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Colecciones de ejercicios
1. [2014] [EXT-A] a) Sean A y B matrices 2x2. Determine dichas matrices sabiendo que verifican las siguientes ecuaciones:
-4 -2
A + 3B =
3 -4
2A - B =
b) Sean C y D las martices: C =
-1 3
-1 -1
1 1
2 2
, D=
.
1 0
0 1
Determine el determinante: 5(CD)-1 , donde (CD)-1 es la matriz inversa de (CD).
2. [2014] [EXT-B] Determine para qué valores de a el sistema que aparece a continuación es compatible determinado, compatible
indeterminado o incompatible:
ax - 3y + 6z = 3
ax + 3y + az = 6
-ax - 6y + 9z = 0
1 0 m
3. [2014] [JUN-A] Sea m un número real y considere la matriz A = m 0 -1 .
2 -1 1
a) Determine todos los valores de m para los que la matriz A tiene inversa.
b) Determine, si existe, la inversa de A cuando m = 0.
c) Determine, si existe, la inversa de A2 cuando m = 0.
1 2
4 2
1 -4
, B=
, D=
.
-1 0
-2 -3
-2 -1
AM + BN = D
a) Determine dos matrices M y N de orden 2x2 tales que:
AM
=N
b) Se considera una matriz G de orden 3x3, cuyas columnas se representan por C1, C2, C3 y cuyo determinante vale 2. Considere
4. [2014] [JUN-B] Considere las matrices de orden 2x2 siguientes: A =
ahora la matriz H cuyas columnas son C3, C3+C2, 3C1, ¿cuál es el determinante de esta nueva matriz H?
x + 4y + 12z = 0
2x + y + 4z =  .
x + y + 6z = 0
a) Determine los valores de  para los que el sistema de ecuaciones tiene solución única.
b) Resuelva el sistema, si es posible, cuando  = 4 y cuando  = 0.
5. [2013] [EXT-A] Considere el siguiente sistema de ecuaciones:
6. [2013] [EXT-B] Sean A y B las dos matrices siguientes: A =
a 1 0
, B=
0 1 1
-2 1
0 -1 .
3 a
a) Para qué valores de a existe la inversa de AB? ¿Y la de BA?
2 3 3
b) Encuentre la inversa de la matriz: C = 2 4 3 .
2 3 4
Compruebe que cuando la matriz encontrada se multiplica por la izquierda por C, se obtiene la matriz identidad.
5 -m 3
1 -1 0 .
1 1 m
a) Discuta el sistema que aparece a continuación, para cada uno de los valores de m y resuélvalo para los valores de m siguientes:
m = -1 y m = 2.
0
x
AX = 0
donde X = y
z
0
b) Determine la inversa de la matriz A cuando m = 0.
7. [2013] [JUN-A] Sea A la matriz A =
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8. [2013] [JUN-B] a) Determine el rango de la matriz A, que aparece a continuación, según los diferentes valores de a:
a -a 6
A = 2 -2 4
a+2 -5 -10
b) Determine, si existe, una matriz A, 2x2, que verifique la siguiente ecuación matricial:
1 -1
-3 -3
2 1
A
=
0 1
3 3
1 1
¿Cuál es el rango de la matriz A?
1 0 1
1 2 1 .
0 -1 1
Sin utilizar la regla de Sarrus, determine cuánto vale el determinante de la matriz B siguiente (enuncie las propiedades que
1 0 2
utilice): B = 1 2 4 .
0 -1 1
sen(x) -cos(x) 0
b) Sea C la siguiente matriz: C = cos(x) sen(x) 0 .
1
sen(x) x
Determie los valores de x para lo que la matriz C tiene inversa y calcúlela cuando sea posible.
9. [2012] [EXT-A] a) El determinante de la matriz A que aparece a continuación es 2: A =
10. [2012] [EXT-B] a) Determine para qué valores de m el siguiente sistema de ecuaciones:
mx+2y+6z = 0
es compatible
2x+my+4z = 2
2x+my+6z = m-1
determinado, compatible indeterminado o incompatible.
b) Se sabe que una matriz simétrica B de dimensión 3x3 tiene como determinante -3. Determine el determinante de la matriz
B+Bt, donde Bt denota la traspuesta de B.
11. [2012] [JUN-A] Sean a un número real y el sistema lineal
ax + y + z = 1
x + ay + z = a
x + y + z = a2
a) Calcule el determinante de la matriz de los coeficientes y determine para qué valores de a el sistema anterior es incompatible,
compatible determinado y compatible indeterminado.
b) Resuelva el sistema anterior en el caso a = 0.
12. [2012] [JUN-B] a) Compruebe que la matriz M es inversible y calcule su inversa, donde M =
1 0 1
2 1 1 .
-1 2 2
b) Encuentre las matrices A y B que cumplen las siguientes ecuaciones:
3 2 0
1 -4 0
8A-5B = -2 1 3 , 2A-B = 2 -1 3 .
0 1 -1
0 3 -3
13. [2011] [EXT-A] Sea la matriz A =
 1
.
0 -
a) Calcular el determinante de la matriz AAt, siendo At la traspuesta de A:
b) Estudir para qué valores del parámetro  se satisface la ecuación: 4|A|2-2|At|+22 = 0, con |A| = det(A).
c) Obtener la inversa de A cuando sea posible.
14. [2011] [EXT-B] Utilizar las propiedades de los determinantes para obtener los valores de a y b que satisfacen simultáneamente
a+b 1 2
a a
= 0.
las ecuaciones: a-b 0 1 = 0 y 2
a ba2
a+2b 3 2
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0
1
2
15. [2011] [JUN-A] a) Estudiar para qué valores de  la matriz A = +1 -1 -2
-1 +1 2
b) Siendo A-1 la inversa de la matriz A, calcular A-1
16. [2011] [JUN-B] a) Sean las matrices A =
2
tiene rango máximo.
para  = -1.
cos sen
yB=
-sen cos
cos 0 sen
0
 0 .
-sen 0 cos
Estudiar qué valores de  y  hacen que sea cierta la igualdad [det(A)]2-2det(A)det(B)+1 = 0.
2 3
4
b) Utilizar las propiedades de los determinantes para calcular el valor de 2 a+3 b+4 , con a, b, c, d  .
2 c+3 d+4
17. [2010] [EXT-A] a) Discutir y resolver cuando sea posible el siguiente sistema lineal:
ax+y = 0
-2x+y+az = 1 .
y+az = 1
1
b) ¿Existe algún valor del parámetro a para el cual el vector 2 sea solución del sistema anterior?
0
cos sen 0
18. [2010] [EXT-B] Dada la matriz A = -sen cos 0
0
0 
a) Estudiar si existen valores de  y  para los cuales la matriz A sea simétrica. ¿Será la matriz B = AAT igual a la matriz
identidad en algún caso?
b) Razonar cuál es la relación entre el determinante de A y el de B.
x
1
c) Discutir y resolver cuando sea posible el sistema B y = 1 .
z
1
19. [2010] [JUN-A] a) Estudiar para qué valores de a el determinante de la matriz A =
a 0 2a
0 a-1 0 es no nulo.
-a 0 -a
Para a = 3 obtener el determinante de la matriz 2A.
1 -1
1 2 -1
b) Sean las matrices: A = 2 0 y B =
. Calcular el rango de (AB)T.
0 3 -1
0 3
x -2
coincide con su opuesta.
5 -x
b) Dos hermanos de tercero y cuarto de primaria iban camino del colegio con sus mochilas cargadas de libros todos del mismo
peso. Uno de ellos se lamentaba del peso que transportaba y el otro le dijo: “¿De qué te quejas? Si yo te cogiera un libro, mi carga
sería el doble que la tuya. En cambio si te diera un libro, tu carga igualaría a la mía.” ¿Cuántos libros llevaba cada hermano?
20. [2010] [JUN-B] a) Estudiar para qué valores de x , la matriz inversa de
21. [2009] [EXT] a) Sean las matrices A =
1 0
2 a
,I=
de orden 2. Hallar la relación entre los parámetros a, b, c para que se
0 1
b c
verifique que A-1 = 2I-A.
b) Calcular, en función de los valores del parámetro k, el rango de la matriz B =
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1 -2 1
1 1 3 .
5 -1 k
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a
b
c
22. [2009] [EXT] a) Resolver el siguiente determinante sin usar la regla de Sarrus: -a+c -b-a -c+b .
a+c b-a c+b
-1/2 3/4
b) Para M =
, calcular Mn, con n  N.
1 1/2
x+
23. [2009] [JUN] a) Discutir y resolver en función de los valores del parámetro m el sistema lineal
y+
z=1
mx + m2y + m2z = 1
mx + my + m2z = 1
0 a a2
0 1 1
b) Teniendo en cuenta que 1 0 1 = 2, determinar el valor del determinante a-1 0 a .
1 1 0
a-2 a-1 0
1 0 0
n
1 1 0 , calcular la inversa de la matriz A .
0 0 1
24. [2009] [JUN] a) Dada la matriz A =
b) Estudiar para qué valores del parámetro  existe un único polinomio P(x) = a+bx+cx2 que satisface P(0) = , P(1) = 0,
P(-1) = 0.
25. [2008] [EXT] Hallar una matriz X =
3 1
1 -1
a b
de orden 2 tal que A-1XA = B, siendo A =
yB=
.
-2 -1
2 1
c d
1 1 1
26. [2008] [EXT] a) Probar que a b c = (b-a)(c-a)(c-b).
a2 b2 c2
b) Hallar la solución del sistema de ecuaciones
x+2y+3z = 0
que además satisface que la suma de los valores correspondientes a
x+4y+9z = 2
cada una de las incógnitas es 4.
27. [2008] [JUN] (a) Sean A, B, I las matrices: A =
6 -3 -4
1 0 0
0 1 1
1 1 0 , B = -3 2 1 , I = 0 1 0 . Estudiar si existe algún valor de  para
-4 1 5
0 0 1
1 0 0
el cual se satisfaga (A-I)2 = B.
x y z
x 1/4 4
(b) Teniendo en cuenta que 1 0 2 = 1, determinar el valor de y 0 4 .
1 1 3
z 1/2 12
28. [2008] [JUN] Dado el sistema
x+3y-az = 4
-ax+y+az = 0
, discutirlo según los valores de a, y resolverlo cuando sea compatible.
-x+2ay = a+2
2x-y-2z = 0
29. [2007] [EXT-A] Dadas las matrices A =
1 0
3 1
,I=
:
0 1
-8 -3
a) Comprobar que det A2 = det(A) 2.
a b
de orden 2 se cumple que det M2 = det(M) 2.
c d
c) Encontrar la relación entre los elementos de las matrices M cuadradas de orden 2 que satisfacen det(M+I) = det(M)+det(I).
b) Estudiar si para cualquier matriz M =
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0  
1 k
30. [2007] [EXT-B] Sean A = 0 0  y B = 0 1
0 0 0
0 0
a) Estudiar para qué valores de  y  la matriz
t
k .
1
A tiene inversa.
b) Calcular A5.
c) Hallar la matriz inversa de B.
x+3y+z = 5
mx+2z = 0
my-z = m
a) Determinar los valores del parámetro m para los que el sistema tiene solución única. Calcular dicha solución para m = 1.
b) Determinar los valores del parámetro m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. Calcular dichas soluciones.
c) Estudiar si existe algún valor de m para el cual el sistema no tiene solución.
31. [2007] [JUN-A] Considerar el sistema lineal de ecuaciones en x, y y z:
32. [2007] [JUN-B] Un cajero automático tiene 95 billetes de 10, 20 y 50 euros y total almacenado de 2000 euros. Si el númerototal
de billetes de 10 euros es el doble que el número de billetes de 20, averiguar cuantos billetes de cada tipo hay.
33. [2006] [EXT-A] La liga de futbol de un cierto país la juegan 21 equipos a doble vuelta. Este año, los partidos ganados valían 3
puntos, los empatados 1 y los perdidos 0 puntos. En estas condiciones, el equipo campeón de liga obtuvo 70 puntos. Hasta el año
pasado los partidos ganados valían 2 puntos y el resto igual. Con el sistema antiguo el actual campeón hubiera obtenido 50 puntos.
¿Cuántos partidos ganó, empató y perdió el equipo campeón?
34. [2006] [EXT-B] Teniendo en cuenta que
a b c
p q r
x y z
= 7, calcular el valor del siguiente determinante, sin desarrollarlo:
3a 3b 3c
a+p b+q c+r .
-x+a -y+b -z+c
1 3
1 2 
y B =  0 donde  es un número real.
1 -1 -1
0 2
a) Encontrar los valores de  para los que la matriz AB tiene inversa.
x
a
b) Dados a y b números reales cualesquiera, ¿puede ser el sistema A y =
compatible determinado con A la matriz del
b
z
enunciado?
35. [2006] [JUN-A] Se consideran las matrices A =
36. [2006] [JUN-B] Sea la matriz A =
a2 ab ab
ab a2 b2 .
ab b2 a2
a) Sin utilizar la regla de Sarrus, calcular el determinante de dicha matriz.
b) Estudiar el rango de A en el caso en que b = -a.
37. [2005] [EXT-A] A, B y C son tres ciudades que forman un triángulo de manera que entre cada dos de ellas hay una carretera
recta que las une. Se sabe que si se va de A a B dando la vuelta por C se hace un recorrido tres veces mayor que si se va
directamente de A a B. Asimismo, si para ir de A a C se da la vuelta por B, el recorrido es el doble que si se va directamente de A
a C.
Calcular las distancia entre las tres ciudades sabiendo que la suma de las tres distancias es igual a 120 kilómetros.
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38. [2005] [EXT-B] Estudiar según el valor del parámetro , el sistema de ecuaciones
x+y+z = 1
x+y+z =  y resolverlo si en algún caso es
x+y+z = 2
compatible indeterminado.
39. [2005] [JUN-A] Eva, Marta y Susana son tres jóvenes amigas que se comprometen a leer el Quijote este verano. Cada una por
separado y en función del tiempo del que dispone, decide leer un mismo número de páginas cada día hasta terminar la obra. Eva
leerá diariamente 5 páginas más que Marta y ésta 6 páginas más que Susana. Por ello, Eva terminará la obra 2 semanas antes que
Marta y ésta 30 días antes que Susana. Se pregunta cuál es el total de páginas que tiene la versión de la inmortal obra cervantina
que leen estas amigas.
x+2y-az = 0
ax-y+z = 0 .
2ax+y-z = 0
(a) Indicar para qué valores del parámetro a la citada terna es la única solución del sistema.
(b) Indicar algún valor del parámetro, si existe, para el cual el sistema tenga algunas solucione distintas de la nula y mostrar
estas soluciones. (Nota: Si se encuentran varios valores del parámetro cumpliendo la condición pedida, para responder a esta
cuestión basta tomar uno solo de ellos).
40. [2005] [JUN-B] La terna (0,0,0) es siempre solución del sistema
x+y-2z = 0
ax-y+z = 0 .
x+2ay-z = 0
a) Determinar el valor o valores del parámetro a para que el sistema tenga soluciones distintas de la nula.
b) Resolver el sistema para el valor o valores de a hallados en el apartado anterior.
41. [2004] [EXT-A] Sea el sistema homogéneo de ecuaciones
1 0
2 -2
, siendo A =
.
1 1
3 3
Luego analizar si la matriz X es inversible y, en caso de serlo, calcular su matriz inversa.
42. [2004] [EXT-B] Determinar una matriz cuadrada X que verifique AX+XA =
43. [2004] [JUN-A] Cuando el año 1800 Beethoven escribe su primera Sinfonía, su edad es diez veces mayor que la del jovencito
Franz Schubert. Pasa el tiempo y es Schubert quien compone su famosa Sinfonía Incompleta. Entonces la suma de las edades de
ambos músicos es igual a 77 años. Cinco años después muere Beethoven y en ese momento Schubert tiene los mismos años que
tenía Beethoven cuando compuso su primera Sinfonía. Calcular el año de nacimiento de cada uno de estos dos compositores.
Nota: Solamente se calificarán los resultados obtenidos matemáticamente, no los derivados de los conocimientos
histórico-musicales del examinando.
44. [2004] [JUN-B] Sea el sistema
x+3y+z = 5
ax+2z = 0 . Se pide clasificarlo según los valores del parámetro a y resolverlo si en algún caso
ay+z = 2
es compatible indeterminado.
ax+y-z = 1
x+2y-az = 2 según los valores del parámetro a.
-x+y-z = a-1
Entre los valores de a que hacen el sistema compatible, elegir uno en particular y resolver el sistema que resulte al reemplazar a
por el valor elegido.
45. [2003] [EXT-A] Discutir el sistema de ecuaciones
1 0
1 -1
yB=
. Vemos que ambas tiene rango máximo, o sea 2.
4 -1
4 2
Determinar los valores de c tales que la matriz A+cB no tenga rango 2.
¿Cuál es el rango que tienen las respectivas matrices suma?
46. [2003] [EXT-B] Sean las matrices A =
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47. [2003] [JUN-A] Luis, Juan y Oscar son tres amigos. Luis le dice a Juan: Si yo te doy la tercera parte del dinero que tengo, los
tres tendremos la misma cantidad. Calcular lo que tiene cada uno de ellos, sabiendo que entre los tres reunen 60€.
48. [2003] [JUN-B] Buscar una matriz X (pueden existir varias) cuyo primer elemento valga 2 y tal que la siguiente suma:
2 -2
-1 -1
X+X
sea la matriz nula.
6 0
11 -1
Soluciones
1 0 0
1 0 0
1 2 6
2 2
2. a{-4,0}:inc; a{-4,0}: c.d. 3. a) m b) 2 -1 -1 c) 0 2 1
4. a)
,
b) -6 5. a) 4 b) =4: inc; =0: (0,0,0)
0 1
9 -4 -3
0 -1 0
-2 1 1
7 -3 -3
0 3 3
1
1
-3
-6 -12
,1 ; no b)
7. a) m{2,3}: c.i.; m{2,3}:c.d.; m=-1:(0,0,0); m=2:(-k,-k,k) b)
8. a) a=3: 2; a3: 3 b)
9. a) 4 b) x0;
6. a) a
-2 2 0
0 -3 3
9 18
2
6
2
-2 0 2
2 -5 -5
xsenx
xcosx
0
0 2 -1
-1 1 1
1
10. a) m{-2,2}: inc; m{-2,2}: c.d. b) -24. 11. a) a = -2: inc; a = 1: c.i. a{-2,1}: c.d. b)
, ,
12. a)
b)
-xcosx
xsenx
0
-5 3 1
2
2
2
5
5 -2 1
senx(cosx-1) -sen2x-cosx 1
1 -11 0
1 -18 0
-1 1 2
-1 - -1
5
-1
A= 6 -3 6 , B= 10 -5 9
13. a) 4 b) 0 c)
c) 14. (0,0),
,1
15. a) 
,0
b) 0 -2 -3
16. a)  = 1,  b) 2(ad-cb) 17. a) a=0: inc;
2
2
2 0 
0 1 -1
0 1 -1
-1 0 1
1
. 19. a) a{0,1}; 144 b) 2 20. a) 3 b) 5, 7 21. a) c = 0; ab = -1 b) k=11: 2; k11:
a0: c.d. b) no 18. a)  = k ();  = 1 b) |B| = |A|2 c) =0: inc; 0: c.d. 1,1,
2
1 0 0
m+1 -1
2
M si n impar
9 11
3 22. a) 0 b)
23. a) m=0: inc; m=1: c.i. (a,b,1-a-b); m{0,1}: c.d.
,0,
b)
24. a) -n 1 0 b) P(x) = -x2, . 25.
26. b)
2
I si n par
-6 -7
m
m
a
0 0 1
0 0 0
4+8c 8+2c
a b
,
,c ; a{-3,2}: incomp. 29. b) si c)
30. a) Nunca b) 0 0 0
c)
(13,-4,5) 27. (a) 2 (b) 1 28. a = -3: comp.det. (1,0,1); a = 2: comp.indet.
c -a
7
7
0 0 0
1. a)
-1 1
-1 -1
,
0 -1
1 -1
1 -k k2-t
-k
1
0 1
0 0
b)
-25
2
31. a) m{-1,0}, (-2,2,1) b) m = 0: (5-3k,k,0) c) m = -1. 32. 50, 25, 20 33. 20, 10, 12 34. -21 35. a)  -2,
1
2
b) no 36. a) a2(a+b)2(a-b)2 b) a=0:
0; a0: 1 37. AB=30, AC=50, AC=40 38.   1: comp.det. ;  = -1: comp.ind. (a,b,1-a-b) 39. 1400 40. (a) 0, 2 (b) a=0: (-2k,k,k) ; a=2: (0,k,k) 41. a = 0: (k,k,k) ; a =
4k 2k
, ,k
3 3
42. X=
1 6 -4
1 8 4
; X-1=
4 -1 8
11 1 6
43. 1770, 1797
44. a = 5: incomp; a = 0: comp. ind. 5-3k,k,0
c.d; a = 0: (2,0,-1) 46. c{-1,6} rango 1 ; c{-1,6} rango 2. 47. 30, 10, 20 48.
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; a{0,5}: comp. det.
-1
:
4
45. a = -1, inc; a = 2, c.i; a{-1,2},
2
2c+2
, c
11c+12 c
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