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Teoría de Números
Dra. Noemí L. Ruiz Limardo
Revisado 2011 © Derechos de Autor Reservados
Objetivos
1. Conocer las definiciones básicas
relacionadas con factorización
2. Hallar la factorización prima de un
número
3. Conocer el significado de MCM y
MFC
4. Usar la factorización prima para
hallar el MCM y MFC
5. Hallar el MCM y MFC de números
dados.
Factores
Números que se multiplican
para obtener un producto
Ejemplos de factores de 12:
12 y 1 ya que 12 . 1 = 12
3 y 4 ya que 3 . 4 = 12
6 y 2 ya que 6 . 2 = 12
Factores de 12:
12, 1, 6, 2, 4, 3
Número Primo
Número natural mayor que
1 cuyos únicos factores
son él mismo y 1.
Ejemplo de números primos:
2 , 3, 5
Menciona otros
Conjunto de los Números Primos
{ 2, 3, 5, 7, 11,13, 17, 19, 23, 29, 31, …}
Observa que:
• El conjunto es infinito.
• El número primo menor es 2.
• El único número primo que es par
es 2, los demás son impares.
• No todos los impares son primos,
por ejemplo, el 9 es impar pero no
es primo.
• Ver lista de números primos hasta
el 100
Número Compuesto
Número natural que no es
primo, o sea, tiene otros
factores además de él
mismo y uno.
Ejemplo de números
compuestos:
4 , 9, 15, 64
Menciona otros
Exponentes y Potencias
Una potencia es cuando
tenemos un número
(base) elevado a un
exponente.
Ejemplo:
32 Significa que se multiplica
la
base
tantas
veces
43 como diga el exponente.
Exponentes y Potencias
Una potencia es cuando
tenemos un número
llamado base) elevado a un
exponente. Significa que se
multiplica la base tantas
veces como diga el
exponente
Ejemplo:
32 = 3 x 3 = 9
43 = 4 x 4 x 4 = 64
Factorización...
Proceso mediante el cual se
descompone un número
como el producto
(multiplicación) de dos o más
números.
Ejemplo:
10 = 5 . 2
12 = 4 . 3
Factorización prima...
Proceso mediante el cual se
descompone un número
como el producto
(multiplicación) de dos o más
números primos.
Ejemplo:
7 = 7.1
6 = 2.3
Teorema Fundamental de la
Aritmética...
Todo número natural
compuesto puede
expresarse de una
forma única, como un
producto de factores
primos.
Divisibilidad...
Un número a es
divisible por b, si al
dividir a por b se
obtiene un número
entero.
Ejemplo:
10 es divisible por 2 ya
que al dividir 10 por 2
se obtiene el entero 5.
Reglas de divisibilidad
Es divisible
por:
Si:
2
Último dígito es par (0, 2, 4, 6, 8)
3
Suma de los dígitos es múltiplo de 3
5
Último dígito es 0 ó 5
7
Al duplicar el último dígito y luego restar el
resultado del número sin su último dígito, se obtiene
un múltiplo de 7. (Repetir el proceso tantas veces
como sea necesario hasta ver si el resultado
obtenido es múltiplo de 7.)
11
Al sumar los dígitos alternos (uno sí y uno no) y
restar la cantidad menor de la mayor, se obtiene un
múltiplo de 11.
Ejemplo:
9,894
897,432
890 ó 7,635
409,311
847,667,942
Ejercicios de práctica para
determinar cuando un
número es divisible por
2, 3, 5, 7, y 11.
Determina si los números son divisibles
por 2, 3, 5, 7, 11
315
Más ejemplos en
630
próxima pantalla.
45,815
123,456,789
987,654,321
142,891
409,311
Determina si los números son divisibles
por 2, 3, 5, 7, 11
409,311
458,485
287,824
8,493,969
847,667,942
453,896,248
552,749,913
Factorización Prima de un Número
Método del árbol para hallar la
factorización prima de un número
• Se buscan dos factores
cualesquiera del número que se va
a factorizar y se colocan como dos
ramas del árbol.
• Si el factor es un número primo, la
rama del árbol termina.
Continúa en
próxima pantalla.
Método del árbol para hallar la
factorización prima de un número
• Si el factor no es primo, se buscan
dos factores cualesquiera y se
colocan como dos ramas del árbol
bajo la ramificación anterior.
• El proceso continúa hasta que se
obtienen números primos en todas
las ramas del árbol.
• Ver proceso en las próximas
pantallas.
Método del árbol de factorización
• Halla la factorización prima de 63
63
3
3 y 21 son dos factores
cualesquiera de 63
21
3
7
Como el 3 es primo, termina la
rama, como el 21 no es primo
continúa ramificándose el árbol
Termina el proceso cuando se obtienen ramas que tiene solo
números primos
La factorización prima de 63 es:
32 . 7
Los factores primos que están repetidos
se expresan en potencias
Método del árbol de factorización
• Hallar la factorización prima de 504
504
2
252
2
126
2
63
3
21
3
7
La factorización prima de 504 es:
23 . 32 . 7
Ejercicios de práctica
Halla la factorización prima de los
siguientes números
240
300
360
425
663
885
MCD y MCM
Proceso para hallar el Máximo Factor Común
(MFC) (o Máximo Común Divisor-MCD) de dos
o más números
• Halla la factorización prima de cada
número.
• Expresa los factores que se repiten
como una potencia.
• Determina los factores que son
comunes a todos los números.
• Selecciona, de los factores
comunes, las potencias menores.
• Multiplica todos los factores
obtenidos en el paso anterior.
Ejemplo: Hallar el MFC de 360 y 2700
• La factorización prima de cada uno,
expresado como potencias de
factores es:
360 = 23 . 32 . 5
2700 = 22 . 33 . 52
• Los factores comunes son:
2, 3, 5
• Selecciona las potencias menores
de cada uno:
22 . 32 . 5
• Multiplicando todo tenemos que
MFC = 22 . 32 . 5 = 180
Proceso para hallar el Mínimo Común Múltiplo
(MCM) de dos o más números
• Halla la factorización prima de cada
número.
• Expresa los factores que se repiten
como una potencia.
• Determina los factores que son
comunes a todos los números.
• Selecciona, de los factores comunes,
las potencias mayores.
• Selecciona todos los demás factores
(los que no fueron comunes)
• Multiplica todos los factores obtenidos
en los dos últimos pasos.
Ejemplo: Hallar el MCM de 135, 280, y 300
• La factorización prima de cada uno,
expresado como potencias de
factores es:
135 = 33 . 5
280 = 23 . 5 . 7
300 = 22 . 3 . 52
• De los factores comunes selecciona
las potencias mayores:
23 . 33 . 52
• Los factores no comunes son:
7
• Multiplicando todo tenemos que
MFC = 23 . 33 . 52 . 7 = 37,800
Ejercicios de práctica
Halla el MFC de los números a
continuación
70 y 120
Más ejemplos en
180 y 300 próxima pantalla.
480 y 1800
168 y 504
28, 35 y 56
252, 308 y 504
Halla el MCM de los números a
continuación
24 y 32
35 y 56
45 y 75
48, 54 y 60
16, 120 y 216
¿Para qué o cuándo se
usa el MFC?
Se usa el MFC...
 Uno de los usos más
importantes es
cuando se simplifica
una fracción
 En este caso se halla
el MFC del numerador
y el denominador y se
divide ambos por esta
cantidad.
¿Para qué o cuándo se
usa el MCM?
Se usa el MCM...
 Uno de los usos más
importantes es cuando
se suman fracciones con
denominadores
diferentes.
 Cuando se busca un
denominador común a
dos o más fracciones lo
que se busca es el MCM
de los denominadores.
Fin de la Lección
Números Primos hasta 100
{ 2, 3, 5, 7, 11,13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,
41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,
83, 89, 97, ...}