Download elementos reales y asociación de elementos.

TEMA 4
ELEMENTOS REALES.
ASOCIACIÓN.
4.1.- Introducción.
4.2.- Elementos activos.
4.2.1.- Fuente de tensión.
4.2.2.- Fuente de corriente.
4.3.- Elementos pasivos.
4.3.1.- Resistencia.
4.3.2.- Condensador.
4.3.3.- Bobina de inducción.
4.3.4.- Bobinas en acoplamiento magnético.
4.3.5.- Transformador.
4.4.- Conceptos de impedancia y admitancia operacional.
4.5.- Asociación de elementos activos.
4.6.- Asociación de elementos pasivos.
4.6.1.- Asociación serie y asociación paralelo.
4.6.2.- Asociación estrella-triángulo.
4.7.- Inmitancias operacionales. Asociación.
4.8.- Configuraciones equivalentes.
-6565
4.1.-INTRODUCCIÓN.
En el capítulo anterior vimos todo lo referente a elementos activos y pasivos, en
su representación ideal. Veremos que, en la realidad, existen muchos casos donde
esta idealización no es eficiente, y tenemos que buscar modelos más representativos,
que den una respuesta más parecida a lo que en la realidad ocurre. Estudiaremos así
los distintos elementos ya vistos, pero desde el punto de vista más realista posible. De
esta forma llegaremos a la conclusión de que la práctica totalidad de los elementos
reales está formada por combinaciones de magnitudes ideales, lo cual introducirá una
mayor complejidad a los circuitos, pero, por suerte, no siempre ocurre esto y, en la
práctica, podremos seguir suponiendo que un condensador real sigue teniendo como
parte más importante (y casi exclusiva) una característica de capacidad ideal. Igual
ocurre con una resistencia, etc. Solamente en casos muy puntuales (al menos en lo
que toca a esta asignatura inicial) deberemos acudir a sus representaciones reales.
Más adelante incluiremos los conceptos de impedancia y admitancia
operacional, con vistas a unificar las ecuaciones, independientemente del elemento
pasivo con que trabajemos.
Para finalizar, veremos lo que ocurre cuando asociamos elementos reales, tanto
si son activos como si son pasivos. Así como algunas configuraciones equivalentes que
nos permiten simplificar a la hora de analizar un circuito.
4.2.- ELEMENTOS ACTIVOS.
4.2.1.- FUENTE DE TENSIÓN
Un generador de tensión real es aquel elemento del circuito que proporciona una
energía eléctrica con una determinada tensión v(t) que depende de la corriente que
pasa por él. La relación v-i en estos generadores es una línea recta, de pendiente
negativa, como se muestra en la Fig. 1a; esto es debido a que el generador real de
tensión presenta en general una cierta impedancia (que en el caso de D.C. se convierte
en una resistencia) en la que se produce una caída de tensión. Por ello, el símbolo de
un generador real de tensión está representado por un generador ideal más una
impedancia en serie. El valor de la tensión vg del generador ideal es el correspondiente
al punto en el que la característica v-i (Fig. 1a), corta al eje de ordenadas. Si se
comparan los símbolos de la Fig.1a del capítulo anterior y la Fig.1b siguiente, se
observa que un generador ideal de tensión tiene una impedancia Z en serie igual a
cero.
La potencia eléctrica suministrada por un generador de tensión real, con el
convenio de corrientes y tensiones conocido será:
pg (t) = v (t) ⋅ i(t)
-6666
(1)
Figura 1
En el caso de corriente alterna, la impedancia interna del generador consiste
en una resistencia en serie con una inducción.
4.2.2.- FUENTE DE CORRIENTE
Un generador de corriente real es un elemento activo que proporciona energía
eléctrica con una determinada i(t) que depende de la tensión en bornes. La relación v-i
en estos generadores es una linea recta de pendiente negativa, como se muestra en
la Fig.2a; esto es debido a que el generador real de corriente presenta, en general, una
admitancia en paralelo (que en el caso de D.C. se convierte en una conductancia), en
la que se produce una derivación de corriente i1 (ver Fig.2b). Por ello, el símbolo del
Figura 2
generador real de corriente está representado por un generador ideal con una
admitancia en paralelo.
-6767
El valor de la corriente ig del generador ideal es el correspondiente al punto en
el que la característica v-i corta al eje de abcisas. Si se comparan los símbolos de las
Fig.3a del capítulo anterior, y la Fig. 2b anterior, se observa que un generador ideal de
corriente tiene una admitancia Y en paralelo que es igual a cero (o una impedancia
infinita).
La potencia eléctrica suministrada por un generador de corriente real con los
sentidos de tensiones y corrientes mostrados en la Fig.5b es
p (t) = v (t) ⋅ i(t)
(2)
4.3.- ELEMENTOS PASIVOS
Veamos ahora algunas consideraciones respecto a los elementos pasivos,
cuando queremos tener en cuenta todas sus implicaciones reales.
4.3.1.- RESISTENCIA
En el mercado se encuentra gran variedad de tipos: fijas y variables. Según su
constitución pueden ser de carbón, de hilo bobinado, de depósito superficial, etc. Las
hay especiales: variables con la tensión (VDR), variables con la luz (fotorresistores),
resistencias que disminuyen con la temperatura (NTC o termistores), que aumentan
con la temperatura (PTC), etc.
A la hora de especificar una resistencia no es suficiente indicar su valor óhmico,
sino que es necesario detallar la máxima potencia que es capaz de transformar en
calor por efecto Joule sin deteriorarse y, además, la tolerancia dentro de la cual
garantiza el fabricante que se va a encontrar el valor óhmico pedido. Es lógico que el
precio del elemento aumente con la exigencia de tolerancias menores.
En el caso de resistencias especiales habrá que estudiar con más detenimiento
la característica deseada y elegir según los catálogos de los fabricantes.
El orden de magnitud de los valores límites existentes en el mercado varía
según la siguiente tabla:
Tipo
Carbón
Depósito superficial
Hilo bobinado
Variación
0,1 S ------------ 100 M S
0,1 S ------------ 10 M S
0,5 S ------------ 10 M S
-6868
Para indicar las características esenciales se sigue uno de los caminos
siguientes:
a) Escribirlos en la superficie de la resistencia.
b) Utilizar unas franjas coloreadas de acuerdo con la Fig. 3.
Figura 3
CÓDIGO DE COLORES PARA RESISTENCIAS
COLOR
DÍGITO
MULTIPLICADOR
TOLERANCIA
NEGRO
0
1
---
MARRÓN
1
10
---
ROJO
2
100
---
NARANJA
3
1.000
---
AMARILLO
4
10.000
---
VERDE
5
100.000
---
AZUL
6
1.000.000
---
VIOLETA
7
10.000.000
---
GRIS
8
0,01
---
BLANCO
9
0,1
---
ORO
---
0,1
±5%
PLATA
---
0,01
±10 %
SIN COLOR
---
---
-6969
±20 %
Por ejemplo, si los colores de las bandas (siempre se considerará como primera
banda la más próxima a cualquiera de los extremos) son:
Amarillo (4) Violeta (7) Rojo (2) Oro (5%)
el valor de la resistencia será de 4700 ohmios.
En los valores muy bajos puede tener gran influencia la resistencia que
presentan las conexiones al circuito.
La resistencia de un conductor viene dada por:
R= ρ
s
(3)
donde :
D resistividad (cte. que depende del material que forma el conductor).
R longitud.
s sección.
Para que R venga dado en ohmios es necesario que se den correctamente los
valores de esos parámetros. Normalmente, la longitud se mide en metros y la sección
en mm2, por lo que D deberá venir dado en SAmm2/m (por ejemplo, el cobre tiene una
resistividad -a 20ºC- de 0.017 y el aluminio comercial de 0.026)
Al valor inverso de D se le llama conductividad, y se suele expresar con la letra
c, con lo que:
R=
1
cs
(4)
También hay que tener en cuenta los calentamientos que se producen por
efecto Joule y según sea la temperatura ambiente, así será la de la propia resistencia,
variando con ella el valor de la resistividad. La expresión (45) indica como obtener el
valor de la resistividad (D’) a una temperatura 2’, conocida la D a la temperatura 2.
ρ θ ' = ρ θ ⋅ (1 + α θ (θ '− θ ))
(5)
"2 es el coeficiente de temperatura y viene dado por
αθ =
1
θ − θc
siendo 2c la llamada temperatura crítica, que es aquella para la cual D se hace cero
(por ejemplo, para el cobre es de -235º).
Otro punto a tener en cuenta, sobre todo si se manejan grandes frecuencias es
el efecto pelicular o skin, por el cual la sección efectiva disminuye (la resistencia
aumenta) cuando la frecuencia aumenta. La aparición de un campo magnético
-7070
(6)
asociado a la intensidad que circula por ella provoca que, en definitiva, aparezca una
tendencia a circular la corriente eléctrica por las capas más externas del conductor, con
lo que la sección de éste aprovechada es menor que la real.
También hay que considerar que si la resistencia es de hilo bobinado aparecerá
un efecto de inducción que será tanto más importante cuanto mayor sea la frecuencia
de la corriente. En este caso, el circuito equivalente de una resistencia real será de una
resistencia en serie con una inducción.
Para las resistencias utilizadas en los circuitos, lo más normal es considerarlas
como ideales, o si se tiene en cuenta alguno de los efectos anteriormente indicados,
efectuar las correcciones oportunas.
4.3.2.- CONDENSADOR
La cantidad de tipos de condensadores existentes en el mercado es grande, así
como sus aplicaciones.
Las especificaciones necesarias para el pedido de un condensador son:
-Capacidad.
-Tensión máxima que es capaz de soportar entre sus terminales sin que se
perfore el dieléctrico.
-Tolerancia garantizada por el fabricante para el valor de la capacidad indicada.
A veces, como ocurre en algunos tipos de resistencias, se indican estos valores
mediante bandas coloreadas en la superficie del condensador. En otros casos se
imprimen sus valores numéricos.
Igual que sucede en la resistencia, el condensador real se separa algo del ideal.
Su equivalente es el de la Fig. 4.
Figura 4
-7171
La resistencia R1 quiere indicar un camino de la corriente de fugas, que siempre
existe a través del dieléctrico colocado entre las armaduras del condensador.
R2 representa la resistencia de los electrodos, tapas, conexiones y terminales.
L es la inductancia interelectródica y representa la acción del flujo concatenado
por dos conductores en paralelo (los terminales del condensador).
Ya se ve que R2 y L serán tenidos en cuenta sólo en casos muy excepcionales.
De mayor importancia es la resistencia R1, causante de la autodescarga del
condensador desconectado del circuito. En un condensador ideal, la tensión se
mantendría constante a lo largo del tiempo; sin embargo, en uno real se observa que
la tensión disminuye según una exponencial de tanto mayor pendiente cuanto menor
sea R1. Veremos algo más de detalle a este respecto cuando estudiemos los circuitos
de primer orden.
Como normalmente los fenómenos eléctricos varían en períodos de tiempo muy
cortos frente al tiempo de descarga, no se suele tener en cuenta R2 y se considera al
condensador como ideal.
Para terminar, solamente añadir que para los condensadores utilizados en la
corrección del factor de potencia (en general, para los circuitos usados en electricidad,
no en electrónica) en lugar de dar el valor de la capacidad C se da el de su potencia
reactiva (Var) y la tensión de conexión a la red.
4.3.3.- BOBINA DE INDUCCIÓN
Es el elemento que menos se aproxima a las condiciones ideales, ya que al
estar formado por un conductor devanado en forma helicoidal, siempre existirá la
resistencia del propio conductor que da origen a la bobina.
Como por definición
L=
N ⋅φ
i
(7)
se podría aumentar L aumentando N o N. En el primer caso, el valor de la resistencia
del conductor sería grande, a no ser que aumentásemos la sección encareciendo con
ello la bobina. El aumento de N podría lograrse utilizando un núcleo de material
ferromagnético; por ejemplo hierro.
Esto da lugar a la aparición de pérdidas por histéresis y por corrientes de
Foucault, que son proporcionales al cuadrado de la tensión aplicada a la bobina. Por
ello se asimilan a las que se producirían en una resistencia Rp tal que al estar sometida
a la tensión de la bobina (conectada, por tanto, en paralelo con ella) se cumpla:
-7272
u2
= perdidas
Rp
(8)
También se podría tener en cuenta en un estudio muy riguroso la capacidad que
aparece entre las espiras que forman el devanado (conductores separados por un
dieléctrico y sometidos a una tensión).
Con todo lo dicho, el circuito equivalente pasaría a ser el de la Fig. 5a o el más
simple de la Fig. 5b.
Figura 5
Este último es el que normalmente se utiliza, aunque cuando se trabaja a
frecuencias elevadas, la influencia de C y de Rp no puede despreciarse, por lo que
habrá de aplicarse al circuito de la Fig. 5a.
4.3.4.- BOBINAS EN ACOPLAMIENTO MAGNÉTICO
La bobina en acoplamiento real se reduce a representar cada una de las
inducciones como una bobina real; lo único nuevo es la aparición de una capacidad de
acoplamiento entre los dos devanados C3.
Figura 6
-7373
4.3.5.- TRANSFORMADOR REAL
El circuito equivalente de un transformador real es ligeramente más complicado
que el de dos bobinas acopladas.
En la Fig. 13, S1 y S2 son las inductancias de dispersión y LM1 es la inductancia
Figura 7
magnetizante. Es necesario introducir este último elemento en la representación, para
saber la divergencia existente entre el transformador real y el ideal, lo que es debido
al hecho de que la inductancia de las bobinas no es infinita.
4.4.- CONCEPTOS DE IMPEDANCIA Y ADMITANCIA OPERACIONAL
Las relaciones tensión-corriente en los elementos pasivos simples estudiados
en los puntos anteriores, pueden escribirse de nuevo empleando los operadores:
D ≡
d
dt
;
1
≡
D
∫ dt
(9)
considerando que las condiciones iniciales son nulas, las expresiones para los
elementos resistencia, condensador y bobina se transforman en:
v R (t) = R ⋅ i(t)
di(t)
BOBINA:
vL = L ⋅
= L ⋅ D ⋅ i(t)
dt
1
11
CONDENSADOR: v C = ∫ i(t)dt =
i(t)
C
CD
RESISTENCIA:
(10)
Las ecuaciones anteriores indican que la tensión puede expresarse como un
producto de una cierta expresión del operador D, que en el caso de una simple
resistencia se reduce a una constante, por la variable corriente eléctrica.
-7474
Figura 8
Representaremos esa expresión por Z(D) y la denominaremos impedancia
operacional. En la Fig. 8 se muestra el símbolo de la impedancia y los sentidos
asociados de tensión y corriente. Este símbolo general puede representar por un único
elemento pasivo simple (R, L o C) o una combinación de ellos. De acuerdo con la
definición de impedancia y teniendo en cuenta las polaridades de la Fig. 8 se podrá
escribir:
v (t) = Z(D ) ⋅ i(t)
(11)
La relación anterior engloba las tres expresiones (10), cumpliéndose para cada
elemento:
Z (D ) = R
BOBINA
Z(D ) = LD
1
CONDENSADOR Z(D ) =
CD
RESISTENCIA
(12)
La impedancia es, según (11), un cociente entre tensión y corriente, y por ello
se mide en ohmios, igual que la resistencia eléctrica. En definitiva, lo que sucede es
que la impedancia es una magnitud más general que la resistencia y se utiliza cuando
las tensiones y corrientes varían con el tiempo. En el capítulo dedicado a corriente
alterna se tendrá una idea más física del significado de las relaciones (12). En principio,
lo que se pretende en este capítulo es dar formulaciones generales de la teoría de los
circuitos que sean válidas para cualquier tipo de excitación.
En el caso de que se tomen las tensiones como variables independientes, las
relaciones tensión-corriente en los elementos pasivos simples, que vimos en el capítulo
de elementos ideales, en el supuesto de valores iniciales nulos dan lugar a:
i(t) = G ⋅ v (t)
1
11
BOBINA
i(t) = ∫ v (t)dt =
v (t)
L
LD
dv (t)
CONDENSADOR i(t) = C
= CDv (t)
dt
RESISTENCIA
-7575
(13)
Las ecuaciones anteriores nos dicen que podemos expresar la intensidad i(t)
como un producto, no conmutativo, de una cierta expresión del operador D, que en el
caso de una resistencia se reduce a una constante, por la variable v(t).
Representaremos esta expresión por Y(D), y la denominaremos admitancia
operacional, cuyo símbolo es el mismo que el de la Fig. 8 de la impedancia. De este
modo se cumplirá:
i(t) = Y (D ) ⋅ v (t)
(14)
que, aplicada a (13) nos indica el valor de la admitancia para cada elemento pasivo
simple:
Y (D ) = G
1
BOBINA
Y (D ) =
LD
CONDENSADOR Y (D ) = CD
RESISTENCIA
(15)
La admitancia es, según (15), un cociente entre corriente y tensión y, por ello,
se mide en siemens, al igual que la conductancia eléctrica. En definitiva, la admitancia
es una magnitud más general que la conductancia y se emplea en circuitos en los que
las tensiones y corrientes varían con el tiempo.
Los conceptos de impedancia y admitancia operacional son muy útiles para
desarrollar los principales teoremas de circuitos desde un punto de vista general. En
el caso de que las fuentes de excitación no varíen con el tiempo (corriente continua),
solo tiene sentido hablar de resistencia y conductancia; obsérvese que en este caso,
al ser D=d/dt=0, la impedancia de una bobina, teniendo en cuenta la 2ª relación de (12)
es cero, mientras que para un condensador se observa que la impedancia es infinita.
Lo anterior significa que una bobina alimentada con corriente continua se comporta
como un cortocircuito (impedancia cero), mientras que un condensador se comporta
como un circuito abierto (impedancia infinita). De otra forma, puede decirse que una
corriente continua que circule por una bobina produce una d.d. p. nula en sus bornes,
mientras que si se aplica una d.d. p. continua a un condensador éste no dejará pasar
la corriente.
Si se comparan las expresiones (12) y (15), se observa que los conceptos de
impedancia y admitancia son inversos y se cumple:
Y ( D) =
1
Z ( D)
-7676
(16)
4.5.-ASOCIACIÓN DE ELEMENTOS ACTIVOS
En el capítulo anterior vimos como se asocian elementos activos ideales,
veremos ahora como se modifica esto para el caso de que dichos generadores sean
reales.
La asociación de fuentes reales no tienen ningún impedimento en cuanto al tipo
(esto es, puede hacerse tanto en serie como en paralelo), pero sigue sin tener sentido
el agrupar generadores de tensión en paralelo o de corriente en serie (si no son del
mismo valor) , por lo que solamente veremos los casos de interés práctico y no vamos
a demostrarlos.
a)Fuentes de tensión reales en serie.
En este caso puede demostrarse que el conjunto equivale a un nuevo generador
de tensión real cuya f.e.m. es la suma algebraica de las f.e.m. individuales y cuya
impedancia interna la suma de las impedancias individuales (por estar en serie).
b)Fuentes de corriente reales en paralelo.
Ahora, el circuito equivalente es otra fuente real de corriente cuya intensidad es
la suma algebraica de las corrientes individuales y cuya admitancia es la suma de las
admitancias individuales.
Ambos casos podrán deducirse fácilmente cuando se vean los Teoremas de
Thevenin y de Norton, más adelante.
4.6.- ASOCIACIÓN DE ELEMENTOS PASIVOS
En este capítulo hablaremos de las formas en que pueden asociarse los
elementos pasivos, en sus formas básicas: serie, paralelo, triángulo y estrella. Veremos
como puede obtenerse un circuito equivalente a otro dado, mediante técnicas de
asociación entre éstos (por ahora prescindimos de elementos activos).
A menudo, en el análisis de circuitos, el ingeniero puede sustituir una parte del
circuito por otra equivalente que sea más sencilla. Lo que haga que dos circuitos sean
equivalentes reside en su relación i-v, según se desprende de la definición siguiente:
Se dice que dos circuitos son equivalentes si tienen características i-v
coincidentes en un par de terminales determinado.
Nótese que esa definición puede incorporar perfectamente también elementos
activos.
Solamente resta matizar que equivalencia no significa igualdad.
-7777
Los conceptos de equivalencia serie/paralelo, la división de tensión/corriente y
las transformaciones de fuentes se pueden utilizar para analizar algunos circuitos. La
estrategia fundamental del análisis consiste en reducir el circuito a otro equivalente
más sencillo en el cual la salida buscada se encuentre fácilmente por división de
tensión o de intensidad, o incluso, tal vez, mediante la ley de Ohm. No existe ninguna
norma fija para el proceso de reducción y éste depende en gran manera de la “vista”
del analista. Ahora bien, en todo caso, en la reducción del circuito trabajamos
directamente con el modelo de circuito y así el proceso nos permite profundizar en el
comportamiento del mismo.
4.6.1.- ASOCIACIÓN SERIE Y ASOCIACIÓN PARALELO
4.6.1.1.- Asociación serie.
En el primer capítulo (Introducción), ya avanzamos este concepto y obtuvimos
el siguiente resultado:
Figura 9
Para el circuito de la Fig. 9 se obtiene el siguiente resultado
(17)
Hemos trabajado (sin mencionarlo) con admitancias operacionales, por lo que
el resultado es válido tanto para resistencias, como para condensadores y bobinas,
como vamos a pasar a comprobar.
a) Resistencias:
En este caso se cumplirá:
RT = R1 + R2 + + Rn
-7878
(18)
b) Bobinas:
La ecuación (17) nos dice que
ZT = LT ⋅ D = L1 ⋅ D + L2 ⋅ D + + Ln ⋅ D
(19)
con lo que, sacando factor común el operador D, podemos poner que
LT = L1 + L2 + + Ln
(20)
c) Condensadores:
Ahora, la ecuación (17) nos indica
ZT =
1
1
1
1
=
+
+ +
CT ⋅ D C1 ⋅ D C2 ⋅ D
Cn ⋅ D
(21)
de donde, sacando factor común 1/D quedará:
1
1
1
1
=
+
+ +
CT C1 C 2
Cn
4.6.1.2.- Asociación Paralelo.
También la vimos en el capítulo de introducción, por lo que volvemos a
reproducir aquí los resultados allí obtenidos.
Figura 10
Para un circuito paralelo como el de la Fig. 10, se llegaba a que la admitancia
total equivalente era igual a la suma de las admitancias individuales.
-7979
(22)
(23)
De nuevo, este resultado es para admitancias operacionales, con lo que
podemos sustituir para cada caso particular:
a) Resistencias:
Ahora se tiene
YT = GT = G1 + G 2 + h+ Gn
(24)
1
1
1
1
=
+
+ h+
RT
R1 R2
Rn
(25)
o sea:
b) Bobinas:
De igual manera
YT =
1
1
1
1
=
+
+ h+
LT ⋅ D L1 ⋅ D L2 ⋅ D
Ln ⋅ D
(26)
de donde, al sacar factor común 1/D, obtenemos
1
1
1
1
=
+
+ h+
LT
L1 L2
Ln
(27)
YT = CT ⋅ D = C1 ⋅ D + C 2 ⋅ D + h+ Cn ⋅ D
(28)
c) Condensadores:
Ahora tenemos que
y, sacando factor común el operador D llegamos a que
CT = C1 + C 2 + h+ Cn
-8080
(29)
4.6.2.- ASOCIACIÓN ESTRELLA-TRIÁNGULO
Hay ciertas asociaciones de elementos pasivos que aparecen frecuentemente
en la Ingeniería Eléctrica y que no se pueden simplificar directamente ya que no
corresponden simplemente a asociaciones de impedancias en serie o paralelo. Estas
redes generalmente requieren una transformación de una red estrella a una red
triángulo o viceversa. Además, estas dos configuraciones tienen una importancia
fundamental ya que son las dos posibilidades de conexión de cargas trifásicas.
En la Fig. 11 se muestran estas redes pasivas, cuyos terminales de acceso
exterior se han denominado 1, 2 y 3 y que tienen la misma situación “topográfica”. La
conexión estrella representa tres impedancias Z1, Z2 y Z3, que parten de los tres nudos
de acceso externo 1, 2 y 3 y que se unen en un punto común (Fig. 11a). La conexión
triángulo está formada por tres impedancias ZA, ZB y ZC, que unen los diversos nudos
dando la apariencia geométrica de un triángulo (Fig. 11b).
Necesitamos ahora buscar las leyes de transformación de una red en la otra, de
tal modo que ambos circuitos sean equivalentes desde el punto de vista externo, es
decir, desde los nudos 1, 2 y 3.
Está claro que si las dos redes son equivalentes deberán consumir las mismas
corrientes cuando se aplican las mismas tensiones externas, lo que equivale a decir
Figura 11
en términos de impedancia, que las impedancias que se observan entre los diferentes
terminales 1-2, 2-3 y 3-1 deben ser idénticas para ambos montajes y, por consiguiente,
se deben satisfacer las siguientes igualdades:
-8181
Impedancia entre los
nudos
Estrella
Triángulo
1y2
Z1 + Z2
ZC || (ZA + ZB)
2y3
Z2 + Z3
ZA || (ZB + ZC)
3y1
Z3 + Z1
ZB || (ZC + ZA)
El símbolo || en las expresiones anteriores expresa la conexión en paralelo de
la impedancia que tiene delante con la que tiene detrás. Para escribir las igualdades
anteriores se ha tenido en cuenta que, para la estrella, se observan desde cada par de
terminales, dos impedancias en serie con la restante en paralelo. Las ecuaciones
anteriores se pueden resolver para obtener los valores de Z1, Z2 y Z3, en función de ZA,
ZB y ZC, o a la inversa, resultando:
1) Transformación triángulo-estrella
En este caso se conocen los valores de ZA, ZB y ZC, del triángulo y deseamos
calcular los equivalentes Z1, Z2 y Z3, de la estrella. El proceso de resolución es simple
a partir de las ecuaciones del cuadro, llegando a
Z1 =
ZB ⋅ ZC
ZA + ZB + ZC
; Z2 =
ZC ⋅ ZA
ZA + ZB + ZC
; Z3 =
ZA ⋅ ZB
ZA + ZB + ZC
(30)
Cada una de las ecuaciones anteriores responde a la forma:
Producto de las dos impedancias del
Zi =
triangulo conectadas al nudo i
suma de las tres impedancias del triangulo
que nos da la regla nemotécnica simple para recordar las equivalencias triánguloestrella.
2) Transformación estrella-triángulo
En este caso se conocen los valores de las impedancias Z1, Z2 y Z3, de la
estrella y se desean calcular los valores equivalentes de ZA, ZB y ZC, del triángulo. El
proceso de resolución consisten en dividir dos a dos las ecuaciones del cuadro y
sustituyendo en la restante. El resultado es:
-8282
(31)
ZA =
Z1 ⋅ Z2 + Z2 ⋅ Z3 + Z3 ⋅ Z1
Z1
(32)
ZB =
Z1 ⋅ Z2 + Z2 ⋅ Z3 + Z3 ⋅ Z1
Z2
(33)
ZC =
Z1 ⋅ Z2 + Z2 ⋅ Z3 + Z3 ⋅ Z1
Z3
(34)
Cada una de esas ecuaciones responden a la expresión:
suma de los productos de todas las impedancias
Zi =
de la estrella tomadas por parejas
impedancia de la estrella conectada al uno opuesto a Zi
(35)
Las transformaciones anteriores se utilizan con gran frecuencia en el análisis de
circuitos, ya que permiten simplificar ciertas redes en las que las impedancias no están
conectadas de forma simple en serie o en paralelo.
4.7.- INMITANCIAS OPERACIONALES. ASOCIACIÓN
En el capítulo dedicado a elementos pasivos, vimos los conceptos de
impedancia y admitancia operacional. Podemos reunificar ambos conceptos en solo
uno, que llamaremos inmitancia operacional, que relaciona las variables i-v.
Dependiendo de cual sea la variable independiente la inmitancia coincidirá con la
impedancia o con la admitancia. En concreto, si la variable independiente es la
intensidad, tendremos que la inmitancia coincide con la impedancia y en caso de que
sea la tensión, coincidirá con la admitancia.
Todo esto tiene interés en cuanto a unificación de la teoría (y uso del que luego
veremos como teorema de dualidad.
Como ya sabemos, se cumple que
Y (D ) =
1
Z (D )
por lo que, salvo singularidades, dada una impedancia podemos obtener su admitancia
-8383
(36)
asociada y viceversa. Esto es útil en función de que queramos reducir circuitos con
asociaciones en serie o en paralelo.
De todo lo comentado con anterioridad cabe decir que para cualquier asociación
de inmitancias, sea serie o sea paralelo se reduce a otra inmitancia del mismo tipo que
es la suma de las inmitancias individuales. Lo único a tener en cuenta es que si la
asociación de elementos es en serie, las inmitancias deberán estar dadas en forma de
impedancias y si es en paralelo deberán ponerse en forma de admitancias. Por lo
demás, no se añade nada nuevo a lo visto en los casos separados.
Por supuesto, que un circuito puede presentar combinaciones mezcladas de
serie y paralelo, con lo cual se irán obteniendo las reducciones parciales de forma
sucesiva hasta llegar a una sola inmitancia final.
También hay que indicar que existen otras asociaciones que no son ni serie ni
paralelo, por lo que no podrán utilizarse estas técnicas. Este es el caso que vamos a
ver a continuación de configuración estrella y triángulo. Con todas ellas si que
podremos ya reducir cualquier circuito pasivo a su inmitancia equivalente.
4.8.- CONFIGURACIONES EQUIVALENTES
Podemos intercambiar generadores de tensión por generadores de corriente y
viceversa, siempre y cuando éstos sean reales (esto es, tengan su correspondencia
impedancia asociada no nula). Esto es muy interesante a la hora de simplificar y
resolver circuitos (como veremos en su momento, para aplicar el método generalizado
de mallas, no se deben tener generadores de corriente y para el de nudos no deben
existir generadores de tensión, por lo que previamente habrá que transformar unos en
otros, según los requisitos).
Un generador de tensión se puede sustituir a efectos externos por un
generador real de corriente y viceversa. Para demostrar las reglas de equivalencia,
consideremos los circuitos de la Fig. 12 a y b, que muestran, respectivamente, un
generador real de tensión y un generador real de corriente, que dan al circuito externo
que se conectará entre A y B la misma tensión v(t) entre terminales y la misma
corriente de carga i(t). Imponiendo la igualdad de v(t) e i(t) hacia el circuito externo, se
observa que para el generador de tensión, al aplicar el 2º Lema de Kirchhoff se
cumplirá:
v g (t) = v (t) + Z ⋅ i(t)
de donde resulta:
i(t) =
v g (t)
Z
-8484
−
v (t)
Z
(37)
(38)
Figura 12
si de una forma dual se aplica el primer lema de Kirchhoff al generador de corriente
real, se tendrá, en el nudo A:
i(t) = ig (t) −
v (t)
Z1
(39)
las ecuaciones (38) y (39) serán idénticas si se cumple la doble igualdad siguiente:
ig (t) =
v g (t)
Z
Z1 = Z
;
(40)
Las ecuaciones (40) representan de este modo las reglas de transformación e
indican en este caso, los valores de los parámetros del generador de corriente en
función de los valores del generador de tensión. Inversamente, si se parte de un
generador de corriente real, obtenemos
v g (t) = Z1 ⋅ ig (t)
;
Z = Z1
(41)
que nos dan los valores de los parámetros del generador de tensión equivalente al de
corriente. Debe advertirse al hacer estos cambios, de cuales deben ser los sentidos y
polaridades de los generadores. Si el generador de tensión tiene el polo + al lado del
terminal A, el generador de corriente bombeará corriente hacia este borne A y
viceversa. Se vuelve a recalcar que esta equivalencia es válida solamente a efectos
externos, es decir, para analizar el comportamiento del circuito que se conecte entre
A y B. Si se solicita en un problema específico, un parámetro interior de los circuitos
de la Fig. 12 debe volverse al esquema original.
Otro aspecto a repetir es la imposibilidad de sustituir un generador ideal de
tensión por otro de corriente ideal o a la inversa. Recuérdese que en un generador de
tensión ideal la impedancia Z es igual a cero, por lo que si se intentara transformarlo
en corriente, de acuerdo con las reglas de equivalencia indicadas en (40) daría lugar
a ig = infinito y además con Z1 = Z = 0, es decir con los terminales en cortocircuito, lo
que no tiene sentido físico. Análogamente se puede demostrar la relación inversa, que
conduce a resultados similares.
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