Download Construcción gráfica de la mediatriz [editar]

Mediatriz
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento trazada por su
punto medio. Es muy similar a la mediana, pero su formación es diferente
Contenido
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1 Construcción gráfica de la mediatriz
2 Aplicación en triángulos
o 2.1 Demostración
3 Circuncentro
4 Véase también
5 Enlaces externos
Construcción gráfica de la mediatriz [editar]
Para trazar la mediatriz de un segmento dado, se trazarán dos arcos de radio arbitrario
(siempre mayores que la mitad de la longitud del segmento) con centros en los extremos
del segmento. Los dos arcos se cortarán en dos puntos que pertenecen a la mediatriz,
puesto que cumplen la condición de equidistar de los extremos del segmento.
Aplicación en triángulos [editar]
Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de sus lados, es decir, las
perpendiculares a los lados que pasan por sus puntos medios. Éstas se cortan en un
punto que se denomina circuncentro o ruficentro, el cual es el centro de la
circunferencia que pasa por los vértices del triángulo, es decir, de la circunferencia
circunscrita al triángulo.
Demostración [editar]
En efecto, sea AB el segmento determinado por los puntos A y B (véase la figura 1). Sea
M el punto medio del segmento y r la recta perpendicular al segmento por dicho punto.
Sea P un punto sobre la recta r. En la simetría axial respecto de la recta r, el punto P es
invariante y los puntos A y B son uno el simétrico del otro. Por tanto, en esta simetría, el
segmento AP se transforma en el segmento BP, ambos segmentos son congruentes y el
punto P equidista de los puntos A y B. En consecuencia, todo punto que se encuentre
sobre la recta r pertenece a la mediatriz del segmento en cuestión.
Recíprocamente, (véase figura 2) sea AB un segmento y sea P un punto que equidista de
A y de B, esto es que los segmentos AP y BP son iguales. Consideremos la bisectriz R
del ángulo APB y sea M la intersección de dicha bisectriz con el segmento AB.
Por construcción, los ángulos APM y BPM son iguales y en la simetría axial respecto de
la recta r se transforman uno en el otro. Como los segmentos PA y PB son iguales, en
esta simetría, los puntos A y B son uno la imagen del otro. Concluimos que el punto M
es punto medio del segmento AB y que dicho segmento es perpendicular a la recta r.
Circuncentro [editar]
Por la propiedad antes mencionada, en todo triángulo ABC las mediatrices de sus tres
lados concurren en un mismo punto, llamado el circuncentro del triángulo (punto O en
la figura). Dicho punto equidista de los vértices del triángulo. La circunferencia de
centro O y de radio OA, pasa por los otros dos vértices del triángulo. Se dice que dicha
circunferencia es circunscrita al triángulo y que el triángulo está inscrito en la
circunferencia.
En el ejemplo de la figura, el circuncentro quedó dentro del triángulo, ya que éste es
acutángulo; pero si fuera obtusángulo, el circuncentro quedaría fuera de él; y si fuera
rectángulo, quedaría en el punto medio de la hipotenusa.
Bisectriz
Construcción gráfica con regla y compás.
La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos partes iguales. Es el lugar
geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de las
semirrectas de un ángulo.
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1 Características
2 Aplicación en triángulos
3 Propiedades
4 Véase también
5 Enlaces externos
Características [editar]
Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los dos lados (rectas) del ángulo.
Recíprocamente, dos rectas, al cruzarse, determinan cuatro ángulos y cada uno de ellos
define una bisectriz. Estas bisectrices resultan ser el lugar geométrico de los puntos
equidistantes.
En la figura, la bisectriz interior al ángulo xOy (en amarillo) es (zz'), y la exterior es
(ww'). Se cortan formando un ángulo recto. En efecto, si llamemos a la medida de xOz,
y b la de yOw, observamos que 2a + 2b es la medida del ángulo xOx' , que es plano.
Dividimos por 2: zOw mide a + b = 90º.
Aplicación en triángulos [editar]
Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto,
que equidista de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de
la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de
los lados del triángulo.
Demostración: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser paralelas. Sea O la
intersección de las bisectrices D y D' (ver figura). Como O pertenece a D, es
equidistante de las rectas (AB) y (AC). Como O pertenece a D', entonces también
equidista de las rectas (AB) y (BC). Por transitividad de la igualdad, es equidistante de
(AC) y (BC), y pertenece a la bisectriz (interior) del ángulo C, es decir a D". Al ser
equidistante a los tres lados. Se sigue que la circunferencia cuyo radio sea justamente la
distancia común del punto O a los lados del triángulo es tangente a cada uno de los
lados.
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