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1.2
División de números complejos
Ya sabemos dividir un número complejo entre otro en el caso particular de que ese otro (el
divisor) sea real, pues en ese caso basta dividir tanto la parte real como la parte imaginaria del
número complejo entre el número real que es el divisor. Por ejemplo,
3 − 6i
3 6
= − i = 1 − 2i.
3
3 3
La cuestión, por tanto, es: ¿Cómo dividir números complejos cualesquiera? Aquél que haya
sabido hacer el Ejercicio ?? ya sabe dividir números complejos cualesquiera, pues para dividir
a + bi entre p + qi basta hallar los números x e y tales que ( x + yi )( p + qi ) = a + bi, lo cual es
un problema muy parecido a lo que planteaba dicho ejercicio.
En realidad, lo que plantea en el Ejercicio ?? es calcular el inverso del número 3 + 4i. Calcular
inversos es una forma de realizar la división de números complejos, pues para dividir z entre w
basta multiplicar z por el inverso de w:
1
z
= z × = z w −1 .
w
w
Por tanto, para dividir complejos basta aprender a calcular inversos de complejos (y luego usar
la multiplicación).
Vamos a ver ahora otra forma de dividir complejos sin necesidad de calcular primero un
inverso. Este método lo que hace es convertir un problema de dividir dos complejos en un problema
de dividir un número complejo entre un número real.
¿Cómo se aplica este método a la división de números complejos? La respuesta es evidente
si vemos este cociente de números complejos
a + bi
x + yi
1 Esto era importante en la época anterior a las calculadoras porque en los cálculos a mano con lápiz y papel, dividir
entre un irracional es mucho más dificil que multiplicar por un irracional.
1
Versión de 20 de marzo de 2017, 1:32 h.
La clave es un antiguo método llamado racionalización que sirve para convertir una fracción
con denominador irracional como esta
5
√
2− 2
en otra equivalente cuyo denominador no tenga raíces.1 La forma de hacerlo es “multiplicar
numerador y denominador
√ por el conjugado del denominador”. El conjugado de una suma de
√
raíces cuadradas a + b es el resultado
de cambiar
√
√ de signo a una de ellas (de forma que esa
√
√
suma tendría dos conjugados, a − b y − a + b, aunque cualquiera de los dos valdría). Por
ejemplo, para racionalizar la fracción anterior haríamos esto:
√
√
√
√
5
5(2 + 2)
10 + 5 2
10 + 5 2
10 + 5 2
√ =
√
√ =
.
√ 2 = 4−2 =
2
2− 2
(2 − 2)(2 + 2)
22 − 2
1.1
de esta forma:
Ejercicios para practicar
√
a + b −1
√ .
x + y −1
Entonces vemos que para calcular este cociente multiplicamos numerador
y denominador por
√
el número complejo “conjugado del denominador” x − yi = x − y −1 y mágicamente (a menos
que el denominador fuese cero) la fracción se convierte en otra equivalente pero cuyo denominador es un número real positivo por ser una suma de cuadrados de números reales:
( x + yi )( x − yi ) = x2 − (yi )2 = x2 − y2 i2 = x2 − y2 (−1) = x2 + y2 ,
(1)
lo cual nos permite calcular:
( a + bi )( x − yi )
( a + bi )( x − yi )
a + bi
=
=
.
x + yi
( x + yi )( x − yi )
x 2 + y2
(2)
De esta forma, el problema de dividir complejos se reduce a uno de multiplicar complejos y
uno de dividir un complejo entre un número real positivo.
Evidentemente este método también puede usarse para calcular el inverso de un número
complejo, como se detalla a continuación.
El inverso de un complejo
Suponiendo que x e y son números reales que no son ambos cero (es decir, suponiendo que
el complejo x + yi no es cero), la fórmula (2) nos da que el inverso de x + yi es igual a:
( x + yi )−1 =
x − yi
1
.
= 2
x + yi
x + y2
(3)
Ejemplos:
(2) El inverso de 1 + 2i:
1.1.
1
−i
−i
=
=
= −i.
i
i (−i )
1
1
1 − 2i
1 − 2i
(1 + 2i )−1 =
= 2
= 15 (1 − 2i ).
=
1 + 2i
5
1 + 22
i −1 =
(1) El inverso de i:
Ejercicios para practicar
En los dos siguientes ejercicios halla las dos soluciones de la ecuación de segundo grado
dada.
I 2. z2 − 2iz + 8 = 0.
Solución: z1 , z2 = −2i, 4i
−i. Usa esos resultados para resolver
−i obtenido en el ejercicio anterior, resuelve la ecuación
4z2 − (8 − 4i )z + 3 = 0.
√
2) + (−1 −
√
√
√ 2)i /2, z2 = (2 − 2) + (−1 + 2)i /2.
2
Solución: z1 = (2 +
±
11
4 i
√
√
√ 3)i /2, z2 = (1 − 3) + (−3 − 3)i /2.
√
√
1
4
I 4. Usando el valor de
3) + (−3 +
√
√
Solución: z1 , z2 =
I 3. Calcula el valor de (1 + i )2 y deduce de ello el valor de
z2 − (1 − 3i )z − (2 + 3i ) = 0.
Solución: z1 = (1 +
I 1. 4z2 − 2z + 3 = 0.
1.1
Ejercicios para practicar
I 5. Calcula el valor de (2 + i )2 y usa el resultado para resolver la ecuación
z2 − (1 − 3i )z − (2 + 3i ) = 0.
Solución: (2 + i )2 = 3 + 4i; z1 , z2 = 2i ± (2 + i )
√
√
√
2
2
I 6. Resuelve
p z + 2 2z − 2 3i = 0. Pista: Resultará útil tener a mano el resultado de ( 3 + i ) y deducir de ello
el valor de
1+
√
3i
√
√
√
√
Solución: z1 = (− 2 + 3) + i, z2 = (− 2 − 3) − i.
3i (ejercicio anterior) para resolver z2 − 2iz − (2 +
2) i , z2 =
√1
2
−
√
3 + (−1 +
√
√
2)i / 2.
3
√
√
√
3i ) = 0.
3 + (1 +
1+
√
p
Solución: z1 =
I 7. Usa el valor de