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Los Números Complejos.
La necesidad de crear nuevos conjuntos numéricos (enteros, racionales,
irracionales), fue surgiendo a medida que se presentaban situaciones que no tenían
solución dentro de los conjuntos numéricos ya conocidos.
Problema
1) Resuelve las siguientes ecuaciones, indicando a qué conjunto numérico pertenecen
sus soluciones N (naturales); Z (enteros) ; Q (racionales) ; I (irracionales) .
a) 3x  5  11
d)
3  x 1
b)
1 3

x
2
e) x 2 
25
4
c)
1
6
x 
5
5
1
7 1
f)
2
3
x
Un desafío:
Encuentra los valores de “x” que hacen cierta la ecuación:
x² + 1=0.
¿Es posible encontrar en los conjuntos numéricos que conoces algún número “x” que
verifique la ecuación? ¿Por qué?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
En el siglo XVIII, el matemático Euler introdujo el símbolo i (inicial de la palabra
latina imaginarius) para nombrar un número cuyo cuadrado es igual a -1
Se define entonces el número i, al que llamamos unidad imaginaria, como aquel
cuyo cuadrado es (-1).
Es decir: i² = -1
POLITECNICO
1
Números Complejos
Matemática
Luego las soluciones de la ecuación x² = -1 son:
x=i
pues i² = -1
o
x=-i
pues (- i)² = (- i).(- i) = -1
Más desafíos
Resolvamos la siguiente ecuación:
x2 + c = 0
x2 = - c
 Si c  0
x   c
 Si c > 0
x2= - c
 
2
2
 x 

  1
 c
 x 

  i
 c
Luego
x1;2=  c i
Problema
2) Determina las soluciones de:
a) x2 + 25 = 0
b) x2 + 5 = 4x
Una ampliación más del campo numérico: Los números complejos
Llamamos números complejos a los números de la forma a + bi donde a y b son
números reales e i la unidad imaginaria.
Si z es un número complejo resulta: z = a + bi
es la componente real
Re(z)
2
POLITECNICO
es la componente imaginaria
Im(z)
Definimos al conjunto de los números complejos:
C = {z / z = a + bi , a  R ; b R ; i2=-1}
Un complejo expresado de la forma z = a + bi se la conoce con el nombre de
forma binómica del complejo z
Por ejemplo, el número complejo: z = -3 + 0,4i tiene Re(z) = - 3 e Im(z) = 0,4
Problema
3) Completa el siguiente cuadro
zi
Forma binómica
del zi
z1
5
Re(zi)
Im(zi)
-1

0
3
4
11
0
1
i
2
z2
z3
z4
Observaciones
 Si z = a + bi
y a = 0 entonces, z = bi recibe el nombre de imaginario puro
 Si z = a + bi y b = 0 entonces z = a . En este caso el número complejo, cuya
componente imaginaria es nula es un número real. Notemos entonces que el
conjunto de los números reales es un subconjunto del de los números complejos
R
C
RC
POLITECNICO
3
Números Complejos
Matemática
 Dos números complejos son iguales si son respectivamente iguales sus
componentes reales e imaginarias
a  c
a  bi  c  di  
b  d
Problema
4) Determina x e y pertenecientes al conjunto de los números reales de modo que z1 = z2
siendo z1 = x+y-(2x+y)i
z2 = -x+(1+y)i+3
Operaciones con números complejos.Propiedades
Propuesta de trabajo: Resuelve la adición y multiplicación de los siguientes números
complejos teniendo en cuenta que se expresan como binomios y tú ya sabes operar con
ellos.
Dados
z =a+bi
w = c+di
Adición
z + w = (a+bi)+(c+di)=…………
Multiplicación
z .w = (a+bi).(c+di)=………….
4
POLITECNICO
¡Recuerda !
i2 = -1
Propiedades
Adición
Multiplicación
z  C; w  C; v  C
z+ w = w + z
Conmutativa
z . w = w ..z
(z+ w) + v = z+ ( w + v )
Asociativa
(z . w) . v = z ( w . v)
Z  C ;  0  C / Z  0  Z
Existencia de
elemento neutro
z  C ;  1 C / z.1  z
 z  C;  (z)  C / z  (Z)  0
(- z) se denomina
opuesto de z
Existencia de
elemento inverso
z  0  C;  z 1  C / z.z 1  1
z-1 se denomina
recíproco de z
Distributiva del producto con respecto a la adición
(z + w ) . v = z. v + w .v
Resta de números complejos
Dados z = a + bi , w = c + di definimos:
z – w = z + (-w) =(a + bi)+(- c - di)
Conjugado de un número complejo
Si z = a + bi , llamamos conjugado de z y lo notamos z al complejo z = a – bi
POLITECNICO
5
Números Complejos
Matemática
Propiedades
Sean z = a + bi
y
w = c + di
 zz
 z  z  2a
 z  z  2bi
 z . z  a 2  b 2 (Número real que recibe el nombre de norma del complejo z)
 zw  zw
 z.wz.w
Problemas
5) Demuestra las propiedades del conjugado de un número complejo
6) Dados los complejos: z1  2  3i ;
Calcula: a) z  z =
1 2
d) z12  z =
2
b) z . z =
1 2

z

1
2  2  2 i ;
z
3  9
c) z1  z . z 
2 3
1

f) z  z 3   z  
2
1
2


e)  z  z 3 .  z 
1
2
Nota: en operaciones combinadas con números complejos al resolver
con a < 0 considera sólo la solución positiva
a
Para pensar
Dados z = a + bi
w = c + di
¿Cómo resolver el cociente de números complejos?
En símbolos
z a  bi


w c  di
Te proponemos completar el siguiente procedimiento, teniendo en cuenta que el
producto de un complejo por su conjugado (norma de un complejo) es un número real:
artificio

z
z
w
.......... ...... .......... ........

.

.

w w w
.......... ....... .......... ........

Ejemplo:
1  3i 1  3i 2 - 2i 1  3i
. 2  2i .......... .......... .......... ......... .......... .......... ......

.




2  2i 2  2i 2 - 2i 2  2i
. 2  2i
.......... ..........
.......... ...
………………………………………………………………
6
POLITECNICO
Problema
7) Resuelve las siguientes ecuaciones:
i
  16.x
1 i
x
d) 5 – (-3 +2i) =
4i
2i
 3i
x
i
2
 1  i
c)
1
x
2
b) 1 
a)
La unidad imaginaria y un producto que genera un ciclo
i0  1(por definición)
i1  i
i2  1
i3  i2 .i  ( 1).i  i
i6  .......... .......... .
i7  .......... .......... .
………………………………….
…………………………………..
…………………………………..
nN
in  ?
i 4  .......... .......... .
i5  .......... .......... .
0
Para resolver este problema recordemos que por aplicación del algoritmo de una
división entera resulta:
i
n
i
4 c  r (1) 4c r (2)  4  c r (3) c r r
 i i  i  . i  1 . i  i


(1) producto de potencias de igual base
(2)potencia de otra potencia
(3)potencia de la unidad imaginaria
Luego:
in  ir
con
0<r<4 
n
4
r
c
0  r<4

r N0
n = 4c + r
r  N0
De donde
Si llamamos P al conjunto de todas las potencias de i es:
P= 1; i;1;i
POLITECNICO
7
Números Complejos
Matemática
Problemas
8) Calcula: a) i 431 
b) i1224 
c) i779 
9) Determina:
1
a) el conjugado de x / i 421 
 i.  25
2x
b) (- w) si w + ( i – 2) 3 + i 1231 = 0
c) x si
3  i 421
i
x
10) El producto entre un complejo y su conjugado es 80. Si la componente real es 4.
¿Cuál es la otra componente?
11) La suma de un complejo y su conjugado es 10 y el producto es 34. ¿Cuáles son los
complejos?
1 1
12) Calcula: ; ; i 9
i i2
13) Determina el valor de x real para que el producto:
(2 – 5i).(3 + xi)
a) sea imaginario puro
b) sea un número real
14 ) Escribe un número complejo tal que:
i)
su parte real sea el doble de su parte imaginaria
ii)
su parte real sea la cuarta parte que su parte imaginaria
iii)
sea un imaginario puro y su parte imaginaria sea un número irracional
comprendido entre 5 y 6
Representación gráfica de los números complejos.
El número complejo z = a + bi se representa en el plano mediante el punto de
coordenadas (a; b). El eje de las abscisas se llama eje real y el de las ordenadas, eje
imaginario. De esta forma, a cada número complejo le corresponde un punto del plano y
a cada punto del plano le corresponde un número complejo.A dicho plano se los llama
plano complejo
8
POLITECNICO
Im(z)
b
·
0
z
a
Re(z)
Problema
15) Representa los siguientes números complejos:
z  3  2i
1
z
2  2  4i
z =
4  3i
z
5  3  2i
z
z
3
1
i
2
6 3

Observación: cada punto del plano P (a; b) determina un vector posición OP  (a; b) ,a
partir de allí establecemos que a cada complejo de la forma a + bi le corresponde un
vector posición de extremo P. Entonces, llamamos módulo de un complejo, al módulo
del vector que lo representa.

Es decir: OP  z 
a2  b2
Nota: z se lee módulo del complejo z
Problema
16) Siendo: w = 2 – i
a) Calcula su módulo. ¿Qué relación vincula al módulo de un complejo con su norma?
b) Representa en el plano complejo w ; (-w) ; w ;2w
Argumento de un complejo: se llama argumento del complejo Z a la medida del
ángulo ω, formado por el semieje positivo de las abscisas y la semirrecta de origen o
que contiene al punto que representa el complejo.
En símbolos: arg(z) = ω
z
b
ω
o
a
POLITECNICO
9
Números Complejos
Matemática
Como ω puede tomar infinitos valores, consideraremos como argumento principal a
aquel que verifique 0  ω < 360º
Para determinar el argumento de z = a + bi, debe tenerse en cuenta que
Si a  0; tg ω =
b
a


b0 2
Si a  0; 
3
b  0   
2

Problema
17) Determina el argumento principal de los siguientes complejos:
z=1+i
w = - 1,5
v = 0,5 – 3i
Forma polar de un número complejo
Si z = a + bi = z  0º  ω < 360º
Forma polar del complejo z
Problema
18) Escribe en forma polar los complejos del problema anterior
Forma trigonométrica de un complejo
Sabiendo que: senω =
cos ω=
b
 b = |z| . senω
z
a
 a = |z|. cosω
z
resulta que: z = a + bi = | z |.cos ω+ | z |. senω i = |z |.( cosω+i.senω)
Esta última expresión se conviene en escribir, por razones de simplicidad:
|z | cisω
10
POLITECNICO
Resumiendo
Tres formas de expresar a un número complejo z:
z
a

bi

forma binómica

z

 z cos   isen 



forma polar
forma trigonométrica

 z cis  cis
El producto y el cociente de números complejos en forma trigonométrica y en
polar
Desafío:
Demuestra que dados z1  11 y z 2   2 2 resulta:
a) z1.z 2  11 .  2 2  (1. 2 )( 1 2 )  1 2cis(1  2 )

b) z1   11
n
c)

n
 1n
n1
 1n cis(n 1 )
z1 1 1 1



 1 cis1  2 
z 2  2 2  2 1 2   2
Problemas
19) Expresa en forma polar y trigonométrica:
a) el opuesto de (–1 – i)
b) el conjugado de (2 – i)
20) Expresa en forma binómica los complejos
a) 3
1

7
b) 1
1

6
POLITECNICO
11
Números Complejos
Matemática
21) Dados los complejos: z= 1 – 3i
w= 5
v = 3 cis 180º
1

2
Expresa previamente en forma binómica y luego, calcula:

z. w – v

w:v

w – z + 2v (escribe el resultado en forma trigonométrica)
(escribe el resultado en forma polar)
22) Dado el complejo: z = 2 1

3
Escribe el conjugado de z en forma binómica y representa gráficamente el opuesto de z
23) Describe dónde se localizan en el plano complejo todos los números que poseen:
a) parte real igual a 1
b) parte imaginaria igual a 1
c) módulo igual a 3
d) argumento igual a 180º
Y más problemas!!!!
24) Representa gráficamente los números complejos z tal que: z  z  i .
3 

25) Si A = z  C / Rez  1  0  arg(z)   , decide si los siguientes complejos
4 

pertenecen a A. Justifica tu respuesta:
a) z = 1 + i
b) v = 0,5
c) w = 0,5i
12
POLITECNICO
26) Contesta Verdadero o Falso. Justifica tu respuesta.
a) ningún número complejo es igual a su conjugado
b) ningún número complejo es igual a su opuesto
c) los complejos: z = - 6 + 6i y w= 6 2 315 son opuestos
d) el producto de dos números complejos imaginarios puros es un número complejo
imaginario puro.
e) (2 2i) es solución de la ecuación x3 + 8x = 0
27) Siendo: z 
3k  ki
, determina k para que z  10
1  3i
28) La suma de dos complejos conjugados es 8 y la suma de sus módulos es 10. ¿Cuáles
son esos números complejos?
29) Resuelve los siguientes sistemas en los que z y w son números complejos.
 zi  (1  i).w  2i
a) 
(1  i).z  (5  i).w  1
(1  i).z  (3  i).w  5i
b) 
z  wi  2  3i

30) Averigua que número complejo verifica que la suma entre el duplo de dicho número y
el cuadrado de su conjugado da por resultado cero.
31) Determina el z si: z +
1 i
= 2 45
2  2i
32) El cociente de dos números complejos es 520°y el dividendo es el cuadrado del divisor.
Calcula sus módulos y sus argumentos.
33) Dados: z1  2(cos 60  isen60) ; z2   3i ; z3  5 
6
,Calcula:
rad
a. en forma polar: z1.z2
b. en forma trigonométrica:
z1
z3
POLITECNICO
13
Números Complejos
Matemática
c. en forma binómico: (z1  z2 ).z3
1
z1  2
d. el argumento de w si w  2
z2
34) Expresa en forma trigonométrica
a) z1 / z11 
b)  z2 / z2  1  2  i
1
2i
35) Representa en el plano complejo:
A  z / z  C  z  7



B  x / x  C, arg x   x  5
6


C  y / y  C  2  y  5

3


D  y / y  C;  arg y    1  y  4
4
4


36) Determina el complejo z en las siguientes ecuaciones.



a) 3( z  i)  4 z i(2  3i)  47  40i


b) z(2  3i)  z(4  2i)  z  (5  5i)
c)
z  (2  3i)2  z
3  3i

7
2

1
2
i
37) ¿Se verifica la siguiente igualdad?
z 1 
38) Demuestra que:
14
POLITECNICO
2z
2
z 2  z  ( z  z)2

a)
w  4 30 º 

q  3 60 º 
z  2 50 º 

z .q
b)
w  4 30 º 

q  3 60 º 
z  2 50 º 


w : q : z 2 : (q 2 .z 3 ) 1  2 260º
1
1
.3z  4 60 º


2
39) Determina el ángulo que forman el conjugado de un número complejo con su
recíproco.
Bibliografía
Apunte IPS “Números Complejos”. Código 1252
Matemática. Polimodal. Números y Sucesiones de Silvia Altmar, Claudia R Comparatore y
Liliana Kurzrock. Editorial Longseller.Libro 3
Respuesta a los problemas presentados
1) a) x=2
c) x=-1
e)
x=  5
2
b) x= 
pertenece a Z;Q
d) x= 1
pertenece a I
f) x=
pertenece a Q
pertenece a Q .
2) a) x= 5i
3)
zi
4) x =
7
2
2
3
pertenece a N;Z;Q.
b) x1=2+i
3
11

21
pertenece a I
x2 = 2 - i
Re(zi)
z1
Forma binómica
del zi
1
5 i
2
z2
-1+  i
-1

3
i
4
0
z3
3
4
z4
11
11
0
5
Im(zi)
-
1
2
y=-4
POLITECNICO
15
Números Complejos
Matemática
5) no se presentan las demostraciones correspondientes a este problema
5
6) a) i
2
7) a) 
b) 
1 3
 i
5 5
8) a) - i
9) a) x  
b)1
3
c) 20  i
2
5
 7i
2
b)
1 3
 i
8 8
c) 1
d) - 3+
25
i
2
e) 
41 23

i
2
2
f)  11 4i
d) 8 + 32i
c) - i
5
1
2
136

i b) -w= 

i
52 52
125 125
c ) x = - 1 – 3i
10) b =  8
11) z = 5 + 3i ;
t = 5 – 3i
12) a) – i
b) –1
13) a) x = 14)
6
5
c) – i
b) x =
i) 2 + i ; 4 + 2i
15
2
entre otros. (Existen infinitas posibilidades)
ii) 2 + 8i ; 3 + 12i entre otros. (Existen infinitas posibilidades)
iii) 29 i ; ai donde a = 5,12122122212222... entre otros. (Existen infinitas
posibilidades)
15)
Im(z)
Re(z)
16
POLITECNICO
16)a) w  2 2  12  5
El módulo al cuadrado de un complejo es igual a su norma.
b)
Im(z)
Re(z)
1
 1    45º
1
0
b) tg  
 0    180º pues a  0
 1,5
3
  6    279º 27' 44' ' ,3
c) tg  
1
2
17) a) tg  
18) a) z  2 45º
b) w  1,5 180º
19) a) Forma Polar: z  2 45º
c) v 
37
2 279º 27' 44'',3
Forma Trigonométrica:
2 cis 45º
b) Forma Polar: z  5 26º 33' 54'',18
Forma Trigonométrica:
20) a) z = 2,7 + 1,3i
5 cis 26º 33' 54' ' ,18
b) z =
3 1
 i
2 2
21) z. w  v  349 15º 31' 26'',8
5
w:v  i
3
w  z  2v  113 cis131º 11' 9' ' ,33
Im(z)
22) z  1  3i
Re(z)
POLITECNICO
17
Números Complejos
Matemática
23) a) z= 1 + bi
Recta paralela al eje imaginario
que corta al eje real en 1
c) z  3
b) z= a + i
Recta paralela al eje real que
corta al eje imaginario en 1
d) z  z 180
  180º
Sobre la circunferencia con centro
en el origen de coordenadas y de
radio 3 unidades
1
24) Son z  a  i ;  a  R
2
Sobre el semieje real negativo
25)
a) z A
b) v  A
c) w  A
26) a)Falso, Ej. z=2= z
b)Falso ,Ej z = 0 c)Verdadero
d) Falso, Ej (2i) (3i)= - 6 no es un imaginario puro
e)Verdadero
27) k  10
18
POLITECNICO
28) z1  4  3 i ; z 2  4  3 i
14 3
1
7
7
1
29) a) z 
b) z  2  i ; w 
 i ; w
 i
5 5
10 10
2
2
30) z  0  z  2  z  1 3 i  z  1 3 i
1
31) z  1  i
2
32) z  w 2  25 y arg(Z)  arg(W 2 )  40º ; w  5 y arg(w )  20º
33) a) z1.z 2  2 3 330º
b) 0,4.(cos30º + i.sen30º)
5
5
c)
d) arg(w)=114º 20’ 34’’
3 i
2
2
34) a) z1= 5 (cos153º26´5´´i´sen153º26´5´´)
b) - z2= 10 cos198º26´5´´ isen198º26´5´´
35)
Im[z]
Im[z]
0 2
5
Re[z]
0
36) a) z = 2-3i
37) sí, se verifica
39) 0º
b) z = 5 - 2i
c) z = 7 + bi
Re[z]
 b
POLITECNICO
19
Números Complejos
Matemática
Resolución de los problemas propuestos:
20
POLITECNICO
Prof. Juan Carlos Bue