Download matemáticas 2 - Grupo Editorial Patria

MATEMÁTICAS 2
Geometría, trigonometría, datos y azar
BACHILLERATO GENERAL
SERIE INTEGRAL POR COMPETENCIAS
Joaquín Ruiz Basto
primera edición ebook 2014
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comunicación con
nosotros puede
utilizar estos
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Renacimiento 180,
Col. San Juan Tlihuaca,
Azcapotzalco, 02400,
México, D.F.
Grupo Editorial Patria®
División Bachillerato, Universitario y Profesional
Dirección editorial: Javier Enrique Callejas
Coordinación editorial: Alma Sámano Castillo
Elaboración de rúbricas: Alex Polo Velázquez, páginas: 22, 23, 24, 44, 45, 68,
69, 90, 91, 118, 119, 134, 135, 156, 157, 172, 173, 188, 189, 204, 205
Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís
Supervisor de preprensa: Miguel Ángel Morales Verdugo
Diagramación: Gustavo Vargas Martínez, Jorge Antonio Martínez Jiménez
Ilustraciones: José Luis Mendoza Monroy, Perla Alejandra López Romo,
Gerardo Díaz, Antonio Núñez
Fotografías: Thinkstock
e-Mail:
Matemáticas 2
Geometría, trigonometría, datos y azar.
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Serie integral por competencias
Derechos reservados:
©2014, Joaquín Ruiz Basto
©2014, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.
Fax pedidos:
ISBN ebook: 978-607-438-997-5
(0155) 5354 9109 • 5354 9102
sitio web:
www.editorialpatria.com.mx
Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca,
Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana
Registro núm. 43
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en
cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Impreso en México / Printed in Mexico
teléfono:
(0155) 53 54 91 00
Primera edición ebook: 2014
Dedicatoria
A Estela, Rodrigo, Leonardo, Christian y Ricardo.
A todos los que contribuyeron para la realización de esta obra.
Contenido
BLOQUE
1
BLOQUE
2
BLOQUE
3
BLOQUE
4
BLOQUE
5
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6
IV
Parte 1 Desarrollo
de competencias. . . . . . . 1
Utilizas ángulos, triángulos
y relaciones métricas. . . . . . . . . . . 2
Comprendes la congruencia
de triángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Resuelves problemas de semejanzas
de triángulos y teorema de Pitágoras
46
Reconoces las propiedades
de los polígonos. . . . . . . . . . . . . . . 70
Reconoces las propiedades
de la circunferencia. . . . . . . . . . . . 92
Describes las relaciones
trigonométricas para resolver
triángulos rectángulos . . . . . . . . . . 120
BLOQUE
7
BLOQUE
8
BLOQUE
9
BLOQUE
10
Aplicas funciones trigonométricas . . 136
Aplicas las leyes de senos
y cosenos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Aplicas la estadística elemental. . . . 174
Empleas los conceptos elementales
de la probabilidad. . . . . . . . . . . . . . 190
Parte 2 Material de consulta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Sección 1. Ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Sección 2. Lados de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Sección 3. Triángulos y áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Soluciones a ejercicios impares de autoevaluación para la Parte 1. . . . . . . . . . . 231
Soluciones a ejercicios impares de la Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Anexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Competencias genéricas del Bachillerato General
Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres
deben estar en la capacidad de desempeñar, y les permitirán a los
estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o
internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para
continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convi-
vencia adecuada en sus ámbitos sociales, profesional, familiar, etc.,
por lo anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato.
A continuación se enlistan las competencias genéricas:
1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.
3. Elige y practica estilos de vida saludables.
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.
10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la inculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.
Competencias disciplinares básicas del campo
de las Matemáticas
Competencias disciplinarias básicas
Bloques de aprendizaje
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la
aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos.
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes
enfoques.
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante
procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o
situaciones reales.
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos
numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje
verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y
comunicación.
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un
proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.
X
X
8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos
matemáticos y científicos.
X
X
5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso
social o natural para determinar o estimar su comportamiento.
6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente
las magnitudes del espacio y de las propiedades físicas de los
objetos que los rodean.
VI
X
X
X
X
X
X
X
X
Presentación
MATEMÁTICAS 2
Geometría, trigonometría, datos y azar
Es el segundo libro de la Serie integral por competencias, que ayudará a profesores y estudiantes a organizar y desarrollar experiencias de aprendizaje a lo largo del segundo semestre escolar del bachillerato general.
Esta obra se apega al programa oficial de la asignatura y pone el centro de la actividad en el propio estudiante.
Así, cada uno de los 10 bloques que lo integran inicia exponiendo una situación didáctica al estu­diante, de su
entorno social, familiar o personal, que requiere la búsqueda de explicaciones o soluciones.
La obra propone, enseguida, una secuencia didáctica de actividades que conduce al alumno a la solución de
la situación propuesta y que puede realizarse individualmente o en forma colectiva de modo que, a través del análisis, la reflexión, el estudio, la investigación y el trabajo personal y colaborativo, el estudiante desarrolle habi­lidades
cognitivas, haciendo y aplicando sus conocimientos, mismos que podrá ampliar en los segmentos informativos de
cada lección; incluyen ejercicios de autoevaluación con solución para los impares.
Cada bloque contiene, después de cada situación didáctica, un proyecto de trabajo cuyo objetivo es que el
estudiante desarrolle sus conocimientos y habilidades, y consolide la autonomía en su quehacer.
Otra fuente complementaria de consulta de contenidos matemáticos para el estudiante se proporciona en la
segunda parte del libro e incluye soluciones a ejercicios de orden impar.
La distribución de los contenidos del curso en 10 bloques permitirá al profesor disponer de variados problemas de aplicación práctica para organizar su trabajo en el aula.
Esta segunda edición se enriquece con nuevos e interesantes problemas y con modelos de instrumentos para
la evaluación: rúbricas analíticas, listas de cotejo, guías de observación y lineamientos para la organización y uso de
un portafolio de evidencias, elementos que, sin duda, serán de gran utilidad para el alumno y el profesor.
Problema propuesto
Conocimientos
Situación didáctica
Secuencia didáctica
Comentarios
adicionales
Consulta
Análisis de la situación
Joaquín Ruiz Basto
Rúbrica de
evaluación
Proyecto de trabajo
Segmento informativo
Parte teórica
Ejemplos
Aplicaciones
Sugerencias
para los
ejercicios
Autoevaluaciones
VII
Parte 1
Desarrollo de competencias
Contenido
Bloque 1 Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
A.
B.
C.
El reflejo de la luz en vidrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Rescate de un bebé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Aretes artesanales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Bloque 2 Comprendes la congruencia de triángulos
A.
B.
Campismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Crucero turístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Bloque 3 Resuelves problemas de semejanzas de triángulos y teorema de Pitágoras
A.
B.
C.
Amplificando un diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Empaques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
La lente de aumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Bloque 4 Reconoces las propiedades de los polígonos
A.
B.
C.
Héroes y villanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Ángulos y espejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Impermeabilizando una casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Bloque 5 Reconoces las propiedades de la circunferencia
A.
B.
C.
D.
Juego con monedas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arquitectura del paisaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ubicación de un hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pasta hojaldrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
100
106
112
Bloque 6 Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos
A.
B.
Pirámide del Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Disco compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Bloque 7 Aplicas funciones trigonométricas
A.
B.
C.
Partida de tenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Limpiaparabrisas de autos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Biorritmo de las personas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Bloque 8 Aplicas las leyes de senos y cosenos
A.
B.
Rescate alpino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Juego de mesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Bloque 9 Aplicas la estadística elemental
A.
B.
Concurso de chefs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
El chef ganador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Bloque 10 Empleas los conceptos elementales de la probabilidad
A.
B.
Paletas de sabores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Eligiendo premios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Utilizas ángulos, triángulos
y relaciones métricas
Competencias a desarrollar
n
n
n
n
n
E xpresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o
gráficas.
Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada
uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
Construye hipótesis; diseña y aplica modelos para probar su validez.
Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar
información.
Elige las fuentes de información y comunicación para un propósito específico y
discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
n
n
n
n
D efine metas y da seguimiento a sus procesos de construccción de conocimientos.
Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo,
definiendo un curso de acción con pasos específicos.
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con
los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
1
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
Ángulos:
Por su abertura
Por la posición entre dos rectas paralelas y una secante (transversal)
Por la suma de sus medidas:
Complementarios
Suplementarios
Triángulos:
Por la medida de sus lados
Por la abertura de sus ángulos
Propiedades relativas de los triángulos.
¿Qué sabes hacer ahora?
Desempeños del estudiante
al concluir el bloque
Identifica diferentes tipos de ángulos y triángulos.
Utiliza las propiedades y características de los diferentes tipos de ángulos y
triángulos, a partir de situaciones que identifica en su comunidad.
Resuelve ejercicios y/o problemas de su entorno mediante la aplicación de las
propiedades de la suma de ángulos de un triángulo.
Los triángulos constituyen la base para construir diversas figuras geométricas.
Muchas de las propiedades de éstas derivan de las propiedades o relaciones
métricas entre lados y ángulos de los triángulos.
Una aplicación notable de la peculiar determinación mutua entre lados y ángulos
de esta figura tan simple, se encuentra en la edificación de estructuras en
ingeniería, ya que al ser indeformable esta figura (salvo por su destrucción) hacen
que sea la más resistente.
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
1
A
BLOQUE
Conocimientos
Dos ángulos adyacentes tienen un lado en
común, pero no se traslapan.
A
B
∠AOB y ∠BOC
son adyacentes.
→
OB es su lado
común.
C
Situación didáctica
El reflejo de la luz en vidrio
Cuando un rayo de luz incide sobre un vidrio, una parte se desvía (reflejo) en el
medio en que viaja y otra atraviesa el vidrio (refracción).
Si haces un experimento con una lámpara de mano, de modo que con la superficie
del vidrio el rayo reflejado forme un ángulo de 53º y el rayo refractado un ángulo
de 66º, podrías requerir alguna información sobre los ángulos que se forman, tal
como:
a) ¿Cuánto miden los ángulos de incidencia y de reflexión ϕ y ϕ’?
b) ¿Cuánto mide el ángulo de refracción ω?
O
Dos ángulos complementarios suman
90°.
Ejemplo: si a = 30° y β = 60°, entonces son
complementarios
Dos ángulos suplementarios suman
180°.
ϕ
ϕ'
Ejemplo: Si a = 20° y β = 160°, entonces
son suplementarios
53º
Dos ángulos pueden ser complementarios o
suplementarios sin importar la posición de
sus lados.
66º
ω
Consulta
En libros y otras fuentes sobre geometría
plana:
Clasificación de ángulos según:
a) sus medidas.
b) la suma de sus medidas.
c) la posición de sus lados.
Análisis de la situación
¿Existe alguna relación especial entre los lados de los ángulos ϕ y ϕ’?
¿Cómo se denomina a estos ángulos en geometría?
¿Cómo se llama en óptica a los ángulos ϕ y ϕ’?
Grupo Editorial Patria®
Secuencia didáctica
Rúbrica de evaluación
1. ¿A cuánto es igual la suma ϕ’ + 53º? ¿Por qué?
1.Elabora un reporte en el que obtengas la
medida de los ángulos ϕ, ϕ’ y ω y justi­
fiques cada paso de tu desarrollo.
2. A partir del dato anterior, obtén la medida de ϕ’.
3. ¿Es correcto afirmar que ϕ = ϕ’? Justifica la respuesta.
4.Designa por α al ángulo comprendido entre ϕ y el ángulo de 66º. ¿Cuánto mide
este ángulo? Justifica tu respuesta.
5. Explica por qué razón ω = 90º - 66º.
6.¿Es correcto que confirmes tus resultados realizando las dos sumas que se pro­
porcionan a continuación?:
a) α + ϕ + ϕ’ + 53º = 180º
_______________________________________
b) 66º + α + ϕ = 180º
_______________________________________
Argumenta cada una de tus respuestas.
7.Conclusión: En este experimento, el ángulo de incidencia y el ángulo de re­fle­
xión miden cada uno: _______________ y el ángulo de refracción mide: _____
_______________.
2.Escribe un resumen donde indiques qué
entiendes por:
a) Ángulos complementarios
b) Ángulos adyacentes
c) Ángulo llano
Debes ilustrar con diagramas tus explica­
ciones.
3.Investiga en un libro de física qué es la
refracción y la reflexión de la luz y anexa
esta información a tu reporte sobre la
obtención de las medidas de los ángulos
en el experimento presentado en la situa­
ción didáctica.
Proyecto de trabajo
1.Las manecillas del reloj Indica qué tipo de ángulo forman las manecillas del
reloj cuando están en la posición mostrada.
a)
11 12 1
2
10
3
9
4
8
7 6 5
b)
11 12 1
2
10
3
9
4
8
7 6 5
c)
11 12 1
2
10
3
9
4
8
7 6 5
2.Comprobar y probar En casos particulares, comprueba la validez de las
siguientes afirmaciones. Demuestra después que son ciertas para cualquier par
de ángulos iguales α, β.
a)Dos ángulos iguales tienen complementos iguales.
b)Dos ángulos iguales tienen suplementos iguales.
c)Si los complementos —o los suplementos— de dos ángulos son iguales,
entonces los ángulos son iguales.
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
1A
Segmento
informativo
Fíjate en lo siguiente...
Los ángulos agudos nunca miden 0° ni 90°.
Los ángulos obtusos nunca miden 90° ni
180°.
Tipos de ángulos
Recto
A) Según sus medidas:
Obtuso
Entre 0° y 90°
90°
Entre 90° y 180°
180°
Agudo:
Recto: Obtuso:
Llano:
90º
Agudo
0º
180º
Llano
B) Según la posición de sus lados:
Recuerda
Un punto en una recta divide a ésta en dos
rayos opuestos, es decir, dos rayos que par­
ten del mismo origen pero siguen direccio­
nes opuestas.
De lados colineales: Un ángulo cuyos lados son rayos opuestos.
Opuestos por el vértice: Son dos ángulos cuyos lados forman pares de rayos
opuestos.
Verifica tu avance
¿Por qué todo ángulo de lados colineales es
un ángulo llano?
Justifica tu respuesta.
Adyacentes: Ángulos con vértice y un lado común, pero sin puntos interiores
comunes.
3
2
Ampliando el conocimiento
Dos rectas son perpendiculares (^) si se cor­
tan formando ángulos adyacentes iguales.
1
C) Según la suma de sus medidas:
Complementarios: Son dos ángulos que suman 90°.
m
30º
n
60º
m^n
70º
20º
Suplementarios: Son dos ángulos que suman 180°.
Verifica tu avance
¿Por qué podemos decir que las rectas per­
pendiculares forman ángulos de 90°?
¿Por qué siempre son iguales dos ángulos
opuestos por el vértice?
Argumenta tu respuesta.
100º
Ejemplo 1.
120º
60º
80º
Reconociendo tipos de ángulos
De acuerdo con los distintos criterios de clasificación de los ángulos, describe qué
tipos de ángulos son los siguientes:
a) ∠1 y ∠2
b) ∠a, ∠b y ∠c
90º
2
c
1
180º
b
a
0º
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c) ∠3 y ∠4
Ejemplo 2b
d) ∠LNO, ∠MNO, ∠LNM.
90º
Fíjate en lo siguiente…
L
90º
Cuando usas letras del alfabeto griego para
denotar ángulos, puedes prescindir del sím­
bolo ∠.
M
3
4
180º
0º
180º
0º
O
N
Ampliando el conocimiento
Solución
Algunas letras minúsculas del alfabeto grie­
go y sus nombres:
a) Opuestos por el vértice; agudos.
b) Adyacentes; ∠a y ∠b, agudos y complementarios; ∠c recto.
c) Cada uno es recto; ambos son suplementarios y adyacentes.
∠MNO agudo;
(mide 40°)
d)∠LNO obtuso;
(mide 130°)
Ejemplo 2.
∠LNM recto.
(mide 130° - 40° = 90°)
a
b
d
g
alfa
beta
delta
gamma
q
j
y
w
theta
fi
psi
omega
Verifica tu avance
Aplicando criterios para discriminar
¿Son adyacentes ∠s y ∠t?
Explica por qué:
a) ∠a y ∠b no son opuestos por el vértice.
s
b) a y b no son adyacentes.
t
c) ∠1, ∠2 y ∠3 no son complementarios.
¿Son suplementarios ∠1, ∠2, ∠3 y ∠4?
90º
a
b
α
β
3
3
2
2
4
1
1
0º
a)
b)
c)
Justifica cada respuesta.
Solución
a) Sólo tienen un par de lados opuestos.
b) Tienen puntos interiores comunes.
c) Aunque suman 90°, no son dos ángulos, sino tres.
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
Sugerencias para
la autoevaluación 1A
1.Para hallar el complemento, resta a 90°
el ángulo dado.
2.Expresa 90° en grados y minutos.
5.El doble de un ángulo de 42° 40’ se
obtiene multiplicándolo por dos. Con­
vierte en grados los minutos que formen
grupos de 60.
6.Expresa 180° en grados, minutos y
segundos antes de restar el ángulo
dado.
13.Deben cumplirse tres condiciones para
que dos ángulos sean adyacentes. Iden­
tifícalas en la definición.
Autoevaluación 1A
1.a) 30° es el complemento de
? b)El complemento de 70° es ? c) 142° es el suplemento de
? d)El suplemento de 15° es
? e) El complemento de 2x° es ? 2.Si a y b son complementarios y a = 31° 25’, ¿cuánto mide b?
3.Un ángulo que mide 179° 59’ 60”, ¿es un ángulo llano?
4.¿Es 67° 45’ 29” el complemento de 23° 15’?
5.¿Puede ser 14° 28’ el complemento del doble del ángulo que mide 42° 40’?
6.Obtén el suplemento de 57° 34’ 20”.
7.Clasifica los siguientes ángulos según sus medidas:
a) ∠DFE d) ∠AFE
b)∠CFE e) ∠BFD
c) ∠BFE
C
D
90º
B
A
E
0º
180º
F
Utiliza la figura de la página 9 para los ejercicios 8 a 18.
8.Nombra tres ángulos que tengan el rayo OF como lado común.
9.Nombra todos los ángulos agudos.
10.Nombra dos ángulos obtusos distintos y dos iguales.
11.Nombra un ángulo recto.
12.¿∠2 y ∠6 son opuestos por el vértice?
13.Nombra un par de ángulos adyacentes.
14.¿∠1 y ∠6 son adyacentes?, ¿y ∠3, ∠4?
15.¿Cuánto suman ∠5 y ∠6?
Grupo Editorial Patria®
16.¿Es ∠AOB un ángulo de lados colineales? ¿Cuánto mide?
16.Colineales significa que están en la
misma recta.
17.Si ∠2 = 35°, ¿cuánto mide ∠3?
18.¿Es correcto afirmar que ∠4, ∠5 y ∠6 son suplementarios? ¿Son iguales ∠1
y ∠4?
E
A
C
6
90º
1
19.Colorea el interior de cada ángulo
usando un tono distinto para cada uno,
¿qué observas?
5
23.¿Cómo deben ser los lados de dos
ángulos opuestos por el vértice?
4
O
2
18.Revisa el ejemplo 2 en este segmento.
Ángulos iguales tienen igual medida.
3
B
D
24.La suma de dos ángulos obtusos, ¿es
menor o mayor que 180°? ¿Por qué?
F
26.¿Qué sucedería si ambos fuesen agu­
dos, o ambos obtusos?
Ejercicios 8 a 18
19.En la siguiente figura, ¿son adyacentes a y b? ¿Tienen un lado común?
¿Tienen el mismo vértice?
20.¿Son complementarios a y b?
α
β
27.¿La definición de ángulos suplementa­
rios depende de la posición de los lados
de los ángulos?
28.Cuando generas un ángulo mediante un
giro, un lado permanece fijo y el otro se
mueve. ¿Qué ocurre al completar una
vuelta?
Ejercicios 19 y 20
21.¿Tiene sentido hablar del complemento de 120°?
22.¿Pueden ser suplementarios dos ángulos agudos?
23.¿Podrían ser adyacentes dos ángulos opuestos por el vértice?
24.¿Pueden ser complementarios dos ángulos obtusos?
25.¿Son iguales todos los ángulos rectos? ¿Y los llanos? ¿Y los agudos?
26.¿El suplemento de un ángulo agudo es siempre un ángulo obtuso?
27.¿Todos los ángulos suplementarios son adyacentes?
28.¿Cómo definirías “ángulo de una vuelta” sin utilizar la noción de grado?
29.¿Cuánto miden dos ángulos complementarios iguales? ¿Y dos ángulos suple­
mentarios iguales?
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
1
BLOQUE
B
Conocimientos
Rectas paralelas
Si dos rectas no se intersecan o cortan en
algún punto se dice que son paralelas (||). En
el dibujo, l || m
l
m
Para averiguar si dos segmentos de recta son
paralelos, puede verificarse alguna de las
condiciones siguientes:
Situación didáctica
Rescate de un bebé
El dibujo a escala muestra los avances en la excavación de un pozo hecho para
rescatar a un pequeño que cayó al fondo de un pozo de 18 metros de profundidad y
30 cm de diámetro.
La estrategia a seguir para evitar derrumbes consiste en excavar un pozo paralelo
al pozo donde cayó el bebé, de 80 cm de diámetro, hasta una profundidad de 18.5
metros y conectar ambos por debajo mediante un túnel.
Si estuvieras a cargo de los trabajos, ¿cómo verificarías, en los reportes gráficos del
avance de la perforación, que el pozo se mantendrá vertical, para no desembocar
antes en el pozo provocando un derrumbe?
30 cm
80 cm
1.Que la distancia entre ambos es siempre
la misma.
2.Que forman ángulos respectivamente
iguales con una recta que atraviese a
ambos.
18.5 m
18 m
Consulta
En libros y otras fuentes sobre geometría
plana:
Ángulos formados en dos rectas paralelas cortadas por una transversal.
Trazo de a) la perpendicular y b) la
paralela a una recta desde un punto
exterior, utilizando: 1) regla y compás;
2) escuadras de dibujo.
Trazo de una recta paralela a otra utilizando escuadras de dibujo.
Análisis de la situación
Si el nuevo pozo se perforara en forma vertical para evitar coincidir con el pri­
mer pozo, ¿podrías suponer entonces que este último también es vertical?
Dos perforaciones verticales, ¿deben ser paralelas?
¿Cómo podría garantizarse que el nuevo pozo es paralelo al primero?
Dado que no se indica variación en los diámetros de ambos pozos, ¿puede con­
cluirse que en cada uno los bordes se mantienen “paralelos”?
10
Grupo Editorial Patria®
Secuencia didáctica
Rúbrica de evaluación
1.Haz un dibujo a escala en el cual representes el pozo vertical donde cayó el
bebé.
2.Dibuja a cierta distancia de éste la boca de 80 cm del pozo que se abrirá. Supón
un cierto número de avances en la perforación total del pozo (cinco, por ejem­
plo). Explica cómo debe ser la distancia entre cada punto de avance y el pozo.
3.Ubica ahora en el dibujo el primer punto donde llegó la perforación inicial.
¿Cómo garantizas que está a la distancia correcta? Haz lo mismo para el siguien­
te punto y prosigue así hasta concluir la ubicación de los cinco puntos.
4.Verifica ahora, con la técnica del trazo de las paralelas con escuadras de dibujo,
que tu localización anterior de los puntos fue correcta y que los pozos son paralelos en tu representación gráfica a escala.
5.Utiliza ahora la propiedad de la transversal y, con un transportador, confirma en
tu dibujo que ambos pozos efectivamente son paralelos.
6.Describe con palabras el procedimiento completo para asegurar el éxito de la
perforación.
Debes entregar como producto un trabajo
en el que expliques las condiciones de para­
lelismo entre dos rectas y muestres los tra­
zos geométricos realizados para situar cada
punto de avance de la perforación del túnel:
a) Mediante regla y compás.
b) Con escuadras de dibujo.
El trabajo debe mostrar la verificación del
paralelismo con el trazo de una transversal y
la medición de los ángulos respectivos.
Debe consignarse también la escala que uti­
lizaste en el dibujo.
Trabajo de investigación
Investiga qué técnicas de ingeniería se
utilizan en la práctica para efectuar per­
foraciones correctas, verticales o incli­
nadas.
Proyecto de trabajo
1.Los rayos del sol ¿Cómo podrías concluir
que los rayos del sol llegan a la Tierra en
forma paralela?
r1
r2
α
A
B
ia
Lirio
G a rd e n
1
C
Ro s a s
2.Urbanismo En el mapa a escala de un
fraccionamiento urbano parece que las
calles Rosas y Gardenia son paralelas,
lo mismo que las calles Lirio y Clavel.
¿Cómo podrías confirmar o desmentir
esta apreciación visual?
α'
D
E
2
Clavel
F
3
11
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
1B
Segmento
informativo
Paralelas y transversales
Dos rectas que están en un mismo plano son paralelas (||) cuando coinciden en todos
sus puntos o en ninguno.
m
Verifica tu avance
¿Por qué toda recta es paralela a sí misma?
n
l
Fíjate en lo siguiente...
En la figura, las rectas l y m no son paralelas porque están en planos distintos. En
cambio, n || m están en el mismo plano y no tienen puntos en común.
Las rectas p y q no son paralelas.
p
Cuando una recta atraviesa varias paralelas es una transversal para éstas.
1
2
3
En la figura, la recta t es una transversal para las rectas m y n. Cuando dos paralelas
son cortadas por una transversal se forman ocho ángulos.
4
6
5
7
8
q
t
m
6
n
En este caso observamos que los pares de
ángulos no son iguales en cada grupo. Por
ejemplo: ∠1 ≠ ∠5, ∠4 ≠ ∠6, ∠2 ≠ ∠8.
La recíproca de la proposición condicional:
Si es un alce, entonces tiene cuernos, es la
proposición:
Si tiene cuernos, entonces es un alce.
Intercambiando la hipótesis y la conclusión
de la condicional dada, se obtiene su recí­
proca.
Verifica tu avance
7
5
1
4
8
Estos ángulos se asocian por pares y se agrupan en tres tipos:
Correspondientes
Ampliando el conocimiento
2
3
Alternos internos
Alternos externos
∠1 y ∠5
∠2 y ∠6 ∠3 y ∠5 ∠2 y ∠8
∠3 y ∠7
∠4 y ∠8 ∠4 y ∠6 ∠1 y ∠7
6
7
2
3
5
8
1
4
2
6
3
5
1
4
7
8
Una propiedad exclusiva de las rectas paralelas es que los pares de ángulos pertene­
cientes a un mismo grupo son iguales entre sí.
Si una proposición es verdadera, ¿siempre
será verdadera su recíproca? Ejemplifica.
Propiedad fundamental de las paralelas
En rectas paralelas, los ángulos correspondientes son iguales. Lo mismo ocurre
con los ángulos alternos externos y los alternos internos.
La afirmación recíproca también es verdadera. Ésta, sin embargo, opera como un
criterio para determinar si dos rectas son paralelas o no.
12
Grupo Editorial Patria®
Verifica tu avance
Criterio de paralelismo
¿Por qué son iguales dos ángulos agudos, o
bien dos ángulos obtusos, cuyos lados son
respectivamente paralelos?
Si al cortar dos o más rectas con una transversal se obtienen ángulos correspon­
dientes o alternos iguales, las rectas son paralelas.
Ejemplo 1.
Ángulos con paralelas y transversales
En la figura, las rectas s y q son paralelas, lo
mismo que las rectas m y n.
n
m
β
α’
a) Si a = 34°, ¿cuánto miden a’ y b?
b)¿Cuánto mide el ángulo w?
θ
α
α
s
β
β’
ϕ
Examina más posiciones.
q
ω
Solución
a)a = a’ = 34° por ser correspondientes; a’ = b = 34° al ser opuestos por el vértice;
b’ = b = 34° por ser alternos internos.
b)w = 180° - 34° = 146°.
Ejemplo 2.
Ángulos en un paralelogramo
Un paralelogramo es una figura con cuatro lados, paralelos dos a dos.
Argumenta por qué es cierto que en cualquier paralelogramo:
a) Los ángulos consecutivos son suplementarios.
A
C
α’’
b)Los ángulos opuestos son iguales.
β
α
Una antigua medición de la Tierra
Además de comprobar que los rayos del
sol son paralelos en la Tierra, el sabio
Eratóstenes, en la antigua Grecia, infirió la
curvatura terrestre observando las sombras
de los objetos en dos ciudades, Siena y
Alejandría. En la misma época del año, a la
misma hora, en Siena no se producía sombra
alguna, y en Alejandría sí, con un ángulo de
7° 12’.
α’
Siena
0° 00’
D
B
Solución
Información histórica
Por hipótesis, las rectas AB y CD son paralelas, lo mismo que AC y BD.
a) a = a’ por ser correspondientes. Por tanto, a’ + b = a + b = 180°.
b)a = a’ = a’’ por ser, en ese orden, correspondientes y alternos internos.
Ejemplo 3.
7° 12’
Alejandría
El campo visual de los seres humanos
Cuando vemos de frente, la visión de cada uno de nuestros ojos es de 120°.
¿Cuántos grados de visión abarca la
zona común de ambos ojos?
Después veremos cómo, con estos datos, dedujo la longitud de la Tierra.
ϕ
120°
Solución
El campo visual común es de 120°.
Considerando paralelos los rayos, j =
120°, por ser ángulos correspondientes.
120°
Verifica tu avance
¿La distancia entre los ojos de una persona
modifica la zona común del campo visual?
Argumenta tu respuesta.
13
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
Sugerencias para
la autoevaluación 1B
Autoevaluación 1B
1.Para una mejor visualización, prolonga
con líneas punteadas las rectas v y w.
1.En las siguientes figuras, a || b, m || n y v || w,
2.Obtén el suplemento de 150°.
a) correspondientes?
3.Obtén ∠1 y después ∠DCE para hallar
∠2.
4.Busca ángulos correspondientes y opues­
tos por el vértice.
5.Inicia buscando un ángulo auxiliar que
sea correspondiente a uno de los ángu­
los dados.
6.¿Qué tipo de pares de ángulos son los
ángulos rectos? Aplica el criterio de
paralelismo.
7.Para el inciso a) dibuja el ángulo auxi­
liar j con lados paralelos a los de b y
aplica el resultado del ejercicio 5a).
¿cuáles pares de ángulos son:
b)alternos internos?
a
b
2 1
3 4
6 5
7 8
ϕ
n
1
2
3
v
4
c) alternos externos?
2.Las rectas s, p y q de la figura son paralelas. Determina el valor de q y w a partir
del dato proporcionado.
s
5
w
6
150º
υ
ϖ
p
q
C
3.En la figura, AB || CD y AD || CE, ¿cuánto
miden ∠1 y ∠2?
E
30º
A
1
20º
2
D
B
D
4.¿Cuánto miden ∠x y ∠y si los lados
de los triángulos son paralelos?
A
B
β
α
m
38º
y
x
53º
C
E
F
5.Los siguientes pares de ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos.
Argumenta por qué en tales casos son iguales o suplementarios.
a) a = b
b) a = b
α
c) a + b = 180°
α
β
α
β
β
El trazo de j equivale a trasladar el
ángulo b.
Los incisos 7b) y 7c) se resuelven
usando el resultado del inciso 7a).
l
6.¿Por qué son paralelas dos rectas cuando
ambas son perpendiculares a una tercera
recta?
m
n
7.Los siguientes pares de ángulos tienen sus lados respectivamente perpen­
diculares. Argumenta por qué en tales casos son iguales o suplementarios.
a) a = b b) a = b c) a + b = 180°
β
α
α
α
14
β
β
Grupo Editorial Patria®
8.Obtén primero ∠y.
y
8.Si s || t, ¿cuánto miden
∠x, ∠y y ∠z?
9.En este ejercicio, obtén los ángulos en
orden alfabético. No confundas parale­
las con transversales.
s
x
30º
50º
80º
t
10.Utiliza ángulos correspondientes y alter­
nos internos. Ejemplo:
x
9.En la figura, m || n, ¿cuánto miden
los ángulos indicados?
52º
z
91º
m
1
n
10.En el triángulo mostrado, cada lado es paralelo a uno de los segmentos dibu­
jados en su interior. Prueba que:
a) ∠1 = ∠4
c) ∠3 = ∠6
∠a = ∠4 alternos internos
5
6
4
2
11.Con la información dada, argumenta por qué:
AB y CD son paralelas. Información:
∠1 = ∠4 por transitividad
3
A
C
11. y 12. Busca ángulos iguales que te
permitan aplicar el criterio del para­
lelismo.
∠A = ∠D
AC es paralela a BD
D
B
m
12.Prueba que s || t, cuando m || n, y
∠1 = ∠2.
13.Obtén el suplemento de 63°. Busca
ángulos alternos externos y correspon­
dientes.
n
1
s
2
t
l
13.Sabiendo que l || m y p || q, determina
el valor de ∠a, ∠b y ∠c.
a
∠1 = ∠a correspondientes
1
b)∠2 = ∠5
4
14.Obtén ∠1 y su opuesto por el vértice.
Asocia el primero, por separado, con 77°
y con 23°. Usa ángulos alternos internos y
obtén los suplementos de ∠2 y ∠3.
m
a
p
b
63º
q
c
14.Encuentra la medida de cada uno de los
ángulos numerados.
1
77º
3
23º
2
15
Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas
1
C
BLOQUE
Situación didáctica
Aretes artesanales
Trabajas en un taller de orfebrería y debes elaborar unos aretes con las indicaciones que se te dan en el dibujo.
Conocimientos
Los dos tramos rectos mayores son iguales, lo mismo que los lados del triángulo
interior donde aparece un ángulo recto.
Triángulos isósceles
Los ángulos de la base de un triángulo isós­
celes son iguales.
A
Si AB = AC,
∠1 = ∠2
¿Qué medidas tendrán los ángulos interiores de tus piezas?
40°
1
2
B
C
Ángulos interiores
En todo triángulo, la suma de sus ángulos
interiores es igual a 180º.
90°
δ
α + β + δ = 180º
α
β
Consulta
En libros y otras fuentes sobre geometría
plana:
Suma de los ángulos interiores de un
triángulo.
Análisis de la situación ¿Tiene alguna importancia para la solución del problema que los tramos mayo­
res de la pieza sean de igual tamaño?
¿Existe alguna relación entre la cantidad de lados iguales en un triángulo y los
ángulos interiores de éste?
Ángulos en la base de un triángulo
isósceles.
¿Cuáles ángulos podrían ser iguales? ¿Por qué?
Ángulos en triángulos.
¿Sería de utilidad determinar si existen triángulos iguales en la figura?
16
Grupo Editorial Patria®
Secuencia didáctica
Rúbrica de evaluación
1.Si el ángulo recto es de 90°, ¿cuánto deben sumar los otros dos ángulos de dicho
triángulo? ¿Son complementarios?
2.Aplica la propiedad del triángulo isósceles para determinar cuánto mide cada
uno de estos ángulos.
3.Si el triángulo mayor envolvente tiene dos lados iguales, ¿cuántos ángulos igua­
les posee? Ubica éstos y obtén su medida.
4.A partir de lo anterior, ¿cuánto miden los ángulos α y β?
α = ____________,
Elabora un reporte sobre la forma en que
obtuviste sucesivamente los valores de los
ángulos solicitados.
En cada caso, utiliza dos columnas para tu
descripción:
a)En el lado izquierdo, anota tu desarrollo
para obtener el valor de los ángulos.
b)En el lado derecho, describe la propiedad
geométrica que justifica cada paso del
desarrollo efectuado a la izquierda.
β = ____________.
Concluye tu trabajo con un dibujo similar al
que se te presentó en la secuencia didáctica,
en el que consignes la medida de cada uno
de los ángulos interiores del arete.
40°
α
β
ϕ
θ
a
90°
b
5.Utiliza las medidas obtenidas para α y β a fin de hallar el valor de los ángulos θ
y ϕ.
θ = ____________,
ϕ = ____________.
6.¿Cuánto miden, por último, ∠a y ∠b? Justifica tu respuesta.
Proyecto de trabajo
1.Lácteos La presentación de seis porciones de un
queso se hace en una caja con forma hexagonal.
a) ¿Cuánto mide cada ángulo interior de la caja?
b) ¿Cuánto suman dichos ángulos?
Ques
Don Paob
lo
2.Aspas de un ventilador Las cinco aspas de
un ventilador fijo de techo determinan cinco
triángulos isósceles, como muestra la imagen.
¿Cuánto miden los ángulos interiores de cada
triángulo?
17