Download tema.3 aprende lógica

LA
LÓGICA
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3. LA LÓGICA
OBJETIVOS
CONCEPTOS
PRESENTACIÓN Y PLAN DE TRABAJO. EN ESTE TEMA
VAS A APRENDER LO SIGUIENTE:
ACTIVIDADES
1. BLOQUE
Conocer qué
y sus FILOSÓFICO
1.
DEFINICIÓN Y
1 es la lógica
EL SABER
carcaterísticas
CARACTERÍSTICAS DE LA
2. Ejercitarse en la páctica de la
LÓGICA
lógica proposicionl..
2. LA LÓGICA PROPSICIONAL
3. Estudiar la lógica informal y
3. LA LÓGICA INFORMAL
los distintos tipos de falacias.
1.
Lectura del tema
2. Actividades en el cuaderno de clase.
3. Vocabulario
4. Comentario Textos.
6. Pruebas objetivas
7. Debates Plan de Discusión.
AUTOEVALUACIÓN ¿Cómo he realizado mi trabajo en este tema?
Baremo: B: Bien , si lo hecho
M: Mal, no lo hecho
NM : necesito mejorar
He aprovechado el
tiempo en clase
He revisado la ortografía, sintaxis
y redacción.
He buscado la información en
diversas fuentes.
He entregado los
trabajos a tiempo.
He estado atento en durante las
explicaciones en clase
He colaborado con mis
compañeros en los trabajos
He presentando los
trabajos limpios y
ordenados, con buena
caligrafía.
He mantenido una actitud positiva
y respetuosa en clase
He realizado mi trabajo de
forma autónoma sin copiarme
de mis compañeros
He elaborado los
esquemas, resúmenes y
comentarios de forma
correcta.
He analizado críticamente el tema
Conozco los contenidos del
tema y puedo explicarlos por
escrito y oralmente.
MI OPINIÓN
LA OPINIÓN DEL
PROFESOR
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LA
LÓGICA
2
La lógica debe cuidarse de sí misma. Todo lo que es posible en la lógica está también permitido. En cierto sentido, no podemos equivocarnos en la lógica. -Ludwig
Wittgenstein, Tractatus Logico Philosophicus, 5.473
LA LÓGICA
http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/
http://didactalia.net/comunidad/materialeducativo/recurso/Aprende-Logica/7072d421-3fe6-4e18-b90e-018449ab17bc
GUÍA DE UTILIZACIÓN PARA EL ALUMNO
Esta guía tiene estas cuatro partes:

¿Qué es Aprende Lógica?

Estructura de Aprende Lógica

Navegación

Contenidos
¿ Qué es Aprende Lógica?
Aprende Lógica (AL) es una aplicación interactiva escrita en lenguaje HTML y JavaScript que permite a los alumnos de Filosofía de primero de Bachillerato estudiar,
practicar, evaluar y ampliar los contenidos referidos a la lógica proposicional.
Estructura de Aprende Lógica
AL tiene cuatro grandes apartados:
1. Temas
2. Actividades
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LA
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3. Evaluación
4. Glosario
Además, como recursos auxiliares para la aplicación del material dispone de:

un sistema de ayuda,

una guía para el alumno (este documento)

una guía de aplicación didáctica para el profesor.

Un generador de tablas de verdad escrito en JavaScript
Navegación
Para acceder a los contenidos de AL hay varias opciones:
1. La primera es acceder desde la página de presentación a los menús de cada uno de los cuatro apartados. En cada uno de ellos hay un menú situado a la izquierda
que da acceso a los contenidos.
2. La segunda es acceder a cada uno de los cuatro apartados desde la barra superior, que siempre está accesible en AL. Esta barra contiene botones que dan acceso
directo a cualquiera de las cuatro secciones principales de la aplicación, y además, a la ayuda y al generador de tablas de verdad, al sistema de ayuda, al glosario y a
la página de inicio.
Por lo tanto, es bastante sencillo acceder a cualquier contenido de AL prácticamente desde cualquiera de sus páginas.
Contenidos
AL tiene cuatro secciones: (I) temas, (II) actividades, (III) evaluación y (IV) glosario. Cada una de estas secciones está relacionada con las demás, aunque también tenga una
entidad relativamente autónoma. Revisémoslas rápidamente:
I. Los cinco temas de Lógica proposicional o de enunciados que pueden estudiarse, practicarse, evaluarse y aplicarse con AL son:
1. Conceptos básicos de Lógica
2. El lenguaje de la Lógica
3. Tablas de verdad
4. Las leyes de la lógica
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5. El cálculo deductivo
Estos cinco temas se han diseñado para que se acceda a sus contenidos de forma secuencial, esto es, siguiendo un orden preestablecido que, no obstante, se puede
modificar según las indicaciones del profesor.
La utilización típica de los temas en AL incluye ir visitando ordenadamente cada una de las páginas de cada tema, realizando las actividades de práctica guiada insertas en
los mismos temas. En estos casos a veces se proporcionan indicaciones auxiliares en la barra de la derecha que, o bien aparecen automáticamente cuando se carga la
página, o bien se pueden invocar mediante enlaces con el icono
Como en cada uno de los temas hay enlaces con las secciones de Actividades y de Evaluación, se deja abierta la opción de practicar y evaluar cada uno de los temas a
medida que se va progresando en ellos, sin necesidad de esperar a concluir el trabajo sobre un tema para comenzar con las Actividades o la Evaluación correspondientes. Si
se interrumpe una sesión de estudio abandonando la sección de temas para acceder a sus correspondientes actividades o evaluación, siempre se podrá volver al punto del
tema que se ha abandonado pulsando el botón situado al final de cada actividad y evaluación.
II. La sección de Actividades tiene dos partes: las actividades de cada tema, clasificadas por su nivel de dificultad, y una sección de juegos lógicos.
Cada uno de los cinco temas tiene un apartado en la sección de Actividades. El menú de las actividades también está situado a la izquierda, de forma que siempre que se
esté en esta sección se puede acceder al menú de actividades de cada tema, que se dispone en la parte central-derecha del navegador. Hay varias formas de acceder a las
actividades:
1. La primera es desde el submenú “Actividades ordenadas por temas”, que da acceso a cinco pantallas con sus correspondientes listas de actividades clasificadas por
orden de dificultad. Se han establecido tres niveles de dificultad que se estima que requieren un nivel progresivo de dominio de los temas por parte de los alumnos.
Estos tres niveles son “iniciación”, “refuerzo” y “avanzado”. Las actividades de iniciación suponen un nivel más elemental e indispensable de dominio del contenido,
mientras que las actividades del nivel “avanzado” con frecuencia recurren a direcciones externas (que requieren una conexión a internet) a AL para ampliar
contenidos o dar una enfoque algo diferente al utilizado en AL. Las actividades que requieren una conexión a internet por recurrir a recursos externos a AL siempre
llevan adosado el siguiente icono:
2. La segunda es solicitando una de estas actividad al azar, accionando el botón
3. La tercera es desde el correspondiente apartado de cada tema, para que se puedan ejercitar de manera inmediata los conceptos expuestos en cada tema.
Los tres juegos que se incluyen en esta sección de Actividades tienen su propia explicación detallada en sus propias páginas, y también se accede a ellos desde la barra de la
izquierda de esta sección de actividades.
III. La sección de evaluaciones contiene series de ejercicios interactivos referidos a cada uno de los cinco temas. Es importante que, como estudiante, vayas tomando
conciencia de que la autoevaluación del aprendizaje forma parte del mismo proceso de aprender. En términos generales, sería deseable que llegaras también al
convencimiento de lo importante que resulta tener en la vida una actitud reflexiva y crítica sobre uno mismo.
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Al terminar de hacer estos ejercicios se obtiene un informe sobre las preguntas respondidas correcta e incorrectamente, así como el porcentaje de aciertos y un comentario
verbal. Lo ideal sería acceder a esta sección después de completar las prácticas y las actividades de cada tema. El mismo hecho de realizar actividades de evaluación puede
servir para consolidar tus aprendizajes. Siempre es útil revisar los conceptos en los que más se ha fallado en los temas de AL, y también en el glosario y en las actividades
complementarias.
IV. Por último, el glosario de AL tiene, por el momento 82 entradas correspondientes a algunos de los conceptos más utilizados en la lógica proposicional. Este glosario es
una especie de diccionario que proporciona definiciones más o menos formales de los conceptos clave. Con frecuencia también se ofrecen ejemplos, y casi siempre enlaces
con otros conceptos relacionados del mismo glosario, de los temas (con el botón “ Ir al texto” o bien con recursos de internet donde se puede ampliar el tema. Darse un
paseo por el glosario es, por sí mismo, un ejercicio muy estimulante que puede ayudar a forjarse una idea más clara de las relaciones que hay entre los conceptos.
En caso de que surja alguna duda sobre la aplicación, siempre tienes a tu disposición la ayuda haciendo clic en el icono
de la barra superior.
Además de estos cuatro apartados, AL tiene un Generador de tablas de verdad, que tienen sus propias instrucciones, y que se abre en una nueva ventana al hacer clic en el
botón:
.
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Conceptos básicos de Lógica
1. ¿De qué trata la lógica?
Las personas constantemente tomamos decisiones acerca de lo que creemos que es verdadero en distintos aspectos de nuestras vidas. Aunque todo el mundo está de
acuerdo en preferir creer lo que es verdad, con frecuencia discrepamos sobre lo que es verdadero en casos particulares. Si bien muchas de nuestras convicciones
fundamentales sobre el mundo que nos rodea las adquirimos de cualquier manera en lugar de mediante el uso de la razón, todos reconocemos que nuestras creencias
sobre el mundo y los hechos que acaecen en el mismo mundo están de algún modo ligadas.
Por ejemplo, si yo creo que todos los perros son mamíferos y que todos los mamíferos son seres racionales, entonces tendría sentido para mí suponer que todos los
perros son seres racionales. En este caso, incluso quien (acertadamente) discrepara con mi comprensión de las clasificaciones biológicas podría apreciar la forma
consistente y razonable en que he utilizado mis creencias erróneas como base sobre la que establecer nuevas creencias. Por otra parte, si llego a la conclusión de que
Alonso Quijano es español porque creo que Alonso Quijano es un personaje de José Zorrilla, y que algunos españoles son personajes de José Zorrilla, entonces incluso
alguien que esté de acuerdo con mi conclusión me reprochará (de nuevo acertadamente) no haber dado buenas razones para apoyarla.
En conclusión, podemos estar de acuerdo con el camino que sigue un razonamiento aunque discrepemos de sus puntos de partida y de llegada. Es decir, es posible
distinguir los razonamientos válidos de los invalidos independientemente de que estemos o no de acuerdo con el contenido que expresen dichos razonamientos.
Dicho de forma muy simple, la lógica es la disciplina que estudia esta distinción determinando las condiciones bajo las cuales la verdad de ciertas
creencias conduce con certeza a la verdad de alguna otra creencia. La lógica estudia, pues, los principios de los razonamientos correctos.
Hay que apresurarse a señalar que la lógica no garantiza que siempre lleguemos a conclusiones verdaderas, ya que algunas veces las creencias de las que partimos
son erróneas (como suponer que todos los mamíferos son seres racionales, en el ejemplo anterior). Lo que sí garantiza la lógica es que siguiendo los principios de los
razonamientos correctos, no surgan otros errores aparte de los derivados de la posible falsedad de los conocimientos que sustancian nuestros razonamientos.
En esta primera parte de introducción a la lógica estudiaremos los siguientes bloques de conceptos que subyacen a la aproximación intuitiva que acabamos de
exponer:




en qué consisten las proposiciones
la estructura de los argumentos y noción de inferencia
la distinción entre lógica formal y lógica material
la diferencia entre verdad, validez y solidez de los argumentos
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LA
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LÓGICA
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los tipos de inferencia, distinguiendo entre inferencias deductivas e inductivas
Continuemos en la siguiente sección viendo en qué consisten las proposiciones.
Los enunciados o proposiciones lógicas
¿Qué es un enunciado lógico?
Una proposición o enunciado es el significado de cualquier frase declarativa (o enunciativa) que pueda ser o verdadera (V) o falsa (F). Nos referimos a V o a F como
los valores de verdad del enunciado.
Ejemplo 1: las proposiciones







La frase "1=1" es un enunciado, puesto que puede ser verdadero o falso. Como resulta que es un enunciado verdadero, su valor de verdad es V.
La frase "1=0" también es un enunciado, pero su valor de verdad es F.
"Lloverá mañana" es una proposición. Para conocer su valor de verdad habrá que esperar hasta mañana.
El siguiente enunciado podría salir de la boca de un enfermo mental: "Si soy Napoleón, entonces no soy Napoleón". Este enunciado, como veremos más
adelante, equivale al enunciado "No soy Napoleón". Como el hablante no es Napoleón, es un enunciado verdadero.
"Haz los ejercicios de lógica" no es un enunciado, puesto que no se le puede asignar ningún valor de verdad (Está en modo imperativo, es una orden, y no una
frase declarativa)
"Haz el amor y no la guerra" tampoco es un enunciado, puesto que no se le puede asignar ningún valor de verdad (También está en modo imperativo, es una
orden, y no una frase declarativa)
"El perro" no es una proposición, puesto que no es ni siquiera una frase completa (al menos en este contexto).
Los enunciados como resultado de los juicios
El acto mental que tiene como resultado una proposición o enunciado se denomina juicio (sustantivo, del verbo enjuiciar). La expresión verbal de un juicio es un
enunciado. Los seres humanos realizamos un juicio cada vez que pensamos que algo es alguna otra cosa (a lo que llamamos afirmación), y también cuando pensamos
que algo no es otra cosa (a lo que llamamos negación). En consonancia con lo que decíamos al principio, enjuiciar consiste en afirmar o negar.
Si tú piensas que este ordenador es complicado, entonces estás ejecutando un juicio. Si expresas verbalmente este juicio, lo habrás de hacer en forma de un
enunciado o proposición: la proposición "Este ordenador es complicado". El juicio es el acto mental que ocurre cuando piensas que este ordenador es complicado, y la
proposición es la oración que construyes para expresar dicho pensamiento.
Fíjate bien en esto...
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Los enunciados son diferentes de las oraciones que los contienen. Así, "Fulanito ama a Menganita" expresa exactamente la misma proposición que "Menganita es
amada por Fulanito". En los enunciados lo esencial es el significado de la frase enunciativa.
De manera análoga, la proposición "Hoy llueve aquí" se puede utilizar para transmitir diferentes proposiciones, dependiendo del lugar y del momento en que se
encuentre la persona que profiera dicho enunciado ("El 15 de agosto de 2003 llueve en León", "El 31 de octubre de 2011 llueve en Madrid", etc.). En este caso, el
momento y el lugar hacen cambiar el significado del enunciado, de manera que su valor de verdad depende de estas circunstancias.
Pero, cada proposición es o bien verdadera o bien falsa. En algunas ocasiones, por supuesto, no conocemos cuál de estos valores de verdad (verdadero o falso) es el
que tiene una determinada proposición, (por ej. "Hay vida inteligente fuera del planeta Tierra") pero podemos estar seguros de que tiene o uno u otro.
Práctica sobre los enunciados
Contesta a las siguientes preguntas teniendo presente lo que acabamos de comentar sobre lo que es y no es un enunciado o proposición.
es una proposición con valor de verdad V
"El sol no es un astro"
es una proposición con valor de verdad F
no es una proposición
es una proposición con valor de verdad V
"El lago de los cisnes"
es una proposición con valor de verdad F
no es una proposición
es una proposición con valor de verdad V
"2+2=4"
es una proposición con valor de verdad F
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no es una proposición
La importancia de los enunciados o proposiciones radica en que son las unidades que utiliza la lógica para formar argumentos. Continuemos la
siguiente sección viendo de qué elementos se compone un argumento y el papel que tiene en dicho contexto el concepto de inferencia.
Práctica sobre las proposiciones
Contesta a las siguientes preguntas teniendo presente si cumplen los requisitos para ser una proposición. En caso afirmativo, especifica si es una
proposición verdadera o falsa.
es una proposición con
valor de verdad V
"Algunos perros ladran"
es una proposición con
valor de verdad F
no es una proposición
es una proposición con
valor de verdad V
"El rey de Francia es calvo"
es una proposición con
valor de verdad F
no es una proposición
"La vida inteligente abunda en el
universo"
es una proposición con
valor de verdad V
es una proposición con
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valor de verdad F
no es una proposición
es una proposición con
valor de verdad V
"La constitución inglesa tiene faltas de
ortografía"
es una proposición con
valor de verdad F
no es una proposición
es una proposición con
valor de verdad V
"Francia es una república, y en Francia
no tienen rey"
es una proposición con
valor de verdad F
no es una proposición
es una proposición con
valor de verdad V
"En Inglaterra no tienen escrita su
constitución en un único documento"
es una proposición con
valor de verdad F
no es una proposición
"En un lugar de la Mancha"
es una proposición con
valor de verdad V
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Miguel de Cervantes
es una proposición con
valor de verdad F
no es una proposición
es una proposición con
valor de verdad V
"¡Venid aquí ipso facto!"
Don Pantuflo Zapatilla a sus hijos, Zipi y Zape
es una proposición con
valor de verdad F
no es una proposición
es una proposición con
valor de verdad V
"¿Cómo están ustedes?"
Gabi, Miliki, Fofito y Milikito
es una proposición con
valor de verdad F
no es una proposición
es una proposición con
valor de verdad V
"Rouen es la capital de Francia"
es una proposición con
valor de verdad F
no es una proposición
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Argumentos e inferencia
La principal tarea de la lógica es la de averiguar cómo la verdad de una determinada proposición está conectada con la verdad de otra. En lógica habitualmente se
trabaja con grupos de proposiciones relacionadas.
Un argumento es un conjunto de dos o más proposiciones relacionadas unas con las otras de tal manera que las proposiciones llamadas 'premisas'
se supone que dan soporte a la proposición denominada 'conclusión'.
La transición o movimiento desde las premisas hasta la conclusión, es decir, la conexión lógica entre las premisas y la conclusión, es la inferencia
sobre la que descansa el argumento.
Los argumentos
Veamos con un ejemplo de argumento que aparece de una u otra manera en todos los libros de introducción a la lógica:
(1) Si Sócrates es humano, entonces es mortal
(2) Sócrates es humano
(3) Por lo tanto, Sócrates es mortal
En este ejemplo las dos primeras proposiciones funcionan como premisas, mientras que la proposición tercera es la conclusión.
Fíjate que las palabras "premisa" y "conclusión" se definen aquí sólo por medio de la relación que hay entre ellas dentro de un argumento concreto. Una misma
proposición puede aparecer como conclusión de un argumento en una parte de razonamiento, pero también como una de las premisas en otra parte posterior del mismo
razonamiento. En nuestro ejemplo, nada impide que nuestra conclusión "Sócrates es mortal" puede utilizarse como premisa para otro argumento.
La inferencia
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Hay un cierto número de expresiones verbales del lenguaje cotidiano que marcan o indican si una determinada proposición funciona como premisa o como conclusión
(por ejemplo, la expresión "por lo tanto" se suele ir seguida de la conclusión). Sin embargo, el uso de estos marcadores lingüísticos no es estrictamente necesario, ya
que el contexto puede aclarar la dirección del movimiento desde las premisas hasta la conclusión. Lo que distingue a un argumento de una mera colección de
proposiciones es la inferencia que se supone que las une.
Veamos esta idea con un par de ejemplos. Si yo profiero "Daniela es cirujana y el sol brilla, aunque la catedral de León es gótica" lo único que tengo es un conjunto de
proposiciones que no tienen ninguna relación entre ellas en el sentido de que la verdad o falsedad de cada una de ella no tiene que ver con la verdad o falsedad de las
demás. Sin embargo, si yo digo: "Daniela es cirujana, por lo que Daniela ha estudiado Medicina, ya que todos los cirujanos han estudiado Medicina", estoy empleando
un argumento perfectamente válido en el que la verdad de la conclusión "Daniela ha estudiado Medicina" se deriva inferencialmente de las premisas "Daniela es
cirujana" y "Todos los cirujanos han estudiado Medicina".
Argumentos, premisas y conclusión
Identifica la conclusión de cada uno de los siguientes :
Macondo Fútbol Club ganará el campeonato nacional de liga porque tiene el mejor equipo.
La conclusión de este argumento es:
Como el precio del suelo está alto, y los tipos de interés también, es un mal momento para comprar un piso.
La conclusión de este argumento es:
No fijar límites de velocidad ha aumentado el número de accidentes de tráfico, por tanto debemos fijar límites de velocidad.
La conclusión de este argumento es:
Podemos inferir la gran altura moral de Bertrand Russell, del hecho de que era un defensor a ultranza de la paz y tuvo muchos problemas con la autoridad por defender sus ideas.
La conclusión de este argumento es:
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Los descubrimientos científicos desacreditan constantemente los mitos religiosos. Además, la ciencia ha demostrado ser la herramienta más eficaz para promover el bienestar humano.
Por consiguiente, la ciencia proporciona un punto de vista más preciso que la religión sobre la vida humana.
La conclusión de este argumento es:
Espero un ascenso. Soy muy eficaz en mi trabajo.
La conclusión de este argumento es:
Ana María tiene un año de edad. Todos los niños de un año de edad saben andar. Por lo tanto, Ana María sabe andar.
La conclusión de este argumento es:
La educación promueve el pensamiento crítico y la asegura la libertad de conciencia. La lectura es indispensable para la educación. El pensamiento crítico y la libertad de conciencia son
fundamentales para la democracia. Por lo tanto, la lectura es necesaria para la democracia.
La conclusión de este argumento es:
Identificación de argumentos
Es importante aprender a distinguir a los argumentos de meros grupos de proposiciones que no cumplen con los requisitos necesarios para hablar de argumentos.
Recuerda que los argumentos consisten en grupos de proposiciones en los que hay algunos que actúan como premisas que, en virtud de la inferencia lógica, justifican
otra proposición que llamamos conclusión. Por el momento aprenderemos a identificar argumentos, sin pronunciarnos sobre si se trata de buenos o malos argumentos
(válidos o inválidos); esta cuestión la trataremos un poco más adelante, y constituye el grueso de Aprende Lógica.
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Para decidir si estamos ante un argumento o no, simplemente apelaremos al sentido común y a un sencillo análisis del texto sobre el que hayamos de decidir,
centrándonos en los siguientes aspectos:
1. El texto, ¿tiene una conclusión?. Si es así, ¿cuál es?
2. El texto ¿ofrece razones que apoyen la conclusión?, es decir, ¿hay premisas? Si es así ¿cuáles son?
3. El texto ¿presume que hay una relación inferencial entre premisas y conclusiones?
Presunción de facticidad y presunción de inferencia
Quien presenta un argumento esta formulando (explícita o implícitamente) dos presunciones acerca de dicho argumento. Una es la presunción de facticidad, es
decir, da por sentado (asume) que las premisas que se proporcionan son, de hecho, verdaderas. La segunda presunción es la presunción de inferencia, que asume
que las premias están conectadas con la conclusión de tal forma que la fundamentan, que le dan apoyo. De hecho esta relación inferencial entre premisas y conclusión
es el núcleo de la lógica, y nuestro principal objeto de atención en Aprende Lógica, y la analizaremos de distintas maneras y desde diferentes ángulos.
Siempre que tratamos de convencer a alguien de algo argumentando ponemos en juego estas dos presunciones: la de facticidad para reclamar la relevancia real del
asunto tratado en las premisas, y la de inferencia para mostrar la conexión entre las premisas y la conclusión. Por tanto, para decidir si estamos ante un argumento o
no, debemos identificar se están presentes de manera adecuada tanto la presunción de facticidad como la de inferencia.
Si no es un argumento, ¿qué es?
Un buen método para determinar si una porción de discurso (hablado o escrito) no es un argumento, es identificar qué es entonces. A continuación ofrecemos un lista
de posibles alternativas cuando no encontramos en una porción de discurso premisas, conclusión o relación inferencial lógica entre ambas.
(Haz clic en los enlaces de la columna de la derecha para acceder a ejemplos de cada uno de los tipos descritos)
Advertencias
No se proporcionan razones (no hay premisas). Predomina la función apelativa y conativa.
Ejemplo de advertencia
Enunciación de
una creencia u
opinión
No se proporciona un fundamento sólido, real para tal creencia u opinión. Aunque puede que exista la pretensión de que
se reconozca tal creencia u opinión como verdadera, no hay un desarrollo sistemático de premisas-inferencia-conclusión
en apoyo de lo enunciado.
Ejemplo de creencia
Proposiciones
vagamente
relacionadas
Las proposiciones no están conectadas por relación inferencial alguna.
Ejemplo de proposiciones
vagamente relacionadas
Informes
Son simples enumeraciones de hechos, del tipo que aparecen en las noticias de los periódicos. No hay intención de probar
nada, simplemente, se proporciona información sobre los hechos.
Ejemplo de informe
Ilustración
Simplemente se ofrecen ejemplos de algo.
Ejemplo de ilustración
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Enunciados
condicionales
Son enunciados con la estructura "Si... entonces..." Los enunciados condicionales no son argumentos en sí mismos, pero
Ejemplo de enunciado
los arguementos con frecuencia se componen de varias proposiciones de este tipo. Lo que sigue al "si..." se denomina
"antecedente" (es decir la condición), y lo que sigue al "entonces..." es el "consecuente" (es decir lo que sucede cuando se condicional
cumple la condición).
Explicaciones
Consiste en una aclaración de por qué algo es el caso. Una explicación a veces es difícil de distinguir de un argumento
porque también involucra razones (similares a las premisas). Pero, a diferencia de los argumentos, donde la conclusión es
"nueva" información, en una explicación el enunciado que es explicado (el explanandum, la parte que parece la
conclusión) es normalmente un hecho comúnmente aceptado. El explanans (los enunciados que sirven para aclarar, que
pueden ser similares a las premisas) es la nueva información de una explicación, mientras que las premisas son los
hechos aceptados en los argumentos.
En los argumentos se busca fundamentar información nueva a partir de información ya aceptada, mientras que en las
explicaciones se busca aclarar información ya bien establecida.
2.
Ejemplo de explicación
EL LENGUAJE FORMAL Y LA LÓGICA
El lenguaje y la Lógica
Lenguaje natural, lenguaje artificial
Para los fines comunicativos cotidianos los seres humanos utilizamos los llamados lenguajes naturales, que son códigos lingüísticos que nuestra especie ha ido forjando a través de miles de años de
evolución y que cada individuo es capaz de aprender en unos pocos años.
Sin embargo, el lenguaje natural, con la fundamental importancia que tiene, parece inadecuado para determinados fines. En ocasiones este tipo de lenguajes contienen ambigüedades, imprecisiones,
que lo hacen inadecuado para determinados fines. Es obvio que una teoría científica será mucho más poderosa si pudiera formularse en un lenguaje construido a propósito, a la medida para captar todos
los matices y complejidades de su objeto de estudio sin ambigüedades y con total precisión.
Es esta necesidad la que ha llevado a los seres humanos a construir lenguajes artificiales para determinados fines. Por ejemplo, la matemática es uno de estos lenguajes, que permite formalizar con
una increible precisión teorías físicas. Para transmitir órdenes a los ordenadores para que ejecuten ciertas tareas es preciso hacerlo utilizando un lenguaje de programación, que también es un lenguaje
artificial.
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LA
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Pues bien, la Lógica es uno de estos lenguajes artificiales creados por el hombre, y pretende ser un instrumento de precisión para la correcta ordenación del pensamiento. En esta sección
estudiaremos brevemente cómo se pasa del lenguaje natural al artificial de la lógica, así como la estructura de este lenguaje lógico, sus elementos constitutivos básicos.
Dimensiones del lenguaje
Algunos autores consideran que cualquier lenguaje natural, en tanto que sistema simbólico complejo que sirve a la comunicación tiene tres aspectos o dimensiones: la sintáctica, la semántica y la
pragmática. Veámoslas brevemente:
La dimensión sintáctica se refiere a la relación que se establece entre los signos de un lenguaje. En concreto, la sintaxis estudia las diversas combinaciones de signos que dan lugar a combinaciones
de ellos con la propiedad de estar bien formadas. Por ejemplo, no es lo mismo decir "En esta foto aparece el cielo" que "foto cielo la en aparece". En los lenguajes artificiales ocurre algo parecido.
La dimensión semántica se refiere a las relaciones de los signos con sus correspondientes significados. Es decir, la semántica trata de investigar las relaciones de los signos con aquello que constituye
su interpretación (aunque al margen de los contextos en que estos signos son usados por sus hablantes).
Por ejemplo, si yo muestro esta parte de una foto de mis vacaciones a un amigo, y le digo que en ella se ve "el cielo", estoy utilizando el
lenguaje de una manera semánticamente adecuada. Sin embargo, si le digo sin más que se ve la "piel del cielo", me tomará por un demente por
hacer un uso inadecuado de la semántica, del significado de la palabra "cielo".
La dimensión pragmática alude a la relación entre los signos y los contextos y circunstancias en que se desenvuelven los usuarios de dichos signos. Por ejemplo, si yo quiero mostrar a mi amiga los
sentimientos que me evoca la fotografía puedo recordar los versos del poema Vuelo de los hombres de Miguel Hernández: "Sobre la piel del cielo, sobre sus precipicios,/ se remontan los hombres. ¿Quién
ha impulsado el vuelo? / Sonoros, derramados en aéreos ejercicios, / raptan la piel del cielo". En este caso el contexto dota a la expresión "piel del cielo" de un significado más o menos vago, metafórico,
evocador, abierto a la interpretación, por aparecer en el contexto de un poema.
Muchos de los malentendidos y dificultades de comunicación que acontecen en nuestra vida cotidiana vienen por no utilizar adecuadamnte el lenguaje, al obviar sus reglas sintácticas, semánticas y
pragmáticas.
Pues bien, una de las funciones básicas de la Lógica es la de ayudarnos a minimizar el riesgo de los usos inadecuados del lenguaje en el curso de los razonamientos estudiando la estructura de dichos
razonamientos. Y para llevar a cabo este estudio, es preciso construir un lenguaje artificial en cuyos secretos empezaremos a iniciarnos en la página siguiente.
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LA
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El lenguaje formal de la Lógica
¿Qué es un lenguaje formal?
Un lenguaje formal, en tanto que lenguaje artificial, está formado por los siguientes elementos básicos:



Unos signos primitivos del lenguaje, esto es su alfabeto.
Unas reglas de combinación de dichos signos, es decir una gramática que especifique cómo combinar unos signos primitivos con otros para tener expresiones bien formadas.
En nuestro caso, como buscamos aplicar el lenguaje formal a la reconstrucción de la estructura lógica del lenguaje natural, precisaremos de unas reglas que nos ayuden en la formalización o
traducción de expresiones del lenguaje natural al de la lógica formal.
Veamos el primero de ellos a continuación.
El alfabeto del lenguaje formal en la lógica proposicional
El lenguaje lógico de la lógica proposiconal consta de tres tipos de signos en su tarea de reconstruir la estrucutura lógica del lenguaje natural:
(1) Unos signos para representar las proposiciones simples o atómicas: se trata de las letras proposicionales, que por convención suelen designarse con las letras minúsculas p, q, r, etc.
(2) Unos signos para formar proposiciones complejas o moleculares conectándolas entre sí: se trata de las conectivas (también llamados conectores, o juntores). En la siguiente tabla presentamos el
nombre, el signo y la equivalencia con el lenguaje natural de las cinco conectivas que utilizaremos:
Nombre de la
conectiva:
Símbolo:
Correspondenica en el
lenguaje natural:
Negador
¬
"no ..."
Conjuntor
"... y ..."
Disyuntor
"... o ..."
Condicional
"si ... entonces..."
Bicondicional
"... si y sólo si ..."
(3) Unos signos auxiliares, que son los paréntesis, que pueden ayudar a delimitar dónde comienza una parte de la fórmula y dónde acaba para empezar la siguiente. Su equivalencia en el lenguaje
natural serían los signos de puntuación en la lengua escrita.
Pasemos ahora a presentar la gramática de nuestro lenguaje en la página siguiente.
18
LA
LÓGICA
19
Las reglas de formación de fórmulas
Además de los signos primitivos que acabamos de conocer, necesitamos unas reglas que nos permitan saber cuándo estamos ante una combinación de símbolos que esté bien construída en el
lenguaje formal.
¿Qué es una fórmula bien formada?
Una fórmula es una secuencia de caracteres, pero es preciso delimitar de la totalidad de combinaciones posibles de caracteres aquellas que sean como "bien formadas"; para ello, damos la siguiente
definición de lo que es una fórmula bien formada, (o fbf):
1.
2.
3.
4.
5.
Una letra enunciativa es una fbf.
Toda fbf a la cual se antepone el símbolo "¬" (negación) es una fbf.
Si A y B son fbfs, entonces las scuencias: (A B), (A B), (A B),y (A
B)
Toda secuencia de caracteres producida por la aplicación de los pasos 1, 2, 3, en cualquier orden, constituye una fbf. (Cláusula de recursión)
Ninguna otra secuencia constituye una fbf. (Cláusula de exclusión)
Ejemplo:
A continuación presentamos algunos ejemplos de fbfs y no bien formadas:
Fórmulas BIEN
formadas
p ¬(q
¬p
r
r)
Fórmulas MAL
formadas
(p¬ (q
r))
p q(
q
¬¬(p(q
r))
¬(¬r)
¬ ¬(pq r))
Pasemos, a continuación, a presentar una por una todas las conectivas con las peculiaridades que presentan cada una de ellas y los trucos para formalizarlas en lenguaje natural.
19
LA
LÓGICA
20
La negación de enunciados
La representación de las proposiciones
Utilizaremos las letras p, q, r, s y así sucesivamente para representar las proposiciones. Así, por ejemplo, si decidimos que p represente la proposición "el sol brilla", lo escribiremos de la siguiente
manera:
p: "el sol brilla"
que se lee: p es el enunciado "el sol brilla"
Modificación de las proposiciones
Podemos formar nuevas proposiciones a partir de otras de muchas maneras diferentes. Por ejemplo, a partir de p: "Yo soy un leonés", podemos formar la negación de p: "No es el caso de que yo sea
leonés", o más sencillamente "No soy leonés". Denotamos la negación de p mediante ¬p, que se lee "no p". Hay otras formas de señalar la negación de un enunciado, por ejemplo, mediante el símbolo
¬. Los símbolos ¬ y ¬ son equivalentes, pero aquí utilizaremos preferentemente ¬ por una mera cuestión de simpatía: Wittgenstein utilizó el símbolo ¬ en su Tractatus Logico Philosophicus.
Lo importante de la negación es que si p es verdadero, entonces ¬p es falso, y viceversa. Esto se puede resumir en la siguiente tabla de verdad de la negación:
p
¬p
V
F
F
V
En la columna de la izquierda están los dos posibles valores de verdad de p, y en la de la derecha aparecen los correspondientes valores de verdad para ¬p.
En la siguiente tabla se recoge una definición más formal de la negación:
Negación
20
LA
LÓGICA
21
La negación de p es la proposición ¬p, que se lee "no p". Su valor de verdad queda definido por la siguiente tabla de verdad.
p
¬p
V
F
F
V
El símbolo de la negación "¬" es un ejemplo de operador lógico monario (el término "monario" indica que el operador afecta a una sola proposición).
Veamos ejemplos de la negación en la siguiente sección.
Práctica con la negación de enunciados
Aquí tienes varios ejercicios para practicar la negación de enunciados:
p: "Hay vida en la luna."
¬p:
Elije una opción
p: "Los elefantes temen a los ratones."
¬p:
Elije una opción
p: "Frankenstein arrasa en Operación Triunfo." ¬p:
Elije una opción
Aquí tienes varios ejercicios para practicar la negación de enunciados:
p: "Drácula cocina pizzas muy bien."
¬p:
Elije una opción
p: "Los perros no hablan."
¬p:
Elije una opción
21
LA
LÓGICA
p: "La luna no es redonda."
22
¬p:
Elije una opción
Una propiedad especial: la ley de la doble negación
¿Qué es lo que sucedería se nos propusiéramos negar una negación? En forma simbólica, ¿qué sucede si nos proponemos negar la expresión ¬p? Evidentemente, tendríamos la expresión ¬(¬p), que
es lo mismo que ¬¬p.
Pues bien, la negación de la negación de un enunciado, es la afirmación de dicho enunciado; en forma simbólica:
¬¬pp p
La anterior expresión simbólica refleja la ley de la doble negación.
¿Y qué ocurriría si negásemos una doble negación? Es decir, ¬(¬¬p), o lo que es lo mismo: ¬¬¬p. En este caso, simplemente aplicando la definición de la negación llegamos a la conclusión de que
¬(¬¬p) ¬p
Fíjate bien en esto:
Cuando el número de negaciones de un enunciado es par, el valor de verdad de dicho enunciado es el original de la proposición, y cuando es impar, es la negación del enunciado original, como
muestra el siguiente esquema:





¬¬pp p
¬¬¬p ¬p
¬¬¬¬p p
¬¬¬¬¬p ¬p
¬¬¬¬¬¬p p
etcétera ad inf.
22
LA
LÓGICA
23
La conjunción de enunciados
La conjunción
Hay otras maneras de formar nuevas proposiciones a partir de otras. Si tenemos, por ejemplo, p: "Soy gordo", y q: "Tú eres inteligente", podemos formar el siguiente enunciado: "Soy gordo y tú eres
inteligente". Este nuevo enunciado se puede representar con p q, que se lee "p y q".
Para que la expresión p q sea verdadera, tanto p como q deben ser verdaderas. Por ejemplo, si yo soy de verdad gordo, pero tú eres tonto de remate, entonces p q es falso.
El símbolo es otro operador lógico. El enunciado p q es la conjunción de p y q.
Conjunción
La conjunción de de p y q es el enunciado p q, que se lee "p y q." Su valor de verdad queda definido por la siguiente tabla de verdad.
p
q
p q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
En las columnas p y q aparecen las cuatro posibles combinaciones de los valores de verdad para p y q, y en la columna p q aparecen enumerados los valores de verdad de
p q para cada una de esas combinaciones. Por ejemplo, la segunda fila de la tabla nos dice que cuando p es verdadero y q falso, el enunciado p q es falso. De hecho, de
acuerdo con la tabla anterior y con la definición que hemos dado de la conjunción, la única forma de hacer p q verdadero es haciendo que tanto p como q sean verdaderos
(1³ fila).
El símbolo de la conjunción " " es un ejemplo de operador binario ("binario" alude a que el operador actúa sobre un par de proposiciones).
En el siguiente apartado veremos algunos ejemplos de la aplicación de la conjunción a la formalización de enunciados del lenguaje natural.
23
LA
LÓGICA
24
Práctica de la formalización de conjunciones
Elije la alternativa que mejor corresponda con los enunciados que figuran en la columna de la izquierda:
"Aquiles corre velozmente, pero la tortuga no."
p: "Aquiles corre velozmente."
p q:
"Ni Aquiles ni la tortuga corren velozmente."
"Aquiles y la tortuga corren velozmente."
q: "La tortuga no corre velozmente."
"O Aquiles corre velozmente, o la tortuga corre velozmente."
"Ni el hombre es moral ni está unívocamente determinado por el ambiente."
p: "El hombre es moral."
p ¬q:
"Aunque el hombre no sea moral, está determinado unívocamente por el ambiente."
"El hombre es moral y está unívocamente determinado por el ambiente."
q: "El hombre está determinado unívocamente por el ambiente."
"Aunque el hombre es moral, no está unívocamente determinado por el ambiente."
"Madre no hay más que una y a ti te encontré en la calle"
p: "A ti no te encontré en la calle"
¬q ¬p:
"Aunque sólo haya una madre, a tí no te enconté en la calle"
"O sólo hay una madre, o te encontré en la calle"
q: "No es cierto que haya sólo una madre"
"Aunque te haya encontrado en la calle, sólo hay una madre"
24
LA
LÓGICA
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Propiedades de la conjunción
La propiedad conmutativa de la conjunción
La propiedad conmutativa de la conjunción nos dice, sencillamente, algo que todos ya sabemos intuitivamente, a saber, que es lo mismo p q que q p. Se trata de dos expresiones equivalentes (ya
nos extenderemos en otro apartado sobre el concepto de equivalencia lógica. Baste aquí decir que dos enunciados son equivalentes si sus tablas de verdad son iguales, que es lo que sucede con p q y
con q p.
Mismos valores
p
q
p q
q p
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
Si nos gustan las cosas sencillas, digamos simplemente que todos sabemos que, en nuestra vida cotidiana, es lo mismo decir "canto y bailo", que "bailo y canto".
También podemos hacer una comparación entre la Lógica y la Matemática: la suma, lo mismo que la conjunción, también tiene la propiedad conmutativa: 1+2=3, y 2+1=3 (el orden de los sumandos
no altera la suma). Y sucede lo mismo con la multiplicación: 3x5=15, y 5x3=15 (el orden de los factores...).
La propiedad asociativa de la conjunción
Formalicemos el siguiente pasaje de Schopenhauer [Parerga y Paralipómena, cap.IV, III]: "El principio del honor caballeresco es a veces el refugio seguro de la mala fe y maldad en los negocios
graves y, al mismo tiempo, en los pequeños un asilo de la insolencia". Siendo:



p: "El principio del honor caballeresco es a veces el refugio seguro de la mala fe"
q: "El principio del honor caballeresco es a veces el refugio seguro de la maldad en los negocios graves"
r: "El principio del honor caballeresco es a veces un asilo de la insolencia"
Solución: Este enunciado de Schopenhauer contiene tres enunciados que se pueden combinar de dos maneras diferentes:

En primer lugar, se puede combinar p y q para formar p q, dando lugar a: "El principio del honor caballeresco es a veces el refugio seguro de la mala fe y la maldad en los negocios graves". Y a
continuación podemos unir mediante una conjunción este enunciado con r, dando lugar a (p q) r, que se leería como el enunciado original del bueno de Schopenhauer.

En segundo lugar, se puede combinar igualmente q con r, para obtener q r: "El principio del honor caballeresco es a veces el refugio seguro de la maldad en los negocios graves y, al mismo
tiempo, en los pequeños un asilo de la insolencia". Y a continuación unimos la combinación precedente con p para obtener p (q r), que también se leería como el enunciado original del
pesimista Schopenhauer.
25
LA
LÓGICA
26
Pronto veremos que tanto (p q) r como p (q r) son lógicamente equivalentes, y a este hecho se le denomina ley asociativa de la conjunción. Por lo tanto, las dos posibilidades analizadas, (p q) r por
un lado, y p (q r) por el otro, son igualmente válidas.
Ocurre con la conjunción lo mismo que nos pasa en las matemáticas con la suma: (1+2)+3 es lo mismo que 1+(2+3). En lógica, como en las matemáticas, también podemos eliminar los paréntesis, y
podemos dar por buena una tercera solución lógicamente equivalente: p q r
La formalización de enunciados con la conjunción
La formalización es el proceso mediante el cual transformamos un enunciado formulado en lenguaje natural a un enunciado formulado en un lenguaje formal o simbólico. Ya hemos hecho varias
formalizaciones hasta este momento, y vamos a practicarla un poco más antes de introducir nuevos operadores.
Formas de expresar la conjunción en lenguaje natural
Como ya hemos visto, hay varias formas de expresar la conjunción en el español que hablamos habitualmente. Veámoslo con una frase de Cicerón: "Las raíces del estudio son amargas, dulces son sus
frutos"
P: "Las raíces del estudio son amargas"
q: "Los frutos del estudio son dulces"
Todas las expresiones que aparecen en la siguiente lista son formas de decir p q:






"Las raíces del estudio son amargas, dulces son sus frutos" (esta es la formulación original de Cicerón)
"Las raíces del estudio son amargas, pero sus frutos son dulces"
"Las raíces del estudio son amargas, aunque sus frutos son dulces"
"Aunque las raíces del estudio son amargas, sus frutos son dulces"
"Mientras que las raíces del estudio son amargas, dulces son sus frutos"
A pesar de que las raíces del estudio son amargas, dulces son sus frutos"
Todas estas formas de expresar p q tienen en común el hecho de que si ambas proposiciones son verdaderas, el total que forma su conjunción también es verdadero.
Ejemplos de formalización a partir del lenguaje lenguaje natural
Primer ejemplo:
Si p es el enunciado "Este mundo es maravilloso" y q es el enunciado "La guerra es abominable", expresa en lenguaje formal (formaliza) el siguiente enunciado: "Este mundo no es maravilloso, la
guerra es abominable".
26
LA
LÓGICA
27
Solución: La primera cláusula es la negación de p, por lo tanto es ¬p. La segunda cláusula simplemente afirma que la guerra es abominable, por lo que es q. El hecho de que ambas cláusulas estén
separadas (o unidas) por la coma, nos indica, en este caso, que hay una conjunción, por lo que la formalización es: (¬p) q.
Segundo ejemplo:
Formaliza: "Los filósofos, como los asnos, son mamíferos" siendo p: "Los filósofos son mamíferos", q: "Los asnos son mamíferos"
Solución: Sencillamente p q
Tercer ejemplo:
Formaliza el siguiente enunciado de Kant [La metafísica de las costumbres, parte segunda, IV] "Los fines que son a la vez deberes son la propia perfección y la felicidad ajena" siendo p:"La propia
perfección es un fin que a la vez es deber", q: "La felicidad ajena es un fin que a la vez es deber"
Solución: p q
Cuarto ejemplo:
Formaliza la siguiente afirmación de Wittgenstein: "El mundo es la totalidad de los hechos, no de las cosas" [Tractatus Logico-Philosophicus, 1.1], siendo p: "El mundo es la totalidad de los hechos", y
q: "El mundo es la totalidad de las cosas"
Solución: El enunciado de Wittgenstein afirma p y niega q, por lo que la formalización del enunciado sería: p (¬q)
Quinto ejemplo:
Formaliza la siguiente proposición: "Aunque la guerra es abominable, hay políticos que la promueven", siendo p:"No hay políticos que promuevan la guerra", q: "La guerra es abominable".
Solución: El enunciado a formalizar afirma q y niega p, por lo que su representación simbólica será: q (¬p)
Sexto ejemplo:
Si p: "Tengo miedo a la muerte" y q: "No quiero estar presente cuando muera", formaliza la frase de Woody Allen: "No es que tenga miedo a morir, sólo quiero no estar allí cuando ocurra"
Solución: La primera parte, "no es que tenga miedo a morir" es la negación de p, y la segunda cláusula es la afirmación de q, por lo que la formalización quedaría:
Séptimo ejemplo:
Formaliza el enunciado de Woody Allen: "Soy suficientemente bajito y feo como para triunfar por mi mismo.", siendo p: "soy suficientemente bajito como para triunfar por mi mismo", y q: "No soy
suficientemente feo como para triunfar por mi mismo"
Solución: La primera cláusula es la afirmación de p, y la segunda la negación de q, por lo que la solución es p (¬q)
Octavo ejemplo:
Formaliza la frase de Gandhi: "No hay un camino hacia la paz, la paz es el camino", siendo p: "Hay un camino hacia la paz", y q: "La paz es el camino".
Solución: la primera cláusula es la negación de p, y la segunda la afirmación de q, por lo que: (¬p) q
Noveno ejemplo:
27
LA
LÓGICA
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Formaliza la conocida sentencia de Kant: "No se puede aprender filosofía, tan solo se puede aprender a filosofar", siendo p: "Se puede aprender filosofía", q: "sólo se puede aprender a filosofar"
Solución: la primera cláusula es la negación de p, y la segunda la afirmación de q, por lo que (¬p) q
Décimo ejemplo:
Formaliza el dicho de Péguy: "Una gran filosofía no es la que instala una verdad definitiva, es la que produce una inquietud", siendo p: "Una gran filosofía instala una verdad definitiva", y q: "Una gran
filosofía no es la que produce una inquietud".
Solución: La primera cláusula es la negación de p, y la segunda la negación de q, por lo que la formalización quedaría: (¬p) (¬q)
La disyunción
En este apartado introducimos un nuevo operador. Si comenzamos con los enunciados p: "Yo soy alto" y q: "Tú eres inteligente", podemos formar el enunciado "O yo soy obeso, o tu eres inteligente",
que se representa simbólicamente p q, y que se lee "p o q".
Como sucede que en el lenguaje natural la conjunción disyuntiva "o" puede tener varios significados, los lógicos han acordado que la disyunción inclusiva o: p q significa que p es verdad, o bien q es
verdad, o bien ambos son verdad.
En el ejemplo con el que comenzamos esta sección, p q significa "Yo soy alto, o tú eres inteligente, o ambas cosas". En ocasiones incluiremos la apostilla "o ambos" por una mera cuestión de énfasis,
pero si no lo hacemos así, el significado mencionado se mantiene.
Por lo tanto, llamamos p q a la disyunción de p y q:
Disyunción
La disyunción de p y q es el enunciado p q, que se lee "p o q." Su valor de verdad viene dado por la siguiente tabla de verdad:
p
q
p q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
28
LA
LÓGICA
29
Como se trata de la disyunción inclusiva, p q es verdadera cuando p es verdad, o q es verdad, o ambos lo son.
Fíjate que la única manera de que un enunciado disyuntivo sea falso consiste en que tanto p como q sean falsos. Por este motivo, podemos decir que p
q también significa "p y q no son ambos falsos". Profundizaremos en esta observación un poco más adelante.
El símbolo de la disyunción " " es el segundo ejemplo que vemos de operador binario.
Ejemplo de la disyunción
Sea p: "El mayordomo cometió el crimen", q: "El pintor cometió el crimen" y r: "La sirvienta cometió el crimen"
a.
b.
¿Qué dice p q?
¿Qué dice (p q) ¬r?
Solución:
a. p q: "O el mayordomo o el pintor cometieron el crimen"
Fíjate que esto no excluye la posibiliidad de que tanto el mayordomo y el pintor cometieran el crimen, ni que ambos fueran, de hecho, la misma persona. La única forma de que p q sea falso es que ni
el mayordomo ni el pintor cometieran el crimen.
b. (p q) ¬r: "O el mayordomo o el pintor cometieron el crimen, pero no la sirvienta".
Práctica de la disyunción
Es hora de practicar lo que hemos aprendido en la sección anterior:
"Ni la catedral de León es gótica ni la luna esférica."
p: "La catedral de León es gótica."
p q:
"La catedral de León es gótica o la luna es esférica."
"La catedral de León es gótica o la luna no es esférca."
q: "La luna no es esférica."
"La catedral de León no es gótica o la luna es esférica."
29
LA
LÓGICA
30
"O la luna es mayor que el sol o no es cierto que el sol sea mayor que la luna."
p: "La luna es mayor que el sol."
p ¬q:
"O la luna es mayor que el sol o el sol es mayor que la luna."
"Ni la luna es mayor que el sol ni el sol es mayor que la luna."
q: "No es cierto que el sol sea mayor que la luna."
"Ni la luna es mayor que el sol, ni es cierto que el sol sea mayor que la luna."
"No voy ni al cine ni al teatro"
p: "Voy al cine"
¬q ¬p:
"Aunque no vaya al teatro, voy al cine"
"O voy al teatro o no voy al cine"
q: "Voy al teatro"
"O no voy al teatro o no voy al cine"
"No es cierto que o el sentido común no busque la paz o la guerra es propia de locos"
p: "El sentido común no busca la paz"
¬(p q):
"O el sentido común no busca la paz, o la guerra no es propia de locos"
"O el sentido común busca la paz, o la guerra es propia de locos"
q: "La guerra es propia de locos"
"No es cierto que ni el sentido común busca la paz ni que la guerra no es propia de locos"
Práctica sobre las proposiciones
Contesta a las siguientes preguntas teniendo presente si cumplen los requisitos para ser una proposición. En caso afirmativo, especifica si es una proposición verdadera o falsa.
30
LA
LÓGICA
31
"Algunos perros ladran"
es una proposición con
valor de verdad V
es una proposición con
valor de verdad F
no es una proposición
"El rey de Francia es calvo"
es una proposición con
valor de verdad V
es una proposición con
valor de verdad F
no es una proposición
"La vida inteligente abunda en el
universo"
es una proposición con
valor de verdad V
es una proposición con
valor de verdad F
no es una proposición
"La constitución inglesa tiene faltas de
ortografía"
es una proposición con
valor de verdad V
es una proposición con
valor de verdad F
no es una proposición
"Francia es una república, y en Francia
no tienen rey"
es una proposición con
valor de verdad V
es una proposición con
valor de verdad F
no es una proposición
"En Inglaterra no tienen escrita su
constitución en un único documento"
es una proposición con
valor de verdad V
es una proposición con
valor de verdad F
no es una proposición
31
LA
LÓGICA
32
"En un lugar de la Mancha"
Miguel de Cervantes
es una proposición con
valor de verdad V
es una proposición con
valor de verdad F
no es una proposición
"¡Venid aquí ipso facto!"
Don Pantuflo Zapatilla a sus hijos, Zipi y Zape
es una proposición con
valor de verdad V
es una proposición con
valor de verdad F
no es una proposición
"¿Cómo están ustedes?"
Gabi, Miliki, Fofito y Milikito
es una proposición con
valor de verdad V
es una proposición con
valor de verdad F
no es una proposición
"Rouen es la capital de Francia"
es una proposición con
valor de verdad V
es una proposición con
valor de verdad F
no es una proposición
Propiedades de la disyunción
La propiedad conmutativa de la disyunción
Ya hemos comprobado que la conjunción tiene la propiedad conmutativa. Pues lo mismo sucede con la disyunción: es lo mismo la proposición p q que q p.
32
LA
LÓGICA
33
Es decir, la alteración del orden de las proposiciones que conforman una disyunción no altera su valor de verdad. Con la disyunción, por tanto, ocurre lo mismo que con la suma o la multiplicación de
la Matemática: el orden de los sumandos no altera la suma, o el orden de los factores no altera el producto. Esto se puede apreciar en la siguiente tabla de verdad:
Mismos valores
p
q
p q
q p
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
F
La propiedad asociativa de la disyunción
Ya hemos visto que la conjunción posee la propiedad asociativa; pues bien, la disyunción también la posee. Veámoslo con el ejemplo de la sección donde definíamos este operador:
Sea p: "El mayordomo cometió el crimen", q: "El pintor cometió el crimen" y r: "La sirvienta cometió el crimen"
La expresión el crimen lo cometió o el mayordomo, o el pintor o la sirvienta, se formaliza de cualquiera de las tres formas siguientes, que son equivalentes:



p (q r)
(p q) r
p q r
Disyunción inclusiva y exclusiva
La formalización de enunciados del lenguaje natural no tiene algunas especial dificultad en el caso de la disyunción. Como hemos dicho, la disyunción p q será verdadera en caso de que p sea
verdadera, o q sea verdadera, o tanto p como q sea verdadera: se trata de la disyunción inclusiva. Siempre que utilicemos en el lenguaje natural la conjunción disyuntiva "o" en este sentido,
utilizaremos el símbolo " ".
Los ejemplos que hemos venido viendo hasta este momento se basan en esta interpretación inclusiva de la disyunción. Por ejemplo, cuando decimos que para optar a un puesto de trabajo hay que
saber inglés o francés, interpretamos que alguien que sabe inglés puede optar a dicho trabajo, alguien que sabe francés también, y, por supuesto, alguien que sepa tanto inglés o francés también.
33
LA
LÓGICA
34
Pero también existe la llamada disyunción exclusiva, que viene a decir que al menos una de las opciones es verdadera, pero sólo una. en este sentido exclusivo, si en p q, p es verdadera y q
también lo es, la disyunción exclusiva es falsa.
Por ejemplo, en el lenguaje natural empleamos este sentido exclusivo de la disyunción cuando decimos que alguien es cristiano o musulmán. Si alguien es cristiano, si es consecuente con ello no podrá
ser musulmán, y viceversa. O cuando decimos que un examen se aprueba o se suspende.
En este caso se utiliza el símbolo " " o bien el símbolo "
". La tabla de verdad de la disyunción exclusiva sería la siguiente:
p
q
p q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
En este trabajo utilizaremos solamente la disyunción en sentido inclusivo. Hay que hacer notar que la disyunción exclusiva puede definirse utilizando las siguientes combinaciones de negación,
conjunción y disyunción:
p q equivale a cualquiera de las siguientes expresiones:



(p q) ¬(p q)
(p ¬q) (¬p q)
¬(p q) ¬(¬p ¬q)
El condicional
El condicional (o implicación)
Consideremos el enunciado: "Si apruebas Filosofía, te dejaré ir al viaje de fin de curso". Este enunciado está formado por dos atómicas:
p: "Apruebas Filosofía"
q: "Te dejaré ir al viaje de fin de curso"
Lo que nuestro enunciado original afirma es esto: si p es verdad, entonces q también es verdad, o, dicho de modo más sencillo, si p, entonces q. Se trata de un enunciado condicional cuya
formalización es p q, y que se puede leer también como p implica q.
34
LA
En el enunciado p
LÓGICA
35
q, se dice que p es el antecedente (o hipótesis) y q el consecuente (o conclusión).
Una implicación(o un condicional) es siempre verdadera excepto cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso.
Siguiendo con nuestro ejemplo "Si apruebas Filosofía, te dejaré ir al viaje de fin de curso", supongamos que es verdadero. Este hecho no significa que aprobarás Filosofía, todo lo que dice es que si la
apruebas, entonces te premitiré ir al viaje de fin de curso. Si consideramos que este enunciado es una promesa, la única forma de romperla es que tú apruebes Filosofía, pero yo no te permita ir al viaje
de fin de curso. De forma análoga, la única forma de hacer un condicional falso (de romper una promesa) es hacer verdadero el antecedente y falso el consecuente.
Condicional
El condicional p
q se lee "p implica q" o bien "si p, entonces q". Un condicional siempre es verdadero, excepto cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso.
Por lo tanto, su valor de verdad queda definido por la siguiente tabla de verdad.
p
q
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
En las columnas p y q aparecen las cuatro posibles combinaciones de los valores de verdad para p y q, y en la columna p q aparecen enumerados los valores de verdad
de p q para cada una de esas combinaciones. Por ejemplo, la segunda fila de la tabla nos dice que cuando p es verdadero y q falso, el enunciado p q es falso. De hecho,
de acuerdo con la tabla anterior y con la definición que hemos dado de la implicación, la única forma de hacer p q falso es haciendo que p sea verdadero, pero q falso (2³
fila).
Fíjate bien en esto:
A la conectiva "
" también se le llama "implicación material"
Es destacable que la implicación puede ser cierta aunque el consecuente sea falso (q en p
Filosofía, te dejaré ir al viaje de fin de curso" es verdadera.
q). Así, si no apruebas Filosofía, pero yo no te permito ir al viaje de fin de curso, la implicación "Si apruebas
Veamos algunos ejemplos en la siguiente sección.
35
LA
LÓGICA
36
Ejemplos sobre el condicional
Primer ejemplo: Verdad implica verdad, es cierto
Como hemos visto, si p y q son verdad, entonces p
q es verdad. Por ejemplo, sea p: "la Tierra es redonda", y q: "3x5=15". La fórmula p
Fíjate que los dos enunciados p y q de este ejemplo no tienen nada que ver entre ellos. Pero con p
En el caso de p
q dice que "Si la Tierra es redonda, entonces 3x5=15".
q no queremos decir (no decimos) que hay una relación causal entre ambos enunciados.
q siendo p: "la Tierra es redonda", y q: "3x5=15" solamente decimos que el enunciado "Si la Tierra es redonda, entonces 3x5=15" es lógicamente verdadero.
Segundo ejemplo: verdad no puede implicar falsedad
Si p es un enunciado verdadero y q falso, entonces p
q es falso. Por ejemplo:
"Cuando hace sol, voy al monte"
En este caso p: "Hace sol" y q: "voy al monte". En otras palabras, podemos reformular nuestra frase como "Si está haciendo sol, entonces estoy en el monte". Pero hay muchos días que hace sol (p es
everdadero) en los que no voy al monte (q es falso). En esos días el enunciado p q es claramente falso.
Fíjate que hemos interpretado "Cuando p, q" como "Si p, entonces q".
Tercer ejemplo: la falsedad implica cualquier cosa
p
En las dos últimas filas de la tabla de verdad del condicional observamos que, siendo falso el antecedente, la implicación es falsa sea verdadero o falso el consecuente. Es decir, si p es falso, entonces
q es verdadero sea q verdadero o falso. Por ejemplo:
"Si la Tierra es plana, entonces yo he ganado el premio Nobel"
En este caso p: "La Tierra es plana", que es un enunciado falso, y q: "He ganado el premio Nobel", y el enunciado p
q es verdadero haya ganado el hablante el premio Nobel o no.
Lo esencial es que si el antecedente es falso, el condicional será verdadero diga lo que diga el consecuente.
Y ya es hora de practicar en la siguiente sección lo que hemos aprendido sobre el condicional.
Paradojas de implicación material.
36
LA
LÓGICA
37
Dos consecuencias de la definición de la implicación material que violan las intuiciones informales acerca de la implicación son:
(1) que la implicación material es verdadera siempre que el antecedente es falso, y
(2) que una implicación material es verdadera siempre que el consecuente es verdadero.
Estas llamadas paradojas son problemáticas sólo desde el punto de vista intuitivo, pero son perfectamente lógicas (no presentan contradicciones).
Práctica del concepto de implicación
Responde a las siguientes preguntas teniendo en cuenta la definición del condicional:
"Si el rey de Francia es calvo, entonces Marte es plana"
verdadero
falso
"Si llueve hacia arriba, entonces eres un ser humano"
verdadero
falso
"Si 2+2=4, entonces las ranas tienen pelo"
verdadero
falso
"Si sabes leer, entonces los círculos son cuadrados"
verdadero
37
LA
LÓGICA
38
falso
"Si los burros vuelan, entonces las tortugas saben álgebra"
verdadero
falso
Práctica del concepto de implicación
Responde a las siguientes preguntas teniendo en cuenta la definición del condicional y tu información acerca del mundo:
"Si los humanos somos bípedos implumes, entonces tenemos dos piernas y no
tenemos plumas"
verdadero
falso
"Si Drácula baila break-dance, entonces Frankenstein arrasa en Operación Triunfo"
verdadero
falso
"Si estas leyendo esto, entonces tienes encendido el ordenador"
verdadero
falso
"Si una manzana es una fruta, entonces el Everest no es una montaña"
verdadero
38
LA
LÓGICA
39
falso
"Si el Everest no es una fruta, entonces una manzana no es una fruta"
verdadero
falso
"Si los perros hablan, entonces 101 dálmatas es un documental"
verdadero
falso
La formalización de enunciados condicionales
Ya hemos visto lo variopinto que puede ser el lenguaje natural, en contraposición con la rigidez del lenguaje formal de la lógica. En este apartado ilustraremos de forma práctica algunas posibilidades
que se usan en lenguaje natural para formalizar el escueto p q.
Cada una de las siguientes expresiones equivale al condicional p
q.
Si p, entonces q
Siempre que p, q
p implica q
No p sin q
q se sigue de p
q es necesario para p
q si p
q es una condición necesaria para p
p sólo si q
p es suficiente para q
q siempre que p
p es condición suficiente para q
39
LA
LÓGICA
40
Cuando p, entonces q
De haber sucedido p, q
q con tal que p
q en caso que p
Fíjate bien en esto...

Es interesante notar la diferencia entre "q si p" y "p sólo si q". En el caso de "q si p" se sugiere que p
si p q, y p son verdad, también q ha de serlo.

En el caso de "p es una condición suficiente para q", se dice que es suficiente conocer p es verdad para concluir que q es verdadero. Por ejemplo, es suficiente que apruebes Filosofía para
que te deje ir al viaje de fin de curso. Otras cosas podrían inducirme a permitirte ir al viaje, pero con que apruebes la Filosofía será suficiente.

En el caso de "q es una condición necesaria para p", se dice que en caso de que se produzca p es necesario que q también sea verdadera para que la implicación p q sea verdadera, como
se puede ver en la tabla de verdad que define el conector "
". En nuestro ejemplo:"si apruebo Filosofía voy al viaje de fin de curso" el hecho de ir al viaje de fin de curso es una condición
necesaria para la verdad de la implicación de marras.
q es verdadera sólo con que q sea verdadera. En el caso de "p sólo si q", está latente que
Propiedades de los enunciados condicionales
Ya hemos visto que tanto la conjunción como la disyunción tienen la propiedad conmutativa, es decir el orden de los enunciados de las conjunciones o de las disyunciones no altera su valor de verdad:
es lo mismo p q que q p, y también es lo mismo p q que q p.
El recíproco del implicador
Pero, ¿ocurre lo mismo con el implicador? ¿Es lo mismo p
Se dice que q
recíproco q p:
p es el recíproco de p
q que q
p? La respuesta es que no. Veámoslo con cierto detenimiento.
q. El implicador, como hemos avanzado, no tiene la propiedad conmutativa, como se aprecia en la comparación de las tablas de verdad de p
q y de su
Valores diferentes
p
q
p
q
q
p
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
40
LA
LÓGICA
41
El recíproco
El enunciado q
p es el recíproco de p
q. Un enunciado condicional y su recíproco no son equivalentes lógicamente.
Veámoslo con un ejemplo:
Sea p el enunciado "Llueve", y q: "El suelo está mojado", siendo, por consiguiente p q "Si llueve, entonces el suelo está mojado". Veamos el recíproco de este enunciado: q
mojado, entonces llueve". Vemos que los dos enunciados no son lógicamente equivalentes, pues si p es verdadero, y q falso:


p
q ("Si llueve, entonces el suelo está mojado") es necesariamente falso
q
p ("Si el suelo está mojado, entonces llueve") es verdadero, pues una falsedad implica cualquier cosa manteniendo la verdad del condicional.
p: "Si el suelo está
El contrarrecíproco del implicador
Aunque un enunciado condicional y su recíproco no son equivalentes, sí lo son un enunciado condicional y su contrarrecíproco. El contrarrecíproco del enunciado p
negación de cada uno de los enunciados del recíproco). Veámoslo comparando tablas de verdad:
q es ¬q
¬p (es decir, la
Mismos valores
¬q
¬p
V
F
F
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
p
q
V
V
V
p
q
¬q
¬p
El contrarrecíproco
El enunciado ¬q
¬p es equivalente al condicional p
q. Un enunciado condicional y su contrarrecíproco son equivalentes lógicamente
Comparemos el mismo ejemplo:
En el ejemplo anterior donde p: "Llueve", q: "El suelo está mojado", p q "Si llueve, entonces el suelo está mojado". El contrarrecíproco es ¬q
entonces no llueve", que es lógicamente equivalente al enunciado primitivo p q.
¬p, que significa que "Si el suelo no está mojado,
Ya es momento para practicar tu aprendizaje del recíproco y contrarrecíproco de los enunciados condicionales en las siguientes secciones.
41
LA
LÓGICA
42
Práctica del recíproco y contrarrecíproco (1)
Teclea en los recuadros correspondientes el recíproco o el contrarrecíproco de las siguientes expresiones.
Escribe el recíproco de p
¬q:
Teclea el contrarrecíproco de ¬p
¬q:
Escribe el contrarrecíproco de q
¬p
Utiliza el símbolo ">" [mayor que] para representar el implicador " "; así p q sería p>q
El símbolo "¬" se consigue pulsando la tecla AltGr, y, manteniéndola pulsada, el número 6. (o bien Control+Alt+6). En ordenadores Macintosh: Alt+6.
Procura no introducir espacios, aunque se toleran entre conectivas y atómicas siempre que no sea al principio o al final de la fórmula.
Después de una respuesta errónea, se recomienda pulsar el botón "Borrar" (aunque esto no es imprescindible)
Es indiferente usar mayúsculas y/o minúsculas
El recíproco de "Si estudias, eres inteligente":
Elige la opción correcta
El contrarrecíproco de "Si estudias, eres inteligente" es:
Elige la opción correcta
El recíproco del contrarrecíproco de "Si estudias, eres inteligente" es:
42
LA
LÓGICA
43
Elige la opción correcta
El bicondicional
El bicondicional (o coimplicación)
Ya hemos comprobado que p q no es lo mismo que q p. Puede ocurrir, sin embargo, que tanto p q como q p sean verdaderos. Por ejemplo, si p:"La Tierra es cúbica", y q:"El Sol es un planeta",
entonces tanto p q como q p son verdaderos, porque tanto p como q son falsos. Es necesario tener esto en cuenta para entender bien el concepto decoimplicador.
Mediante el coimplicador
lo que queremos decir es que un enunciado es a la vez condición necesaria y suficiente para otro. Así, si digo que p: "apruebo Filosofía" y q: "saco un 5 o más en el
examen de Lógica" la fórmula p
q significa "apruebo Filosofía si y sólo si saco un 5 o más en el examen de Lógica". Con este "si y sólo si" quiero poner de manifiesto tres cosas:
1.
2.
3.
Al introducir el primer condicional "si" (en "si y sólo si"), introduzco el antecedente, y por tanto afirmo que p q, (es decir aprobaré Filosofía si saco 5 o más en el examen de Lógica),
Al introducir "sólo si" (en "si y sólo si"), introduzco el consecuente, buscando comunicar que q p, (es decir, que si saco un 5 o más en el examen de Lógica, entonces apruebo la Filosofía), y
Al utilizar la partícula "y" (en "si y sólo si"), quiero comunicar la conjunción de p q con q p.
Así pues, el enunciado "apruebo Filosofía si y sólo si saco un 5 o más en el examen de Lógica" se puede formalizar de dos formas equivalentes: (p
En consecuencia, el enunciado p
q) (q p).
q queda definido por el enunciado (p
q) (q
p). Por esta razón, el símbolo
q) (q
p), o bien p
se llama bicondicional, y la tabla de verdad para p
q.
q es la misma que la de (p
El bicondicional
El bicondicional o coimplicador p
q, que se lee "p si y sólo si q" o "p es equivalente a q", se define por la siguiente tabla de verdad:
p
q
p
q
43
LA
LÓGICA
44
V
V
F
F
La doble flecha horizontal
V
F
V
F
V
F
F
V
es el operador bicondicional
Fíjate que de la observación de la tabla de verdad deducimos que para que p
contrario es falsa.
q sea verdadera, tanto p como q han de tener los mismos valores de verdad, y en caso
La formalización del bicondicional
El coimplicador puede tener varias expresiones equivalentes en lenguaje natural. Así p



q es la formalización de las siguientes expresiones de lenguaje natural:
p si y sólo si q
p es necesario y suficiente para q
p es equivalente a q
Fíjate que p
qyq
p tendrían totalmente los mismos valores de verdad, puesto que ambas son coimplicaciones y por lo tanto si sus valores de verdad son los mismos, son verdaderas, y son falsas
en los demás casos. En consecuencia, podemos reformular los enunciados anteriores intercambiando p y q:



q si y sólo si p
q es necesario y suficiente para p
q es equivalente a p
Ejemplos del bicondicional
Ejemplos de coimplicaciones verdaderas:
Motivos por los que p
p
q es verdadera:
q
(a) "La Tierra es cúbica si y sólo si el Sol es un planeta"
p: "La Tierra es cúbica": F
q: "El Sol es un planeta": F
(b) "La Tierra es esférica si y sólo si el Sol es una estrella"
p: "La Tierra es esférica": V
q: "El Sol es una estrella": V
44
LA
LÓGICA
45
(c) "Los cocodrilos tienen ruedas si y sólo si los sapos bailan flamenco"
p: "Los cocodrilos tienen ruedas": F
q: "Los sapos bailan flamenco": F
(d) "Los cocodrilos no tienen ruedas si y sólo si los sapos no bailan flamenco".
p: "Los cocodrilos no tienen ruedas": V
q: "Los sapos no bailan flamenco": V
Ejemplos de coimplicaciones falsas:
Motivos por los que p
p
q es falsa:
q
(a) "La Tierra es cúbica si y sólo si 2+2=4"
p: "La Tierra es cúbica": F
q: "2+2=4": V
(b) "El Sol es una estrella si y sólo si 1+2=4"
p: "El Sol es una estrella": V
q: "1+2=4": F
(c) "Los cocodrilos tienen ruedas si y sólo si los sapos no bailan flamenco"
p: "Los cocodrilos tienen ruedas": F
q: "Los sapos no bailan flamenco": V
(d) "El Bernesga pasa por León si y sólo si Napoleón escribió el Quijote"
p: "El Bernesga pasa por León": V
q: "Napoleón escribió el Quijote": F
Práctica del concepto de coimplicación
Responde a las siguientes preguntas teniendo en cuenta la definición del coimplicador:
"El rey de Francia es calvo si y sólo si Marte es plana"
verdadero
falso
"Quien lee esto es un ser humano si y sólo si llueve hacia arriba"
verdadero
falso
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LA
LÓGICA
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verdadero
"Las ranas tienen pelo si y sólo si 2+2=4"
falso
verdadero
"Sabes leer si y sólo si los círculos son cuadrados"
falso
"Los burros vuelan si y sólo si las tortugas saben álgebra"
verdadero
falso
La notación del bicondicional
Hay un símbolo intercambiable con el del bicondicional "
", que es el de la equivalencia lógica:" " (concepto que explicaremos mejor un poco más adelante).
En Aprende Lógica, cuando haya actividades en las que haya que insertar en un formulario el símbolo "
A
", utilizaremos en su lugar el signo "=" [igual]. Así,
B se introduciría en un formulario de la siguiente manera:
A=B
La formalización del bicondicional
El coimplicador puede tener varias expresiones equivalentes en lenguaje natural. Así p



q es la formalización de las siguientes expresiones de lenguaje natural:
p si y sólo si q
p es necesario y suficiente para q
p es equivalente a q
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LA
LÓGICA
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Fíjate que p
qyq
p tendrían totalmente los mismos valores de verdad, puesto que ambas son coimplicaciones y por lo tanto si sus valores de verdad son los mismos, son verdaderas, y son falsas
en los demás casos. En consecuencia, podemos reformular los enunciados anteriores intercambiando p y q:



q si y sólo si p
q es necesario y suficiente para p
q es equivalente a p

Práctica del concepto de coimplicación

Responde a las siguientes preguntas teniendo en cuenta la definición del coimplicador y el contenido semántico de las proposiciones:
"Drácula existe si y sólo si Frankenstein participa en Operación Triunfo"
verdadero
falso
"La Tierra es aproximadamente esférica si y sólo si Marte es cúbico"
verdadero
falso
"El agua es líquida si y sólo si el hielo es sólido"
verdadero
falso
"Los seres humanos somos bípedos implumes si y sólo si tenemos dos piernas y no tenemos plumas"
verdadero
falso
"El Sol es una estrella si y solo si la Luna gira en torno a la Tierra"
verdadero
falso
47
LA
LÓGICA
48
Introducción a las tablas de verdad
Ya hemos sugerido en algunos apartados anteriores que algunos enunciados son equivalentes a otros.
Por ejemplo, hemos hablado de la equivalencia del enunciado (p q) r y p (q r), hecho al que denominábamos propiedad asociativa de la disyunción.
Pues bien, en este apartado referido a las tablas de verdad, estableceremos de una forma más precisa qué queremos decir al hablar de equivalencia lógica, y también estudiaremos cierto tipo de
enunciados que pueden ser o bien "auto-evidentes" (tautologías) o bien "evidentemente falsos" (contradicciones).
¿Qué es una tabla de verdad?
Ya hemos tenido una aproximación intuitiva al concepto de tabla de verdad. Digamos ahora, más explícitamente que una tabla de verdad es el resultado de aplicar un procedimiento que
utilizamos para calcular todos los posibles valores de verdad de un enunciado molecular.
Recordemos un caso conocido: la tabla de verdad de la negación. En este caso, la tabla de verdad es:
Fijémonos en los elementos de la tabla de verdad:
p
¬p
V
F
F
V


F-)
Aparecen todos los posibles valores de verdad del enunciado p en la primera columna (verdadero -V- o falso -
En la columna segunda aparecen los valores de verdad de la negación de p en caso de que p sea verdadera
(primera fila), y en caso de que p sea falsa (segunda fila).
Wittgenstein denominaba "estados de cosas" a cada una de las posibles combinaciones de verdad o falsedad para un enunciado (en este caso atómico). Otros autores hablan de "interpretaciones" para
cada una de estas posibles combinaciones de verdad o falsedad para un enunciado. Veamos ahora qué sucede con los enunciados moleculares...
Analicemos ahora el caso de la tabla de verdad de la disyunción:
p
q
p q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Analicemos los elementos de esta tabla de verdad:

En las dos primeras columnas aparecen todas las posibles combinaciones de valores de verdad de los
enunciados p y q (p verdadero y q verdadero, p verdadero y q falso, p falso y q verdadero, y, por último, p falso y q
falso). Estos son todos los posibles "estados de cosas" o "interpretaciones".

En la columna tercera aparecen los valores de verdad de la conjunción de p y q para todas las posibles
combinaciones de valores de verdad de p y de q. Así, la primera fila muestra el valor de p q en caso de que p sea
verdadero y q sea también verdadero, la seguna fila muestra el valor de p q en caso de que p sea verdadero y q falso,
48
LA
LÓGICA
49
etc.
Por lo tanto, podemos concluir que una tabla de verdad de un enunciado (molecular) muestra el valor de verdad de dicho enunciado para todas las posibles combinaciones de los
valores de verdad de las proposiciones que lo componen, o de manera más breve, una tabla de verdad de un enunciado muestra el valor de verdad de dicho enunciado para todas sus
interpretaciones.
Teniendo en cuenta que los enunciados moleculares se componen de enunciados atómicos, comenzaremos estableciendo el principio de que el valor de verdad de un enunciado (molecular)
equivale al valor de verdad de la conectiva dominante.
En este punto, la pregunta clave es ¿cómo podemos saber, dado un enunciado molecular, cual es la conectiva dominante? Pues bien, para ello debemos fijarnos en el orden de prioridad que hay entre
las conectivas de los enunciados moleculares. Y esto lo aprenderemos en la siguiente sección.
3
TABLAS DE VERDAD
Introducción a las tablas de verdad
Ya hemos sugerido en algunos apartados anteriores que algunos enunciados son equivalentes a otros.
Por ejemplo, hemos hablado de la equivalencia del enunciado (p q) r y p (q r), hecho al que denominábamos propiedad asociativa de la disyunción.
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LA
LÓGICA
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Pues bien, en este apartado referido a las tablas de verdad, estableceremos de una forma más precisa qué queremos decir al hablar de equivalencia lógica, y también estudiaremos cierto tipo de
enunciados que pueden ser o bien "auto-evidentes" (tautologías) o bien "evidentemente falsos" (contradicciones).
¿Qué es una tabla de verdad?
Ya hemos tenido una aproximación intuitiva al concepto de tabla de verdad. Digamos ahora, más explícitamente que una tabla de verdad es el resultado de aplicar un procedimiento que
utilizamos para calcular todos los posibles valores de verdad de un enunciado molecular.
Recordemos un caso conocido: la tabla de verdad de la negación. En este caso, la tabla de verdad es:
Fijémonos en los elementos de la tabla de verdad:
p
¬p
V
F
F
V


F-)
Aparecen todos los posibles valores de verdad del enunciado p en la primera columna (verdadero -V- o falso -
En la columna segunda aparecen los valores de verdad de la negación de p en caso de que p sea verdadera
(primera fila), y en caso de que p sea falsa (segunda fila).
Wittgenstein denominaba "estados de cosas" a cada una de las posibles combinaciones de verdad o falsedad para un enunciado (en este caso atómico). Otros autores hablan de "interpretaciones" para
cada una de estas posibles combinaciones de verdad o falsedad para un enunciado. Veamos ahora qué sucede con los enunciados moleculares...
Analicemos ahora el caso de la tabla de verdad de la disyunción:
Analicemos los elementos de esta tabla de verdad:
p
q
p q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F

En las dos primeras columnas aparecen todas las posibles combinaciones de valores de verdad de los
enunciados p y q (p verdadero y q verdadero, p verdadero y q falso, p falso y q verdadero, y, por último, p falso y q
falso). Estos son todos los posibles "estados de cosas" o "interpretaciones".

En la columna tercera aparecen los valores de verdad de la conjunción de p y q para todas las posibles
combinaciones de valores de verdad de p y de q. Así, la primera fila muestra el valor de p q en caso de que p sea
verdadero y q sea también verdadero, la seguna fila muestra el valor de p q en caso de que p sea verdadero y q falso,
etc.
Por lo tanto, podemos concluir que una tabla de verdad de un enunciado (molecular) muestra el valor de verdad de dicho enunciado para todas las posibles combinaciones de los
valores de verdad de las proposiciones que lo componen, o de manera más breve, una tabla de verdad de un enunciado muestra el valor de verdad de dicho enunciado para todas sus
interpretaciones.
Teniendo en cuenta que los enunciados moleculares se componen de enunciados atómicos, comenzaremos estableciendo el principio de que el valor de verdad de un enunciado (molecular)
equivale al valor de verdad de la conectiva dominante.
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LA
LÓGICA
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En este punto, la pregunta clave es ¿cómo podemos saber, dado un enunciado molecular, cual es la conectiva dominante? Pues bien, para ello debemos fijarnos en el orden de prioridad que hay entre
las conectivas de los enunciados moleculares. Y esto lo aprenderemos en la siguiente sección.
Vida y obra de Ludwig Wittgenstein
Seguramente te preguntarás quién fue ese señor, y por qué lo mencionamos en la introducción a las tablas de verdad. Pues bien, Wittgenstein introdujo las tablas de verdad en su Tractatus Logico
Philosophicus.
Además de ser un filósofo excepcional, tuvo una vida apasionante.
En este enlace podrás conocer datos biográficos: http://usuarios.iponet.es/ddt/wvida.htm
En este otro podrás leer fragmentos de su obra: http://usuarios.iponet.es/ddt/wobra.htm
Conectivas dominantes y el orden de prioridad en los enunciados moleculares
Para saber cuál debe ser el orden de prioridad entre las conectivas que ya conocemos (negación, conjunción y disyunción), hay que fijarse en los paréntesis. La regla básica a seguir es la siguiente: es
preciso calcular primero el valor de verdad de las expresiones que están entre los paréntesis (y que son más concretas), y posteriormente, las relaciones que hay entre las conectivas
que unen dichas expresiones. Cuando un paréntesis contiene otros paréntesis, entonces se calculan primero los paréntesis más concretos (más "interiores").
Veamos algunos casos prácticos para ilustrar la determinación de la conectiva dominante en los enunciados moleculares:
Ejemplo primero:
Respondamos a dos cuestiones: (a) ¿Qué orden hay que seguir para calcular el valor de verdad del siguiente enunciado: ¬(p q)?, y (b) ¿cuál es la conectiva dominante?
Es un caso sencillo. (a) El orden que hay que seguir para calcular el valor de verdad de la proposición molecular ¬(p q) es el siguiente:


primero se calcula el valor de verdad de la disyunción (p q)
en segundo lugar se aplica la definición de la negación a dicha disyunción (es decir, se invierte el valor de verdad de la disyunción): ¬(p q).
En la siguiente tabla aparece esquematizado el orden que hay que seguir para calcular el orden de verdad de la expresión (los números en rojo indican el orden a seguir):
¬ (p
2
q)
1
(b) La conectiva dominante es la negación (el número más alto) (Recuerda que es útil saber esto porque el valor de verdad de un enunciado viene determinado por el valor de verdad de la conectiva
dominante en dicho enunciado.)
51
LA
LÓGICA
52
Ejemplo segundo:
Averigüemos (a) ¿Qué orden hay que seguir para calcular el valor de verdad del enunciado: ((p q) r) ¬p? y (b) ¿cuál es la conectiva dominante?
(a) En este caso, el orden de prioridad para calcular el valor de verdad de la expresión ((p q) r) ¬p es el siguiente (las cifras en rojo indican el orden a seguir):
Observa que en este ejemplo:
((p
q)
1
r)
2
¬p
32

primero se calcula el valor de verdad de la conjunción (p q), que es el paréntesis más "interior", tomando en cuenta
los valores de p y de q.

en segundo lugar, se calcula tanto la disyunción (tomando en cuenta los valores de 1 y de r) como la negación
(tomando en cuenta el valor de p), que están en un nivel similar en la jerarquía.

por último se calcula el valor de verdad de la conjunción de los resultados de las operaciones 2
(b) El conector dominante es la segunda conjunción (el número 3). Por lo tanto, el valor de verdad de la expresión objeto de estudio, viene dada por el conjuntor 3.
Es hora de practicar lo aprendido sobre dominancia de conectivas con la práctica de la siguiente sección.
Practica la dominancia de conectivas.
Identifica cuál es la conectiva principal y determina qué tipo de enunciado es cada uno de los siguientes:
¬[(p q)
¬(p q)
(r t)] q
Este enunciado es una...
[¬(q r)
¬r] [q (q
r)]
Este enunciado es una...
[¬p (q r)]
Este enunciado es una...
¬[(¬p ¬¬q) (p
r)]
(r t)
[p (q r)]
Este enunciado es una...
s
{p [(p
q)
(q r)]}
52
LA
LÓGICA
53
Este enunciado es una...
¬¬[q (q
r)] [(p
q)
¬r]
Este enunciado es una...
(p ¬¬q) [(p
r) (r s)]
Este enunciado es una...
[q (q
r)]
r
Este enunciado es una...
(p
Este enunciado es una...
[p (q r)]
¬p
Este enunciado es una...
¬(p s)
[(p
Este enunciado es una...
r)]
Este enunciado es una...
[p ¬(r)] ¬¬q
Este enunciado es una...
¬{(p ¬¬q) [(p
r) (r s)
q) (p
r) (r s)]} r
Este enunciado es una...
Después de esta práctica, veamos en la siguiente sección cómo aplicar estos conocimientos a la construcción de tablas de verdad para enunciados con un cierto grado de complejidad.
Practica la dominancia de conectivas.
Identifica cuál es la conectiva principal y determina qué tipo de enunciado es cada uno de los siguientes:
q ¬[(p q)
(r t)]
Este enunciado es una...
(r t)
¬(p q)
Este enunciado es una...
53
LA
LÓGICA
54
r)] [¬(q r)
[q (q
¬r]
Este enunciado es una...
¬[(p
r) (¬p ¬¬q)]
Este enunciado es una...
{p [(p
Este enunciado es una...
[(p
q)
¬r] ¬¬[q (q
r)]
r) (r s)] (p ¬¬q)
Este enunciado es una...
r
[q (q
r)]
Este enunciado es una...
(r s) (p
r)
Este enunciado es una...
q)
(q r)]}
s
Este enunciado es una...
¬p
Este enunciado es una...
[(p
[¬p (q r)]
[p (q r)]
[p (q r)]
Este enunciado es una...
[(p
q) (p
r)]
¬(p s)
Este enunciado es una...
¬¬q [p ¬(r)]
Este enunciado es una...
r ¬{(p ¬¬q) [(p
r) (r s)]}
Este enunciado es una...
54
LA
LÓGICA
55
La construcción de tablas de verdad (1)
Comencemos con el ejemplo de la tabla de verdad del siguiente enunciado: ¬(p q).
Como paso previo, observa bien el anunciado:



En este enunciado hay dos conectores: la negación ¬ y la disyunción de las que hay que tener presentes sus respectivas tablas de verdad.
En el enunciado hay también dos enunciados atómicos, que son las proposiciones p y q.
Observa las relaciones de prioridad que hay entre los conectores: el conector dominante es la negación, que afecta a todo lo que hay entre paréntesis. Por lo tanto, hay que calcular primero el
valor de verdad del contenido del paréntesis (p q) y posteriormente, calcular el valor de verdad de ¬(p q).
El primer paso consiste en poner los enunciados atómicos presentes en el enunciado del que queremos calcular su tabla de verdad en tantas columnas como enunciados atómicos tengamos. Como
debe haber tantas columnas como enunciados atómicos tengamos, en este caso tenemos 2 columnas (una para el enunciado p y otra para el enunciado q):
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
En las celdillas de dicha tabla hay que ubicar todas las combinaciones posibles de verdad o falsedad para los enunciados que contenga el enunciado objeto de estudio.:
Hay un algorimo que permite enumerar fácilmente todas las combinaciones de verdad o falsedad de dos o más enunciados:
a.
p
q
b.
c.
En la primera columna se pone, de arriba hacia abajo, la mitad de celdillas con Vs y la otra mitad con Fs.
En la columna siguiente, siempre de arriba hacia abajo, se pone la cuarta parte de celdillas con V, la siguiente cuarta parte con Fs, la
siguiente con Vs y la última con Fs.
En la columna siguiente, si la hubiere, se pondría la octava parte de celdillas con Vs, la siguiente octava parte con Fs, y así
sucesivamente con todas las celdillas y con todas las demás columnas si las hay.
55
LA
LÓGICA
56
Ejemplo de todas las combinaciones posibles de verdad o falsedad para tres enunciados
V
F
V
F
F
V
F
F
Fíjate en esto...
Llamamos atribuciones veritativas a todas la combinaciones de verdad y falsedad de las proposiciones atómicas de una fórmula.
El número de estas atribuciones veritativas aumenta rápidamente a medida que se incrementa el número de proposiciones de la fórmula. Para n proposiciones, la fórmula 2n nos
da el número de estas atribuciones veritativas. Así:




Para dos proposiciones: 2n=22=2×2=4
Para tres proposicones: 2n=23=2×2×2=8
Para tres proposiciones: 2n=24=2×2×2×2=16
etc.
A continuación hay que poner tantas columnas como conectores que unan enunciados atómicos. [En nuestro ejemplo tenemos dos conectores (¬ y ), por lo que añadimos dos nuevas columnas.]
p
q
V
F
V
F
56
LA
LÓGICA
57
F
V
F
F
En cuarto lugar, se pone, encabezando cada columna, los enunciados atómicos, siguiendo el orden de dominancia de las conectivas. Primero se ponen los enunciados más concretos (los paréntesis), y
por último las más generales:
p
q
V
F
V
F
F
V
F
F
(p q) ¬(p q)
A continuación se procede a determinar el valor de verdad de cada celdilla, una tras otra. Hay que tener en cuenta la definición de cada conector involucrado en la columna correspondiente, y los
valores de V o F que corresponden a cada fila.
p
q
(p q) ¬(p q)
Fíjate que la tercera columna es exactamente igual a la tabla de verdad que mencionábamos
cuando definimos la
V
F
V
F
V
F
V
F
disyunción
, y que la cuarta columna muestra los valores de verdad opuestos
a los de la tercera columna (de acuerdo con la
definición de la negación
).
57
LA
LÓGICA
58
F
V
V
F
F
F
F
V
Hay una forma equivalente muy similar de representar el mismo proceso que hemos explicado, y consiste en añadir una sola columna con el enunciado ¬(p q) completo. A continuación se va
poniendo debajo de cada conectiva el valor de verdad que le corresponda, respetando el orden de prioridad que marquen los paréntesis.Veamos:
p
q
V
F
V
F
F
V
F
F
¬ (p q)
F
V
F
V
F
V
V
F
Los valores de verdad del enunciado ¬(p q) son los de su conectiva dominante, que en este caso es la negación, y
que aparecen en la columna con las Vs y Fs rojas.
Recomendamos este segundo método sólo cuando ya se haya cogido soltura con el explicado en primer lugar.
La construcción de tablas de verdad (2)
58
LA
LÓGICA
59
Veamos un ejemplo un poco más complejo. Calculemos la tabla de verdad del siguiente enunciado: (p q) p. Determinamos la conectiva dominante, que en este caso es la conjunción, ya que se
comenzaría con el enunciado de dentro del paréntesis (una disyunción). Aquí tenemos la tabla de dominancia de las conectivas:
(p
q)
1
p
2
Sigamos los pasos propuestos:
Dibujamos la tabla con tantas columnas como enunciados atómicos tegamos:
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
A continuación ponemos todas las posibles combinaciones de verdad y falsedad para p y q:
p
q
V
V
F
F
F
V
F
F
Seguimos añadiendo tantas columnas como enunciados atómicos tenga el enunciado objeto de estudio (en este caso, dos: uno para (p q) y otro para (p q) p.
p
q
V
V
F
F
F
F
V
F
Seguimos añadiendo los enunciados siguiendo el orden de dominancia de las conectivas señalado al principio de esta página:
p
q
V
F
(p q)
(p q) p
El orden de las conectivas, en este caso es el siguiente:
59
LA
LÓGICA
60
V
F
F
F
V
F
(p
q)
1
p
2
Por último, procedemos a averiguar el valor de verdad de cada una de las celdillas de la tabla que hemos construido, teniendo en cuenta las definiciones, ya conocidas, de los conectores involucrados.
p
q
(p q)
(p q) p
V
V
F
F
F
F
V
F
V
V
V
F
V
V
F
F
La tercera columna es exactamente igual a la tabla de verdad de la
definición del disyuntor.
La última columna, que es la que determina el valor de verdad de (p
q) p por ser la dominante, la determinamos aplicando la definición del
conjuntor a la columna tercera y a la primera.

La primera celdilla de la cuarta columna es V porque p q es V (columna 3, fila 1) y p es V (columna 1, fila 1), y de acuerdo con la definición de la conjunción (su tabla de verdad), si ambos
términos son V, entonces la conjunción es V.


La segunda celdilla de la cuarta columna es V por el mismo motivo.

La cuarta celdilla de la cuarta columna es F porque p q es F (columna 4, fila 4) y p también es F (columna 1, fila 4), y según la definición de la conjunción, si los dos términos de la conjunción
son F, su conjunción es F.
La tercera celdilla de la cuarta columna es F porque p q es V (columna 3, fila 3) pero p es F (columna 1, fila 2), y según la definición de la conjunción, si un término es V y el otro F, entonces la
conjunción es F.
Y ya es hora de pasar a la siguiente sección para practicar lo que hemos aprendido.
Tautología, contradicción o contingencia
Cuando todos los valores de la conectiva dominante de una tabla de verdad son Vs, estamos ante una tautología.
Cuando todos esos valores son Fs, estamos ante una contradicción.
Cuando hay Vs y Fs, estamos ante una contingencia.
60
LA
LÓGICA
61
Práctica de la construcción de tablas de verdad (1)
Para practicar, calculemos la tabla de verdad del siguiente enunciado: ¬p (p q). Determinamos la conectiva dominante, que en este caso es la disyunción, ya que se comenzaría con el enunciado de
dentro del paréntesis (una conjunción). Aquí tenemos la tabla de dominancia de las conectivas:
¬p
1
(p
2
q)
1
Sigamos los pasos propuestos:
Dibujamos la tabla con tantas columnas como enunciados atómicos tengamos:
A continuación ponemos todas las posibles combinaciones de verdad y falsedad para p y q:
p
q
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
F
Seguimos añadiendo tantas columnas como enunciados atómicos tenga el enunciado objeto de estudio [en este caso, tres: uno para ¬p, otro para (p q), y un tercero para ¬p (p q)]
p
q
V
V
F
F
F
V
F
F
Continuamos añadiendo los enunciados siguiendo el orden de dominancia de las conectivas señalado al principio de esta página:
61
LA
LÓGICA
62
p
q
V
V
F
F
F
F
V
F
¬p
(p q) ¬p (p q)
El orden de las
conectivas, en este
caso es el siguiente:
¬p
1
(p
2
q)
1
Por último, sólo nos queda averiguar el valor de verdad de cada una de las celdillas de la tabla que nos ha quedado confeccionada en el paso 4. Siempre hay que proceder con orden, calculando el
valor de las celdillas de la columna tercera, cuarta, y, por último la quinta.
Práctica de la construcción de tablas de verdad (2)
En este apartado practicaremos con un ejemplo más complejo: calcularemos la tabla de verdad de ¬(p r) q, que consta de los tres enunciados p, q y r.
Determinamos la conectiva dominante, que en este caso es la conyunción, ya que se comenzaría con el enunciado de dentro del paréntesis (una disyunción). Aquí tenemos la tabla de dominancia de
las conectivas:
¬( p r ) q
2
1
3
Sigamos los pasos propuestos:
Dibujamos la tabla con tantas columnas como enunciados atómicos tegamos:
A continuación ponemos todas las posibles combinaciones de verdad y falsedad para p, q y r:
p
q
r
p
q
r
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
F
V
F
62
LA
q]:
LÓGICA
63
Seguimos añadiendo tantas columnas como enunciados atómicos tenga el enunciado objeto
de estudio [en este caso, tres: uno para (p r), otro para ¬(p r), y un tercero para ¬(p r)
p
q
r
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
F
V
F
Seguimos añadiendo los enunciados siguiendo el orden de dominancia de las conectivas
señalado al principio de esta página:
p q r p r ¬(p r) ¬(p r) q
V V V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
F
V
F
Por último, sólo nos queda averiguar el valor de verdad de cada una de las celdillas de la tabla que nos ha quedado confeccionada en el paso 4. Siempre hay que proceder con orden, calculando el
valor de las celdillas de la columna tercera, cuarta, y, por último la quinta. Teclea en cada casilla de las tres últimas columnas las letras "V" o "F" según sus respectivos valores de verdad.
p
q
r
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
p r ¬(p r) ¬(p r) q
Fíjate en esto:
Ya habíamos comentado que se puede hacer la tabla de verdad de una forma un poco más
abreviada. Pulsa el botón de abajo para que se abra una nueva ventana que te mostrará este mismo
ejercicio pero de forma abreviada.
Construye las tablas de verdad para las siguientes fórmulas:
63
LA
1
p&¬p
2
pv¬p
3
¬(p&¬p)
4
p&¬q
5
pv¬q
LÓGICA
64
Especifica, además, si se trata de tautologías, contingencias o contradicciones.
Construye las tablas de verdad para las siguientes fórmulas:
6
¬p&¬q
7
¬pv¬q
8
p&(q&r)
9
(p&q)&r
10
p&(qvr)
64
LA
LÓGICA
65
Especifica, además, si se trata de tautologías, contingencias o contradicciones.
Construye las tablas de verdad para las siguientes fórmulas:
11
p>(q&r)
12
(p&q)>r
13
(p&q)v(p&r)
14
p>(qvp)
15
(p&q)>¬p
Especifica, además, si se trata de tautologías, contingencias o contradicciones.
Construye las tablas de verdad para las siguientes fórmulas:
16
(p&¬p)>q
17
p=(pvq)
65
LA
18
(p&¬p)=(q&¬q)
19
(pv¬p)=(qv¬q)
20
(p&q)=¬p
LÓGICA
66
Especifica, además, si se trata de tautologías, contingencias o contradicciones.
Construye las tablas de verdad para las siguientes fórmulas:
21
¬((p&¬p)>q)
22 (pv(p&q))>¬p
23
(p>¬p)>¬p
24
(p>¬p)>p
25
p&(p>¬p)
66
LA
4.
LÓGICA
67
LAS LEYES LÓGICAS
Implicaciones tautológicas y equivalencias tautológicas: las leyes de la Lógica
El estudio de las tautologías es importante porque sirven como "esqueleto", o modelo de razonamientos correctos. Las tautologías que estudiaremos en este apartado no son todas las tautologías
posibles. De hecho, el número de posibles tautologías es literalmente infinito. La selección de tautologías que estudiaremos se basa en un criterio práctico: su conocimiento nos puede resultar útil para
fundamentar los argumentos, los razonamientos que empleamos en nuestra actividad intelectual cotidiana.
Como bien dice Alfredo Deaño en su Introducción a la lógica formal:
Toda ciencia es un sistema de enunciados. De enunciados que se refieren, de un modo más o menos lejano, a los objetos de los que esa ciencia se ocupa. Puesto que la lógica se
ocupa del razonamiento desde el punto de vista de su forma, lo que sus enunciados enunciarán serán formas de razonar. Y puesto que la lógica es la ciencia de la inferencia
formalmente válida, a la lógica le ha de interesar distinguir aquellas formas de inferencia que son válidas de aquellas otras que no lo son. Y le interesará retener y enunciar con rigor
las formas válidas de inferencia. Así pues, los enunciados de la lógica representarán , en general, formas de inferencia, y, señaladamente, formas válidas de inferencia. (Alfredo
Deaño, Introducción a la lógica formal, Alianza Editorial, página 103)
Es importante recordar...
Es importante recordar que el hecho de que la Lógica haya de ocuparse de los razonamientos válidos quiere decir que si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también ha de
ser forzosamente verdadera. Dicho de otro modo: en los razonamientos válidos la verdad de las premisas es incompatible con la falsedad de la conclusión. La conectiva lógica que recoge esta noción
de verdad de las premisas y su incompatibilidad con la falsedad de la conclusión es el implicador. Recordemos que el único caso en que una implicación es falsa es cuando el antecedente es verdadero y
el consecuente falso. De forma análoga, un razonamiento es inválido cuando las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa.
Así pues, en este apartado de Aprende Lógica estudiaremos los enunciados de la Lógica que son formalmente válidos. Pero los modos válidos de razonar se pueden presentar de dos formas
equivalentes: en forma de leyes lógicas (las implicaciones y equivalencias tautológicas) y también en formas de reglas de inferencia. Veamos las peculiaridades de cada una de estas dos formas de
presentar los esquemas de inferencia lógicamente válidos:
Las leyes lógicas tienen la estructura de una implicación cuyo antecedente puede estar formado por conjunciones (las premisas) y cuyo consecuente es la conclusión. Por ejemplo, la ley lógica llamada Modus Pon
67
LA
LÓGICA
68
tiene la siguiente estructura en forma de ley:
[(p
q) p]
q
Si hacemos la tabla de verdad de la fórmula anterior comprobaremos que se trata de una tautología. En cambio, si hacemos la tabla de verdad de [(p q) p] ¬q, en la que se afirman las premisas [(p q) p], pe
niega la conclusión q, nos encontraremos que no se trata de una tautología, y por consiguiente no es un esquema de razonamiento válido para todas las posibles combinaciones de verdad o falsedad de los enunciado
Las reglas de inferencia presentan cada una de las premisas en una línea diferente, y la conclusión separada por una raya horizontal. Así, la ley llamada Modus Ponens se puede presentar de la siguiente manera
forma de regla de inferencia (llamada también forma argumental o derivación):
p
q
p
q
Expresando todo esto en una terminología técnica:
Cada enunciado condicional, A
B, se puede reexpresar como una derivación, A
Recíprocamente, cada derivación, A1, A2,...An
B, denominada argumento o derivación correspondiente del condicional
B se puede reexpresar como un enunciado condicional con la forma (A1 A2 ... An)
B denominada condicional correspondiente del argumento.
Como hemos adelantado, dividiremos nuestro estudio de las leyes de la Lógica en dos apartados: por una parte las implicaciones tautológicas (es decir las tautologías con la estructura A B), y por
otra parte las coimplicaciones o equivalencias tautológicas (las tautologías con la estructura A
B). Además seguiremos la sana práctica de presentar cada una de las leyes tanto en forma de leyes
(implicaciones y equivalencias tautológicas) como en forma de reglas de inferencia (es decir, en forma argumental).
En adelante seguiremos la convención de utilizar las letras p, q, r ... para referirnos a los enunciados atómicos, y las letras mayúsculas A, B, C ... para hablar tanto de enunciados atómicos como
moleculares.
Los estoicos y los indemostrables
Los filósofos estoicos formularon una lógica proposicional en la que jugaban un papel crucial lo que ellos llamaban "indemostrables": eran 5 esquemas de argumentación simples y válidos que se
consideraban como axiomas o principios del razonamiento. Entre estos esquemas de razonamiento estaban el Modus Ponens, el Modus Tollens, y el Silogismo Disyuntivo. Un ejemplo del primer
indemostrable:
Si es de día, hay luz.
Es de día.
Por lo tanto, hay luz
68
LA
LÓGICA
69
El Modus Ponens o razonamiento directo
Como avanzábamos, el estudio de las tautologías es importante porque sirven como modelo de razonamientos correctos. En este apartado veremos el primero de ellos, el llamado Modus Ponens o
razonamiento directo.
El Modus Ponens o razonamiento directo
La tautología conocida como Modus Ponens adquiere la siguiente forma lógica:
[(p
q) p]
q
que, traducido al lenguaje natural sería algo así como si p implica q, y p es verdadero, entonces q también debe ser verdadero. Lo cual parece intuitivamente razonable a toda mente sana.
Por ejemplo:
Sea p:"hago mucho deporte", y q: "estoy cansado", según este esquema tautológico:
"Si hago mucho deporte, entonces estoy cansado, y es cierto que hago mucho deporte, por lo que estoy cansado"
Otra forma de representar el razonamiento directo es emplear la forma argumental o de regla de inferencia:
Si hago mucho deporte, entonces estoy cansado.
Hago mucho deporte
Por consiguiente, estoy cansado
Expresado en forma simbólica:
69
LA
p
LÓGICA
70
q
p
q
Fíjate en esto
Para separar la conclusión (q) de las premisas [información de la que partimos: (p
significar, "por lo tanto".
q, y p)], utilizamos una línea horizontal. Además, la conclusión q va precedida del símbolo "
", que viene a
Fíjate también que este esquema de razonamiento es el que más utilizamos en nuestra vida cotidiana, motivo por el que se denomina también razonamiento directo. Comprendemos y aplicamos
razonamientos directos desde que somos unos niños ("si no comes todas las lentejas, te quedas sin postre", y todos sabemos qué hemos de hacer para quedarnos sin postre...)
Haz clic en este botón para construir la tabla de verdad del Modus Ponens: [(p
Como la notación simbólica [(p q) p]
con la falsedad de q (Compruébalo )
q) p]
q
q, técnicamente hablando, viene a decirnos que (p
q) junto con p implican lógicamente q, eso quiere decir que la verdad de [(p
q) p] es incompatible
Falacia de la afirmación del consecuente
Aunque la implicación [(p q) p] q que define el Modus Ponens es tautológica, una fórmula parecida: [(p
conocido como afirmación del consecuente.
q) q]
p no es tautológica (Compruébalo
) y supone una falacia o falso argumento
En nuestro ejemplo, [(p q) q] p se traduciría en lenguaje natural como: "Si hago deporte, entonces me canso, y es verdad que me canso, luego es verdad que hago deporte". Es notorio que este
razonamiento es falso (puedo cansarme por otras circunstancias que no son necesariamente hacer deporte).
70
LA
LÓGICA
71
El Modus Tollens o razonamiento indirecto
Seguimos con nuestro estudio de las tautologías como modelo de razonamientos correctos. En este apartado veremos el llamado Modus Tollens o razonamiento indirecto.
El Modus Tollens o razonamiento indirecto
La tautología conocida como Modus Tollens adquiere la siguiente forma de ley lógica:
[(p
q) ¬q]
¬p
que, traducido al lenguaje natural sería algo así como si p implica q, y q es falso, entonces p también debe ser falso.
Retomamos nuestro ejemplo:
Sea p:"hago mucho deporte", y q: "estoy cansado", según este esquema tautológico:
"Si hago mucho deporte, entonces estoy cansado, y no es cierto que haga mucho deporte, por lo que no estoy cansado"
Recurriendo a su forma argumental:
Si hago mucho deporte, entonces estoy cansado.
No hago mucho deporte
Por consiguiente, no estoy cansado
Expresado en forma simbólica:
71
LA
p
LÓGICA
72
q
¬q
¬p
Fíjate en esto
Fíjate también que este esquema de razonamiento no es tan intuitivo como el Modus Ponens; es un poco más enrevesado. "Si p fuera cierto, entonces q también debería ser cierto, pero q es falso. Por
lo tanto, p también debería ser falso —o, en otro caso, q también habría de ser verdadero—" (por la tabla de verdad del condicional, que impide que el antecedente [p] sea verdadero, y el consecuente
[q] sea falso)
Haz clic en este botón para construir la tabla de verdad del Modus Tollens: [(p
q) ¬q]
¬p
Como la notación simbólica [(p q) ¬q] ¬p, técnicamente hablando, viene a decirnos que (p
incompatible con la falsedad de ¬p (Compruébalo )
q) junto con ¬q implican lógicamente ¬p, eso quiere decir que la verdad de [(p
q) ¬q] es
Falacia de la negación del antecedente
Aunque la implicación [(p q) ¬q] ¬p que define el Modus Tollens es tautológica, una fórmula parecida: [(p
argumento conocido como negación del antecedente.
q) ¬p]
¬q no es tautológica (Compruébalo
) y supone una falacia o falso
En nuestro ejemplo,[(p q) ¬p] ¬q se traduciría en lenguaje natural como: "Si hago deporte, entonces me canso, y no es verdad que haga deporte, luego no es verdad que me canse". Es palmario
que este razonamiento es falso, puesto que puedo cansarme por otras circunstancias que no son necesariamente hacer deporte.
Ensayemos lo aprendido sobre Modus Ponens, Modus Tollens y sus respectivas falacias gemelas en la siguiente sección.
Popper y el MODUS TOLLENS
72
LA
LÓGICA
73
Karl Popper fue uno de los filósofos de la ciencia más influyentes del siglo XX. Popper trató de resolver el espinoso problema de la inducción con una teoría falsacionista del método científico en el
que la ley del Modus Tollens juega un papel fundamental. Los detalles los puedes encontrar en este enlace:
http://www.liceus.com/cgi-bin/ac/pu/popper.asp
Los estoicos y los indemostrables
Los filósofos estoicos formularon una lógica proposicional en la que jugaban un papel crucial lo que ellos llamaban "indemostrables": eran 5 esquemas de argumentación simples y válidos que se
consideraban como axiomas o principios del razonamiento. Entre estos esquemas de razonamiento estaban el Modus Ponens, el Modus Tollens, y el Silogismo Disyuntivo. Un ejemplo del primer
indemostrable:
Si es de día, hay luz.
Es de día.
Por lo tanto, hay luz
Práctica con el Modus Ponens y Modus Tollens
Elige la conclusión adecuada para cada uno de los siguientes argumentos y justifica qué implicación tautológica o falacia ejemplifica cada uno de ellos:
Si Dios existe, no existe el mal en el mundo.
Dios existe.
Por lo tanto,
Elije la conclusión correcta
Ahora, justifica tu respuesta: este argumento es un ejemplo de...
Modus Ponens
Modus Tollens
Falacia de afirmación del consecuente
Falacia de negación del antecedente
73
LA
LÓGICA
74
Si Dios existe, no existe el mal en el mundo.
Existe el mal en el mundo.
Por lo tanto,
Elije la conclusión correcta
Ahora, justifica tu respuesta: este argumento es un ejemplo de...
Modus Ponens
Modus Tollens
Falacia de afirmación del consecuente
Falacia de negación del antecedente
Si Dios existe, no existe el mal en el mundo.
No existe el mal en el mundo.
Por lo tanto,
Elije la conclusión correcta
Ahora, justifica tu respuesta: este argumento es un ejemplo de...
Modus Ponens
Modus Tollens
Falacia de afirmación del consecuente
Falacia de negación del antecedente
Si Dios existe, no existe mal en el mundo.
Dios no existe.
Por lo tanto,
Elije la conclusión correcta
Ahora, justifica tu respuesta: este argumento es un ejemplo de...
Modus Ponens
Modus Tollens
74
LA
LÓGICA
75
Falacia de afirmación del consecuente
Falacia de negación del antecedente
Práctica con el Modus Ponens y Modus Tollens
Elige la conclusión adecuada para cada uno de los siguientes argumentos y justifica qué implicación tautológica o falacia ejemplifica cada uno de ellos:
Si Drácula cocina bien las pizzas, entonces Frankenstein es taxidermista.
Frankenstein no es taxidermista.
Por lo tanto,
Elije la conclusión correcta
Ahora, justifica tu respuesta: este argumento es un ejemplo de...
Modus Ponens
Modus Tollens
Falacia de afirmación del consecuente
Falacia de negación del antecedente
Cuando el grajo vuela bajo hace un frío del carajo.
Hace un frío del carajo.
Por lo tanto,
Elije la conclusión correcta
Ahora, justifica tu respuesta: este argumento es un ejemplo de...
Modus Ponens
75
LA
LÓGICA
76
Modus Tollens
Falacia de afirmación del consecuente
Falacia de negación del antecedente
Si las tortugas saben álgebra, entonces los sapos bailan flamenco.
Las tortugas no saben álgebra.
Por lo tanto,
Elije la conclusión correcta
Ahora, justifica tu respuesta: este argumento es un ejemplo de...
Modus Ponens
Modus Tollens
Falacia de afirmación del consecuente
Falacia de negación del antecedente
Si llueve, se me moja el coche.
Llueve.
Por lo tanto,
Elije la conclusión correcta
Ahora, justifica tu respuesta: este argumento es un ejemplo de...
Modus Ponens
Modus Tollens
Falacia de afirmación del consecuente
Falacia de negación del antecedente
76
LA
LÓGICA
77
Simplificación
Siguiendo con nuestro estudio de las tautologías como modelo de razonamientos correctos, en este apartado veremos la ley de Simplificación.
Simplificación
La tautología conocida como simplificación adquiere la siguiente forma lógica:
(p q)
p
y también
(p q)
q
que, traducido al lenguaje natural sería algo así como si p y q son ambos ciertos, entonces p en particular es cierto.
La definición de la conjunción exige que p y q sean simultáneamente ciertos para que p q sea cierto. La ley de la simplificación lo único que dice es que si p q es cierto, entonces tenemos garantizado
que cualquiera de esos dos términos de la mencionada conjunción son ciertos por separado.
Retomamos nuestro ejemplo:
Sea p: "hago mucho deporte", y q: "estoy cansado", según este esquema tautológico:
"Si hago mucho deporte y estoy cansado, entonces es cierto que haga mucho deporte"
Recurriendo a su forma argumental:
Hago mucho deporte y estoy cansado.
Por consiguiente, hago mucho deporte
Expresado en forma simbólica:
p q
77
LA
LÓGICA
78
p
Con la otra simplificación (p q)
q ocurre lo mismo mutatis mutandi.
Fíjate en esto
Fíjate que la siguiente implicación no es una tautología:(p q)
q.
Adición
Adición
La tautología conocida como adición adquiere la siguiente forma lógica:
p
(p q)
y también
q
(p q)
que, traducido al lenguaje natural sería algo así como si es cierto que p, entonces sabemos que p o q son verdad.
La definición de la disyunción exige que para que la disyunción p q sea cierta o bien p o bien q sean ciertos. En consecuencia, si sabemos que p es cierto, entonces cualquier disyunción en la que esté
p será cierta con independiencia del valor de verdad del otro término de la disyunción (o, para la otra formulación, cualquier disyunción en la que esté q será cierta).
Retomamos nuestro ejemplo:
Sea p: "hago mucho deporte", y q: "estoy cansado", según este esquema tautológico:
"Si hago mucho deporte, entonces es cierto que haga mucho deporte o estoy cansado"
78
LA
LÓGICA
79
Recurriendo a su forma argumental:
Hago mucho deporte.
Por consiguiente, hago mucho deporte o estoy cansado
Expresado en forma simbólica:
p
p q
Con la otra adición q
(p q) ocurre lo mismo mutatis mutandi.
Fíjate en esto
Fíjate que la siguiente implicación no es una tautología: p
(p q)
Practiquemos lo aprendido sobre la Simplificación y la Adición en la siguiente sección de práctica.
Práctica con la Simplificación y Adición
Elige la conclusión adecuada para cada uno de los siguientes argumentos y justifica a continuación qué implicación tautológica ejemplifica cada uno de ellos :
La Tierra es plana
Por lo tanto,
Elije la conclusión correcta
Ahora, justifica tu respuesta: este argumento es un ejemplo de...
79
LA
LÓGICA
80
Simplificación
Modus Ponens
Modus Tollens
Adición
La Tierra es plana, pero la Luna no es verde
Elije la conclusión correcta
Por lo tanto,
Ahora, justifica tu respuesta: este argumento es un ejemplo de...
Modus Ponens
Adición
Falacia de afirmación del consecuente
Simplificación
Iré de vacaciones a Madagascar
Por lo tanto,
Elije la conclusión correcta
Ahora, justifica tu respuesta: este argumento es un ejemplo de...
Adición
Simplificación
Modus Ponens
Modus Tollens
Ni canto flamenco, ni bailo el tango
80
LA
LÓGICA
81
Elije la conclusión correcta
Por lo tanto,
Ahora, justifica tu respuesta: este argumento es un ejemplo de...
Modus Ponens
Adición
Simplificación
Ninguna de las anteriores
Práctica con la Simplificación y Adición
Elige la conclusión adecuada para cada uno de los siguientes argumentos y justifica a continuación qué implicación tautológica ejemplifica cada uno de ellos :
Frankenstein es taxidermista
Por lo tanto,
Elije la conclusión correcta
Ahora, justifica tu respuesta: este argumento es un ejemplo de...
Simplificación
Modus Ponens
Modus Tollens
Adición
Frankenstein no es taxidermista, pero Drácula lleva ortodoncia
Por lo tanto,
Elije la conclusión correcta
Ahora, justifica tu respuesta: este argumento es un ejemplo de...
81
LA
LÓGICA
82
Modus Ponens
Adición
Falacia de afirmación del consecuente
Simplificación
No tengo frío ni calor
Por lo tanto,
Elije la conclusión correcta
Ahora, justifica tu respuesta: este argumento es un ejemplo de...
Adición
Simplificación
Modus Ponens
Modus Tollens
"El dinero no da la felicidad, pero calma los nervios" (Lola Flores)
Por lo tanto,
Elije la conclusión correcta
Ahora, justifica tu respuesta: este argumento es un ejemplo de...
Modus Ponens
Adición
Simplificación
Ninguna de las anteriores
82
LA
LÓGICA
83
Silogismo disyuntivo
Silogismo disyuntivo
La tautología conocida como silogismo disyuntivo tiene la siguiente forma lógica:
[(p q) (¬p)]
q
y también
[(p q) (¬q)]
p
que, traducido al lenguaje natural sería algo así como si es cierto que la disyunción p o q es verdadera, y además sabemos que no es cierto p, entonces sabemos que q es cierto con seguridad.
La definición de la disyunción exige que para que la disyunción p q sea cierta o bien p o bien q sean ciertos. En consecuencia, si sabemos que p no es cierto, entonces con seguridad q (el otro término
de la disyunción) ha de ser cierto.
Como muy bien señala Alfredo Deaño en su obra Introducción a la lógica formal, (Ed. Alianza, pg. 111, nota 114), la denominación tradicional de "Silogismo disyuntivo" es incorrecta, ya que, en rigor,
no se trata de un silogismo. Deaño propone el nombre de "Inferencia de la alternativa". Nosotros optaremos por dejar avisado al lector, continuando, en lo sucesivo, con la denominación
tradicional de "silogismo disyuntivo" por ser de uso más extendido.
Ejemplo:
Si sabemos que es cierto que o bien Raul marcó gol o bien Ronaldo fue quien marcó, y además sabemos que no marcó Raul, entonces es seguro que es cierto que marcó Ronaldo.
Recurriendo a su forma argumental:
O Raul marcó gol o fue Ronaldo quien marcó.
Raul no marcó gol
Por consiguiente, Ronaldo marcó.
83
LA
LÓGICA
84
Expresado en forma simbólica:
p q
¬p
q
Con la otra tautología [(p q) (¬q)]
p ocurre lo mismo mutatis mutandi.
Holmes y su versión del silogismo disyuntivo
Arthur Conan Doyle, el padre literario de Sherlock Holmes, en una de sus obras pone en boca del mejor detective de todos los tiempos la siguiente curiosa versión del Silogismo Disyuntivo:
"Una vez eliminado lo imposible, lo que queda, por improbable que parezca, debe ser la verdad"
Transitividad
Transitividad
La tautología que expresa la propiedad transitiva de la implicación tiene la siguiente forma lógica:
[(p
q) (q
r)]
(p
r)
que, traducido al lenguaje natural sería algo así como si es cierto que p implica q es verdadera, y además sabemos que es cierto que q implica r, entonces forzosamente p también implica r.
Ejemplo:
Si sabemos que si gana el Real Madrid entonces los madridistas están alegres, y que si los madridistas están alegres los barcelonistas están tristes, nos encontramos, en consecuencia, que si el Real
Madrid gana, los barcelonistas están tristes.
84
LA
LÓGICA
85
Recurriendo a su forma argumental correspondiente:
Si el Real Madrid gana, los madridistas están alegres.
Si los madridistas están alegres, entonces los barcelonistas están tristes.
Por consiguiente, si el Real Madrid gana los barcelonistas están tristes.
Expresado en forma simbólica:
p
q
q
r
p
r
Fíjate en esto:
En ocasiones se puede expresar la ley de la transitividad de la implicación sin utilizar paréntesis: los dos primeras condicionales quedarían p
intermedia: p r.
q
r, y podemos obtener la conclusión eliminando la q
Es hora de practicar lo aprendido sobre el silogismo disyuntivo y la transitividad en la siguiente sección.
Practica con el Silogismo Disyuntivo y la Transitividad
Elige la conclusión adecuada para cada uno de los siguientes argumentos y justifica a continuación qué implicación tautológica ejemplifica cada uno de ellos:
No hace calor
O hace frío, o hace calor
85
LA
Por lo tanto,
LÓGICA
86
Elije la conclusión correcta
Ahora, justifica tu respuesta: este argumento es un ejemplo de...
Simplificación
Silogismo disyuntivo
Modus Tollens
Transitividad
Si tengo mucho dinero, entonces viajo al Perú
Si me toca la lotería, entonces tengo mucho dinero
Por lo tanto,
Elije la conclusión correcta
Ahora, justifica tu respuesta: este argumento es un ejemplo de...
Modus Ponens
Silogismo disyuntivo
Transitividad
Simplificación
Si apruebo el curso, entonces me compran la moto.
Si estudio mucho, entonces aprobaré el curso.
Por lo tanto,
Elije la conclusión correcta
Ahora, justifica tu respuesta: este argumento es un ejemplo de...
Adición
Transitividad
Modus Ponens
86
LA
LÓGICA
87
Silogismo disyuntivo
O no estudio mucho, o me compran la moto
Estudio mucho
Por lo tanto,
Elije la conclusión correcta
Ahora, justifica tu respuesta: este argumento es un ejemplo de...
Modus Ponens
Adición
Simplificación
Silogismo disyuntivo
Introducción a las equivalencias tautológicas
En las páginas siguientes haremos un repaso de las principales equivalencias tautolócicas, que son un tipo de tautologías que siguen un esquema de bicondicional: A
Recuerda que A
B se define como (A
B) (B
B.
A), por lo que un enunciado bicondicional es verdadero cuando sus dos enunciados componentes son o bien ambos verdaderos o bien ambos falsos.
Las equivalencias tautológicas o equivalencias lógicas
B.
Las equivalencoas tautológicas tienen la forma A
B donde A y B son enunciados (atómicos o moleculares) que son lógicamente equivalentes. En otras palabras, si A
B es tautológica, entonces A
Por lo tanto, todas las equivalencias lógicas que hemos estudiado en el apartado correspondiente son ejemplos de equivalencias tautológicas. Las equivalencias tautológicas que ya conocemos son las
siguientes (expondremos unos cuantos ejemplos a continuación y una lista mayor en la página siguiente):
Doble negación
p
¬(¬p)
87
LA
LÓGICA
88
Propiedad
Propiedad
Propiedad
Propiedad
conmutativa de
conmutativa de
asociativa de la
asociativa de la
la conjunción
la disyunción
conjunción
disyunción
Leyes de DeMorgan
Definición del implicador
Contrarrecíproco del implicador
Definición del coimplicador
p q
q p
p q
q p
p (q r)
(p q) r
p (q r)
(p q) r
¬(p q)
(¬p) (¬q)
¬(p q)
(¬p) (¬q)
p q
¬p q
p q
¬q ¬p
p
q
(p q) (q p)
En el cuadro anterior tenemos las equivalencias lógicas (y tautológicas) que ya hemos estudiado expresadas en forma de ley lógica. Veamos la ley de la doble negación en el siguiente cuadro
expresada en forma de regla de inferencia (es decir, en su forma argumental):
La Ley de la Doble Negación [p
¬(¬p)] expresada en forma de regla de inferencia adopta las dos formas siguientes de representación:
p
¬(¬p)
y
también
Existe la convención de representar simplificadamente las equivalencias tautológicas utilizando entre premisa y conclusión una raya doble, en lugar de una sencilla (como ocurría en el caso de las implicaciones t
como de la expresión de debajo de laray a hacia la de arriba.
p
¬(¬p)
Veamos en la siguiente sección las equivalencias tautológicas más importantes en forma de ley, y en forma de regla de inferencia.
Tabla de resumen de las equivalencias tautológicas
En el siguiente cuadro aparecen todas las equivalencias tautológicas que ya conocemos en forma tanto de leyes como de regla de inferencia. Al presentar las reglas de inferencia hemos preferido
utilizar, convencionalmente, las letras mayúsculas A, B, C, etc. para dar a entender de una forma más clara que cualquiera de dichas letras puede ser ocupada por un enunciado atómico, o por
uno molecular (es decir, por otra fórmula).
88
LA
LÓGICA
89
DENOMINACIÓN
LEY
REGLA DE INFERENCIA
A
Doble negación
p
¬(¬p)
¬(¬A)
A B
Propiedad conmutativa de la conjunción
(p q)
(q p)
B A
A B
Propiedad conmutativa de la disyunción
(p q)
(q p)
B A
A (B C)
Propiedad asociativa de la conjunción
(p (q r))
((p q) r)
(A B) C
A (B C)
Propiedad asociativa de la disyunción
(p (q r))
((p q) r)
(A B) C
¬(A B)
(¬(p q))
((¬p) (¬q))
(¬A) (¬B)
Leyes de DeMorgan
¬(A B)
(¬(p q))
((¬p) (¬q))
(¬A) (¬B)
A
Definición del implicador
(p
q)
B
(¬p q)
¬A B
Contrarrecíproco del implicador
(p
q)
(¬q
¬p)
A
B
89
LA
LÓGICA
90
¬B
¬A
A
Definición del coimplicador
(p
q)
((p
q) (q
p))
(A
5.
B
B) (B
A)
EL CÁLCULO DEDUCTIVO
Definiciones y terminología
En este bloque de contenidos de Aprende Lógica aprenderemos lo fundamental del cálculo deductivo. Empezaremos, para ello, recordando algunos conceptos básicos que hay que tener presentes en lo
sucesivo.
90
LA
LÓGICA
91
Hemos visto ya lo que es un argumento: un conjunto de enunciados llamados premisas de los cuales forzosamente se sigue otro enunciado llamado conclusión.
Un argumento es válido cuando la verdad de las premisas es incompatible con la falsedad de la conclusión, y es inválido en caso contrario.
Es importante recordar...
La terminología es importante. Recuerda que...
los argumentos son válidos o inválidos (o bien correctos o incorrectos)
los enunciados son verdaderos o falsos
También hemos estudiado algunos de estos esquemas de razonamiento lógicamente válidos, y hemos comprobado que hay dos formas de presentar los esquemas de inferencia lógicamente válidos:
1.
2.
Cada enunciado condicional, A B, se puede reexpresar como una derivación, A B, denominada argumento correspondiente o derivación correspondiente del condicional
Recíprocamente, cada derivación, A1, A2,...An B se puede reexpresar como un enunciado condicional con la forma (A1 A2 ... An) B denominada condicional correspondiente del
argumento.
Es decir:
En forma de leyes lógicas con la estructura de una implicación cuyo antecedente está formado por la conjunción de las premisas y cuyo consecuente es la conclusión. Por ejemplo, la ley lógica
llamada Modus Ponens tiene la siguiente estructura en forma de ley:
[(p
q) p]
q
En forma de reglas de inferencia o forma argumental, presentando cada una de las premisas en una línea diferente (y no unidas por la conjunción en el antecedente de una implicación, como
en las leyes lógicas), y la conclusión separada por una raya horizontal. Así, la ley llamada Modus Ponens se puede presentar de la siguiente manera en forma de regla de inferencia:
p
q
p
q
Como preferimos una formulación más general, seguiremos la convención de utilizar las letras p, q, r ... para referirnos a los enunciados atómicos, y las letras mayúsculas A, B, C ... para hablar
tanto de enunciados atómicos como moleculares. De acuerdo con esta forma más general de hablar, enunciaremos la regla de inferencia del Modus Ponens de la siguiente manera (equivalente a la
91
LA
LÓGICA
92
anterior, pero más práctica, más general):
A
B
A
B
La forma que utilizaremos para referirnos a los argumentos en esta sección será esta última. Después de este preámbulo, continuemos con un ejemplo práctico de la mecánica del cálculo deductivo.
Introducción al cálculo deductivo: las pruebas
Empecemos con un ejemplo de un argumento que sigue el esquema de la ley lógica del Modus Ponens:[(p
p
q) p]
q, cuyo argumento correspondiente es:
q
p
q
Como habíamos comentado en la página anterior, las letras minúsculas se refieren a enunciados moleculares, pero en realidad no hay razón para restringir los esquemas válidos de inferencia (es
decir, las reglas de inferencia) a los enunciados atómicos. Consideremos el siguiente argumento:
Si llueve y no tengo paraguas, entonces me
mojo y me resfrío
Es el caso que llueve y no tengo paraguas
92
LA
LÓGICA
93
Por lo tanto, me mojo y me resfrío
Si formalizamos el argumento anterior, nos quedaría algo así:
p: llueve
(p ¬q)
q: tengo paraguas
(r s)
(p ¬q)
r: me mojo
s: me resfrío
(r s)
Si aplicamos lo expuesto en la sección anterior, es fácil comprobar que este argumento responde a la formulación más general del Modus Ponens:
A
B
A
donde:
A (p ¬q)
B (r s)
B
Así expuesta, ya tenemos que el Modus Ponens es nuestra primera regla de inferencia. Usaremos las reglas de inferencia para construir listas de enunciados verdaderos que llamaremos pruebas.
Una prueba es una forma de mostrar cómo un enunciado llamado conclusión se sigue necesariamente de un conjunto de enunciados llamados premisas. O si se prefiere, las pruebas muestran cómo la
verdad de un conjunto de enunciados llamados premisas es incompatible con la falsedad de otro enunciado llamado conclusión.
En particular, el Modus Ponens nos muestra que si en un argumento tenemos dos premisas con la estructura A
parte de dicho argumento.
B y A , entonces está justificado añadir B como otro enunciado verdadero que forme
Veámoslo con un ejemplo
Aplica el Modus Ponens a los enunciados 1 y 3 de la siguiente lista de premisas (esto es, de enunciados de los que partimos como verdaderos, y que, convencionalmente, vienen precedidos de una
raya horizontal):
1. (¬p q)
2. (r ¬s)
3 (¬p q)
(¬r s)
La solución es elemental si nos damos cuenta de que el siguiente argumento tiene la siguiente estructura:
93
LA
1. A
B
donde:
2. C
3. A
LÓGICA
94
A (¬p q)
B (¬r s)
C (r ¬s)
El enunciado A aparece dos veces: en los enunciados 1 y 3; y el enunciado B aparece sólo en el enunciado 1. El enunciado C sólo aparece en el segundo enunciado y no tiene pertinencia para la
aplicación del Modus Ponens en este caso concreto, que es de la siguiente manera:
1.
2.
3
4.
(¬p q)
(r ¬s)
(¬p q)
(¬r s)
(¬r s)
Premisa
Premisa
Premisa
Modus Ponens 1,3
Esta lista de cuatro enunciados constituye una prueba de que el enunciado 4 se sigue necesariamente de las premisas 1 a 3 (en virtud de la estructura tautológica de la ley del Modus Ponens: [(p
q) p] q, aunque, por conveniencia práctica la hayamos expresado en forma de regla de inferencia).
Observa que en la parte de la derecha hemos escrito "Modus Ponens 1,3", que es la justificación del enunciado 4. Esto es una práctica común.
Fíjate en esto...
Lo que hemos hecho en este ejemplo ha sido construir una prueba del siguiente argumento:
(¬p q)
(r ¬s)
(¬p q)
(¬r s)
(¬r s)
Es importante que este mismo fin de mostrar que la verdad de las premisas es incompatible con la falsedad de la conclusión podría haberse hecho por medios semánticos realizando la tabla de verdad
de la siguiente fórmula:
{[(¬p q)
(¬r s)] [(r ¬s)] [(¬p q)]}
[(¬r s)]
Si la fórmula anterior es una tautología, entonces es cierto que la verdad de las premisas {[(¬p q)
(¬r s)] [(r ¬s)] [(¬p q)]} es incompatible con la falsedad de la conclusión (¬r s).
Las reglas derivadas de inferencia
Ya hemos comprobado que únicamente a partir de las reglas básicas se puede hacer cualquier deducción. Pero sucede que podemos introducir, con fines prácticos, nuevas reglas deducidas o derivadas
de las básicas, que nos van a permitir abreviar el número de líneas de las derivaciones. Hay que recordar, sin embargo, que todo lo que se puede hacer con las reglas derivadas también se puede
conseguir con las básicas, aunque con más pasos, por lo que se dice que las reglas derivadas no aumentan la potencia deductiva de las reglas básicas.
94
LA
LÓGICA
95
Las reglas derivadas, por lo tanto tienen estas tres características:
1.
2.
3.
Son deducciones efectuadas a partir de reglas básicas.
No aumentan la potencia deductiva de las reglas básicas.
Frecuentemente abrevian las derivaciones.
Cuando presentamos la reducción al absurdo ya comprobamos la primera de estas características: a partir de las reglas básicas derivamos (deducimos, o fundamentamos) una regla derivada: el
Modus Tollens.
Modus Tollens en
su forma de ley
Modus Tollens en forma de argumento:
(o condicional
correspondiente):
Fundamentación del Modus Tollens a
partir de las reglas básicas:
1. A
p
[(p
q) ¬q]
¬p
B
2. ¬B
q
¬q
¬A
3. A
¬p
4. B
MP 1,3
5. B ¬B
Prod 4,2
6. ¬A
Abs 3-5
De forma análoga, se pueden fundamentar todas las reglas derivadas que vamos a estudiar.
Divideremos nuestro estudio de las reglas derivadas en cuatro secciones correspondientes a las reglas derivadas, respectivamente, de la implicación, de la negación, de la conjunción y de la
disyunción. No ofreceremos la fundamentación de cada una de ellas, lo que queda propuesto como interesante ejercicio para el lector.
Comencemos con las reglas derivadas de la implicación.
Las reglas derivadas de implicación
Las cuatro reglas derivadas de implicación que veremos son las siguientes:
1. Silogismo hipotético
(SH)
A
B
B
C
2. Mutación de Premisas
(Mut)
A
(B
C)
B
(A
C)
95
LA
LÓGICA
96
A
C
3. Identidad (Id)
4. Carga de Premisas (CPr)
A
A
A
B
A
Fíjate en esto:
Al presentarte el Teorema de deducción utilizamos un ejemplo práctico que puede servir para fundamentar el silogismo hipotético:
1. p
q
2. q
r
p
r
3. p
4. q
MP 1,3
5. r
MP 2,4
6. p
r
TD 3-5
Practiquemos lo expuesto: rellena la siguiente deducción de acuerdo con las justificaciones de cada paso de la deducción.
1.p
2.q
3.r
q
(r
s)
s
(p
4.
SH 1,2
5.
Mut 4
6.
MP 5,3
7.
CPr 6
s)
Sigamos examinando las reglas derivadas de la negación.
96
LA
LÓGICA
97
Las reglas derivadas de negación
Las cinco reglas derivadas de negación que veremos son las siguientes:
1.
Contraposición
(Cp)
2. Modus tollens (MT)
A
A
B
B
¬B
¬B
¬A
¬A
3. Principio de
no
contradiccion
(PNC)
¬(A ¬A)
4. Principio de tercio excluso (PTE)
A ¬A
5. Ex
contradictione
quodlibet
(ECQ)
A ¬A
97
LA
LÓGICA
98
B
Fíjate en esto:
Ya conocemos las reglas de Contraposición (como una de las propiedades del condicional) y Modus Tollens.
Los principios de no contradicción y de TERCIO EXCLUSO se pueden invocar en una deducción en cualquier línea, y son dos axiomas que se postulan como vedaderos en la lógica de enunciados.
La regla de Ex contradictione quodlibet (de una contradicción, cualquier cosa) nos dice que si en el curso de una deducción somos capaces de encontrarnos con una contradicción (A ¬A), entonces en
la línea siguiente podemos poner cualquier fbf.
Practiquemos lo expuesto: rellena la siguiente deducción de acuerdo con las justificaciones de cada paso de la deducción.
1.p
2.¬p
q
(r
3.¬(¬q
s)
s)
s
4.
Cp 1
5.
SH 4,2
6.
Mut 5
7.
MT 6,3
(p
s)
98
LA
LÓGICA
99
1.
(¬p
¬r)
2. (q
¬q)
s) (s
¬(r
p)
t
3.
Simp 2
4.
Simp 2
5.
SH 3,4
6.
Cp 5
7.
MP 1,6
8.
PTE
9.
Prod 8,7
10.
ECQ 9
Sigamos examinando las reglas derivadas de la conjunción.
99
LA
LÓGICA
100
Las reglas derivadas de conjunción
Las siete reglas derivadas de la conjunción que veremos son las siguientes (conocemos las tres primeras):
1. Conmutativa de la
conjunción (CC)
2. Asociativa de la
conjunción (AC)
A B
(A B) C
B A
A (B C)
3. Distributiva de la
conjunción (DC)
4. Idempotencia de la
conjunción (IdC)
A (B C)
A A
(A B) (A C)
A
5. Absorción de la
conjunción (AbsC)
A (A B)
6.Importación (Imp)
A
(B
C)
100
LA
LÓGICA
101
A
(A B)
C)
7. Exportación (Exp)
(A B)
C)
A
C)
(B
Fíjate en esto
Ya conocemos las reglas Conmutativa, Asociativa y Distributiva de la conjunción (como propiedades de la conjunción).
Practiquemos lo expuesto: rellena la siguiente deducción de acuerdo con las justificaciones de cada paso de la deducción.
[p (q r)] [p (q
1.
r)]
2.¬(p r)
q p
3.
IdC 1
4.
DC 3
101
LA
LÓGICA
102
5.
SD 4,2
6.
CC 5
1.
(¬p
¬r)
2. (q
¬q)
s) (s
¬(r
p)
t
3.
AC 2
4.
Mut 1
5.
Simp2 3
6.
MP 4,5
7.
Simp1 3
8.
DN 7
102
LA
LÓGICA
103
9.
MT 6,8
10.
AbsC 10
Sigamos examinando las reglas derivadas de la disyunción.
Las reglas derivadas de disyunción
Las ocho reglas derivadas de la disyunción que veremos son las siguientes (conocemos ya algunas):
2. Asociativa de la disyunción (AD)
A B
(A B) C
B A
A (B C)
103
LA
LÓGICA
104
4. Idempotencia de la disyunción (IdD)
A (B C)
A A
(A B) (A C)
A
6.Silogismo disyuntivo (SD)
A B
A B
¬B
¬B
A (A B)
DilC1)
A
(SD1)
A
A
8. Dilema destructivo (DilD)
A B
¬A ¬B
A
C
C
A
B
D
C
B
(DilC2)
104
LA
LÓGICA
105
C D
¬C
Fíjate en esto
Ya conocemos las reglas Conmutativa, Asociativa y Distributiva de la disyunción (como propiedades de la disyunción). Además, las reglas de Idempotencia y de Absorción de la disyunción
son análogas a las de la conjunción.
Practiquemos lo expuesto: rellena la siguiente deducción de acuerdo con las justificaciones de cada paso de la deducción.
1.r
¬(t
2.p (q r)
p q)
¬r ¬r
3.
DD 2
4.
Simp1 3
5.
CPr 4
6.
DN 5
7.
MT 1,6
105
LA
LÓGICA
106
8.
1.(p q)
IdD 7
[(r s) t)
2.p (p q)
3.¬r
t s
4.
AbsD 2
5.
Ad1 4
6.
MP 1,5
7.
AD 6
8.
SD2 7,3
9.
CD 8
Sigamos examinando las reglas derivadas de la coimplicación.
106
LA
LÓGICA
107
Las reglas derivadas de coimplicación
Las cuatro reglas derivadas de implicación que veremos son las siguientes:
1. Introducción
del
coimplicador
(ICO)
A
B
B
A
A
C
2. Eliminación del coimplicador (ECO)
A
B
B
A
A
A
B
A
B
A
B
A
(ECO1)
(ECO3)
B
3. Reflexividad
(Refl CO)
A
A
B
(ECO2)
B
(ECO4)
A
4. Simetría (Sim CO)
A
B
B
A
5. Transitividad
(Trans CO)
A
B
B
C
A
C
Fíjate en esto:
En realidad la Reflexividad, la Simetría y la Transitividad son propiedades del bicondicional que pueden ser utilizadas como reglas de inferencia:
Practiquemos lo expuesto: rellena la siguiente deducción de acuerdo con las justificaciones de cada paso de la deducción.
107
LA
LÓGICA
108
1.q (r s)
2.(q p) ¬r
p
q
3.
DD 1
4.
Simp1 3
5.
Simp2 2
3.
SD 4,5
4.
CPr 6
5.
Simp1 2
6.
ICO 7,8
1.p
(q r)
2.q ¬p
¬r
7.
ECO2 1
8.
Exp 3
5.
Simp1 2
6.
MP 4,5
7.
Simp2 2
8.
MT 6,7
En la página siguiente acabaremos nuestro estudio de las reglas derivadas con las de interdefinición.
108
LA
LÓGICA
109
Las reglas de interdefinición
Las reglas derivadas de interdefinición muestran la forma de definir unas conectivas en términos de otras. A continuación veremos nuevas definiciones del implicador, el conjuntor y el disyuntor:
1. Definiciones del implicador
(DfI)
A
A
B
B
(DfI1)
¬(A ¬B)
2. Definiciones del conjuntor
(DfC)
(DfI2)
3. Definiciones del disyuntor (DfD)
A B
(DfD1)
¬A
B
(DfC1)
¬(A
¬A B
A B
¬B)
(DfC2)
¬(¬A ¬B)
4. Leyes de DeMorgan (DM)
¬(A B)
¬(A B)
(DfD2)
¬(¬A ¬B)
A B
A B
(DM1)
¬A ¬B
(DM2)
¬A ¬B
Las reglas de interdefinición
DfI1 es una definición del implicador en términos del conjuntor.
DfI2 es una definicón del implicador en términos del disyuntor.
109
LA
LÓGICA
110
DfC1 es una definición del conjuntor en términos del implicador.
DfC2 es una definición del conjuntor en términos del disyuntor.
DfD1 es una definición del disyuntor en términos del implicador.
DfD2 es una definición del disyuntor en términos del conjuntor.
Fíjate en esto
Ya conocemos las reglas de definición del implicador 2 (que llamábamos "intercambiador") y leyes de DeMorgan, que hemos estudiado cuando tratamos el tema de las leyes de la Lógica.
Practiquemos lo expuesto: rellena la siguiente deducción de acuerdo con las justificaciones de cada paso de la deducción.
1.p
2.¬p
q
r
q r
3.
Cp1 1
4.
SH 3,2
5.
DfD1 4
1.(p q)
r
110
LA
LÓGICA
111
2.¬r s
3.¬s
4.p
¬q
5.
SD 2,3
6.
MT 1,5
7.
DM 6
8.
SD 7,4
1.¬(p ¬q)
2.q
3.¬r
6.
r
¬p
DfD1 1
111
LA
LÓGICA
112
7.
MT 2,3
8.
MT 4,5
112