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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA
ÁREA DE CONOCIMIENTO: MATEMÁTICA APLICADA
TITULACIÓN: INGENIERO AGRÓNOMO
ASIGNATURA: FUNDAMENTOS MATEMATICOS DE LA INGENIERÍA
CÓDIGO DE LA ASIGNATURA: 142211007
TIPO: TRONCAL - ANUAL
CREDITOS: 15
TEÓRICOS: 9,0
PRÁCTICOS: 6,0
CURSO : 1º
PROFESOR RESPONSABLE: José Martínez
FUNDAMENTOS MATEMATICOS DE LA INGENIERÍA
PROGRAMA DE LA ASIGNATURA (RESUMIDO)
1.1 Operaciones con conjuntos
1.1.1 Unión
1.1.2 Intersección
1.1.3 Complementario
1.1.4 Diferencia
1.1.5 Propiedades
1.1.6 Partición de un conjunto
1.2 Producto de dos conjuntos. Relaciones
1.2.1 Aplicación
1.2.2 Leyes de composición. Estructuras algebraicas
1.3 El cuerpo de los números complejos
1.3.1 Inmersión de R en C
1.3.2Representación geométrica de los números complejos
1.3.3 Módulo y argumento
1.4 Sistemas de ecuaciones
1.4.1 Sistemas equivalentes
1.4.2 Método de Gauss
2 Matrices
2.1 Concepto de matriz
2.1.1 Tipos de matrices. Definición
2.2 Operaciones con matrices
2.2.1 Suma
2.2.2 Producto por un escalar
2.2.2.1 Propiedades
2.2.3 Producto de matrices
2.2.3.1 Propiedades
2.2.4 Trasposición de matrices
2.2.4.1 Propiedades
2.2.5 Matrices invertibles
2.2.5.1 Propiedades
2.3 Equivalencia de matrices
2.3.1 Transformaciones elementales de matrices
2.3.2 Matrices elementales
2.3.2.1 Propiedades
2.4 Ejercicios
3 Determinantes
3.0.1 Expresión del valor de un determinante
3.0.1.1 Valor de un determinante
3.0.1.2 Desarrollo de un determinante por una línea
3.0.1.3 Consecuencias
3.0.1.4 Rango de una matriz
4 Espacios Vectoriales
4.1 Concepto de espacio vectorial. Propiedades.
4.1.1 Propiedades inmediatas
4.2 Subespacios vectoriales.
4.2.1 Caracterización de los subespacios vectoriales.
4.2.2 Intersección y suma de subespacios.
4.3 Combinaciones lineales.
4.3.1 Dependencia e independencia lineal
4.3.2 Propiedades.
4.3.3 Espacios vectoriales de tipo finito.
4.3.4 Propiedades.
4.3.5 Teorema de la base incompleta.
4.3.6 Cambio de base
4.3.7 Suma directa de subespacios
4.3.7.1 Subespacios suplementarios
4.3.7.2 Propiedades
4.3.8 Fórmula de las dimensiones
5 Aplicaciones lineales
5.1 Definición
5.2 Núcleo e imagen
5.3 Aplicaciones lineales inyectivas
5.3.1 Isomorfismos
5.4 Ecuación y matriz asociada a una aplicación lineal
5.4.0.1 Expresión matricial de un homomorfismo
5.4.1 Cambio de base. Matrices equivalentes
6 Sistemas de ecuaciones lineales
6.1 Introducción
6.2 Sistemas de Cramer. Regla de Cramer
6.3 Sistemas equivalentes
6.4 Teorema de Rouche-Frobenius
7 Diagonalización de un endomorfismo
7.1 Introducción
7.2 Subespacios invarantes. Vectores y valores propios
8 Espacios euclideos
8.1 Definición y expresión analítica del producto escalar
8.2 Longitudes, ángulos y ortogonalidad.
8.3 Bases ortonormales en un espacio euclideo.
8.4 Proyección ortogonal
8.5 Método de mínimos cuadrados
9 Números reales. Sucesiones.Series
9.0.1 Axiomas de R.
9.0.2 Propiedades de R.
9.0.3 Principio de intervalos encajados
9.0.4 Valor absoluto
9.1 Sucesiones de números reales
9.1.1 Limite de una sucesión
9.1.2 Algebra de limites
9.1.3 Indeterminaciones
9.1.4 Equivalencias
9.1.5 Ordenes de magnitud
9.1.6 Criterio de Stolz
9.2 Series numericas
9.2.1 Criterios de convergencia
9.2.2 Series de terminos positivos
9.2.2.1 I Comparación de series (criterio de Gauss)
9.2.2.2 II Criterio de comparacion de series (comparación en el límite
9.2.2.3 Criterio del cociente.(D'Alembert)
9.2.2.4 Criterio de la raiz (Cauchy)
9.2.2.5 Criterio de Raabe-Duhamel.
9.2.2.6 Criterio logaritmico o de Cauchy
9.2.3 Series de términos arbitrarios.
9.2.3.1 Series alternas
9.2.3.2 Convergencia absoluta
9.2.4 Series sumables
9.2.4.1 Series geométricas
9.2.4.2 Series aritmético-geométricas
9.2.4.3 Series hipergeométricas
9.2.4.4 Series telescópicas
10 Funciones reales de variable real
10.1 Límite de una función en un punto
10.1.0.1 Propiedades
10.1.0.2 Límites laterales
10.1.0.3 Desigualdades entre funciones y límites
10.1.0.4 Funciones equivalentes en un punto.
10.2 Funciones continuas
10.2.1 Propiedades de las funciones continuas en un punto
10.2.2 Continuidad en un intervalo
10.2.3}Funciones monótonas continuas e inversas
11 Funciones diferenciables de R en R.
11.1 Derivada y diferencial
11.1.1 Función diferenciable.
11.1.2 Cálculo de derivadas
11.1.3 Derivadas sucesivas
11.2 Teoremas de Rolle y de los Incrementos finitos.
11.2.1 Fórmula de Taylor
11.2.1.1 Polinomio de Taylor de una función.
11.2.2 Representación gráfica de funciones
12 Funciones en el espacio R^n
12.0.1 Definición de límite de una sucesión
12.0.2 Funciones
12.0.3 Límite de una función
12.0.3.1 Límites direccionales
12.0.3.2 Límites reiterados, iterados o sucesivos
12.0.3.3 Límite en el infinito y límite infinito
12.0.4 Propiedades de los límites
12.0.5 Funciones continuas
13 Derivabilidad y diferenciabilidad en R^n
13.1 Funciones escalares
13.1.1 Función derivada parcial. Derivadas sucesivas
13.1.2 La diferencial
13.1.2.1 Condición suficiente de diferenciabilidad
13.1.2.2 Relación entre diferenciabilidad, derivabilidad y continuidad
13.2 Funciones vectoriales
13.2.1 Matriz Jacobiana
13.3 Diferenciales de orden superior
13.3.1 Teorema de Taylor
13.3.2 Extremos relativos
13.3.3 Extremos relativos. Multiplicadores de Lagrange
14 Cálculo de primitivas.
14.0.4 Concepto de primitiva
14.0.5 Integración de funciones elementales
14.0.6 Integración por descomposición
14.0.7 Integración por sustitución
14.0.8 Integración por partes
14.0.9 Integración de funciones racionales
14.0.10 Integración de funciones trigonométricas
14.0.11 Integración de irracionales algebráicos
15 Integral definida
15.0.1 Sumas de Darboux
15.0.2 Integrabilidad Riemann
15.0.2.1 Sumas de Riemann
15.0.3 Teorema fundamental del cálculo
15.0.4 Cambio de variable
15.0.5 Ejercicios
15.0.6Integrales impropias
15.1 Aplicaciones de la integral definida
15.1.1 Areas de figuras planas
15.1.2 Rectificación de curvas planas
15.1.3 Volúmenes de sólidos de sección conocida
15.1.4 Volúmenes de revolución
15.1.5 Área de una superficie de revolución
16 Integrales dobles
16.0.1 Cambio de variables
17 Ecuaciones diferenciales
17.1 Generalidades\contentsline
17.1.1 Solucion de una E.D.O.
17.1.2 Curvas integrals
17.2 Ecuaciones separables
17.3 Ecuaciones homogéneas
17.3.1 Ecuaciones reducibles a homogéneas
17.4 Ecuaciones diferenciales exactas. Factor integrante
17.4.1 Factor integrante
17.4.2 Ecuaciones lineales
17.4.3 Ecuaciones que se pueden reducir a lineales
17.4.3.1 Ecuación de Bernoulli
17.4.3.2 Ecuación de Ricatti
17.4.3.3 Ecuación de Lagrange
17.4.3.4 Ecuación de Clairaut
17.5 Ecuaciones diferenciales lineales de orden n.
17.5.1 E.D.L. Homogéneas con coeficientes constantes.
17.5.2 Ecuaciones reducibles a coeficientes constantes.
17.5.2.1 Ecuación de Euler
17.5.2.2 Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas
17.5.3 Método de resolución
17.5.3.1 Método de los coeficientes indeterminados
17.5.3.2 Variación de parámetros
Bibliografía
Cánovas J.S., Murillo J.A., Fundamentos Matemáticos de la Ing., ed ICE, 1999
J. de Burgos, Álgebra lineal, ed. McGraw Hill. 1994.
J. de Burgos, Cálculo infinitesimal de una variable, ed. McGraw Hill.
J. de Burgos, Cálculo infinitesimal de varias variables, edd. McGraw Hill.
A. de la Villa, Problemas de Algebra, ed. CLAGSA, 1998.
García A.; A. de la Villa, Cálculo I, ed. CLAGSA, 1994.
García A.; A. de la Villa, Cálculo II, ed. CLAGSA, 1994.
Tebar Flores, 909 Problemas de Cálculo Integral, Tomos I y II, ed. Tebar Flores
.
Demidovich B., Problemas y ejercicios de análisis matemático. ed. Paraninfo
Krasnov, M.; Kiseliov,A.; Makarenko,G.; Shikin,E., Curso de matemáticas
superiores para ingenieros,
Tomos I y II, ed. MIR
Franco M., Martínez F. y Molina R., Lecciones de cálculo infinitesimal, 1 y 2,
ed. S.P.U.M. 1995.
Franco M., Martínez F. y Molina R., Cálculo I, ed. D.M.,
1997.
Granero F., Cálculo Infinitesimal (una y varias variables), ed. McGraw Hill .
Hernández E., Álgebra y Geometría. Addisson- Wesley, 1994.
Izquierdo J. y Torregrosa J.R., Álgebra y ecuaciones diferenciales. S.P.U.P.V.
Pita Ruiz, C.; Ecuaciones Diferenciales, Ed Limusa 1989.
Simons, G.F.; Ecuaciones Diferenciales, Ed. McGraw-Hill, 1993.
Programa de Prácticas (Resumido)
Las prácticas a realizar serán de dos tipos:
Prácticas de Pizarra: (aproximadamente el 75%)
(4,5 créditos)
Consistentes en la resolución, en grupos reducidos, de problemas correspondientes a los
temas teóricos, así como sus diversas aplicaciones en el ámbito de la Ingeniería.
Prácticas de Laboratorio: (aproximadamente el 25%) (1.5 créditos)
Dichas prácticas se centran, fundamentalmente, en la resolución de problemas diversos,
de aplicación a la ingeniería, mediante el software adecuado (en nuestro caso nos centramos en
el paquete MATHEMATICA (DERIVE). Dichas prácticas se realizaran en el Aula de
Informática o en el propio Departamento. Para ello se tienen previstas las siguientes sesiones (la
duración estimada de la sesión será de una hora):
Sesión 1.- Introducción al Programa Mathematica.
Sesión 2.- Matrices y sistemas de Ecuaciones Lineales.
Sesión 3.- Aplicaciones Lineales.
Sesión 4.- Valores y Vectores Propios. Diagonalización.
Sesión 5.- Espacios con Producto Escalar.
Sesión 6.- Series Numéricas.
Sesión 7.- Resolución Aproximada de Ecuaciones.
Sesión 8.- Sucesiones y Series de Funciones.
Sesión 9.- Aproximación de Funciones.
Sesión 10.- Extremos.
Sesión 11.- Integración Aproximada.
Sesión 12.- Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden y Aplicaciones.
Sesión 13.- Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior y Aplicaciones.
Sesión 14.- Soluciones por Series de Potencias de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
Sesión 15.- Sistemas Diferenciales Ordinarios.
Bibliografía:
Fernández-Ferreiros Erviti, Ana y Sein-Echaluce Lacleta, Mª Luisa: Álgebra Lineal
Prácticas con Mathematica, Edit. Prensas Universitarias de Zaragoza, 1995.
Blachman, N: Mathematica, un enfoque práctico, Edit. Ariel, 1993.
Wolfram, S.: The Mathematica, versión 3.0. Ed. Wolfram Media, 1996.
Fernández-Ferreiros Erviti, Ana y Sein-Echaluce Lacleta, Mª Luisa: Cálculo Prácticas
con Mathematica, Edit. Prensas Universitarias de Zaragoza, 1995.
EVALUACIÓN DEL ALUMNO: Se realizarán dos exámenes parciales (eliminatorios) y un examen
final de toda la asignatura para aquellos alumnos que no hayan superado la misma parcial o totalmente.
Las pruebas serán de carácter teórico-práctico (30%-70% aproximadamente) sobre 10 puntos y habrá que
alcanzar un mínimo de 5 puntos para superar la prueba.