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Cuarto de secundaria Colegio Particular “Esclavas del Sagrado Corazón de Jesús” Geometría Analítica RAZONES Y PROPORCIONES RAZÓN D I S C R E T A Es la comparación matemática de dos cantidades. La razón que estudiaremos es mediante la resta y la división. TIPOS a–b=r I. RAZÓN ARITMÉTICA Proporción Aritmética Proporción Geométrica a - b= c - d (b c) a c = b d a +d = b+c (b c) axd = bxc Al último término “d” se le denota Al último término Cuarta Diferencial “d” se le denota de “a”, “b” y “c”. Cuarta Proporcional de “a”, “b” y “c”. II. RAZÓN GEOMÉTRICA a - b = b - c Razón Aritmética Razón Geométrica a – b =r a =k b C O N T I N U A OBSERVACIÓN Cuando se menciona simplemente la razón de dos cantidades consideramos la razón geométrica. NOTACIÓN b= a +c 2 A “b” se denomina A “b” se le denomina Media Diferencial Media de “a” y “c”. de “a” y “c”. A “c” se le llama Tercera Diferencial. a antecedente b consecuente r valor de la razón aritmética k valor de la razón geométrica Proporción Aritmética Proporción Geométrica a-b=c–d a c = b d A “c” se le llama Tercera Proporcional 1. Dos números se encuentran en la relación de 5/4 y su producto es 980. Hallar la suma de dichos números. a) 63 b) 108 c) 35 d) 92 e) N.A. 2. El producto de dos números es 250 y están en la relación de 5 es a 2. Hallar el doble del mayor. a) 10 b) 30 c) 50 d) 70 e) N.A. 3. Las edades de Antonio y Bernardo están en la razón de 5 a 3. Las edades de Bernardo y César están en razón de 4 a 7. Si la suma de las edades es 159 años. Hallar la edad de César. a) 63 b) 45 c) 36 d) 60 e) 75 4. La razón aritmética de las cantidades de dinero que Andrea y María tienen es S/. 240. Si la razón geométrica es 8/13. ¿Cuánto dinero tiene María? a) 328 b) 384 c) 624 d) 176 e) 260 NOTACIÓN Términos Extremos Términos Medios Proporcional PROBLEMAS PROPUESTOS PROPORCIÓN a y c antecedentes b y d consecuentes a y b términos de la primera razón c y d términos de la segunda razón a b = b c b = ac TIPOS Prof. Edwin Meza Flores Geometría Analítica “Amar, adorar y servir” Cuarto de secundaria Colegio Particular “Esclavas del Sagrado Corazón de Jesús” Geometría Analítica 5. En una granja el número de pollos es al de gallinas como 3 es a 5 siendo su diferencia 24. ¿Cuál es la nueva relación de pollos a gallinas si se mueren 12 gallinas? a) 3/5 d) 1/5 b) 3/4 c) 2/3 e) 2/7 6. La razón de “p” a “q” es como 2 es a 3, la razón de “r” a “s” es como 3 es a 4. ¿Cuál es la razón de “ps” a “qr”? a) 8 : 9 b) 1 : 2 d) 3 : 2 e) 3 : 4 c) 9 : 8 7. La media proporcional de “a” y 27 es “b” y además “a” es la tercera proporcional entre 3 y 27. Hallar: (a - b) a) 81 d) 54 b) 162 e) 30 c) 243 8. La cuarta diferencial de “a”, “b” y “c” es 29, la tercera proporcional de “a” y “b” es 36 y la media aritmética de “b” y “c” es 39. Hallar la tercera diferencial de “a” y “c”. a) 20 d) 23 b) 21 e) 24 c) 22 13. La suma de los 4 términos de una proporción geométrica continua es a la diferencia de sus extremos como 3 a 1. ¿Cuál es la razón geométrica del extremo mayor al extremo menor? a) 4 a 1 d) 2 a 1 b) 48 e) 33 c) 84 a) 304 d) 196 b) 3/2 e) 15/28 a) 9/20 d) 6/9 b) 13 e) 17 b) 112 e) 504 Prof. Edwin Meza Flores b) 3/10 e) 9/11 c) 9/5 a) 42 d) 52 17. b) 39 e) 24 a b c b c d a Calcular: c Si: a) 2/5 d) 9/64 c) 26 , además b) 3/4 e) N.A. a 54 b 1024 c) 3/8 c) 3/1 18. c) 336 Si: a b c 90 y 3 5 7 11 a b c d Hallar: “d” a) 70 d) 55 c) 14 12. El producto de los consecuentes de una proporción cuya razón es 3/4, es 880. Si los antecedentes están en la relación de 5/11. Hallar la suma de todos estos términos. a) 224 d) 84 c) 276 16. En una serie de razones geométricas equivalentes, el producto de los antecedentes es 448 y el producto de los consecuentes 1512. Determinar la suma de antecedentes, si la suma de todos los términos de dicha serie es 65. 11. Se añade 17 al menor de 2 números y se quita 17 al mayor, la razón geométrica entre ellos se invierte. Hallar la razón aritmética entre dichos números. a) 11 d) 15 b) 286 e) 256 15. En una reunión el número de hombres es al número de mujeres como 3 a 2. si se retira una cantidad de hombres y mujeres que son entre sí como 2 a 3, entonces la nueva relación de hombres a mujeres es como 24 a 11. Luego las mujeres que se van son a las que quedan como: 10. En un salón de clases el número de hombres es al total como 9 a 14. Si después del recreo se retira 1/5 de las mujeres y 1/3 de los hombres, ¿Cuál es la nueva relación entre el número de hombres y de mujeres en ese orden? a) 2/3 d) 1/3 c) 4 a 3 14. La suma de tres números es 650. Esta suma es la diferencia del primero con el último como 50 es a 9 y esta misma suma es a la diferencia de los dos últimos como 25 es a 1. Hallar el mayor de los números. 9. Dos números son entre sí como 4 es a 7. Hallar su razón aritmética si la razón aritmética de sus cuadrados es 4752. a) 28 d) 36 b) 5 a 3 e) 3 a 2 19. b) 56 e) 44 c) 66 Si: 9 15 33 21 , hallar: a.c. a b c d Si: c a b d 6 a) 33 d) 70 b) 44 e) 66 Geometría Analítica c) 55 “Amar, adorar y servir” Cuarto de secundaria Colegio Particular “Esclavas del Sagrado Corazón de Jesús” Geometría Analítica 20. Hallar la suma de los antecedentes de una proporción geométrica sabiendo que su producto es 693. a) 51 d) 58 21. b) 54 e) 60 26. La razón entre la suma y la diferencia de 2 números enteros positivos en 5/3. Calcular la suma de dichos números si su producto es 64. a) 20 b) 24 c) 28 d) 36 e) 30 27. El número canicas que tienen 3 niños son proporcionales a 4, 7 y 11, si cada niño tuviera 5 canicas más, el número de canicas que tendrían formarían una proporción geométrica continua. ¿Cuántas canicas tienen en total? a) 22 b) 44 c) 66 d) 88 e) 110 28. Dos números cuya suma es 90 forman una razón geométrica, la cual se invierte si se agrega 10 al menor y se resta 10 al mayor. Hallar el número mayor. c) 56 En la siguiente serie de razones iguales: 3 5 7 11 a b c d el producto de los consecuentes es 721875. Hallar la suma de estos consecuentes. a) 100 d) 130 b) 120 e) 110 c) 99 22. Si el área del círculo es el 400% de otro. Diga cuál es la razón entre el radio pequeño y el grande. a) 1/2 d) 1/6 b) 2/3 e) 2/5 a) 10 d) 25 c) 1/4 b) 70m e) 20m 24. Hallar la suma de El producto de los antecedentes de una proporción geométrica es 7. Calcular el primer consecuente si la cuarta proporcional es 5. Además se sabe que los términos son números enteros. a) 30 b) 28 c) 25 d) 21 e) 35 30. En una caja de tizas blancas, rojas y azules, se observa que por cada 4 blancas hay 5 rojas y por cada 7 rojas hay 11 azules. Si la cantidad de azules excede a las rojas en 140. ¿En cuánto excede el número de tizas azules al número de tizas blancas? geometría sea a) 16 d) 15 5 2 b) 17 e) 19 c) 60m 2 números tal que su media y su tercera proporcional sea 20. c) 20 25. Los antecedentes de varias razones iguales son: 3;4;5 y 6; la suma de los dos primeros consecuentes es 28. ¿Cuál será la suma de los otros dos consecuentes? a) 66 d) 44 b) 24 e) 34 c) 55 c) 50 29. 23. En un árbol de 75m proyecta una sombra de 125m ¿qué altura tiene un árbol que proyecta una sombra de 100m? a) 50m d) 30m b) 15 e) 30 a) 210 d) 147 31. b) 189 e) 175 c) 70 Susan tuvo su primer hijo a los 18 años. Actualmente sus edades están en la razón de 8 es a 5. ¿Cuál es la suma de las edades actuales? a) 48 d) 78 b) 58 e) 88 c) 68 AHORA RESUELVAN ESTOS PROBLEMAS EN GRUPO Prof. Edwin Meza Flores Geometría Analítica “Amar, adorar y servir”