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EJERCICIOS RESUELTOS PARA EXAMEN DE GRADO. PROBLEMAS DE ECUACIONES
LINEALES.
a) La suma de tres números enteros consecutivos es 48. ¿Cuánto vale cada número?
x  x  1   x  2  48
x  x  1  x  2  48
3x  3  48
3x  48  3
3x  45
x  15
Comprobando: 15+16+17=48
R: Los números son 15, 16, 17.
b) Encuentre tres números impares consecutivos cuya suma es igual a 117.
2 x  1  2 x  3  2 x  5  117
2 x  1  2 x  3  2 x  5  117
6 x  9  117
6 x  117  9
6 x  108
x  18
Primer número sería: 2x + 1 = 2(18) + 1 = 37
Comprobando: 37+39+41=117
R: Los números son 37, 39, 41
c) De un depósito lleno de líquido se saca la mitad del contenido, después la tercera
parte del resto y quedan aún 1600 litros. Calcular la capacidad del depósito en
centímetros cúbicos.
Capacidad del depósito: C
C 1
C
C    C    1600litros
2 3
2
C C C
C     1600
2 3 6
6C  3C  2C  C
 1600
6
2C
 1600
6
1600  6
C
2
C  4800litros .
Comprobando:
4800 1 
4800 
  4800 
  1600
2
3
2 
1
4800  2400  4800  2400  1600  2400  800  1600  1600  1600
3
Recordar que un litro equivale a 1dm 3 .Por lo tanto:
4800 
4800litors  4800dm 3  480010cm   4800 1000cm 3  4800000cm 3  4,8  10 6 cm 3
3
d) Pasó un gavilán por un palomar y dijo: “Adiós palomar de 100 palomas”. Una
paloma le contesta: “Miente usted gavilán. Con éstas, otras tantas como éstas, la
cuarta parte de éstas y usted gavilán, el ciento serán”. ¿Cuántas palomas había?
Cantidad de palomas: P
P
P  P   1  100
4
P
2 P   100  1
4
9P
 99
4
99  4
P
9
P  44
Comprobando:
44
44  44 
 1  100
4
44  44  11  1  100
100  100
R: Hay 44 palomas.
e) ¿Cuál es la longitud de una varilla si su quinta parte es roja, hay dos tercios
pintados de blanco y restan aún dos metros por pintar?
Longitud de la varilla: L
L 2
 L2 L
5 3
L 2
L  L 2
5 3
15L  3L  10 L
2
15
2L
2
15
2 15
L
2
L  15
Comprobando:
15 2
 15  2  15
5 3
3  10  2  15
15  15
R: La longitud de la varilla es de 15 metros.
f) La diagonal de una granja cuadrada tiene 10 km más que uno de sus lados. ¿Cuál
es la longitud del lado de la granja?
Diagonal: d
Lados: l
d l 2
d  10  l
10  l  l 2
l  l 2  10


l 1  2  10
l
10
1 2
l
10
10 2  1

 10 2  10  10 2  1  10  2.41  24.1
2 1
2 1


Comprobando:

 



10  10 2  1  10 2  1 2
10  10 2  10  10 2 2  10 2
20  10 2  10  2  10 2
20  10 2  20  10 2
R: El lado de la granja mide 24,1 km.
g) Hallar el valor de a de tal manera que la ecuación
solución x = 3 /4 .
x1  a 
1  a 1
a 1
x 1  a 1
3
1  a 1
4
7
1  a
4
11
a
4
x1  a 
 1  a  1 tenga como
a 1
Comprobando:
3  11 
3  15 
1  
 
11
11
4
4
4 4 
1  1 
1  1 
11
15
4
4
1
4
4
45
16  1  7  3  1  7  7  7
15
4
4
4
4 4
4
EJERCICIO 1:
Se corta una tabla de 3 metros de largo en dos partes, de modo que una de ellas es 50 cm más
larga que la otra. ¿Cuáles son las longitudes de cada parte?
A) 250 cm y 50 cm
B) 150 cm y 150 cm
C) 175 cm y 125 cm D) 200 cm y 100 cm
E) Ninguna de las medidas anteriores.
SOLUCIÓN.
Si se corta en dos partes: X: Longitud de una parte
X + 50: Longitud de la otra parte:
Planteamos la ecuación: Igualamos a 300 para convertir los 3m en 300 cm.
x  x  50  300
2 x  300  50
2 x  250
x  125
Si La parte más pequeña mide 125 cm, entonces la otra parte mide 175 cm.
EJERCICIO 2:
Los ángulos interiores de un triángulo son tales que α : β = 2 : 3 y β : γ = 3 : 4, entonces
A) 15º B) 20º C) 45º D) 60º
E) Ninguna de las anteriores
SOLUCIÓN.
De acuerdo al enunciado:
 2  3
 y 
 3  4
Expresando α y  en función del mismo ángulo β, obtenemos:
 2
2
     (I)
 3
3
 3
4
     (II)
 4
3
Como:  ,  ,  son los ángulos interiores de un triángulo:       180( III )
Por lo tanto, sustituyendo las expresiones de I y II en III; obtenemos:
2
4
      180
3
3
Eliminando el denominador, multiplicando cada término por 3:
2  3  4  540
9  540
  60
2
3
 
2  60
  40
3
4
3
 
4  60
3
  80
Sustituyendo los valores de los ángulos en la expresión que nos piden calcular:

4


2


3

80 40 60


 20  20  20  20
4
2
3
EJERCICIO 3:
El largo de un rectángulo mide 3x + 2y. Si su perímetro mide 10x + 6y, ¿cuánto mide el ancho del
rectángulo?
Alternativas
SOLUCIÓN.
A. ancho del rectángulo
P: Perímetro.
A  2x  y
L: largo del rectángulo.
L  3x  2 y
P  10 x  6 y  2 L  2 A  10 x  6 y  2(3 x  2 y )  2 A  10 x  6 y  6 x  4 y  2 A
4x  2 y  2 A
EJERCICIO 4:
La señora Marta compró 3 kilogramos de azúcar y 2 kilogramos de harina y pagó $ s. Si el
kilogramo de azúcar vale $ p, ¿cuánto cuesta el kilogramo de harina?
Alternativas
SOLUCIÓN.
Definamos: p: Precio del Kilogramo de azúcar .
H: Precio del kilogramo de harina.
Planteando la ecuación: 3 p  2 H  s
3 p  2H  s  2H  s  3 p
H
s  3p
2
EJERCICIO 5:
Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número?
SOLUCIÓN.
x
Sea x el número buscado: 2 x  2  54  4 x  x  108  3 x  108
x  36
EJERCICIO 6:
La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el
perímetro mide 30 cm?
SOLUCIÓN.
P  2(2 x  x)  4 x  2 x  6 x  30
x
2X
x 5
Si la altura es de 5cm entonces su base será de 10cm.
EJERCICIO 7:
En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de
niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la
reunión la componen 96 personas?
SOLUCIÓN.
H: número de hombres.
M: número de mujeres
N: número de niños.
M=2H El número de mujeres es el doble del de hombres.
N= 3(H + 2H) = 9H El número de niños es el triple de la suma de hombre y mujeres.
Si: M + H + N = 96 entonces: 2H + H + 9H = 96
12H = 96
H=8
Si el número de hombres es 8, el de mujeres será 16 y el de niños 72.
EJERCICIO 8:
Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38 l y el bidón ha quedado
lleno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón.
SOLUCIÓN.
C. capacidad del bidón.
7
3
7
3
C  C  38  C  C  C  C  38  40C  35C  24C  1520  19C  1520
8
5
8
5
C  80
EJERCICIO 9:
Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos
cerdos y pavos hay?
SOLUCIÓN.
C: cantidad de cerdos.
P: cantidad de pavos.
Cada cerdo tiene 4 patas y cada pavo tiene 2:
C + P = 35 (I)
4C + 2P = 116 (II)
C  P  35 /( 2)

4C  2 P  116
 2C  2 P  70
4C  2 P  116
2C = 46
C=23
Sustituyendo en (I) obtenemos P = 12
EJERCICIO 10:
Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 l de gasolina. El trayecto lo
hizo en dos etapas: en la primera, consumió 2/3 de la gasolina que tenía el depósito
y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que le queda. Se pide:
1.Litros de gasolina que tenía en el depósito.
2. Litros consumidos en cada etapa.
SOLUCIÓN.
G: Gasolina en el depósito.
1ra Etapa. Consumió:
2
1
G queda: G
3
3
1
2da Etapa. Consumió la mitad de los que queda: 6 G
2
1
G  G  20  4G  G  120  5G  120
3
6
G  24
En el depósito habían 24 litros de gasolina.
2
2  24
1ra Etapa: 3 G  3  16
1
24
2da Etapa. 6 G  6  4
EJERCICIO 11:
En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un cómic con
las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería tenía 12 €.
¿Cuánto dinero tenía Ana?
SOLUCIÓN.
D: cantidad de dinero que tenía Ana. El libro cuesta:
Le quedaría después de comprar el libro:
1
D
3
2
D
3
2
2 4
El comic cuesta entonces: 3 D  3  9 D
D
D 4
 D  12  9 D  3D  4 D  12  9  2 D  12  9
3 9
D  54
EJERCICIO 12:
Las dos cifras de un número son consecutivas. La mayor es la de las decenas y la
menor la de las unidades. El número es igual a seis veces la suma de las cifras.
¿Cuál es el número?
SOLUCIÓN.
Cifras consecutivas: x, x+1. Recordar la forma de expresar un número de dos cifras.
10( x  1)  x  6( x  x  1)  10 x  10  x  12 x  6
x4
Si 4 corresponde a las unidades, entonces el 5 correspondería a las decenas. El número es 54.
EJERCICIO 13:
Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más que C
y que A mide 40° más que B.
SOLUCIÓN.
A  B  C  180
C  B  40
A  40  B
40  B  B  40  B  180  3B  180  B  60
B  60
C  60  40  20
A  40  60  100
EJERCICIO 14:
Calcula tres números consecutivos cuya suma sea 51 .
SOLUCIÓN.
Tres números consecutivos: x, x+1, x+2
x  x  1  x  2  51  3x  48
x  16
Los números son: 16, 17, 18.
EJERCICIO 15:
Calcula el número que sumado con su anterior y con su siguiente dé 114.
SOLUCIÓN.
Un número: x. Su antecesor: x-1. Su sucesor: x+1.
x  x 1  x  1  114  3x  114
x  38
EJERCICIO 16:
Calcula el número que se triplica al sumarle 26 .
SOLUCIÓN.
Un número cualquiera: n
n  26  3n  26  2n
n  13
EJERCICIO 17:
La tercera parte de un número es 45 unidades menor que su doble. ¿Cuál es el
número?
SOLUCIÓN.
Un número: x.
x
 2 x  45  x  6 x  135  135  5 x
3
x  27
EJERCICIO 18:
En un rectángulo la base mide 18 cm más que la altura y el perímetro mide 76 cm.
¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
X
P = 76
X+18
SOLUCIÓN.
P = 2(x) + 2(x+18) = 2x + 2x +36 = 4x + 36 = 76
4x = 40
x  10
Altura igual a 10cm y la base 28 cm.
EJERCICIO 19:
En un examen había que contestar 20 preguntas. Por cada pregunta bien contestada
dan tres puntos y por cada fallo restan dos. ¿Cuántas preguntas acertó Felipe
sabiendo que ha obtenido 30 puntos y contestó todas?
SOLUCIÓN.
C: preguntas contestadas correctamente.
I: incorrectas.
C + I = 20
3C - 2I = 30
I = 20 - C
3C – 2(20 – C) = 30
3C – 40 + 2C = 30
5C = 70
C = 14
EJERCICIO 20:
Si el triple de un número se resta de ocho veces el número el resultado es 45. Hallar el
número.
X: sea el número a calcular.
8 x  3x  45
5 x  45
x 9
EJERCICIO 21:
La Suma de dos números es 27 y su diferencia es 7. Hallar los números.
X: uno de los números.
Y: el otro número.
x  y  27
17  y  27
x y 7
2x  34
x  17
y  10
EJERCICIO 22:
Se han comprado dos piezas de una máquina de la misma medida y el mismo fabricante.
Una de ellas se compró al precio de lista y la otra con rebaja del 25 porciento. Si por las
dos se pagaron $52,50. ¿Cuánto se pagó por cada una?
X: Precio de las piezas sin descuento.
x  0.75 x  52.50
1.75 x  52.50
x  30
R/ La pieza sin descuento cuesta $30.00 y la segunda pieza con el descuento del 25%
cuesta $22.50.
EJERCICIO 23:
La edad de un padre es el triple de la de su hijo y dentro de 10 años será el doble. ¿Cuál
es la edad actual de cada uno?
Actual
Dentro de 10 años
Hijo
X
X+10
Padre
3x
3x+10
3x  10  2x  10
3x  10  2 x  20
x  10
R/ Actualmente el hijo tiene 10 años y el padre 30 años.
EJERCICIO 24:
La edad de un padre es el cuádruplo de la de su hijo. Hace tres años era el quíntuplo.
¿Cuál es la edad actual de cada uno?
Actual
Hace 3 años
Hijo
X
X-3
Padre
4x
4x-3
4 x  3  5x  3
4 x  3  5x  15
x  12
R/ El hijo tiene actualmente 12 años, el padre 48 años.
EJERCICIO 25:
La edad de un padre es ahora el duplo de la de su hijo, pero hace 20 años era el
cuádruplo. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?
Actual
Hace 20 años
Hijo
X
X-20
Padre
2x
2x-20
2 x  20  4x  20
2 x  20  4 x  80
R/ El hijo tiene actualmente 30 años y el padre 60.
60  2 x
x  30
EJERCICIO 26:
Hace cinco años la edad de un padre era el triple de la de su hijo y dentro de cinco años
será el doble. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?
Hace 5 años
Actual
Dentro de 5 años
Hijo
X
X+5
X+10
Padre
3x
3x+5
3x+10
3x  10  2x  10
3x  10  2 x  20
x  10
R/ La edad actual del hijo es 15 años y el padre 35 años.
EJERCICIO 27:
Hace cuatro años un padre tenía ocho veces la de su hijo. Actualmente
es cuatro veces la de su hijo. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?
Hace 4 años
Hijo
X
Padre
8x
la edad del padre
Actual
X+4
8x+4
8 x  4  4x  4
8 x  4  4 x  16 R/ Si la de edad del hijo hace 4 años era de 3 años, actualmente tiene 7 y
4 x  12
x 3
el padre tendrá 28 años.
EJERCICIO 28:
La suma de las edades de dos hermanos es 25 años. La edad del menor es dos tercios
de la edad del mayor. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?
X: edad del menor.
x + y = 25
x = 2/3y
2
5
25 * 3
y  15 x  10
y  y  25  y  25  y 
3
3
5
R/ el mayor tiene 15 y el menor 10
años.
EJERCICIO 29:
Una madre lleva a su hija 24 años. Dentro de seis años la edad de la madre será el triple
de la de la hija. ¿Cuál es la edad actual de cada una?
Actual
Dentro de 6 años
Hija
X
X+6
Madre
X+24
x+30
x  30  3x  6 
x  30  3 x  18
2 x  12
x6
R/ La hija tiene actualmente 6 años, la madre 30.
EJERCICIO 30: Juan tiene 11 años y Pedro 28. ¿Dentro de cuántos años la edad de
Pedro será el doble de la de Juan?
Actual
A futuro
Pedro
28
28+X
Juan
11
11+x
x  28  2x  11
x  28  2 x  22
x6
R/ Dentro de 6 años.
EJERCICIO 31: La edad actual de Manuel es el triple de la edad que tenía hace 20 años.
¿Cuál es su edad actual?
Actual
Hace 20 años
Manuel
x
X-20
x  3x  20
x  3x  60
2 x  60
x  30
R/ La edad actual de Manuel es de 30 años.
EJERCICIO 32:
Ángel tiene 20 años y Betty tiene 12. ¿Cuándo la edad de Ángel será el doble de la de
Betty?
Actual
A futuro
Angel
20
20+X
Betty
12
12+x
x  20  2x  12
x  20  2 x  24
x  4
R/ Hace 4 años la edad de Angel era el doble de la Betty.
EJERCICIO 33:
El denominador de un quebrado excede en tres unidades al numerador. El triple del
denominador excede al cuádruplo del numerador en cuatro unidades ¿Cuál es el
quebrado?
x
3x  3  4  4 x
 Quebrado
x5
x3
3x  9  4  4 x
5
8
R/ El quebrado sería
EJERCICIO 34:
El denominador de un quebrado excede en dos unidades al numerador. Si se suma 1 al
numerador y al denominador el nuevo quebrado equivale a 2/3. Hallar el quebrado
primitivo.
x
x 1 2
 Quebrado

x2
x3 3
3x  1  2x  3
3x  3  2 x  6
R/ El quebrado primitivo es: x  3 / 5
EJERCICIO 35:
Un rectángulo y un cuadrado tiene la misma área. El largo del rectángulo es 6 m mayor
que el lado del cuadrado y su ancho es 4 m menor que el lado del cuadrado. Hallar las
dimensiones y el área del cuadrado y del rectángulo.
X
X
A = x²
x-4
x+6
A = ( x + 6 )( x – 4 )
x 2  x  6x  4
x 2  x 2  2 x  24
0  2 x  24
Cuadrado: Lado = 12 m.
2 x  24
x  12
Rectángulo: ancho = 8 m, largo = 18 m.
Área = 144 m²
EJERCICIO 36:
La diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos es 61. Hallar los números.
x  12  x 2  61
x 2  2 x  1  x 2  61
2 x  1  61
2 x  60
x  30
R/ Los números son 30 y 31, pero también -30 y -31.
EJERCICIO 37:
La diferencia de los cuadrados de dos números impares consecutivos es 80. Hallar los
números.
2 x  32  2 x  12  80


4 x 2  12 x  9  4 x 2  4 x  1  80
4 x  12 x  9  4 x  4 x  1  80
2
8 x  72
x 9
2
R/ Los números son 21 y 19, pero también -21 y -19.
EJERCICIO 38:
En un número de dos cifras la cifra de las decenas excede en 5 a la cifras de las
unidades. Sí se invierte el orden de las cifras resulta un nuevo número que sumado con el
anterior da 121. Halla el número.
Un número de dos cifras: 10x + y.
x=y+5
10 x  y  10 y  x  121
10( y  5)  y  10 y  y  5  121
10 y  50  y  10 y  y  5  121
22 y  66
y 3
R/ El número es 83.
EJERCICIO 39:
Dividir un ángulo de 90° en dos partes cuyas medidas estén entre sí como 7:8.
7
y  y  90
x  y  90
8
x  y  90
x 7
15

y  90
x  48  90
y 8
8
x  42
y  48
7
x y
8
y  48
x  42
EJERCICIO 40:
Un ganadero tiene 528 reses que quiere poner a pastar en dos terrenos. Uno de 15 ha y
otro de 33 ha, de modo que haya en cada parcela el mismo número de cabezas de
ganado por hectáreas. ¿Cuántas reses debe poner en cada una?
Podemos seguir dos vías para resolver el ejercicio:
Si tenemos 528 reses en total, podemos hallar la relación de ese total por las hectáreas
totales.
Sería:
528
 11
48
Por lo tanto para el área de 15 ha, tendríamos que repartir 15x11=165 reses y
para el área de 33 ha. serían 33x11=363 reses.
Otra vía:
x + y = 528 reses.
x
y

15 33
x 528  x

15
33
33x  15528  x 
y = 528 - x
11x  5528  x 
11x  2640  5 x
16 x  2640
x  165
y  363
EJERCICIO 41:
Alberto tiene $3.30 en monedas de 10 centavos y de 20 centavos. Sí tiene en total 24
monedas. ¿Cuántas son de cada clase?
x. Monedas de 10 cent.
y. Monedas de 20 cent.
x+ y = 24 y = 24 – x
0.10 x  0.20 y  3.30
0.10 x  0.2024  x   3.30
0.1x  4.8  0.2 x  3.30
0.1x  1.5
y 9
x  15
R/ Son 15 monedas de 10 cent. y 9 de 20 cent.
EJERCICIO 42:
Un hombre tiene $45 en billetes de 5 y de 1. Sí el número de billetes de 1 es el cuádruplo
del número de billetes de 5. ¿Cuántos billetes tiene de cada denominación?
x. Billetes de $5.00
y. Billetes de $1.00
5x + y = 45
y = 4x
5 x  4 x  45
9 x  45
x5
R/ Tiene 5 billetes de $5.00 y 20 de $1.00.
EJERCICIO 43:
La entrada en un cine cuesta $10 los mayores y $6 los menores. Una noche entraron 320
personas y pagaron $2720.00. ¿Cuántos mayores y cuántos menores entraron?
M. Mayores.
N. Menores. M + N = 320
10M + 6N = 2720
10320  N   6 N  2720
3200  10 N  6 N  2720
4 N  480
N  120
M  200
R/ Entraron 120 menores y 200 personas mayores.
EJERCICIO 44:
La diferencia entre las cifras de las decenas y la cifra de las unidades de un número de
dos cifras es 6.Sí al número se le agrega el duplo de la suma de los valores absolutos de
sus cifras se obtiene 87. Halla el número.
Un número de dos cifras: 10x + y x – y = 6 x = 6 + y
10 x  y  2 x  y   87
10 x  y  2 x  2 y  87
10 y  6   y  2 y  6   2 y  87
10 y  60  y  2 y  12  2 y  87
15 y  15
y 1
x7
R/ El número es 71.