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POLÍGONOS Y EQUIVALENCIAS ENTRE FORMAS GEOMÉTRICAS
OBJETIVOS
1
Recordar propiedades y construcciones sobre triángulos y
cua driláteros, con especial hincapié en los cuadriláteros
inscriptibles y circunscriptibles.
2
Recordar propiedades y analizar construcciones de polígonos regulares obtenidos al dividir la circunferencia en partes iguales o partiendo de la magnitud de su lado.
3
Analizar las figuras planas, no sólo desde el punto de vista
de sus formas geométricas, sino también desde la óptica de
sus extensiones o magnitudes.
1 TRIÁNGULOS
Los triángulos son figuras planas formadas por
tres puntos no alineados y por tres segmentos
que los unen dos a dos (los tres puntos son los
vértices y los tres segmentos los lados).
Los vértices se designan con letras mayúsculas
y los lados opuestos a los ángulos con las mismas letras minúsculas.
Para construir un triángulo son necesarios tres
datos, que pueden referirse a lados, ángulos,
rectas notables, etc.
1.1 Propiedades fundamentales.
• «La suma de los ángulos interiores vale 180°».
• «Cada lado tiene que ser menor que la suma
de los otros dos y mayor que su diferencia».
• «A mayor lado se opone mayor ángulo».
1.2 Rectas y puntos notables.
Circunferencias vinculadas.
1.2.1 Bisectrices, incentro y exincentros.
Los tres ángulos interiores tienen sus bisectrices correspondientes (va , vb , vc ) que se cortan
en un punto I llamado incentro, que equidista
de los tres lados a , b y c , siendo centro de una
circunferencia tangente a ellos: la circunferencia inscrita al triángulo ( fig.1.2.1.a) .
La bisectriz como magnitud es el segmento
de bisectriz comprendido entre el vértice y el
lado opuesto.
Las bisectrices de los ángulos adyacentes a
los interiores (fig.1.2.1.b), se cortan entre sí y
con las bisectrices antes descritas en tres puntos Ea , Eb , Ec que equidistan de las tres rectas;
a estos puntos se les denomina exincentros y
son centros de tres circunferencias exinscritas
al triángulo.
Evidentemente se verifica que:
• Cada bisectriz exterior es perpendicular a su
respectiva interior.
• Cada exincentro pertenece a la bisectriz inte-
rior del ángulo que los comprende y también a
las exteriores de las otras dos.
1.2.2 Alturas y ortocentro.
Se denominan alturas a las distancias perpendiculares de cada vértice al lado opuesto. Se
designan por h con el subíndice correspondiente a su vértice, ha , hb , hc . Sus pies se designan por Ha , Hb , Hc .
Las tres alturas se cortan en un punto H llamado ortocentro .
Se denomina triángulo órtico o pedal al que
tiene por vértices los pies Ha , Hb , Hc de las alturas del triángulo considerado. Dichas alturas
son bisectrices de su triángulo órtico y, por tanto, el ortocentro de un triángulo acutángulo es el
incentro de su triángulo órtico.
1.2.3 Mediatrices y circuncentro.
Los tres lados de un triángulo como segmentos que son, tienen sus correspondientes
mediatrices (na , nb , nc ) .
Las tres mediatrices se cortan en punto O llamado circuncentro , que equidista de los vértices y, por tanto, es centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices A , B y
C: es la denominada circunferencia circunscrita al triángulo (fig. 1.2.3.a).
• Dado que el triángulo que tienen por vértices
los pies Ma , Mb , Mc de las mediatrices tiene
sus lados respectivamente palalelos a los del
ABC (paralelas medias), resulta que el circuncentro de este último es ortocentro del primero.
• La circunferencia circunscrita contiene a los
respectivos arcos capaces de los ángulos interiores del triángulo.
1.2.4 Medianas y baricentro.
• Las mediatrices de los lados de todo triángulo
cortan a la circunferencia circunscrita en los
puntos medios, P, Q, R, de los respectivos arcos que completan los capaces de sus ángulos interiores (fig.1.2.3.b). Por tanto, dichos
puntos pertenecen a las bisectrices interiores
del triángulo; esto es, la mediatriz de un lado y
la bisectriz de su ángulo opuesto se cortan en
un punto de la circunferencia circunscrita. Además, las bisectrices exteriores (no dibujadas en
la figura) pasan por los diametralmente opuestos a P, Q, R.
• Los pies ( Ma , Mb , Mc ) de las perpendiculares
trazadas desde el circuncentro a cada uno de
los lados del triángulo, son a su vez puntos extremos o de intersección de las medianas del
triángulo con los lados de éste (fig.1.2.3.b).
Llamamos medianas a los segmentos ma , mb ,
mc que unen cada uno de los vértices del triángulo con el punto medio de su lado opuesto.
Se cortan en un punto G llamado baricentro o
centro de gravedad ( c.d.g.) del triángulo.
• En las medianas de cualquier triángulo el baricen-
tro está a 1/ 3 del punto medio del lado y a 2 /3
del vértice opuesto. La recta que une los puntos
medios de dos lados (fig.1.2.4) es la paralela
media al tercer lado y mide la mitad de éste.
• El triángulo definido por los puntos medios Ma ,
Mb , Mc de los lados de un triángulo dado, es semejante a dicho triángulo y corta a sus medianas en su punto medio. Es decir, las paralelas a
los lados de un triángulo por su vértice opuesto
forman un triángulo semejante al primero, cuyos
lados miden el doble y sus medianas también.
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2 CUADRILÁTEROS
3 CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS
REGULARES INSCRITOS EN LA
CIRCUNFERENCIA
Son polígonos compuestos por cuatro lados rectos, cuatro vértices y dos diagonales. Pueden clasificarse en base a sus ángulos en dos tipos:
Conocer el trazado y características de los polígonos regulares tiene importancia no sólo en la
resolución de problemas técnicos para piezas
industriales, sino también como elemento auxiliar
en la construcción de diseños arquitectónicos y,
por supuesto, en las artes plásticas, especialmente en las decorativas, donde los elementos
ornamentales como lacerías, mosaicos, etc. se
fundamentan en esquemas poligonales.
• Convexos: Cuando el polígono está situado
en uno de los semiplanos determinados por
cualquiera de sus lados. En este caso todos
los ángulos interiores son menores de 180°.
En todo cuadrilátero convexo una diagonal lo
descompone en dos triángulos, cada uno de los
cuales tiene la suma de los ángulos igual a
180°, lo que significa que los cuatro ángulos interiores de un cuadrilátero convexo suman 360°.
Por ello, vamos a recordar cómo dividir la circunferencia en partes iguales con objeto de
inscribir en ella polígonos regulares. Para su exposición seguiremos un orden fundamentado,
básicamente, en el orden cronológico del número de lados del polígono y a su nivel de dificultad de trazado.
• Cóncavos: Cuando considerando todas y ca-
da una de las rectas que componen sus lados,
el polígono se encuentra en ambos semiplanos. En este caso existe siempre un ángulo interior mayor de 180°.
2.1 Cuadriláteros circunscriptibles.
Un cuadrilátero –y cualquier otro polígono– se
considera circunscrito a una circunferencia cuando todos sus lados son tangentes a ella.
• «En todo cuadrilátero (convexo) circunscriptible
las sumas de los lados opuestos son iguales».
Esto es:
AB + CD = BC + AD
3.1 División de la circunferencia en 3, 6, 12,
... partes iguales.
Transportando cuerdas iguales al radio de la
circunferencia se obtienen los seis vértices
del hexágono regular . Uniendo alternativamente, triángulos equiláteros .
(fig. 2.1).
En efecto, los puntos de contacto dividen a cada lado en dos segmentos, siendo iguales los
segmentos parciales concurrentes en un mismo
vértice (desde un punto exterior a una circunferencia los segmentos de tangente son iguales).
Si se prolongan las apotemas del hexágono
se obtienen, sobre la circunferencia, el resto
de los vértices que definen el dodecágono
regular .
Sustituyendo en la expresión anterior, se tiene:
3.2 División de la circunferencia en 4, 8, 16,
... partes iguales.
(a + b) + (c + d) = (a + d) + ( b + c)
De lo que se deduce que ambos miembros de
la igualdad valen a +b + c +d , que es, por consiguiente, la suma de dos lados opuestos del
cuadrilátero.
También es demostrable lo recíproco, es decir, si las sumas de los lados opuestos de un
cuadrilátero (convexo) no son iguales, no es
circunscriptible.
El centro de la circunferencia a la que está circunscrito un cuadrilátero es punto de intersección
de cualquier par de sus bisectrices interiores.
Todo cuadrilátero cuya diagonal es eje de simetría es circunscriptible y su eje de simetría pasa
por el centro de la circunferencia inscrita: caso
del cuadrado (fig. 2.1.a), del rombo (fig. 2.1.b)
o del deltoide (fig. 2.1.c) que es un cuadrilátero simétrico respecto de una de sus diagonales, siendo éstas perpendiculares entre sí; lo
que trae consigo que tenga dos pares de lados
contiguos iguales y los ángulos opuestos a la
diagonal eje de simetría también iguales. El recíproco no es cierto: en todo cuadrilátero circunscriptible no siempre su diagonal es eje de
simetría ni pasa por el centro de la circunferencia inscrita.
2.2 Cuadriláteros inscriptibles.
Son aquellos cuadriláteros por cuyos cuatro vértices pasa una circunferencia.
• «Todo cuadrilátero convexo que tenga dos
ángulos opuestos suplementarios es inscriptible en una circunferencia».
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Los extremos de dos diámetros perpendiculares dibujan, sobre la circunferencia, un cuadrado inscrito.
En la figura α y β son ángulos inscritos, opuestos y suplementarios; verificándose que la suma
de sus ángulos centrales es igual a 360°.
Establecida la condición de inscriptibilidad de un
cuadrilátero (convexo) en una circunferencia,
atendiendo a las propiedades inherentes a cada
uno de los cuadriláteros conocidos, se tiene que:
- Todo trapecio inscrito (no rectángulo) es isósceles y, recíprocamente, todo trapecio isósceles es inscriptible; lo que significa que las mediatrices de los lados de todo trapecio isósceles,
concurren en un punto (fig. 2.2.a).
- Todo deltoide inscrito tiene el par de ángulos
iguales rectos y su circunferencia circunscrita
tiene el centro en el punto medio (M) de su diagonal mayor (fig. 2.2.b) .
2.3 Consideraciones geométricas para la
construcción de trapecios.
• Fig. 2.3.b : En un trapecio, si se traza una rec-
ta CE paralela a una diagonal desde el extremo de la base menor, se forma un triángulo
CAE que tiene como lados la suma de las
bases y las diagonales del trapecio.
Esta consideración permite dibujar trapecios
conociendo sus diagonales y lados paralelos.
• En general, para dibujar un cuadrilátero es
aconsejable triangular el polígono y, así, su
trazado se limita a dibujar los triángulos.
Sus bisectrices determinan otros cuatro puntos
para inscribir el octógono regular . El trazado
de nuevas bisectrices determina los polígonos
de 16 , 32 , … lados.
3.3 División de la circuferencia en 7, 14, 28,
... partes iguales.
La mediatriz de un radio cualquiera (OR ) determina, con la circunferencia, la magnitud
MN que define el lado del heptágono regular.
El transporte de esta magnitud ( l 7 ) , desde un
punto cualquiera de la circunferencia a modo
de cuerda, determina el polígono regular de
siete lados. Como en construcciones anteriores, las apotemas (mediatrices de los lados)
cortarán a la circunferencia en los puntos medios de los arcos; lo que define el polígono regular de 14 lados y, así, sucesivamente.
• Fig. 2.3.a: En un trapecio, la paralela a un lado
trazada desde un extremo de la base menor, lo
descompone en un paralelogramo ADCE y un
triángulo CEB que tiene como lados la diferencia de las bases y los lados no paralelos del
trapecio.
Esta consideración conduce a poder dibujar
un trapecio cuando se conocen los cuatro lados del polígono.
3.4 División de la circunferencia en 5, 10, 20,
... partes iguales.
Con centro M , punto medio de un radio (obtenido en la construcción anterior), y radio MA
se determina el punto P . La magnitud AP es el
lado ( l 5 ) del pentágono regular inscrito.
La magnitud PO define el lado ( l 10 ) del decágono regular inscrito en la circunferencia.
4 CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS
REGULARES DE LADO DADO
4.1 Pentágono de lado conocido.
- Paso 1.- Con centros en A y B , extremos del
lado dado, se trazan dos circunferencias de radio AB que se cortan en M y N. Lógicamente,
la unión de los puntos ABM determina un triángulo equilátero.
- Paso 2.- La circunferencia de centro N y radio
NA = NB corta a los anteriores en R y S , así
como a la mediatriz MN en el punto P . Al unir
R y S con P se obtienen, por intersección con
las circunferencias primeramente trazadas, los
puntos C y E vértices del pentágono buscado.
- Paso 3.- Por último, se trazan dos nuevas circunferencias de igual radio que las anteriores, y centros C y E respectivamente, que se cortan en el
punto D, último vértice del pentágono buscado.
4.2 N-ágono regular.
MÉTODO GENERAL
- EJEMPLO: Construcción del undecágono regular de lado ( l 11 ) dado.
- Paso 1.- Se comienza por trazar una circunferencia de centro O y radio arbitrario. A continuación se divide la circunferencia en tantas
partes iguales como lados tiene el polígono que
se pretende dibujar; para ello se aplica el procedimiento general visto en el apartado 3.5.
- Paso 2.- Una vez obtenido el lado MQ del undecágono inscrito en la circunferencia de radio arbitrario, se precisa definir el radio de la
circunferencia concéntrica que ha de contener al polígono solución, semejante al trazado. Se trata pues, de encajar el segmento dado AB = l11 , en el ángulo central MOQ .
Para ello, se traslada el dato l11 = MR sobre la
recta MQ , a partir del punto M , y por R se traza la paralela al diámetro MN , que corta a la
prolongación del radio OQ en el punto B , resultando encajado el segmento AB = l11 .
La distancia OB = OA determina el radio de la
circunferencia circunscrita al polígono buscado; transportando el lado dado se consigue el
undecágono deseado.
3.5 División de la circunferencia en n partes iguales.
- Ejemplo : División de la circunferencia en
nueve partes iguales.
- Paso 1.- Se comienza por dividir un diámetro
de la circunferencia ( AB ) en el mismo número de partes iguales en que se desea dividir
la circunferencia. En este caso, en 9 partes.
Con centro en los extremos A y B , se trazan
dos arcos, de radio AB , que se cortan en P.
PROCEDIMIENTO GENERAL
El punto obtenido ( P ) se une con la marca o
división segunda ( 2 ) del diámetro, prolongando dicha recta hasta que corte a la circunferencia en el punto C .
- Paso 2.- La cuerda AC = l 9 , transportada a lo
largo de la circunferencia divide a esta en 9 partes iguales. La unión ordenada de los puntos obtenidos dibujan el eneágono regular inscrito.
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5 FIGURAS EQUIVALENTES
Toman el nombre de figuras o formas equivalentes aquéllas que tienen igual área, entendida ésta como la medida de la extensión
de su superficie.
5.1 Triángulos equivalentes.
«Dos triángulos de iguales bases y alturas son
equivalentes».
En la fig. 5.1 , el triángulo ABC1 , de altura h, es
equivalente a los ABC 2 , ABC 3 ,…, que poseen
la misma base (AB = b) e igual altura (h), dado
que el área de todos ellos es: b ·h / 2.
5.2 Rectángulo equivalente a un triángulo.
«Un triángulo cualquiera puede siempre transformarse en un rectángulo de igual base y mitad altura, o de base mitad e igual altura».
• Dato: El triángulo ABC (fig. 5.2).
• Operaciones:
- Se determina el punto medio M de su altura (trazando la mediatriz) y, por él, se traza la paralela
a la base. El rectángulo de base la del triángulo
dado y altura su mitad, equivaldrá al triángulo
original; sus áreas son iguales: S = b ·h /2 .
- En la equicomposición de ambas figuras, para
formar la final se añaden las mismas subformas
que se retiran a la figura original.
5.3 Cuadrado equivalente a un rectángulo.
«Un cuadrilátero rectángulo, de lados a , b,
puede siempre transformarse en un cuadrado
de lado l, media geométrica entre a y b ».
• Dato: El cuadrilátero rectángulo de lados a , b
(fig. 5.3).
• Operaciones:
- La media proporcional o geométrica de a y b ,
determina el valor del lado ( l ) del cuadrado
solución.
5.4 Cuadrado equivalente a un cuadrilátero.
«Un cuadrilátero cualquiera puede siempre
transformarse en un cuadrado, previa descomposición de aquél en dos triángulos».
Al problema de hallar un cuadrado equivalente
a una figura dada se le denomina «cuadratura».
• Dato: El cuadrilátero ABCD (fig. 5.4).
• Operaciones:
- Considerando una cualquiera de las diagonales,
el cuadrilátero ( ABCD) queda dividido en dos
triángulos (ABC y ACD), de base común (AC).
- Tomando los puntos medios de sus alturas (respecto a la base común ) se consiguen los rectángulos ( ACPQ y ACRS) equivalentes a los
triángulos considerados.
- El proceso gráfico que conduce a determinar la
media geométrica de las magnitudes (QP y PR )
de los lados del rectángulo (QPRS ) –esto es, el
lado del cuadrado equivalente–, permite dibujar
el cuadrado solución, como muestra la figura.
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5.5 Polígono convexo de n lados equivalente
a otro de ( n -1) número de lados.
• Dato: El polígono convexo ABCDE (fig. 5.5).
• Operaciones:
- Se traza una de sus diagonales (AC) de forma
que separe un triángulo (ABC), que puede hacerse equivalente a otro (APC ), tal que uno de
sus lados (CP) esté en prolongación de otro
(CD) del polígono dado.
- La equivalencia entre los triángulos (ABC APC)
queda establecida al trazar por B la paralela a la
diagonal AC y hallar P en la intersección con la
recta que contiene al lado CD . Los dos triángulos
tienen la misma base (AC ), y la misma altura ( h).
5.6 Polígono convexo de n lados equivalente
a un triángulo.
- La aplicación sucesiva del proceso de segregación de triángulos, vista en el apartado anterior, reducirá el número de lados del polígono a
tres ( triángulo), que es el polígono de número
de lados mínimo.
- En la fig. 5.6 , continuando el proceso visto anteriormente, se puede observar la segregación
del triángulo (ADE), para obtener, como última transformación posible, el triángulo solución APQ .
5.7 Cuadratura aproximada del círculo.
La dificultad de resolver, con exactitud, el problema de construir con las herramientas euclidianas –regla y compás– un cuadrado equivalente a un círculo dado, radica (al igual que
sucede con su rectificación) en que π es un número «trascendente», esto es, no puede ser raíz
de ninguna ecuación matemática de coeficientes racionales.
Admitiendo como suficientemente precisa la
rectificación de la circunferencia (en términos
gráficos), el problema de la cuadratura del círculo equivale a construir un segmento de magnitud igual a π , dado el segmento unidad.
• Datos: El círculo de radio r y centro O
(fig. 5.7).
• Operaciones:
- Igualando áreas: π · r 2 = l 2 ; ( π · r ) r = l 2 .
- Por tanto, si suponemos un rectángulo de base
( π · r ) y altura igual al radio r , éste sería equivalente al círculo y basta con construir el cuadrado equivalente a dicho rectángulo; para ello,
como siempre, se halla la media geométrica
entre sus dos dimensiones ( π · r ) y r .
5.8 Círculo equivalente a una elipse.
• Dato: Elipse de semiejes a y b (fig. 5.8).
• Operaciones:
- Igualando áreas, podemos escribir:
π ·a · b = π · r 2 ;
esto es: a · b = r 2 .
- Por tanto, el radio ( r ) del círculo solución, se
obtiene determinando la media proporcional
entre los semiejes a y b de la elipse dada.
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