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Iteración Notación Científica (potencias y radicales) Potencias y raíces Prioridad de las operaciones Paréntesis Funciones Potenciación Radicación Multiplicación División Suma y Resta La notación científica a'bcdef........... 10 n Es decir, un número en notación científica se escribe como el producto de un número comprendido entre 1 y 10, por una potencia de 10. Operación Pantalla 15625 55040000 8'6 10 11 0'000005 0'000046 2'3 1010 Notación Científica (potencias y radicales) -pág 1- Iteración Nomenclatura de las potencias de 10 Prefijo exa A veces las unidades pueden resultar inadecuadas simplemente por su tamaño. La distancia entre ciudades no se expresa en metros, ni la masa de un electrón en Kg. En estos casos, se recurre al uso de múltiplos o submúltiplos de la unidad. Para ello se utiliza el sistema métrico decimal. Símbolo Equivalencia 1018 E peta P 1015 tera giga T G 1012 109 mega M 106 kilo k 103 En la siguiente tabla se reflejan los prefijos más corrientes y su equivalencia. Estos prefijos son aplicables a todas las magnitudes físicas hecto h 10 2 deca da 101 deci d 10 1 En Astronomía se utiliza como unidad el año-luz que es el espacio que recorre la luz viajando a una velocidad constante de 300.000 km/seg durante un año. Sabiendo que e v t deducir el siguiente valor: 1año luz 9'46 1012 km centi c 10 2 mili m 10 3 micro 10-6 nano n 10 9 pico p 10 12 Longitudes, pesos, tiempos y temperaturas medibles en el mundo real Máxima Mínima Longitud Radio del Universo 1' 42 ·1023 km Radio del electrón 2' 82 ·1015 m Pesos Masa total del Universo conocido 7' 8 ·1055 kg Masa del electrón 9' 1·1031 kg Tiempos Edad calculada para el Universo 6' 32 ·1017 seg Respecto al Big Bang 1043 seg Actualmente las medidas del Universo caben en el intervalo 10 99 ,1099 Orden de magnitud de algunas medidas de nuestro Universo (en cm.) Orden de magnitud de algunas medidas de nuestro Universo (en cm.) 1018 Distancia a las estrellas más cercanas. 103 Ancho de una piscina 1013 Distancia al Sol. 102 Diámetro de una mesa camilla. 1010 Distancia a la Luna. 101 Un palmo. 109 Diámetro de la Tierra. 100 Un centímetro. 106 Distancia entre dos pueblos vecinos. 10 1 Espesor de un sobre. 105 Un buen paseo. 10 2 Espesor de un hilo. 104 Altura de un cerro pequeño. 10 5 Longitud de onda de los rayos visibles. 103 Ancho de una piscina. 10 8 Longitud de onda de los rayos X. Notación Científica (potencias y radicales) -pág 2- Iteración Sistema Decimal, Sistema Binario y Sistema Hexadecimal Un ordenador constituye un dispositivo electrónico digital, cuya palabra está relacionada con el término dígito que significa dedo. La etimología de esta palabra proviene de la época en que nuestros antepasados tenían que contar con los dígitos o dedos las piezas que cazaban. Por la necesidad que tenía el Homo Sapiens de utilizar los 10 dedos de las manos para contar surgió lo que conocemos como el sistema numérico decimal compuesto por diez dígitos o números que van del 0 al 9. El sistema en base 10 (Sistema Decimal) tiene como cifras disponibles desde el 0 hasta el 9, y el valor de posición es una potencia de 10. El número 3548 en el sistema decimal se obtiene de la siguiente manera: 3548 3 103 5 10 2 4 101 8 10 0 Pero en el mundo de las matemáticas el Sistema Decimal no es el único que existe para realizar cálculos simples o complejos. Coexisten, además, otros sistemas numéricos, entre los que se encuentran el Sistema Binario de base 2 y el Sistema Hexadecimal de base 16. Aunque el sistema decimal es muy fácil de usar por los humanos, el Sistema Binario fue el escogido por los ingenieros informáticos para el funcionamiento de los ordenadores, porque era más fácil para el sistema electrónico de la máquina distinguir y manejar solamente dos dígitos, el 0 y el 1 que componen el sistema numérico binario, en lugar de los diez dígitos (del 0 al 9), que constituyen el sistema decimal. En el Sistema Binario el valor de posición es una potencia de 2. Expresar los números 145 y 200 en base 2 (Binario). Una de las desventajas de la numeración binaria es que requiere números relativamente largos y que resultan confusos para ser manejados por personas. Para facilitar este manejo, se ha recurrido al sistema de numeración en base 16 o Hexadecimal. En base 16 disponemos de 16 cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, y F (las letras tienen los valores decimales de 10 en adelante) y el valor de posición es una potencia de 16. De hecho, 16 es una potencia de 2 (24). Los números binarios de cuatro cifras (desde 0 a 1111 que corresponden a los números en el sistema decimal desde el 0 al 15) se pueden representar con una sola cifra hexadecimal. Esto hace que sean más fáciles de leer para los humanos y más fácil operar con ellos. Con la práctica, es relativamente fácil memorizar las equivalencias entre números binarios y hexadecimales y convertir entre uno y otro sistema sin dificultades con una tabla como la siguiente: Notación Científica (potencias y radicales) -pág 3- Iteración Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 Binario 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 Hexadecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 Decimal 8 9 10 11 12 13 14 15 Binario 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 Hexadecimal 8 9 A B C D E F Expresar los números 1450 y 3548 en base 16 (Hexadecimal). La numeración hexadecimal es frecuente en todo lo referente a la imagen digital. Los colores Rojo (Red), Verde (Green) y Azul (Blue) (RGB) se suelen especificar mediante un código hexadecimal de 6 cifras. Cada par de cifras, de izquierda a derecha, representa el componente de color Rojo (cifras 1ª y 2ª), Verde (cifras 3ª y 4ª) y Azul (cifras 5ª y 6ª). Cada uno de los componentes puede adoptar 256 niveles, desde 00 (mínimo de color) hasta FF (máximo de color). El color negro se representa por 000000, el color blanco por FFFFFF, el color azul puro se representa por 0000FF, el color verde puro por 00FF00 y el color rojo puro por FF0000. Un amarillo muy claro es FFFFCC, o sea, que el rojo y el verde están al máximo y el azul bastante alto, lo que da un resultado próximo al blanco FFFFFF. Todo lo anterior lo podemos representar mediante el siguiente esquema: Nombre RGB Decimal Rojo Verde Azul Negro Naranja Amarillo Gris claro [255,0,0] [0,255,0] [0,0,255] [0,0,0] [255,165,0] [255,255,0] [200,200,200] RGB Hexadecimal Color FF0000 00FF00 0000FF 000000 FFA500 FFFF00 C8C8C8 ¿Cuántos colores diferentes se pueden representar mediante la notación Hexadecimal? Una imagen digital se compone de puntos o píxeles dispuestos en filas y columnas. En función del tipo de imagen digital, el punto puede ser blanco o coloreado. La calidad de una imagen depende del número de puntos utilizados para crearla. Este valor se conoce como resolución de la imagen digital. La resolución se mide en puntos por pulgada (ppp) y refleja simplemente el número de puntos utilizados para componer una imagen. Por ejemplo, en una imagen con una resolución de 300 ppp, cada pulgada de la imagen (una pulgada son 2,54 cm) contiene 300 puntos. Dicho de otro modo, cada punto o píxel que compone la imagen ocupa 1/300 de pulgada. Esto implica que una imagen de baja resolución (por ejemplo, 50 ppp) puede aparecer moteada, mientras que es probable que una imagen de mayor resolución tenga una apariencia correcta. Una imagen de color auténtico o verdadero es una imagen de 24 bits (3 x 8 bits = 24 bits) compuesta de puntos rojos, verdes y azules, cada uno de los cuales puede mostrar un valor entre 256 posibles. Una imagen digital de color auténtico es lo más parecido a una imagen de calidad fotográfica, ya que puede mostrar un color entre 256 3 16777216 de tonos posibles . Notación Científica (potencias y radicales) -pág 4- Iteración Ejemplos de operaciones con potencias 1) Expresa en notación científica estas cantidades: a) 280000000000000 b) 0000000045 c) 42 GB (Gigabytes) en bytes 2) ¿Cuánto vale n para que se verifique cada igualdad? a) 0000000235 235 10 n b) 536400000000000 5364 10 n 3) La distancia del Sol a Plutón es de 59 10 4 años luz y a la estrella Sirio de 8’26 años luz. Expresa estas distancias en Km. dando los resultados en notación científica, y halla la proporción entre ellos. 4) Las ruedas delanteras de una locomotora tienen un radio de 0’45 m y las traseras 0’65 m. ¿Cuántas vueltas darán las primeras mientras las segundas dan 2600 vueltas? 5) Suponiendo la Tierra esférica y de volumen 1'11012 km 3 , calcular su radio y su superficie. 4 3 2 VT R T y ST 4R T 3 6) ¿Cuánto tiempo tardará en descargarse un archivo de 700 MB desde un servidor de Internet si la velocidad de descarga es de 20 KB/s? ¿Y si ocupa 1’36 GB? ¿Y si ocupa 4’37 GB? 7) Si un ordenador tiene un disco duro de 20 Terabytes (20 TB) ¿Cuántos MB son? ¿Cuántos KB? 8) Expresar el número 234 en base 2 y en base 16. 9) Sea f 624 10 3 , g 315 10 4 y h 28 10 4 Introduciendo cada uno de los valores anteriores en una memoria distinta de la calculadora (mirar apuntes al final del libro) realiza las operaciones siguientes y da el resultado en notación científica. a) f g h) b) f h f (g h ) gh (f h ) c) f h i) f 2 g 2 d) f h g j) Notación Científica (potencias y radicales) e) f (g h ) f) f gh g) f g gh h g2 (f g ) 2 -pág 5- Iteración Soluciones: 1) a ) 28 1014 2) a ) n 7 b) 45 10 8 c) 42 10243 4509715660 109 b) n 14 781396 1013 14000 55814 109 Sirio está a una distancia del Sol 14000 veces la distancia a Plutón. 3) S P 55814 109 4) S Si 781396 1013 2 065 2600 375555 vueltas 2 045 5) R 6403754763 km S 5153226694·108 km 2 6) 1991 horas 7) 20.971.520 MB 21.474.836.480 KB 8) En base 2 es 11101010 y en base 16 es EA. 9) a ) 6555 10 3 b) 1 7472 10 6 c) 2228571428 109 e) 2184 10 7 f ) 623991110 3 g) 1 101680672 109 i) 3883837499 10 5 d) 3167471999 10 4 h) 6456324861109 j) 6518782862 109 Notación Científica (potencias y radicales) -pág 6- Iteración Números Irracionales. El Número de Oro Hay tres números de gran importancia en matemáticas y que "paradójicamente" nombramos con una letra. Estos números son: Pi, el número e y el número de oro. El número designado con la letra griega 314159..... (Pi) que relaciona la longitud de una circunferencia con su diámetro. L 2 R L L 314159..... 2R diámetro El número e = 2´71828......, inicial del apellido de su descubridor Leonhard Euler 1 (matemático suizo del siglo XVIII) que aparece como límite de la sucesión 1 n n n 1 e lim 1 271828..... n n El número designado con letra griega 1 61803..... (Fi), llamado número de oro, fue elegido por el matemático americano Mark Barr y es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que que solía usar la relación áurea en sus esculturas. Los tres números tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos (sus cifras decimales no se repiten periódicamente). A estos números se les llama irracionales. Cuando se utilizan se escriben solamente unas cuantas cifras decimales. Una diferencia importante desde el punto de vista matemático entre los dos primeros y el número de oro es que los primeros no son solución de ninguna ecuación polinómica (a estos números se les llama trascendentes), mientras que el número de oro sí es solución de la ecuación: x 2 x 1 0 x Notación Científica (potencias y radicales) -pág 7- 1 5 2 Iteración La sección áurea y el número de oro ¿Qué es la sección áurea? La sección áurea es la división armónica de un segmento de la siguiente manera: el segmento menor es al segmento mayor, como éste es a la totalidad. De esta manera se establece una relación de tamaños con la misma proporcionalidad entre el todo dividido en mayor y menor. Esta proporción o forma de seleccionar proporcionalmente una línea se llama proporción áurea. Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en él la división indicada anteriormente Aplicando la proporción áurea obtenemos la siguiente ecuación que tendremos que resolver 1 x x x 1 1 x x 2 x 2 x 1 0 Una de las soluciones de esta ecuación (la solución positiva) es x x 1 5 2 1 5 . 2 Lo sorprendente ahora es calcular el valor que se obtiene al dividir el segmento mayor entre el menor: x 1 x Efectúa tú los cálculos para el ejemplo anterior. ¿Reconoces este número? ¿Cómo dibujar la sección áurea de un segmento AB? Partimos de un segmento AB. Para aplicarle la Sección Áurea se levanta perpendicularmente por el extremo B otro segmento que mida exactamente la mitad de AB. Se define así un triángulo rectángulo con los catetos en proporción 1:2. Pues bien, si a la hipotenusa le restamos el cateto menor y el segmento que queda lo llevamos sobre el segmento AB obtenemos AH que es la sección áurea del segmento AB. La parte menor BH es a la mayor AH como ésta es a la suma AB. BH AH AH 2 BH AB AH AB Divide un segmento de 10 cm. en dos partes que estén en la proporción áurea. Haz la construcción geométrica. Notación Científica (potencias y radicales) -pág 8- Iteración ¿De qué medida es sección áurea un segmento AB? Igual de simple es hacer la operación inversa, es decir, averiguar de qué medida es sección áurea el segmento AB. Formamos el mismo triángulo que antes, pero en lugar de restar a la hipotenusa el cateto menor, se le suma. De esta manera se obtiene que AB es sección áurea de AH. Queremos colgar un cuadro de 120 cm. de altura en la pared de nuestra habitación de tal manera que la altura del cuadro corresponda al lado mayor a) ¿Cuánto tiene que medir el cuadro de ancho para que la altura y el ancho estén en la proporción áurea? Haz el cálculo partiendo de un segmento cuyas partes estén en la proporción áurea. b) Calcula la medida basándote en el dibujo anterior Si el cuadro tiene una altura de 3 m, ¿cuál deberá ser el ancho para que los dos lados estén en la proporción áurea? El rectángulo áureo Un rectángulo áureo es aquel en el que sus lados están en razón áurea. Su construcción se hace a partir de un cuadrado. Desde el punto medio de la base del cuadrado trazamos un arco de circunferencia de radio la distancia que hay desde el punto medio hasta uno de los vértices superiores del cuadrado. Este arco corta a la prolongación de la base del cuadrado en un punto. El rectángulo ampliado es áureo. Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale 1 5 1 618.... (nuestro número 1 5 por lo que la proporción entre los dos lados es 2 de oro). Notación Científica (potencias y radicales) -pág 9- Iteración Obtenemos así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. A partir de este rectángulo podemos construir otros semejantes que, como veremos mas adelante, se han utilizando en arquitectura (Partenón, pirámides egipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnets, cajetillas de tabaco, etc.). Dibujar en el cuaderno un rectángulo áureo partiendo de un cuadrado de 5 cm. de lado. Construcción del Pentágono Regular a partir de la sección áurea Averiguamos de qué medida es sección áurea el segmento AB que tomamos como lado del pentágono regular y comprobamos, según hemos visto en apartados anteriores, que la medida es AH. Con centro en A trazamos un arco de circunferencia de radio AH y con centro en B trazamos otro arco de circunferencia del mismo radio que el anterior. Estos dos arcos se cortan en el punto D. Con centro en D y radio el segmento AB trazamos un arco de circunferencia que corta a los dos arcos anteriores en los puntos E y C. Uniendo los puntos ABCDE obtenemos un pentágono regular, que como se observa por la construcción el cociente entre su diagonal y el lado es el número de oro. Dibujar en el cuaderno un pentágono regular de 6 cm. de lado y comprobar que el cociente entre la diagonal y el lado es el número de oro. Notación Científica (potencias y radicales) -pág 10- Iteración Ejemplos de operaciones con Potencias y Radicales Recuerda que: a m a n a mn a m n a m : a n a mn an a n b b (a b ) n a n b n n a si n es par ( a ) n n a si n es impar 1 an a n n a mn 1) Introducir dentro del radical los factores que están fuera: a) 5 3 b) 6 3 2 c) 3 4 5 9 5 d) 2 3 e) 2) Extraer fuera del radical los factores que se puedan: a) 45 b) 32 7 112 c) 3 56 d) 3) Calcular el valor de las expresiones adjuntas extrayendo factores fuera del radical y directamente con la calculadora. 8 2 e) 12 3 a) 18 27 2 b) 5 45 180 80 4) Calcular el valor de expresión adjunta, operando con potencias de exponente fraccionario y comparar el resultado con el obtenido directamente con la calculadora. 33 4 5 5 3 5 23 5 22 4 5 5) Coloca las fichas de dominó en el diagrama de al lado. 2 2 0.001 42 24 1 4 10 3 3 0.125 1 4 6) Calcula la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 12 y 10 cm. Expresa el resultado con dos decimales. 7) Calcula el área de un triángulo equilátero cuyo lado mide 10 cm. Expresa el resultado con tres cifras decimales. 8) Calcula las siguientes expresiones utilizando el método que creas conveniente: a) 5 2 4 3 5 2 4 3 (60000) 3 (000002) 4 d) 100 2 (72000000) (000002) 5 Notación Científica (potencias y radicales) b) 2 2 2 3 c) 005 10 3 1 b 5 a 1 e) 2 : 1 3 a b a b -pág 11- 3 10 2 3 3 a9 2 5 a : a f) 3 7 4 a : a a 2 a 3 a 6 a 2 Iteración Soluciones: 3) a) 4 2 3 3 04607 b) 6 5 134164 4) 35 75 2 8) a) 2 6) 1562 cm 2 b) 08407 7) 433012 cm 2 c) 1 4 10 9 d) 1 5 10 7 e) a 6 b 7 1 a b7 1 a 6 6 a f) 6 Relojes matemáticos Colocar los siguientes números en el lugar correspondiente a las horas de un reloj. 99 9 9 9 9 9 9 9 90 9 99 Notación Científica (potencias y radicales) -pág 12- 9 9 9 ! 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 99 9 0 92 1010 0110 0100 0001 1001 1000 1011 0111 1100 0010 0101 0011 Iteración 07 01 0A 09 0C 02 05 08 0B 04 06 03 Sabemos que el radio de la circunferencia es 1, y por tanto las coordenadas del punto situado en el lugar correspondiente a las 3 de la tarde son (1, 0) . Calcula las coordenadas de los puntos situados en los lugares correspondientes a las demás horas del reloj, aplicando los conocimientos que tienes sobre triángulos rectángulos (el radio de la circunferencia es la hipotenusa de un triángulo rectángulo). Notación Científica (potencias y radicales) -pág 13- Iteración Repaso de polinomios División de polinomios 8x 2 x4 x4 2 x 5 x 2 x 3 2x 2 4x 6 2 x 3 2x 3 8x 2 2 x 3 4 x 2 4 x 2 2 x 4x 2 8x 6x 5 6x 12 17 El cociente es C(x) x 3 2x 2 4x 6 y el resto R ( x ) 17 . Para comprobar el resultado, se ha de cumplir la regla de la división, es decir: (x 2) (x 3 2x 2 4x 6) 17 x 4 8x 2 2x 5 Dividendo Divisor Cociente Re sto Ejercicios Dados los polinomios P(x) 2x 3 5x 2 2x 1 , Q(x) x 1 y R( x) x 4 3x 3 6x 1 calcular: a ) P(x) Q(x) b) Q(x) R (x) c) P( x) Q(x) R (x) d) P(x) Q 2 (x) e) P 2 (x) Q(x) R (x) P( x ) R (x) f) g) Q( x ) Q( x ) Soluciones: a ) 2x 4 7x 3 7x 2 3x 1 b) x 5 4x 4 3x 3 6x 2 7x 1 c) 3x 4 10x 3 7x 2 3x d) 2x 5 9x 4 14x 3 10x 2 4x 1 e) 4x 6 19x 5 29x 4 21x 3 20x 2 11x 2 f ) C(x) 2x 2 3x 1 R ( x) 2 g) C(x) x 3 2x 2 2x 4 R ( x) 3 Ejercicios Desarrollar las siguientes expresiones: a) (2 x 1) 2 b) (x 2 a) 2 c) (2 x 6 x) 3 2 d) (2 a 9 b) 2 1 e) 3 t 3 2 2 f) 2 3 3 2 g) (x y) 2 (x y) 2 2x y Soluciones: a ) 4x 2 4x 1 1 e) 9 t 2 2 t 9 b) x 2 4ax 4a 2 f ) 7825642290 Notación Científica (potencias y radicales) c) 4x 6 24x 4 36x 2 d) 4a 2 36ab 81b 2 g) 2xy -pág 14- Iteración Valor numérico de un polinomio utilizando la Si tenemos que calcular el valor numérico de una expresión para un cierto valor de la variable, el primer paso es introducir el número en la memoria de la calculadora y posteriormente traer a la pantalla dicho valor cada vez que tengamos que sustituir la variable. Ejercicios a) Calcular el valor del polinomio P(x) 2 x 3 3 x 2 5 x 7 cuando x 4 . (Sol: 93) 4 1 b) Calcular P(058) si P(x) 7 x 5 x 4 3 x 3 x 1 . (Sol: 1658280248 ) 3 2 La regla de Ruffini Con frecuencia, tendremos que hacer divisiones cuyo divisor es de la forma x a , donde la letra a representa un número. Son binomios de este tipo: x4 a4 x 2 x ( 2) a 2 x 1 3 a 1 3 Estas divisiones se pueden hacer en la forma habitual, pero es más sencillo y rápido usar la Regla de Ruffini, que utiliza sólo los coeficientes. Veamos en la práctica cómo se realiza esta división, primero en la forma habitual y luego usando la regla de Ruffini para el siguiente ejemplo: ( x 4 8x 2 2x 5 ):( x 2 ) Regla de Ruffini La regla de Ruffini resume el método de obtención de los coeficientes del cociente y del resto, al hacer la división de un polinomio por x a . Podemos describirla así: 1) Se ordena el dividendo en forma decreciente y se colocan ordenados sus coeficientes. Si en el polinomio dividendo faltan términos, como en este caso que es incompleto, se ponen ceros en los lugares de los términos que faltan. Debajo, y desplazado a la izquierda, se coloca el término independiente del divisor cambiado de signo. 2) El primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo. 3) Cada uno de los demás coeficientes del cociente se obtiene multiplicando el coeficiente anterior por a y sumando este producto al coeficiente siguiente del dividendo. 4) El resto es igual al producto del último coeficiente del cociente por a más el término independiente del dividendo 5) El grado del cociente es una unidad menos que el grado del dividendo. Estos apartados, para el ejemplo de la división anterior, quedan reflejados en los siguientes pasos: Notación Científica (potencias y radicales) -pág 15- Iteración 1 0 8 2 5 1 2 1 1 2 2 2 4 2 4 1 2 4 8 2 5 1 0 1 2 2 1 0 8 0 2 1 2 1 0 8 2 6 2 2 5 2 22 2 5 8 4 2 4 5 8 6 2 1 2 4 6 17 Una vez se obtienen los coeficientes del cociente, como sabemos que es de un grado menor que el dividendo tenemos: c( x ) x 3 2x 2 4x 6 El resto es el último número obtenido: r ( x ) 17 Ejemplo: Calcular el resto y el cociente de la división x 3 1 entre x 1 utilizando la regla de Ruffini. 1 1 0 0 1 cociente c( x ) x 2 x 1 1 1 1 1 1 1 resto r ( x ) 0 0 Ejercicios Utiliza la regla de Ruffini para dividir los polinomios D entre d: a ) D x 4 23 x 2 30 y d x 5 b) D x 4 2 x 3 4 x 2 6 x 8 y d x 1 c) D 8 x 2 10 x 18 y d 2 x 4 Soluciones: a) c( x ) x 3 5x 2 2x 10 y c) c( x ) 4 x 3 y r ( x ) 30 d) D x 3 2 x 2 5 x 1 y d 2 x 3 r ( x ) 20 d ) c( x ) b) c( x ) x3 x 2 3x 3 y r ( x ) 5 x 2 x 23 2 4 8 y r( x ) 77 8 Raíces o ceros de un de un polinomio Diremos que el número a es una raíz o cero del polinomio P(x) si el valor numérico del polinomio para x a es cero, es decir P(a ) 0 . Si un número a es una raíz entera del polinomio P(x) a n x n ............ a 2 x 2 a 1 x a 0 , entonces a es un divisor del término independiente. Si el valor “a” es un cero del polinomio P( x ) , también es un cero de todos los polinomios obtenidos al multiplicar P( x ) por un número. Si el número a es una raíz del polinomio P(x) , éste es divisible por x a Notación Científica (potencias y radicales) -pág 16- Iteración Ejemplo: Calcula las raíces enteras del polinomio x 3 2 x 2 x 2 Las posibles raíces enteras son los divisores de 2 , es decir 1 y 2 Comprobamos directamente cuál de estos números es raíz: Para x 1 13 2 12 1 2 0 x 1 es una raíz. Para x 1 (1) 3 2 (1) 2 (1) 2 1 2 1 2 0 también es raíz. Para x 2 2 3 2 2 2 2 2 12 0 x 1 x 2 no es raíz. Para x 2 ( 2) 3 2 ( 2) 2 ( 2) 2 0 x 2 es raíz. Ejemplo: Calcula las raíces enteras del polinomio x 4 3 x 3 x 2 3 x Se saca factor común x x x 3 3x 2 x 3 . Una raíz es x 0 Se calculan ahora las raíces del polinomio x 3 3x 2 x 3 . Las posibles raíces enteras son los números 1 y 3 Comprobamos directamente cuál de estos números es raíz: Para x 1 13 3 12 1 3 0 x 1 es raíz Para x 1 ( 1) 3 3 ( 1) 2 ( 1) 3 0 x 1 es raíz Para x 3 33 3 32 3 3 48 0 x 3 no es raíz Para x 3 ( 3) 3 3 ( 3) 2 ( 3) 3 0 x 3 es raíz. Ejemplo: Calcular las raíces enteras del polinomio: 2 x 5 7 x 4 8 x 3 3 x 2 8 x 12 Dado que el término independiente es 12, las posibles raíces enteras son: 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 Para x 1 2 15 7 14 8 13 3 12 8 1 12 0 x 1 es raíz. Para x 2 2 ( 2)5 7 ( 2) 4 8 ( 2) 3 3 ( 2) 2 8 ( 2) 12 0 es raíz. Notación Científica (potencias y radicales) -pág 17- x 2 Iteración Descomposición factorial Dado un polinomio de grado n: p(x) a n x n a n 1 x n 1 ........... a 2 x 2 a 1 x a 0 que tiene n raíces reales distintas r1 , r2 ,.............,rn , se puede demostrar que: El polinomio se puede descomponer en forma única en el producto de su coeficiente principal a n por n factores que resultan de restar a x cada una de las n raíces. p(x) a n (x r1 )(x r2 )(x r3 )............(x rn ) El producto a n r1 r2 r3 .......... rn es igual al término independiente del polinomio. Las raíces enteras son divisores del término independiente (a 0 entero ) . Si un número a es una raíz entera del polinomio P(x) a n x n ...... a 2 x 2 a 1 x a 0 , entonces a es un divisor del término independiente. Ejemplo: Factorizar el polinomio q(x) x 4 x 3 5 x 2 x 6 Las posibles raíces enteras son: 1 , 2 , 3 y 6 . Tanteamos para ver cuál de ellas es: Para x 1 q ( 1 ) 14 13 5 12 1 6 8 0 Para x 1 q( 1) ( 1) 4 ( 1) 3 5 ( 1) 2 ( 1) 6 12 0 Para x 2 q ( 2 ) 2 4 2 3 5 2 2 2 6 0 Como 2 es una raíz, el polinomio es divisible por x 2 1 1 5 1 6 2 2 6 2 6 1 3 1 3 0 x4 x3 5x2 x 6 ( x 2 ) ( x3 3x2 x 3 ) Como x 2 ya es un factor de 1er grado, tratamos de descomponer en factores el polinomio cociente x 3 3x 2 x 3 , para lo cual hemos de encontrar una raíz del mismo. Los divisores del 3 son 1 y 3 . Los números 1 y 1 no pueden serlo porque tampoco lo eran de q ( x ) . Para x 3 33 3 32 3 3 60 0 Para x 3 ( 3 ) 3 3 ( 3 ) 2 3 3 0 Por tanto, 3 es una raíz. Notación Científica (potencias y radicales) -pág 18- Iteración 1 3 3 1 3 x3 3x2 x 3 ( x 3 ) ( x2 1) 3 0 3 1 0 1 0 De manera que el polinomio primitivo queda factorizado así: x4 x3 5x2 x 6 ( x 2 ) ( x 3 ) ( x2 1) Podemos intentar repetir el proceso con x 2 1 , pero es inútil. La ecuación x 2 1 0 carece de raíces, porque ningún número al cuadrado más 1 puede dar 0. Prácticamente se disponen los cálculos así: Notación Científica (potencias y radicales) -pág 19- Iteración Ejercicios Descomponer utilizando la regla de Ruffini los siguientes polinomios a) P(x) 2x 3 5x 2 2x 1 Soluciones: a ) No se puede b) R( x) x 4 4x 3 5x 2 b) x 2 (x 1) ( x 5) c) Q( x ) x 4 1 . c) (x 1) ( x 1) (x 2 1) Ejercicios Factoriza los siguientes polinomios calculando previamente sus raíces: a) x 3 2 x 2 x 2 b) x 5 x 4 16 x 16 d) 10 x 3 23 x 2 10 x 3 h) 6 x 4 x 3 17 x 2 16 x 4 Soluciones: a ) 1, 1 y 2 b) 1, 2 y 2 c) 2 c) x 5 5 x 4 7 x 3 2 x 2 4 x 8 e) 8 x 3 6 x 2 5 x 3 f) 4 2 1 x 49 81 g) x 4 25x 2 i) 2 x 3 3 x 2 2 x x 3 2x 2 x 2 ( x 1)( x 1)( x 2) x 5 x 4 16x 16 (x 1)( x 2)( x 2)(x 2 4) x 5 5x 4 7x 3 2x 2 4x 8 (x 2) 3 ( x 2 x 1) 3 1 3 1 10x 3 23x 2 10x 3 10 ( x 1) x x d) 1, , 2 5 2 5 1 3 1 3 e) 1, , 8x 3 6x 2 5x 3 8 ( x 1) x x 2 4 2 4 f) 7 7 4 2 1 4 7 7 , x x x 18 18 49 81 49 18 18 g) 5 , 5 x 4 25x 2 x 2 ( x 5) (x 5) 1 2 1 2 6x 4 x 3 17 x 2 16x 4 6 ( x 1) ( x 2) x x h) 1, 2 , , 2 3 2 3 i) 0 , 2 , 1 1 2x 3 3x 2 2x 2x ( x 2) x 2 2 Notación Científica (potencias y radicales) -pág 20- Iteración
