.
Emplear el lenguaje propio de la asignatura, articulando la expresión verbal
con la simbólica y gráfica.
Fundamentar afirmaciones que realice.
Comunicarse con pares y docentes en un marco de respeto y tolerancia
mutua.
Unidad N° 1: Matrices y Determinantes.
Matrices de orden (pxn). Tipos especiales de matrices. Igualdad.
Operaciones: Suma. Producto por un número. Producto de matrices. Trasposición.
Propiedades de las operaciones. Forma escalonada de una matriz. Rango.
Determinante
de
una
matriz.
Definición.
Cálculo
empleando
cofactores
y
escalonamiento. Propiedades. Inversa de una matriz. Definición. Cálculo de la inversa.
Propiedades.
Objetivos de la unidad.
Una vez que concluya el aprendizaje programado para esta unidad, el alumno estará en
condiciones de:
Clasificar matrices,
Efectuar cálculos con matrices,
Emplear oportunamente las propiedades de las operaciones,
Escribir una matriz, dada la ley de formación de sus elementos,
Encontrar formas escalonadas de una matriz,
Determinar el rango de una matriz,
Definir y calcular el determinante de una matriz.
Definir inversa de una matriz.
Decidir si una matriz es inversible.
Calcular la inversa de una matriz cuando sea posible.
Emplear oportunamente propiedades de las funciones DET e INV,
Utilizar la notación adecuada.
Proporcionar ejemplos que verifiquen una condición especificada.
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Unidad N° 2: Sistemas de ecuaciones lineales.
Sistemas de ecuaciones lineales. Representación matricial. Sistemas equivalentes.
Método de eliminación simple de Gauss para resolver sistemas lineales. Existencia y
unicidad de las soluciones de sistemas lineales. Conjunto de las soluciones de un
sistema lineal.
Objetivos de la unidad.
Se espera que el alumno sea capaz de:
Resolver completamente un sistema de ecuaciones lineales empleando el método
de eliminación simple de Gauss.
Decidir si un sistema lineal tiene solución o no.
Establecer si la solución será única o no.
Determinar el número de variables a las que se puede asignar cualquier valor real
(variables libres).
Proporcionar el conjunto de soluciones que corresponda.
Encontrar soluciones particulares cuando exista más de una solución.
Proporcionar ejemplos de sistemas lineales que verifiquen alguna condición
especificada.
Unidad N° 3: Espacios vectoriales.
Espacio vectorial real. Definición y ejemplos. Subespacios: Definición, caracterización.
Ejemplos. Subespacio vectorial generado por un conjunto de vectores. Conjuntos que
generan un espacio vectorial. Dependencia e independencia lineal de vectores.
Propiedades. Bases y dimensión de un espacio vectorial. Representación de un vector
en una base: matriz de coordenadas y vector de coordenadas.
Producto interior euclídeo. Propiedades. Normas de vectores: Norma uno. Norma
euclídea. Norma infinito. Conjuntos ortogonales. Propiedades. Conjuntos ortonormales.
Bases ortonormales. Coordenadas de un vector con relación a una base ortonormal.
Construcción de una base ortonormal a partir de una base cualquiera de un espacio
vectorial.
Objetivos de la unidad.
Se espera que el alumno sea capaz de:
Conocer y comprender la definición de espacio vectorial real.
Emplear la noción de espacio vectorial para identificar conjuntos familiares como
ejemplos de esa estructura.
Reconocer los conjuntos de soluciones de sistemas lineales homogéneos como
ejemplos de subespacios de un espacio vectorial.
Encontrar el subespacio vectorial generado por un conjunto de vectores.
Encontrar conjuntos que generen un subespacio vectorial dado.
Decidir si los vectores de un conjunto son linealmente independientes, o linealmente
dependientes.
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Construir bases para un espacio vectorial y justificar que lo son.
Decidir si un conjunto de vectores es base o no de un espacio vectorial dado.
Determinar la dimensión de un espacio vectorial.
Representar un vector mediante sus coordenadas en una base.
Calcular normas para vectores.
Decidir si los vectores de un conjunto son: ortogonales, unitarios, ortonormales.
Decidir si un conjunto de vectores es una base ortonormal de un espacio vectorial
dado.
Construir bases ortonormales.
Hallar las coordenadas de un vector en una base ortonormal, usando propiedades
de estas bases.
Interpretar definiciones y teoremas mediante ejemplos particulares.
Usar las propiedades enunciadas como teoremas, para justificar respuestas cuando
sea oportuno.
Demostrar teoremas de la unidad.
Unidad N° 4: Aplicaciones geométricas. Rectas y Planos. Cónicas y Cuádricas.
Espacio afín sobre un espacio vectorial. Dimensión afín. Vector de posición de un
punto. Sistema de coordenadas. Subespacio afín vinculado con un subespacio
vectorial.
Construcción de rectas en el plano y en el espacio determinadas por dos puntos dados; o
por un punto y un vector que la dirige. Diversas formas de la ecuación de la recta.
Construcción de planos en el espacio determinados por tres puntos no alineados, o por
un punto y dos vectores que generan el subespacio vectorial asociado, o por un punto y
un vector ortogonal. Diversas formas de la ecuación del plano. Posiciones relativas
entre rectas y planos; rectas entre sí y planos entre sí. Distancias y medidas de
ángulos.
Ecuaciones cuadráticas en el plano y en el espacio. Ecuaciones canónicas de cónicas y
cuádricas. Elipse. Hipérbola. Parábola. Paraboloide Hiperbólico. Paraboloide elíptico.
Hiperboloide de una y de dos hojas. Cono. Cilindro. Elipsoide.
Objetivos de la unidad.
Al finalizar el aprendizaje propuesto en esta unidad, los alumnos podrán:
Encontrar todas las formas posibles de la ecuación de una recta determinada por
un punto y un vector que la dirige, o por dos puntos.
Encontrar todas las formas posibles de la ecuación de un plano determinado por un
punto y dos vectores que generan el subespacio vectorial asociado, o por tres
puntos no alineados, o por un punto y un vector ortogonal.
Expresar rectas y planos, como conjunto de soluciones de una ecuación lineal o de
un sistema de ecuaciones lineales.
Identificar rectas y planos proporcionando los elementos que los determinan.
Consideradas las rectas y los planos como subespacios afines, proporcionar un
subespacio vectorial asociado con ellos, y la correspondiente dimensión afín.
Determinar las posiciones relativas entre rectas y planos; rectas entre sí y planos
entre sí.
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Interpretar geométricamente los conjuntos de soluciones de sistemas de dos
ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas.
Representar gráficamente puntos, vectores, rectas y planos.
Calcular distancia de un punto a una recta y de un punto a un plano.
Encontrar una medida del ángulo formado por dos rectas que se cortan en un punto
y por dos planos que tienen una recta en común.
Proporcionar ejemplos de rectas y planos que guarden entre sí una posición relativa
especificada.
Identificar una cónica cuando la ecuación que la define tiene la forma canónica,
proporcionando sus elementos notables y su gráfica.
Identificar una superficie cuádrica cuando la ecuación que la define tiene la forma
canónica, mediante intersecciones con planos paralelos a los planos coordenados.
Representar gráficamente las cuádricas y las intersecciones, proporcionando los
elementos notables que las caracterizan.
Asociar la forma canónica de la ecuación de una cónica o de una cuádrica con la
gráfica correspondiente y viceversa.
Unidad N° 5: Transformaciones Lineales . Aplicaciones Geométricas. Cónicas de
ecuación no canónica.
Transformaciones
lineales.
Definición.
Ejemplos.
Transformaciones
matriciales.
Transformación matricial asociada con una transformación lineal. Espacio imagen y
rango de una transformación lineal. Núcleo y nulidad de una transformación lineal.
Isomorfismo. Espacios vectoriales isomorfos.
Valores y vectores propios de una matriz. Definición. Subespacios propios.
Caracterización de valores y vectores propios. Diagonalización. Diagonalización
ortogonal. Transformación ortogonal de coordenadas. Reducción de cónicas a la forma
canónica.
Objetivos de la unidad.
Al finalizar el aprendizaje propuesto en esta unidad, usted podrá:
Identificar transformaciones entre espacios vectoriales conocidos.
Mediante la definición, decidir si una transformación es lineal o no.
Construir la transformación matricial asociada con una transformación lineal.
Encontrar el espacio imagen y el rango de una transformación lineal.
Hallar el núcleo y la nulidad de una transformación lineal.
Caracterizar en forma analítica y geométrica el núcleo y el espacio imagen de una
transformación lineal y establecer sus vínculos dimensionales.
Decidir si una transformación lineal es un isomorfismo entre el dominio y el espacio
imagen.
Reconocer un vector propio de una matriz asociado con el valor propio que
corresponda, mediante la definición.
Encontrar los valores propios de una matriz cuadrada.
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Construir los subespacios propios correspondientes.
Diagonalizar ortogonalmente una matriz simétrica.
Hacer uso oportuno de teoremas que caracterizan los valores y vectores propios de
una matriz y las matrices diagonalizables ortogonalmente.
Reducir una cónica a la forma canónica para su identificación.
Encontrar un sistema de coordenadas con ejes paralelos a los ejes de simetría de
una cónica dada.
Construir un sistema de coordenadas respecto del cual la ecuación de la cónica en
estudio adquiera forma canónica.
Representar gráficamente en el mismo diagrama todos los sistemas de
coordenadas, la cónica y sus elementos notables.
Justificar sin ambigϋedad decisiones y afirmaciones, expresándose con corrección y
claridad.
Demostrar los teoremas incluídos en la unidad.
Proporcionar ejemplos que verifiquen una condición especificada.
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BIBLIOGRAFIA
Notas de Matemática I y Algebra y Geometría Analítica.
CHRISTIAN, D. BERENGUER, M. DE LA TORRE, E. MOYANO A.
Ed. Fotocopiadora del Centro de Estudiantes. FI. UNSJ. 2014.
La cátedra proporciona al alumno material de información, ejemplos y actividades
de aprendizaje, con respuestas para autoevaluación, en las Notas de Álgebra y
Geometría Analítica, abarcando la totalidad de las unidades del programa y
ordenadas conforme a la secuencia de contenidos seleccionada para el curso.
Notas de Matemática I y Algebra y Geometría Analítica.
CHRISTIAN, D. BERENGUER, M. DE LA TORRE, E. MOYANO A.
Página web de la asignatura. FI. UNSJ. 2014.
http://dea.unsj.edu.ar/matematica1/
Álgebra Lineal (Grado de Estadística)
VVAA. Ed. Universidad de Sevilla. 2014
OPENLIBRA
http://www.etnassoft.com/biblioteca/algebra-lineal/
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería I: Álgebra Lineal
BARREDA ROCHERA MIGUEL, LÓPEZ ORTI JOSÉ ANTONIO.
Ed. Universitat Jaume I. 2010.
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http://www.etnassoft.com/biblioteca/fundamentos-matematicos-de-la-ingenieria-ialgebra-lineal/
Matrices y Sistemas Lineales
PÁEZ CRISTHIAN.
Ed. Instituto Tecnológico de Costa Rica. 2013.
OPENLIBRA
http://www.etnassoft.com/biblioteca/matrices-y-sistemas-lineales/
Introducción al Algebra Lineal.
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ANTON, HOWARD. Ed. Limusa. 4 edición. México. 2009.
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Algebra Lineal.
GROSSMAN STANLEY I.
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Ed. MCGRAW-HILL. 6 edición. 2008.
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Álgebra Lineal.
KOLMAN BERNARD, HILL DAVID R.
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Ed. PEARSON ADDISON-WESLEY. 8 edición. 2006.
ISBN: 9789702606963
Algebra lineal y sus aplicaciones.
LAY, DAVID C.
Programa Analítico y de Examen- Curso 2014
7
ra
Ed. PEARSON ADDISON-WESLEY. 3 edición. México. 2007.
ISBN: 978-970-26-0906-3.
Introducción al Algebra Lineal
LARSON, ROLAND.
Ed. Limusa. México. 2000.
ISBN: 978-968-18-4886-6
Álgebra Lineal Aplicada.
NOBLE, B. DANIEL, J.
Ed. Prentice Hall Hispanoamericana S.A. México. 1994.
Algebra Lineal y Geometría Analítica.
HEINHOLD, J.- RIEDMÜLLER, B.
Ed. Reverté. S.A. Barcelona.1980.
San Juan, Marzo de 2014
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MSc. Ing. Dora A. Christian
Profesora Titular
Programa Analítico y de Examen- Curso 2014
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