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Uniboyacá
GUÍA DE APRENDIZAJE NO 10
1. IDENTIFICACIÓN
Psicología e Ingeniería Ambiental
Programa académico
Actividad académica o curso
Semestre
Matemáticas básicas
Segundo de 2012
Funciones
Mg. Oscar Ferney Pérez Holguín
El estudiante lograra manejar el concepto de función
Actividad de aprendizaje
Orientador del proceso de aprendizaje
Resultados de aprendizaje
2 Introducción y descripción de actividades
FUNCIONES
En la práctica es muy frecuente que el valor de una cantidad depende de otra. Por citar algunos ejemplos, el salario de
una persona puede depender del número de horas del trabajo; la distancia recorrida por un objeto puede depender del
tiempo transcurrido desde su salida de un punto dado. La relación entre cantidades suele expresarse por medio de una
función. Una función puede considerarse como la correspondencia entre un conjunto X de números reales x, y otro
conjunto Y de números reales y, donde el número real y es único para un valor dado de x.
y
x
y
x
figura 1
La figura 1 presenta una visualización de esta correspondencia, en la que los conjuntos X y Y consisten en puntos de
una región plana.
Enunciado el concepto de función de otro modo, intuitivamente consideramos un número real y del conjunto Y como
una función del número real x del conjunto X, cuando existe alguna regla por medio de la cual pude asignársele a y un
valor único para un valor de x. Esta regla suele expresarse mediante una ecuación. Por ejemplo, la ecuación
𝑦 = 𝑥2
Define una función para la que X es el conjunto de todos los números reales y Y es el conjunto de todos los números
no negativos. La tabla 1 muestra el valor de Y asignado de valores específicos de X de la figura 2 visualiza las
correspondencia de los números de la tabla.
4
-4
16
-3/2
9/4
3/2
-1
1
1
0
0
figura 2
tabla 1
x
y=x
2
1
3/2
4
0
-1 -3/2
-4
1
9/4
16
0
1
9/4
16
Para denotar una función se usan símbolos como f, g y h. El conjunto X de números reales descritos es el dominio de
la función y el conjunto Y de números reales asignados a los valores de x en X, es el contra dominio de la función.
EJEMPLO No 1
La ecuación 𝑦 = 2𝑥 2 + 5. Define una función llamémosla función f. la ecuación expresa la regla por medio de la cual
puede obtenerse un valor único de y al conocer x; esto es, multiplicar el número por sí mismo. Después multiplicar el
producto obtenido por 2 y sumarle 5. El dominio de f es el conjunto de números reales y puede designarse con la
notación de intervalos (−∞, + ∞). El valor mas pequeño que se puede asumir y es 5 (cuando x = 0).El contra dominio
de f es entonces el conjunto de todos los números positivos mayores que o igual a 5, que es [5,+∞).
Se considera que una función es un conjunto de pares ordenados. Por ejemplo, la función definida por la ecuación 𝑦 =
𝑥 2 consiste en todos los pares ordenados (x,y) que satisfagan la ecuación . Los pares ordenados de esta función que
3 9
3 9
se muestran en la tabla 1 son (1,1), ( , ) , (4,16), (0,0), (−1,1), (− , ) 𝑦(−4,16).
2 4
2 4
Ejemplo No 2
La función 𝑦 = √𝑥 2 − 9 ; es el conjunto de los pares ordenados (x,y) para los que, 𝒈 = {(𝒙, 𝒚)𝒚 = √𝒙𝟐 − 𝟗}. Algunos de
los pares ordenados de g son (3,0), (4; √7), (5,4), (−3,0), (−√13, 2), 𝑒𝑡𝑐.
Por tanto, podemos expresar ya la definición formal de una función. Al definir una función como un conjunto de pares
ordenados en vez de una regla de correspondencia.
GRAFICA DE UNA FUNCIÓN
Si f es una función, entonces, la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos (x, y) en 𝑅 2 Para los que (x,y) es un
para ordenado de f.
Recuérdese que para tener una función, debe haber un valor único de la variable dependiente (y) que corresponda a
un valor de la variable independiente (x) en el dominio de la función. Esto lleva a la siguiente conclusión geométrica: la
gráfica de una función solo puede ser cortada por una recta vertical en un punto.
Ejemplo No 3
Sea 𝑓 = {(𝑥, 𝑦)/𝑦 = √5 − 3}. en la figura3 se muestra la gráfica de f. Obsérvese que una recta vertical con una
ecuación x=k, donde k ≤ 5, solo corta a la gráfica en un punto. El dominio de f es el conjunto de todos los números
reales menores que o iguales a 5, que es el intervalo (-∞, 5), y el contra dominio es el conjunto de todos los números
reales no negativos, que es [0,+∞).
Para dibujar el grafico anterior se establecen los pares ordenados pertenecientes a la función 𝑦 = √5 − 3, tal como se
hizo en la tabla1.
Ejemplo No 4
La función valor absoluto h se define como ℎ = {(𝑥, 𝑦)𝑦 = |𝑥|}.Trazar la gráfica de h y determinar el dominio y el
contra dominio.
figura 4
Solución. la figura4 muestra la gráfica requerida. De acuerdo con la definición de h, x puede ser cualquier número real.
Por consiguiente, el dominio (-∞,+∞). Puesto que en la figura 4 se aprecia que y puede ser cualquier número no
negativo, el contra dominio es [0,+∞).
Ejemplo No 5
Considere el conjunto{(𝑥, 𝑦)|𝑥 2 + 𝑦 2 = 25}
La grafica de este conjunto, que se muestra en la figura 5, es la circunferencia con centro en el origen y radio igual a 5.
Este conjunto de paredes ordenadas no es una función, pues para cualquier x en el intervalo (-5,5), hay dos pares
ordenados que tiene la misma x como primer número. Por ejemplo, tanto (3,4) como (3,-4) son pares ordenados del
conjunto. Además, obsérvese en la figura 5 que la recta vertical con la ecuación x=k donde -5< k <5, corta ala grafica
en dos puntos.
Ejemplo No 6
Sea G la función de todos los pares ordenados (x,y) de manera que 𝑦 =
contra dominio) de G y trazar su gráfica.
𝑥 2 −9
𝑥−3
. Determinar el dominio y el ámbito (o
Solución, puesto que todo valor de x, excepto 3, determina un valor de y, el dominio de g consiste en todos los
0
números reales excepto 3. Cuando x=3, tanto el numerador como el denominador son cero y no está definido.
0
Factorizando el numerador a (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) se obtiene 𝑦 =
(x−3)(x+3)
(x−3)
O bien 𝑦 = 𝑥 + 3, siempre y cuando 𝑥 ≠ 3 en otras palabras, la función G consiste en todos los pares ordenados (x,y)
tales que
𝑦 = 𝑥+3
Deacuerdo con esta definición de G es evidente que la grafica contiene todos los puntos de la recta 𝑦 = 𝑥 + 3 excepto
(3,6), en la figura6 se muestra la gráfica. El contra dominio o ámbito de G es el conjunto de todos los números reales
salvo 6.
figura6
Ejemplo No 6
Sea h la función que es el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) tales que
𝑥+5
𝑠𝑖 𝑥 < −3
𝑦 = {√9 − 𝑥 2
𝑠𝑖 − 3 ≤ 𝑥 ≤ 3
5−𝑥
𝑠𝑖 3 < 𝑥
Determinar el dominio y el contra dominio de h y traza su gráfica.
SOLUCION la parte de la gráfica de h para 𝑥 < −3 es una porción de la recta 𝑦 = 𝑥 + 5, para −3 < 𝑥 < 3 entonces 𝑦 =
√9 − 𝑥 2 . Que es la gráfica de 𝑥 2 +𝑦 2 = 9 una circunferencia con centro en el origen y radio 3. Despejando y en la
ecuación se obtiene 𝑦 = √9 − 𝑥 2 .
Por tanto, la parte de la gráfica para 𝑥 < −3 es una porción de la recta 𝑦 = 𝑥 + 5. Para −3 ≤ 𝑥 ≤ 3, 𝑦 = √9 − 𝑥 2 por
tanto, es la mitad superior de la circunferencia. La parte del a grafica para 3 < 𝑥 es una porción de la recta 𝑦 = 5 − 𝑥
en la figura 7 se muestra la gráfica, el dominio de h es (−∞, +∞) y de acuerdo con la figura 7, el contra dominio es
(−∞, 3).
figura7
Ejercicio No 1
En los ejercicios 1 a 20, trazar la gráfica de la función y determinar el dominio y el contra dominio
𝑥 2 −4
1. f={(x,y)l y=3x-1}
16. G={(x,y)l 𝑦 =
}
𝑥−2
2. g={(x,y)l y=4-x}
2 −25
𝑥
17. H={(x,y)l 𝑦 =
}
3. F={(x,y)l y=2𝑥 2}
𝑥+5
2𝑥 2 +7𝑥+3
4. G={(x,y)l y=𝑋 2+2}
18. f={(x,y)l 𝑦 =
}
𝑥+3
5. g={(x,y)l y=5-𝑥 2}
𝑥 2 −4𝑥+3
6. f={(x,y)l y=x-1)}
19. f={(x,y)l 𝑦 =
}
𝑥−1
7. G={(x,y)l y=√𝑥 − 1}
(𝑥 2 −4)(𝑥−3)
20. g={(x,y)l 𝑦 =
}
𝑥 2 −𝑥−6
8. F={(x,y)l y=9-X}
−2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 3
2
21. f={(x,y) l 𝑦 = {
}
9. f={(x,y)l y=√𝑥 − 4}
2 𝑠𝑖 𝑥 >
10. g={(x,y)l y= 4-𝑥 2}
11. g={(x,y)l y=√9 − 𝑥 2}
−4 𝑠𝑖 𝑥 < 2
12. f={(x,y)l y=𝑥 2}
22. 𝑔: 𝑦 = {−1 𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 2
13. H={(x,y)l 𝑦 = |𝑥 − 3|}
3 𝑠𝑖 𝑥 > 2
14. 𝐻 ={(x,y)l y=l5-xl}
15. H=={(x,y)l 𝑦 = |3𝑥 − 2|}
NOTACIÓN DE FUNCIONES, OPERACIONES Y TIPOS DE FUNCIONES
Si 𝑓 es la función en la que la variable 𝑥 representa a los elementos de su dominio y la variable 𝑦 representa a los
elementos del contra dominio, el símbolo 𝑓(𝑥), denominado el valor de la función (que se lee “𝑓 𝑑𝑒 𝑥”), denota el valor
particular de 𝑦 que correponde al valor de 𝑥.
Ejemplo No 7. Se tiene 𝑓 = {(𝑥, 𝑦)/𝑦 = √5 − 𝑥}, por lo que 𝑓(𝑥) = √5 − 𝑥.
Debido a que, cuando 𝑥 = 1, √5 − 𝑥 = 2, tenemos que 𝑓(1) = 2. Además, 𝑓(−6) = √11, 𝑓(0) = √5, etc.
Ejemplo No 8
Sea 𝑓 la función definida por
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 3𝑥 − 4
Evalué lo siguiente:
a) 𝑓(0) b) 𝑓(2) c) 𝑓(ℎ)
d) 𝑓(2𝑥)
e) 𝑓(𝑥 + ℎ) f) 𝑓(𝑥) + 𝑓(ℎ)
Solución
a) 𝑓(0) = 02 + 3 · 0 − 4 = −4; b) 𝑓(2) = 22 + 3 · 2 − 4 = 6; c) 𝑓(ℎ) = ℎ2 + 3ℎ − 4;
d) 𝑓(2𝑥) = (2𝑥)2 + 3(2𝑥) − 4 = 4𝑥 2 + 6𝑥 − 4
e) 𝑓(𝑥 + ℎ) = (𝑥 + ℎ)2 + 3(𝑥 + ℎ) − 4 = 𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 3𝑥 + 3ℎ − 4 = 𝑥 2 + (2ℎ + 3)𝑥 + (ℎ2 + 3ℎ − 4)
f) 𝑓(𝑥) + 𝑓(ℎ)= 𝑥 2 + 3𝑥 − 4 + ℎ2 + 3ℎ − 4 = 𝑥 2 + 3𝑥 + (ℎ2 + 3ℎ − 8)
Operaciones entre funciones: Suma, diferencia, producto y cociente de dos funciones
Sean dos funciones 𝑓 y 𝑔
1) Su suma denotada por 𝑓 + 𝑔 es la función definida por (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
2) Su diferencia denotada por 𝑓 − 𝑔 es la función definida por (𝑓 − 𝑥)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
3) Su producto denotado por 𝑓 · 𝑔 es la función definida por (𝑓 · 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) · 𝑔(𝑥)
4) Su cociente denotado por 𝑓/𝑔 es la función definida por (𝑓 ÷ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥)
Ejemplo No 9. Sean 𝑓 y 𝑔 las funciones definidas por
𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 𝑦 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 4
Evaluar lo siguiente: (𝑎)(𝑓 + 𝑔)(𝑥); (𝑏)(𝑓 − 𝑔)(𝑥); (𝑑)(𝑓 ÷ 𝑔)(𝑥).
Solución:
a) (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = √𝑥 + 1 + √𝑥 − 4; b) (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = √𝑥 + 1 − √𝑥 − 4; c) (𝑓 · 𝑔)(𝑥) = √𝑥 + 1 · √𝑥 − 4
d) (𝑓 ÷ 𝑔)(𝑥) = √𝑥+1
√𝑥−4
Función compuesta
La función compuesta denotada por 𝑓 ° 𝑔 de dos funciones 𝑓 y 𝑔 se define como:
(𝑓°𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
Y el dominio de 𝑓 ° 𝑔 es el conjunto de todos los números x del dominio de 𝑔 tales que 𝑔(𝑥) este en el dominio de 𝑓.
Ejemplo No 10
Si 𝑓 y 𝑔 están definidas por 𝑓(𝑥) = √𝑥
𝑦 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1
Entonces
(𝑓 ° 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(2𝑥 − 3) = √2𝑥 − 3
El dominio de 𝑔 es (-∞, +∞) y el dominio de 𝑓 es [0, +∞). Por consiguiente el dominio de 𝑓 ° 𝑔 es el conjunto de números
3
reales para los que 2𝑥 − 3 ≥ 0, o equivalente, [ , +∞).
2
Función par y función impar
(1) se dice que una función 𝒇 es par cuando para cualquier 𝑥 en el dominio de 𝑓 se tiene que 𝑓 (−𝑥) = 𝑓(𝑥)
(2) se dice que una función 𝑓 es impar cuando para cualquier 𝑥 en el dominio de 𝑓 se tiene que 𝑓 (−𝑥) = −𝑓(𝑥)
Ejemplo No 11
a) si 𝑓(𝑥) = 3𝑥 4 − 2𝑥 2 + 7, entonces
𝑓(−𝑥) = 3(−𝑥)4 − 2(−𝑥)2 + 7 = 3𝑥 4 − 2𝑥 2 + 7 = 𝑓(𝑥)
Por consiguiente 𝑓 es una función par.
b) si 𝑔(𝑥) = 3𝑥 5 − 4𝑥 3 − 9𝑥, entonces
𝑔(−𝑥) = 3(−𝑥)5 − 4(−𝑥)3 − 9(−𝑥) = −(3𝑥 5 − 4𝑥 3 − 9𝑥) = −𝑔(𝑥)
Por consiguiente 𝑔 es una función impar.
c) si ℎ(𝑥) = 2𝑥 4 + 7𝑥 3 − 𝑥 2 + 9 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
ℎ(−𝑥) = 2(−𝑥)4 + 7(−𝑥)3 − (−𝑥)2 + 9 = 2𝑥 4 − 7𝑥 3 − 𝑥 2 + 9
Puesto que ℎ(−𝑥) ≠ ℎ(𝑥) 𝑦 ℎ (−𝑥) ≠ −ℎ(𝑥), ℎ no es par ni impar.
Simetría
La gráfica de una función par es simetría con respecto al eje 𝒚, y la gráfica de una función impar es simetría con respecto al
origen.
Ejemplo No 12
a) si 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , f es una función par y su grafica es una parábola simétrica con respecto al eje y véase la figura 8
b) si 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 , g es una función impar y la gráfica de 𝑔 que se muestra en la figura 9 es simétrica con respecto al origen.
Figura 8
Figura 9
Función Constante
Una función cuyo contra dominio está constituido por un solo número se llama función contante. De esta manera, si 𝑓(𝑥) =
𝑐, y si 𝑐 es cualquier número real, entonces 𝑓 es una función constante y su grafica es una recta horizontal a 𝒄 unidades del
eje 𝒙.
Ejemplo No 13
a) la función definida por 𝑓(𝑋) = 5 es una función constante y su grafica que se muestra en la figura 10 es una recta
horizontal ubicadas 5 unidades arriba del eje x.
b) la función definida por 𝒈 (𝑥) = −4 es una función constante cuya grafica es una recta horizontal ubicada a 4 unidades por
debajo del eje 𝒙 como la muestra la figura 11.
Figura 10
Figura 11
Función lineal
Se define como 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏. Donde 𝑚 y 𝑏 son constantes y 𝑚 ≠ 0. su grafica es una recta con una pendiente 𝑚 y una
intercepción en 𝑦 igual a 𝑏.
Ejemplo No 14
La función lineal particular definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥. Recibe el nombre de función identidad. Su grafica que se muestra en la
figura 12, es la recta que biseca al primero y al tercer cuadrante.
Figura 12
Función polinomial de grado 𝒏
Una función f definida por:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
Donde 𝑎0 , 𝑎1 , ⋯ , 𝑎𝑛 son números reales 𝑎𝑛 ≠ 0, y 𝒏 es un entero no negativo. De esta manera la función definida por,
𝑓(𝑥) = 3𝑥 5 − 𝑥 2 + 7𝑥 − 1
Es una función polinomial de grado 5.
Una función lineal es una función polinomio de grado 1. Si el grado de una función es 2, la función se llama cuadrática y si
el grado es 3 se le denomina función cubica.
Ejercicio No 2
23. Dada f(x) = 2x − 1, obtenga
(a) f(3); (b) 𝑓 (−2); (c) 𝑓(0); (d) 𝑓(𝑎 + 1);
(e) 𝑓(𝑥 + 1); (f) 𝑓(2𝑥); (g) 2𝑓(𝑋); (h) 𝑓(𝑥 + ℎ);
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑋)
(i) 𝑓(𝑥) + 𝑓(ℎ); (𝑗)
, ℎ ≠ 0.
ℎ
3
24. Dada f(x) = , obtenga
x
1
3
3
𝑎
(a) f(1); (b) f (-3); (c) f (6); (d) 𝑓 ( ); (e) 𝑓 ( );
3
(f) 𝑓 ( ); (g)
(j)
𝑓(3)
; (h) 𝑓(𝑥 − 3); (i) 𝑓(𝑥) − 𝑓 (3);
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥+ℎ)− 𝑓(𝑥)
ℎ
, ℎ ≠ 0.
25. Dadaf(x) = 2x 2 + 5x − 3, obtenga:
(a) f(−2); (b) f(-1); (c) f(0); (d) f(3);
(e) 𝑓 (ℎ + 1); (f) f (2𝑥 2); (g) f(𝑥 2 − 3);
(h) 𝑓(𝑥 + ℎ); (i) 𝑓(𝑥) + 𝑓 (ℎ);
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
(j)
, ℎ ≠ 0.
(e) g(x-h); (f) g(x) - g (h); (g)
ℎ
𝑥−1
, ℎ ≠ 0.
27. Dada 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 3, determine:
1
(a) f(-1); (b) f(4); (c) f( ); (d) f(11); (e) f (2x+3).
2
28. Dada 𝑔(𝑥) =
+ 1 determine:
−1
(a) g(-2); (b) g(0); g(1); (d) g( ); (e) g(2𝑥 2-1).
1
En los ejercicios 29 a 38 se definen 𝑓 y 𝑔, en cada caso
defina las siguientes funciones y determine el dominio de
𝑥−2
1
√𝑥
En los ejercicios 39 a 45 se definen 𝑓 y 𝑔, en cada caso
defina las siguientes funciones y determine el dominio de
la función resultante: a) 𝑓°𝑔; b) 𝑔°𝑓; c) 𝑓°𝑓; d) 𝑔°𝑔.
39. f(x) = x − 2; g(x) = x + 7
40. f(x) = 3 − 2x; g(x) = 6 − 3x
41. f(x) = x − 5; g(x) = x 2 − 1
42. 𝑓(𝑥) = √𝑥; 𝑔 (𝑥) = 𝑥 2 + 1
43. 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2; 𝑔 (𝑥) = 𝑥 2 − 2
1
44. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 1; 𝑔 (𝑥) =
1
√2𝑥 2
𝑥
32. 𝑓(𝑥) = √𝑥; 𝑔 (𝑥) = 4 − 𝑥 2
33. 𝑓(𝑥) = √𝑥; 𝑔 (𝑥) = 𝑥 2 − 1
34. 𝑓(𝑥) = |𝑥|; 𝑔 (𝑥) = |x − 1|
35. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1; 𝑔 (𝑥) = 3x − 2
36. 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 4; 𝑔 (𝑥) = 𝑥 2 − 4
1
𝑥
37. 𝑓(𝑥) =
; 𝑔 (𝑥) =
𝑥+1
26. Dada g(x) = 3x 2 − 4, determine:
1
(a) 𝑔 (−4); (b) g( ); (c) g(𝑥 2); (d) g(3𝑥 2 − 4);
𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)
29. f(x) = x − 5; g(x) = x 2 − 1
30. 𝑓(𝑥) = √𝑥; 𝑔 (𝑥) = 𝑥 2 + 1
𝑥+1
1
31. 𝑓(𝑥) =
; 𝑔(𝑥) =
38. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 ; 𝑔 (𝑥) =
ℎ
2
la función resultante: a) 𝑓 + 𝑔; b) 𝑓 − 𝑔; c) 𝑓 · 𝑔; d) 𝑓/𝑔;
e) 𝑔/𝑓.
𝑥
45. 𝑓 (𝑥) = ; 𝑔 (𝑥) = √𝑥
𝑥
En el ejercicio 46 determine si la función es par, impar o
ninguna de las anteriores. Grafique y determine el tipo
de simetría si hay.
46. a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 4 − 3𝑥 2 + 1
1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
a) 𝑓(𝑥) = {
−1 𝑠𝑖 𝑥 < 0
b) 𝑓(𝑧) = (𝑧 − 1)2
c) 𝑓(𝑥) = 3√𝑥
b) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 3 − 7𝑥
c) 𝑓(𝑠) = 𝑠 2 + 2𝑠 + 2
d) 𝑓(𝑥) = |𝑥|
𝑧−1
e) 𝑔(𝑧) =
𝑧+1
FUNCIONES INVERSAS
Ya se está familiarizado con las operaciones inversas. La adición y la sustracción son operaciones inversas, lo mismo que
la multiplicación y la división, o la elevación a potencias y la extracción de raíces. Una de las operaciones inversas
esencialmente “deshace” a la otra. Por ejemplo, si se suma 4 a x, la suma es x+4; si después se resta 4 de esta suma, la
diferencia es x.
Para llegar a la definición formal de la 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛, consideraremos algunas funciones particulares. En la
Figura13 se muestra la gráfica de la función definida por: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2
Figura 13
Figura 14
El dominio de 𝑓 es el conjunto de números reales y el contra dominio (o ámbito) de 𝑓 es el intervalo [0, +∞). A cada valor
de 𝑥 del dominio corresponde un numero, y solo uno, del contra dominio. Por ejemplo, puesto que 𝑓(2) = 4, el número del
ámbito que corresponde al número 2 del dominio es 4. Sin embargo, puesto que 𝑓(−2) = 4, el número que corresponde al
número -2 del dominio es también el número 4 del ámbito. Por tanto, 4 es el valor de la función de dos números distintos del
dominio. Además, todos los números del ámbito de esta función excepto 0, son los valores de la función de dos números
25
5
5
distintos del dominio. En particular, es el valor de la función tanto de , como de − , 1 es el valor de la función para 1 y -1,
4
2
2
y 9 es el valor de función para 3 y -3.
La situación es diferente cuando la función 𝑔 se define como
𝑔(𝑥) = 𝑥 3
−2≤𝑥 ≤2
[−2,
El dominio de 𝑔 es el intervalo cerrado
2], y su ámbito es [−8, 8]. En la Figura 14 se muestra la grafica de 𝑔. Esta
función posee las características de que un número de su ámbito es el valor de la función de un número, y solo uno, del
dominio. A este tipo de función se llama 𝑏𝑖𝑢𝑛𝑖𝑣𝑜𝑣𝑎.
Función biunívoca
Se dice que una función 𝑓 es biunívoca si y solo si cuando 𝑎 𝑦 𝑏 son dos números distintos cualesquiera del dominio de 𝑓,
entonces 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏).
Ejemplo No 15
Como ya se dijo, para la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 cualquier número de su ámbito o contra dominio excepto 0. Es el
valor de la función de dos números distintos del dominio. Por ejemplo, 2 y −2 son los dos números distintos del dominio.
Figura 15
Tales que 𝑓(2) = 4 𝑦 𝑓(−2) = 4. por consiguiente, de acuerdo con la definición anterior, esta función no es biunívoca.
Cuando se trata de una función biunívoca se cumple que una recta horizontal solo puede cortar a la gráfica en un punto.
Nótese que este es el caso de la función biunívoca definida por 𝑔(𝑥) = 𝑥 3, donde −2 ≤ 𝑥 ≤ 2, cuya grafica se muestra en la
Figura14. A demás, obsérvese que para la función definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , que no es biunívoca, cualquier regla horizontal
arriba del eje 𝑥 corta a la grafica en dos puntos (Figura15). Con esto se puede enunciar la siguiente prueba geométrica
para determinar si una función es biunívoca.
Prueba de la recta horizontal
Una función es biunívoca si y solo si, cualquier recta horizontal corta a la función en no más de un punto.
Ejemplo No 16
Usar la prueba de la recta horizontal para determinar si es biunívoca cada una de las siguientes funciones
4
a) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 3
b) 𝑓(𝑥) = |𝑥| c) 𝑓(𝑥) =
𝑥−2
Solución
a) esta función es lineal y su grafica es la recta que se muestra en la Figura16. Puesto que cualquier recta horizontal corta a
la gráfica en exactamente un punto, la función es biunívoca.
b) La grafica de la función de valor absoluto aparece en la figura 17 observase que cualquier recta horizontal arriba del eje 𝑥
corta a la gráfica en dos puntos. Por tanto, no es una función biunívoca.
Figura 16
Figura 17
Figura 18
c) La Figura 18 muestra la gráfica de la función de la función racional dada. La recta 𝑥 = 2 es una asíntota vertical y el eje 𝑥
es una asíntota horizontal. Cualquier recta horizontal, excepto al eje 𝑥, corta a la gráfica en exactamente un punto. Por
consiguiente, la función es biunívoca.
Definición función inversa
Si 𝑓 es una función biunívoca constituida por el conjunto de pares ordenados (𝑥, 𝑦), entonces existe una función 𝑓 −1 ,
función llamada función inversa de 𝑓, donde 𝑓 −1 es el conjunto de pares ordenados (𝑥, 𝑦) definido por.
𝑥 = 𝑓 −1 (𝑦)
𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑦 = 𝑓(𝑦)
El dominio de 𝑓 −1 es el ámbito de 𝑓 y el ámbito de 𝑓 −1 es el dominio de 𝑓
El punto crítico de esta definición es que 𝑓 es una función biunívoca. Este requisito es necesario para que, según cada
valor de 𝑦, el valor de 𝑓 −1 (𝑦) sea único. Podemos eliminar 𝑦 de las ecuaciones de la definición escribiendo la expresión.
𝑓 −1 (𝑦) = 𝑥
Y sustituyendo 𝑦 por 𝑓(𝑥). Se obtiene entonces
𝑓 −1 (𝑓(𝑥)) = 𝑥
Donde 𝑥 está en el dominio de 𝑓. Podemos eliminar 𝑥 del mismo par de ecuaciones escribiendo
𝑓(𝑥) = 𝑦
Y sustituyendo 𝑥 por 𝑓 −1 (𝑦). Resulta así
𝑓(𝑓 −1 (𝑦)) = 𝑦
−1
Donde 𝑦 está en el dominio de 𝑓 .
Puesto que el símbolo usado para la variable independiente es arbitrario, podemos reemplazar 𝑦 por 𝑥 para obtener.
𝑓(𝑓 −1 (𝑥)) = 𝑥
Donde 𝑥 esta en el dominio de 𝑓 −1 .
Vemos entonces que si la función inversa de 𝑓 es 𝑓 −1 , la función inversa de 𝑓 −1 es 𝑓.
Ejemplo No 15
La función G definida por 𝑮(𝑦) = 3√𝑦
−8 ≤𝑦 ≤ 8
Es la función inversa de 𝑔 definida por 𝑔(𝑥) = 𝑥 3
−2 ≤𝑥 ≤ 2
Por consiguiente, 𝑔−1 pude reemplazar a G para obtener
𝑔−1 (𝑦) = 3√𝑦
O, equivalentemente, si 𝑦 se sustituye por 𝑥,
𝑔−1 (𝑥) = 3√𝑥
−8≤𝑦 ≤8
−8≤𝑥 ≤8
Si una función 𝑓 tiene una inversa, entonces 𝑓 −1 pude obtenerse con el método usado en el siguiente ejemplo ilustrativo.
Ejemplo No 16
Cada una de las siguientes funciones 𝑓 es biunívoca. Por consiguiente, 𝑓 −1 (𝑥) existe. En cada caso, calculamos 𝑓 −1 (𝑥) a
partir de la definición de 𝑓(𝑥). Se sustituye 𝑓(𝑥) por 𝑦 despejando 𝑥 de la ecuación resultante. Este procedimiento
proporciona la ecuación 𝑥 = 𝑓 −1 (𝑦). Tenemos entonces la definición de 𝑓 −1 (𝑦), de la cual obtenemos 𝑓 −1 (𝑥).
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 4
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3
b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥
Solución
a) 𝑦 = 𝑥 + 4
𝑥 =𝑦−4
𝑓 −1 (𝑦) = 𝑦 − 4
𝑓 1 (𝑥) = 𝑥 − 4
𝑓 −1 (𝑥) =
c) 𝑦 = 𝑥 3
𝑥 = 3√𝑦
𝑓 −1 (𝑦) = 3√𝑦
𝑓 −1 (𝑥) = 3√𝑥
b) 𝑦 = 2𝑥
𝑦
𝑥=
2
𝑓 −1 (𝑦) =
x
2
𝑦
2
Ejemplo No 17
Obtenga 𝑓 −1 (𝑥) para la función 𝑓(x) = 4x − 3. Y trazar la gráfica de 𝑓 −1 y de 𝑓.
Solución. Por medio de la prueba de la recta horizontal, la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 3 es biunívoca.
Por consiguiente, 𝑓 −1 existe. Para obtener 𝑓 −1 (𝑥), se expresa la ecuación
𝑦 = 4𝑥 − 3
𝑦+3
Y se despeja obteniendo 𝑥 =
4
Por consiguiente,
𝑓 −1 (𝑦) =
𝑦+3
𝑥+3
𝑜 𝑓 −1 (𝑥) =
4
4
Figura 19
Verificamos las ecuaciones (1) y (2)
𝑓 −1 (𝑓(𝑥)) = 𝑓 −1 (4𝑥 − 3)
=
(4𝑥 − 3) + 3
4
4𝑥
=
4
=𝑥
𝑓(𝑓 −1 (𝑥)) = 𝑓(
𝑥+3
= 4(
)−3
4
𝑥+3
)
4
= (𝑥 + 3) − 3
=𝑥
En la figura 19 se muestra las graficas de 𝑓 𝑦 𝑓 −1 en un mismo sistema coordenado.
Si en la ecuación 𝑦 = 𝑓(𝑥) se intercambian 𝑥 y 𝑦, se obtiene la ecuación 𝑓(𝑦), y la grafica de esta ecuación es una reflexión
de la gráfica de la ecuación 𝑦 = 𝑓(𝑥) respecto a la recta 𝑦 = 𝑥. Concluimos que la gráfica de 𝑦 = 𝑓 −1 (𝑥) es la reflexión de
la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) respecto a la recta 𝑦 = 𝑥. Por consiguiente, si una función tiene una función inversa, las graficas de
las funciones son reflexiones mutuas respecto a la recta 𝑦 = 𝑥
Ejemplo No 18
Las funciones 𝑔 𝑦 𝑔−1 están definidas por
𝑔(𝑥) = 𝑥 3
𝑔−1 (𝑥) = 3√𝑥
−2 ≤𝑥 ≤ 2
−8 ≤𝑥 ≤ 8
En la Figura 20 se muestra las gráficas de 𝑔 𝑦 𝑔−1 en un mismo sistema coordenado. Obsérvese que las graficas son
reflexiones mutuas respecto a la recta 𝑦 = 𝑥 .
Figura 20
Ejercicio No 3
En los ejercicios 47 a 60, trace la gráfica de la función y
use la prueba de la recta horizontal para determinar si se
trata de una función biunívoca
47. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3
48. 𝑔(𝑥) = 8 − 4𝑥
49. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 6
50. 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥 2
51. 𝑔(𝑥) = 4 − 𝑥 3
52. ℎ(𝑥) = 𝑥 3 + 1
53. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)3
54. 𝑔(𝑥) = 𝑥 4 − 3
55. ℎ(𝑥) = √𝑥 + 3
56. 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥 2
𝑥+5
57. 𝑓(𝑥) =
𝑥−4
3
58. 𝑔(𝑥) = (𝑥−1)2
59. 𝐺(𝑋) = |𝑥 − 2|
60 𝑓(𝑥) = 5
En los ejercicios 61 a 66, (a) trace la gráfica de f y use la
prueba de la recta horizontal para comprobar si f es
biunívoca; (b) obtenga 𝑓 −1 (x); (c) verifique las
ecuaciones (1) y (2) de esta sección para 𝑓 y 𝑓 −1 .
61. 𝑓(𝑥) = 3 − 4𝑥
62. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2
63. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 2
64. 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)3
1
65. 𝑓(𝑥) =
66. 𝑓(𝑥) =
𝑥+1
𝑥+5
71. 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 − 9, 𝑥 ≤ −3
72. 𝑓(𝑥) = −√𝑥 2 − 9, 𝑥 ≤ −3
1
73. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 , −1 ≤ 𝑥 ≥ 1
8
74. 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 1)3 , −
1
3
≤𝑥≥
1
2
En los ejercicios 75 a 82, (a) use la prueba de la recta
horizontal para mostrar que 𝑓 es biunívoca; (b) obtenga
𝑓 −1 (x); (c) trace las gráficas de𝑓 −1 y 𝑓 en el mismo
sistema de ejes coordenados.
75. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5
1
76. 𝑓(𝑥) = 6 − 𝑥
6
77. 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)3
78. 𝑓(𝑥) = (1 − 𝑥)3
79. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)2 , 𝑥 ≥ 2
80. 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)2 , 𝑥 ≤ 3
81. 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥 2 , 𝑥 ≤ 0
82. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 9, 𝑥 ≥ 0
83. si 𝑥 grados Celsius de una temperatura, entonces el
número de grados Fahrenheit correspondiente puede
expresarse como función de 𝑥. Si 𝑓 es esta función,
entonces 𝑓(𝑥) es la temperatura Fahrenheit y 𝑓(𝑥) =
9
32 + 𝑥. Determine la función inversa 𝑓 −1 que expresa el
5
número de grados Celsius en función del número de
grados Fahrenheit.
𝑥−1
En los ejercicios 67 al 74, se da una función 𝑓 biunívoca.
(a) indique el contra-dominio o ámbito de 𝑓. (b)
determine 𝑓 −1 e indique el dominio de 𝑓 −1 .
67. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 5, 𝑥 ≥ 0
68. 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥 2 , 𝑥 ≤ 0
69. 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 − 9, 𝑥 ≥ 3
70. 𝑓(𝑥) = −√𝑥 2 − 9, 𝑥 ≥ 3
RESPUESTAS
1. Dominio (−∞, +∞);
Contra dominio (−∞, +∞)
3. Dominio (−∞, +∞);
84. Si 𝑓(𝑡) es el monto a los 𝑡 años de una inversión de
$ 1000 (dólares) al 12% de interés simple, entonces,
𝑓(𝑡) = 1000(1 + 𝑜. 12𝑡)
Determine la función inversa 𝑓 −1 que exprese el número
de años de la inversión de $1000 al 12% de interés
simple en una función del monto de la inversión.
Contra dominio (0, +∞)
5. Dominio (−∞, +∞);
Contra dominio (−∞, +5)
13. Dominio (-∞, +∞);
Contra dominio [0, +∞)
15. Dominio (-∞, +∞);
Contra dominio [0, +∞)
7. Dominio [1, +∞);
Contra dominio (0, +∞)
9. Dominio (−∞, −2] ∪ [2, +∞)
Contra dominio [0, +∞)
17. Dominio {xl 𝑥 ≠ −5};
Contra dominio {yl 𝑦 ≠ −10}
19. Dominio {xl 𝑥 ≠ 1)
Contra dominio {yl 𝑦 ≠ −2)
21. Dominio (-∞, +∞);
Contra dominio {-2, 2}
11. Dominio [-3, +3];
Contra dominio (0, +∞)
23. (a) 5; (b) -5; (c) -1; (d) 2𝑎 + 1;
(e) 2x+1; (f) 4𝑥 − 1; (g) 4𝑥 − 2;
(h) 2𝑥 + 2ℎ − 1; (i) 2𝑥 + 2ℎ − 2;
(j) 2
e)
25. (a)-5; (b) -6; (c)-3; (d) 30;
(e) 20ℎ2 + 9ℎ + 4; (f)8𝑥 4 + 10𝑥 2 − 3;
(g) 2𝑥 4 − 7𝑥 2 ;
(h) 2𝑥 2 + (4ℎ + 5)𝑥 + (2ℎ2 + 5ℎ − 3);
(i) 2𝑥 2 + 5𝑥 + (2ℎ2 + 5ℎ − 6); (𝑗)4𝑥 + 2ℎ + 5.
b)
37. a)
c)
d)
27. (a)1; (b) √11; (c)2; (d) 5; (e) √4𝑥 + 9
e)
2
29. a) 𝑥 + 𝑥 − 6; dominio (−∞ + ∞);
b) – 𝑥 2 + 𝑥 − 4, dominio: (-∞, +∞);
c) 𝑥 3 − 5𝑥 2 − 𝑥 + 5, dominio: (-∞, +∞);
𝑥−5
d) 2 , dominio: {xl 𝑥 ≠ ±1}
𝑥 −1
𝑥 2 +2𝑥−1
31. a)
b)
𝑥 2 +1
𝑥 2 −𝑥
x+1
c)
e)
dominio: {xl 𝑥 ≠ 0, 𝑥 ≠ 1}
dominio: {xl 𝑥 ≠ 0, 𝑥 ≠ 1}
dominio: {xl 𝑥 ≠ 0, 𝑥 ≠ 1}
𝑥 2 −𝑥
d)
𝑥 2 −𝑥
𝑥 2 +x
dominio: {xl 𝑥 ≠ 1}
x−1
x−1
𝑥 2 +𝑥
dominio: {xl 𝑥 ≠ 0, 𝑥 ≠ −1}
33. a) √𝑥 + 𝑥 2 − 1, dominio:[0, +∞)
b) √𝑥 − 𝑥 2 + 1, dominio:[0, +∞)
c) √𝑥(𝑥 2 − 1), dominio:[0, +∞)
d)
√𝑥
, dominio:[0,1) ∪ [1, +∞)
𝑥 2 −1
𝑥 2 −1
e)
√𝑥
, dominio:[0, +∞)
2
35. a) 𝑥 + 3𝑥 − 1; dominio (−∞ + ∞);
b) 𝑥 2 − 3𝑥 + 3; dominio (−∞ + ∞);
c) 3𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3𝑥 − 2; dominio (−∞ + ∞);
d)
𝑥 2 +x
3x−2
2
dominio: {xl 𝑥 ≠ }
3
3x−2
𝑥 2 +1
dominio: (−∞ + ∞)
𝑥 2 +2𝑥−2
𝑥 2 −𝑥−2
−𝑥 2 −2
𝑥 2 −𝑥−2
x
𝑥 2 −𝑥−2
x−2
𝑥 2 +𝑥
𝑥 2 +𝑥
𝑥−2
dominio: {xl 𝑥 ≠ −1, 𝑥 ≠ 2}
dominio: {xl 𝑥 ≠ −1, 𝑥 ≠ 2}
dominio: {xl 𝑥 ≠ −1, 𝑥 ≠ 2}
dominio: {xl 𝑥 ≠ 0, 𝑥 ≠ −1}
dominio: {xl 𝑥 ≠ 2}
39. a) 𝑥 + 5; dominio (−∞ + ∞);
b) 𝑥 + 5; dominio (−∞ + ∞);
c) 𝑥 − 14; dominio (−∞ + ∞);
d) 𝑥 + 14; dominio (−∞ + ∞);
41. a) 𝑥 2 − 6; dominio (−∞ + ∞);
b) 𝑥 2 − 10𝑥 + 24; dominio (−∞ + ∞);
c) 𝑥 − 10; dominio (−∞ + ∞);
d) 𝑥 4 − 2𝑥 2; dominio (−∞ + ∞);
43. a) √𝑥 2 − 4, dominio (−∞, −2] ∪ [2, +∞)
b) 𝑥 − 4, dominio [2, +∞)
c) √√𝑥 − 2 − 2, dominio [6, +∞)
d) 𝑥 4 − 4𝑥 2 + 2; dominio (−∞ + ∞)
45. a)
b)
1
√𝑥
1
√𝑥
, dominio:(0, +∞)
, dominio:(0, +∞)
c) 𝑥 dominio: {xl 𝑥 ≠ 0}
d) 4√𝑥 , dominio:[0, +∞)
47. Biunívoca
49. no biunívoca
51. biunívoca
53. no biunívoca
55. biunívoca
57. biunívoca
59. no biunívoca
61. 𝑓 −1 (𝑥) =
−1 (𝑥)
3−𝑥
3
1 1
1 1
73. (𝑎) [ , ] ; (𝑏)𝑓 −1 (𝑥)2 2√𝑥 , [ , ]
4
63. 𝑓
= √𝑥 − 2
1−𝑥
65. 𝑓 −1 (𝑥) =
𝑥
(𝑏)𝑓 −1 (𝑥)
67. (𝑎)[−5, +∞);
= √𝑥 + 5, [−5, +∞)
69. (𝑎)[0, +∞); (𝑏)𝑓 −1 (𝑥) = √𝑥 2 + 9, [0, ∞)
71. (𝑎)[0, +∞); (𝑏)𝑓 −1 (𝑥) = −√𝑥 2 + 9. [0, ∞)
75.
8 8
(𝑏)𝑓 −1 (𝑥)
1
= (𝑥 − 5)
2
77. 𝑓 −1 (𝑥) = 3√𝑥 − 1
79. (𝑏)𝑓 −1 (𝑥) = √𝑥 + 2
81. 𝑓 −1 (𝑥) = −√4 − 𝑥
5
83. 𝑓 −1 (𝑥) = (𝑥 − 32)
9
4. Ejercicio final
Desarrolle 10 problemas de aplicación concerniente a su área de estudio.
8 8