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ITSJ - Matemática - 4° 2° - Prof. Andrea Palena
Los Números Complejos
Una ampliación más en el campo numérico
La necesidad de crear nuevos conjuntos numéricos (enteros, racionales, irracionales), fue surgiendo a
medida que se presentaban situaciones que no tenían solución dentro de los conjuntos numéricos ya
conocidos.
 Desafíos…
Encuentra los valores de “x” para los cuales: x² + 1=0. ¿Es posible encontrar en los conjuntos numéricos
que conoces algún número “x” que verifique la ecuación? ¿Por qué?
La radicación de base negativa e índice par no tiene solución en el conjunto de los números reales
(√−4; √−16; √−25), ya que no existe ningún número real que elevado a una potencia par dé por resultado
4
un número negativo.
En el siglo XVIII, el matemático Euler introdujo el símbolo i (inicial de la palabra latina imaginarius) para
nombrar un número cuyo cuadrado es igual a -1. Se define entonces el número i, al que llamamos unidad
imaginaria, como aquel cuyo cuadrado es -1.Es decir:
i² = -1
Luego
las soluciones de la ecuación x² = -1 son: x= i, pues i² = -1 o x = - i, pues (- i)² = (- i).(- i) = -1
4
√−4 = √4. (−1) = √4√−1 = ±2i ; √−16 =
√−25 =
√−5 =
Una ampliación más del campo numérico: Los números complejos
Llamamos números complejos a los números de la forma
Z = a + bi
donde:
a y b son números reales e i la unidad imaginaria.
a es la componente real Re(Z) y b es la componente imaginaria Im(Z)
Definimos al conjunto de los números complejos:
C = {Z / Z = a + bi , a ∈ R ; b∈R ; i2=-1}
1
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Un complejo de la forma Z = a + bi está expresado en su forma binómica.
Por ejemplo, el número complejo: Z = -3 + 4i tiene Re(Z)=-3 e Im(Z)=4
Además a cada número complejo le corresponde un punto en el plano:Z=(a;b) donde a es la
componente real y b, la componente imaginaria. Este número complejo se ha expresado en su forma
cartesiana.
Z = (a;b)
b
a
Observaciones…
Si Z = a + bi y a = 0Z = bio Z=(0;b)recibe el nombre de imaginario puro
Si Z = a + bi y b = 0 Z = a o Z=(a;0). Un número real es un número complejo cuya segunda componente es
igual a 0. Notemos entonces que el conjunto de los números reales es un subconjunto del de los números
complejos.
1) Unan con flechas cada expresión cartesiana con su expresión binómica:
(-1;1)
-i
(-1;0)
1+i
(1;-1)
-1-i
(1;1)
-1
(0;-1)
1-i
-1+i
2) Representen gráficamente cada uno de los siguientes números complejos:
Z1 = 2 + 3 i
Z5 = (−3; 0)
Z2 = i
Z6 = (0; −3)
Z3 = (5; 0)
Z7 = −5 − 2 i
Z4 = −3 + 5 i
Z8 = 5 − 2 i
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3) Hallen el valor de cada una de las raíces:
√−9 =
√−25 =
√−8 =
√−5 =
4) Hallen los valores de x e y que verifiquen las siguientes igualdades:
a. (2x; y + 2) = (4; −1)
1
1
2
4
c. 3x − 1 + (1 − y)i = (2; 3)
d. (2x − 5)i − 4y + 1 = 3 − i
b. (− x + 3; −y + ) = (0; 1)
5) Determina las soluciones de:
a. x 2 + 49 = 0
e. x 2 + 9 = 0
i.
2Z − 5i = zi
b. 5x 4 + 10 = 5
f.
j.
z 2 i + 2z − 5i = 0
c. x 2 + 5 = 4x
g. x 2 + 2x + 2 = 0
d. 3x 2 + 2x + 5 = 0
h. x 2 + x + 1 = 0
−2x 2 − 24 = 0
Módulo y argumento de un complejo
A cada número complejo z=(a;b) le está asociado un vector v
⃗ , con origen en el punto (0;0) y extremo en
el punto (a;b). De este modo se puede hacer corresponder a cada número complejo un vector.
El módulo de ese vector es el módulo del complejo, se representa con la letra griega ρ “rho” y se lo
calcula:
̂ “phi” se lo llama argumento y se lo calcula:
Al ángulo 𝛗
b
̂ = tan−1 ( )
φ
a
Forma Polar y Trigonométrica de un Complejo
̂)
Forma Polar: 𝐳 = (𝛒; 𝛗
̂ + 𝐬𝐢𝐧 𝛗
̂ 𝐢)
Forma Trigonométrica: 𝐳 = 𝛒. (𝐜𝐨𝐬 𝛗
Forma Binómica:𝐳 = 𝐚 + 𝐛𝐢
Forma Cartesiana:𝐳 = (𝐚; 𝐛)
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6) Grafica y expresa los siguientes complejos en sus cuatro formas:
a. Z = 5 + 2i
g. Z = (−3; −2)
b. Z = (2; −4)
h. Z = (9; 60°)
c. Z = (0; −2)
i.
Z = √2. (cos 40° + sin 40° i)
d. Z = 3i
j.
Z = (5; 120°)
e. Z = −1 + 3i
k. Z = 10. (cos 200° + sin 200° i)
f.
Z = (3; 0)
Operaciones con números complejos. Propiedades
Suma de números complejos:
Para sumar dos complejos procedemos del mismo modo que lo hacemos ante una suma de expresiones
algebraicas, operando los términos semejantes.
7) Resuelve:
a. (3 + 4i) + (-5 + 2i) =
b. (-1 + 5i) + (3 - i) =
c. (-4 - i) + (-9 + i) =
Resta de números complejos
Restar dos números complejos consiste en sumar al primero, el opuesto del segundo. Nota: en operaciones
combinadas con números complejos al resolver √a con a<0 considera sólo la solución positiva.
8) Resuelve:
a. (2 – 3i) – (4 – 2i) =
b. (-6 – i) – (-3 + 3i) =
c. (1 + 3i) – (-2 - i) =
d.
(1 + i) . (2 – 3i) + (4 – 2i) – ( 3 – 7i) + √−4 =
e. 3i – (1 – 7i) + 2 – i + 5i2=
9) Resuelve:
a. (9; 18) + (8; 2) =
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b. (−8 + 9i) + (6 − 11i) =
c. (2; 5) − (7; 4) =
d. (4 − 7i) − (−2 + 3i) =
10) Resuelve gráfica y analíticamente las operaciones
a.
Z1 +Z2 =
b.
Z5 +Z6 =
c.
Z4 − Z3 =
d.
Z1 + Z2 =
e.
Z4 −Z1 =
f.
Z5 −Z4 =
g.
Z3 + Z2 =
h.
Z6 +Z1 =
Z3
Z2
Z5
Z1
Z4
Z7
Z6
11) Operaciones combinadas:
a. 2i + 8i + (−3i) =
1
b. 5i + 1 − i − 5 + 2i =
3
c. (3 − i) − (4 + 3i) + (1 − 2i) =
1
1
1
2
3
2
d. ( + 2i) + (− + 4i) − ( − i) =
1
1
5
2
e. (2 − i) − ( + 4i) − (3 + i) =
Potencias de la unidad imaginaria
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12) Resuelvan cada una de las siguientes potencias de i:
a. i122 =
c. i116 =
b. i523 =
d. i218 =
13) Resuelvan cada una de las siguientes operaciones:
1
a. −3i + i5 + i3 =
c.
2
b.
1
2
3
2
1
+ i17 + + i23 =
3
1
d. −2i9 − − i11 =
+ i3 + 2 + i7 =
3
14) Escriban en forma cartesiana cada uno de los siguientes complejos:
a. Z1 = i55 + 3 + i45
b. Z2 = −i125 + i50 − 2i
c. Z3 = 2i153 − 4i58 + 5i
MultiplicaciónRecuerda i2 = -1
Para multiplicar dos números complejos, procedemos del mismo modo que lo hacemos ante el producto
de expresiones algebraicas, aplicando la propiedad distributiva y las propiedades de la potencia.
15) Resuelve:
a. (-1 + 3i) . (2 – i) =
b. (2 + 5i) . (2 – 5i) =
c. (3 - i) . (-5 – 7i) =
6
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Propiedades de la adición y multiplicación en C
Cuadrado y Cubo de un Complejo:
Para elevar al cuadrado o al cubo un complejo, se desarrolla el cuadrado o el cubo de un binomio.
También se puede resolver como un producto.
16) Resuelve:
a. (3 + 2i)2 =
c. (2 + i)3 =
b. (2 − 5i)2 =
d. (5 − 2i)3 =
17) Calculen las siguientes potencias:
a. (4 + 3i)2 =
d. (1 + 2i)3 =
b. (2 − 6i)2 =
e. (2 + i35 )3 =
c. (1 − i29 )2 =
Conjugado de un número complejo
Si Z = a + bi, llamamos conjugado de Z y lo notamos Z̅ al complejo Z̅= a – bi.
18) Calcula los conjugados de los siguientes complejos.
a. Z = 2 – 5i
d. Z = -1 + i
b. Z = -7i
e. Z = 5i
c. Z = -4 + 3i
f.
19) Dado Z = a + bi demuestra la propiedad: Z. Z̅ =
7
Z = -2
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20) Encuentren los siguientes productos de complejos conjugados:
a. (1 + i)(1 − i) =
b. (−3 + 2i)(−3 − 2i) =
1
1
2
2
c. ( + √3i) ( − √3i) =
21) Resuelvan las siguientes multiplicaciones:
a. (4; 6)(−2; 3) =
d. (√3 + i)(2√3 + 4i) =
b. (1; 3)(2; −4) =
c. (8 + 2i)(−3 + i) =
División de números complejos:
Para dividir dos números complejos, se multiplican dividendo y divisor por el conjugado del divisor.
22) Resuelve:
a.
b.
c.
2+3i
4−2i
=
−1+i
=
3+4i
1−3i
−2i
=
23) Resuelvan las siguientes divisiones:
a.
4+2i
4−2i
=
b.
2+i
3−2i
=
c.
5+3i
1+4i
=
d.
1
√6−√10i
√3+√2i
=
24) Dados los complejos: Z1 = 2 + 3i, Z2 = −2 − i, Z3 = −9, Z4 = 4(cos 180° + i sin 180°), Z5 = (3; 120°), Z6 =
2
(4; 60°), resuelve:
a. Z1 + Z2 =
e. (Z1 )2 − Z2 =
b. Z1 . Z2 =
f.
c.
Z2
Z1
=
g.
d. ̅̅̅
Z1 + Z2 . Z3 =
(−Z1 + ̅̅̅
Z3 ). (−Z2 ) =
Z3
Z2
i.
Z4 . Z5 =
j.
Z6 − Z5 =
=
1
h. Z2 − √Z3 . ( − Z1 ) =
2
25) Resuelvan los siguientes cálculos:
a.
i12 +2i21
i5 i13
c.
=
b. (i2 + i3 + i0 )15 =
d.
8
(6+2i)(5+3i)
2+2i
3+2i
i
=
+ (6 − i)2 − 3i2 =
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e.
1
+|3+4i|−i4 −(8i−5)
i2
1+i
f.
=
(3i50 −2i23 )2
2−3i
=
EJERCICIOS INTEGRADORES
1.
Grafiquen y expresen a cada uno de los siguientes complejos en sus cuatro formas:
a. Z1 = (3; 5)
b. Z2 = 2i
3
3
2
2
c. Z3 = 2(cos ( π) + i sin ( π))
d. Z4 = (4√3; 75°)
e. Z5 = (2; π)
f.
2.
Z6 = −1 − 4i
Hallen la expresión cartesiana de los siguientes complejos:
a. Z1 = 3i22 − 5i7 + i31
b. Z2 = −i18 + 2i10 − 7i29
c. Z3 = 6i63 − i11 + 4i103 − i
3.
Desarrollen las siguientes potencias:
a. (1 − 3i)2 =
b. (−3 + 5i)2 =
c. (2 − i)3 =
d. (1 + 2i)4 =
e. (1 + i)5 =
4.
Resuelvan las siguientes operaciones:
a. (3 − 5i)(1 + 2i) =
b. i(1 − i)(7 − 4i) =
c.
d.
3−4i
2+3i
=
−3i(1+i)
5−2i
=
5 6−12i 2
e. ( .
6
5.
1+2i
) =
Dados:
Z1 = 1 − 2i
Z2 = 3 + i
Z3 = −2 + 2i
9
Z4 = 5 − i
Z5 = −1 − 3i
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Resuelve
̅̅̅5 =
a. (Z1 − Z3 )Z
e.
b. Z5 2 − Z2 . ̅̅̅
Z3 =
f.
c.
d.
6.
Z1 2
Z4 +Z3
1
Z5
+
Z3 2 −Z4
=
1−Z3
̅̅̅̅
Z2 − ̅̅̅̅
Z4
Z1 .i
=
=
Z2
Z1
g.
Z4
̅̅̅̅
Z
1
−
Z2
Z5
=
=
Hallen el valor de z que verifica las siguientes ecuaciones:
a. 2Z − 3i + 1 = Zi − 2
b. Z 2 + 3iZ + 4 = 0
5
c. −Z 2 + Z − = 0
2
d. (2Z + 1)2 + 9 = 0
e. Z 2 − 2Z + 10 = 0
f.
Z 2 − 4Z + 5 = 0
k. z + i = 4 + zi + 3i
l.
3x + 4i + y = 2xi − yi + 1
m. x 2 − 4x + 5 = 0
g.
1 2
x
2
+x+1 =0
10
h.
̅̅̅̅
Z3 .Z1 −Z
4
Z5 −Z2
=