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5 2
2 1
1 -1
,B=
yC=
.
3 1
3 -2
1 2
b) Sean F1, F2 y F3 las filas de una matriz cuadrada de orden 3 cuyo detereminante vale 5. Calcular razonadamente el valor del
1. [2014] [EXT-A] a) Resolver la siguiente ecuación matricial X·A = B-C, siendo A =
determinante de la matriz cuyas filas son respectivamente 3F1-F3, F2 y 2F3.
2. [2014] [EXT-B] Sea el sistema de ecuaciones lineales
mx-y = 1
.
-x+my = 1-2m
a) Discutir el sistema según los valores de m.
b) Hallar los valores de m para los que el sistema tenga alguna solución en la que x = 2.
3. [2014] [JUN-A] Discutir, y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro m:
mx+y = 1
x+my = m
2mx+2y = m+1
a a+1 a+2
4. [2014] [JUN-B] Sea la matriz A = a a+3 a+4 .
a a+5 a+6
a) Discutir su rango en función de los valores de a.
0
b) Para a = 1, resolver la ecuación matricial AtX = 0 , siendo At la matriz traspuesta de A.
0
5. [2013] [EXT-A] a) Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro m:
3x-y+mz = 0
x+y = m
mx-3y+mz = -2m
b) Resolverlo para m = 0.
6. [2013] [EXT-B] Sea la matriz M =
1 1 1
0 2 1 .
-1 -2 -2
a) Calcular M-1.
b) Calcular la matriz X que cumple X·M + M = 2M2.
7. [2013] [JUN-A] Sean las matrices A =
3
2
1 , B = -1
-4
a
1
y C= 2 .
1
a) Calcular, cuando sea posible, las matrices C·Bt, Bt·C, B·C.
b) Hallar a para que el sistema x·A + y·B = 4·C de tres ecuaciones y dos incónitas x e y, sea compatible determinado y resolverlo
para ese valor de a.
a -2 0
8. [2013] [JUN-B] Sea la matriz A = 0 -2 0 .
0 1 a
a) ¿Para qué valores de a la matriz A es inversible?
b) Estudiar el rango según los valores de a.
1
c) Hallar a para que se cumpla A-1 = A.
4
9. [2012] [EXT-A] Se considera el sistema
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x+ay-z = 2
2x+y+az = 0 , donde a es un parámetro real. Se pide:
x+y-z = a+1
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a) Discutir el sistema en función del valor de a.
b) Hallar la solución del sistema para a = 1, si procede.
1 a -1
1 0 -1 .
3 a a
b) Sea C una matriz 2x2 de columnas C1 y C2 y de determinante 5, y sea B una matriz 2x2 de determinante 2. Si D es la matriz de
10. [2012] [EXT-B] a) Determinar, en función del valor del parámetro real a, el rango de la matriz A =
columnas 4C2 y C1-C2, calcular el determinante de la matriz BD-1.
ax+y+z = (a-1)(a+2)
x+ay+z = (a-1)2(a+2)
11. [2012] [JUN-A] Se considera el sistema de ecuaciones
x+y+az = (a-1)3(a+2)
a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a.
b) Resolver el sistema para a = 1.
c) Resolver el sistema para a = -2.
12. [2012] [JUN-B] Sea M una matriz cuadrada que cumple la ecuación M2 - 2M = 3I, donde I denota la matriz identidad.
a) Estudiar si existe la matriz inversa de M. En caso afirmativo expresar M-1 en términos de M e I.
a b
b) Hallar todas las matrices M de la forma
que cumplen la ecuación M2 - 2M = 3I.
b a
-1 0 1
13. [2011] [EXT-A] a) Averiguar para qué valor de m la matriz A = -1 1 -m no tiene inversa.
0 m -2
b) Calcular la matriz inversa de A para m = 0.
c) sabemos que el determinate de una matriz cuadrada A vale -1 y que el determinate de la matriz 2·A vale -16. ¿Cuál es el orden
de la matriz A?
14. [2011] [EXT-B] Discutir según los valores de m y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales
15. [2011] [JUN-A] a) Calcular el rango de la matriz A =
1
5
9
13
2
6
10
14
3
7
11
15
mx+y = 2
x+my = m .
x+y = 2
4
8
.
12
16
b) Si B es una matriz cuadrada de dimensión 3x3 cuyo determinante vale 4, calcula el determinate de 5B y el de B2.
16. [2011] [JUN-B] Discutir y resolver, cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro m:
x+y+z = 1
x-y-z = 0 .
3x+my+z = m+1
17. [2010] [EXT-A] Discutir, y resolver en los casos que sea posible, el sistema:
ax+y-z = 1
x+2y+z = 2 .
x+3y-z = 0
a1 b1 c1
18. [2010] [EXT-B] a) Si se sabe que el determinante a2 b2 c2 vale 5, calcular razonadamente :
a3 b3 c3
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a1 2a2 3a3
b1
a1
c1
b1 2b2 3b3 y a2+a3 b2+b3 c2+c3
c1 2c2 3c3
a2
b2
c2
-1
b) Si A es una matriz cuadrada de tamaño 2x2 para la cual se cumple que A = At (At = traspuesta de la matriz A), ¿puede ser el
determinante de A igual a 3?
19. [2010] [JUN-A] a) Sea B una matriz cuadrada de tamaño 3x3 que verifica que B2 = 16I, siendo I la matriz unidad. Calcular el
determinante de B.
0 0 1
0 1
X=
.
b) Hallar todas las matrices X que satisfacen la ecuación
0 0 2
0 1
20. [2010] [JUN-B] Consideramos el sistema de ecuaciones lineales:
2x - y + az = 1+a
x - ay + z = 1
x + y + 3z = a
a) Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro a.
b) Resolver el sistema para a = 1.
-x -1 2x
21. [2009] [EXT-A] Resolver la ecuación: 2x -x -1-x = 0.
-1 2x 0
22. [2009] [EXT-B] Estudiar, en función del parámetro real , el rango de la matriz A =
2- 1 1
1 - -1 .
1 -1 2-
23. [2009] [JUN-A] Sea A una matriz cuadrada tal que det(A) = -1 y det (-2)A = 32. Calcular el tamaño de la matriz A.
24. [2009] [JUN-A] Calcular la matriz X que verifica AX = BBt, donde A =
25. [2009] [JUN-B] Sea el sistema de ecuaciones lineales:
2 1
0 1 0
yB=
, siendo Bt la matriz traspuesta de B.
3 -2
3 -1 2
x-y = 5
y+z =  . Se pide:
x-2z = 3
a) Discutirlo en función del parámetro .
b) Resolverlo cuando sea posible.
26. [2009] [JUN-B] Resolver la ecuación:
x+1 x x
x x+1 x = 0.
x x x+1
27. [2008] [EXT-A] Sea a un parámetro real. Se considera el sistema
x+ay+z = 2+a
(1-a)x+y+2z = 1
ax-y-z = 1-a
a) Discutir el sistema en función del valor de a.
b) Resolver el sistema para a = 0.
c) Resolver el sistema para a = 1.
28. [2008] [EXT-A] Sea A una matriz 3x3 de columnas C1, C2 y C3 (en ese orden). Sea B la matriz de columnas C1+C2, 2C1+3C3 y C2
(en ese orden). Calcular el determinante de B en función del de A.
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29. [2008] [EXT-B] Sea a un número real. Discutir el sistema de ecuaciones siguiente, según los valores de a:
30. [2008] [JUN-A] Sean las matrices B =
ax+y = 0
2x+(a-1)y = 0
5 3
13 8
yC=
. Calcular la matriz A, sabiendo que A2 = B y A3 = C.
3 2
8 5
31. [2008] [JUN-B] Se considera el sistema
x-y+z = -1
y+z = 2a donde a es un parámetro real.
x+2z = a2
a) Discutir el sistema en función del valor de a.
b) Resolver el sistema para a = 0.
c) Resolver el sistema para a = 1.
32. [2008] [JUN-B] Calcular el rango de la matriz A =
1
-1
2
3
3
1
4
2
-1
-3
0
4
-5
-3
.
-6
-1
x+y+az = 4
ax+y-z = 0 , donde a es un parámetro real.
2x+2y-z = 2
a) Discutir el sistema en función del valor de a.
b) Resolver el sistema para a = 1.
33. [2007] [EXT-A] Se considera el sistema
34. [2007] [EXT-A] Sean X una matriz 2x2, I la matriz identidad 2x2 y B =
2 1
. Hallar X sabiendo que BX+B = B2+I.
0 1
2 1 m
35. [2007] [EXT-B] Discutir, en función del número real m, el rango de la matriz A = 1+m 2 3 .
-2 -1 2
36. [2007] [JUN-A] Hallar para qué valores de a es inversible la matriz A =
a 4+3a
y calcular la inversa para a = 0.
1 a
7
0 0 0
0
2
1
37. [2007] [JUN-B] Sean las matrices A = 2 , B = 2 , C = 0 1 0 , D = 2 y E = 5 .
-2
0 0 1
2
3
3
a) Hallar la matriz ABt, donde Bt indica la matriz traspuesta de B. ¿Es invertible?
b) Hallar el rango de la matriz AtD.
x
c) Calcular M = y que verifique la ecuación ABt+C M = E.
z
38. [2006] [EXT-A] Sea m un número real. Discútase, en función de m, el sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de
1 1 1
los coeficientes es A = 1 m m .
2 m+1 2
kx+3y = 0
39. [2006] [EXT-B] Discútase, en función del parámetro real k, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 3x+2y = k . Resuélvase el
3x+ky = 0
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sistema cuando sea posible.
1 2 a
40. [2006] [EXT-B] Dada la matriz P = 2 a+1 0 , determínense los valores del número real a para los cuales existe la matriz inversa
3 4 5
de P.
41. [2006] [JUN-A] Hállense las matrices A cuadradas, de orden 2, que verifican la igualdad: A
42. [2006] [JUN-B] Se considera el sistema de ecuaciones lineales
1 0
1 0
=
A.
1 1
1 1
x+2y+z = 3
(1+a)y+z = 4 .
x+2y+az = 4
a) Discútase el sistema según el valor del parámetro real a.
b) Resuélvase el sistema para a = 2.
-1 0 0
1 1 0
43. [2006] [JUN-B] Dadas las matrices P = -1 0 1 y A = 0 -1 0 , hállese razonadamente la matriz B sabiendo que BP = A.
0 0 2
-1 -1 1
44. [2005] [EXT-A] Sea la matriz A =
a b
. Calcúlese el determinante de A sabiendo que A2-2A+Id = O, donde Id es la matriz
0 c
identidad y O la matriz nula.
1 2 1
45. [2005] [EXT-A] Discútase, según el valor de a, el rango de la matriz 2 1 3 .
0 1 a
46. [2005] [EXT-B] Sea k un número real. Considérese el sistema de ecuaciones lineales
kx+y+z = 1
x+ky+z = k
x+y+kz = k2
(a) Discútase según los valores de k e interprétese gemétricamente el resultado.
(b) Resuélvase el sistema para k = 2.
47. [2005] [EXT-B] Sea A =
1 2
. Determínense los valores de m para los cuales A+mId no es invertible (donde Id denota la matriz
2 3
identidad).
x+ay-z = 2
2x+y+az = 0 , en función del valor de a.
3x+(a+1)y-z = a-1
(b) Para el valor a = 1, hállese, si procede, la solución del sistema.
48. [2005] [JUN-A] (a) Discútase el sistema
49. [2005] [JUN-A] Sea A una matriz 2x2 de columnas C1, C2 y determinante 4. Sea B otra matriz 2x2 de determinante 2. Si C es la
matriz de columnas C1+C2 y 3C2, calcúlese el determinante de la matriz B·C-1.
1 0 0
1 0 0
50. [2005] [JUN-B] Dadas las matrices A = 1 0 0 , C = 2 1 0 , hállense las matrices X que satisfacen XC+A = X+A2.
3 2 2
1 0 0
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51. [2004] [EXT-A] Sea A una matriz cuadrada de orden 4 cuyo determinante vale 3, y sea la matriz B =
determinante de la matriz B.
4
3A. Calcúlese el
x+2y+3z = 1
x+ay+3z = 2 .
2x+(2+a)y+6z = 3
a) ¿Existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema es incompatible?
b) ¿Existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema es compatible determinado?
c) Resúelvase el sistema para a = 0.
52. [2004] [EXT-B] Se considera el sistema de ecuaciones lineales
-1 0 0
1 1 1
53. [2004] [EXT-B] Dadas las matrices P = -1 0 1 y A = 0 -1 0 , hállese la matriz B sabiendo que B-1PB = A.
0 0 2
0 -1 1
54. [2004] [JUN-A] Se tiene una matriz M cuadrada de orden 3 cuyas columnas son respectivamente C1, C2 y C3 y cuyo determinante
vale 2. Se considera la matriz A cuyas columnas son -C2, C3+C2, 3C1. Calcúlese razonadamente el determinante de A-1 en caso de
que exista esa matriz.
x+y+z = 
x+y+z = 1
x+y+z = 1
a) Discútase según los valores del parámetro .
b) Resuélvase para  = -3.
c) Resuélvase para  = 1.
55. [2004] [JUN-B] Se considera el sistema
56. [2004] [JUN-B] Dada la matriz B =
1 2 -1
, hállese una matriz X que verifique la ecuación XB+B = B-1.
3 -1 2
2x-3y = 0
x-y+z = 0
x+2y+mz = m
b) Resolver en los casos de compatibilidad el sistema anteiror.
57. [2003] [EXT-A] a) Discutir en función de los valores de m:
58. [2003] [EXT-A] Se consideran las matrices A =
1 2 m
yB=
1 -1 -1
1 3
m 0 , donde m es un número real. Encontrar los valores de m
0 2
para los que AB es inversible.
59. [2003] [EXT-B] Si A y B son dos matrices cuadradas que verifican AB = B2, ¿cuándo se puede asegurar que A = B?
1 1 1
60. [2003] [JUN-A] Estudiar el rango de la matriz A, en función de los valores del parámetro m: A = 1 2 2 .
1 2 m
1 0 -1
-1 0 1
2 1 0 y B = 1 1 1 , se defina la matriz C = A+mB.
-2 0 0
3 2 -1
a) Hallar para qué valores de m la matriz C tiene rango menor que 3.
b) Para m = -1, resolver el sistema lineal homogéneo cuya matriz de coeficientes es C.
61. [2003] [JUN-B] Dadas las matrices A =
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62. [2003] [JUN-B] Si A es una matriz cuadrada, ¿la matriz A+At es igual a su traspuesta? Razonar la respuesta (At es la matriz
traspuesta de A).
Soluciones
5 -8
1. a)
-14 24
b) 30
2. m=-1: inc; m=1: c.i.; m{-1,1}: c.d. b) m=1: (2,1); m =
2 0 1
1 1 1
-2 -1 -2
-3
: (2,-4)
2
3. m=1: c.i. (1-k,k); m1: inc.
4. a) 2, a b) (k,-2k,k)
5. a) m{0,1}: c.i.;
3 -1 -4
28 -12
7. a) CBt= 6 -2 -8 ; BtC = -3 b) -1;
,
8. a) a0 b) a=0: 1; a0: 3 c) 2 9. a) a=-2: inc; a = 1: c.i;
5 5
3 -1 -4
1
-1
-1 0
3 0
11. a) a{-2,1}: c.i; a{-2,1}: c.d. b) (k,m,-k-m) c) (k,k,k) 12. a) (M-2I) b)
,
,
a{-2,1}: c.d. b) (-2-2k,4+3k,k) 10. a) a{-3,0}: 2; a{-3,0}: 3 b)
0 -1
0 3
3
10
-2 0 -1
1
1
1 1-2k
1 -1
1 -2
1 2
,
13. a) -2,1 b)
,
,k ; m  1: c.d.
,1,
17. a = : inc;
-2 2 -1 c) 4 14. m = 0: c.d. (02); m  0: inc. 15. a) 2 b) 1000, 16 16. m = 1: c.i.
5
-2 1
2 1
2
2 2
2 2
0 0 -1
1
9 2a-4 6a-3
a b c
a : c.d.;
,
,
18. a) 30, -5 b) |A| = 1 19. a) 64 b)
20. a) a{0,5}: inc; a{0,5}: c.d. b) (1,0,0) 21. 1 22. {-1,2,3}: 2; {-1,2,3}: 3 23.
5
5a-1 5a-1 5a-1
0 0 1
-1
-1
12+3 2-2 3
-1
3 -1
1 1 12
25. = : inc;  : c.d.
,
,
26.
27. a) a = -1: inc; a = : comp. ind; a{-1,0}: comp.det b) (2-k,-1-k,k) c)
,2,
28. -3A
5 24.
2
2
2+1 2+1 2+1
3
2 2
7 5 -31
-1
1
2 1
29. a{-1,2}: comp. ind: a{-1,2}: comp. det. 30.
31. a) a = 1: comp. ind; a  1: incomp. b) inc. c) (1-2k,2-k,k) 32. 2 33. a) a = : inc. ; a = 1: c.i. ; a - ,1 :
1 1
2
2
7 2 -2
-7/6
1 3 1
1 0 4
c.d. b) (k,2-k,2) k 34.
35. m{-2,3}: 2 ; m{-2,3}: 3 36. a{-1,4} ;
37. a) 14 4 -4 , no b) (10) , 1 c)
38. m=1: c.i. m1: c.d. 39. k =
1
2 0 2
4 1 0
21 6 -6
-3
-3 -3
a 0
,
; k {-3,0,3}: inc 40. cualquier valor 41.
; a,c 42. a) a{-1,1}: inc. a{-1,1}: c.d. b) 0,1,1
43.
0: c.d. 0,0 ; k = 3: c.d. 3,-3 ; k = -3: c.d.
c a
5 5
-1 1 -1
-1
-1
44. 1 45. a = : 2; a  : 3 46. (a) k = 1: comp.ind. planos coincidentes ; k = -2: incomp. planos que se cortan dos a dos ; k  {-2,1}: comp. det. los planos se
0 -1 1
3
3
2 0 2
1 0 0
1
1
1
-3 1 9
, ,
47. -2 5 48. (a) a 0,
: incomp; a 0,
: comp.det. (b) -6,10,2
49.
50. 0 1 0
51. 9 52. a) 2 b) no c)
cortan en un punto. (b)
2
2
6
4 4 4
0 0 1
0 1 1
-1
-3m -2m m
-1
4 4
53. 1 0 1
54.
55. a)  = 1: comp. ind;   1: comp. det. b) (-1,-1,-1) c) (k,m,1-k-m) 56.
57. m = 7: inc. ; m  7: c.d. ;
,
,
58.
2-3k, ,k
4 4
6
m-7 m-7 m-7
2
1 1 0
1
59. Si existe B-1 60. m = 2: 2 ; m  2: 3. 61. a) 1 b) (k,-2k,k) k 62. Si
m  -2,
2
m{0,1}: c.d. b) (0,0,k) 6. a)
14 de marzo de 2015
b)
1 2 2
0 3 2
-2 -4 -5
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