Download Guía de autoestudio de matemática 2017 - UNAN

Managua septiembre 2016
2016: VAMOS ADELANTE!EN BUENA ESPERANZA,EN BUEN CORAZÓN EN VICTORIAS
CRISTIANA, SOCIALISTA, SOLIDARIA!
Ministerio de Educación
Dirección General de Educación Secundaria - Teléf:22538490 Ext:167 y
149
EMAIL: [email protected]
INTRODUCCION
Estimados estudiantes:
Dentro del actual proceso de globalización y de la modernización
de la enseñanza de la matemática, el Consejo Nacional de las
Universidades (CNU) y el Ministerio de Educación, Se han dado a la
tarea de presentarles un material de ejercicios y problemas
introductorios, con el objetivo que tengan la oportunidad de
consolidar sus conocimientos mediante un entrenamiento matemático
que
les
permita
fortalecer
sus
capacidades
cognitivas
e
intelectuales referidas al campo de las ciencias matemáticas.
Este material reúne ciertas características entre las cuales se
pueden destacar las siguientes:
1. Tiene como fuente primaria los temas que tradicionalmente
ofrecen grandes dificultades para los estudiantes de
secundaria; por ello, se hace énfasis en los aspectos
teóricos de los conceptos matemáticos
2. Se han insertado problemas de lógica matemática, semejantes
a situaciones objetivas de fenómenos de la vida cotidiana.
3. El enfoque se ha centrado por un lado, en la proposición de
problemas
donde
intervienen
conceptos,
teoremas
y
propiedades de las distintas áreas matemáticas, por el otro,
ejercicios
de
cálculo
para
desarrollar
destrozas
y
habilidades.
4. Algunos problemas han sido seleccionados de revistas
matemáticas, de exámenes de entrenamiento y de concursos
matemáticos.
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COMISIÓN DE MATEMÁTICA
INTEGRANTES:
1. Humberto Antonio Jarquín López (MINED)
2. Francisco Emilio Díaz Vega (MINED) Coordinador
3. Héctor Benito Flores Guido (UNAN- LEÓN)
4. Fredy José González Martínez (UNAN- LEÓN)
5. Francisco Rutilio Zelaya (UNAN- LEÓN)
6. Primitivo Herrera Herrera (UNAN –MANAGUA)
7. Armando José Huete Fuentes (UNAN –MANAGUA)
8. María auxiliadora Rosales ( UNA)
9. María Lisseth Valdivia ( UNA)
10. Mauricio Alexander Gonzalez Salazar(UNA)
11. Hank Espinoza (UNI)
12. Roberto Ruiz ( UNI)
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Aritmética
1. La expresión 212 + 212 + 212 + 212 equivale a :
a) 212
b) 214
c) 248
d) 433
2. Al número de tres dígitos 2a3 se le suma el número 326 y da el número de
tres dígitos 5b9. Si sabemos que el número 5b9 es divisible entre 9, entonces
a + b es:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
3. Al simplificar [(9 - 4) + (-10 + 3)] ×(6 × (-5))÷[(-12 + 8) (6 - 9) (95 - 90)] el
resultado es:
a) 1
b) -1
c) 2
d) -2
4. ¿Cuántos divisores diferentes tiene el número 2000?
a) 15
b) 18
c) 17
d) 20
5. Al simplificar 4 (3)2 ÷6 - 3 4 + 2 [5 (7) - 15 × 3] 4 ÷ 12 - 9. El resultado es
a) 19
b) -11
c) 11
d) 29
2
3
de los hombres están casados con los
de las mujeres. Si
3
5
nunca se casan con forasteros, ¿Cuál es la proporción de solteros en dicha
ciudad?
6. En una ciudad
1
7
1
5
b)
c)
d)
7
19
5
12
7. Un corredor ha dado cinco y media vueltas a una pista de 300 m,¿Cuántos km
recorrió?
a)
a)15 km
b) 165 km
c)16.5 km
d)1650 km
8. El resultado de efectuar – 4(2 - 3 ) + 2(5 - 3 ) es :
5
a) 7
5
b) 17
4
4
c) 29
10
d) – 2
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9. El resultado de x n1  x n es:
a) x n
2 1
b) x 2 n 1
 xn
c) x n 1
d) x 1

10. La expresión decimal 2. 9 es equivalente a :
a) 2
b) 3
c) 29
9
10
10
2
d) 27
9
1
4
3
11. El resultado de la operación 8 3  81 4  625 corresponde a :
a) 27
b) 4
c) 26
d) 30
12. El resultado de
a)
4
15
2 4 6
    , es:
3 5 7
4
7
b)
c)
35
45
d)
13. ¿Cuánto gano o pierdo si vendo por los
4
30
3
7
de los del costo de un juguete
5
2
que me ha costado C$40.00?
a) gano C$24
b) pierdo C$24
c) gano C$140 d) gano C$44

  1 2

    1 

 2

14. La solución de 5  4  
 es:

1

 1 

 2




a) 2
c) 1
b) -2
d) -1
1
 
2
15. El valor de la expresión,  
a) – 2
16. Los
2
  2 
 23
b) 2
4
de 1 000 son:
5
a)
800
2
es:
d) – 1
c) 1
b) 250
c) 200
d) 850
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17. La fracción generatriz de la siguiente fracción decimal: 0.333... es:
1
33
33
333
a)
b)
c)
d)
3
100
10
1000
1
1 
 1
18. El resultado de efectuar: 


 (0,3) es:
 0,1 0,01 0,001 
a) 33
b) 333
c) 3
d) 0.3
19. El resultado de dividir: 0.27  0.0009 es:
a) 3
b) 30
c) 3000
d) 300
2
3
 
20. Al resolver la operación siguiente:  5  el resultado es:
6
 
5
1
3
5
7
a)
b)
c)
d)
4
4
4
4
RAZONES Y PROPORCIONES
21. El 25% del semiperímetro de una circunferencia mide 3 cm. Su diámetro mide:
A)
B)
C)
D)
E)
12 cm
6 cm
24 cm
18 cm
Ninguna de las anteriores
22. Cuarenta y seis obreros se demoran 6 días en construir una casa. ¿Cuántos días se
demorarán 69 obreros?
A)
B)
C)
D)
E)
9 días
8 días
4 días
3,3 días
Ninguna de las anteriores
23. Pedro se demora tres horas en cortar el pasto y su hermano menor se demora el
doble. Si trabajan juntos el tiempo empleado en realizar la labor es de:
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A)
1 hora
B)
2 horas
C)
3 horas
D)
4 horas
E)
6 horas
F)
24. Si Carlos midiera un 26% menos, su estatura sería de 1,40 m. ¿Cuánto mide Carlos?
A. 1,60 m
B. 1,70 m
C. 1,75 m
D. 1,80 m
E. 1,89 m
25. Si a : b = 2 : 3, ¿cuál expresión da igual a cero?
A)
B)
C)
D)
E)
3a + 2b
-3a - 2b
3a - b
3a -2b
a-2b
26. ¿Cuál es el 75% de 2 horas?
A)
B)
C)
D)
E)
70 min
80 min
90 min
56 min
50 min
27. Juan pinta una casa en sólo 6 horas. Diego pintará la misma casa en 9 horas.
¿Cuánto demoran en pintarla si trabajan los dos juntos?
A) 3,6 horas
B) 4,8 horas
C) 6,3 horas
D) 7,5 horas
E) 7,8 horas
28. ¿Qué altura tendría una pila de 1 000 000 de hojas de cuaderno si se
necesitan 10 hojas para tener 1 mm? Compare esta altura con su casa de
habitación.
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a) 1 000 mm
mm
b) 10 000 mm
c) 1 000 000 mm
d) 100 000 mm
e) 100
29. ¿Cuántos rieles de 15 m se necesitan para enlazar a una fábrica con la
estación que dista 765 m?
a) 95 rieles
rieles
b) 85 rieles
c) 55 rieles
d) 75 rieles
e) 45
30. ¿Cuántos alfileres de 3.5 cm de largo pueden fabricarse con un alambre de
latón de 152.07 m, sabiendo que hay una pérdida de 2 mm de alambre por alfiler?
a) 46 alfileres
49 alfileres
b) 43 alfileres
c) 48 alfileres
d) 50 alfileres
e)
31. Para ir a clase, Pedro tiene que andar por término medio 1,520 pasos de 62
cm. ¿Cuántos km habrá recorrido durante un año escolar de 210 días si va al
colegio dos veces al día?
a) 20.2 km
18.8 km
b) 18.6 km
c) 17.9 km
d) 19.7 km
e)
32. Dos contratistas han reparado un camino de 5 km 4 hm 5 dam. El primero ha
hecho la mitad más 3 hm 25 m y ha cobrado 86400 córdobas. ¿Cuánto cobró el
segundo?
a) 74 637
78 000
b) 75 637
c) 74 000
d) 75 000
e)
33. La alcaldía de cierto municipio tiene una extensión de 1008 hm2 y otra alcaldía
en otro municipio 1683750 m2 ¿Cual es mayor y en cuantos kilómetros supera
una de la otra?
a) La 1ra y la supera en 1.58
b) La 2da y la supera en 1
c) La 2da y la
supera en 1,58 d) La 1ra y la supera en 1,5
e) La 2da y son iguales.
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34. Un terreno de 26 000 m2 se ha dividido en lotes de 32,5 dam2. Halla el número
de lotes obtenidos.
a) 8 lotes
80000 lotes
b) 80 lotes
c) 800 lotes
d) 8000 lotes
e)
35. Se ha necesitado 54,000 losetas para pavimentar los 2,430 m 2 que miden las
aceras de una calle. ¿Cuál es en mm2 la superficie de una loseta?
a) 2 222 mm2
222,222 mm2
b) 2 2222 mm2
c) 222 222 mm2
d) 2 222 222 mm2 e) 22
36.Si el m2 de terreno vale 2 euros, ¿Cuántos euros vale comprar un campo de 7
ha?
a) 40 000 euros b) 10 000 euros c) 35 000 euros d) 14 000 euros e) 120 000
euros
37. La isla mayor de la Tierra es Groenlandia y mide 2 180 000 km2 y una de las
más pequeñas es Cabrera, con 2 000 ha. ¿Cuántas veces cabe Cabrera en
Groenlandia?
a) 100 000 veces b) 200 000 veces c) 109 000 vces d) 108 000 veces e) 110
000 veces.
38.En una caja de 0,696 dam3, ¿cuántos cubos de 12 m3 caben?
a) 60 cubos
cubos
b) 25 cubos
c) 30 cubos
d) 44 cubos
e) 58
39. Una tinaja que contiene 0,4 m3 de aceite ha costado 800 euros ¿a cuántos
euros resulta el litro?
a) 6 euros
euros
b) 2 euros
c) 3 euros
d) 4 euros
e) 5
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40. Un caramelo tiene un volumen de 1,3 cm3. ¿Cuántos caramelos caben en una
caja de 0,4498 dm3?
a) 346 caramelos b) 246 caramelos c) 156 caramelos d) 220 caramelos e) 356
caramelos.
41. Los trozos cúbicos de jabón de 5 cm de arista se envían en cajas cúbicas de
60 cm de arista. ¿Cuántos trozos puede contener la caja?
a) 1 628 trozos
trozos
b) 1 528 trozos
c) 1 428 trozos
d) 1 728 trozos
e) 1 828
42. ¿Cuántas botellas de 750 cm3 se necesitan para envasar 300 litros de
refresco.
a) 200 botellas
botellas
b) 300 botellas
c) 400 botellas
d) 500 botellas e) 280
43. Una bodega vende vino al por mayor a 1,45 €/l. ¿Cuál es el coste de un
camión cisterna que transporta 5 m3de ese vino?
a) 7 520 €
e) 7 500 €
b) 7 025 €
c) 7 050 €
d) 7 250 €
44. ¿Cuántos vasos de 0,25 l se podrán llenar con el refresco de una botella de
0,25 dal?
a) 10 vasos
vasos
b) 20 vasos
c) 30 vasos
d) 15 vasos
e) 25
45. La capacidad de un depósito de gasolina es 1500 litros. ¿Cuál es su volumen
en cm3?
a) 150 000 c3
100,000 c3
b) 15 000 c3
c) 1 500 c3
d) 1 500,000 c3
e)
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46. Un camión transporta 50 cajas con botellas llenas de agua. Cada caja contiene
20 botellas de litro y medio. Una caja vacía pesa 1 500 g, y una botella vacía, 50 g.
¿Cuál es el peso total de la carga?
a) 1 625 kg
kg
b) 1 620 kg
c) 1 605 kg
d) 1 525 kg
e) 1 655
47. Si para construir un muro necesito 2 toneladas de cemento, ¿cuántos sacos de
25 kilos de cemento tendré que comprar?
a) 60 sacos
sacos
b) 70 sacos
c) 50 sacos
d) 75 sacos
e) 80
48.Un barco transporta 2800 toneladas de mercancía. ¿Cuántos vagones harán
falta para transportar esa mercancía si cada vagón carga 1400 kg?
a) 2 100 vagones b) 2 010 vagones c) 2 000 vagones
200 vagones
d) 2 020 vagones
e) 2
ALGEBRA
1
1
3
1. Dado el polinomio lineal 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2, la suma de 𝑓(𝑥) + 𝑓 (𝑥 + 4) + 𝑓 (𝑥 + 4) es
igual a:
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A. 4x
B. 4x+1
1
4𝑥 + 2
C.
1
4𝑥 − 2
D.
2. Si x + y = 1 y xy=1, ¿Cuál es el valor de la expresión 𝑥 3 + 𝑦 3 ?
A.
-1
B. -2
C. -3
3. Si a = -1, b = 3, c = 5, entonces
A. −
1
C.
4. El valor numérico de la expresión
-4
𝑎+𝑏−|𝑎−𝑏|
|𝑎|+|𝑏|+|𝑐|
B. 1
9
D.
1
−
D.
9
2
9
a 2 (a  b2 ) (a 3  b3 ) (a 2  b)
para a = 1
(a 2  b2 ) (2a  3b2 )
y b = – 2 es:
A.
27
10
B. 
27
10
C.
18
35
D.
15
17
5. Las raíces de la ecuación 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, serán recíprocas si:
A. a = b
B. a = bc

6. El resultado de b  5 y
2
2
A. bn  25y m
n
m
5 y
m
C. c = a
D.
c=b
 bn  es
2n
2m
B. b  25y
2
2
C. bn  25y m
2n
2m
D. b  25y
E. 0
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7. La descomposición en factores de la expresión 3x2 – 2x – 8 es:
A. (3x +4) (x + 2)
B. (3x + 4) (x - 2)
C. (3x – 4) (x - 2) D. (3x – 4) (x + 2)
8. La descomposición en factores de la expresión x3 – 64y3 es:
A. (x – 4y)
C. (x + 4y) (4xy + x2 + 16y2 )
B. (4xy + x2 + 16y2)
D. (x – 4y) (4xy + x2 +16y2)
a 2  4 b2 3a 2  5ab 2 b2

9. La simplificación de
es:
ab 2 b2
3a 2  a b
A.
a
b (3a  b)
B.
b
a
C.
a
b
D. 1
E.
a(3a  b)
b (3a  b)
1 1

a
a se obtiene
10. Al simplificar la expresión
1 1

a a
2
A. (1  a )
a
2
B. (1  a )
a 1
2
C. (1  a )
1 a
11. El resultado de la siguiente operación
4 x2  1
A.
(4 x  1)(x  1)
2
D. ( a  1)
4 x2  1
B.
(4 x  1)(x  1)
a 1
E.
(1  a ) 2
a 1
 12 x 2  4 x
1
3 x 2  8 x  3 



x  1  4 x 2  11x  3
x2  9


C.
4 x2  1
(4 x  1)(x  1)
D.
es:
4 x2  1
(4 x  1)(x  1)
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2
x y
12. Al desarrollar    se obtiene
y x
A.
x4  2 x2 y2  y4
x 2 y2
B.
x 4  2 x 2 y 2  y4
x 2 y2
C.
x 4  2 x 2 y2  y 4
13. Al racionalizar el denominador de la fracción
A.
2 x 5  3
4
B.
2 x 5  3
2
14. El conjunto solución de la ecuación
A. -5
B. 15
x 2 y2
x 2
3  2 x 5
2 x 5  3
2
C.
D.
D.
x 4  x 2 y2  y4
x 2 y2
se obtiene
2 x 5  3
2
3x
15
 1
es
x 5
x 5
C. 10
D. -15
15. El valor de k que proporciona sólo una solución real de la ecuación
x 2  kx  k  2  3x es :
A. 5
B. 1
C. 0
D. – 1
16. El valor de la variable y al resolver el sistema de ecuaciones
4
 2
 3 x y  3 x y  3


 2
4

1

3
x

y
3
x
y

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A. 
3
2
17 .Al efectuar
A. 
B.
x2  4
(x 2) 2
2(x  2)
x 2
3
2


C.
(x 2) 2
x2  4
B.
18. Al resolver la ecuación
8
7
D. 
7
8
se obtiene:
2(x  2)
x2
C. 
2(x  2)
x 2
D.
2(x  2)
x 2
x 1 2 x 1

 4 se obtiene que la diferencia entre la
x 1 x 1
mayor y la menor de las raíces es:
A. -5
B. 5
C. 1
19. Al resolver el sistema de ecuaciones

 2x  3 y

2x  3 y
D. -1

2
 5  2 6 xy
1
se obtiene que el
valor de la variable y es:
A.

2
3
B.
3
2
C.

2
3
D. 
7
8
20. El conjunto solución de la desigualdad x3 + x2 – 2x > 0 es:
A. (– 2; 1)  (1;+) B. [– 2;0)  [1; +) C. (– 2; 0)  [1, +) D. [– 2, 0)  (1,
+)
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21. El valor de k de manera que la ecuación 2x2 + kx + 4 = 0 tenga una raíz igual a
– 3 es:
A.

12
13
B.
12
13
C.
22. El conjunto solución de la desigualdad | x +
A. –
4
8
x
3
3
B.

8
4
<x
3
3
C. –
22
3
D. 
2
|  2 es
3
8
4
< x<
3
3
D. 
23. El conjunto solución de la desigualdad 1 
7x
 3 es:
2
A. [1; 5]
D. [1; 2]
B. [– 1; 5]
C. [–1; 0]
22
3
8
4
x
3
3
24. El conjunto solución de la desigualdad |5 – 2x| < 7 está dado por el intervalo
A. (–1; 0)
B. (1, 6)
C. (-1, 6)
25. El conjunto solución de la desigualdad
D. (–1; 2)
(x  10)(x  2)
 0 es:
x2  7 x 8
A. [– 10; –1]  [2; 8] B. [–10;0)  [2;8) C. (-10;-1)  (3; 8) D. [–10; 1]  [2;8)
26. El conjunto solución de la ecuación
A. {-3; 11}
B. {3; 11}
C. {3;-11}
2x 3  x 2  2 es:
D. {-3;-11}
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27. Si |2x – 1| > 3, el valor de x que no pertenece al conjunto solución es:
A. – 3
1

28. Si  x  
x

A. 2
B. 3
2
D. – 1
C. 1
 3 , entonces x 3  1 es igual a:
3
x
B. -1
C. 0
D. 1
29. El conjunto solución de 3x + | x | = – 8 es:
A. -2
B. -1
C. -4
D. 1
30. Al factorizar la expresión −12x 3 + 36x 2 − 27x, uno de los factores es:
B) (2x − 3)2
A) -2
31. El resultado simplificado de
4
A) 𝑦 3 √4𝑥 2 𝑦
4
C) 5𝑥 2
3𝑦 4
√8𝑥 3 𝑦 7
2
B) 𝑦 2 √4𝑥𝑦 2
D) (2x + 3)2
1 4
∙ 3𝑥 √8𝑥 2 𝑦 3 , es:
3
C) 𝑦 3 √4𝑥𝑦 2
D) 𝑦 3 4√4𝑥𝑦
32. Si x, y, z, son números positivos que satisfacen las siguientes expresiones
1
1
1 7
x   4, y   1, z   , entonces el valor de xyz es:
y
z
x 3
A. -1
B. -2
C. 1
D. 2
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33. Si n > 1, entonces
A. n1/27
3
n3 n 3 n
es igual a:
13/27
B. n13/21
D. n131/127
C. n
34. Si (𝑥 + 𝑦)2 = 2(𝑥 2 + 𝑦 2 ) entonces el valor de la expresión E dado por
𝐸=
A. 3
3𝑥 3 −𝑦 3
𝑥2 𝑦
+
3𝑥+2𝑦
5𝑥
+
6𝑦
2𝑥+𝑦
, es igual a:
C. 5
B. 2
D. 6
35. Si el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥 4 + 𝑎𝑥 3 − 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 − 1 es divisible por
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1), el valor de (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 es:
A. 8
B. 64
36. Si el cociente notable
𝑥 30 −𝑦 𝑚
𝑥 𝑛 −𝑦 2
C. 27
D. 1
tiene 10 términos, entonces el valor de (m + n)
es:
A. 23
B. 25
C. 35
D. 50
37. Si 264 = a𝑎 𝑦 (√3)54 = (3𝑏)𝑏 , al determinar el valor de 3ª + b se obtiene:
A. 66
B. 48
C. 99
D. 44
1
38. Si (2𝑎 + 𝑏)−𝑐 = 5 , entonces el valor de (b2 + 4ab + 4a2 es:
A. 25
B. 125
C.
1
25
D.
1
125
39. Un barril contiene 120 litros de alcohol y 180 litros de agua; un segundo barril
contiene 90 litros de alcohol y 30 litros de agua. ¿Qué cantidad de litros deberán
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sacársele a cada uno de los barriles para obtener una mezcla homogénea que
contenga 70 litros de agua y 70 litros de alcohol?
40. Si x 4 − y 4 = z 3 ; x 2 − y 2 = 8 ; entonces
A. (𝑥 + 𝑦)(𝑦 − 𝑥)
A. x y6 z4
8
es igual a ∶
C. (𝑥 − 𝑦)2
B. (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦)
  23  43 4 
41. Al simplificar  x 1 y 2 z 7 
 
 
3
3
3 
x y z 
z3
D. (𝑥 + 𝑦)2
3
resulta:
B. x y3 z5
C. x y6 z5
D. x2 y6 z5
42. Si 2x 3  x 2  p x  2 p 2 es divisible entre x + 1, siendo p un entero, entonces
el valor de p es:
A.

5
2
B.
5
2
C. 
43. El conjunto solución de la desigualdad
A. ( – ; 
3
)
2
B. (2; 9)
C. ( – ;
1
2
D.
1
2
3
1

es:
2 x 3 x 2
3
3
)  (2;9) D. ( – ; ) ∩ (2; 9)
2
2
44. Dos enteros 𝑎 > 1 𝑦 𝑏 > 1 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒𝑛 𝑎𝑏 + 𝑏 𝑎 = 57 , determinar la suma
a+b
A. 4
B. 6
45. Si 𝑥 + 𝑦 = 1 ; 𝑥𝑦 = 1
C. 5
D. 7
¿Cuál será el valor de x3 + y3?
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A. -1
B. -2
C. -3
D. -4
46. El polinomio 𝑝(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑥 + 1 se anula en 1, luego p(x) es divisible por:
A. 𝑥 − 4
B. 𝑥 − 3
C. 𝑥 − 2
D. 𝑥 − 1
47. La suma de dos números es 666 y si se divide el mayor entre el menor el
cociente es 5 y el residuo 78. Dichos números son:
A. {548; 118}
B. {568; 98}
C. {558; 108}
D. {538; 128}
48. Si suponemos que el cociente intelectual de Einstein era 170 y si éste se
calcula al dividir la edad mental por la edad cronológica multiplicado por 100. La
edad mental de Einstein cuando publicó en 1905 su teoría sobre el efecto
fotoeléctrico era:
A. 44,2
B) 45,2
C) 47,2
D) 49,2
49. Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo, pero hace cinco años era cuatro
veces más joven. ¿Cuántos años tiene?
A. 10
B. 5
C. 25
D. 15
50. Un grupo de amigos fue a tomar unos refrescos y unas empanadas, y lo
pusieron todo en una cuenta que ascendió a 36 córdobas. Todos iban a pagar por
igual, pero tres de ellos se habían ido, por lo que a cada uno le tocó pagar 1
córdobas más. ¿Cuántas personas conformaban el grupo original?
A. 5
B. 10
C. 15
D. 12
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51. El producto de tres enteros positivos consecutivos es 3360 y su suma es 45.
¿Cuál es el mayor de esos tres números?
A. 27
B. 16
C. 15
D. 14
52. Un autobús comienza su trayecto con un cierto número de pasajeros. En la
primera parada descienden
descienden
1
2
1
3
de los pasajeros y suben 8. En la segunda parada
de los pasajeros y suben 2 nuevos. En este momento, el autobús
lleva la mitad del número de pasajeros de los que llevaba al principio del trayecto.
¿Cuántos pasajeros había al principio?
A 18
B 36
C 30
D 42
53. Halla tres números sabiendo que el segundo es mayor que el primero en la
misma cantidad que el tercero es mayor que el segundo, que el producto de los
dos más pequeños es 85 y que el producto de los dos mayores es 115.
A.
23
2
; 10;
17
2
B.
23
2
; 15;
17
2
C.
3
2
; 10;
1
2
D.
23
2
; 1;
17
2
54. Marlene en su bicicleta calcula que si avanza a 10 km/hora llegará a su destino
a la 1p.m., y si avanza a 15 km/hora llegará a su destino a las 11 a.m. ¿a qué
velocidad, en km/hora, tiene que avanzar para llegar a las 12m.?
A. 8
B. 6
C. 18
D. 12
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55. Un camino puede recorrerse en “t” horas con una cierta velocidad en km/hr. El
mismo camino se puede hacer en una hora menos aumentando en un kilómetro
por hora la velocidad. Hallar la longitud del camino en km.
A. t
B. t 3  t
C.
t2  1
D.
t2  t
56. De un depósito de 100 litros de capacidad, lleno de alcohol puro, se saca una
cierta cantidad de alcohol y se le reemplaza por agua. Se saca después la misma
cantidad de mezcla y se reemplaza por agua, quedando ésta última mezcla con un
49% de alcohol. Determinar la cantidad de líquido que se ha sacado cada vez.
A. 30 litros
B. 15 litros
C. 25 litros
D. 35 litros
57. La suma de tres números es 21. El cociente de dos de ellos es 2.5 y la suma
de estos dividida entre el tercero da como cociente 2. ¿Cuál es el menor de los
tres números?
A. 5
B. 6
C. 4
D. 3
58. Un padre actualmente tiene el triple de la edad de su hijo; si hace 6 años la
edad del padre era el quíntuple de la edad de su hijo. ¿Cuánto es la suma de las
cifras de edad del padre?
A. 8
B. 6
C. 10
D. 9
59. Dos tuberías abiertas simultáneamente llenan un depósito en 1 hora 12
minutos. Si una de ellas tarda 1 hora más que la otra, en llenar el mismo depósito
¿en qué tiempo lo llenará la tubería de mayor caudal?
A. 3 horas
B. 1 hora
C. 2 horas
D. 4 horas
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60. Por Navidad, en cierta empresa todos los empleados se ofrecen regalos. En
esta ocasión las mujeres se han dado mutuamente un regalo, pero los hombres lo
han repartido: la mitad han dado un regalo a sus compañeros y la otra mitad lo
han ofrecido a cada una de sus compañeras. Sabemos que el doble del número
de mujeres excede en 6 al número de hombres. Si en total se han dado 318
regalos, ¿cuántos empleados laboran en la empresa?
A. 37
B. 16
C. 11
D. 27
61. Determinar un entero positivo con los datos siguientes: si se añade un 5 a la
derecha el número resultante es divisible exactamente por un número que
sobrepasa en 3 el buscado, siendo el cociente igual al divisor menos 16.
A. 32
B. 12
C. 22
D. 44
62. Hallar un número de dos cifras sabiendo que el número de unidades excede
en dos el número de decenas y que el producto del número deseado por la suma
de sus dígitos es 144.
A. 24
B. 46
C. 13
D. 57
63. Si n es un entero positivo, la igualdad (𝑚4 − 𝑘𝑚2 𝑛 + 𝑛2 )𝑛 = (𝑚2 − 𝑛) 2𝑛 se
cumple si k toma el valor:
A. 2
B. -2
C. 4
D. -4
64. Un factor de 5𝑡 − 12 + 2𝑡 2 es (t + 4) y el otro es:
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A. (t + 4)
B. (2t - 3)
65. El sistema de ecuaciones
A. k = 1
C. (3 - 2t)
D. (2t + 3)
kx  y  1 tiene solución única si:

x  k y  2
B. k = -1
C. k = 1 y k = -1
D. k ≠ -1 y k ≠ 1
66. Encontrar la solución real del siguiente sistema de ecuación
67. Sean 𝑎 𝑦 𝑏 números reales distintos tales que 2𝑎2 + 2𝑏 2 = 5𝑎𝑏.
(𝑎+𝑏)
¿Cuántos son los posibles valores de (𝑎−𝑏)?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
68. ¿Cuántas ternas 𝑥, 𝑦, 𝑧 de números reales satisfacen el sistema?
𝑥(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = 26
{𝑦(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = 27
𝑧(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = 28
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) Ninguna
FUNCIONES REALES Y TRIGONOMETRÍA
1. Escriba el producto cartesiano de los conjuntos dados.
a. 𝐴 = {−2, −1,0,1,2}, 𝐵 = {3,5,7}
b. 𝐴 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}, 𝐵 = {𝑐, 𝑑, ℎ}.
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2. A partir de los productos cartesianos del ejercicio anterior defina 2 relaciones y
2 funciones.
3. Determine cuáles de las siguientes relaciones representan funciones y cuáles
no. Justifique su respuesta.
a. 𝑓 = {(2, 6), (−3, 6), (4, 9), (2, 10)}
b. 𝑔 = {(𝑎, 2), (𝑏, 3), (𝑐, 5), (𝑎, 7)}
c. ℎ = {(𝑎, 1), (𝑏, 2), (𝑐, 1), (𝑑, 2)}
d. 𝑝 = {(−2, 4), (−1, 1), (0, 0), (1, 1)}
e. 𝑀 = { (𝑥, 𝑦 ) | 𝑦 = 5𝑥 − 3, con 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ }
f. 𝑁 = { (𝑥, 𝑦 ) | 𝑦 2 = −𝑥 2 − 1, con 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ }
g. 𝑓: ℝ ⟶ ℝ si 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 − 6
h. ℎ: 𝑥 ⟼ 𝑦 mediante 𝑦 = ±√𝑥 + 4 si 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.
4. Dadas las siguientes leyes de asignación, determine el dominio y el rango de
su función correspondiente.
a. 𝑓 = {(0, −1), (3, −2), (1, 0), (−3, 5), (2, 6)}
b. 𝑦 = 3𝑥 2 + 5𝑥 − 1
c. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6
d. 𝑔(𝑥) = √2𝑥 + 4
e. 𝑦 = ℎ(𝑥) =
f. 𝑦 =
𝑥
𝑥 2 −16
𝑥2
𝑥 2 +1
5. Efectúe las evaluaciones indicadas para cada función real.
a. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 5𝑥 − 3;
𝑓(0), 𝑓(−1), 𝑓(𝑥 2 − 3), 𝑓(𝑥 + ℎ)
b. 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 9 ;
𝑔(7), 𝑔(−5), 𝑔(𝑥 + 9), 𝑔(𝑥 4 − 2)
c. 𝑦 = 𝐻(𝑥) =
3𝑥
𝑥+1
;
𝐻(2), 𝐻(0), 𝐻(−3), 𝐻(ℎ + 3).
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6. Determine dominio, rango y trace la gráfica de las funciones dadas por las
leyes
de
asignación
siguientes:
a. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2
−2,
i. 𝑟(𝑥) = {√𝑥 2
−𝑥 ,
b. 𝑔(𝑥) = 4
j. 𝑠(𝑥) = 2|𝑥 + 6|
c. 𝑦 = −(𝑥 + 5)2 + 1
k. 𝑦 = −(𝑥 + 2)3 + 5
d. ℎ(𝑥) = 𝑥 2 + 6𝑥 − 2
l. 𝑓(𝑥) = {
e. 𝑔(𝑥) = −5𝑥 + 1
f. 𝑦 = 𝑥 3 − 1
g. 𝑝(𝑥) = {
𝑥≥2
𝑥<2
|𝑥 − 2| + 3, 𝑥 < 0
𝑥 + 5,
𝑥≥0
m. 𝑦 = −√4 − 𝑥
−2𝑥,
𝑥≤2
−𝑥 2 − 4𝑥 + 1, 𝑥 > 2
h. 𝑓(𝑥) = 3√𝑥 − 1 + 8
𝑥2,
n. 𝑔(𝑥) = { 𝑥 3 ,
2𝑥,
𝑥 < −1
|𝑥| < 1
𝑥≥1
7. Se desea elaborar una caja sin tapa partiendo de una pieza rectangular de
cartón, cuyas dimensiones son 20 × 30 centímetros, cortando en las esquinas
cuadrados idénticos de área 𝑥 2 , y doblando los lados hacia arriba. El volumen
𝑉, de la caja en función de 𝑥 es:
a) 4𝑥 3 − 100𝑥 2 + 600𝑥
b) −4𝑥 3 − 20𝑥 2 + 600𝑥
c) −4𝑥 3 + 20𝑥 2 + 600𝑥
d) −4𝑥 3 + 100𝑥 2 − 600𝑥
8. La tasa de crecimiento 𝑦, de un niño, en libras por mes, se relaciona con su
peso actual 𝑥 en libras, mediante la fórmula 𝑦 = 𝑐𝑥(21 − 𝑥), donde 𝑐 es una
constante positiva y 0 < 𝑥 < 21. ¿A qué peso se tiene la tasa máxima de
crecimiento?
a) 21 libras
b) −21 libras
c) 10.5 libras
d) 10 libras
9. Hace 5 años se compró una casa en $ 16,000, este año fue valorada en
$ 19,000. Suponiendo que el valor de la casa está relacionado linealmente con
el tiempo. La fórmula que indica el valor de la casa en cualquier tiempo 𝑡 (en
años) después de la fecha de compra es:
a) 𝑓(𝑡) = 600𝑡 + 19,000
b) 𝑓(𝑡) = 60𝑡 − 1,900
c) 𝑓(𝑡) = −60𝑡 − 1,900
d) 𝑓(𝑡) = −600𝑡 + 19,000
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10. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio,
con velocidad inicial de 144 𝑚/𝑠. Su distancia 𝑠(𝑡) en metros sobre el piso a
los 𝑡 segundos de ser lanzado está dada por 𝑠(𝑡) = 6𝑡 2 + 144𝑡 + 100. La
altura máxima sobre el piso y la altura del edificio son respectivamente:
a) 42.4 𝑚 y 10.0 𝑚
b) 10.0 𝑚 y 42.4 𝑚
c) 424.0 𝑚 y 100.0 𝑚
d) 100.0 𝑚 y 424.0 𝑚
11. El pago diario de una cuadrilla de trabajadores es directamente proporcional al
número de trabajadores. Si una cuadrilla de 12 trabajadores gana 𝐶$ 5,400
diario. El pago diario en función del número de trabajadores 𝑥 está dado por la
expresión:
a) 𝑓(𝑥) = 450𝑥
b) 𝑓(𝑥) =
c) 𝑓(𝑥) = −450𝑥
1
450
d) 𝑓(𝑥) = −
𝑥
1
450
𝑥
12. Una fábrica de lámparas tiene costos fijos de $ 3,000 y el costo de la mano de
obra y de materiales es de $ 15 por lámpara, encuentre la función de costo
total del número de lámparas producidas. Si cada lámpara se vende a $ 25, la
función de utilidad está dada por:
a) 𝑈(𝑥) = 10𝑥 − 3,000
c) 𝑈(𝑥) = −10𝑥 + 3,000
b) 𝑈(𝑥) = 10𝑥 + 3,000
d) 𝑈(𝑥) = −10𝑥 − 3,000
13. Para cada pareja de funciones dadas, halle 𝑓 ± 𝑔, 𝑓 ∙ 𝑔 y
𝑓
𝑔
. Determine el
dominio de las funciones resultantes.
a. 𝑓(𝑥) = 1 +
1
𝑥
, 𝑔(𝑥) =
b. 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2 ,
c. 𝑓(𝑥) =
2𝑥+3
3𝑥−2
1
𝑥
𝑔(𝑥) = √4 − 𝑥
, 𝑔(𝑥) =
4𝑥
3𝑥−2
d. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2, 𝑔(𝑥) = 2𝑥 2 − 1
e. 𝑓(𝑥) =
2𝑥
𝑥−4
, 𝑔(𝑥) =
𝑥
𝑥+5
.
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14. Sean las funciones reales 𝑓, 𝑔 dadas por las leyes de asignación 𝑓(𝑥) = 𝑥 +
𝑓
3, 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 , respectivamente. Calcule (𝑓 + 𝑔)(3), (𝑓 − 𝑔)(3), (𝑓𝑔)(3) y ( )
𝑔
(3).
15. Dadas las funciones reales, 𝑝 + 𝑚 y 𝑝, mediante (𝑝 + 𝑚)(𝑥) = 6 −
1
2
𝑥 y
𝑝(𝑥) = 3𝑥 + 1, respectivamente. Halle la ley de asignación para la función 𝑚.
𝑓
16. Dadas las funciones reales, 𝑓 y
𝑔
, mediante 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
𝑓
𝑥+1
𝑔
𝑥 2 −𝑥
y ( ) (𝑥) =
,
respectivamente. Halle 𝑔(𝑥).
17. Dadas las funciones 𝑓, 𝑔 mediante las leyes de asignación siguientes, calcule
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) y (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥).
1
a. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 2 − 3, 𝑔(𝑥) = 3 − 2 𝑥 2
b. 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 , 𝑔(𝑥) = 3𝑥
c. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1, 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 1
d. 𝑓(𝑥) =
3
𝑥+1
,
3
𝑔(𝑥) = √𝑥
e. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥, 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 2 .
18. Sean las funciones 𝑓, 𝑔
dadas por 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 4
respectivamente, halle (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥), (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) y (𝑓 ∘ 𝑔)(−2).
y
𝑔(𝑥) = 5𝑥,
19. Verifique que (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥 para los casos siguientes:
1
a. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6, 𝑔(𝑥) = 2 𝑥 + 3
3
b. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 , 𝑔(𝑥) = √𝑥 .
20. Un incendio en un campo abierto seco, se propaga en forma circular. Si el
radio de este círculo aumenta a una velocidad de 6 𝑚/𝑚𝑖𝑛. Exprese el área
total incendiada 𝐴 (en 𝑚2 ) como una función del tiempo 𝑡 (en minutos).
a) 𝐴(𝑡) = 36𝜋𝑡 2
b) 𝐴(𝑡) = 6𝜋 2 𝑡 2
c) 𝐴(𝑡) = 6𝜋𝑡 2
d) 𝐴(𝑡) = 36𝜋 2 𝑡 2
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21. Dos barcos parten de un puerto a la misma hora, uno viaja al oeste con una
velocidad de 17 𝑚𝑖/ℎ, y el otro hacia el sur a 12 𝑚𝑖/ℎ. Si 𝑡 es el tiempo en
horas que ha transcurrido desde sus partidas, exprese la distancia 𝑑 entre los
barcos como una función del tiempo.
a) 𝑑(𝑡) = 433𝑡 2
b) 𝑑(𝑡) = 20.81𝑡 2
c) 𝑑(𝑡) = 20.81𝑡
d) 𝑑(𝑡) = 433𝑡
22. Se desea construir un tanque de acero para almacenar gas propano. Su forma
debe ser la de un cilindro recto circular de 10 𝑚 de altura con una semiesfera
unida en cada extremo. Su radio 𝑟 debe determinarse, exprese el volumen 𝑉
del tanque (medido en pies cúbicos) en función de 𝑟.
2
a) 𝑉(𝑟) = 2𝜋𝑟 2 (5 − 3 𝑟)
2
c) 𝑉(𝑟) = 2𝜋𝑟 2 (3 𝑟 + 5)
4
b) 𝑉(𝑟) = 3 𝜋𝑟 3 − 10𝜋𝑟 2
d) 𝑉(𝑟) =
34
3
𝜋𝑟 3
23. Determine si las funciones reales dadas por las siguientes leyes de asignación
son biyectivas.
a. 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 5
b. ℎ(𝑥) = 𝑥 2
c. 𝑔(𝑥) = 2𝑥
d. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 6
e. 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 7
f. ℎ(𝑥) = 5𝑥 2 − 𝑥 + 1
24. Para cada una de las funciones dadas por las leyes de asignación siguientes
(a) verifique que son biyectivas (b) halle su inversa 𝑓 −1 (c) compruebe que se
cumple la igualdad (𝑓 ∘ 𝑓 −1 )(𝑥) = (𝑓 −1 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥, (d) trace las gráficas de
cada pareja de funciones (𝑓, 𝑓 −1 ) en un mismo plano cartesiano de manera
que se evidencie la simetría respecto a la recta 𝑦 = 𝑥.
a. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5
b. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 5
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c. 𝑓(𝑥) = √3 − 𝑥
d. 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥 2 , con dom𝑓 = [0, 2]
e. 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 3, con dom𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥ 0}
3
f. 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1.
25. Transforme de forma exponencial a logarítmica y viceversa, según el caso.
a. 43 = 643
b. 10−3 = 0.001
c. log 3
1
243
= −5
d. log 7 1 = 0
26. Reescriba las siguientes expresiones como combinación de logaritmos en
𝑥, 𝑦, 𝑧.
√𝑥 𝑧2
3
b. log 𝑎 √𝑥√𝑦𝑧 3
a. log 𝑎 𝑦4
c. log [√
𝑥2
𝑦𝑧 5
∙ 𝑧]
27. Reescriba los siguientes logaritmos como uno solo en función de 𝑥, 𝑦 y 𝑧.
1
a. 2 log 𝑎 𝑥 + 3 log 𝑎 (𝑥 − 2) − 5 log 𝑎 (2𝑥 + 3)
b. log 𝑥 3 𝑦 2 − 2 log 𝑥 3√𝑦 + 3 log
𝑥
𝑦
28. La cantidad de radio puro 𝑞 que queda después de
inicialmente se tenía 𝑞0 miligramos es
𝑡
años, cuando
𝑡
𝑞 = 𝑞0 ∙ 2−1600 .
El tiempo 𝑡 expresado en términos de log 2
es:
a. 𝑡 = 1600 log 2 𝑞0 − 1600 log 2 𝑞
b. 𝑡 = 1600 log 2 𝑞0 + 1600 log 2 𝑞
c. 𝑡 = 1600 log 2 𝑞 − 1600 log 2 𝑞0
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d. 𝑡 = −1600 log 2 𝑞 + 1600 log 2 𝑞0
29. El número 𝑁 de bacterias en un cierto cultivo en un tiempo 𝑡, está dado por
𝑁 = 104 ∙ 3𝑡 . El tiempo 𝑡 en función de 𝑁 utilizando logaritmos de base 3 es:
a. 𝑡 = log 3 𝑁 − 4 log 3 10
b. 𝑡 = 4 log 3 𝑁 − log 3 10
c. 𝑡 = 4 log 3 𝑁 + log 3 10
d. 𝑡 = 4 log 3 (𝑁 − 10)
30. Trace la gráfica de las funciones reales dadas por las reglas de asignación
siguientes:
c. ℎ(𝑥) = 2|𝑥|
a. 𝑓(𝑥) = 4𝑥
b. 𝑔(𝑥) = 3−𝑥
4
d. 𝑓(𝑥) = {log 𝑥
1/5
𝑥 ≥ 25
0 < 𝑥 < 25
e. 𝑔(𝑥) = {
f. 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 3−𝑥
g. ℎ(𝑥) = log1/10 𝑥
h. 𝑦 = log 4 𝑥
i. 𝑦 = log 2 (𝑥 + 2)
j. 𝑦 = log 2 𝑥 + 3
k. 𝑦 = log 2 √𝑥
l. 𝑦 = 2𝑥+3
m. 𝑦 = (3)
2 𝑥
1 𝑥
(2)
𝑥≤3
−(𝑥 − 3)2 𝑥 > 3
n. 𝑦 = log 5 (𝑥 − 2)
31. El número de bacterias de cierto cultivo incrementó de 600 a 1800 entre las
7: 00 𝑎𝑚 y las 9: 00 𝑎𝑚. Suponiendo que el crecimiento es exponencial, se
puede mostrar, usando métodos de cálculo, que 𝑡 horas después de las
1
7: 00 𝑎𝑚 el número 𝑓(𝑡) de bacterias está dado por 𝑓(𝑡) = 600 (3 2 𝑡 ).
a. Calcule el número de bacterias en el cultivo a las 8: 00 𝑎𝑚, a las 10: 00 𝑎𝑚
y a las 11: 00 𝑎𝑚.
b. Trace la gráfica de 𝑓 desde 𝑡 = 0 hasta 𝑡 = 4.
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32. Si 1,000 dólares se invierten al 12 % anual y se capitalizan los intereses
mensualmente, ¿cuál es el monto acumulado después de (a) 1 mes, (b) 2
meses, (c) 6 meses, y (d) 1 año?
33. Si cierta marca de automóvil se compra por 𝐶 dólares, su valor comercial 𝑣(𝑡)
al final de t años está dado por 𝑣(𝑡) = 0.78𝐶(0.85)𝑡−1 . Si el costo original es de
$ 10 000, calcule (redondeando a unidades) el valor después de (a) 1 año,
(b) 4 años, y (c) 7 años.
34. Resuelva las siguientes ecuaciones:
a. 105𝑥−2 = 348
b. log 2 (9𝑥+1 + 7) = 2 log 2 (3𝑥+1 + 1)
c. log(𝑥 − 9) + log 100𝑥 = 3
d. 103𝑥−7𝑥 =
e. 2
𝑥+2+√𝑥−3
1
100
− (5)2𝑥+√𝑥−3 + 8 = 0
f. 49𝑥 − 50(7𝑥 ) + 49 = 0
35. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:
𝑥
a. {
√𝑥 + 𝑦 = 2
(𝑥 + 𝑦)3𝑥 = 279,936
53𝑥−2𝑦 = 3,125
b. { 6𝑥−7𝑦
11
= 14,641
36. Escriba cada ángulo en notación decimal en grados:
a. 40° 10′ 25′′
b. 61° 42′ 21′′
c. 98° 22′ 45′′
d. 1° 2′ 3′′
37. Escriba cada ángulo en notación de grados, minutos y segundos:
a. 18.255°
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b. 29.411°
c. 44.01°
d. 61.24°
38. Convertir los ángulos en grados a radianes y viceversa según el caso.
a. 630°
d. −
7
2
b.
𝜋
e.
11
6
15
4
𝜋
c. 720°
𝜋
f. −135°
39. Halle el ángulo complementario de 𝜃 si
a. 𝜃 = 5° 17′ 34′′
b. 𝜃 = 32.5°
c. 𝜃 = 63° 4′ 15′′
d. 𝜃 = 82.73°
40. Halle el ángulo suplementario de 𝛽 si
a. 𝛽 = 48° 51′ 37′′
b. 𝛽 = 152° 14′ 4′′
c. 𝛽 = 136.42°
d. 𝛽 =
1
6
𝜋
41. Calcule funciones trigonométricas restantes si sen 𝜃 =
√5
5
y cos 𝜃 =
2√5
5
.
42. Si 𝜃 es un ángulo agudo, halle las seis funciones trigonométricas si:
a. sec 𝜃 =
6
5
b. csc 𝜃 = 4
c. cot 𝜃 =
d. tan 𝜃 =
7
24
5
12
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43. Calcule el valor de cada expresión
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
a. sen2 6 + cos2 6
b. sec 2 3 − tan2 3
44. Sea 𝑃(𝑥, 𝑦) el lado terminal de 𝜃. Calcule las seis funciones trigonométricas
de 𝜃.
a. 𝑃(−6, 2)
b. 𝑃(−4, −3)
3
c. 𝑃(5, −2)
d. 𝑃 (−1, 8)
45. Un ángulo central 𝜃 intercepta un arco de 7 𝑐𝑚 de largo en una circunferencia
de radio de 4 𝑐𝑚. Aproxime la medida de 𝜃 en: (a) radianes, y, (b) grados.
46. La distancia entre dos puntos 𝐴 y 𝐵 en la Tierra, se mide sobre un círculo con
centro 𝐶 en el centro de la Tierra y radio igual a la distancia de 𝐶 a la
superficie. Si el diámetro terrestre es de 8 000 millas aproximadamente,
calcule la distancia entre 𝐴 y 𝐵 cuando el ángulo 𝐴𝐶𝐵 mide (a) 60°, (b) 45°, (c)
30°, (d) 10°.
47. Trace la gráfica de las funciones dadas por las leyes de asignación siguientes:
a. 𝑦 = sen 𝑥
𝜋
b. 𝑦 = 3 cos (𝑥 − 4 )
1
c. 𝑓(𝑥) =
2
1
𝜋
cot (2 𝑥 − 4 )
d. 𝑔(𝑥) = − cos(3𝑥 + 𝜋)
1
e. ℎ(𝑥) =
2
cos 3𝑥
48. Demostrar las siguientes identidades:
a. tan4 𝜃 − sec 4 𝜃 = 1 − 2 sec 2 𝜃
b.
c.
1
cos2 𝑥
+1 + tan2 𝑥 = 2 + 2 tan2 𝑥
1+cos 𝛼
sen 𝛼
2
+
sen 𝛼
cos 𝛼
=
cos 𝛼+1
sen 𝛼 cos 𝛼
2
d. sec 𝜆 + tan 𝜆 = (1 − sen2 𝜆) sec 4 𝜆
49. Si 𝛼 y 𝛽 son ángulos agudos tales que cos 𝛼 =
4
5
y tan 𝛽 =
8
15
. Halle:
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a. sen(𝛼 + 𝛽)
b. cos(𝛼 + 𝛽)
c. sec(𝛼 + 𝛽)
d. sen(𝛼 − 𝛽)
50. Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones en el intervalo dado:
a. sen 𝑥 − 2 sen 𝑥 = 0
b. 2 tan2 𝑥 − sec 2 𝑥 = 0
𝜋
c. cos (2𝑥 − 4 )
𝑥
d. sen 2 + cos 𝑥 = 1
51. Se da una circunferencia de radio 10 𝑚. El coseno del ángulo que forman las
tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de
15 𝑚 de longitud es:
a.
b.
c.
d.
√2
3
5
8
2
3
1
8
52. Resuelvan el triángulo 𝐴𝐵𝐶 si:
a. 𝑎 = 15 𝑐𝑚, 𝑏 = 18 𝑐𝑚 y 𝛼 = 33° 30′.
b. 𝑎 = 40 𝑐𝑚, 𝑏 = 50 𝑐𝑚 y 𝑐 = 60 𝑐𝑚.
c. 𝑎 = 11.8 𝑐𝑚, 𝑏 = 15.6 𝑐𝑚 y 𝛾 = 34° 20′.
53. La altura de un árbol que está situado sobre un terreno llano, sabiendo que
desde un punto del suelo se observa su copa bajo un ángulo de elevación de
45° y, desde un punto 15 metros más cerca del árbol, a un ángulo de 60° es:
a. 30.5 𝑚
b. 45 𝑚
c. 31.7 𝑚
d. 35.49 𝑚
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Geometría Euclidiana
I. EJERCICIOS SOBRE CONCEPTOS BÁSICOS
1. En la figura, el ángulo COB mide 120º y el ángulo COD mide la mitad del ángulo BOA. Entonces, la medida
del  BOA es:
C
B
A. 20º
D
O
B. 30º
C. 40º
D. 60º
E. 80º
A
2. Si dos planos diferentes se intersecan, su intersección es:
A. Un punto.
D. Dos rectas diferentes

B. Dos puntos
E. Falta información


C. Una única recta

3. En la figura, m 1  m 4 , m 2  m 3 ¿cuál de las siguientes expresiones es siempre verdadera?


A. m 1 || m 2



B. m1  m 3


C. m 3 || m 4

D. m 2  m 4
E. NDLA
4. R, S y T son tres puntos colineales como se muestran en la figura. Si ST = 4x + 4 y RS es la mitad de ST,
entonces la longitud de RT es
A. 3x – 4
5.
R
S


B. 3x – 6
C. 3x + 2
xº
50º
T

D. 6x – 12
A partir de la información indicada en la figura, el valor de y es:
120º
A. 170º
yº
E. 6x + 6
B. 130º
C. 120º
D. 100º
E. 50º
130º
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xº
6.
A
En la figura, si
B
90º
A. 50º
140º
C
7.
, el valor de x es:
70º
C. 130º
D. 140º
E. 230º
D
D
y
En la figura,
, entonces el valor de y es:
E
130º x
B
C
A
8.
A. 30º
x
B. 40º
C. 45º
D. 50º
E. 60º
D. 65
E. 75º
En la figura, el valor de x es
115º
A. 25º
B. 40º
C. 45º
140º
9.
En la figura, el valor de x es
xº
A. 30º
150º
B. 40º
C. 45º
D. 50º
E. 60º
10. A – B – C – D; E y F son puntos medios de AB y CD respectivamente; Si AC = 10 y BD = 12, entonces
EF = ?
A. 5
B. 6
C. 9
D. 11
E. 22
A
11.
En la figura º + º = 255º, entonces ¿m A = ?


A. 75º
B
B. 105º
C. 127.5º
D. 30º
E. 45º
C
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12. Para qué valor de x, los segmentos AB y CD son paralelos?
C
25º
A
D
xº
A. 25
B
B. 50
C. 65
D. 75
13.
E. 130
A
Si
B
120º
, ¿Cuál es el valor de x?
E
A. 170º
B. 150º
C. 120º
D. 100º
xº
E. 80º
C
D
14. Si la medida de un ángulo es tres veces la medida de su suplemento, ¿cuál es la medida de dicho ángulo?
A. 30º
B. 60º
C. 90º
D. 120º
E. 135º
15. Dos veces la medida de un ángulo es 30° menos que cinco veces la medida de su complemento, ¿cuál es
la medida de dicho ángulo?
A. 30º
B. 60º
C. 90º
D. 120º
E. 135º
16
60º
En la figura las rectas
y
son paralelas. Entonces el valor de x es
110º
A. 170
xº
B. 50
C. 85
D. 25
E. 30
17.
En la figura las rectas
y
84°
son paralelas. Entonces el valor de x es
(x – 6)°
A. 170
B. 50
C. 85
D. 25
E. 20
(3x + 10)°
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18.
P
Q
2
S
1
Si m  P = 90º,  1  2,  3   4, entonces m  R es
3
4
R
A. 30º
B. 45º
C. 60º
D. 90º
E. Falta información.
__
19. En una recta se toman los puntos A, B y C, de manera que B es punto medio de AC . Se toma otro punto
O, tal que B – O – C. Encuentre el valor numérico de
A. 2
B. 1
C.
1
2
D.
AO  OC
.
OB
3
2
E. Falta información.
II. TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
1. ÁREAS DE TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
RECTÁNGULO
PARALELOGRAMO
TRAPECIO
ROMBO
b
d
b
A=bh
h
h
D
b
A=bh
h
B
d
A=
Dd
B’
A=
(B + b)h =
B’h
TRIÁNGULOS
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c
a
h
b
b
A=
base x altura
A=
h
a
ab
A=
ah
Fórmula de Herón: (Área de un triángulo
en función de sus lados)
A=
x
A=
TRIÁNGULO EQUILÁTERO
, donde s
2. RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Dado un triángulo rectángulo ABC, con ángulo recto en C, las longitudes de sus lados (a, b, c), la altura
correspondiente a la hipotenusa (h) y las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (m, n), se cumplen las
siguientes relaciones métricas:
C
i) h =
ii) b =
iii) a =
iv) m + n = c
a
b
h
n
A
m
D
c
B
EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE TRIÁNGULOS Y
CUADRILÁTEROS
1. Un poste cercano a un árbol mide 2 m y su sombra en un momento dado mide 1.8 m, entonces si la
sombra del árbol en ese momento mide 11 m, la altura del árbol es
A. 11 m
B. 11.22 m
C. 12.
D. 12.22
E. 13 m
2. Una varilla clavada en el piso y cercana a un árbol mide 3 m y su sombra mide 1.5 m, entonces si el árbol
mide 36 m, su sombra mide
A. 36 m
B. 30 m
C. 18 m
D. 15 m
E. 9 m
3. El perímetro de un triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa igual a 10 redondeado a dos decimales
es
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A. 7.07
B. 14.14
C. 24.14
D. 24.99
E. 50
En el triángulo rectángulo de la figura, los valores de x e y,
respectivamente son
4.
y
8
4
A. 11 y 13
x
B. 15 y 16
D. 16 y 8.94
C. 9 y 8
E. 12 y 8.94
5. Un método para encontrar la altura de un edificio es colocar un espejo en el suelo y después situarse de
manera que la parte más alta del edificio pueda verse en el espejo ¿qué altura tiene un edificio si una persona
cuyos ojos están a 1.5 m del piso observa la parte superior del edificio cuando el espejo está a 120 m del
edificio y la persona está a 6 m del espejo?
A. 20 m
B. 30 m
C. 31.5 m
D. 120 m
E. 126 m
6. La altura respecto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 m y los segmentos que determina
sobre la hipotenusa son entre sí como 7 es a 14. Entonces la longitud del cateto menor es
A. 4 m
B. 7.07 m
C. 12.25 m
D. 14 m
E. 15.5 m
7. El perímetro de un rectángulo es 85 m y su diagonal mide 32.5 m. Por lo tanto los lados del rectángulo
miden:
A. 15 m y 27.5 m
B. 20 m y 22.5 m
C. 7.5 m y 25 m
D. 30m y 12.5 m
E. 40m y 2.5 m
8. El perímetro de un triángulo mide 50 y sus lados son proporcionales a 4, 6 y 8. Entonces su lado mayor
mide
A. 50/3
B. 25/9
C. 100/9
D. 25
E. 200/9
9. En un triángulo rectángulo, un lado mide 2 106 , otro 5 15 . Si el lado desconocido es el menor,
¿cuánto mide?
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
E. 11
10.
7
6
El área del triángulo de la figura, redondeada al entero más cercano,
mide:
A. 21
9
11.
B. 22
C. 27
D. 31
E. 54
¿Cuál es el área del triángulo de la figura?
6
A. 20
B. 24
C. 30
D. 48
E. 60
10
12. Si un rectángulo de 3 m de ancho y 10 m de largo tiene la misma área que un triángulo rectángulo
isósceles, entonces la longitud de cada cateto del triángulo es
A. 7.5
B. 2 15
C. 15
D. 15 3
E. 10
13. El área de un trapecio isósceles de bases 22 m y 10 m y cuyos lados congruentes miden 10 es
A. 2220 m2
B. 160 m2
C. 128 m2
D. 80 m2
E. 64 m2
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14. La siguiente figura consta de siete cuadrados congruentes. El área total de esta figura es 63 cm 2.
Entonces el perímetro de la figura es:
A. 16 cm
A
15.
B
C
H
F
C. 24 cm
D. 48 cm
E. 84 cm
Si ACEG es un cuadrado y el área del cuadrilátero BDFH mide 162 ¿cuánto
mide AC? (las marcas iguales representan partes congruentes)
D
G
B. 21 cm
A. 9
B. 12.72
C. 18
D. 25.44
E. 81
E
__
16. Se tiene un trapecio ABCD donde BC es la base menor. BC = 10 cm. y CD = 20 cm. Las medidas de
los ángulos A, B y C son 30°, 150° y 120° respectivamente, entonces AD = ?
A. 60 cm.
B. 50 cm.
C. 40 cm.
D. 30 cm.
E. 20 cm.
17. Si las medianas en un triángulo rectángulo, trazadas a partir de los vértices de los ángulos agudos miden
40 cm, entonces la medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo es
5 cm y
5  40
cm
2
A.
B. 2 13 cm
C. 45 cm
D. 11.32 cm
E. 5.66 cm
18. En la figura, los cuadrados ABCD y EFGH son congruentes. AB = 10 cm y G es el centro del cuadrado ABCD. Entonces el
área total cubierta por el polígono AHEFBCDA es
D
C
G
A
B
H
A. 100 cm2
B. 120 cm2 C. 150 cm2 D. 175 cm2
E. 200 cm2
F
E
19.
ABCD es un cuadrado, el  ABE es isósceles, CF = FB. Entonces, la medida del ángulo EFB es igual a
D
E
C
F
A
B
A. 150°
B. 135°
D. 60°
E. 45°
C. 90°
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20.
B
C
D
En la figura,  ABCF es un paralelogramo. B, C y D son colineales. Si AB = 18,
AD = 30 y FE = 12. ¿Cuánto mide AE?
E
A
A. 10
F
B. 12
C. 15
D. 20
E. 25
21. En un trapecio isósceles, la diferencia de las bases es de 10 m. La altura mide 12 m. y el perímetro 76 m.
Entonces su área es:
A. 86 m2
B. 176 m2
C. 226 m2
D. 288 m2
E. 300 m2
22. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 1 cm. y CE = 2 cm., entonces el área del triángulo ADF en
cm2 es igual a
D
A
A.
1
2
B.
1
3
D.
1
6
E.
1
8
F
B
E
C
C.
1
4
23. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = BC = 10 y AC = 16. Sea BD la mediana trazada sobre el lado
AC y sea G el baricentro. Entonces el área del triángulo ADG es
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
E. 24
24. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = AC = 17 cm y P un punto cualquiera del lado BC, diferente de
los puntos extremos. Por P se trazan una paralela a AC que corta a AB en Q y una paralela a AB que
corta a AC en R. El perímetro del cuadrilátero AQPR es
A
Q
R
B
P
A. 8.5 cm
B. 17 cm C. 34 cm
D. 51 cm E. 68 cm
C
25. De acuerdo a la información que se proporciona en la figura, el segmento de mayor longitud es
B
A
70°
55°
60°
A. AB
60°
D
B. BC
C. CD
D. DA
E. BD
C
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26. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 1, CMN es equilátero, El área de CMN es igual a
D
C
M
A
N
B
A. 0.866
B. 0.7071
D. 0.5
E. 0.4641
C. 0.75
27. La siguiente figura muestra dos cuadrados de lado 1 cm., donde AEFG se ha obtenido de ABCD al girar
este cuadrado 45° sobre el vértice A. Entonces el área sombreada es
F
C
B
E
G
A.
D.
A
2 –1
B. 0.5
2
C. 0.451
E. 0.375
D
28. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, que también es isósceles, miden
A. 30°
B. 45°
C. 35°
D. 75°
E. 60°
29. En la figura ABCD es un cuadrilátero con AD || BC . La diagonal AC es perpendicular al lado CD .
mBAC = 30°, AC = 4
B
3 y AB = BC. Entonces el área de ABCD es igual a
C
A. 6
A
B. 12
C. 12 3
D. 24
E. 30
D
30. Se tiene un trapecio ABCD donde BC es la base menor. BC = 10 cm y CD = 20 cm . Las medidas de
los ángulos A, B y C son 30°, 150° y 120° respectivamente, entonces el área del trapecio mide
A. 300 3 cm2.
B. 400 cm2.
C. 300 cm2.
D. 200 cm2.
E. 200 3 cm2.
31. En la figura, mBAC =  , mBPC = mBQC = 90°. Entonces la medida de BHC es
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A
P
H
Q
B
C
A. 180 – 
B. 
C. 90 – 
D. 2
E. 3
32. Si las medianas en un triángulo rectángulo, trazadas a partir de los vértices de los ángulos agudos miden
20 cm, entonces la medida en cm de la hipotenusa del triángulo rectángulo es
5 cm y
A. 5
B. 6
C. 8
D. 9
E. 10
33. En la figura, los dos cuadrados tienen el mismo centro. La razón entre el lado del cuadrado menor y el
lado del cuadrado mayor es 2/5. Entonces la razón entre el área sombreada y el área del cuadrado mayor es
A. 1/6
B. 21/100
D. 2/5
E. 4/9
C. 1/3
34. En la figura, AB = AC = 4, BD = DC = 3 y mBAC = 60°, entonces la longitud del segmento AD es
A
A. 2 3 –
5
D. 2
D
B. 2 3 + 5
C. 1
E. 3.5
C
B
35. En la figura el cuadrilátero ACDE es un trapecio tal que ED = 15 cm , AC = 24 cm y la altura es 12 cm.
Sabiendo que B es el punto medio del lado AC, el área del cuadrilátero OBCD es
E
D
O
A
B
A. 112 cm 2
B. 117 cm 2
D. 140 cm 2
E. 360 cm 2
C. 120 cm 2
C
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36. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 6 cm. y CE = DE = 5 cm., entonces la longitud de
es
E
A
cm
D. 30
B. 15 cm
C
D
B
A
C.
E.
37
132
52.8
En la figura, a partir de la información dada, ¿cuál es el valor de x?
x
A. 76
66
B. 25
C. 13.2
D. 5.28
E. 5
10
38. ABCD es un paralelogramo. P es un punto de la diagonal AC . Trazamos por P paralelas a los lados del
paralelogramo. Estas paralelas intersecan a los lados del paralelogramo en los puntos indicados en la figura.
Sabiendo que el área de ABCD es 40 cm2 , entonces el área del cuadrilátero RQMN es igual a
A
R
N
B
P
D
M
39
Q
A. 10 cm 2
B 20 cm2
C. 30 cm 2
D. 40 cm 2
E. 50 cm 2
C
A
En el triángulo rectángulo ABC ¿cuál es la longitud del segmento BC?
6
A. 15
3
B. 12
C. 10
D. 9
E. 7.5
C
B
x
40. Sea ABCD un cuadrado. Por el vértice A se traza un segmento que corta a la prolongación del lado BC en
E, al lado DC en F y a la diagonal BD en G. Si AG = 3 y GF = 1 ¿cuál es la longitud de FE?
A
D
G
F
A. 12
B
C
B. 10
C. 9
D. 8
E. 6
E
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III. CIRCUNFERENCIA Y POLÍGONOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
B
1.

A. 40°
D
A
2.
En la figura de la derecha si la medida de los arcos AD y BC son 140º y 80°
respectivamente, entonces el valor de  es
C
B. 50°
C. 60°
D. 70°
E. 80°

C
El triángulo ABC está inscrito en un semicírculo de diámetro AB.
Si AC = 8 y BC = 6, el área de la región sombreada tiene un valor de
B
A
A. 15.27
C
3.
B. 24
C. 36.37
D. 61.07
E. 48
El triángulo ABC está inscrito en un semicírculo de diámetro AB. Si AC = 8 y
CD = 4.8, el área de la región sombreada tiene un valor de
A
D
B
A. 15.27
B. 24
C. 36.37
D. 61.07
E. 48
.
4.
Y
X
Z
La circunferencia de la figura tiene radio 2 y el arco XYZ tiene longitud .
¿Cuánto mide la cuerda XZ?
A.
B. 2
C. 2
E. 
D.
5. En la figura el área del círculo mayor es 1 m 2. El círculo menor es tangente internamente al círculo mayor
y también es tangente a los lados del ángulo inscrito que mide 60°. Entonces el área del círculo menor es
A.
1
2
B.
4
9
C. 
D. 2
E.
1

2
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Q
6.
C
En la figura C es el centro de la circunferencia de radio r y
es un
segmento tangente en T, de longitud 2r, entonces PC mide
7.
A. r
P
T
10
B. r
C. 3r
D. r
E. 5r
Los extremos de la figura son semicírculos, ¿Cuál es el área de la
región sombreada?
8
A. 80
8.
B. 8
C. 10
D. 16
E. 16 + 80
C
B
es un diámetro. Si m AB = 50°, entonces m  BAC = ?
En la figura
O
A. 25°
B. 50°
C. 65°
D. 90°
E. 130°
A
9.
10.
En la figura, los círculos son tangentes y tienen radio igual a 10. Si se unen los
centros de los círculos se forma un cuadrado. ¿Cuál es el área de la región
sombreada?
D
A. (400 – 100)
B. 400 – 100
D. 400 – 100
E. 400 – 400
B
C. 100 – 400
En la figura, la medida del arco AB es 30°, y la medida del BPA es 35°.
Los medidas del arco CD y el ángulo DAC (en grados) son respectivamente
P
A
C
A. 100 y 25
B. 50 y 50
D. 50 y 25
E. 25 y 50
C. 100 y 50
11. La expresión (p + q) p = (r + s) r, se cumple en la situación representada por
r
r
s
q
s
p
A
r
q
B
p
r
q
p
s
p s
q
C
D
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12. En la figura se dan tres semicircunferencias mutuamente tangentes. CD y DA son diámetros de las
circunferencias menores. El punto B está en la semicircunferencia mayor. BD  CA . Si BD = 2, entonces
el área sombreada es igual a
B
B. 
A. 1
C
D
C. 2
D.
A
3
4
9
4
E.
13. Las medidas de los arcos AB y AC se indican en la figura. La medida del BAC es
A
110°
130°
C
A. 55°
B
B. 60°
C. 65°
D. 110°
E. 130°
14. En la figura, BC une los centros de los círculos tangentes. AB  BC , BC = 8 y AC = 10, entonces la
longitud de la circunferencia pequeña es igual a
A
B
A. 
C
15.
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
La figura representa un hexágono regular, ¿cuál es el valor de x?
x
A. 3 3
16.
B. 6 3
C. 6
D. 18
E. 9 3
A
B
C
0.4
La figura representa un círculo inscrito en un cuadrado que a su vez
está inscrito en otro cuadrado. B es punto medio de AC ¿Cuál es el área
de la región sombreada?
A. 0.025
B. 0.048
C. 0.1428
D. 0.153
E. 0.1582
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17.
A
Los segmentos AC y BD se cortan en P y son tangentes a las
circunferencias en los puntos A, C, B y D.
B
P
Si AC = 31, PB = 19 ¿Cuál es el valor de AP?
C
D
A. 6
B. 12
C. 15
D. 25
E. 50
18. Seis triángulos equiláteros de 1 cm. de lado se unen para formar un hexágono como se muestra en la
figura. Se circunscribe un círculo alrededor del hexágono ¿cuál es el área de la región sombreada?
3
) cm2
2
A. ( 
D.
B. ( 
 3
cm2
3
3 3
) cm2
2
C. (2 
3
) cm2
2
E. (2  3 3 ) cm2
19. Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia como se muestra en la figura. Se tiene m A = 50º y
m C = 60º. Se trazan tangentes por A, B y C de manera que se forma el triángulo circunscrito A’B’C’.
Entonces la medida del ángulo A’ es:
C’
B
A’
A. 40º
B. 60º
C. 80º
D. 100º
E. 120º
C
A
B’
20. El triángulo ABC es equilátero y sus lados AC y BC son tangentes a la circunferencia con centro en O y
radio
3 . El área del cuadrilátero AOBC es
A
C
O
6
A. 3
B.
D. 6
E. 12
C 3 3
B
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21. Si un ángulo central de 30° en una circunferencia intercepta un arco de 6 m de longitud, entonces el radio
de la circunferencia mide
A. /36
B. /6
C. 
D. 36/
E. 180
22.
En la figura se tiene una circunferencia de radio 1 y un hexágono regular de lado
1. Si O es el centro de la circunferencia, entonces el área de la región sombreada
es
O
A. 0.5
23
B. 0.866
C. 1
D. 1.5
E. 2
Los arcos AB y BC son semicírculos cuyos centros están sobre un diámetro
del círculo que se muestra en la figura.
A
B
C
Si BC = 2 AB, entonces la razón entre el área de la región sombreada y el
área de la región no sombreada es:
A. 2
B.
C. 1
D.
E.
24. Una moneda circular de radio 1, está sobre una mesa. Si ponemos cuatro monedas más grandes de igual
tamaño alrededor de ella, ¿cuál es el radio de las monedas grandes que permite que cada una sea tangente a
las dos adyacentes y a la de radio 1?
B. 1 + 2
A. 1
C. 2
2
D. 2 +
E. 2.5
25. En la siguiente figura ABC y AEB son semicírculos, F es el punto medio del diámetro AC, B es punto
medio del arco AC y AF = 1¿Cuál es el área de la región sombreada?
B
E
A
A. 1/2
B. 2
C. /4
F
D. 3/4
C
E. /4 – 1/2
26. Si el radio de un círculo aumenta en  unidades, ¿cuánto aumenta su perímetro?
A. 
B. 2
C. 3
D. 2
E. 22
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27. Dos semicírculos de radio 3 están inscritos en un semicírculo de radio 6 como se muestra en la figura. Un
círculo de radio r es tangente a los tres semicírculos. ¿Cuánto vale r ?
r
A. 1
B. 1.5
C. 2
D. 2.5
E. 3
28.
En la figura los círculos adyacentes son tangentes y tienen radio 1.
¿Cuánto vale el área de la región sombreada?
A
29.
B
O
C
A. 6
– 3
B. 3
– 2
D. 6
–1
E. 6 – 3
C. 2 – 1
En la figura, m  BCA = 90º, BA = 5 y AC = 3. ¿Cuál es el área del círculo con centro en
O?
A. 16
B. 8
C. 6
D. 5
E. 4
30. El lado mayor del rectángulo de la figura mide 20. La curva trazada en su interior está formada por cinco
semicircunferencias ¿cuál es la longitud de la curva?
A. 25 
B. 20
C. 15
D. 10
E. 5
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31
La figura muestra dos segmentos perpendiculares tangentes a ambas
circunferencias, las cuales son tangentes entre sí. Si el radio de la circunferencia
pequeña mide 1, entonces el radio de la circunferencia más grande mide
A. 3 + 2
B. 4
C. 6
D. 4 + 2
E. 8
32. Tres círculos de radio 1, con sus centros colineales son tangentes como se muestra en la figura. ¿Cuál es
el área de la región sombreada?
B. 4 – 
A. 8 – 2
C. 12 – 3
D. 8 – 3
E. 4 + 
33. La figura muestra un hexágono regular inscrito en un círculo. Si el área del círculo es 1, ¿cuánto mide el
área del triángulo ABC?
O

A
C
A.
B.
C.
D.
E.
B
34. ¿Qué polígono regular tiene la misma cantidad de diagonales que de lados?
A. Pentágono
B. Hexágono
C. Octógono
D. Decágono
E. Dodecágono
35. Sean O el centro de una circunferencia de radio r y ED = r. Si mDEC = k  (m BOA), entonces el
valor de k es:
B
D
A
O
C
E
A.
B.
C. 1
D. 2
E. 3
36 . Si se aumenta el radio de un círculo en un 100%, ¿en qué porcentaje aumenta su área?
A. 50%
B. 100%
C. 200%
D. 100%
E. 300%
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37. Se tienen tres círculos concéntricos de radios 1, 2 y 3 respectivamente. ¿Cuál es la razón entre el área de
la región cuadriculada y el área de la región oscura?
A.
B.
C.
D.
E. 2
38. El segmento AB es diámetro de una circunferencia de radio 1 y lado del triángulo equilátero ABC. Si la
circunferencia corta a AC y BC en los puntos D y E respectivamente, entonces la longitud AE es:
A. 1
B.
3
C.
3
2
D.
5
3
E.
2 3
2
39. En una circunferencia se tienen dos cuerdas paralelas de longitudes 10 y 14 que distan 6 entre sí.
Entonces la longitud de la cuerda paralela a ambas y que equidista de ellas mide:
A. 11
B. 12
C. 13
D.
184
E.
192
40. Un triángulo equilátero y un hexágono regular están inscritos en el mismo círculo. Si se divide el área del
hexágono entre el área del triángulo se obtiene:
A. 1.5
B. 2
C. 2.5
D.
3
E. 3
IV. VOLUMEN
CUERPOS SÓLIDOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
En el prisma recto de la figura, las bases son triángulos equiláteros, con perímetros de 30
cm.. Si la altura del prisma es 10 cm. ¿cuál es el área total de la superficie del prisma?
A. 100
B.
C. 100
D. 300
E. 50
+ 300
2. Tres vértices de un cubo, de los cuales no hay dos que estén en la misma arista, se unen para formar un
triángulo. Si la arista del cubo tiene longitud 1, ¿Cuál es el área del triángulo formado?
A.
6
2
B.
3
2
C.
2
2
D.
6
4
E.
3
4
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B
3.
A
D
C
La figura representa un cubo. La intersección del plano ABG y el plano BCE es la
recta
G
E
F
4.
De un cubo de 5” de arista se forma un cilindro circular recto de 3” de diámetro, entonces
el volumen de la parte sobrante del cubo, en pulgadas cúbicas, es aproximadamente
A. 8
B. 10
C. 80
D. 90
E. 100
5. La altura de un prisma rectangular es un tercio de su longitud y el ancho es la mitad de su longitud. Si la
diagonal del prisma mide 30 cm., su volumen es
A. 900 cm3
B. 1688.25 cm3
C. 2833.8 cm3
D. 4583.5 cm3
E. 9000 cm3
6. Al introducir un trozo de metal en un tanque rectangular con agua, de dimensiones 50 cm. x 37 cm., el nivel
del agua subió 1 cm. ¿cuál es el volumen del trozo de metal?
A. 13 cm3
B. 87 cm3
C. 88 cm3
D. 1850 cm3
E. 9250 cm3
7. ¿Cuál es el número máximo de diagonales que pueden trazarse sobre las caras de un cubo de manera que no
hayan dos diagonales que tengan un punto en común?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6
c
8. En la figura se muestra un paralelepípedo rectangular. Si a = 2b y b =
, ¿Cuál es el volumen en términos
2
de c?
a
c
b
2
A.
c
2
B. 2c 2
C. c 3
D.
c3
2
E.
c3
4
9. El área de la base de una pirámide es 45 y el área de una sección transversal es 20. Si la altura de la pirámide
es 6 ¿a qué distancia de la sección transversal está el vértice?
A. 1.5
B. 2.25
C. 4
D. 4.75
E. 5
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10. El área de la base de una pirámide es 45 y el área de una sección transversal es 20. Si la altura de la
pirámide es 6 ¿cuál es la razón entre los volúmenes de la pirámide mayor y la menor?
A. 3/2
B. 2
C. 9/4
D. 3
E. 27/8
11. La base de una pirámide es un triángulo equilátero cuyo perímetro es 12. Si la altura es 10, el volumen de la
pirámide es
40 3
40
C.
D. 40 3
E. 120
3
3
12. En un tronco de pirámide, la altura mide 10 m y las bases son cuadradas de 5 m y 9 m de lado
respectivamente. Hallar la diferencia (en m3 ) entre su volumen y la de un prisma recto de igual altura y de base
igual a la sección del tronco paralela a las bases y equidistante de ellas.
A. 40
B.
A. 4
B. 7
C. 40
D.
40
3
E. 70
13. En una pirámide cuadrada, en la que el lado de la base mide 8 cm y la altura mide 20 cm, se traza una
sección paralela a la base a 14 cm de ésta. Entonces el área de dicha sección es
A. 2.14 cm2
B. 5.76 cm2
C. 16.32 cm2
D. 31.36 cm2
E. 44.08 cm2
14. Los diámetros de dos cilindros circulares rectos concéntricos son 12 y 6 pulgadas respectivamente y la
generatriz común es de 20 pulgadas, entonces el volumen del espacio que queda entre ambos cilindros es
A. 270 pulg3
B. 270 pulg3
C. 540 pulg3
D. 540 pulg3
E. 2160 pulg3
15. El volumen de una cisterna cilíndrica es 1200 m3 y su altura es igual al diámetro, por lo tanto su área total es
A. 190.98 m2
B. 576.25 m2
C. 600 m2
625.13 m2
D.
E. 712 m2
16. Un cono de revolución tiene 13 cm. de generatriz y el radio de la base es de 5 cm. Se corta por un plano
paralelo a la base que corta a la generatriz en un punto distante 5.2 cm. del vértice. Entonces el volumen del
tronco de cono formado es
A. 351.52 cm3
B. 294.05 cm3
C. 202.8 cm3
D. 135.2 cm3
E. 67.6 cm3
17. Dado un cono circular recto con radio 3 m y generatriz 5 m, entonces su área lateral es
A. 2
B. 12
C. 15
D. 16
E. 30
18. El área lateral de un tronco de cono que se forma cuando se corta un cono recto de 6 cm. de radio y 8 cm.
de altura, por medio de un plano paralelo a la base del cono y que lo corta a una altura de 4.5 cm. es
A. 304.84 m2
B. 216 m2
C. 152.42 m2
D. 84.82 m2
E. 28.27 m2
19. Dos esferas de metal de radios 2a y 3a se funden juntos para hacer una esfera mayor. El radio de la nueva
esfera es
A. 2.5a
B. 5a
C. 6.5a
D.
3
35 a
E.
5a

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20. Un cono tiene una altura igual al doble de su radio. Una esfera tiene un radio igual al radio de la base del
cono. La razón entre el volumen del cono y el volumen de la esfera es
A. 1/2
B. 1
C. 3/2
D. 2
E. 4
21. Un cono tiene una altura igual al triple de su radio. Una esfera tiene un radio igual al radio de la base del
cono. La razón entre el volumen del cono y el volumen de la esfera es
A. 1/2
B. 1
C. 3/2
D. 3/4
E. 3
22. La altura de un cono es 5 cm. Un plano a 2 cm. del vértice es paralelo a la base del cono. Si el volumen del
cono más pequeño es 24 cm3 , el volumen del cono más grande es
A. 750 cm3
B. 375 cm3
C. 240 cm3
D. 120 cm3
E. 48 cm3
23. Un cubo está inscrito en una esfera. Si el área de la superficie total del cubo es
40 2
m , entonces el área

de la superficie de la esfera es
A. 10 m2
B. 15 m2
C. 20 m2
D. 30 m2
E. 40 m2
24. La base de una pirámide hexagonal tiene un área de 26 m 2. Si el volumen de dicha pirámide es 78 m3,
entonces su altura mide
A. 3 m
B. 4 m
C. 6 m
D. 9 m
E. 12 m
C
25
Si el cono de la figura tiene un volumen de
1000 3  3
cm , C es el
9
vértice, AB un diámetro y mACB = 120°, entonces el diámetro de la
base, en centímetros, es
A
B
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
E. 30
26. El área de la superficie total de un cubo es 12 m 2. Entonces la longitud de su diagonal es
A.
2
B.
3
C. 2
D.
5
E.
6
27. Si la generatriz de un cono mide 25 m y el diámetro de su base es 8 m, su volumen mide
A. 200 m3
B. 400 m3
C. 413.48 m3
D. 418.88 m3
E. 1587.4 m3
28. En una esfera de radio 2, se tiene inscrito un cilindro de manera que el diámetro del cilindro es igual al
radio de la esfera. Entonces el área lateral del cilindro es
A. 4
B. 8
C. 2 3
D. 4 3 
E. 8 3
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UNIDAD DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
1. El triángulo de vértices 𝐴(−5, −1), 𝐵(2, 3) y 𝐶(3, −2) es:
a) Isósceles
b) Equilátero
c) Rectángulo
d) Rectángulo isósceles
2. El perímetro 𝑃 y el área 𝐴 del cuadrilátero cuyos vértices son 𝐴(−3, −1),
𝐵(0,3), 𝐶(3,4) y 𝐷(4, −1) son:
a) 𝑃 = 20 𝑢, 𝐴 = 22 𝑢2
b) 𝑃 = 22 𝑢, 𝐴 = 22 𝑢2
c) 𝑃 = 20 𝑢, 𝐴 = 22 𝑢
d) 𝑃 = 20 𝑢2 , 𝐴 = 22 𝑢2
3. Los vértices de un triángulo son 𝐴(3,8), 𝐵(2, −1), 𝐶(6, −1). La longitud de la
̅̅̅̅ es:
mediana trazada al lado 𝐵𝐶
b) 28
a) √28
d) 82
c) √82
4. Los vértices de un cuadrado son (−1,3), (3, −1), (−1, −1) y (3,3). La longitud
de sus diagonales es:
a) 2
b) 4
c) 4√2
d) 3√2
5. Dos vértices opuestos de un cuadrado son (5,1) y (−1,3). El área del cuadrado
es:
a) 40 𝑢²
b) 20 𝑢²
c) 10 𝑢²
d) 16 𝑢²
6. Uno de los extremos de un segmento de longitud 5 es el punto (3, −2). Si la
abscisa del otro extremo es 6, su ordenada es:
a) 3
b) 2
c) −6
d) b y c son verdaderos
7. Sea un segmento cuyos extremos son los puntos 𝐴(−2,3) y 𝐵(6, −3). Los
puntos de trisección del segmento son:
2
10
a) (3 , 1), ( 3 , −1)
2
10
c) (− 3 , 1), ( 3 , −1)
2
10
b) (3 , −1), ( 3 , 1)
2
10
d) (3 , 1), ( 3 , 1)
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8. Uno de los extremos de un segmento es el punto (7,8) y su punto medio es
(4,3). El otro extremo es:
a) (1,2)
b) (−1, −2)
c) (−1,2)
d) (1, −2)
9. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3,2). Si la abscisa de otro punto
de la recta es 4, su ordenada es:
a) −5
b) 5
c) −4
d) 4
10. Dados los puntos 𝐴(3,2) y 𝐵(5,4) halla un punto 𝐶, alineado con 𝐴 y 𝐵, de
manera que se obtenga
21 16
a) ( 5 , 5 )
𝐶𝐴
𝐶𝐵
=
b) (−
3
2
21 16
5
, 5)
21
16
c) ( 5 , − 5 )
d) (2, 3)
11. Dado el segmento de extremos 𝑃₁(3, −2) y 𝑃₂(−4,1), encuentre las
coordenadas del punto 𝑃 que lo divide en la razón −2
a) (11,4)
b) (−11,4)
c) (5,4)
d) (11, −4)
12. En un triángulo el baricentro 𝐵(𝑥, 𝑦) es tal que las distancias de este punto al
vértice 𝑀(2,4) y al punto medio 𝑁(1, −1) del lado opuesto están en la relación
𝑀𝐵
𝑀𝑁
= 2. Las coordenadas del punto 𝐵 son:
4 2
a) (3 , 3)
4 2
b) (− 3 , 3)
2 4
c) (− 3 , 3)
d) (2, 1)
13. Las coordenadas del punto que divide al segmento con extremos 𝐴(−1,4) y
1
𝐵(−5, −8) en la razón − 3 son:
a) (1, −2)
b) (2, −1)
c) (1,10)
d) (−1,10)
14. Las coordenadas del punto que divide al segmento con extremos 𝐴(3,2) y
𝐵(−1, −1) en la razón
a) (2,1)
1
2
son:
b) (−1,2)
5
c) (− 3 , −1)
5
d) (3 , 1)
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15. Encontrar el punto medio del segmento cuyos extremos son 𝐴(5,4); 𝐵(−3,8)
a) (1,6)
b) (6, 1)
c) (−1,6)
d) (1, −6)
16. El punto medio de un segmento es (2,2). Si uno de sus extremos es (−2,3), el
otro es:
a) (6,1)
b) (6,3)
c) (6, −3)
d) (6, −1)
17. Encuentre los extremos del segmento cuyo punto medio es (2,1), si la abscisa
de uno de ellos es 𝑥 = 6 y la ordenada del otro es 𝑦 = −1.
a) (6,1); (−2, −1)
b) (6,3); (−2, −1)
c) (6, −3); (−2; −1)
d) (6, −1); (2; −1)
18. Una recta 𝑙₁ pasa por los puntos 𝐴(3,2) y 𝐵(−4, −6) y otra recta 𝑙₂ pasa por los
puntos 𝐶(−7,1) y el punto 𝐷(𝑥, −6). Sabiendo que 𝑙₁ es perpendicular a 𝑙₂, el
valor de 𝑥 es:
a) −1
b) 3
c) −3
d) 1
19. Dados los vértices de un triángulo 𝐴(2,0), 𝐵(1, −3) y 𝐶(2, −5), el otro extremo
de la mediana correspondiente a 𝐵 es:
5
a) (2, − 2)
1
b) (0, 2)
5
c) (2 , 0)
3
d) (2 , 0)
20. La mediatriz del segmento determinado por los puntos 𝐴(−2,3) y 𝐵(4,1) pasa
por el punto:
a) (2,3)
b) (3,4)
c) (−2,1)
d) (1,2)
21. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos (−4, −1) y (5,2).
a) 2
b)
1
2
c)
1
3
d) 3
22. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos (−3,3) y (4, −4).
a) 2
b) 1
c) 3
d) −1
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23. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos (−5,2) y (−5, −4).
a) No existe
b) 0
c) 6
d) −2
24. La pendiente de la recta que pasa por los puntos (𝑥, −3) y (−2,6) es 3, el
valor de 𝑥 es:
a) 2
b) 5
c) 6
d) −5
25. La pendiente de la recta que pasa por los puntos (−3,4) y (1, 𝑦) es cero,
entonces el valor de la ordenada es:
a) 3
b) 0
c) No existe
d) 4
26. Una recta de pendiente −2 pasa por el punto 𝐴(−1,4). Hallar su ecuación en la
forma simétrica.
𝑦
a) 𝑥 + 3 = 1
𝑦
b) 𝑥 + 2 = 2
𝑥
c) 𝑦 + 2 = 2
𝑦
d) 𝑥 + 2 = 1
27. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es −4 y que pasa por el punto de
intersección de las rectas 2𝑥 + 𝑦 − 8 = 0 y 3𝑥 − 2𝑦 + 9 = 0.
a) 4𝑥 + 3𝑦 − 10 = 0
b) 4𝑥 + 𝑦 − 9 = 0
c) 𝑥 − 2𝑦 − 8 = 0
d) 4𝑥 + 𝑦 − 10 = 0
28. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son 𝑃₁(−3,2) y
𝑃₂(1,6).
a) 𝑥 + 𝑦 + 3 = 0
b) 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0
c) 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0
d) 𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0
29. Una recta pasa por el punto 𝐴(7,8) y es paralela a la recta que pasa por los
puntos 𝐶(−2,2) y 𝐷(3, −4). Su ecuación es:
a) 𝑥 + 𝑦 − 82 = 0
b) 6𝑥 + 5𝑦 − 82 = 0
b) c) 𝑥 + 6𝑦 − 82 = 0
d) 6𝑥 − 5𝑦 + 82 = 0
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30. Hallar el valor de 𝑘 para que la recta 𝑘²𝑥 + (𝑘 + 1)𝑦 + 3 = 0 sea perpendicular
a la recta 3𝑥 − 2𝑦 − 11 = 0.
a)
2±√7
3
b)
1+√3
c)
2
31. Sean las rectas paralelas 3𝑥 − 4𝑦 + 8 = 0 y
entre ellas es:
a) 10
b)
10
1±√2
7
1±√7
3
6𝑥 − 8𝑦 + 9 = 0. La distancia
7
c) 7
7
d)
d) 10
32. Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos (−2,1),
(3,4) y (5, −2).
a) 77°28′16′′, 54°9′44′′ y 49°12′59′′
b) 50°28′16′′, 54°9′44′′ y 48°21′59′′
c) 77°28′16′′, 54°9′44′′ y 48°21′59′′
d) 72°28′16′′, 59°9′44′′ y 48°21′59′′
33. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45°. La recta inicial pasa por los
puntos (−2,1) y (9,7) y la recta final pasa por los puntos (3,9) y 𝐴 cuya
abscisa es −2. La ordenada de 𝐴 es:
a) −3
b) 8
c) −8
d) 0
34. Una recta 𝑙₁ pasa por los puntos (3,2) y (−4, −6) y la otra recta pasa por el
punto (−7,1) y el punto 𝐴 cuya ordenada es −6. Hallar la abscisa del punto 𝐴,
sabiendo que 𝑙₁ es perpendicular a 𝑙₂.
a) 1
b) 5
c) −1
d) −5
35. Encuentre la pendiente y el ángulo de inclinación de una recta paralela a la
recta que pasa por los puntos (1, −2) y (3,8).
a) 5 y 78°41′24′′
b) 4 y 41°78′24′′
c) 5 y 24°41′78′′
d) 4 y 78°41′24′′
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36. Hallar los ángulos agudos del triángulo rectángulo cuyos vértices son 𝐴(2,5),
𝐵(8, −1) y 𝐶(−2,1).
a) 59°18′31′′ y 30°41′20′′
b) 56°18′35′′ y 33°41′24′′
b) c) 24°18′35′′ y 65°41′24′′
d) 56°38′35′′ y 33°21′24′′
37. La ecuación de una circunferencia es 𝑥² + 𝑦² = 50. El punto medio de una
cuerda de esta circunferencia es el punto (−2,4). La ecuación de la cuerda es:
a) 𝑥 − 2𝑦 − 10 = 0
b) 𝑥 − 2𝑦 + 10 = 0
b) c) 𝑥 + 2𝑦 + 10 = 0
d) 2𝑥 − 2𝑦 + 10 = 0
38. Un espejo parabólico tiene una profundidad de 12 𝑐𝑚 en el centro y un
diámetro en la parte superior de 32 𝑐𝑚. ¿Cuál es la distancia del vértice al
foco?
a)
16
16
b) − 3
3
c)
3
d) 4
16
39. La ecuación de la hipérbola de centro en el origen, longitud del eje transverso
12 y pasa por el punto (8, 14) es:
a)
𝑥²
252
−
𝑦²
36
=1
b)
𝑥²
36
−
𝑦²
252
=1
c)
y²
252
−
x²
36
=1
d)
𝑥²
252
+
𝑦²
36
=1
40. En una elipse, los radios focales son los segmentos que unen los focos con un
punto cualquiera de ella. Las ecuaciones de las rectas que contienen los
radios focales correspondientes al punto (2, 3) de la elipse 3𝑥² + 4𝑦 = 48 son:
a) 𝑥 − 2 = 0; 3𝑥 − 4𝑦 + 6 = 0
c) 𝑥 − 2 = 0; 3𝑥 + 4𝑦 + 6 = 0
b) 𝑥 + 2 = 0; 3𝑥 − 4𝑦 + 6 = 0
d) 𝑥 + 2 = 0; 3𝑥 + 4𝑦 − 6 = 0
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41. La ecuación de una hipérbola con centro en el origen, longitud del eje
transverso 8, excentricidad
a) 7𝑥² + 9𝑦² = 112
c) 7𝑦² − 9𝑥² = 112
4
3
y con focos sobre el eje 𝑋 es
b) 9𝑥² − 7𝑦² = 112
d) 7𝑥² − 9𝑦² = 112
42. El filamento de una lámpara de flash está a
3
8
de pulgadas del vértice del
reflector parabólico y se encuentra en su foco. La ecuación del reflector,
suponiendo que está dirigido hacia la derecha y su vértice en el origen es
a) 3𝑥 − 2𝑦² = 0
b) 3𝑥 + 2𝑦² = 0
c) 2𝑥 − 3𝑦² = 0
d) −3𝑥 − 2𝑦² = 0
43. Una parábola cuyo foco es 𝐹(0, 6) y la ecuación de la directriz es 𝑦 = −6, tiene
por ecuación:
a) 𝑥² = 24𝑦
b) 𝑦² = 24𝑥
c) 𝑥² = −24𝑦
44. Si la excentricidad de una cónica es
a) Parábola
b) Elipse
d) 𝑦² = −24𝑥
5
, entonces se trata de una
2
c) Circunferencia
d) Hipérbola
45. La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por (−3, 4)
es
a) 𝑥² + 𝑦² = 16
b) 𝑥² + 𝑦² = 25
c) 𝑥² + 𝑦² = 9
d) 𝑥² − 𝑦² = 25
46. De los siguientes puntos el único que se encuentra sobre la circunferencia
𝑥² + 𝑦² = 1 es
a) (√2, −1)
1
√3
,− )
2
2
b) (
c) (1, 1)
d) (−1, −1)
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47. Si los extremos de un diámetro de una circunferencia con centro en el origen
son (√5, 2) y (−√5, −2), la ecuación de dicha circunferencia es
a) 𝑥² + 𝑦² = 9
b) 𝑥² + 𝑦² = 3
c) 𝑥² + 𝑦² = 16
d) 𝑥² − 𝑦² = 9
48. Si (2, 2) es el punto medio de una cuerda en la circunferencia 𝑥² + 𝑦² = 16, la
ecuación de dicha cuerda es
a) 2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0
b) 𝑥 + 𝑦 − 4 = 0
c) 𝑥 − 𝑦 − 4 = 0
d) 𝑥 − 𝑦 + 4 = 0
49. La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el
punto de intersección de las rectas 3𝑥 + 3𝑦 = 15 y 2𝑥 − 2𝑦 = −2 es
a) 𝑥² − 𝑦² = 13
b) 𝑥² + 𝑦² = 13
c) 𝑥² + 𝑦² = 9
d) 𝑥² + 𝑦² = 11
50. La ecuación de una elipse con focos en (±√5, 0) y longitud del eje mayor igual
a 6 es
a) 9𝑦² − 4𝑥² = 36
b) 4𝑥² + 9𝑦² = 36
c) 9𝑥² + 4𝑦² = 36
d) 4𝑥² − 9𝑦² = 36
51. La ecuación de una parábola que tiene su foco en el punto 𝐹(2, 0) y su
directriz es la recta de ecuación 𝑥 = −2 es
a) 𝑦² = −8𝑥
b) 𝑦² = 8𝑥
1
1
c) 𝑦² = − 8 𝑥
d) 𝑦² = 8 𝑥
52. Dada la parábola que tiene por ecuación 𝑥² = −6𝑦, encontrar las coordenadas
del foco y la ecuación de la directriz
3
3
a) 𝐹 (0, − 2) y 𝑦 = − 2
3
3
c) 𝐹 (2 , 0) y 𝑥 = − 2
3
b) 𝐹 (0, − 2)
3
3
y 𝑦=2
3
d) 𝐹 (− 2 , 0) y 𝑥 = 2
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53. Las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz de la parábola 𝑥 =
1
− 4 𝑦² son respectivamente
a) (1, 0) y 𝑥 = 1
c) (0, −1) y 𝑥 = −1
b) (−1, 0) y 𝑥 = 1
d) (1, 0) y 𝑥 = −1
54. La ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco (−√2, 0) es
a) 𝑦 2 = 4√2𝑥
c) 𝑦² = −4√2𝑥
b) 𝑥 2 = 4√2𝑦
d) 𝑥² = −4𝑦
55. El foco y la directriz de la parábola 2𝑦 − 𝑥² = 0 son respectivamente
1
c) ( ,
2
1
1
a) (0, 2)
1
) y 𝑦=
2
1
b) ( , 0) y 𝑦 = 2
y 𝑦 = −2
2
1
−2
1
1
d) (0, 2) y 𝑦 = − 2
56. La ecuación de la parábola cuyo foco es (4, 0) y directriz 𝑥 = −4 es
a) 𝑦² = 16𝑥
b) 𝑦² = −4𝑥
c) 𝑦² = 4𝑥
d) 𝑦² = −16𝑥
57. La ecuación de la parábola cuyo eje de simetría es el eje 𝑌, vértice en el
origen y que pasa por (−2, −2) es
a) 𝑥 2 = 2𝑦
b) 2𝑥 2 = −𝑦
c) 𝑥 2 = −2𝑦
d) 𝑥 2 = −𝑦
58. Si la longitud del eje mayor es 16 y la distancia focal es 8, entonces la
ecuación de la elipse con eje focal en el eje 𝑌 es
a)
𝑥²
48
−
𝑦²
64
=1
b)
𝑥²
48
+
𝑦²
64
=1
c)
𝑥²
64
+
𝑦²
48
=1
d)
𝑥²
64
−
𝑦²
48
=1
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4
59. Si la excentricidad es
5
y la distancia focal es 16, la ecuación de la elipse con
eje focal en el eje 𝑋 es
a)
𝑥²
100
+
𝑦²
36
=1
b)
𝑥²
36
+
𝑦²
100
=1
c)
𝑥²
𝑦²
−
100
36
=1
𝑥²
d)
16
+
𝑦²
36
=1
60. La excentricidad de la elipse 2𝑥² + 4𝑦² = 8 es
a)
√2
2
b)
√3
2
c)
√3
3
√2
d) − 2
61. El único punto que no pertenece a la elipse con focos sobre el eje 𝑋, eje
mayor 20 y eje menor 10 es:
5√ 3
)
2
a) (−5,
b) (5,
5√ 3
)
2
2 √3
)
2
c) (5,
5√ 3
d) (5, − 2 )
62. La ecuación de la elipse que pasa por (3, 2√3), con vértice correspondiente
al eje menor (0, 4) es
a)
𝑥²
16
+
𝑦²
36
=1
b)
𝑥²
36
−
𝑦²
16
=1
c)
𝑥²
36
𝑦²
+
16
= −1
d)
𝑥²
9
+
𝑦²
36
=1
63. Los focos de la hipérbola 4𝑥² − 9𝑦² = 36 son
a) (0, ±√13)
b) (±13, 0)
c) (0, ±13)
d) (±√13, 0)
64. Las asíntotas de la hipérbola 25𝑦² − 16𝑥² = 400, son:
4
a) 𝑦 = ± 5 𝑥
4
5
b) 𝑥 = ± 5 𝑦
5
c) 𝑦 = ± 4 𝑥
d) 𝑥 = ± 4 𝑦
3
65. La ecuación de la hipérbola con asíntotas 𝑦 = ± 2 𝑥, es
a)
𝑥²
4
−
𝑦²
9
=1
b)
𝑥²
2
−
𝑦²
3
=1
c)
𝑥²
4
+
𝑦²
9
=1
d)
𝑥²
9
−
𝑦²
4
=1
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66. Las coordenadas de los vértices de una hipérbola son (±1, 0) y sus focos
(±2, 0). Entonces su ecuación es
a)
𝑥²
1
−
𝑦²
3
=1
b)
𝑥²
1
+
𝑦²
3
=1
c)
𝑥²
3
−
𝑦²
1
=1
d)
𝑥²
1
−
𝑦2
3
= −1
67. La excentricidad de la hipérbola 𝑦² − 4𝑥² = 4 es
√5
a) − 2
b)
2
5
2
c) − √
√2
d)
√5
2
68. El foco y la directriz de una parábola cuya ecuación es 𝑦² = 36𝑥 son
respectivamente:
a) 𝐹(−9,0) y 𝑥 = 9
c) 𝐹(0, −9) y 𝑦 = 9
b) 𝐹(9, 0) y 𝑥 = −9
d) 𝐹(0,9) y 𝑦 = −9
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
DOSIFICACIÓN DE CONTENIDOS DE MATEMÁTICA
CURSO DE REFORZAMIENTO ESCOLAR A ESTUDIANTES DE
QUINTO AÑO
ENCUENTRO
1
2
3
4
CONTENIDO ANALÍTICO
UNIDAD I: ARITMETICA.
Operaciones con fracciones aritméticas: Suma, Resta,
Multiplicación, División y Potenciación. Problemas
de aplicación.
Notación Científica. Definición. Operaciones con
expresiones numéricas en notación científica.
Conversión de los diferentes sistemas de
Medidas: Longitud, superficie, capacidad,
volumen y peso. Problemas de aplicación.
Razones y Proporciones .Porcentajes, Interés
simple. Interés compuesto.
Regla de tres simple y compuesta (Directa e
Inversa). Problemas de aplicación.
UNIDAD II: ALGEBRA.
Productos Notables y Factorización (de acuerdo
al programa vigente del MINED)
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Simplificación
algebraicas.
y
operaciones
con
fracciones
5
Potenciación
y
radicación
de
expresiones
algebraicas:
Propiedades,
Operaciones
usando
potencias y radicales y Racionalización de
fracciones algebraicas
6
Resolución
de ecuaciones en una variable:
Lineales, Cuadráticas y reducibles a ellas.
7
Relación entre las raíces y los coeficientes de
la ecuación cuadrática (Teorema de Vieta, uso
del discriminante).
Sistemas de ecuaciones lineales en dos y tres
variables. Problemas de aplicaciones
Definición y propiedades de desigualdades:
Intervalos, Desigualdades lineales,
Desigualdades cuadráticas y cúbicas
(factorizable), Desigualdades racionales y
Desigualdades con valor absoluto
8
9
UNIDAD III: GEOMETRIA EUCLIDIANA
Conceptos generales: puntos, rectas, plano, relación
“estar entre”, segmento, rayo, semirrecta, ángulo,
perpendicularidad, paralelismo, rectas paralelas
cortadas por una secante
Polígonos regulares e irregulares. Problemas de
aplicación.
10
Puntos y rectas notables de un triángulo.
Congruencia de triángulos. Criterios de Congruencia
11
Teorema fundamental de la proporcionalidad y teorema
de Thales, Semejanza de triángulos y Criterios
fundamentales
Relaciones métricas en un triángulo rectángulo
(Teoremas: Pitágoras, Altura y de los Catetos)
Problemas de aplicación
12
Circunferencia: Radio, diámetro, cuerda, arco,
rectas tangentes y secantes, ángulos (Central,
Inscritos, semi inscritos, circunscritos, interiores
y exteriores). Relaciones métricas en una
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circunferencia. Problemas de aplicación.
Área de regiones planas: triángulo, cuadrilátero,
círculo y polígono regular. Área de sectores
circulares y sectores sombreados. Problemas de
aplicación
13
14
Definición y propiedades de cuerpos sólidos, áreas
laterales, totales y volúmenes de cuerpos sólidos:
Prisma, cono, cilindro, pirámide y esfera. (No
truncados). Problemas de aplicación.
UNIDAD IV: FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL
Definición y propiedades de las funciones en
general. Comportamiento analítico y grafico de
funciones Función constante. Función lineal. Función
cuadrática, Función valor absoluto. Función raíz
cuadrada. Función seccionada. Problemas de
aplicación.
15
Definición y propiedades de las Funciones
exponenciales y logarítmicas. Ecuaciones
exponenciales y logarítmicas. Problemas de
aplicación.
16
Razones trigonométricas. Conceptos, definiciones,
dominio, recorrido y gráficas de las tres funciones
trigonométricas fundamentales (Seno, coseno y
tangente).
Identidades y ecuaciones trigonométricas. (Ángulos
medios, sencillos y dobles, potencia hasta grado
dos).
17
Resolución de triángulos rectángulos y
oblicuángulos. Problemas de aplicación
UNIDAD V: GEOMETRIA ANALITICA PLANA
Elementos básicos de la geometría analítica en el
plano cartesiano: Distancia entre dos puntos.
División de un segmento en una razón dada.
Coordenadas del punto medio de un segmento.
18
19
La recta: Pendiente de una recta. Ecuaciones de la
recta: Punto-pendiente, cartesiana, pendienteordenada, simétrica y general. Ángulo entre rectas.
Condiciones de paralelismo y perpendicularidad.
Distancia de un punto a una recta. Distancia entre
dos rectas paralelas.
20
Estudio y determinación de los elementos, tipos de
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ecuaciones y gráficas de las cónicas con centro en
el origen: Circunferencia, Parábola, Elipse e
Hipérbola. Problemas de aplicación
Nota:
Se recomienda realizar una evaluación al finalizar cada unidad
desarrollada. El tipo de prueba deberá simular la estructura de un
examen de admisión (Selección múltiple).
En la unidad de Funciones se recomienda abordar los conceptos,
definiciones y propiedades. Características de las funciones
de
todos
los
tipos
(algebraicas
y
transcendentes)
según
su
comportamiento (Dominios, intercepto con los ejes coordenados,
paridad,
monotonía
(Creciente
y
decreciente),
asíntotas,
recorridos y gráficas).
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