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MATEMÁTICAS 6.º CURSO
UNIDAD 4: MÚLTIPLOS Y DIVISORES
OBJETIVOS
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Reconocer y obtener múltiplos de un número.
Calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números.
Reconocer si un número es divisor de otro.
Reconocer si un número es divisible por 2, 3 o 5.
Hallar todos los divisores de un número.
Diferenciar números primos y compuestos.
Calcular el máximo común divisor de dos o más números.
Resolver problemas de m.c.m. y de m.c.d.
Hacer una tabla que recoja los números que cumplen ciertas condiciones,
para resolver problemas.
CONTENIDOS
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Múltiplos de un número.
Cálculo del mínimo común múltiplo.
Divisores de un número.
Criterios de divisibilidad por 2, 3 o 5.
Cálculo de todos los divisores de un número.
Números primos y compuestos.
Cálculo del máximo común divisor.
Resolución de problemas de m.c.m. y de m.c.d.
Construcción de una tabla cuyos números cumplen ciertas condiciones, para
resolver problemas.
 Interés por conocer las relaciones entre los números.
 Valoración de la utilidad de las Matemáticas para resolver cuestiones
prácticas en la vida diaria.
COMPETENCIAS BÁSICAS
Además de desarrollar la Competencia matemática, en esta unidad se
contribuye al desarrollo de las siguientes competencias:
- Interacción con el mundo físico.
- Competencia social y ciudadana.
- Aprender a aprender.
- Tratamiento de la información.
- Autonomía e iniciativa personal.
- Competencia cultural y artística.
- Competencia lingüística.
METODOLOGÍA
Proceso de enseñanza y aprendizaje:
En las páginas iniciales de la unidad 41 el proceso comienza con la
presentación de una fotografía seguida de actividades con el objetivo de
ofrecer a los alumnos y alumnas situaciones reales en la que aparezcan
contenidos relacionados con los que van a estudiar en la unidad.
A continuación, en el apartado Recuerda lo que sabes se muestran a los
alumnos contenidos sobre división exacta y división entera. Varias actividades
ayudan en esta tarea. Y en el apartado Vas a aprender se presentan los
contenidos que se estudiarán a lo largo de la unidad.
Después se presentan las diversas tareas de la unidad: Múltiplos de un
número, Mínimo común múltiplo, Divisores de un número, Criterios de
divisibilidad por 2, 3 y 5, Cálculo de todos los divisores de un número, Números
primos y compuestos y Máximo común divisor. Mediante un trabajo
secuenciado se pretende conseguir que los alumnos comprendan los
conceptos y procedimientos tratados en cada tarea y los apliquen en
situaciones reales y cotidianas para ellos. El trabajo secuencial comienza con
una exposición del contenido; seguido de una serie de actividades
secuenciadas por grado de dificultad para que el alumno aplique lo aprendido.
Al final de algunas de estas dobles páginas se incluye un apartado denominado
Cálculo mental y en otras un apartado denominado Razonamiento.
Tras los contenidos aparece una doble página que presenta actividades
prácticas donde los alumnos aplicarán los conceptos clave que han aprendido
en las páginas anteriores. Al final de esta doble página, en el apartado Eres
capaz de… se proponen actividades con el objetivo de hacer grupos iguales.
Como cierre, se presentan dos páginas más; una con el apartado titulado
Solución de problemas donde se incluye un ejemplo resuelto sobre los pasos
necesarios para resolver un problema y a continuación se proponen varias
actividades para que los alumnos apliquen lo que acaban de estudiar. En la
última página de la unidad, en el apartado Repasa se proponen ejercicios y
problemas para afianzar los contenidos fundamentales de la unidad. Así el
profesor puede verificar si los alumnos comprenden y asimilan adecuadamente
la materia a lo largo del curso.
Sugerencia de temporalización:
2.ª quincena de noviembre.
Recursos:
-
Libro del alumno Matemáticas 6.
Guía del profesor Matemáticas 6.
Láminas de aula.
100 propuestas para mejorar la competencia matemática.
Material de aula.
Refuerzo y ampliación.
Cuaderno de práctica. Primer trimestre.
Recursos para la evaluación.
Manual de ESTUDIO EFICAZ.
ACTIVIDADES Y SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
- En la página 46, dialogar con los alumnos sobre la fotografía presentada,
nombrando ejemplos de situaciones cotidianas donde calculamos
multiplicaciones y divisiones para obtener el número de objetos que
deseamos. Leer y realizar en común las actividades propuestas. Después,
escribir en la pizarra otros ejemplos de productos que se adquieran en
grupos de varias unidades y pedir a los alumnos que inventen nuevas
preguntas para contestar en común.
- En Recuerda lo que sabes, repasar con los alumnos los dos tipos de
divisiones (exacta y entera) y las relaciones que se cumplen entre sus
términos. Llamar especial atención sobre la relación entre la multiplicación y
la división exacta.
- Otras formas de empezar. Mostrar una bolsa o una caja y explicar que tiene
en ella una o varias monedas (o billetes) todos iguales. Plantear con esta
situación las siguientes cuestiones, para resolver en común:
- En la bolsa hay monedas de 2 €. ¿Cuánto dinero puede haber?
- En la bolsa hay billetes de 5 €. En total hay más de 20 € y menos de 80 €.
¿Cuánto dinero puede haber?
- En la bolsa hay 46 €. ¿Puede ser en monedas de 2 €? ¿Y en billetes de
10 €?
- En la bolsa hay 30 €. ¿En qué monedas puede ser? ¿Y en qué billetes?
Cambiar después las cantidades de dinero o el valor de las monedas y
billetes para realizar otros ejercicios similares.
- Para explicar la página 48, leer la situación propuesta y comentar con los
alumnos cómo pueden calcular cuántas naves puede comprar Quique.
Explicar, a partir de los productos obtenidos, el concepto de múltiplo y
recordarles que el primer múltiplo siempre es 0.
Luego, explicar cómo podemos saber si un número es múltiplo o no de otro,
según sea la división de ambos exacta o entera.
- Relacionar la situación planteada en el cuadro Para reforzar con la fotografía
de la página inicial y poner ejemplos de múltiplos con algunos productos
nombrados al trabajarla.
- Escribir en la pizarra varias series cuyo criterio de formación sea sumar
siempre el mismo número, para que los alumnos las calculen mentalmente y
uno de ellos escribir los términos en la pizarra. Repetir cada criterio en dos
series, una comenzando por un número múltiplo del número a sumar y otra
en la que no lo sea. Por ejemplo:
- Suma 2 cada vez: 46, 48…
- Suma 5 cada vez: 60, 65…
- Suma 2 cada vez: 35, 37…
- Suma 5 cada vez: 72, 77…
En cada pareja de series, preguntar a los alumnos si el primer término es
múltiplo o no del número que se suma, si creen que el resto de los términos
serán también (o tampoco) múltiplos de él, y pedirles que lo comprueben.
- Para explicar la página 49 leer el enunciado completo del problema y
comentar la situación. A continuación, trabajarlo frase a frase, razonando
con los alumnos su significado y el cálculo matemático que deben realizar en
cada caso. Escribir en la pizarra los múltiplos de ambos números, rodear los
comunes y pedir a los alumnos que busquen el menor, distinto de cero.
Explicar que este es el mínimo común múltiplo de 2 y 3 y escribirlo de forma
abreviada.
- Aprovechar la estrategia sobre releer y explicar un procedimiento que
aparece en la página 54 del manual de ESTUDIO EFICAZ y escribir en la
pizarra el título del epígrafe de esta página para que los alumnos, señalando
las palabras de derecha a izquierda, expliquen los tres pasos trabajados.
- Proponer a los alumnos actividades de cálculo del m.c.m. de tres o más
números. Señalar que el proceso a seguir es el mismo que ya conocen para
dos números:
1.
Escribir los primeros múltiplos de cada número.
2.
Seleccionar los múltiplos comunes a todos ellos.
3.
Elegir el menor distinto de cero.
Por ejemplo:
- m.c.m. (2, 3 y 5)
- m.c.m. (6, 10 y 12)
- m.c.m. (4, 6 y 9)
- m.c.m. (10, 20 y 50)
- Resolver en común el problema de la página 50 y, a partir de la solución,
explicar el concepto de divisor.
Es importante que los alumnos relacionen los conceptos divisor y múltiplo, y
se den cuenta de que en una división exacta, tanto el divisor como el
cociente son divisores del dividendo. Para ello, escribir en la pizarra:
3x2=6  6:3=2 y 6:2=3
Verbalice las relaciones entre los números: … es múltiplo de …, … es divisor
de …
- Pedir a los alumnos que completen las siguientes frases, para trabajar la
relación múltiplo-divisor.
- El número 20 (24, 30, 42…) es múltiplo de …
- El número 3 (4, 5, 10…) es divisor de …
Razonar con ellos que para completar las frases del primer tipo, han hallado
un divisor del número dado, y que para completar las frases del segundo tipo
han calculado un múltiplo del número.
- Para explicar la página 51 comentar que los criterios de divisibilidad sólo son
reglas que facilitan el cálculo. Explicar los tres y poner varios ejemplos para
resolver colectivamente.
- Leer el bocadillo de la ilustración y explicar que las tres expresiones indican
lo mismo. Después de trabajar cada criterio de divisibilidad con los números
42 y 65, pedir a los alumnos que expresen la relación de las tres formas.
- Aprovechar los ejemplos de inferencias que aparecen en la página 12 del
manual de ESTUDIO EFICAZ y plantear la actividad 3 para que los alumnos
descubran y verbalicen el criterio de divisibilidad por 10.
- Plantear a los alumnos la siguiente pregunta para que razonen y expliquen la
respuesta:
- El número 2 es un número primo. ¿Existe otro número par que sea
primo? ¿Por qué?
- Plantear a los alumnos las siguientes preguntas para que descubran el
criterio de divisibilidad por 6. Después, pedirles que escriban los números
42, 54, 60, 87, 96, 108… y lo comprueben.
- El número 6 es divisible por 2 y también es divisible por 3.
- ¿Serán todos los múltiplos de 6 divisibles por 2 y también por 3?
- ¿Podemos afirmar que si un número es divisible por 2 y por 3, también es
divisible por 6?
- Leer el problema propuesto en la página 52 y resolverlo en la pizarra como
aplicación del concepto de divisor trabajado en la página 50. Hacer especial
hincapié en el orden para no olvidar ninguno y en la obtención de dos
divisores de cada división exacta.
- Comentar a los alumnos que los griegos fueron grandes aficionados a los
números y que descubrieron muchas curiosidades sobre ellos. Por ejemplo,
sumaban todos los divisores de un número menos él mismo. Si sumaban
más que él decían que ese número era “abundante”; si sumaban menos,
decían que era “deficiente” y si sumaban igual, “perfecto”. Escribir en la
pizarra los números 12, 10 y 6 y comprobar en común que son un número
abundante, uno deficiente y uno perfecto, respectivamente. Después,
animarles a que busquen otros ejemplos de cada tipo de número.
- Leer el problema propuesto en la página 53 y calcular en común los
divisores de cada número. Indicar, con los números 13 y 14, cuándo un
número es primo o compuesto y poner otros ejemplos para clasificar
colectivamente.
Comentar que todo número es primo o compuesto porque todo número tiene
como mínimo los divisores 1 y él mismo.
- En la actividad 2 se realiza la llamada criba de Eratóstenes, para obtener los
primeros números primos. Animar a los alumnos a fijarse en dichos números
pues les resultará muy práctico al trabajar contenidos posteriores
(descomposición en factores primos, simplificación de fracciones, etc.).
- Explicar los pasos para escribir un número en forma de producto de números
primos; por ejemplo, el número 30:
1. Divide el número entre un número primo, empezando por 2 hasta que
la división sea exacta.
2. Toma el cociente obtenido como dividendo y repite el 1.º paso,
empezando con el mismo divisor que el de la última división.
3. Repite el 2.º paso hasta que el cociente sea 1.
4. Escribe el número como un producto en el que los factores son los
divisores de las divisiones exactas.
30 : 2 = 15  15 : 2
15 : 3 = 5  5 : 3
30 = 2 x 3 x 5
5:5 =1
- Escribir en la pizarra “mínimo común múltiplo de dos números” y recordar
que es el menor de los múltiplos comunes de ambos números, sin contar el
cero. A continuación, escribir debajo “máximo común divisor de dos
números” y animar a los alumnos a definirlo de manera similar: es el mayor
de los divisores comunes de ambos números.
- Explicar y trabajar el máximo común divisor de forma similar a como se hizo
con el mínimo común múltiplo. Comentar colectivamente el enunciado frase
a frase y escribir en la pizarra los divisores de ambos números, rodee los
comunes y pedir a los alumnos que busquen el mayor.
- Proponer a los alumnos actividades de cálculo del m.c.d. de tres o más
números. Señalar que el proceso a seguir es el mismo que ya conocen para
dos números:
1. Determinar todos los divisores de cada número.
2. Seleccionar los divisores comunes a todos ellos.
3. Elegir el mayor.
Por ejemplo:
- m.c.d. (4, 6 y 10)
- m.c.d. (18, 30 y 50)
- m.c.d. (12, 30 y 45)
- m.c.d. (24, 30 y 42)
- Al estudiar la página 56 escribir en la pizarra los números 10 y 21 e indicar a
los alumnos que calculen los divisores de cada número y rodeen los
comunes.
Divisores de 10: 1 , 2, 5 y 10 Divisores de 21: 1 , 3, 7 y 21
Comentar que el número 10 no es primo y el número 21 tampoco, pero sólo
tienen en común el divisor 1. Explicar que a estos números se les llama
primos entre sí (sean o no primos cada uno).
A continuación, escribir en la pizarra varias parejas de números, por ejemplo:
6 y 7, 9 y 15, 5 y 11, 8 y 25…
Pedirles que averigüen en cada caso si son o no primos entre sí y después,
calculen el m.c.d. y el m.c.m de las parejas de números primos entre sí.
Hacerles observar que el m.c.d. es siempre 1 y el m.c.m. es el producto de
ambos.
- Indicar a los alumnos que escriban en una hoja los diez primeros múltiplos
de los números 3, 4, 6 y 8, y en otra hoja todos los divisores de los números
10, 12, 15 y 20. Después pedirles que, mirando la hoja correspondiente,
digan cuál es el m.c.m. y el m.c.d. de cada pareja y de cada trío de números.
El m.c.m. de:
El m.c.d. de:
3y4 4y6
3, 4 y 6
10 y 12 12 y 15
10, 12 y 15
3y6 4y8
3, 4 y 8
10 y 15 12 y 20
10, 12 y 20
3y8 6y8
3, 6 y 8
10 y 20 15 y 20
10, 15 y 20
4, 6 y 8
12, 15 y 20
- Programa de ESTUDIO EFICAZ. Al terminar la unidad, hacer que los
alumnos completen una tabla como esta:
Unidad 4 Múltiplos y divisores
Lo que he aprendido Lo que he aprendido a
hacer
Múltiplos de un número
Mínimo común múltiplo
Divisores de un número
Criterios de divisibilidad
Números primos y
compuestos
Máximo común divisor
- Leer el problema resuelto en la página 58 y plantear posibles soluciones
para que los alumnos digan en cada caso si es válida o no y por qué.
Aprovechar estas contestaciones para comentar las condiciones del
problema, plantearlas matemáticamente y construir así la tabla en la pizarra.
Razonar colectivamente la solución, a partir de los números de la tabla.
- Al resolver los demás problemas pedir a varios alumnos que expliquen cómo
han obtenido los números de cada tabla.
- Proponer a los alumnos otros problemas similares. Por ejemplo:
- En la clase de Álvaro hay menos de 35 alumnos. Si colocan las mesas de
3 en 3 o de 4 en 4, no sobra ninguna, pero si las colocan de 5 en 5, el
último grupo sólo tiene 4. ¿Cuántos alumnos hay en la clase de Álvaro?
- Al final, relacionar las condiciones del problema anterior con los conceptos
de múltiplo y divisor trabajados en la unidad. Comentar que la solución será
un múltiplo de 3 y de 4, pero no de 5. Pedir a los alumnos que lo
comprueben.
- Repaso en común. Dividir a los alumnos en grupos y pedir a cada grupo que
prepare un cuadernillo donde se recojan los principales conceptos y
procedimientos estudiados, cada uno en una página. Determinar en común
los títulos de las páginas y las definiciones y ejemplos que se deben
desarrollar en cada una de ellas. Por ejemplo:
1. Múltiplos y divisores: Cuándo un número es múltiplo o divisor de otro y un
ejemplo de cada.
2. Mínimo común múltiplo de dos números: Qué es y ejemplo.
3. Máximo común divisor de dos números: Qué es y ejemplo.
4. Números primos y compuestos: qué son y ejemplos.
Al final, pedir a cada grupo que exponga al resto de la clase una de las
páginas de su cuadernillo.
Actividades específicas para desarrollar otras competencias básicas:
Interacción con el mundo físico
- Aprovechar el diálogo sobre la situación presentada en la fotografía de la
página 46 para que los alumnos tomen conciencia de la necesidad de
realizar cálculos matemáticos en muchas actividades cotidianas.
Competencia social y ciudadana
- Comentar con los alumnos la importancia de decidir qué necesitamos y
queremos antes de comprarlo, fomentando el consumo responsable.
Aprender a aprender
- Hacer observar a los alumnos que los múltiplos de 3 calculados coinciden
con los primeros números de la tabla del 3 y poner otros ejemplos. Animarles
así a relacionar los contenidos nuevos que van aprendiendo con conceptos
ya conocidos.
- La resolución de estas actividades favorece en el alumno la capacidad de
autoevaluar sus progresos, potenciando la responsabilidad y el afán de
superación.
Tratamiento de la información
- Insistir en la relación múltiplo-divisor, comentando que la expresión de una
relación entre dos números nos informa también de la relación inversa.
- La organización de datos o expresión numérica de condiciones en tablas
fomenta en los alumnos el orden y la sistematización en la obtención y
manejo de información.
Competencia cultural y artística
- Poner ejemplos de ocasiones en las que la obtención de los divisores de un
número es útil para hacer grupos de personas u objetos al organizar
actividades culturales como representaciones, exposiciones y visitas, o para
presentar de forma ordenada y estética el resultado de nuestro trabajo.
Autonomía e iniciativa personal
- Al trabajar los problemas propuestos fomentar en los alumnos la lectura
comprensiva y la iniciativa para elegir el cálculo del m.c.m. o el m.c.d., así
como la autonomía en el procedimiento a seguir.
Competencia lingüística
- Fomentar en los alumnos la expresión oral, pidiéndoles que expliquen con
sus palabras el enunciado de cada problema, justifiquen la elección del
cálculo a realizar y que expliquen el procedimiento de resolución de forma
ordenada y utilizando con rigor el vocabulario.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
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Reconoce si un número es múltiplo de otro.
Calcula el mínimo común múltiplo de dos o más números.
Reconoce si un número es divisor de otro.
Reconoce si un número es divisible por 2, 3 o 5.
Halla todos los divisores de un número.
Determina si un número es primo o compuesto.
Calcula el máximo común divisor de dos o más números.
Resuelve problemas de m.c.m. y de m.c.d.
Hacer una tabla para resolver problemas.