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ACTUALIZACIÓN ACADÉMICA
DE SABERES DE 7º AÑO DE LA
EDUCACIÓN PRIMARIA
SEGUNDO ENCUENTRO
SISTEMAS DE NUMERACION Y LOS
CAMPOS NUMERICOS
Desde este enfoque en el que los
conocimientos matemáticos deben ser
utilizados para:
 Resolver problemas.
 Reflexionar sobre sus resoluciones.
 Relacionar estos conocimientos en términos
de “teoría matemática”,
La planificación de la enseñanza no puede
organizarse sin el planteo de preguntas
como:
 ¿Cómo gestionar la clase?
 ¿Cuáles son los problemas que permiten
construir el sentido del conocimiento?
 ¿Qué procedimientos son necesarios para
resolverlos?
 ¿Qué representaciones se ponen en juego?
Comencemos planteando situaciones
DESAFIANTES Y DIVERTIDAS!!!
PROBLEMA 1
En grupos se pide:
 Observar el material.
 Elaborar con el material entregado un
sistema de numeración.
 Representar con su sistema las cantidades
78 y 125
PROBLEMA 2
Colocar los números del 1 al 9, sin repetir
ninguno, de modo que:
 Ningún número par es vecino de otro par.
 Los dos números vecinos del 6 suman 6.
 Los dos números vecinos del 8 suman 8.
 La diferencia entre los dos números vecinos del
4 es 4.
 La diferencia entre los dos números vecinos del
2 es 2.
ANALISIS DIDACTICO DE LOS
PROBLEMAS
¿Qué contenidos se trabajaron en este
problema?
¿Qué conocimientos previos debían tenerse
para comprenderlo?
¿Qué estrategias de solución se tuvieron en
cuenta?
Analicemos otras actividades lúdicas que se
pueden desprender de la situación
problemática 2 ... RESOLVAMOS LOS
ACERTIJOS CON NUMEROS
¿De qué manera se podría decir que favorecen
la construcción de los conocimientos
planteados en el problema?
Secuencias didácticas
Para elaborar una secuencia didáctica
tendremos en cuenta:
 Actividades de Diagnóstico.
 Actividades de Aprender – Situaciones
problemáticas de aprendizaje.
 Actividades de Consolidar – Rutinización
 Actividades de Controlar – Evaluación.
Ante la enseñanza de los campos numéricos y sus
operaciones no debemos perder de vista:
 Utilidad del campo numérico como medio de
resolución de situaciones problemáticas que se
presentaron a lo largo de la historia.
 La operatividad con los elementos de cada campo
en contextos internos y externos de la matemática.
 La valoración de los algoritmos como modos de
resolución eficaz y eficiente.
 La relación inclusiva de los campos numéricos y
su consecuente acumulación de propiedades.
A continuación se presentarán cuadros
sinópticos de la Teoría que no se debe
olvidar al momento de enseñar estos
contenidos.
Debemos recordar que es fundamental
profundizarlos con otros materiales
bibliográficos.
SISTEMAS DE NUMERACION
Surgen y evolucionan con la humanidad.
Se clasifican en:
 ADITIVOS: fueron los primeros sistemas.
No son posicionales puesto que no importa
la posición de los símbolos. Cada símbolo
representa una cantidad y por ello hay
repeticiones. Ejemplos: egipcio y romano.
 HIBRIDOS O MIXTOS: son sistemas no
posicionales, si aditivos. Inician en la idea
de agrupamientos. Ejemplo: chino-japones
que es multiplicativo.
 POSICIONALES: son sistemas en los que
el valor de cada símbolo depende de la
posición que ocupa en el numero.
Incorporan la idea de cero.
Cero o Nada? El cero significa la ausencia de
cantidad. Por ejemplo cuantas decenas
tiene el 1208?
Establecen agrupamientos que indican las
potencias de cada sistema.
Algunos sistemas posicionales importantes
son:
 Sexagesimal: surge de los Babilónicos. Es
de base 60.
 Maya: es de base 20 y utiliza 3 símbolos.
1 . 202 = 400
o
o
1
6 . 20 = 120
525
5 . 200 = 5
 Decimal: es de base 10. Utiliza 10 símbolos.
Aspectos didácticos para su
enseñanza
 Reconocimiento de símbolos y reglas.
También los procesos inversos desde los
símbolos y la escritura reconocer las reglas.
 Clasificación.
 Comparación de cantidades y escrituras.
 Eficacia en las operaciones.
Nuestro sistema de numeración
Es el sistema de numeración decimal. Sus
características esenciales son:
 Decimal: los agrupamientos son de 10 en 10
definiéndose las unidades, las decenas, las
centenas…
 Posicional: cada cifra cambia de valor
según la posición que ocupa.
 Tiene 10 símbolos (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)
Descomposición polinómica (escritura)
6538 = 6000 + 500 + 30 + 8
6 . 1000 + 5 . 100 + 3 . 10 + 8
6. 103 + 5 . 102 + 3 . 101 + 8 . 100
REGULARIDADES
Son conceptos o procedimientos que repiten
ciertas operaciones.
Algunos ejemplos
A. Los números figurados que proviene de los
griegos.
Números triangulares:
o
1
o
o o
3
o
o o
o o o
6
o
o o
o o o
o o o o
10
1=1
3=1 +2
6=1+2+3
10 = 1 + 2 + 3 + 4
15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
Numeros cuadrados:
oooo
ooo oooo
oo ooo oooo
o oo ooo oooo
1 4
9
16
1=1
4=2+2
9=3+3+3
16 = 4 + 4 + 4 + 4
25 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5
B. Aproximación: por redondeo o por
truncamiento.
Ejemplo: 126, redondearlo a las unidades es
por truncamiento 120 y por redondeo 130.
Resolvemos las actividades No Presenciales 2
2, 6 y 7
TECNICAS DE CONTEO
Son distintas maneras de organizar elementos
para contar todas las opciones, sin repetir ni
olvidar ninguna
Un Ejemplo: De cuántas maneras distintas se
pueden combinar 3 remeras (amarilla,
verde, rosa) y dos pantalones (azul, negro)
…
A. DIAGRAMA DE ARBOL
Remeras
Am
Ve
Ro
Az
Ne
Az
Ne
Az
Ne
6 posibilidades
B. TABLA DE DOBLE ENTRADA
PANTALONES
AZUL
NEGRO
AMARILLO
X
X
VERDE
X
X
ROSA
X
X
REMERAS
6 posibilidades
C. LUGARES
3
Remeras
x
2
=
6
Pantalones
Posibilidades
Resolvemos las actividades No Presenciales 2
10 y 11
TERCER ENCUENTRO
LOS CAMPOS NUMERICOS
EL CONJUNTO DE LOS
NUMEROS NATURALES
Es…
 El conjunto de números con los que se cuentan
colecciones de objetos o personas.
 El conjunto que tiene principio (0 en N0 o 1 en N)
pero no tiene fin, por ello se llama conjunto
infinito.
 Ordenado, todo número excepto el 0, tiene
antecesor y sucesor.
 El conjunto que se representa en la recta numérica
OPERACIONES EN IN
ADICION:
sumandos = suma
Las propiedades son:
 Conmutativa
 Asociativa
 Elemento neutro que es el 0
SUSTRACCION:
minuendo – sustraendo = resta
No es conmutativa ni asociativa.
Tiene elemento neutro que es el 0 solo como
sustraendo.
MULTIPLICACION:
factores = producto
Las propiedades son:
 Conmutativa.
 Asociativa.
 Elemento neutro es el 1.
 Distributiva con respecto a la suma y a la resta por
derecha (4 + 6) x 2, y por izquierda 2 x (4 + 6)
DIVISION:
Dividendo : divisor = cociente + resto
No es conmutativa ni asociativa.
Elemento neutro el 1 en el divisor
Distributiva con respecto a la suma y a la resta pero
por derecha (4 + 6) : 2 , no por la izquierda 8 : (4
+ 2)
El resto de la división siempre debe ser menor que el
divisor.
El Resto en la división
De acuerdo al Resto una división se clasifica
en:
 INEXACTA: el Resto es distinto de cero.
Esto define las expresiones decimales.
 EXACTA: el Resto es igual a cero.
Esto define los múltiplos y los divisores de un
número
MULTIPLO: un múltiplo de un número es el
número que se obtiene al multiplicarlo por
cualquier otro numero.
10 es múltiplo de 5 porque 5 x 2 = 10
DIVISOR: un número es divisor o factor de
otro cuando al hacer la división el resto es
cero.
5 es divisor de 10 porque 10 : 5 = 2
Dos caras de una misma moneda…
12 es múltiplo de 3 y 3 es divisor de 12
Casos especiales:
 1 es divisor de todos los números.
 Todo numero distinto de cero es divisor y
múltiplo de sí mismo.
 0 es múltiplo de todos los números.
Reglas de Divisibilidad
Fomentan la operatividad sin cuentas y con
mayor eficacia.
Cuando un número es divisible por…
… 2? Termina en 0 o cifra par
… 3? La suma de sus cifras da múltiplo de 3
… 4? Sus dos últimas cifras forman un
múltiplo de 4
… 5? Termina en 0 o 5
… 6? Es divisible por 2 y por 3 a la vez.
… 9? La suma de sus cifras da múltiplo de 9
… 10, … 100, … 1000? Termina en 0, 00,
000, … etc, respectivamente.
Números primos y compuestos
Los números primos son los divisibles por sí
mismos y por 1. Los que no son primos se
llaman compuestos.
El 1 no es ni primo ni compuesto.
Los
números
compuestos
pueden
descomponerse en factores primos y esa
descomposición es única.
Este procedimiento se llama
FACTORIZACION
2
2
12
6
= 22 X 3
3
Divisores y múltiplos comunes
DIVISORES COMUNES: de los divisores comunes
que tienen varios números el mínimo siempre es 1
y el mayor es el máximo común divisor (m. c. d.)
MULTIPLOS COMUNES: los múltiplos comunes
son infinitos, por lo tanto se busca el menor, o sea
el mínimo común múltiplo (m. c. m.)
Números coprimos son aquellos cuyo único divisor
común es el 1. Ejemplo 8 y 21.
Recordamos el Algoritmo para encontrar:
El m. c. d.: se multiplican factores comunes
con su menor exponente.
El m. c. m.: se multiplican factores comunes y
no comunes con su mayor exponente.
POTENCIACION: la potenciación es un
producto de varios factores iguales.
base exponente = potencia
Es distributiva con respecto a la división y a la
multiplicación.
Casos especiales:
o Todo número elevado a la 0 da 1.
o Todo número elevado a la 1 da el número.
Potencias de Igual Base:
 En la multiplicación: se deja la misma base
y se suman los exponentes.
 En la división: se deja la misma base y se
restan los exponentes.
 Potencia de otra potencia: se deja la misma
base y se multiplican los exponentes.
RADICACION: es la operación inversa a la
potenciación.
índice
√ radicando = raíz
OPERACIONES COMBINADAS
1. Potencias y raíces.
2. Multiplicaciones y divisiones.
3. Sumas y restas que separan el cálculo en
TERMINOS.
Si hay PARENTESIS se resuelven primero las
operaciones que ellos encierran
Resolvemos las actividades no presenciales 2
14, 15, 16, 20, 24 y 25
Nos despedimos hasta el proximo
encuentro…
CUARTO ENCUENTRO
NUMEROS RACIONALES PROPORCIONALIDAD
EL CONJUNTO DE LOS
NUMEROS RACIONALES
Comenzamos JUGANDO…
La fracción como parte del todo
Una de las definiciones de los números
fraccionarios es el que sean una
representación de partes de un todo. El todo
que se encuentra dividido en partes es el
que se representa en el denominador, las
partes de ese todo que se representan en el
numerador:
Numerador
Denominador
La fracción como Porcentaje
Por tratarse de un porcentaje el todo se divide
en 100 partes, por ello el denominador es
100, las partes serán las que se expresan a
través del numero seguido del símbolo %
35 % = 35 / 100 es decir 35 partes de 100
La fraccion y la Propocionalidad
La proporcionalidad se establece entre
magnitudes. Todo lo que se puede medir o
contar es una magnitud.
La proporcionalidad es una relación entre dos
magnitudes que puede ser:
 Directa: cuando al aumentar una magnitud
(el doble, el triple, etc) también la otra
aumenta de la misma manera, asi también si
disminuye (a la mitad, a la tercera parte,
etc) la otra lo hace igual.
 Inversa: cuando al aumentar una (al doble,
al triple, etc) la otra disminuye en la
proporción inversa (a la mitad, a la tercera
parte, etc)
La fracción como Razón
Una Razón es un cociente indicado entre dos
cantidades.
La razón entre 2 y 5 es 2/5
Cuando dos razones son iguales entonces se
forma una proporción.
a
c se lee “A es a B como C es a D”
=
A y D se llaman extremos
b
d B y C se llaman medios
La propiedad fundamental de las proporciones
es que “el producto de los medios es igual al
producto de los extremos”
B. C = A . D
Un uso muy importante de las razones y
proporciones esta en las Escalas, donde se
establece una razón de proporcionalidad.
Fracciones Equivalentes
Las fracciones equivalentes son aquellas que
se escriben distinto pero representan lo
mismo.
Por ejemplo: ½ , 4/8, 10/20, 50%, etc.
Si a una fracción multiplicamos o dividimos a
su numerador y denominador por el mismo
número se obtiene una fracción equivalente.
Los Números Mixtos son también una forma
de expresar fracciones que superan la
unidad de modo equivalente:
Por ejemplo: 10/3 es lo mismo que 3 enteros y
1/3, se escribe asi:
3⅓
Por ello es que 10/3 = 3 ⅓
Simplificación y Amplificación
Si se busca una fracción equivalente a otra por
medio de la multiplicación, entonces se está
amplificando la fracción original.
Si se busca una fracción equivalente a otra por
medio de la división, entonces se está
simplificando la fracción original.
Una fracción es irreducible cuando no se
puede simplificar.
Números fraccionarios y números
decimales
Todas las fracciones pueden expresarse como
números decimales. Para esto se divide el
numerador por el denominador.
Si la división da cero, se dice que la expresión
decimal es exacta.
Si el resto se repite indefinidamente sin
anularse se dice que la expresión decimal es
periódica. El periodo son las cifras que se
repiten indefinidamente.
Expresiones decimales periódicas
Analizamos algunos ejemplos…
En conclusión: una expresión decimal es
exacta solo si al factorear el denominador
aparecen “UNICAMENTE” el 2 o el 5 y sus
potencias.
La recta numérica en Q
Los números fraccionarios expresados en sus
distintas formas se representan en la recta
numérica teniendo en cuenta que las
particiones de las unidades deben tener la
misma medida.
Las expresiones decimales deben ser muy
bien “leidas”.
Comparación de fracciones
Para comparar fracciones se pueden seguir
dos procedimientos:
 Se buscan fracciones equivalentes de modo
tal que tengan el mismo denominador
(usando el m.c.m. entre los denominadores)
 Se expresan ambas fracciones como
números decimales y se los compara.
Resolvemos de la actividad No Presencial 4
los ejercicios: 2, 3 y 6
Operaciones en Q
Suma y resta:
 Si las expresiones son fraccionarias se
pueden operar a través de fracciones
equivalentes con el mismo denominador.
 Si las expresiones son decimales se opera
teniendo en cuenta la clasificación de
órdenes del sistema de numeración.
 Si
son expresiones periódicas se
transforman en fracciones.
Multiplicación:
Se multiplican los numeradores para obtener
el numerador del resultado y los
denominadores para el denominador del
mismo.
En lo posible se realiza la simplificación que
convenga.
División:
Se puede utilizar el algoritmo de la división
con fracciones.
Otra manera es utilizar el inverso
multiplicativo que se obtiene al invertir el
numerador y el denominador del divisor y la
división se transforma en multiplicación.
Potenciación y radicación:
Las fracciones son una manera de expresar
divisiones.
La potenciación y la radicación gozan de la
propiedad distributiva con respecto a la
multiplicación y a la división.
Por tal motivo se distribuyen en el
denominador y el numerador las potencias y
las rices
Resolvemos de la actividad no presencial 4
5,7 y10
Resolvemos de la actividad No Presencial 5
los ejercicios: 2, 4, 5, 7, 9, 11, 14, 18, 21, 23
y 25
REPASANDO LOS CONCEPTOS
TEÓRICOS ABORDADOS NOS
DESPEDIMOS HASTA EL PRÓXIMO
ENCUENTRO…
GRACIAS POR VENIR!!!!