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INSTITUTO HUMBOLDT
PARA LOS CICLOS 3 Y 4 (6,7,8,9)
HOLA ANIMO LA MATEMATICA ES LA HERRAMIENTA DE TU VIDA
TRABAJEREMOS ALGO MUY IMPORTANTE PONTE EL CINTURON
NUMERICO}
ACTIVIDAD:
Debes llevar Elaborados como mínimo 35 ejercicios resueltos
Número entero
Resta con negativos. La resta de dos números naturales no es un número natural
cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, sino que su valor es negativo: en
la imagen, sólo pueden sustraerse 3 plátanos, por lo que se apunta un plátano
«debido» o «negativo» (en rojo).
Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números
naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (...,
−3, −2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno»,
«menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el
cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se
escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le
escribe signo al número se asume que es positivo. El conjunto de todos los números
enteros se representa por la letra = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, que proviene
del alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).
Los números enteros no tienen parte decimal. Por ejemplo:
−783 y 154 son números enteros
45,23 y −34/95 no son números enteros
Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse,
multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de
los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.
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Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar
cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80
alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último
curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos
menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 =
−20 alumnos.
También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por
debajo del cero. La altura del Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y
por el contrario, la orilla del Mar Muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar;
es decir, su altura se puede expresar como −423 m.
Historia
Los números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las
operaciones suma y resta. Su empleo, aunque con diversas notaciones, se remonta
a la antigüedad.
El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos,
siempre representaban una cantidad de unidades no divisibles (por ejemplo,
personas).
No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos
europeos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano
los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de
tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por
los matemáticos de la India. [cita requerida]
Aplicación en contabilidad
Encuentran aplicación en los balances contables. A veces, cuando la cantidad
adeudada o pasivo, superaba a la cantidad poseída o activo, se decía que el
banquero estaba en «números rojos». Esta expresión venía del hecho que lo que
hoy llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así: 30
podía representar un balance positivo de 30 sueldos, mientras que 3 escrito con tinta
roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de 3 sueldos.
Introducción
Los números negativos son necesarios para realizar operaciones como:
3−5=?
Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede
realizarse. Sin embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto de números
negativos, como por ejemplo al hablar ganancias y pérdidas:
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Ejemplo: Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000
pesos y al día siguiente pierde 1000, el hombre ganó en total 2000 − 1000 = $ 1000.
Sin embargo, si el primer día gana 500 y al siguiente pierde 2000, se dice que perdió
en total 2000 − 500 = $ 1500. La expresión usada cambia en cada caso: ganó en
total o perdió en total, dependiendo de si las ganancias fueron mayores que las
pérdidas o viceversa. Estas dos posibilidades se pueden expresar utilizando el signo
de los números negativos (o positivos): en el primer caso ganó en total 2000 − 1000
= + $ 1000 y en el segundo ganó en total 500 − 2000 = − $ 1500. Así, se entiende
que una pérdida es una ganancia negativa.
Números con signo
Artículo principal: Signo (matemáticas).
Los números naturales 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan para
contar. Al añadirles un signo menos («−») delante se obtienen los números
negativos:
Un número entero negativo es un número natural como 1, 2, 3, etc.
precedido de un signo menos, «−». Por ejemplo −1, −2, −3, etcétera.
Se leen «menos 1», «menos 2», «menos 3»,...
Además, para distinguirlos mejor, a los números naturales se les añade un signo
más («+») delante y se les llama números positivos.
Un número entero positivo es un número natural como 1, 2, 3,...
precedido de un signo más. «+».
El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signo más o menos o sin
signo indistintamente, ya que sumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda
esta colección de números son los llamados «enteros».
Los números enteros son el conjunto de todos los números enteros con signo
(positivos y negativos) junto con el 0. Se les representa por la letra Z, también escrita
en «negrita de pizarra» como ℤ :
La recta numérica
Artículo principal: Recta numérica.
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Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el
cero. Para entender como están ordenados se utiliza la recta numérica:
Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto
más a la izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. A este número
se le llama el valor absoluto:
El valor absoluto de un número entero es el número natural que
resulta de quitarle el signo. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se
representa por dos barras verticales «| |».
Ejemplo. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0.
El orden de los números enteros puede resumirse en:
El orden de los números enteros se define como:



Dados dos números enteros de signos distintos, +a y −b, el negativo es
menor que el positivo: −b < +a.
Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos
números es:
o El de menor valor absoluto, si el signo común es «+».
o El de mayor valor absoluto, si el signo común es «−».
El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los
negativos.
Ejemplo. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36
Operaciones con números enteros
Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que
puede hacerse con los números naturales.
Suma
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En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se representan por el
tamaño del círculo y su color.
En la suma de dos números enteros, se determina por separado el signo y el valor
absoluto del resultado.
Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del
resultado del siguiente modo:


Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del
resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de
los sumandos.
Si ambos sumandos tienen distinto signo:
o El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor
absoluto.
o El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor
valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos
sumandos.
Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) +
(−28) = −61
La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números
naturales:
La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:



Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las sumas
(a + b) + c y a + (b + c) son iguales.
Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las sumas
a + b y b + a son iguales.
Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al
sumarles 0: a + 0 = a.
Ejemplo.
1. Propiedad asociativa:
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[ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)
(−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)
2. Propiedad conmutativa:
(+9) + (−17) = −8
(−17) + (+9) = −8
Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen
los números naturales:
Elemento opuesto o simétrico. Para cada número entero a, existe
otro entero −a, que sumado al primero resulta en cero: a + (−a) = 0.
Resta
La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de
la suma.
La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se
realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo.
Ejemplo. (+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15 , (−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13 , (−4) −
(−8) = (−4) + (+8) = +4 , (+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7
Multiplicación
La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por
separado el signo y valor absoluto del resultado.
En la multiplicación (o división) de dos números enteros se determinan el valor
absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera:


El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los
factores.
El signo es «+» si los signos de los factores son iguales, y «−» si son
distintos.
Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos:
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Regla de los signos




(+) × (+)=(+)Más por más igual a más.
(+) × (−)=(−)Más por menos igual a menos.
(−) × (+)=(−)Menos por más igual a menos.
(−) × (−)=(+)Menos por menos igual a más.
Ejemplo. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.
La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de
números naturales:
La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades:



Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, los
productos (a × b) × c y a × (b × c) son iguales.
Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, los
productos a × b y b × a son iguales.
Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al
multiplicarlos por 1: a × 1 = a.
Ejemplo.
1. Propiedad asociativa:
1. [ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140
(−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140
2. Propiedad conmutativa:
(−6) × (+9) = −54
(+9) × (−6) = −54
La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los
números naturales, por la propiedad distributiva:
Propiedad distributiva. Dados tres números enteros a, b y c, el
producto a × (b + c) y la suma de productos (a × b) + (a × c) son
idénticos.
Ejemplo.
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

(−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21
[ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) = −21
Propiedades algebraicas
Artículo principal: Propiedades de los números enteros.
El conjunto de los números enteros, considerado junto con sus operaciones de suma
y producto, tiene una estructura que en matemáticas se denomina anillo.
Más allá de su estructura algebraica, el conjunto de los números enteros tiene una
relación de orden.
Los números enteros pueden además construirse a partir de los números naturales
mediante clases de equivalencia.
Clasificación de números
Enteros
Racionales
Complejos
Naturales
Naturales primos
Naturales
compuestos
Cero
Enteros negativos
Reales
Fraccionarios
Irracionales
Fracción propia
Fracción impropia
Irracionales algebraicos
Trascendentes
Imaginarios puros
Ejercicios para resolver
Resuelve mínimo 5 de las siguientes sumas algebraicas
a) - 30 + 8 - ( - 5 ) + 1 - 5 - ( -3 ) + ( - 7 ) =
b) - 4 + ( - 2 + 1 ) + 5 - [ 3 - ( 1 - 2 ) + 4 ] + 1 - 2 =
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c) - 19 + ( - 4 ) - ( - 8 ) + ( - 13 ) - ( - 12 ) + 4 - 57 =
d) 3 - [ - 2 + 1 - ( 4 - 5 - 7 ) ] - 2 + [ - 3 - ( 5 - 6 - 1 ) + 2 ] =
e) - 8 + ( - 2 ) - ( - 10 ) - 2 + 5 =
f) ( 3 - 8 ) + ( - 5 - 2 ) - ( -9 + 1 ) - ( 7 - 5 ) =
g) - [ 12 + ( - 3 ) ] - ( - 4 ) - 5 + 6 - ( - 4 ) =
h) 5 + [ 2 - ( ( 4 + 5 - 3 ) + 6 ] - 1 - ( 3 + 5 ) =
i) - 4 ( 4 - 5 + 2 ) - 3 - { 1 - [ 6 + ( - 3 - 1 ) - ( - 2 + 4 ) ] + 3 - 4 } =
j) 10 - [ - 2 + ( - 3 - 4 - 1 ) + 1 - ( - 4 - 2 + 3 - 1 ) - 4 ] =
k) ( - 6 + 4 ) - { 4 - [ 3 - ( 8 + 9 - 2 ) - 7 ] - 35 + ( 4 + 8 - 15 ) } =
l) - 6 - { - 4 - [ - 3 - ( 1 - 6 ) + 5 ] - 8 } - 9 =
m) - 3 + { - 5 - [ - 6 + ( 4 - 3 ) - ( 1 - 2 ) ] - 5 } =
n) - ( 9 - 15 + 2 ) + { - 6 + [ 4 - 1 + ( 12 - 9 ) + 7 ] } - 3 =
o) - { 3 - 8 [ 4 - 3 + ( 5 + 2 - 10 ) - ( 4 - 5 ) - 3 ] + 4 - 8 } + 2 =
Calcula los siguientes productos
( - 8 ).( - 3 ) =
( + 12 ) . (+ 2 ) =
(-7).(+4)=
(+ 13 ) . ( - 3 ) =
( - 25 ) . ( - 5 ) =
Calcula los siguientes cocientes
( - 21 ) : ( - 7 ) =
( + 15 ) : ( + 3 ) =
( - 18 ) : ( + 3 ) =
( + 63 ) : ( - 9 ) =
( - 12 ) : ( - 6 ) =
Resuelve mínimo 5 de los siguientes ejercicios
a) ( - 12 + 24 - 18 ) : ( - 6 ) =
b) ( - 3 ). ( 6 - 8 + 4 - 3 ) =
c) ( 45 - 18 + 81 ): ( - 9 ) =
d) ( 12 - 7 - 8 + 1 ) . ( - 2 ) =
e) ( - 35 - 42 - 63 ) : ( + 7 ) =
f) ( + 4 ) . ( - 8 + 5 - 6 +2 ) =
g) ( - 72 + 24 - 48 - 12 ) : ( + 12 ) =
h) ( - 6 + 4 - 3 - 5 ) .( - 10 ) =
a) ( + 5 ) . ( - 12 ) : ( + 4 ) =
b) ( - 15 ) . ( - 2 ) : [ ( + 3 ) . ( + 2 )] =
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c) ( - 3 ) . ( + 2 ) . ( - 4 ) : ( - 6 ) =
d ) ( - 2 + 7 ) . ( - 3 - 1 ) : ( - 2 ) - (- 3). (- 2)=
e) ( -10 - 2 . 4 ) : ( - 2 - 1 ) + ( - 6 ) : ( - 3 ) - ( - 1 )=
f) ( - 24 ) : ( - 7 + 1 ) - ( -4 -2 . 3 + 1 ) =
g) ( - 5 ) - ( + 4 ) :[ ( - 2 ) - ( - 3 ) ] =
h) ( + 4 ) - [ ( - 15 ) : ( + 3 ) ] + ( - 4 ) . ( - 2 ) =
Separar en términos y resolver mínimo 5 ejercicios
a) ( - 2 - 3 + 4 ). 5 - 9 . ( - 2 - 6 ) =
b) ( - 5 - 10 - 32 ) . ( 4 - 8 - 16 ) =
c) - 2 + 3 . 5 - 7 . ( - 3 + 2 - 8 ) - 4 =
d) ( 2 - 10 ) . ( 6 - 3 ) - ( - 8 - 2 ) . ( - 9 - 7 ) =
e) 15 + 16. 2 - 3 . ( 5 . 2 + 4 - 3 . 2 ) - [ 2 + 2 . ( - 2 ) - 9 ] . ( - 5 ) =
f) 10 - ( - 2 - 1 + 5 . 3 ) . [ - 4 + 1 . ( - 1 ) ] + 8 + 4 . ( - 2 ) =
g) - 10 - 4 . ( - 3 ) + 15 : ( - 3) + ( - 8 ) =
h) ( 4 - 8 ) : ( - 2 ) - ( -27)+ (-15).3=
i) 3 . ( - 5 ) + 8 : 2 - 9 : 3 + 4 =
j) 3. [ ( - 25 ) : 5 + ( 8 - 4 : 2 ) ] - 11 =
k) - [ 45 : ( - 5 ) + 3. ( 7 - 2 ) ] + 8 =
l) 17 - ( - 4 ) . 5 + 18 : ( - 9 ) - 18 =
ll) [ 15 - ( - 3 ) . 4 ] . ( - 2 ) - 8 . ( - 4 ) + 1 =
m) - [ 4 - ( - 2 ) . 5 ] + 1 . ( -1 ) - 18 =
n) 7 + 8 : ( - 4 ) - [ 4 + ( - 12) : 4 ] =
ñ) ( -4 + 5 ) : ( - 1 ) + 3 - 21 : ( - 7 ) : 3 [ - 11 . ( - 2 ) - 19] =
0) ( - 24 ) : ( - 6 ) - { 8 : ( -4 ) - ( - 2 - 3 )} . 2 + 1 =
p) ( - 3 ) + 3. ( - 4 + 5 ) - 5 .[ - 2 + 7 . ( - 1 ) + 9 ] =
q) ( - 1 - 8 ) : ( - 3 ) + ( 9 - 2 . 5 ) . ( - 2 ) . ( - 2 ) =
Debes llevar como mínimo 25 ejercicios resueltos
Número racional
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Diagrama usado en la demostración de que los racionales son numerables (Georg
Cantor).
En matemáticas, se llama número racional a todo número que puede representarse
como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural
positivo1 ) es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b
distinto de cero. El término «racional» alude a fracción o parte de un todo. El
conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien
, en negrita de
pizarra) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este
conjunto de números incluye a los números enteros ( ), y es un subconjunto de los
números reales ( ).
La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o
bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema
decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera.
Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en
cualquier base entera), es un número racional.
Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expansión decimal
de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita no-periódica.
En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones
equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de
dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –
número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una
relación de equivalencia sobre .
Construcción formal
El conjunto de los números racionales puede construirse a partir del conjunto de
fracciones cuyo numerador y cuyo denominador son números enteros. El conjunto
de los números racionales no es directamente identificable con el conjunto de
fracciones, porque a veces un número racional puede representarse por más de una
fracción por ejemplo:
Para poder definir los números racionales debe definirse cuando dos fracciones
diferentes son equivalentes y por tanto representan el mismo número racional.
Formalmente cada número racional puede representarse como la clase de
equivalencia de un par ordenado de enteros, con la siguiente relación de
equivalencia:
Para el conjunto de los números racionales puede escribirse:
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Y si se tienen en cuenta la relación de equivalencia anterior de hecho se tiene:
Aritmética de los números racionales
Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.
Definición de suma y multiplicación en Q

Se define la suma

Se define la multiplicación
Relaciones de equivalencia y orden en Q

Se define la equivalencia

Los racionales positivos son todos los
cuando
tales que
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
Los racionales negativos son todos los

Se define el orden
tales que
cuando
Existencia de neutros e inversos

Para cualquier número racional: se cumple que
el neutro aditivo de los racionales y se le denota por
entonces
es
entonces
es
.

Para cualquier número racional: se cumple que
el neutro multiplicativo de los racionales y se le denota por .

Cada número racional:
tiene un inverso aditivo

Cada número racional:
con excepción de
tal que
tiene un inverso multiplicativo
tal que
Equivalencias notables en Q

Todo número entero

con
se puede escribir como fracción
y



con
y

con
y
.
Propiedades

El conjunto , con las propiedades de adición y multiplicación definidas más
arriba, conforma un cuerpo conmutativo: el cuerpo de cocientes de los enteros
.

Los racionales son el menor cuerpo con característica nula.
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, es el conjunto de los números algebraicos.

La clausura algebraica de

El conjunto de los números racionales es numerable, es decir que existe una
biyección entre y
(tienen la misma cantidad de elementos). El conjunto
de los número reales no es numerable (la parte no-denombrable de los reales,
la constituyen los números irracionales).

Propiedad arquimediana: el conjunto
es denso en
por construcción
misma de ; es decir, para cualquier pareja de números racionales existe
otro número racional situado entre ellos.

Los racionales forman un dominio de factorización única ya que todo racional
puede descomponerse en la forma:
donde
son
números enteros primos,
(siendo algunos de ellos negativos si q no
es entero) y
. Por ejemplo
.
Escritura decimal
Representación racional de los números decimales
Todo número real admite una representación decimal ilimitada, esta representación
es única si se excluyen secuencias infinitas de 9 (como por ejemplo el 0,9 periódico).
Todo número decimal finito o periódico puede expresarse como número racional de
la siguiente manera:

Decimales exactos o finitos: se escribe en el numerador la expresión
decimal sin la coma (como un número entero), y en el denominador un uno
seguido de tantos ceros como cifras decimales.
Ejemplo:
Decimales periódicos puros: la fracción correspondiente tiene como
numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior
al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo.
o


o Ejemplo:
Decimales periódicos mixtos: tendrá como numerador la diferencia entre y
, donde es el número escrito sin la coma, y es el número sin la parte
decimal periódica, escritos ambos como números enteros. El denominador
tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras
tenga el anteperíodo.
o Ejemplo: Sea el número
entonces
y
, por lo que la fracción correspondiente será
, es decir:
.
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Desarrollo decimal de los números racionales
El valor decimal de un número racional, es simplemente el resultado de dividir el
numerador entre el denominador. Los números racionales se caracterizan por tener
una escritura decimal que sólo puede ser de tres tipos:

Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Al no ser
significativos, los ceros a la derecha del separador decimal pueden omitirse,
lo que da por resultado una expresión «finita» o «terminal».
Ejemplo:

Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:

Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:

Nota: lo mismo aplica para el desarrollo decimal de un número racional en bases
distintas de diez.
Tomado de: http://es.wikipedia.org/wiki/Numero_racional
O p e ra cion e s co n nú m e ro s ra cio na le s
S u ma y re st a de nú m e ro s ra cio na le s
Con el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.
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Con distinto denominador
En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman
o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.
Propiedades de la suma de números racionales
1. Interna:
a+b
2. Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c) ·
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3. Conmutativa:
a+b=b+a
4. Elemento neutro:
a+0=a
5. Elemento opuesto
a + (−a) = 0
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.
Multiplicación de números racionales
Propiedades de la multiplicación de números racionales
1. Interna:
a·b
2. Asociativa:
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(a · b) · c = a · (b · c)
3. Conmutativa:
a·b=b·a
4. Elemento neutro:
a ·1 = a
5. Elemento inverso:
6. Distributiva:
a · (b + c) = a · b + a · c
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7. Sacar factor común:
a · b + a · c = a · (b + c)
División de números racionales
.
Ejemplos de operaciones con números racionales
Calcula las siguientes operaciones con números racionales:
1
2
3
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4
Ejercicios para resolver
Efectúa las divisiones de números racionales:
1)
2)
3)
Realiza las operaciones con números racionales:
4)
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5)
Efectúa las operaciones con números racionales:
6)
Debes llevar como mínimo 31 ejercicios resueltos
Potencias de números racionales
Potencias de exponente entero y base racional
Propiedades
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1.
2.
3. Producto de potencias con la misma base:
4. División de potencias con la misma base:
5. Potencia de una potencia:
6. Producto de potencias con el mismo exponente:
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7. Cociente de potencias con el mismo exponente:
Ejercicios para resolver
Ejercicios de potencias de números racionales
Realiza las siguientes operaciones con potencias de fracciones:
7)
8)
9)
10)