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Departamento de Educación Plástica y Visual. Unidad 3: Polígonos. 3º ESO EDUCACIÓN PLÁSTICA Y VISUAL
UNIDAD 3: POLÍGONOS
Página 1 de 15 Departamento de Educación Plástica y Visual. Unidad 3: Polígonos. 3º ESO 1. POLÍGONOS
1.1.
Conocimiento de los polígonos regulares
Polígono: Proviene de la
(ángulos). Se aplica a las
cruce de tres o más líneas
por tres o más lados, los
ángulos.
1.2.
palabra compuesta de Poli (muchos) Gonos
figuras geométricas planas, delimitadas por el
rectas, lo cual conforma una superficie definida
cuales forman entre sí la misma cantidad de
Clases de polígonos
Los polígonos se clasifican según tres criterios:
1.2.1. Por igualdad o desigualdad de lados:
Polígonos regulares: Cuando todos los lados son de igual extensión.
Polígonos irregulares: Cuando por lo menos alguno de los lados es de
extensión distinta.
1.2.2. Por la cantidad de lados:
Triángulo: lados y 3 ángulos.
Cuadrilátero: 4 ángulos y 4 lados.
Pentágono: 5 lados y 5 ángulos.
Hexágono: 6 lados y 6 ángulos.
Heptágono: 7 lados y 7 ángulos.
Octógono: 8 lados y 8 ángulos.
Encágano: 9 lados y 9 ángulos.
Decágono: 10 lados y 10 ángulos.
Undecágono: 11 lados y 11 ángulos.
Dodecágono: 12 lados y 12 ángulos.
Con más de 12 lados se denominan indicando el número de lados.
1.2.3. Por la existencia de una o más líneas que los dividan en mitades
iguales.
Polígonos simétricos: Los que tienen uno o más ejes de simetría.
Polígonos asimétricos: Los que no tienen ningún eje de simetría.
Página 2 de 15 Departamento de Educación Plástica y Visual. Unidad 3: Polígonos. 3º ESO 1.3.
Tipos de triángulos
Es el polígono delimitado por tres lados; y que en consecuencia contiene
tres ángulos, con sus respectivos vértices.
1.3.1. Teniendo en consideración sus lados
Triángulos equiláteros: Cuando sus tres lados sean iguales.
Triángulos isósceles: Cuando solamente dos de sus lados son iguales.
Triángulos escalenos: Cuando sus tres lados son desiguales.
1.3.2. Teniendo en consideración sus ángulos
Triángulo acutángulo: Cuando sus tres ángulos son agudos.
Triangulo rectángulo: Cuando tienen un ángulo recto.
Triángulo obtusángulo: Cuando tienen un ángulo obtuso.
1.3.3. Teoremas fundamentales de los triángulos
• La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es de
180º.
• Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los
dos ángulos interiores no adyacentes.
• La suma de los tres ángulos exteriores de un triángulo es igual
a 360º.
Página 3 de 15 Departamento de Educación Plástica y Visual. Unidad 3: Polígonos. 3º ESO • En todo triángulo isósceles, a lados iguales se oponen ángulos
iguales.
• En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.
• En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros
dos, pero mayor que su diferencia.
1.3.4. Puntos y rectas notables
Recta
Bisectriz:
Es la recta que divide
los
ángulos
del
triángulo
en
dos
mitades
iguales.
También es la recta
cuyos
puntos
equidistan de los lados
de un ángulo.
Mediana:
Es la recta de un
triángulo que parte de
un vértice al punto
medio
del
lado
opuesto.
Mediatriz:
Es la recta que divide
los lados del triángulo
en
dos
mitades
iguales,
también
equidista
de
los
vértices.
Altura:
La altura es la recta
perpendicular que va
desde un vértice hasta
el lado opuesto.
Punto
Incentro:
Intersección de las
bisectrices, centro de
la
circunferencia
inscrita
Baricentro:
Intersección de las
medianas, centro de
gravedad del triángulo.
Circuncentro:
Punto de corte de las
mediatrices, centro de
la
circunferencia
circunscrita.
El
circuncentro equidista
de los tres vértices.
Ortocentro:
Intersección de las
alturas.
Página 4 de 15 Departamento de Educación Plástica y Visual. Unidad 3: Polígonos. 3º ESO 1.3.5. Construcciones
Construcción de un triángulo conocidos sus tres lados.
Construcción de un triángulo isósceles conocida la base a y su altura h.
Construcción de un triángulo isósceles conocidos los lados iguales y la
altura h.
Página 5 de 15 Departamento de Educación Plástica y Visual. Unidad 3: Polígonos. 3º ESO Construcción de un triángulo conocidos los lados AB y BC y la mediana
correspondiente.
Construcción de un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa y un cateto
AB.
Construcción de un triángulo conocido el lado AB el ángulo adyacente a y
el ángulo opuesto c.
Página 6 de 15 Departamento de Educación Plástica y Visual. Unidad 3: Polígonos. 3º ESO 1.4.
Tipos de cuadriláteros
Los cuadriláteros se clasifican en consideración a la posición que ocupan
sus lados en:
Paralelogramos: Cuando los dos pares de sus lados son paralelos entre sí.
Trapecios: Cuando solamente dos de sus lados son paralelos entre sí.
Trapezoides: Cuando ninguno de sus lados es paralelo a otro.
Los paralelogramos son:
Cuadrado: Cuyos cuatro lados son iguales y sus cuatro ángulos son rectos.
Rectángulo: Es aquel que tiene iguales dos lados y los otros dos distintos pero
iguales entre ellos y cuyos cuatro ángulos son rectos.
Rombo: Sus cuatro lados son iguales pero tiene dos ángulos agudos iguales y
dos ángulos obtusos iguales.
Página 7 de 15 Departamento de Educación Plástica y Visual. Unidad 3: Polígonos. 3º ESO 2. CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS
2.1. Construcción de un pentágono dado el lado a
Paso 1:
Dibujar el segmento AB con la medida del lado a. Por el extremo
B levantar una perpendicular con la misma medida.
Trazar la mediatriz de AB y desde M.
Dibujar un arco con radio M1 hasta cortar a la prolongación del
segmento AB en el punto 2. La longitud A2 es la diagonal del
pentágono.
Paso 2:
Trazar un arco con centro en B y radio AB.
Paso 3:
Trazar un arco con centro en A y radio A2. Se obtiene el vértice
C del pentágono pedido.
Paso 4:
Trazar un arco con centro en C y radio CB hasta cortar al arco
del paso 3. Se obtiene el vértice D.
Paso 5
Trazar dos arcos con centro en A y radio AB y centro en D y
radio DC. Se obtiene el vértice E.
Paso 1
Paso 2
Paso 3
Paso 4
Paso 5
Paso 6: solución
Página 8 de 15 Departamento de Educación Plástica y Visual. Unidad 3: Polígonos. 3º ESO 2.2.
Construcción de un hexágono dado su lado a.
Paso 1: Trazar el segmento AB con la medida del lado a, y con esta medida
trazar dos arcos desde sus extremos que se cortan en O.
Paso 2: Dibujar una circunferencia con centro en O y radio OB. Ésta
intersecta a los arcos del paso 1 en F y C.
Paso 3: Las prolongaciones de AO y Bo cortan a la circunferencia en E Y D,
vértices del hexágono.
Paso 1
Paso 2
Paso 3
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Construcción de un pentágono, dado el radio r de su
circunferencia circunscrita:
División de la circunferencia en 5 y 10 partes iguales.
Paso 1:
Paso 2:
Paso 3:
Paso 1
Trazar dos diámetros perpendiculares de una circunferencia de
radio r. Hallar el punto medio del radio O2 obteniendo el punto M.
Trazar un arco AP con centro en M y radio MA. La medida AP es
el lado del pentágono.
Trazar un arco con centro en A y radio AP→ obtenemos los
vértices C y J. A partir de C y J llevar el lado → obtenemos los
vértices F y H.
Paso 2
Paso 3
Página 10 de 15 Departamento de Educación Plástica y Visual. Unidad 3: Polígonos. 3º ESO 2.4.
Construcción del cuadrado y del octógono dado el radio r de su
circunferencia circunscrita.
División de la circunferencia en 4 y 8 partes iguales.
Paso 1:
Paso 2:
Paso 3:
Paso 1
Dibujar dos diámetros cualesquiera GC y AE de la
circunferencia de radio r dado.
Trazar las bisectrices de los ángulos GOE y EOC. Se
obtienen los puntos F y D. Prolongar las bisectrices y se
obtienen los puntos H y B.
Al unir los puntos G, A, C y E se obtiene el cuadrado
inscrito en la circunferencia de radio r dado.
Al unir los puntos A, B, C, D, E, F, G, H se obtiene el
octógono circunscrito en la circunferencia de radio r dado.
Paso 2
Paso 3
Página 11 de 15 Departamento de Educación Plástica y Visual. Unidad 3: Polígonos. 3º ESO 2.5.
Construcción del heptágono dado el radio r de su circunferencia
circunscrita.
División de la circunferencia en 7 partes iguales.
Paso 1: Trazar un radio O1 cualquiera de la circunferencia de radio r dado.
Con centro en 1 y radio O1, trazar un arco que corta a la
circunferencia en el punto A.
La perpendicular a O1 que pasa por A es el lado del heptágono
circunscrito en la circunferencia.
Paso 2: A partir de A llevar el lado a cada lado se obtienen los puntos B y
G.
Paso 3: Llevar el lado a lo largo de la circunferencia. Se obtienen todos los
vértices del heptágono circunscrito en la circunferencia.
Paso 1
Paso 2
Paso 3
Página 12 de 15 Departamento de Educación Plástica y Visual. Unidad 3: Polígonos. 3º ESO 2.6.
Construcción de un hexágono dado el radio r de su
circunferencia circunscrita.
División de la circunferencia en 3 y 6 partes iguales.
El radio de la circunferencia circunscrita es el lado del hexágono.
Paso 1: Trazar un diámetro AD cualquiera de la circunferencia de radio r
dado. Pinchar con el compás con radio el mismo que hemos
utilizado para realizar la circunferencia, en cualquier punto de la
circunferencia.
Paso 2: Pinchando en D y radio DO (radio de la circunferencia) trazar un
arco que corta a la circunferencia en los puntos EC.
Pinchando en A y radio DO (radio de la circunferencia) trazar un
arco que corta a la circunferencia en los puntos FB.
Paso 3: Uniendo los puntos E, A, C obtenemos un triángulo circunscrito en
la circunferencia de radio r dado.
Uniendo los punto A,B, C, D, E, F obtenemos el hexágono
circunscrito en la circunferencia de radio r dado.
Paso 1
Paso 2
Paso 3
Página 13 de 15 Departamento de Educación Plástica y Visual. Unidad 3: Polígonos. 3º ESO 2.7.
Construcción de un polígono cualquiera dad el radio de su
circunferencia circunscrita.
Paso 1: Aplicando el teorema de Thales, dibujar la circunferencia de radio
r y se traza un diámetro AT. Desde A y T trazar, con la medida
AT, dos arcos que se corten en P.
Paso 2: Dividir el diámetro AT en tantas partes como número de lados
tenga el polígono a construir.
Paso 3: Unir el punto P con la segunda división y se prolonga la recta
hasta cortar a la circunferencia en B. El segmento AB es la
medida del lado del polígono buscado.
Paso 4: Trazando arcos consecutivos desde A se obtienen los vértices de
la figura, en este caso un heptágono.
Paso 1
Paso 2
Paso 3
Paso 4
Página 14 de 15 Departamento de Educación Plástica y Visual. Unidad 3: Polígonos. 3º ESO 2.8.
Construcción de polígonos estrellados.
Para construir polígonos estrellados, primero se divide la circunferencia en
tantas partes iguales como vértices tenga el polígono y a continuación se
unen los vértices no consecutivos: de dos en dos (paso 2), de tres en tres
(paso 3) … hasta que cierre el polígono.
Construcción de polígonos estrellados más comunes inscritos en una
circunferencia:
Polígono de cinco puntas – Paso 2
Polígono de siete puntas - Paso 2
Se divide la circunferencia en cinco
partes iguales. Se une el punto 1 con el
3, éste con el 5, y así hasta que se
cierre el polígono.
Se divide la circunferencia en siete
partes iguales. Se une el punto 1 con el
3, éste con el 5, y así hasta que se
cierre el polígono.
Polígono de siete puntas – Paso 3
Polígono de ocho puntas – Paso 3
Se divide la circunferencia en siete
partes iguales. Se une el punto 1 con el
4, éste con el 7, y así hasta que se
cierre el polígono.
Se divide la circunferencia en ocho
partes iguales. Se une el punto 1 con el
4, éste con el 7, y así hasta que se
cierre el polígono.
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