Download GEOMETRIA BASICA

República de Panamá
Ministerio de Educación
Tel.: 958-5804
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA
Instituto Profesional y Técnico de Veraguas
Nombre del Alumno o la Alumna: _____________________________Grupo:10º ______
Sección: Bachiller Industrial  Segundo Ciclo Industrial
Especialidad: _____________________
UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 8
Conceptos Geométricos
8.0 ÁREA: Geometría
8.1 OBJETIVOS
 Repasar los conceptos fundamentales de la Geometría.
 Utilizar las nociones geométricas para realizar problemas de su entorno.
8.2 INTRODUCCIÓN
La Geometría es una de las áreas de la Matemática que presenta muchas dificultades para su
aprendizaje, por parte de los estudiantes, al punto de que algunos expresan no saber ni siquiera los
conceptos fundamentales de esta área, y que nunca lo han visto. Sin embargo, este problema se
inicia desde los primeros grados del nivel primario, cuando los docentes dejan esta área para
finalizar el periodo escolar y el tiempo no les alcanza, dejando esos temas para después y no son
tratados, y llegan a la secundaria sin poder asimilar los contenidos geométricos.
Por tal razón, en esta unidad se tratan algunos contenidos fundamentales de Geometría, que son
muy necesarios, que los alumnos adquieran y comprendan, para su mejor desempeño.
8.3 CONTENIDOS
8.3.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRÍA

El punto es un ente matemático creado por el hombre para poder representar
las figuras geométricas. El punto no tiene peso, ni forma ni olor ni sabor; sólo
tiene posición. Se representa por la intersección de 2 líneas y se nombra con
una letra mayúscula para diferenciar uno de otro.

Espacio: es un conjunto infinito de puntos.

Línea recta: es un conjunto infinito de puntos ordenados siguiendo
la misma dirección.
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
Línea Curva: es un conjunto infinito de puntos ordenados cambiados de
dirección.

Segmento o Trazo: es la unión de los puntos A y B con los puntos “entre” A y B

Rayo: es la unión de una semirrecta con el punto frontera.

Rectas secantes: son las rectas que se intersectan, es decir, tienen un punto en común.

Rectas paralelas: son las rectas que están en un mismo plano y tienen   (intersección vacía)
8.3.2 DIVERSAS CLASES DE ÁNGULOS

Ángulo: es la porción de plano limitada
por dos semirrectas con origen en un
mismo punto. Las semirrectas se llaman
lado inicial y final. Al origen común se le
denomina vértice del ángulo.

Ángulo es la unión de dos rayos que tienen un punto frontera común.
Los ángulos se nombran de varias maneras:
 Con una letra minúscula, como a o b, o a veces con una letra griega como  (alfa),  (beta).
 Con tres letras mayúsculas y el símbolo de ángulo, así: AOB
 Con tres letras mayúsculas y un símbolo en forma de ángulo encima. La letra del medio es el
vértice, así:
La región angular es cada una de las dos partes en que queda dividido el plano por el ángulo.
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Si trazamos una recta horizontal que se intersecte con una recta
vertical se forman 4 ángulos de la misma medida, que es 90 º. Las
regiones que separan estas rectas se llaman cuadrantes: I, II, III
y IV.
A cada uno de los ángulos que se forman de esta manera, se les
llama Ángulos Rectos.

Amplitud de un ángulo: se llama amplitud de un ángulo a la medida de éste.
8.3.2.1 ÁNGULOS SEGÚN SU AMPLITUD

Ángulo nulo: es el ángulo que mide 0°. Sus lados son dos
rayos coincidentes.

Ángulo agudo: es el ángulo me mide más de 0° y menos de 90°.


Ángulo recto: es el ángulo mide 90°.
Ángulo obtuso: es el ángulo que mide más de 90° y menos de 180°.

Ángulo llano o ángulo extendido (o rectilíneo o plano o
colineal): es el ángulo que mide 180°. Sus rayos forman
una línea recta. Sus lados son
dos rayos opuestos.

Ángulo convexo o ángulo saliente: es el ángulo cuya medida está
comprendida entre 0° y 180°.

Ángulo cóncavo o ángulo reflejo (o entrante): es el ángulo que
mide más de 180° y menos de 360°.

Ángulo completo o ángulo de giro (o perigonal): es el ángulo que
mide 360°. Es decir, es aquel ángulo que da la vuelta a la circunferencia,
también se le denomina ángulo de una vuelta. Se genera al girar un rayo,
completando una vuelta alrededor de su origen.
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8.3.2.2 ÁNGULOS EN FUNCIÓN A SU AMPLITUD

Ángulos congruentes: dos ángulos son congruentes si tienen la
misma medida o amplitud, es decir, que miden lo mismo.

Ángulos complementarios: dos ángulos son complementarios, si la
suma de sus ángulos es de 90°.
Complemento de un ángulo son los grados
que le faltan a un ángulo agudo para
completar 90º.

Ángulos suplementarios: dos ángulos son suplementarios, si la
suma de sus ángulos es de
180°.
Suplemento de un ángulo son los
grados que le faltan a un ángulo
para completar 180º.

Ángulos conjugados: dos ángulos son
conjugados si sus medidas suman 360°.
Conjugado de un ángulo son los grados
que le faltan a un ángulo para completar
180º.
8.3.2.3 ÁNGULOS EN FUNCIÓN A SU POSICIÓN

Ángulos opuestos por el vértice son dos ángulos,
cuyos lados forman dos pares de rayos opuestos.
Se forman al prolongar los lados de un ángulo más
allá del vértice común la porción de plano limita.
Observación: los ángulos opuestos por el vértice son de la misma medida.
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
Ángulos adyacentes: son aquellos ángulos que tienen el
vértice y un lado en común; son semirrectas opuestas, es decir,
sus lados no comunes pertenecen a una misma recta, y no
tienen ningún punto interior en común y suman 180°. Se les
denomina par lineal.

Ángulos consecutivos o ángulos contiguos: es aquel par de
ángulos que tienen el vértice y un lado en común. Están colocados
uno a continuación de otro.
Observación: los ángulos consecutivos son los conjugados y los adyacentes.
8.3.2.4 GALERÍA DE ÁNGULOS
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8.3.3 EJEMPLOS RESUELTOS SOBRE ÁNGULOS
Ejemplo 1: Si  mide 35°, entonces su complemento  será:     90
35    90
  90  35
  55
Ejemplo 2: Si  mide 24°30’, entonces su complemento  será:     8960'
2430'    8960'
  8960' 2430'
  6530'
Ejemplo 3: Si  mide 112°, entonces su suplemento  será:     180
112    180
  180  112
  68
Ejemplo 4: Si  mide 148°, entonces su conjugado  será:     360
148    360
  360  148
  212
Ejemplo 5: Si  mide 56°25’, entonces su complemento  será:     17960'
5625'    17960'
  17960' 5625'
  12335'
Ejemplo 6: Si  mide 215°32’, entonces su conjugado  será:     35960'
21532'    35960'
  35960' 21532'
  14428'
Ejemplo 7: Sean  y  ángulos complementarios, si  es el triple del ángulo . ¿Cuánto mide ?
Solución: como  y  son ángulos complementarios entonces     90 ; sea m  x
    90
3 x  x  90
4 x  90
x 
90
 22,5
4
Luego, el ángulo  es:   3x  322,5  67,5
Respuesta: m  67,5
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Ejemplo 8: Sean  y  ángulos suplementarios, si  es el cuádruplo del ángulo . ¿Cuánto mide ?
Solución: como  y  son ángulos suplementarios entonces     180 , sea m  x
    180
4 x  x  180
5 x  180
x 
180
 36
5
Luego, el ángulo  es:   4x  4 36  144
Respuesta: m  144
Ejemplo 9: Si la medida del ángulo  es cinco veces la medida de su complemento (  ) ¿Cuál es
la medida de cada ángulo?
Solución: Los ángulos  y  son ángulos complementarios
    90
5 x  x  90
6 x  90
x 
90
 15
6
Luego, los ángulos son:
  5 x  5 15  75
  x  15
Respuesta: las medidas de los ángulos son: m  75 y m  15
Ejemplo 10: Si  = 17°, entonces la medida  será:
Solución: Los ángulos  y  son ángulos contiguos
  
17  


 50
 50
 50  17
 33
Respuesta:   33
Ejemplo 11: Si  = 42°, entonces la medida  será:
Solución: Los ángulos  y  son ángulos complementarios
    90
42    90
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  90  42
  48
Respuesta:   48
Ejemplo 12: Si  = 52°, entonces la medida  será:
Solución: Los ángulos  y  son ángulos contiguos
  
52  


 120
 120
 120  52
 68
Respuesta:   68
Ejemplo 13: Si  = 34°, entonces la medida  será:
Solución: Los ángulos  y  son ángulos adyacentes y son ángulos suplementarios.
  
34  


 180
 180
 180  34
 146
Respuesta:   146
Ejemplo 14: Encuentre los ángulos  y  según se indica en la
siguiente figura:
Solución: Los ángulos  y  son ángulos contiguos
    81
3 x  x  1  81
4 x  81  1
4 x  80
80
4
x  20
x 
Luego, los ángulos son:
  3x  320  60
  x  1  20  1  21
Respuesta: los ángulos son   60 y   21 , y son ángulos agudos
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Ejemplo 15: Encuentre los ángulos  y  según se indica en la siguiente figura:
Solución: Los ángulos  y  son ángulos complementarios
    90
x  7  3 x  5  90
4 x  2  90
4 x  90  2
4 x  88
88
4
x  22
x 
Luego, los ángulos son:
  x  7  22  7  29
  3x  5  322  5  66  5  61
Respuesta: los ángulos son   29 y   61 , y son ángulos agudos.
Ejemplo 16: Encuentre los ángulos  y  según se indica en la siguiente figura:
Solución: Los ángulos  y  son ángulos contiguos
    130
x  3  5 x  1  130
6 x  4  130
6 x  130  4
6 x  126
126
6
x  21
x 
Luego, los ángulos son:
  x  3  21  3  24
  5 x  1  5 21  1  105  1  106
Respuesta: los ángulos son   24 (ángulo agudo) y   106 (ángulo obtuso)
Ejemplo 17: Encuentre los ángulos  y  según se indica en la siguiente figura:
Solución: Los ángulos  y  son ángulos adyacentes
    180
3 x  10  5 x  6  180
8 x  4  180
8 x  180  4
8 x  184
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8 x  184
184
x 
 23
8
Luego, los ángulos son:
  3x  10  3 23  10  69  10  59
  5 x  6  5 23  6  115  6  121
Respuesta: los ángulos son   59 (ángulo agudo) y   121 (ángulo obtuso)
Ejemplo 18: Encuentre los ángulos  y  según se indica en la siguiente figura:
Solución: Los ángulos  y  son ángulos adyacentes
    180
x  13  2 x  10  180
3x  3  180
3 x  180  3
3 x  183
x 
183
 61
3
Luego, los ángulos son:
  x  13  61  13  48
  2 x  10  2 61  10  122  10  132
Respuesta: los ángulos son   48 (ángulo agudo) y   132 (ángulo obtuso)
Ejemplo 19: Encuentre los ángulos  y  según se indica en la siguiente figura:
Solución: Los ángulos  y  son ángulos adyacentes
    320
3 x  30  7 x  20  320
10 x  50  320
10 x  320  50
10 x  270
x 
270
 27
10
Luego, los ángulos son:
  3x  30  3 27  30  81  30  111
  7 x  20  7 27  20  189  20  209
Respuesta: los ángulos son   111 (ángulo obtuso) y   209 (ángulo entrante)
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8.3.4 MEDICIÓN DE ÁNGULOS

Grado: es la unidad universal utilizada para medir
ángulos.
Si dividimos una circunferencia en 360 partes iguales,
cada una de esas partes es un grado.
ángulos
se
construyó
un
Para medir
instrumento
llamado
transportador.

Transportador: es el instrumento utilizado para encontrar los grados de un ángulo.
¿Cómo se usa? Debes poner el centro del transportador en el vértice del ángulo y el cero en uno de
los lados del ángulo.
Supongamos que debemos representar un ángulo agudo:
Observa: ¿Cuál de estos ángulos tiene mayor medida?
Si los mides con tu transportador te darás cuenta que los dos miden 25°, o sea, ambos tienen igual
medida.
Observación: el largo de los lados de un ángulo no influye en su medida, lo importante es la
abertura entre los lados.
8.3.5 LOS POLÍGONOS

Polígono: es una figura geométrica formada por la unión de tres o más segmentos de recta.

Triángulo: es un polígono de tres lados.
Cuadrilátero: es un polígono de cuatro lados.
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
Pentágono: es un polígono de cinco lados.

Hexágono: es un polígono de seis lados

Heptágono: es un polígono de siete lados
8.3.5.1 CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS
NOMBRE DEL POLÍGONO
NÚMERO DE LADOS
Trígono o triángulo
3
Tetrágono, cuadrángulo o cuadrilátero
4
Pentágono
5
Hexágono
6
Heptágono
7
Octógono u octágono
8
Eneágono o Nonágono
9
Decágono
10
Undecágono o endecágono
11
Dodecágono
12
Tridecágono
13
Tetradecágono
14
Pentadecágono
15
Isodecágono o icoságono
20
Pentacontágono
50
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12
8.3.6 RECTAS PARALELAS () CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL
Las rectas paralelas, como ya se ha
definido antes, son aquellas rectas que
estando en un mismo plano, tienen
intersección vacía.
 Cinta: es la región del plano comprendida
entre dos rectas paralelas.
8.3.6.1 ÁNGULOS ENTRE RECTAS PARALELAS
Al intersectar una paralela por una recta llamada transversal o secante, se forman los siguientes
tipos de ángulos:
1 adyacente al 2
2 adyacente al 4
4 adyacente al 3
3 adyacente al 1
5 adyacente al 6
6 adyacente al 8
8 adyacente al 7
7 adyacente al 5
1 opuesto por el vértice con 4
2 opuesto por el vértice con 3
5 opuesto por el vértice con 8
6 opuesto por el vértice con 7
 Ángulos correspondientes: son los ángulos que están al mismo lado de las paralelas y al mismo
lado de la transversal, y que coinciden por traslación paralela.
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Si trasladamos la recta R2 por la transversal de manera que coincida con R1, el punto B queda
sobre el punto A, entonces:
5 queda sobre el 1
6 queda sobre el 2
7 queda sobre el 3
8 queda sobre el 4
Observación: los ángulos correspondientes son de la misma medida.
 Ángulos alternos internos: son los ángulos que están entre las paralelas a distinto lado de ellas
y a distinto lado de la transversal. Están dentro de la cinta y a distinto lado de la transversal.
3 es alterno interno con 6
4 es alterno interno con 5
Son iguales entre sí porque:
6 = 2 (son ángulos correspondientes)
3 = 2 (son ángulos opuestos por el vértice)
6 = 3 (dos cantidades iguales a una tercera, son iguales
entre sí)
 Ángulos alternos externos: son los ángulos que están fuera de las paralelas a distinto lado de
ellas y a distinto lado de la transversal. Están fuera de la cinta y a distinto lado de la transversal.
1 es alterno externo con 8
2 es alterno externo con 7
Son iguales entre sí.
 Ángulos internos del mismo lado: son los ángulos que están dentro de la cinta y al mismo lado
de la transversal.
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14
Son ángulos internos del mismo lado:
3 con 5
4 con 6
Son ángulos suplementarios porque:
3 + 1 = 1800 (son ángulos suplementarios)
5 = 1 (son ángulos correspondientes)
3 + 5 = 180° (cantidades iguales pueden reemplazarse una por otra)
 Ángulos externos del mismo lado: son los ángulos que están fuera de la cinta y al mismo lado
de la transversal.
Son ángulos externos del mismo lado:
2 con 8
1 con 7
Son ángulos suplementarios.
 Ángulos contrarios o ángulos conjugados: son los ángulos que uno dentro y otro fuera de la
cinta y a distinto lado de la transversal.
Son ángulos contrarios o ángulos conjugados:
1 con 6
2 con 5
3 con 8
4 con 7
Son ángulos suplementarios
 Ángulos de la misma naturaleza: son los ángulos que tienen sus lados respectivamente
paralelos y son de igual medida y de igual naturaleza.
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L1  L2
L3  L4
   Son de igual medida
m  m
(correspon dientes entre
m  m
(coorrespo ndientes entre
m  m
(por transitivi dad)
)
)
8.3.6.2 PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS
Las propiedades de los ángulos son:
 Cuando dos ángulos tienen el mismo complemento, se dice que son iguales
 Dos ángulos son iguales si tienen el mismo suplemento.
 Todos los ángulos rectos son iguales.
 Todos los ángulos llanos o colineales son iguales.
 Todos los ángulos perigonales o de una vuelta son iguales.
 Los ángulos opuestos por el vértice siempre son iguales.
 Dos ángulos contiguos son complementarios si sus lados exteriores son perpendiculares entre
sí.
 Dos ángulos contiguos son suplementarios si sus lados exteriores son colineales.
Las propiedades fundamentales de los ángulos entre paralelas son:
 Los ángulos alternos internos siempre son iguales.
 Los ángulos alternos externos siempre son iguales.
 Los ángulos correspondientes siempre son iguales.
 Los ángulos colaterales internos son suplementarios.
 Los ángulos colaterales externos son suplementarios.
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PRÁCTICA N°1
I. Resuelve los siguientes ejercicios de ángulos:
a) Sean los ángulos  y  , ángulos complementarios, si   63 entonces la medida del
ángulo  es:
b) Sean los ángulos  y  , ángulos complementarios, si   1428' entonces la medida del
ángulo  es:
c) Sean  y  , dos ángulos, si   38 entonces el ángulo  si son complementarios, si sol
suplementarios y si son conjugados es:
d) Calcula el ángulo suplemento del ángulo complemento de   50
e) Sean  y  ángulos complementarios, si  es el doble de  , ¿cuánto mide  ?
f) Sean  y  ángulos suplementarios, si  es el triple de  , ¿cuánto mide  ?
g) Si la medida de  es el tres veces la medida de su suplemento (  ), ¿cuál es la medida de
 ?
II. Completar el siguiente cuadro, dado la medida del ángulo alfa (  ), determine el complemento, el
suplemento y el conjugado de los siguientes ángulos:
ÁNGULO
m
62°
30°12’
86°
22°15’
47°16’
48°
13°
76°26’
27°43’
87°58’
25°13’
49°02’
III.
COMPLEMENTO
SUPLEMENTO
CONJUGADO
28°
59°48’
118°
149°48’
298°
329°48’
Encuentre los ángulos  y  según se indica en cada una de las siguientes figuras:
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17
IV.
Hallar los siguientes ángulos: 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7; justifique su respuestas:
V. Investiga el nombre de los siguientes polígonos, según la cantidad de lados señalados:
a) 15 lados
VI.
b) 17 lados
c) 30 lados
d) 70 lados
e) 90 lados
Resuelve la siguiente sopa de letras relacionada con algunos conceptos geométricos que
aparecen en la parte derecha:
P
B
O
C
Y
T
C
Y
T
R
C
X
W
M
A
T
T
O
H
I
W
R
P
E
T
K
W
T
H
B
T
W
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AGUDO
CONJUGADO
GEOMETRIA
GIRO
LLANO
OBTUSO
PUNTO
RECTO
VERTICE
Material de Geometría. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. Veraguas, 2014
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