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Ecuaciones y Desigualdades con Valor
Absoluto
2
Objetivos:
1. Resolver ecuaciones con valor absoluto.
2. Resolver desigualdades con valor
absoluto.
Ecuaciones con Valor Absoluto
Teorema 1:
Si el valor absoluto de una expresión es
igual a un número positivo a, entonces la
expresión es igual a a ó -a. Por lo tanto,
u  a es equivalente a u  a o u  a.
3
Ejemplo 1:
4
Resuelva: 2 x  3  11
2x  3  11
2x  11  3
ó
2x  3  11
2x  11  3
2x  14
2x  8
x7
x  4
C.S.  4,7
Ejemplo 2:
5
Resuelva: 3  3x  5  10
3x  5  10  3
3x  5  7
3x  5  7 ó 3x  5  7
3x  12
3x  2
2
x
x4
3
 2 
C . S .   , 4 
 3 
Ejemplo 3:
6
Resuelva: 4  2 2 x  8  12
2 2 x  8  12  4
2 2x  8  8
8
2x  8 
2
2x  8  4
2x  8  4 ó 2x  8  4
2x  8  4 ó 2x  8  4
2 x  12
2x  4
x6
x2
C . S .  2, 6
7
Ecuaciones con Valor Absoluto
Teorema 2:
Si el valor absoluto de una expresión es
igual a un número negativo -a, entonces el
conjunto solución de la ecuación es el
conjunto vacío.
Si u  a su solución es el conjunto
vacío
=
.
8
Ejemplo 1:
Resuelve:
9
 4  2 x  5  10
2 x  5  10  4
2 x  5  14
14
x 5 
2
x  5  7
Conjunto Solución = { }  
Aclaración: La ecuación no tiene soluciones.
Ejemplo 2:
Resuelve: 30  4 x  5  10
4 x  5  10  30
4 x  5  20
Conjunto Solución = { }  
Aclaración: La ecuación no tiene soluciones.
10
11
Teorema 3:
Si el valor absoluto de una expresión es
igual a cero entonces la expresión es igual
a cero.
Si u  0 entonces u  0.
Ejemplo 1:
12
Resuelve: 4 2 x  5  0
2x  5  0
2x  5  0
2x  5
5
x
2
5
C.S .   
2
13
Las desigualdades con valor absoluto
Teorema 1:
Si a un número positivo entonces,
u  a es equivalente a  a  u  a
u  a es equivalente a
a  u a
En otras palabras, |u| < a es equivalente a
-a < u y u < a.
u
-a
0
a
Ejemplo 1:
14
3x  1  5
Resuelva
 5  3x  1  5
 4  3x  6
4
 x2
3


4
C. S. =  x  R   x  2 
3


(
-2

4
3
-1
0
1
 4 
  , 2
 3 
)
2
3
Ejemplo 2:
Resuelva
15
 2  2 x  4  10
2 x  4  10  2
2 x  4  12
12  2 x  4  12
12  4  2 x  12  4
8  2 x  16
8 2 x 16


2
2
2
8 2 x 16


2
2
2
16
4  x  8
C. S. = x  R 4  x  8   4, 8
(
)
-4
8
17
Ejemplo 3:
4  2 3x  6  6
2 3x  6  6 4
2 3x  6  2
2 3x  6
2

2
2
3x  6  1
3x  6  1
1  3x  6  1
1  6  3x  1  6
5  3x  7
5 3x 7


3 3 3
5
7
x
3
3
18
19
5
7
x
3
3
5 7
C.S .   , 
3 3
(
)
5/3
7/3
20
Teorema 2:
Si a es un número positivo, entonces
u  a es equivalent e a u  a ó u  a
u  a es equivalent e a u  a ó u  a
u
u
-a
0
a
Ejemplo 1:
Resuelva:
4 x  3  15
21
4 x  3  15
ó
4 x  3  15
4 x  12
4 x  18
9
x3
x
2
9
9 



ó x  3   , 
C.S.=  x  R / x  
2
2



]
-6
-5 -4 -3 -2 -1

[
0
1
2
3
4
5
3,  
Ejemplo 2:
22
Resuelva: 4 x  2  10
4x  2  10 ó 4x  2  10
4 x  12
4x  8
x  3
x2
C.S.=  , 3
2, 
]
-6
-5 -4
-3 -2 -1
[
0
1
2
3
4
5
23
Teorema 3:
Si -a es un número negativo entonces,
u  a y
u  a tienen un
conjunto de soluciones vacío,  
Aclaración: Un valor absoluto no puede ser menor
que un número negativo, la desigualdad es inconsistente.
24
Ejemplos:
1. 2 x  6  4

Siempre es falso
C.S.     
2. 7  2 3x  6  4
2 3x  6  4 7
2 3x  6  4  7
25
2 3x  6  3
3
3x  6 
2

C.S.     
Siempre es falso
26
Teorema 4:
Si -a es un número negativo, entonces
u  a y u  a son ciertas para
todos los números reales, esto es
C.S.=R.
27
Ejemplos:
1. 2 x  8  4

Siempre es cierto
C.S.  R
2. 8  5 3x  6  4
5 3x  6  4 8
5 3x  6  4
28
5 3x  6  4
5 3x  6
4

5
5
4
3x  6 
5

C.S.  R
Siempre es Cierto
29
Teorema 5:
Si u  0 entonces u  0 ó u  0 . El conjunto
solución es todos los números reales excepto el 0.
Si u  0 entonces el conjunto solución es R.
Ejemplo 1: 3x  6  0
C.S.  R
Ejemplo 2 : 3x  6  0
C.S.  R  0
Ejercicios: Resuelva la ecuación o la desigualdad.
1. 5 x  10  15
Solución
2. 15 x  10  25
Solución
3. 4  3 x  10  15
Solución
4. 20  4 x  1  15
Solución
5. 5 x  20  15
Solución
6. 8  2 5 x  10  15
Solución
7. 10  4 2 x  10  20
Solución
8. 25 x  100  125
Solución
30
Ejercicios resueltos:
31
1. 5x 10  15
5 x  10  15 ó 5 x  10  15
5x  15  10
5x  15 10
5x  25
5x  5
5 x 25
5
x
5
x


1


5
5
5
5
x5
C.S.  5, 1
Ejercicios
2. 15x 10  25
32
15 x  10  25 ó 15 x  10  25
15x  25 10
15x  35
15 x 35

15 15
7
x
3
15x  25 10
15x  15
15 x
15 x  1

15
15
7

C.S .   , 1
3

Ejercicios
3. 4  3x 10  15
33
3x  10  15  4
3x 10  11
3x  10  11 ó 3x  10  11
3x  11 10
3x  21
3x  11 10
3x  1
Ejercicios
34
3 x 21

3
3
3x
1

3
3
x7
1
x
3
1

C.S .  7,  
3

Ejercicios
35
4. 20  4 x 1  15
4 x 1  15  20
4 x  1  5
C.S.  
Es siempre falso, la ecuación
es inconsistente.
 
Ejercicios
5. 5x  20  15
36
15  5x  20  15
15  20  5x  15  20
5  5x  35
[
1
5 5 x 35


5 5
5
C.S.  1,7
1 x  7
]
7
Ejercicios
6. 8  2 5x 10  15
37
2 5x 10  15  8
2 5x 10  7
2 5 x  10
7

2
2
7
5 x  10  
2
Es cierto siempre.
C.S.  R
Ejercicios
7. 10  4 2 x 10  20
38
4 2 x 10  20  10
4 2 x 10  30
4 2 x  10
30

4
4
15
2 x  10  
2
Es falso siempre.
C.S.     
Ejercicios
8. 25x 100  125
39
25 x  100  125 ó  25x  100  125
25x  125 100
25x  225
25 x 225

25 25
x  9
25x  125  100
25x  25
25 x 25

25 25
x 1
x  9
)
1
x 1
40
(
9
C.S.   , 9  1,  
Ejercicios