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PROBLEMAS Y CUESTIONES
DE
ÁLGEBRA LINEAL
Y
CÁLCULO INFINITESIMAL
2
(RESOLUCIÓN DE EXÁMENES DESDE 1999 HASTA 2006)
PROBLEMAS Y CUESTIONES
DE
ÁLGEBRA LINEAL
Y
CÁLCULO INFINITESIMAL
2
(RESOLUCIÓN DE EXÁMENES DESDE 1999 HASTA 2006)
ANTONIO PÉREZ CARRIÓ
FERNANDO GARCÍA ALONSO
JOSÉ ANTONIO REYES PERALES
Profesores Titulares
de la
Escuela Politécnica Superior
de la
Universidad de Alicante
Título: Problemas y cuestiones de álgebra lineal y cálculo infinitesimal (exámenes)
Autores: © Antonio Pérez Carrió
José Antonio Reyes Perales
Fernando García Alonso
ISBN: 978-84-8454-650-4
Depósito legal: A-1145-2007
Edita: Editorial Club Universitario Telf.: 96 567 61 33
C/. Cottolengo, 25 - San Vicente (Alicante)
www.ecu.fm
Printed in Spain
Imprime: Imprenta Gamma Telf.: 965 67 19 87
C/. Cottolengo, 25 - San Vicente (Alicante)
www.gamma.fm
[email protected]
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o
transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación
magnética o cualquier almacenamiento de información o sistema de reproducción, sin permiso
previo y por escrito de los titulares del Copyright.
A nuestros padres
Prólogo
El objetivo de este libro es el de ser un complemento de la obra “Ampliación de
Fundamentos de Matemática Aplicada”, ofreciendo una nueva colección de problemas
resueltos que fueron propuestos en exámenes de distintas convocatorias, los cuales
permiten profundizar en los conocimientos ya adquiridos e incluso autoevaluar
destrezas. Además, las cuestiones teóricas, que también aparecen resueltas, inciden en
la mejora del grado de comprensión de la teoría de los distintos temas e inducen al
planteamiento de un estudio más crítico de la misma.
Por otro lado, se pretende no sólo proporcionar una guía del nivel de
conocimientos que se exige en los exámenes sino también modelos de cómo exponer y
desarrollar con claridad, precisión y rigor las cuestiones teóricas y los problemas, todo
esto con la comodidad que supone la recopilación de los ejercicios, tanto teóricos como
prácticos, de distintas convocatorias en un solo volumen.
Dada la variedad de problemas y cuestiones teóricas que se resuelven en la
presente obra, ésta constituye una valiosa y práctica recopilación, utilizable en cualquier
disciplina afín impartida en las titulaciones de Escuelas Técnicas o Facultades de
Ciencias.
La estructura de capítulos ha sido desarrollada por años y no por cursos debido a
que, en cada uno de estos últimos, los contenidos de los programas se utilizan en las
convocatorias del año natural. Esta distribución facilita en gran manera la identificación
de los modelos de exámenes y la localización de la tipología de los mismos con el fin de
poder acceder rápidamente a aquellas cuestiones o problemas específicos según el año
en que fueron propuestos. El libro contiene la resolución de problemas, cuestiones y test
propuestos en los exámenes de la Titulación de Arquitectura Técnica de la Escuela
Politécnica Superior de la Universidad de Alicante, durante los años 1999 a 2006
inclusive.
v
Tanto en las cuestiones teóricas como en los problemas se ha marcado la
separación entre la parte de álgebra y la de cálculo, respetando el orden de aparición en
los exámenes, cuyos modelos aparecen con el formato original para que se opte entre la
autoevaluación , el análisis o la profundización según las necesidades . Al final del libro
aparece un cuadro descriptivo de las convocatorias con las respectivas modalidades de
examen, valoraciones de las cuestiones y de los problemas, peso respectivo en la nota
final, opciones en la entrega, y ubicación en el libro.
Finalmente, los autores quieren expresar su agradecimiento a los profesores:
Juan Francisco Navarro Llinares, Alberto Escapa García y María Salud Berbegal Rico,
por su valiosa colaboración en la elaboración de los exámenes que aparecen resueltos en
esta obra.
Los autores
vi
Índice
Año 1999 .......................................................................................................................... 1
Convocatoria de febrero - Examen parcial (álgebra lineal y geometría).................... 3
Convocatoria de junio - Examen parcial (cálculo en varias variables) .....................21
Convocatoria de junio - Examen final.......................................................................31
Álgebra lineal y geometría ..................................................................................34
Cálculo en varias variables.................................................................................43
Convocatoria de septiembre ......................................................................................51
Álgebra lineal y geometría ..................................................................................52
Cálculo en varias variables.................................................................................57
Convocatoria de diciembre........................................................................................61
Álgebra lineal y geometría ..................................................................................62
Cálculo en varias variables.................................................................................68
Año 2000 .........................................................................................................................73
Convocatoria de febrero - Examen parcial (álgebra lineal y geometría)...................75
Convocatoria de junio - Examen parcial (cálculo en varias variables) .....................87
Convocatoria de junio - Examen final.......................................................................95
Álgebra lineal y geometría .................................................................................96
Cálculo en varias variables.............................................................................. 104
Convocatoria de septiembre ................................................................................... 109
Álgebra lineal y geometría ............................................................................... 110
Cálculo en varias variables.............................................................................. 116
Convocatoria de diciembre..................................................................................... 121
Álgebra lineal y geometría ............................................................................... 122
Cálculo en varias variables.............................................................................. 126
vii
Año 2001 ...................................................................................................................... 131
Convocatoria de junio - Examen final.................................................................... 133
Parte I: Álgebra lineal...................................................................................... 135
Teoría.................................................................................................... 135
Práctica ................................................................................................. 135
Parte II: Cálculo en varias variables ............................................................... 145
Teoría.................................................................................................... 145
Práctica ................................................................................................. 147
Convocatoria de junio - Examen extraordinario..................................................... 151
Parte I: Álgebra lineal...................................................................................... 152
Teoría.................................................................................................... 152
Práctica ................................................................................................. 153
Parte II: Cálculo en varias variables ............................................................... 158
Teoría.................................................................................................... 158
Práctica ................................................................................................. 159
Convocatoria de septiembre ................................................................................... 161
Teoría (cuestiones) ........................................................................................... 162
Álgebra lineal ....................................................................................... 162
Cálculo en varias variables.................................................................. 163
Práctica (problemas) ......................................................................................... 163
Álgebra lineal ....................................................................................... 163
Cálculo en varias variables.................................................................. 168
Convocatoria de diciembre..................................................................................... 171
Teoría (cuestiones) ........................................................................................... 172
Álgebra lineal ....................................................................................... 172
Cálculo en varias variables.................................................................. 172
Práctica (problemas) ......................................................................................... 174
Álgebra lineal ....................................................................................... 174
Cálculo en varias variables.................................................................. 179
Año 2002 ...................................................................................................................... 183
Convocatoria de junio - Examen final.................................................................... 185
Teoría (cuestiones tipo test)-Modelo de examen.............................................. 185
Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 187
Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 194
Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 201
Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 202
Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 207
Convocatoria de septiembre .................................................................................. 211
Teoría (cuestiones tipo test)-Modelo de examen.............................................. 211
Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 213
Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 221
Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 229
Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 230
Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 235
viii
Convocatoria de diciembre .................................................................................... 239
Teoría (cuestiones tipo test)-Modelo de examen.............................................. 239
Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 241
Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 245
Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 251
Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 252
Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 235
Año 2003 ...................................................................................................................... 259
Convocatoria de junio - Examen final.................................................................... 261
Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 261
Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 262
Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 263
Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 269
Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 270
Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 278
Convocatoria de junio - Examen extraordinario..................................................... 283
Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 283
Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 284
Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 287
Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 293
Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 294
Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 300
Convocatoria de septiembre ................................................................................... 305
Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 305
Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 306
Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 309
Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 313
Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 314
Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 319
Convocatoria de diciembre..................................................................................... 325
Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 325
Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 326
Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 328
Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 333
Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 334
Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 342
Año 2004 ...................................................................................................................... 347
Convocatoria de junio - Examen final.................................................................... 349
Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 349
Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 350
Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 353
ix
Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 359
Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 360
Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 365
Convocatoria de junio - Examen extraordinario..................................................... 371
Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 371
Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 372
Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 375
Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 381
Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 382
Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 388
Convocatoria de septiembre ................................................................................... 393
Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 393
Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 394
Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 396
Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 401
Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 402
Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 406
Convocatoria de diciembre..................................................................................... 411
Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 411
Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 412
Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 415
Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 421
Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 422
Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 430
Año 2005 ...................................................................................................................... 433
Convocatoria de junio - Examen final.................................................................... 435
Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 435
Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 436
Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 439
Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 445
Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 446
Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 454
Convocatoria de septiembre ................................................................................... 457
Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 457
Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 458
Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 467
Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 467
Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 468
Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 475
Convocatoria de diciembre..................................................................................... 479
Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 479
Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 480
Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 482
Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 485
Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 486
Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 493
x
Año 2006 ...................................................................................................................... 497
Convocatoria de junio - Examen final.................................................................... 499
Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 499
Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 500
Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 502
Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 509
Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 510
Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 515
Convocatoria de septiembre ................................................................................... 519
Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 519
Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 520
Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 524
Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 531
Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 532
Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 539
Convocatoria de diciembre..................................................................................... 543
Teoría (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 543
Álgebra lineal-Respuestas .................................................................... 544
Cálculo en varias variables-Respuestas............................................... 547
Práctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 553
Álgebra lineal-Soluciones .................................................................... 554
Cálculo en varias variables-Soluciones ............................................... 559
Bibliografía.................................................................................................................. 563
Cuadro de información .............................................................................................. 565
xi
Año 1999
Convocatoria de febrero -Examen parcial
AMPLIACIÓN DE FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS PARA LAS
CONSTRUCCIONES ARQUITECTÓNICAS
ARQUITECTURA TÉCNICA
PRIMER EXAMEN PARCIAL (01 – 02 – 1999)
1.- Sean las matrices:
⎛ 1 1 3⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 5 2 6⎟ y B = A + I .
⎜
⎟
⎝ −2 −1 −3 ⎠
a) Halle B n , n ∈ .
b) Calcule B −1 utilizando el método que considere oportuno.
⎛
x
⎜
2.- Discuta la regularidad de la matriz M = ⎜ x − 1
⎜ x +1
⎝
1 −1⎞
⎟
2 1⎟ según los valores reales de x.
−1 0 ⎟⎠
3.- En el espacio vectorial R 3 ( R ) se consideran los siguientes conjuntos:
U1 =
{( x, y, z ) ∈ R
3
(R)
}
x+ y+z =0
{
}
y U 2 = ( t , 2t ,3t ) ∈ R 3 ( R ) t ∈ R
Se pide que:
a) Pruebe que son subespacios vectoriales de R 3 ( R ) .
b) Halle una base de U1 + U 2 y de U1 ∩ U 2
c) Obtenga unas ecuaciones implícitas de U1 + U 2 y de U1 ∩ U 2 .
d) ¿Cualquier vector de R 3 ( R ) se puede expresar de forma única como suma
de un vector de U1 y otro de U 2 ?
4.- Estudie, según los valores reales de m, la posición relativa de los planos:
π 1 ≡ x + y + mz = −2 ( m + 1) ; π 2 ≡ x + my + z = m + 2; π 3 ≡ mx + y + z = m
Si para algún valor de m, la intersección de los tres planos es una recta, halle la ecuación
de ésta en forma continua.
3
Año 1999
5.- En el espacio vectorial R 3 ( R ) definimos el producto:
( x1 , x2 , x3 ) ( y1 , y2 , y3 ) = 4 x1 y1 − 2 x1 y3 − 2 x3 y1 + 2 x2 y2 + x2 y3 + x3 y2 + 2 x3 x3
Se pide que:
a) Compruebe que se trata de un producto escalar.
b) Obtenga la matriz de Gram respecto de la base B = {(1, 0, 0 ) , (1,1, 0 ) , (1,1,1)} .
c) Halle una base ortonormal a partir de la base anterior.
d) Calcule la proyección ortogonal del vector ( −1,3, 2 ) sobre el subespacio
H = 〈( −1,1, 0 ) , ( 2,1,3)〉
6.- Resuelva los siguientes apartados:
a) Dado el plano π ≡ 4 x − 3 y + z + 2 = 0 , halle la recta de máxima pendiente,
respecto del plano XOY, que pasa por el punto P, punto de corte de π con la
recta r, siendo:
⎧x = 0
r≡⎨
⎩y = 0
b) Determine la ecuación del plano que pasa por la recta r anterior y que dista
una unidad del punto Q ( 3, 2,1) .
c) Si el plano π contiene 4 vértices de un cubo de forma que éstos no
pertenezcan a una misma cara y el punto Q es otro de los vértices, calcule el
volumen del cubo y el vértice Q ' , opuesto a Q, que se halla en la misma cara
pero en distinto semiespacio que Q respecto al plano π .
NOTA: El/la alumno/a deberá resolver 5 de los 6 ejercicios. Cada ejercicio se efectuará
en un folio o grupo de folios, sin mezclar dos ejercicios en un mismo folio. El D.N.I.
del/la alumno/a estará sobre la mesa en un lugar visible. Los folios se acumularán unos
encima de otros conforme se vayan utilizando, de manera que no se queden dispersos
por la mesa.
4
Convocatoria de febrero -Examen parcial
⎛ 1 1 3⎞
1. Sea A = ⎜ 5 2 6 ⎟ y B = A+I. Halla B n n ∈
⎜⎜
⎟⎟
⎝-2 -1 -3 ⎠
método que consideres oportuno.
. Calcula B -1 , utilizando el
SOLUCIÓN:
Empezaremos estudiando las potencias de A:
⎛ 1 1 3⎞ ⎛ 1 1 3⎞ ⎛ 0 0 0 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
A = A⋅ A = ⎜ 5 2 6⎟⋅⎜ 5 2 6⎟ = ⎜ 3 3 9⎟
⎜ −2 −1 −3 ⎟ ⎜ −2 −1 −3 ⎟ ⎜ −1 −1 −3 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
2
⎛ 0 0 0 ⎞ ⎛ 1 1 3⎞ ⎛ 0 0 0 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
A = A ⋅ A = ⎜ 3 3 9⎟⋅⎜ 5 2 6⎟ = ⎜ 0 0 0⎟
⎜ −1 −1 −3 ⎟ ⎜ −2 −1 −3 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
3
2
Luego la matriz A es nilpotente de orden 3
A continuación calculamos las potencias de B mediante el desarrollo del binomio de
Newton, es decir:
⎛n⎞
⎛n⎞
⎛n⎞
n(n − 1) 2
n
B n = ( A + I ) = ⎜ ⎟ I n + ⎜ ⎟ I n −1 A + ⎜ ⎟ I n − 2 A2 = I + nA +
A
2
⎝0⎠
⎝1⎠
⎝ 2⎠
pues Ak = O (matriz nula) para k ≥ 3 . Y sustituyendo las distintas potencias resulta:
⎛
⎜
1+ n
⎜ 2
3n + 7 n
Bn = ⎜
⎜
2
⎜ 2
⎜⎜ − n + 3n
2
⎝
n
3n 2 + n + 2
2
n2 + n
−
2
⎞
3n ⎟
⎟
3n + 9n 2 ⎟
⎟
2
⎟
3n 2 + 3n − 2 ⎟
−
⎟
2
⎠
Para hallar la matriz inversa de la matriz regular B, se puede proceder de varias formas:
a) Mediante la expresión conocida :
B −1 =
1
t
( Adj ( A) )
B
5
Año 1999
b) A través de operaciones elementales sobre las filas de B
c) Usando la nilpotencia de A.
Utilizaremos el último método:
Puesto que A = B − I y A3 = O resulta que ( B − I ) = O con lo que si desarrollamos
3
dicha potencia obtenemos la siguiente expresión:
B 3 − 3B 2 + 3B − I = O
Se pasa la matriz identidad al segundo miembro de la igualdad y descomponemos en
factores el primer miembro:
B ( B 2 − 3B + 3I ) = I
De donde claramente se llega a que:
B −1 = B 2 − 3B + 3I = A2 + 2 A + I − (3 A + 3I ) + 3I = A2 − A + I
⎛ 0 0 0 ⎞ ⎛ 1 1 3 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 0 −1 −3 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
B = A − A + I = ⎜ 3 3 9 ⎟ − ⎜ 5 2 6 ⎟ + ⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜ −2 2 3 ⎟
⎜ − 1 − 1 −3 ⎟ ⎜ − 2 − 1 − 3 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎜ 1 0
1⎟⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
−1
2
≈≈≈≈≈≈≈
2. Discute la regularidad de la matriz M según los valores reales de x, siendo :
⎛ x
M = ⎜ x -1
⎜
⎜ x+1
⎝
1 -1 ⎞
2 1⎟
⎟
-1 0 ⎟⎠
SOLUCIÓN:
Dado que M es regular si su determinante es distinto de cero, debemos estudiar las
soluciones de la ecuación det(M) = 0 .
x
x −1
x +1
6
1 −1
2 1 = 0 → 3 x + 1 + x − 1 + x = 0 (1)
−1 0
Convocatoria de febrero -Examen parcial
⎧ x si x ≥ 0
Dado que x = ⎨
resulta que la ecuación 1 se transforma según el intervalo
⎩− x si x < 0
en que sea estudiada, con lo que:
2
5
Si −1 ≤ x < 0 → 3( x + 1) + (− x + 1) + (− x) = 0 → x + 4 = 0 → x = −4
4
Si 0 ≤ x < 1 → 3( x + 1) + (− x + 1) + ( x) = 0 → 3 x + 4 = 0 → x = −
3
2
Si 0 ≤ x < 1 → 3( x + 1) + ( x − 1) + ( x) = 0 → 5 x + 2 = 0 → x = −
5
Si x < −1 → 3(− x − 1) + (− x + 1) + (− x) = 0 → −5 x − 2 = 0 → x = −
(absurdo)
(absurdo)
(absurdo)
(absurdo)
Por lo tanto la matriz M es regular para todo valor real de x ya que ningún valor real
es solución de la ecuación 1.
Nota: Si estudiamos la función asociada al primer miembro de la ecuación 1:
⎧-5x - 2
⎪x + 4
⎪
f(x) = 3 x + 1 + x - 1 + x = ⎨
⎪3x + 4
⎪⎩5x + 2
x < -1
-1 ≤ x < 0
0 ≤x <1
1≤x
Y la representamos gráficamente
Observamos que no corta al eje de abscisas lo que corrobora el análisis realizado.
≈≈≈≈≈≈≈
7
Año 1999
3. En el espacio vectorial
3
( ) , se consideran los siguientes conjuntos:
U1 = {(x, y, z) ∈ R3 (R ): x + y + z = 0} ,
U2 = {(t,2t,3t) ∈ R3 ( R ):t ∈ R } .
Se pide:
a) Pruebe que son subespacios vectoriales de
b) Halle una base de U1 + U2 y de U1 ∩U2 .
3
( ).
c) Obtenga las ecuaciones implícitas de los s.e.v. del apartado anterior..
d) ¿Cualquier vector de 3 ( ) puede expresarse de forma única como suma de
un vector de U1 y otro de U2 ?
SOLUCIÓN:
a) Vamos a utilizar el teorema de caracterización de subespacios vectoriales, es decir
dado el espacio vectorial U sobre el cuerpo k y H un subconjunto de éste , con
∅ ≠ H ⊆ U , resulta que:
H es subespacio vectorial de U ⇔ ∀u, v ∈ H , ∀λ , µ ∈ k : λ ⋅ u + µ ⋅ v ∈ H
que se puede expresar de la siguiente forma:
⎧⎪∀u, v ∈ H : u + v ∈ H
H es subespacio vectorial de U ⇔ ⎨
⎪⎩∀u ∈ H , ∀λ ∈ k : λ ⋅ u ∈ H
Pasemos pues a estudiar los distintos casos:
U1 = {( x, y, z ) / x + y + z = 0} ⊆
3
( ) , además U1 ≠ ∅ pues (0, 0, 0) ∈ U1
⎧x + y + z = 0 ⎫
Sean u ( x1 , y1 , z1 ) y v( x2 , y2 , z2 ) elementos de U1 ⇒ ⎨ 1 1 1
⎬ (1)
⎩ x2 + y2 + z2 = 0 ⎭
i) Veamos que u + v ∈ U1
u + v = ( x1 , y1 , z1 ) + ( x2 , y2 , z2 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 );
( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 ) + ( z1 + z2 ) = ( x1 + y1 + z1 ) + ( x2 + y2 + z2 ) = 0 + 0 = 0
(1)
por lo que:
u + v ∈ U1
8
Convocatoria de febrero -Examen parcial
ii) Comprobemos que λ ⋅ u ∈ U1 con λ ∈
En efecto,
λ ⋅ u = λ ⋅ ( x1 , y1 , z1 ) = (λ x1 , λ y1 , λ z1 ) → λ x1 + λ y1 + λ z1 = λ ( x1 + y1 + z1 ) = λ 0 = 0 → λ ⋅ u ∈ U1
(1)
Luego U1 sí es subespacio vectorial de
3
( ).
El conjunto U 2 es claramente:
{( t , 2t ,3t ) / t ∈ R} = {t (1, 2,3) / t ∈ R} = (1, 2,3)
Que es el conjunto de todas las combinaciones lineales del vector (1,2,3), es decir, un
subespacio vectorial de 3 ( ) .
b) Para determinar los subespacios suma e intersección, previamente, hallaremos los
sistemas mínimos generadores de éstos por separado.
U1 = {( x, y, z ) / x + y + z = 0} = {( x, y, z ) / x = − y − z} = {(− y − z , y, z ) / y, z ∈ R}
U1 = { y (−1,1, 0) + z (−1, 0,1) / y, z ∈ R} = (−1,1, 0), (−1, 0,1)
Y
U 2 = (1, 2,3) como hemos visto en el anterior apartado.
Una base de U1 es B1 = {(−1,1, 0), (−1, 0,1)} y una base de U 2 es B2 = {(1, 2,3)}
Para determinar el subespacio suma U1 + U 2 basta hallar un sistema mínimo de
generadores a partir del sistema B1 ∪ B2 = {(−1,1, 0), (−1, 0,1), (1, 2,3)} . Puesto que es
libre coincide con el sistema mínimo buscado y es base de U1 + U 2 , por lo que
U1 + U 2 = R 3 ( R )
x + y + z = 0⎫
⎧
⎪
⎪
3
Además, dado que U1 ∩ U 2 = ⎨( x, y, z ) ∈ R ( R ) / y − 2 x = 0 ⎬ = {(0, 0, 0)} , la inter⎪
z − 3 x = 0 ⎪⎭
⎩
sección de U1 y U 2 no tiene base.
c) Como consecuencia de los resultados precedentes U1 + U 2 no tiene ecuaciones
implícitas mientras que las ecuaciones implícitas de U1 ∩ U 2 son:
9
Año 1999
x=0
y=0
z=0
t =0
Es claro, por tanto, que U1 y U 2 son subespacios suplementarios respecto de
d) Puesto que U1 y U 2 son subespacios suplementarios (U1 ⊕ U 2 =
3
3
( ).
( ) ) cada vector
de U1 ⊕ U 2 , es decir, cada vector de 3 ( ) se puede expresar de forma única (véase la
definición de suma directa) como suma de vectores de los subespacios sumandos. Lo
que responde a este último apartado.
≈≈≈≈≈≈≈
4. Estudie la posición relativa de los planos:
π1 ≡ x + y + mz = -2(m + 1); π2 ≡ x + my + z = m + 2; π3 ≡ mx + y + z = m
según los valores reales del parámetro m. Si, para algún valor de m, la intersección
de los tres planos es una recta, halle la ecuación de ésta en forma continua.
SOLUCIÓN:
Estudiaremos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y sus soluciones según
los valores de m .
Procederemos mediante el método de Gauss:
⎛ 1
⎜
⎜ 1
⎜m
⎝
⎛1
⎜
∼ ⎜0
⎜0
⎝
−2(m + 1) ⎞ ⎛ 1
m
1
⎟ ⎜
m+2
⎟ ∼ ⎜ 0 m −1 1 − m
⎟ ⎜ 0 1 − m 1 − m2
m
⎠ ⎝
⎞
m −2(m + 1)
1
⎟
m −1
1 − m 3m + 4
⎟
0 2 − m − m 2 2m 2 + 6m + 4 ⎟⎠
1 m
m 1
1 1
−2(m + 1) ⎞
⎟
3m + 4 ⎟ ∼
2m 2 + 3m ⎟⎠
Puesto que 2 − m − m 2 = (1 − m)(m + 2) estudiamos los siguientes casos:
Caso 1: m = 1
La ecuación 3ª en el sistema de Gauss (el último equivalente al primero) se convierte en
0 = 12 , lo que resulta absurdo, por lo que el sistema es incompatible y los tres planos no
tienen ningún punto en común, tratándose de tres planos paralelos:
10
Convocatoria de febrero -Examen parcial
π 1 ≡ x + y + z = −4
π2 ≡ x + y + z = 3
π3 ≡ x + y + z = 1
Caso 2: m ≠ 1
Caso 2.1: m = −2 → La ecuación 3ª es redundante ( 0 = 0 ), y no se produce
ninguna incompatibilidad en la 1ª y 2ª, con lo que estamos ante un sistema compatible
indeterminado simple. De esta forma los tres planos tienen infinitos puntos en común
contenidos en una recta.
El sistema equivalente obtenido es el siguiente:
⎧3 x = 4 + 3z ⎫
⎧ x + y − 2 z = 2 ⎫ ⎧3x + 3 y = 6 + 6 z ⎫ ⎧3x = 4 + 3z ⎫ ⎪
⎪
⎨
⎬≡⎨
⎬≡⎨
⎬ ≡ ⎨3 y = 2 + 3z ⎬
⎩−3 y + 3z = −2 ⎭ ⎩0 x + 3 y = 2 + 3 z ⎭ ⎩3 y = 2 + 3z ⎭ ⎪3z 0 3z ⎪
⎩ = + ⎭
Tomando z como parámetro.
Una ecuación de la recta, en forma continua, puede ser la siguiente:
4
2
y−
3=
3 = z −0
1
1
1
x−
Caso 2.2: m ≠ −2 → Este caso nos permite obtener tres ecuaciones
independientes con tres incógnitas, o sea , un sistema compatible determinado cuya
única solución es el vértice del triedro que forman los tres planos para cada valor de
m ≠ 1 y m ≠ −2
Nota: En otro ejercicio de características similares se utilizará el teorema de Rouché.
≈≈≈≈≈≈≈
5. En el espacio vectorial
3
( ) definimos el siguiente producto:
( x1 , x2 , x3 ) ( y1 , y2 , y3 ) = 4x1 y1 - 2x1 y3 - 2x3 y1 + 2x2 y2 + x2 y3 + x3 y2 + 2x3 y3
a) Compruebe que se trata de un producto escalar.
b) Obtenga la matriz de Gram respecto de la base B = {(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1) } .
c) Halle una base ortonormal a partir de B.
d) Calcule la proyección ortogonal del
H = (-1,1,0),(2,1,3) .
vector
(-1,3,2)
sobre
el
SEV
11
Año 1999
SOLUCIÓN:
a) Si queremos probar este apartado en los mismos términos que en la definición de
producto escalar que aparece en la bibliografía de los autores, consideramos la
expresión del producto anterior mediante la aplicación:
ϕ : R3 × R3 → R
Tal que:
ϕ ( ( x1 , x2 , x3 ), ( y1 , y2 , y3 ) ) = 4 x1 y1 − 2 x1 y3 − 2 x3 y1 + 2 x2 y2 + x2 y3 + x3 y2 + 2 x3 y3
Para determinar si la aplicación ϕ es un producto escalar debemos comprobar si se
cumple ∀u , v, w ∈
3
( ) y ∀α , β ∈
que:
(
1. ϕ es simétrica ϕ (u , v ) = ϕ (v , u ) ∀u , v ∈
(
3
( )
)
2. ϕ es bilineal ϕ (α u + β v , w ) = αϕ (u , w) + βϕ (v , w)
(
3. ϕ es definida positiva ϕ (u , u ) > 0 ∀u ≠ 0
)
)
a) Veamos pues si se verifican las condiciones anteriores ∀u , v, w ∈
3
( ) y ∀α , β ∈
Simetría:
ϕ (u , v ) = ϕ ( ( x1 , x2 , x3 ), ( y1 , y2 , y3 ) ) = 4 x1 y1 − 2 x1 y3 − 2 x3 y1 + 2 x2 y2 + x2 y3 + x3 y2 + 2 x3 y3 =
= 4 y1 x1 − 2 y3 x1 − 2 y1 x3 + 2 y2 x2 + y3 x2 + y2 x3 + 2 y3 x3 = ϕ ⎡⎢⎣ ( y1, y2 , y3 ) , ( x1, x2 , x3 ) ⎤⎥⎦ = ϕ (v , u )
Bilinealidad:
ϕ (α u + β v , w ) = ϕ ⎡⎢⎣α ( x1 , x2 , x3 ) + β ( y1 , y2 , y3 ) , ( z1 , z2 , z3 ) ⎤⎥⎦ =
= ϕ ⎡⎢⎣ (α x1 + β y1 , α x2 + β y2 , α x3 + β y3 ) , ( z1 , z2 , z3 ) ⎤⎥⎦ =
= 4 (α x1 + β y1 ) z1 − 2 (α x1 + β y1 ) z3 − 2 (α x3 + β y3 ) z1 +
+2 (α x2 + β y2 ) z2 + (α x2 + β y2 ) z3 + (α x3 + β y3 ) z2 + 2 (α x3 + β y3 ) z3 =
= 4α x1 z1 + 4β y1 z1 − 2α x1 z3 − 2β y1 z3 − 2α x3 z1 − 2β y3 z1 +
+2α x2 z2 + 2β y2 z2 + α x2 z3 + β y2 z3 + α x3 z2 + β y3 z2 + 2α x3 z3 + 2β y3 z3 =
= 4α x1 z1 − 2α x1 z3 − 2α x3 z1 + 2α x2 z2 + α x2 z3 + α x3 z2 + 2α x3 z3 +
+4 β y1 z1 − 2β y1 z3 − 2 β y3 z1 + 2β y2 z2 + β y2 z3 + β y3 z2 + 2β y3 z3 =
= αϕ ⎡⎢⎣ ( x1 , x2 , x3 ) , ( z1 , z2 , z3 ) ⎤⎥⎦ + βϕ ⎡⎢⎣ ( y1 , y2 , y3 ) , ( z1 , z2 , z3 ) ⎤⎥⎦ = αϕ (u , w) + βϕ (v , w)
12
Convocatoria de febrero -Examen parcial
Definida positiva:
Para probar esta condición se utilizan habitualmente dos pasos.
1º Dado un vector u ∈ 3 ( ) se prueba que ϕ (u , u ) ≥ 0 ( es decir , que ϕ es no
negativa)
ϕ (u , u ) = ϕ ( ( x1 , x2 , x3 ), ( x1 , x2 , x3 ) ) = 4 x1 x1 − 2 x1 x3 − 2 x3 x1 + 2 x2 x2 + x2 x3 + x3 x2 + 2 x3 x3 =
= 4( x1 ) − 4 x1 x3 + 2( x2 ) + 2 x2 x3 + 2( x3 ) = ⎢⎢ 4 ( x1 ) − 4 x1 x3 + ( x3 ) ⎥⎥ + ⎢⎢ ( x2 ) ⎥⎥ + ⎢⎢ ( x2 ) + 2 x2 x3 + ( x3 ) ⎥⎥ =
2
2
2
⎡
2
2⎤
⎡
2⎤
⎡
⎦
⎣
⎦
⎣
⎣
2⎤
2
⎦
= ( 2x1 − x3 ) + ( x2 ) + ( x2 + x3 ) ≥ 0 (por ser suma de cuadrados)
2
2
2
2º ϕ (u , u ) = 0 ⇐⇒ u = 0
( ⇐)
(⇒)
Resulta evidente
ϕ (u , u ) = 0 → ϕ ⎡⎢⎣ ( x1 , x2 , x3 ) , ( x1 , x2 , x3 ) ⎤⎥⎦ = 0 → ( 2 x1 − x3 ) + ( x2 ) + ( x2 + x3 ) = 0 →
2
2
2
⎧2 x1 − x3 = 0 ⎫
⎪
⎪
⎨ x2 = 0
⎬ → ( x1 , x2 , x3 ) = (0, 0, 0)
⎪x + x = 0 ⎪
⎩ 2 3
⎭
De 1º y 2º se sigue que ϕ (u , u ) > 0, ∀u ≠ 0
Luego ϕ es un producto escalar y en consecuencia el producto definido dota al
espacio vectorial 3 ( ) de estructura de espacio vectorial euclídeo.
b) En general en un espacio vectorial euclídeo
i)
(
n
( ),
)
si calculamos el elemento
j)
gij = (0,...,1,...0) (0,..., 1,...0) , de la matriz de Gram en la base canónica, coincidirá con
el coeficiente del término xi y j . Por lo tanto la matriz de Gram de dicho producto
escalar respecto de dicha base está formada por los respectivos coeficientes de los
términos que lo definen.
Puesto que ( x1 , x2 , x3 ) ( y1 , y2 , y3 ) = 4 x1 y1 − 2 x1 y3 − 2 x3 y1 + 2 x2 y2 + x2 y3 + x3 y2 + 2 x3 y3 ,
los gij son los coeficientes de los términos xi y j , por lo que
⎛ 4 0 −2 ⎞
⎜
⎟
GC = ⎜ 0 2
1⎟
⎜ −2 1 2 ⎟
⎝
⎠
Lógicamente dado que los términos x2 y1 y x1 y2 no aparecen en la expresión del
producto escalar , sus coeficientes son nulos.
Para hallar la matriz de Gram en otra base distinta a la hallada anteriormente podemos
proceder de dos formas:
13
Año 1999
Forma 1: Usando la definición del producto escalar
La nueva base es B = ⎪⎨⎪u1 , u2 , u3 ⎪⎬⎪ = {(1, 0, 0), (1,1, 0), (1,1,1)} , entonces:
⎧b11 = u1
⎪
⎪b12 = u1
⎪
⎪b13 = u1
⎨
⎪b22 = u2
⎪
⎪b23 = u2
⎪b = u
3
⎩ 33
⎧
⎫
⎩
⎭
u1 = (1, 0, 0) (1, 0, 0) = 4 − 0 − 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 4 ⎫
⎪
u2 = (1, 0, 0) (1,1, 0) = 4 − 0 − 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 4 ⎪
⎛ 4 4 2⎞
⎪
u3 = (1, 0, 0) (1,1,1) = 4 − 2 − 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 2 ⎪
⎜
⎟
⎬ → GB = ⎜ 4 6 5 ⎟
u2 = (1,1, 0) (1,1, 0) = 4 − 0 − 0 + 2 + 0 + 0 + 0 = 6 ⎪
⎜2 5 6⎟
⎝
⎠
⎪
u3 = (1,1, 0) (1,1,1) = 4 − 2 − 0 + 2 + 1 + 0 + 0 = 5 ⎪
u3 = (1,1,1) (1,1,1) = 4 − 2 − 2 + 2 + 1 + 1 + 2 = 6 ⎪⎭
Forma 2: Mediante la congruencia de matrices de Gram de un mismo p.e. respecto de
distintas bases.
Si P es la matriz de cambio de base de B a la canónica C , entonces :
GB = P t GC P
Resulta claro que
⎛ 1 1 1⎞
⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 4 0 −2 ⎞⎛ 1 1 1⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 4 4 2 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟⎜
⎟
P = ⎜ 0 1 1 ⎟ → GB = ⎜ 1 1 0 ⎟ ⎜ 0 2
1⎟⎜ 0 1 1⎟ = ⎜ 1 1 0 ⎟ ⎜ 0 2 3 ⎟
⎜ 0 0 1⎟
⎜ 1 1 1 ⎟ ⎜ −2 1 2 ⎟⎜ 0 0 1⎟ ⎜ 1 1 1 ⎟ ⎜ −2 −1 1⎟
⎝
⎠
⎝
⎠⎝
⎠⎝
⎠ ⎝
⎠⎝
⎠
⎛ 4 4 2⎞
⎜
⎟
GB = ⎜ 4 6 5 ⎟
⎜2 5 6⎟
⎝
⎠
c) Usaremos el método de Gram-Schmidt a partir de la base B por el procedimiento de
los gij (en este caso los bij )
t1 = u1 = (1, 0, 0)
t2 = u2 + λ u1 → b12 + λ b11 = 0 → 4 + 4λ = 0 → λ = −1
t2 = u2 + (−1)u1 = (1,1, 0) − (1, 0, 0) = ( 0,1, 0 )
Luego
14
t2 = ( 0,1, 0 )
Convocatoria de febrero -Examen parcial
⎧ b + α b12 + β b11 = 0 ⎫ ⎧2 + α 4 + β 4 = 0 ⎫ ⎧
3
⎫
t3 = u3 + α u2 + β u1 → ⎨ 13
⎬→⎨
⎬ → ⎨α = − , β = 1⎬
2
⎭
⎩b23 + α b22 + β b12 = 0 ⎭ ⎩5 + α 6 + β 4 = 0 ⎭ ⎩
3
⎛ 3⎞
⎛1 1 2⎞
t3 = u3 + ⎜ − ⎟ u2 + (1) u1 = (1,1,1) − (1,1, 0) + (1, 0, 0) = ⎜ , − , ⎟
2
⎝ 2⎠
⎝2 2 2⎠
⎛1 1 2⎞
t3 = ⎜ , − , ⎟
⎝2 2 2⎠
La base
⎧⎪
⎨ 1
⎩⎪
⎫
t , t2 , t3 ⎪⎬⎪ es ortogonal. Para poder trabajar con más comodidad en la
⎭
normalización de los vectores podemos buscar otra base cuyos vectores sean
⎧
⎫
proporcionales a los de ⎪⎨⎪t1 , t2 , t3 ⎪⎬⎪ y cuyas coordenadas sean enteras. Sea pues la
⎩
⎭
siguiente base ortogonal de coordenadas enteras:
⎪⎧
⎨
⎪⎩
t '1 , t '2 , t '3 ⎪⎬⎪ = {(1, 0, 0), (0,1, 0), (1, −1, 2)}
⎫
⎭
Normalización:
t '1 = t '1 t '1 = t1 t1 = u1 u1 = b11 = 4 = 2
ahora podemos usar el hecho de que:
( x1, x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) = ( 2 x1 − x3 ) + ( x2 ) + ( x2 + x3 )
2
t '2 = t '2 t '2 = (0,1, 0) (0,1, 0) =
2
( 0 ) + (1) + (1)
t '3 = t '3 t '3 = (1, −1, 2) (1, −1, 2) =
2
2
2
= 2
( 0 ) + ( −1) + (1)
2
2
2
2
= 2
Finalmente la base ortonormal obtenida, siendo wi =
t 'i
con i = 1, 2, 3 , es la
t 'i
siguiente:
⎧⎪
⎨
⎩⎪
1
1
⎧1
⎫
⎫
w1 , w2 , w3 ⎪⎬⎪ = ⎨ (1, 0, 0),
(0,1, 0),
(1, −1, 2) ⎬
⎭
2
2
⎩2
⎭
d) Para obtener la proyección ortogonal del vector u (−1,3, 2) sobre el SEV
H = (−1,1, 0), (2,1,3) se puede proceder de la siguiente forma (véase la nota 2, al final
del ejercicio):
3
( ) = H ⊕ H ⊥ , el vector u ∈ 3 ( ) puede descomponerse de forma
Puesto que
única como suma de un vector de H más otro de H ⊥ , es decir,
15
Año 1999
u = uH + uH ⊥
lo que nos lleva a :
u (−1,3, 2) = α (−1,1, 0) + β (2,1,3) + uH ⊥
donde α (−1,1, 0) + β (2,1,3) es la proyección ortogonal de u sobre el subespacio
vectorial H
(−1,3, 2) (−1,1, 0) = α (−1,1, 0) (−1,1, 0) + β (2,1,3) (−1,1, 0) + uH ⊥ (−1,1, 0)
(−1,3, 2) (2,1,3) = α (−1,1, 0) (2,1,3) + β (2,1,3) (2,1,3) + uH ⊥ (2,1,3)
Los últimos términos son nulos pues son producto de un vector por un ortogonal a él.
⎛ 4 0 −2 ⎞ ⎛ −1⎞
⎛ −4 ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟
(−1,3, 2) (−1,1, 0) = ( −1 3 2 ) ⎜ 0 2
1⎟ ⎜ 1⎟ = ( −1 3 2 ) ⎜ 2 ⎟ = 16
⎜ −2 1 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎜ 3⎟
⎝
⎠⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ 4 0 −2 ⎞ ⎛ −1⎞
⎛ −4 ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟
(−1,1, 0) (−1,1, 0) = ( −1 1 0 ) ⎜ 0 2
1⎟ ⎜ 1⎟ = ( −1 1 0 ) ⎜ 2 ⎟ = 6
⎜ −2 1 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎜ 3⎟
⎝
⎠⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ 4 0 −2 ⎞ ⎛ −1⎞
⎛ −4 ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟
(2,1,3) (−1,1, 0) = ( 2 1 3) ⎜ 0 2
1⎟ ⎜ 1⎟ = ( 2 1 3) ⎜ 2 ⎟ = 3
⎜ −2 1 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎜ 3⎟
⎝
⎠⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ 4 0 −2 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎛ 2⎞
⎜
⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟
(−1,3, 2) (2,1,3) = ( −1 3 2 ) ⎜ 0 2
1⎟ ⎜ 1⎟ = ( −1 3 2 ) ⎜ 5 ⎟ = 19
⎜ −2 1 2 ⎟ ⎜ 3 ⎟
⎜ 3⎟
⎝
⎠⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ 4 0 −2 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎛ 2⎞
⎜
⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟
(2,1,3) (2,1,3) = ( 2 1 3) ⎜ 0 2
1⎟ ⎜ 1⎟ = ( 2 1 3) ⎜ 5 ⎟ = 18
⎜ −2 1 2 ⎟ ⎜ 3 ⎟
⎜ 3⎟
⎝
⎠⎝ ⎠
⎝ ⎠
y sustituyendo en las dos ecuaciones anteriores:
⎧ 16 = 6α + 3β ⎫ ⎧
7
2⎫
⎨
⎬ → ⎨α = , β = ⎬
3
3⎭
⎩19 = 3α + 18β ⎭ ⎩
luego el vector buscado es:
7
2
(−1,1, 0) + (2,1,3) = ( −1, 3, 2 )
3
3
16
Convocatoria de febrero -Examen parcial
Nota 1: Podemos observar que la proyección ortogonal coincide con el vector que queríamos
proyectar. Esto es debido, lógicamente, a que dicho vector pertenece al subespacio vectorial H.
Nota 2: La resolución de este ejercicio se puede realizar por distintos métodos, por lo que en los
sucesivos ejercicios de otros exámenes utilizaremos otros métodos con el fin de explorar todas las
modalidades y enriquecer de esta forma la capacidad de procedimiento del/la alumno/a.
≈≈≈≈≈≈≈
6. Resuelva los siguientes apartados:
a) Dado el plano π : 4x - 3y + z + 2 = 0 , halle la recta de máxima pendiente de éste
respecto del plano XOY que pasa por P, punto de corte de π con la recta r,
siendo:
⎧z = 0 ⎫
r: ⎨
⎬
⎩x = y ⎭
b) Determine la ecuación del plano que pasa por la recta r, anterior y que dista una
unidad del punto Q(3,2,1).
c) Si el plano π contiene cuatro vértices de un cubo de forma que éstos no
pertenezcan a una misma cara y el punto Q es otro de los vértices, calcule el
volumen del cubo y el vértice Q’, opuesto a Q, que se halla en la misma cara pero
en distinto semiespacio que Q respecto al plano π .
SOLUCIÓN:
17
Año 1999
a) En primer lugar hallamos el punto P
⎧4 x − 3 y + z + 2 = 0 ⎫ ⎧ x + 2 = 0 ⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪
P = π ∩ r ≡ ⎨z = 0
⎬ ≡ ⎨ z = 0 ⎬ → P (−2, −2, 0)
⎪x = y
⎪ ⎪x = y ⎪
⎩
⎭ ⎩
⎭
Para determinar la recta de máxima pendiente según las condiciones del ejercicio
seguiremos el siguiente proceso:
1º) Llamamos α al plano z = 0 y hallamos la recta s = π ∩ α
⎧4 x − 3 y + z + 2 = 0 ⎫ ⎧4 x + 2 + 6 = 3 y + 6 ⎫
s = π ∩α = ⎨
⎬≡⎨
⎬≡
⎩z = 0
⎭ ⎩z = 0
⎭
⎧ 4( x + 2) = 3( y + 2) ⎫ x + 2 y + 2 z
≡⎨
=
=
⎬≡
3
4
0
⎩z = 0
⎭
Nota 1: En realidad sólo nos interesa la dirección de la recta s , con lo que podríamos haber
simplificado calculando (4,-3,1 )× (0,0,1) = (3,4,0 )
2º) Obtenemos ahora un plano auxiliar β que es perpendicular a s y pasa por P.
β ≡ 3x + 4 y + 0 z + D = 0
como pasa por P → 3 ⋅ (−2) + 4 ⋅ ( −2 ) + 0 ⋅ 0 + D = 0 → D = 14 → β ≡ 3x + 4 y + 14 = 0
3º) La recta, t , de máxima pendiente de π respecto al plano α , que pasa por el punto
P , es la intersección de los planos π y β
⎧4 x − 3 y + z + 2 = 0 ⎫ x + 2 y + 2 z
t ≡π ∩β ≡ ⎨
=
=
⎬≡
3
25
⎩ 3x + 4 y + 14 = 0 ⎭ −4
NOTA 2: Otra forma de obtener la forma continua de la recta es forzando un punto de β por
ejemplo (2,-5,z) y obtener z mediante π → z = -25 y buscar la dirección mediante el producto
vectorial de los vectores característicos de π y β → (4,-3,1 )× (3,4,0 ) = (-4,3,25 )
b) Dada la recta r ≡
x y z ⎧ x − y = 0⎫
= = ≡⎨
⎬ consideramos el haz de planos
1 1 0 ⎩z = 0
⎭
concurrentes, es decir,
γ ≡ ( x − y) + λ z = 0
18
Convocatoria de febrero -Examen parcial
De todos los planos del haz buscamos aquel cuya distancia al punto Q sea una unidad,
o sea,
d (Q, γ ) =
Y entonces
( λ + 1)
2+λ
2
2
=1→ λ =
3− 2+ λ
=1
12 + 12 + λ 2
1
1
con lo que γ ≡ ( x − y ) + z = 0 ≡ 2 x − 2 y + z = 0
2
2
c)
c.1) Volumen del cubo
Sea a la longitud de la arista del cubo.
Por lo tanto la diagonal de una de sus caras mide a 2
Dada la posición del plano π respecto del cubo, la del punto Q respecto de π y del
cubo, resulta que:
d (Q, π ) =
a 2
→ a = 2 d (Q, π )
2
Entonces, como:
d (Q, π ) =
4 ⋅ 3 − 3 ⋅ 2 + 1 ⋅1 + 2
42 + (−3) 2 + 12
=
9
9
→a=
26
13
el volumen es :
V=
93
u3
13 13
19
Año 1999
c.2) Cálculo del punto Q’
El punto Q’ es el simétrico de Q respecto de π , así que para su obtención seguiremos
los pasos relativos a los problemas de este tipo.
1º) Hallamos la ecuación de la recta r’ perpendicular a π que pasa por Q:
⎧ x = 3 + 4λ ⎫
x − 3 y − 2 z −1 ⎪
⎪
=
=
≡ ⎨ y = 2 − 3λ ⎬
r'≡
−3
4
1
⎪
⎪
⎩z = 1+ λ ⎭
2º) Calculamos el punto medio, M, del segmento QQ ' , siendo M = π ∩ r '
Sustituyendo las coordenadas genéricas de un punto de la recta r’ en π , obtenemos el
valor del parámetro que determina el punto M:
4(3 + 4λ ) − 3(2 − 3λ ) + 1(1 + λ ) + 2 = 0 → 26λ + 9 = 0 → λ = −
3º) Obtención del punto Q’ a partir de la relación OM =
(
9
⎛ 42 79 17 ⎞
→M⎜ , , ⎟
26
⎝ 26 26 26 ⎠
1
OQ + OQ '
2
)
Sea Q ' ( q1′, q2′ , q3′ ) , entonces:
⎛ 42 79 17 ⎞ 1
⎛ 3 53 4 ⎞
⎜ , , ⎟ = ( ( 3, 2,1) + ( q1′, q2′ , q3′ ) ) → Q ' ( q1′, q2′ , q3′ ) = ⎜ , , ⎟
⎝ 26 26 26 ⎠ 2
⎝ 13 13 13 ⎠
≈≈≈≈≈≈≈
20
Convocatoria de junio - Examen parcial
2º EXAMEN PARCIAL
AMPLIACIÓN DE FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS ( A.T. )
( 08 - 06 - 1999 )
⎧ x4
⎪
1. Sea f(x,y) = ⎨ x 2 + y 2
⎪⎩ 0
(x, y) ≠ (0,0)
. Estudie :
(x, y) = (0,0)
a) La continuidad de la función .
b) ¿ Se verifica que fxy (0,0) = fyx (0,0) ?
2. Dada la función f(x,y) = ln (3x+4y) , halle
∂
n
f
∂ x ∂ y n-k
k
3. Usando el cálculo diferencial, calcule de forma aproximada el valor de la expresión :
e
( 2,01)3 + (1,01)3
tomando 20’09 como valor de e 3
4. Integre la ecuación diferencial (2xy2 - 3y3) dx + (7 - 3xy2) dy = 0
5. Dada la familia uniparamétrica de curvas y2 = 2x2(1- a x) .
a) Obtenga la ecuación diferencial asociada a dicha familia.
b) Halle la familia de trayectorias ortogonales a la mencionada familia de
curvas.
6. Resuelva la Ec. Diferencial Lineal Completa de 3er orden: y′′′ − 8 y = e x cos x
Notas :
„ CADA EJERCICIO se resuelve en UN FOLIO O GRUPO DE FOLIOS.
„ Los ejercicios 1, 2 y 3 son OBLIGATORIOS y de los 3 restantes se ELIGEN
DOS.
„ NO SE PERMITE EL USO DE CALCULADORAS DE NINGÚN TIPO.
„ Cualquier verificación o sospecha de copia emplazará directamente a los
alumnos/as implicados a la convocatoria de septiembre.
„ Cada alumna/o situará su D.N.I u otro documento identificativo (carnet de
conducción) en el ángulo superior derecho de su espacio en la mesa.
„ Cada ejercicio será puntuado sobre 2 puntos.
„ Las notas provisionales saldrán el miércoles 9 de junio por la tarde y la
revisión se efectuará entre jueves,10 de junio, por la tarde y viernes, 11 de
junio, por la mañana según las indicaciones que aparecerán hoy , después
del examen , en el tablón de anuncios.
21
Año 1999
⎧ x4
si (x, y) ≠ (0,0)
⎪
.
1. Sea f(x, y) = ⎨ x 2 + y 2
⎪0
si (x, y) = (0,0)
⎩
Estudie:
a) La continuidad de la función
b) ¿Se verifica que fxy(0,0) = fyx(0,0)?
SOLUCIÓN:
a) Como x 2 + y 2 = 0 ⇒ x = y = 0 , el único punto de posible discontinuidad del campo
escalar, es el origen de coordenadas.
Para estudiar la continuidad del campo en el origen veamos que:
x4
= f (0, 0) = 0
( x , y ) →(0,0) x 2 + y 2
lim
⎧ x = ρ cos θ
Pasando a coordenadas polares ⎨
se tiene:
⎩ y = ρ sin θ
f ( ρ cos θ , ρ sin θ ) =
ρ 4 cos 4 θ
= ρ 2 cos 4 θ
ρ 2 cos 2 θ + ρ 2 sin 2 θ
y como f ( ρ ,θ ) = ρ 2 cos 4 θ ≤ ρ 2 → 0 , el campo escalar es continuo en el origen.
ρ →0
b) Veamos las derivadas parciales en el origen.
h4
2
f (h, 0) − f (0, 0)
= lim h = lim h = 0
f x (0, 0) = lim
h →0
h →0 h
h→0
h
f y (0, 0) = lim
h→0
Si ( x, y ) ≠ ( 0, 0 ) entonces:
f x ( x, y ) =
f (0, h) − f (0, 0)
0
= lim = lim 0 = 0
h
→
0
h
h h→0
4 x 3 ( x 2 + y 2 ) − 2 xx 4
(x
2
+ y2 )
2
=
2 x5 + 4 x3 y 2
(x
2
+ y2 )
2
; f y ( x, y ) = −
(x
2x4 y
2
+ y2 )
2
luego:
⎧ 2 x5 + 4 x3 y 2
⎪⎪
2
f x ( x, y ) = ⎨ ( x 2 + y 2 )
⎪
⎪⎩0
Como:
22
⎧
2 x4 y
−
⎪
2
; f y ( x, y ) = ⎪⎨ ( x 2 + y 2 )
⎪
si ( x, y ) = ( 0, 0 )
⎪⎩0
si ( x, y ) ≠ ( 0, 0 )
si ( x, y ) ≠ ( 0, 0 )
si ( x, y ) = ( 0, 0 )
Convocatoria de junio - Examen parcial
f (0, h) − f x (0, 0)
∂
∂2 f
0
(0, 0) = lim x
= lim = 0
( f x (0, 0) ) =
0
0
→
→
h
h
∂y
∂x∂y
h
h
2
f (h, 0) − f y (0, 0)
∂
∂ f
0
= lim = 0
f yx (0, 0) = ( f y (0, 0) ) =
(0, 0) = lim y
h→0
h →0 h
∂x
∂y∂x
h
f xy (0, 0) =
Se verifica la igualdad f xy (0, 0) = f yx (0, 0)
≈≈≈≈≈≈≈
2. Dada la función f(x,y)=ln(3x+4y) con x, y > 0, halle
∂nf(x, y)
∂x k ∂y n-k
SOLUCIÓN:
Si f ( x, y ) = ln(3x + 4 y ) , se tiene:
∂f
1
0!
=
⋅ 3 = 31 ⋅
∂x 3x + 4 y
3x + 4 y
( −1) ⋅1!
∂2 f
−1
= 3⋅
⋅ 3 = 32
2
2
2
∂x
( 3x + 4 y )
( 3x + 4 y )
1
( −2 ) ⋅ ( −1) ⋅ 3 = 33 ⋅ ( −1) ⋅ 2!
∂3 f
= 32 ⋅
3
3
3
∂x
( 3x + 4 y )
( 3x + 4 y )
2
( −3) ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −1) ⋅ 3 = 34 ⋅ ( −1) ⋅ 3!
∂4 f
= 33 ⋅
4
4
4
∂x
( 3x + 4 y )
( 3x + 4 y )
3
k −1
∂k f
(k − 1)!
k ( −1)
=
3
⋅
(1)
k
k
∂x
( 3x + 4 y )
Veamos ahora que el ensayo de la expresión genérica (1) es cierto para cualquier valor
de k ∈ . Para ello procederemos por inducción completa sobre k:
1. Base de inducción:
Comprobamos que se cumple para k = 1 .
En efecto:
1−1
∂1 f
(1 − 1)!
0!
1 ( −1)
=
3
⋅
= 3⋅
1
1
∂x
( 3x + 4 y )
( 3x + 4 y )
2. Hipótesis de inducción:
Suponemos que se cumple hasta k = p , es decir, suponemos que:
23
Año 1999
p −1
∂p f
( p − 1)!
p ( −1)
=3 ⋅
p
p
∂x
( 3x + 4 y )
3. Paso de inducción:
Veamos que la expresión (1) se cumple para el siguiente valor de k, es decir,
para k = p + 1 .
En efecto:
∂ p +1 f
∂ ⎛ ∂p f ⎞
∂ ⎛ p (−1) p −1 ( p − 1)! ⎞
= ⎜
⎜3 ⋅
⎟=
⎟ =
p
∂x p +1 ∂x ⎝ ∂x p ⎠ Hipótesis ∂x ⎜⎝
3x + 4 y ) ⎟⎠
(
de
inducción
⎞
⎟=
⎟
⎠
⎛
⎞
−p
= 3 p ⋅ (−1) p −1 ⋅ ( ( p − 1)!) ⋅ ⎜
⋅ 3⎟ =
p +1
⎜ ( 3x + 4 y )
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
1
(−1) p ( p)!
p +1
= 3 p +1 ⋅ (−1) p ⋅ ( ( p )!) ⋅ ⎜
=
⋅
3
⎟
p +1
⎜ ( 3 x + 4 y ) p +1 ⎟
( 3x + 4 y )
⎝
⎠
= 3 p ⋅ (−1) p −1 ⋅ ( ( p − 1)!) ⋅
∂ ⎛
1
⎜
∂x ⎜⎝ ( 3x + 4 y ) p
Lo que nos asegura que la expresión (1) se cumple ∀k ∈
(el cambio de
variable en la derivación parcial sólo cambia la expresión respecto al factor que origina
el coeficiente de la misma)
∂ k +1 f
(−1) k k !
(−1) k k !
k
k
=
3
⋅
⋅
4
=
3
⋅
4
⋅
k +1
k +1
∂x k ∂y
( 3x + 4 y )
( 3x + 4 y )
k +1
(−1) k +1 ( k + 1) !
( k + 1)!
∂ k +2 f
2 ( −1)
k
k
= 3 ⋅4⋅
⋅4 = 3 ⋅4 ⋅
k +2
k +2
2
k
∂x ∂y
( 3x + 4 y )
( 3x + 4 y )
k +2
k +2
k + 2 )!
(
( k + 2 )!
∂ k +3 f
k
2 ( −1)
k
3 ( −1)
= 3 ⋅4 ⋅
⋅4 = 3 ⋅4 ⋅
k +3
k +3
k
3
∂x ∂y
( 3x + 4 y )
( 3x + 4 y )
k + m −1
( k + m − 1)! ⋅ 4 = 3k ⋅ 4m (−1)k + m−1 ( k + m − 1)!
∂ k + m f ( x, y )
k
m −1 ( −1)
3
4
=
⋅
k +m
k +m
∂x k ∂y m
( 3x + 4 y )
( 3x + 4 y )
n −1
( n − 1)!
∂n f
k
n − k ( −1)
Y haciendo n = k + m resulta: k n − k = 3 ⋅ 4
n
∂x ∂y
( 3x + 4 y )
≈≈≈≈≈≈≈
24
Convocatoria de junio - Examen parcial
3. Usando el cálculo diferencial, calcule de forma aproximada el valor de la
expresión:
tomando 20.09 como valor de e3.
e
(2.01 )3 + (1.01 )3
SOLUCIÓN:
Aplicando el concepto de diferencial de una función en un punto, tenemos:
f ( x0 + h1 , y0 + h2 )
f ( x0 , y0 ) + df ( x0 , y0 ) ( h1 , h2 ) =
= f ( x0 , y0 ) + f x ( x0 , y0 )h1 + f x ( x0 , y0 ) h2
Consideramos la función f ( x, y ) = e
x3 + y 3
, diferenciable en el punto ( x0 , y0 ) = (2,1) y el
vector de incrementos ( h1 , h2 ) = (0.01, 0.01) , calculamos:
f (2,1) = e
∂f
3x 2
e
=
∂x 2 x 3 + y 3
∂f
3y2
e
=
∂y 2 x 3 + y 3
8 +1
= e3
20.09
x3 + y 3
⇒
∂f
12 3
(2,1) =
e = 2e3 = 40.18
∂x
2 9
x3 + y 3
⇒
∂f
3 3 e3
(2,1) =
e = = 10.045
2
∂x
2 9
Resultando:
⎛ ∂f
⎞
∂f
f (2,1) + ⎜ (2,1) + (2,1) ⎟ 0.01 =
∂y
⎝ ∂x
⎠
= 20.09 + (40.18 + 10.045)0.01 = 20.59225 .
e
2.013 +1.013
= f (2 + 0.01,1 + 0.01)
≈≈≈≈≈≈≈
4. Integre la ecuación diferencial (2xy 2 - 3y 3 ) dx + (7 - 3xy 2 ) dy = 0 .
SOLUCIÓN:
Sea P ( x, y ) = 2 xy 2 − 3 y 3 y sea Q( x, y ) = 7 − 3xy 2 . La ecuación diferencial no es exacta,
ya que:
Py = 4 xy − 9 y 2 ≠ Qx = −3 y 2
Estudiemos el tipo de factor integrante µ ( x, y ) que podemos utilizar para reducir a
exacta la ecuación diferencial dada.
Para ello analizaremos los tipos usuales de factores integrantes:
25
Año 1999
Py − Qx
4 xy − 6 y 2
=
Como el cociente
no depende sólo de x, entonces µ ≠ µ ( x ) .
Q
7 − 3 xy 2
P − Qx 4 xy − 6 y 2 2 y ( 2 x − 3 y ) 2
Como el cociente y
=
=
= sólo depende de y, entonces
2 xy 2 − 3 y 3 y 2 ( 2 x − 3 y ) y
P
µ = µ ( y ) y el factor integrante viene dado por :
µ ( y) = e
−
2
∫ y dy
=
1
y2
Con lo que la siguiente ecuación es diferencial exacta:
P ( x, y ) µ ( y )dx + Q( x, y ) µ ( y ) dy =
2 xy 2 − 3 y 3
7 − 3 xy 2
dx
+
dy = 0
y2
y2
Al ser exacta existe una función F ( x, y ) tal que
∂F
∂F
2 xy 2 − 3 y 3
7 − 3 xy 2
dF =
dx +
dy =
dx +
dy
∂x
∂y
y2
y2
Es decir dF = 0 , por lo que la solución general de la ecuación diferencial es F = cte.
Para hallar la solución general seguiremos 4 pasos (en cualquiera de los dos métodos
que vamos a emplear)
∂F
Método 1: Partimos de
∂x
Paso 1: Expresión inicial de F ( x, y )
∂F
2 xy 2 − 3 y 3
F ( x, y ) = ∫
dx + ϕ ( y ) → F ( x, y ) = ∫
dx + ϕ ( y ) = x 2 − 3 xy + ϕ ( y )
2
∂x
y
Donde ϕ ( y ) es una función que depende sólo de y.
Paso 2: Determinación de ϕ ( y )
Puesto que
7 − 3 xy 2 ∂F ∂ 2
7
=
= ( x − 3 xy + ϕ ( y ) ) → 2 − 3 x = −3 x + ϕ ′ ( y )
2
∂y ∂y
y
y
Resulta ϕ ′ ( y ) =
26
7
7
→ ϕ ( y) = −
2
y
y