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Periodo: 1 Guía de aprendizaje Institución educativa Villa del sol Desde: 14-01-13 Hasta: 22-03-13 Guía de aprendizaje # 2 Nombre: Unidad: Números Enteros Fecha: Grupo: Tema: suma – resta – multiplicación - división Continuación de la guía. Operaciones con números enteros Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que puede hacerse con los números naturales. 1. Suma de números enteros: Vamos a distinguir tres casos: a) Si todos los números son positivos se suman y el resultado es positivo: 3 + 4 + 8 = 15 b) Si todos los números son negativos se suman y el resultado es negativo: (-3) + (-4) + (-8) = -15 c) Si se suman números positivos y negativos, los positivos suman y los negativos restan: 3 + (-4) + 5 + (-7) Para desarrollar este ejercicio. Por un lado sumamos los números positivos: 3 + 5 = 8 Por otro lado sumamos los números negativos: (-4) + (-7) = -11 Ahora el resultado positivo suma y el negativo resta: 8 - 11 = -3 ¿Cómo a 8 le podemos restar 11? Ponemos como minuendo la cifra mayor (11) y como sustraendo la menor (8), pero el resultado toma cómo signo el de la cifra mayor (en este ejemplo toma el signo " - " porque 11 es negativo) 11 - 8 = 3 Pero le ponemos el signo " - ", luego el resultado es "-3" Periodo: Guía de aprendizaje Institución educativa Villa del sol 1 Desde: 14-01-13 Hasta: 22-03-13 Ejemplos. (+21) + (−13) = +8 (−41) + (+19) = −22 (+17) + (+26) = +43 (−33) + (−28) = −61 La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales: La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades: Propiedad asociativa: Dados tres números enteros a, b y c, las sumas (a + b) + c y a + (b + c) son iguales. Propiedad conmutativa: Dados dos números enteros a y b, las sumas a + b y b + a son iguales. Elemento neutro: Todos los números enteros a quedan inalterados al sumarles 0: a + 0 = a. Ejemplo. a. Propiedad asociativa: [ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44) (−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44) b. Propiedad conmutativa: (+9) + (−17) = −8 (−17) + (+9) = −8 Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números naturales: Elemento opuesto o simétrico. Para cada número entero a, existe otro entero −a, que sumado al primero resulta en cero: a + (−a) = 0. 2. Resta La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma. La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo. Periodo: Guía de aprendizaje Institución educativa Villa del sol 1 Desde: 14-01-13 Hasta: 22-03-13 Vamos a ver a continuación cuatro posibles casos: a) A un número positivo le restamos otro número positivo: 3–2 Realizamos la misma operación que con los números naturales 3-2=1 b) A un número positivo le restamos un número negativo: 3 - (-4) Lo tratamos como si fuera una suma, pero a la cifra que se resta (-4) le tenemos que cambiar el signo = 3 + (4) Se trataría ya de una suma normal: = 3 + (4) = 7 c) A un número negativo le restamos otro número negativo: (-3) - (-4) Lo tratamos como si fuera una suma, pero a la cifra que se resta (-4) le tenemos que cambiar el signo = (-3) + (4) 4-3=1 d) A un número negativo le restamos un número positivo: (-3) – 4 Lo tratamos como si fuera una suma, pero a la cifra que se resta (4) le tenemos que cambiar el signo (-4) = (-3) + (-4) = (-3) + (-4) = -7 Se trataría de una suma de dos números negativos. Es una suma normal pero el resultado tiene signo negativo: Ejemplos: (+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15 (−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4 (−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13 (+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7 Periodo: Guía de aprendizaje Institución educativa Villa del sol 1 Desde: 14-01-13 Hasta: 22-03-13 Multiplicación La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valor absoluto del resultado. En la multiplicación (o división) de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera: El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores. El signo es «+» si los signos de los factores son iguales, y «−» si son distintos. Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos: Regla de los signos (+) × (+) = (+) (+) × (−) = (−) (−) × (+) = (−) (−) × (−) = (+) Más por más igual a más. Más por menos igual a menos. Menos por más igual a menos. Menos por menos igual a más. Ejemplos: (+4) × (−6) = −24 (−7) × (+8) = −56 (+5) × (+3) = +15 (−9) × (−2) = +18 La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de números naturales: La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades: Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, los productos (a × b) × c y a × (b × c) son iguales. Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, los productos a × b y b × a son iguales. Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al multiplicarlos por 1: a × 1 = a. Ejemplo: 1. Propiedad asociativa: [ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140 (−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140 2. Propiedad conmutativa: (−6) × (+9) = −54 (+9) × (−6) = −54 Periodo: 1 Guía de aprendizaje Institución educativa Villa del sol Desde: 14-01-13 Hasta: 22-03-13 La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los números naturales, por la propiedad distributiva: Propiedad distributiva. Dados tres números enteros a, b y c, el producto a × (b + c) y la suma de productos (a × b) + (a × c) son idénticos. Ejemplo. (−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21 [ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) = −21 Taller práctico: Resuelva los siguientes ejercicios a) b) c) d) 15 – 6= 4 + 8= -3 – 15= -7 + 15= e) f) g) h) 3 – 10= - 7 + 7= -5 – 2= 9 + 15= Realizar las siguientes operaciones con números enteros , teniendo presente las propiedades de la suma y multiplicación : (3 − 8) + [5 − (−2)] = 5 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 = 9 X [6 X (− 2)] = [(−2) − (−3)] = [(5 + 3) x 2 x (6 − 4 )] x [(4 ÷ 2) − 3 + 7)] ÷[(7 – 8) ÷ (2 − 2) = [(17 − 15) + (7 − 12) ] ÷ [(6 − 7) · (12 − 23)] = Realizar las siguientes operaciones con números enteros: (7 − 2 + 4) − (2 − 5) = 1 − (5 − 3 + 2) − [5 − (6 − 3 + 1) − 2]= [(−12 · 3) + 18] ÷ (−12 ÷8) = Periodo: 1 Guía de aprendizaje Institución educativa Villa del sol Desde: 14-01-13 Hasta: 22-03-13 Bibliografía: wikipedia.org/wik matemáticas de PRENTICE HALL Ejemplo 1 3+5=8 Ejemplo 2 -5 + 4 = -1 finalmente tengo 8 resultado 8 Ejemplo 3 -2 - 8= -10 finalmente debo1 resultado -1 Ejemplo 4 8-5=3 finalmente debo 10 resultado -10 finalmente tengo3 resultado 3 Ejemplo 5 Ejemplo 6 7 - 12 = -5 finalmente debo 5 resultado -5 -3 + 8 = 5 finalmente tengo 5 resultado 5