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SOLUCIÓN DEBER 2. MATEMÁTICA. 5TO CIENCIAS. ECUACIONES DE PRIMER GRADO. EJERCICIO 1: Se corta una tabla de 3 metros de largo en dos partes, de modo que una de ellas es 50 cm más larga que la otra. ¿Cuáles son las longitudes de cada parte? A) 250 cm y 50 cm B) 150 cm y 150 cm C) 175 cm y 125 cm D) 200 cm y 100 cm E) Ninguna de las medidas anteriores. SOLUCIÓN. Si se corta en dos partes: X: Longitud de una parte X + 50: Longitud de la otra parte: Planteamos la ecuación: Igualamos a 300 para convertir los 3m en 300 cm. x x 50 300 2 x 300 50 2 x 250 x 125 Si La parte más pequeña mide 125 cm, entonces la otra parte mide 175 cm. EJERCICIO 2: Los ángulos interiores de un triángulo son tales que α : β = 2 : 3 y β : γ = 3 : 4, entonces A) 15º B) 20º C) 45º D) 60º E) Ninguna de las anteriores SOLUCIÓN. De acuerdo al enunciado: 2 3 y 3 4 Expresando α y en función del mismo ángulo β, obtenemos: 2 2 3 4 (I) (II) 3 3 4 3 Como: , , son los ángulos interiores de un triángulo: 180( III ) Por lo tanto, sustituyendo las expresiones de I y II en III; obtenemos: 2 4 180 Eliminando el denominador, multiplicando cada término por 3: 3 3 2 3 4 540 9 540 60 2 2 60 40 3 3 4 3 4 60 3 80 Sustituyendo los valores de los ángulos en la expresión que nos piden calcular: 80 40 60 20 20 20 20 4 2 3 4 2 3 EJERCICIO 3: El largo de un rectángulo mide 3x + 2y. Si su perímetro mide 10x + 6y, ¿cuánto mide el ancho del rectángulo? Alternativas SOLUCIÓN. A. ancho del rectángulo L: largo del rectángulo. L 3x 2 y P: Perímetro. P 10 x 6 y 2 L 2 A 10 x 6 y 2(3 x 2 y ) 2 A 10 x 6 y 6 x 4 y 2 A 4x 2 y 2 A A 2x y EJERCICIO 4: La señora Marta compró 3 kilogramos de azúcar y 2 kilogramos de harina y pagó $ s. Si el kilogramo de azúcar vale $ p, ¿cuánto cuesta el kilogramo de harina? Alternativas SOLUCIÓN. Definamos: p: Precio del Kilogramo de azúcar . Planteando la ecuación: 3 p 2 H s 3 p 2H s 2H s 3 p H: Precio del kilogramo de harina. H s 3p 2 EJERCICIO 5: Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número? SOLUCIÓN. x Sea x el número buscado: 2 x 2 54 4 x x 108 3 x 108 x 36 EJERCICIO 6: La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm? SOLUCIÓN. P 2(2 x x) 4 x 2 x 6 x 30 x x 5 Si la altura es de 5cm entonces su base será de 10cm. 2x EJERCICIO 7: En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos homb res, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas? SOLUCIÓN. H: número de hombres. M: número de mujeres N: número de niños. M=2H El número de mujeres es el doble del de hombres. N= 3(H + 2H) = 9H El número de niños es el triple de la suma de hombre y mujeres. Si: M + H + N = 96 entonces: 2H + H + 9H = 96 12H = 96 H = 8 Si el número de hombres es 8, el de mujeres será 16 y el de niños 72. EJERCICIO 8: Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38 l y el bidón ha quedado lleno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón. SOLUCIÓN. C. capacidad del bidón. 7 3 7 3 C C 38 C C C C 38 40C 35C 24C 1520 19C 1520 8 5 8 5 C 80 EJERCICIO 9: Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay? SOLUCIÓN. C: cantidad de cerdos. P: cantidad de pavos. Cada cerdo tiene 4 patas y cada pavo tiene 2: C P 35 /( 2) 4C 2 P 116 C + P = 35 (I) 4C + 2P = 116 (II) 2C 2 P 70 4C 2 P 116 2C = 46 C=23 Sustituyendo en (I) obtenemos P = 12 EJERCICIO 10: Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 l de gasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera, consumió 2/3 de la gasolina que tenía el depósito y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que le queda. Se pide: 1.Litros de gasolina que tenía en el depósito. 2. Litros consumidos en cada etapa. SOLUCIÓN. G: Gasolina en el depósito. 2 1 1ra Etapa. Consumió: G queda: G 3 3 1 2da Etapa. Consumió la mitad de los que queda: 6 G 2 1 G G 20 4G G 120 5G 120 3 6 G 24 En el depósito habían 24 litros de gasolina. 2 2 24 1ra Etapa: 3 G 3 16 1 24 2da Etapa. 6 G 6 4 EJERCICIO 11: En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un cómic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería tenía 12 €. ¿Cuánto dinero tenía Ana? SOLUCIÓN. D: cantidad de dinero que tenía Ana. El libro cuesta: Le quedaría después de comprar el libro: 1 D 3 2 D 3 2 2 4 El comic cuesta entonces: 3 D 3 9 D D 4 D D 12 9 D 3D 4 D 12 9 2 D 12 9 3 9 D 54 EJERCICIO 12: Las dos cifras de un número son consecutivas. La mayor es la de las decenas y la menor la de las unidades. El número es igual a seis veces la suma de las cifras. ¿Cuál es el número? SOLUCIÓN. Cifras consecutivas: x, x+1. Recordar la forma de expresar un número de dos cifras. 10( x 1) x 6( x x 1) 10 x 10 x 12 x 6 x4 Si 4 corresponde a las unidades, entonces el 5 correspondería a las decenas. El número es 54. EJERCICIO 13: Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide 40° más que B. SOLUCIÓN. A B C 180 C B 40 A 40 B 40 B B 40 B 180 3B 180 B 60 B 60 C 60 40 20 A 40 60 100 EJERCICIO 14: Calcula tres números consecutivos cuya suma sea 51 . SOLUCIÓN. Tres números consecutivos: x, x+1, x+2 x x 1 x 2 51 3x 48 x 16 Los números son: 16, 17, 18. EJERCICIO 15: Calcula el número que sumado con su anterior y con su siguiente dé 114. SOLUCIÓN. Un número: x. Su antecesor: x-1. Su sucesor: x+1. x x 1 x 1 114 3x 114 x 38 EJERCICIO 16: Calcula el número que se triplica al sumarle 26 . SOLUCIÓN. Un número cualquiera: n n 26 3n 26 2n n 13 EJERCICIO 17: La tercera parte de un número es 45 unidades menor que su doble. ¿Cuál es el número? SOLUCIÓN. Un número: x. x 2 x 45 x 6 x 135 135 5 x 3 x 27 EJERCICIO 18: En un rectángulo la base mide 18 cm más que la altura y el perímetro mide 76 cm. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? X P = 76 X+18 SOLUCIÓN. P = 2(x) + 2(x+18) = 2x + 2x +36 = 4x + 36 = 76 4x = 40 x 10 Altura igual a 10cm y la base 28 cm. EJERCICIO 19: En un examen había que contestar 20 preguntas. Por cada pregunta bien contestada dan tres puntos y por cada fallo restan dos. ¿Cuántas preguntas acertó Felipe sabiendo que ha obtenido 30 puntos y contestó todas? SOLUCIÓN. C: preguntas contestadas correctamente. I: incorrectas. C + I = 20 3C - 2I = 30 I = 20 - C 3C – 2(20 – C) = 30 3C – 40 + 2C = 30 5C = 70 C = 14