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NÚMEROS COMPLEJOS
Los conjuntos numéricos surgen por la necesidad de resolver determinadas
situaciones que no eran posibles de ser resueltas con el conjunto numérico conocido
hasta ese momento.
Actividad grupal 1:
Reunidos en pequeños grupos, resuelvan las siguientes ecuaciones e indiquen a qué
conjunto numérico corresponde la solución:
a) x + 2 = 5
b) x + 5 = 2
c) -5x = 2
d) x2 = 2
e) x2 + 1 = 0
Haciendo un recorrido por distintas situaciones, buscaremos soluciones que nos
permitan entender la necesidad de crear un nuevo conjunto numérico.
Si tenemos una ecuación como la siguiente, x + 2 = 5 su solución es x = 3, que
corresponde al conjunto de los números naturales (IN).
Este conjunto numérico, ¿puede dar solución a la siguiente ecuación?
x + 5 = 2 , como podemos ver su solución es x = -3, y -3 no pertenece al conjunto de
los números naturales, así surge la necesidad de ampliar el conjunto numérico
incorporando los números negativos, que recibe el nombre de conjunto de los
números enteros( Z).
Ahora pensemos en la siguiente ecuación, -5x = 2 al resolverla su solución es
2
x =  , que corresponde al conjunto de los números racionales (Q).Este conjunto
5
esta formado por las fracciones positivas y negativas. Así concluimos, que este
nuevo conjunto incluye a los números enteros, ya que todo entero puede ser escrito
como fracción con denominador unitario.
Si continuamos con x2 = 2, su solución es x = 2 o x =  2 , que corresponde al
conjunto de los números irracionales (I), que con los números racionales forman el
conjunto de los números reales (IR).
-1-
En símbolos: Q  I = IR
Siguiendo la secuencia se podría plantear la siguiente ecuación x2 + 1 = 0.
¿Cuál será su solución?
Esta ecuación, como ya habrás comprobado, no tiene solución ni en IN, ni en Z, ni en
Q, ni en IR.
Los matemáticos del siglo XVII comenzaron a explorar nuevas posibilidades para
poder resolverlas. Pensaron que una solución podría consistir en asignarle a x el valor
 1 , pero ya sabemos que esto no es posible, porque la operación radicación no
permite tomar radicandos negativos si el índice es par.
Sin embargo el interés práctico para resolver los cálculos impulsó el uso de  1 ,
aunque ello no fue aceptado conceptualmente.
A lo largo de los siglos XVII y XVIII, los matemáticos de todo el mundo continuaron
descubriendo nuevas aplicaciones de las raíces cuadradas de los números negativos.
Fue Euler quien en el siglo XVIII introdujo el símbolo i (inicial de la palabra imaginarius)
para nombrar la  1 .
Una afirmación muy clara, atribuida a este matemático, señala que “tales raíces no son
nada en absoluto, nada más ni nada menos que nada, son estrictamente imaginarias o
imposibles”.
No debemos preocuparnos entonces por saber si los números imaginarios son
efectivamente imaginarios o si son verdaderamente números, tomemos tal expresión
con el nombre arbitrariamente dado a una idea matemática.1
Como mencionamos anteriormente, en IR no podemos resolver raíces cuadradas de
números negativos, como  1 , ya que no existe ningún número real cuyo cuadrado
sea igual a -1.
Se utiliza el símbolo i para indicar un número imaginario tal que i2 = -1.
Teniendo en cuenta dicha igualdad, y que este número no es real, podemos utilizarlo
para expresar las soluciones que no son reales, de algunas ecuaciones.
Veamos los siguientes ejemplos:
x2 + 1 = 0
x2 = -1
x1 = i
1
x2 = -i
Etchegoyen, Susana y otros. Matemática 1. Kapelusz. 2000.
-2-
Verificación:
Si x = i
i2 + 1 = 0
-1 + 1 = 0
Si x = -i
(-i2) + 1 = 0
(-1)2.i2 + 1 = 0
-1+ 1 = 0
x2 + 3 = 0
x2 = -3
x2 = 3. (-1)
x1 = 3 i
x2 =  3 i
Ejercicio 1:
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x2 + 4 = 0
b) x2 + 5 = 0
e) 9x2 + 25 = 0
f) (x + 5)2 = 10x
1
1
3
g) 2

2
x 1
x2 
3
4
h) 2
1  1
x 4
c) –x2 – 9 = 0
d) x2 – 10 = 2x2
Veamos ahora el siguiente ejemplo:
x 2  12 x  40  0
Para resolverla debemos utilizar la fórmula resolvente, o sea :
x
12  (-12) 2  4.1.40
2 .1
12  144  160
x
2
12   16
x
2
Siguiendo el razonamien to empleado hasta el momento podemos concluir que
dicha ecuación tiene dos soluciones :
12  4i
2
x  6  2i
x
y
y
12  4 i
2
x  6  2i
x
 Verifica las soluciones halladas.
-3-
Llamamos números complejos a los números de la forma a + bi, donde
a y b son números reales e i es la unidad imaginaria.
Por convención se lo expresa z = a + bi, llamada forma binómica
Como se puede observar en la definición, en el número complejo se reconocen de dos
partes.
Partes de un número complejo
Si z = a + bi, entonces:
z = a + bi
b es la parte imaginaria de z
La expresamos Im(z)
a es la parte real de z
La expresamos Re(z)
Por ejemplo:
 El número complejo z = 3 + 2i tiene a 3 como parte real y a 2 como parte
imaginaria.
 El número complejo z = -4i tiene a 0 como parte real y a -4 como parte imaginaria,
se lo llama imaginario puro.
 El número complejo z = 9 tiene a 9 como parte real y a 0 como parte imaginaria.
Al conjunto de los números complejos se lo simboliza con la letra C.
Por los ejemplos vistos podemos concluir que los números reales están incluidos en el
conjunto de los números complejos.
En símbolos: IR  C
Para ver si entendiste 1:
Indica la parte real y la parte imaginaria de los siguientes números
complejos.
a) z = 5 – 4i
b) z = -6i
c) z = 3 – i
d) z = 4
-4-
Seguimos avanzando…
Existen dentro del conjunto de números complejos, números que por sus
características se le asignan nombres especiales. Estos nombres nos permitirán
reconocerlos, aún cuando no estén escritos.
El conjugado y el opuesto de un número complejo
A partir de un número complejo z = a + bi, se definen los siguientes:
 El conjugado de z es
opuesta).
z = a – bi (la parte real es igual, la parte imaginaria es
En símbolos:
El conjugado de z se expresa z
 El opuesto de z es –z = -a – bi (la parte real y la parte imaginaria son opuestas).
En símbolos:
El opuesto de z se expresa - z
Veamos los siguientes ejemplos:
z1 = -2 – 3i
z1 = -2 + 3i
-z1 = 2 + 3i
z2 = 5i
z 2 = -5i
-z2 = -5i
z3 = 4
z2 = 4
-z2 = -4
Para ver si entendiste 2:
Indica el opuesto y el conjugado de los números complejos que aparecen
en Para ver si entendiste 1.
Ejercicio 2:
Analiza si cada una de las siguientes afirmaciones es V(Verdadera) o F(Falsa).
Justifica la respuesta.
a) Ningún número complejo es igual a su conjugado.
b) Ningún número complejo es igual a su opuesto.
c) Todo número real es un número complejo
Así como operamos con el conjunto de números reales, también lo podemos hacer
con el conjunto de los números complejos, solo que con estos debemos cumplir con
algunas condiciones por las características de estos números.
-5-
Operaciones con números complejos
Los matemáticos del siglo XVIII, seguros de que la base del concepto de nuevos
números está tanto en su descubrimiento como en conocer sus operaciones y sus
propiedades elaboraron las reglas para trabajar con los números complejos, pero
antes de llegar a estas, vamos a utilizar conocimientos previos que nos permitirán
arribar a las reglas que usaremos sólo si es necesario.
Actividad grupal 2:
Dados los siguientes números complejos
z1 = 2 + 3i y z2 =-1 + 4i
Resuelve las siguientes operaciones:
d) z1 + z2
e) z1 - z2
f) z1. z2
¿Qué propiedades utilizaron en la suma y en la resta?
¿Y en la multiplicación?
Luego de realizar la puesta en común lo expresamos de la siguiente forma

Adición: z1 + z2 = (2 + 3i ) + (-1 + 4i) = (2 - 1) + (3 + 4)i = 1 + 7i
Agrupamos los términos semejantes, es decir, las partes reales y las
imaginarias entre sí.

Sustracción: z1 - z2 = (2 + 3i ) - (-1 + 4i) = (2 + 1) + (3 - 4)i =3 – i
Propiedad Distributiva

Multiplicación: z1 . z2 = (2 + 3i ) . (-1 + 4i) = 2.(-1) + 2.4i + 3i.(-1) + (3i).(4i) =
= -2 + 8i – 3i + 12i2 = -2 + 5i + 12.(-1) = -2 + 5i -12 = -14 + 5i
Reemplazo i2 por -1
-6-
A continuación aparecen en lenguaje simbólico algunas de estas reglas.
Si z1 = a + bi y z2 = c + di, se definen:
 Suma
 Resta
 Producto
z1 + z2 = (a+ c) + (b + d)i
z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i
z1 . z2 = (a. c – b.d) + (a.d + b.c)i
Ejercicio 3:
Dados z1 = 1 – 2i; z2 =
1
1
 i y z3 = i  . Calcula:
2
3
a) z1 + z2 + z3
d) z1 - z 2 +z3
1
e) z1  z2
2
f) z3  z2
b) z2 – z1
c) 2z2 – z3
Ejercicio 4:
Dados z1 = 1 – 2i; z2 =
a) z1 – 2z2 + z3
1
1
 i y z3 = i  . Calcula:
3
2
z
d) 1
z2
z1  z3
2 z2
z
1
f) 2  3
z1
z1
b) z2 . z1
e)
c) z 2 (z1 – z3)
Ejercicio 5:
Dados z1 = -1 + 3i y z2 =
1
- 5i. Calcula:
2
a)
z1. z1
b)
c)
z2. z 2
Escribe una conclusión, en base a los resultados de los incisos a) y b)
El producto de un número complejo y su conjugado da
por resultado un número real.
a)
En símbolos:
b)
Si z = a + bi entonces z. z = a2 + b2
-7-
Siguiendo con las operaciones,
Actividad grupal 3:
Dados los siguientes números complejos
z1 = 2 + 3i ; z2 =-1 + 4i y z3 = 6
Reunidos en pequeños grupos, resuelvan las siguientes operaciones:
z1
a)
z3
z2
b)
z3
z1
c)
z2
Expresen el número complejo en forma binómica.
Luego de realizar la puesta en común, se puede observar que los dos primeros incisos
no ofrecen dificultades para expresar el resultado en forma binómica, sin embargo el
inciso c) requiere de un procedimiento particular.
En el caso que en el denominador aparezca la unidad imaginaria, es necesario
multiplicar numerador y denominador, por el conjugado del número complejo que
aparece en el denominador.
Este procedimiento permite que el denominador se transforme en un número real, y
así poder expresarlo en forma binómica, como se puede observar en el ejemplo:
Multiplico por el
conjugado de z2
z1
z z
( 2  3 i ) ( 1  4 i )
2.( 1 )  2.( 4 i )  3 i .( 1 )  3 i .( 4 i )
 1. 2 
.


z 2 z 2 z 2 ( 1  4 i ) ( 1  4 i ) ( 1 ).( 1 )  ( 1 ).( 4 i )  4 i .( 1 )  4 i .( 4 i )
 2  8 i  3 i  12
10  11i
10  11i 10  11i 10 11





i
2
1  4 i  4 i  16 i
1  16.( 1 )
1  16
17
17 17
A continuación aparece en lenguaje simbólico el procedimiento empleado:
-8-
Si z1 = a + bi y z2 = c + di, se define:
 Cociente
z1
z z
a  bi c  di   ac  a.di  b.ci  b.d
 1. 2 
z2 z2 z2 c  di c  di 
c2  d 2
Ejercicio 6:
Dados z1 = 1 – 2i; z2 =
d) z1 – 2z2 + z3
e) z2 . z1
f) z 2 (z1 – z3)
1
1
 i y z3 = i  . Calcula:
3
2
z
d) 1
z2
z1  z3
2 z2
z
1
f) 2  3
z1
z1
e)
Ejercicio 7:
Resuelve las operaciones indicadas para los siguientes números complejos:
z1 = -3i + 2; z2 = 2 + 2i; z3 = 5 + i; z4 = 4i y z5 = -3
a) z1 +z2 – z3
b) z1.z2 – z4.z5
c) z1 .z2 .z4  z3
d) z12
e) z1 .z3  z5
Ejercicio 8:
Siendo z = 4 – 2i
a) z.z
b) w  w
c) z.w
d) z  w
e) w .z
f) z  z
g) w  w
h) z  w
i) w .w
y w = -2 + 3i, calcula y extrae conclusiones:
-9-
 Opcional 1:
Verifica reemplazando z = a + bi y w = c + di, que se cumplen las siguientes
propiedades:
a) z.w  w .z
b) z.z  a 2  b 2
c) z  z  2 Re( z )
d) z  z  2 Im( z )
e) z  w  z  w
f) z  w  z  w
Como pudimos ver, al principio de esta unidad, i2 = -1, esto quiere decir que si
operamos con potencias de i iremos obteniendo distinto resultados.
Potencias de i
Calculamos algunas potencias de i, para observar si aparece alguna regularidad:
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2.i = (-1).i= -i
i4 = i2.i2 = (-1).(-1) = 1
i5 = i4.i = 1.i = i
i6 = i5.i = i.i = i2 = -1
i7 = i6.i = (-1).i = -i
i8 = i7.i = (-i).i = -i2 = 1???
¿Qué pasaría si quisiéramos calcular i 25?
Busquemos una solución más práctica o “económica”.
Si prestamos atención vemos que entre i 0 e i 3 los resultados son, 1, i; -1 y –i; y
entre i 4 e i 7 se vuelven a repetir los resultados 1, i; -1 y –i. Si continuamos calculando
las potencias de i, podremos comprobar que, los resultados posibles son 4 y estos se
repiten cada 4 potencias consecutivas.
El procedimiento para calcular cualquier potencia de i, consiste
en dividir el exponente por cuatro y luego i elevarlo al resto de
la división y ver cual es el resultado dentro de los cuatro
posibles.
- 10 -
Veamos los siguientes ejemplos:
I25 = i1 = i
25
1
4
6
resto
i67 = i3 = - i
67 4
27 16
3
resto
Para ver si entendiste 3:
Calcula las siguientes potencias:
a) i45
d) i2510
563
b) i
e) i64
77
c) i
f) i89
Ejercicio 9:
Realiza las siguientes operaciones:
a) i68 – i72 + i76 – i80
b) i71 – i49
i 726 ( 1  i ) 2
c)
3  2i


d) 2  3 i
e) I2022:i3
 2
2


 2
2

f)
1i
2

i


2
- 11 -
Ejercicio 10:
Dados los siguientes números complejos, decir cuáles son complejos, cuáles son
reales y cuáles son imaginarios puros.
a) –i6 + 3i8
b) -2i5 + i12
c) 5i7 + 2i3
2
d) i 10  3 i 4
3
Seguimos avanzando….
Sabemos que todo número real es posible representarlo gráficamente sobre la recta
real, pero esta no alcanza para representar un número complejo, ya que estos están
formados por dos partes, una real y otra imaginaria. Por lo tanto, para representarlos
gráficamente vamos a necesitar los ejes cartesianos.
Representación gráfica de los números complejos
En el sistema de ejes cartesianos, sobre el eje de abscisas se representa la parte real
a del número complejo y sobre el eje de ordenadas la parte imaginaria b. El número
complejo a+bi queda representado por el punto P(a, b) del plano de coordenadas.
Si consideramos el número complejo z = -3+2i, este está representado por el punto de
coordenadas (-3,2).
A cada número complejo a+bi corresponde un punto P(a, b) que se llama su afijo, y
recíprocamente, a cada punto corresponde un número complejo.
- 12 -
Cuando el número complejo aparezca de la forma z = (a, b),
diremos que está en forma cartesiana.
El origen de coordenadas O y el punto P determinan un vector OP que se puede
considerar la representación vectorial del número complejo (a, b).
La longitud r del vector OP se llama módulo del número complejo a + bi y su
expresión es r =
.
¿De donde te parece que surge r =
?
Ejercicio 11:
Dados: z = 4 + 3i y w = -2 + i.
a) Representar gráficamente z, z , w, w , i.z, i.w.
b) ¿Qué relación encuentras entre los vectores z y z ? ¿Y entre z y i.z?
Ejercicio 12:
Dados z = 2 – 3i y w = 2 + i, expresa en forma binómica y en forma cartesiana:
1
a)
z
w
b)
z
c) z . w . z
i
d)
z
Para el próximo ejercicio es necesario que utilices la propiedad siguiente:
Un número complejo z = a + bi es igual a otro w = c + di si y sólo si
sus partes reales son iguales entre si y sus partes imaginarias
también. O sea:
a=c y b=d
- 13 -
Ejercicio 13:
Calcula x e y de modo que se satisfagan las siguientes igualdades:
a)
3 x  7 yi 
2 x  1  i 8 y  12 
5

4
b )3 x  2 yi  6 i
2x 3y  x 7 y 

  
i  5  6 i
a
b  a
b 
x 2y
d) 
i  1  2i
2
3
c)
Ejercicio 14:
Halla el complejo z en cada uno de los siguientes casos:
a )3 1  i   z  i
b )z   11  i 
c )z  i 1  i 
2
d )iz  1  i 1  i 
e )z 

2  3i
 1
3
f )z    
2
 2

2

i 

 6i
3
Ejercicio 15:
Dados los números complejos:
u  3 i
v   3  3i
w  2  2 3i
Calcula :
2u  v 2  u  
v
w
Ejercicio 16:
- 14 -
Dados los siguientes complejos:
z1 = 2 + 3.i; z2 = i; z3 = 1 - 2.i; z4 = 5 + 3.i y z5 = -3 - 3.i
Resuelve
a)
z1  z 2
z3  z4
b)
z1  z 2
z 3  z5
85
c)
d)
z1 .z2 2  z2 3
z 4  z1
2
z 2  z 4  z5
z5
4
Existen varias formas de escribir un número complejo, que se utilizan según las
necesidades de la situación. Hasta ahora hemos visto dos formas, la forma binómica z
= a + bi y la forma cartesiana o de par ordenado z = (a,b). Ahora veremos la forma
polar.
La forma polar. Módulo y argumento.
Si consideramos el número complejo z = 6 + 8i y lo representamos en forma vectorial,
sabemos que el vector se puede expresar a través de un módulo y un ángulo.
Para calcular el módulo de z usamos la expresión r = a 2  b 2 , si remplazamos por
los valores correspondientes nos quedaría
r
2
2
6  8 , r = 36  64  100  10
=
Y
z = 6 + 8i
8
α
O
6
X
Para hallar el ángulo, debemos utilizar razones trigonométricas, al tener de datos los
dos catetos del triángulo rectángulo, podemos emplear la tangente. Luego
8
8
luego α  arctg
α  53 ,13º
6
6
El vector tiene por módulo 10 entonces diremos que el módulo del número complejo z
es 10.
tgα 
- 15 -
El vector forma un ángulo de 53,13º con la dirección positiva del eje OX (el eje real).
El número complejo z queda completamente definido por su módulo y el ángulo que
forma con el eje positivo de las abscisas, al que llamamos su argumento.
Por lo tanto:
El módulo del número complejo z = a + bi es el módulo del vector oz .
z  oz  r  a 2  b 2
El argumento de un número complejo z = a + bi es el ángulo que
forma el vector oz con la semirrecta positiva del eje real.
b
tgα 
luego arg( z )  α
a
Veamos otro ejemplo:
Vamos a calcular el módulo y el argumento de z = -1 +
Para calcular el módulo,
3 i.
z  oz  r  ( 1 )2  ( 3 )2  1  3  4  2
Para calcular el argumento, tgα 
3
1
luego
arg( z )  α  60 º
Pero debemos tener en cuenta que el argumento debe coincidir con la representación
gráfica del número complejo, que en este caso se encuentra en el segundo cuadrante.
z = -1 +
3i
3
-1
- 16 -
El ángulo que estamos buscando surge de realizar 180º - 60º = 120º.
La forma polar de un número complejo, se obtiene calculando el
módulo de z y el argumento de z y se expresa: z = r α . Considerando
α
α un ángulo positivo entre 0º y 360º, lo llamamos argumento principal.
En nuestros ejemplos sería:
 Si z = 6 + 8i entonces en forma polar quedaría z = 1053,13º. z = 1053,13º.
 Si z = -1 + 3 i entonces en forma polar quedaría z = 2120º.
Actividad grupal 4:
Reunidos en pequeños grupos, resuelvan la siguiente situación:
Pasar los siguientes números complejos a la forma polar considerando el
argumento principal:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
z = 2 + 3.i
z = -2 + 2i
z = -1 – 3i
z=1-i
z = 1 + 4i
z = -3 + 5i
z = -2 – 4i
z = 4 – 3i
Ejercicio 17:
Escribe en forma polar los siguientes números complejos:
a) z = i
b) z = -2
c) z = -3i
d) z = 4
e) z = - 3 -i
f) z = 2 -
5i
- 17 -
Actividad grupal 5:
Reunidos en pequeños grupos, resuelvan la siguiente situación:
Pasar los siguientes números complejos a la forma binómica
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
z = 245º
z = 4120º
z = 7225º
z = 3330º
z = 5180º
z = 6270º
z = 890º
Como se pudo ver en la actividad anterior para expresar el número complejo, dado en
forma polar, en forma binómica fue necesario utilizar razones trigonométricas.
Se tenemos un número complejo expresado en forma polar, podemos pasarlo a la
forma binómica empleando las siguientes fórmulas, que surgen de aplicar razones
trigonométricas en el triángulo rectángulo que forma el vector con el semieje positivo
de las X.
Y
z = a + bi
b
r
α
a
O
X
Calculando:
b
r
a
cos  
r
sen 
entonces
b  rsen
entonces
a  r cos 
Luego:
a + b.i = (r.cos α) + (r.sen α).i = r.(cos α + i.sen α)
La expresión r.(cos α + i.sen α) se llama forma trigonométrica del
número complejo a + b.i y las magnitudes r y α se expresan en función
de a y b mediante las fórmulas:
r=
a2  b2
tg α =
b
a
α =arctg
- 18 -
b
a
En síntesis, un número complejo puede expresarse de cuatro formas diferentes
Forma
binómica
a + bi
Forma
cartesiana
Forma
trigonométrica
r( cos α  isenα )
(a , b)
Forma Polar
rα
Ejercicio 18:
Escribe en forma trigonométrica y polar los siguientes números:
a) z = -i
b) z = 1 - 3 i
c) z = 3 – 4i
d) z = 3 +3i
Ejercicio 19:
Sabiendo que x es un número real y que z = 2 + xi, calcula el valor de x para que z2
sea:
a) Imaginario puro.
b) Real.
Ejercicio 20:
Expresa los siguientes números en forma binómica:
a) z = 330º
b) z = 260º
c) z = 5135º
Ejercicio 21:
Marca la opción correcta:
1. Los números complejos z1 = - 6 + 6i y z2 = 6 2 315 º :
a) Son opuestos.
b) Son conjugados.
c) Son iguales.
d) Tienen distinto módulo.
2.
a)
b)
c)
d)
El opuesto del conjugado de 3 + 2i es:
-3 – 2i
3 + 2i
-3 + 2i
3 – 2i
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 Opcional 2:
Dado el número complejo z 
2i
calcula el valor de a para que el afijo de z
a  6i
se encuentre:
a) En la bisectriz del primer cuadrante.
b) En la bisectriz del segundo cuadrante.
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