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ELABORADO POR ING. QUÍM. IND. EDER JAIR CARMONA ARENAS
GUÍA PARA CURSOS DE RECUPERACIÓN
TEMA: Operaciones con ángulos
FECHA: _____________________
Entonces esto quiere decir que los triángulos trabajan con ángulos externos e internos, veamos un
ejemplo:
1.- Obtenga el valor del ángulo desconocido en la siguiente figura:
X
53°
40°
Si observamos la línea base es de 180°, por lo tanto si sumamos todos los ángulos tendremos:
53° + X + 40°= 180°
Entonces debemos despejar el valor del ángulo desconocido:
X= 180° – 53° – 40°= 87°
2.- Obtenga el valor de cada ángulo en la siguiente figura:
Podemos observar que la línea base es de 90°, eso quiere
decir que si sumamos los ángulos tendríamos:
X + 5X + X= 90°
Si resolvemos la ecuación obtendríamos:
7X= 90°
despejando X= 90°/7= 12.85°
Si sustituimos ese valor en cada ángulo obtendríamos:
D–C= 12.85°
C–B= 64.25°
B–A= 12.85°
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EJERCICIO: Obtenga el valor de x para los siguientes diagramas.
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Tarea: Obtenga el valor de los ángulos numerados.
110°
1
2
130°
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TEMA: Triángulos
FECHA: _____________________
Un TRIÁNGULO es una figura geométrica formada por la unión de tres semirrectas o segmentos de
recta, las cuales comparten tres puntos de unión llamados vértices.
L
o
n
g
i
t
u
d
T
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i
á
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g
u
l
o
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Á
n
g
u
l
o
s
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En los triángulos pueden trazarse diferentes rectas a partir de sus centros, como se muestra a
continuación.
Bisectriz
Es la semirrecta que divide a un ángulo en dos
partes iguales.
Traza la bisectriz del siguiente triangulo.
Incentro es el punto de intersección de las tres
bisectrices de un triángulo. Es el centro de la
circunferencia inscrita.
Mediatriz
De un segmento es la recta perpendicular al
mismo en su punto medio.
Traza la mediatriz del siguiente triangulo.
Circuncentro es el punto de intersección de las
tres mediatrices de un triángulo. Es el centro de
la circunferencia circunscrita.
Ejercicio: Traza la bisectriz y mediatriz para los siguientes triángulos.
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Altura
Es el segmento perpendicular comprendido entre
un vértice y el lado opuesto.
Traza la altura del siguiente triangulo.
Ortocentro es el punto de intersección de las
tres alturas de un triángulo.
Mediana
Es el segmento comprendido entre un vértice y
el punto medio del lado opuesto.
Traza la mediana del siguiente triangulo.
Baricentro es el punto de intersección de las
tres medianas de un triángulo.
EJERCICIO: Tace los siguientes triángulos en hojas blancas, clasifíquelos y trace los que se le pide.
Triangulo 1: Base de 8cm, ángulo de cada lado de 50° y distancia de 12cm / Identifique las
mediatrices
Triangulo 2: Un triángulo rectángulo de altura de 7cm y base de 15cm / Identifique su baricentro
Triangulo 3: Triángulo equilátero de 7cm de lado
/
Identifique su bisectriz
Triangulo 4: Triangulo isósceles de base de 5cm y ángulo de 30°
/
Triangulo 5: Base de 11cm, ángulo de 60° y ángulo de 140°
Identifique su incentro
/
Identifique sus alturas
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A partir de un triángulo podemos obtener su perímetro y su área:
𝑃 = 𝑙1 + 𝑙2 + 𝑙3
𝐴=
𝑏∗ℎ
2
EJERCICIO: Obtenga el perímetro y área para los siguientes triángulos.
P=
18cm
43.8cm
40cm
A=
1. Determina el área de un triángulo equilátero que mide 12cm de lado.
2. Si el área de un triángulo isósceles es de 140mm2 y de base 24mm, ¿cuánto mide su altura?
3. Dos triángulos rectángulos isósceles de 8 m de base se juntan por su altura. ¿Cuánto mide el área
total formada?
4. Las medidas de un triángulo son: 12, 16 y 22cm respectivamente. ¿Cuánto mide su área?
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El área de un triángulo puede calcularse con la fórmula de Herón siempre y cuando se conozcan los 3
lados que conforman el triángulo mediante la siguiente formula:
𝐴 = √𝑆(𝑆 − 𝑎)(𝑆 − 𝑏)(𝑆 − 𝐶)
Donde “S” es el semiperimetro y se calcula:
𝑆=
𝑎+𝑏+𝑐
2
Por ejemplo suponga un triángulo con las siguientes medidas y obtenga el perímetro del triángulo:
Primero: Obtenemos el semiperimetro
𝑆=
2.8 + 4.1 + 6.7
= 6.8𝑐𝑚
2
Segundo: Sustituimos en la formula
𝐴 = √(6.8)(6.8 − 2.8)(6.8 − 4.1)(6.8 − 6.7) = 2.71𝑐𝑚2
EJERCICIO: Para los siguientes triángulos obtenga el área suponiendo que las unidades son
centímetros.
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Los triángulos tienen diferentes propiedades las cuales son:
1) Se tienen 2 triángulos, sume dos de sus lados y compare el resultado con el tercer lado.
35.5cm
18cm
10cm
31cm
30cm
24cm
Propiedad 1: ______________________________________________________________________
2) Observe los triángulos y sume los ángulos internos:
87°
58°
90°
32°
56°
37°
Propiedad 2: ______________________________________________________________________
3) Observe el triángulo y el ángulo de 32 con respecto a la línea.
Propiedad 3: ______________________________________________________________________
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TAREA: Resuelvas los siguientes ejercicios.
1.- Para los siguientes triángulos calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Bisectriz e incentro
Mediatriz y circuncentro
Altura y ortocentro
Mediana y baricentro
El área con formula clásica
El área con formula de Herón
El perímetro
Los ángulos internos del triangulo
Los ángulos externos
NOTA: DIBUJE LOS TRIANGULOS EN HOJAS BLANCAS CON LAS MEDIDAS ESTABLECIDAS.
Triangulo 1: Base de 5cm, ángulo de cada lado de 30° y distancia de 10cm
Triangulo 2: Un triángulo rectángulo de altura de 10cm y base de 3cm
Triangulo 3: Triángulo equilátero de 6cm de lado
Triangulo 4: Triangulo isósceles de base de 8cm y ángulo de 70°
Triangulo 5: Base de 6cm, ángulo de 30° y ángulo de 70°
Triangulo 6: Base de 4.2cm, ángulo de 80° y ángulo de 140°