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MATEMÁTICAS APLICADAS CCSS II ÁLGEBRA Tema 2: Matrices y Determinantes. Teoría José Jaime Mas Bonmatí E-Mail: [email protected] IES LA ASUNCIÓN http://www.ieslaasuncion.org Matrices Def: Una matriz de m filas y n columnas es un conjunto (generalmente números reales) dispuestos de la forma: • El símbolo a1 j con 1 i m y 1 j n designa a la matriz completa. a11 a12 a13 • aij es el elemento de la matriz que ocupa la fila i y la columna j • Se llama dimensión u orden de la matriz al número de filas por el número de columnas y se designa por m n . Si m n , se dice que la matriz es cuadrada de orden n. • Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar también son iguales. Clasificación de las matrices Pág 4 a21 a22 A a31 a32 am1 am 2 a23 a33 am 3 a1n a2 n a3n amn MATEMÁTICAS APLICADAS CCSS II ÁLGEBRA Tema 2: Matrices y Determinantes. Teoría José Jaime Mas Bonmatí E-Mail: [email protected] IES LA ASUNCIÓN http://www.ieslaasuncion.org Operaciones con matrices Se definen 3 operaciones Suma de matrices Propiedades de la suma: Producto de un número por una matriz Propiedades del producto de un nº por una matriz Producto de dos matrices Propiedades del producto de dos matrices Matriz inversa Def: Dada una matriz cuadrada A de orden n, si existe otra matriz cuadrada B de orden n tal que A B B A I se dice que B es 1 la matriz inversa de A, y se designa por A . Una matriz cuadrada que posee matriz inversa, se dice que as inversible o regular. En caso contrario recibe el nombre de singular. Hay varias formas de calcular la inversa de A, en caso de existir: 1 Utilizando la definición y planteando el sistema A A I (Ver ejemplos) Utilizando el método de Gauss. (no lo estudiamos en este curso) Utilizando determinantes (lo veremos cuando conozcamos los determinantes). » Ejercicio 1 al 15 de los ejercicios resueltos en video (ERV). » Para casa: Ejercicios de ANAYA y SM propuestos en las hojas de ejercicios. (Ver en Moodle) Pág 5 MATEMÁTICAS APLICADAS CCSS II ÁLGEBRA Tema 2: Matrices y Determinantes. Teoría José Jaime Mas Bonmatí E-Mail: [email protected] IES LA ASUNCIÓN http://www.ieslaasuncion.org DETERMINANTES Determinantes de segundo orden a Def: Dada la matriz cuadrada de segundo orden A 11 a 21 det( A) A a12 , se llama determinante de A al número real: a22 a11 a12 a11a22 a12 a21 a21 a22 » Ver ejemplos Determinantes de tercer orden a11 Def: Dada la matriz cuadrada de tercer orden A a 21 a12 a22 a 311 a32 a11 a12 det( A) A a21 a22 a311 a32 a13 a23 , se llama determinante de A al número real: a33 a13 a23 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a13a22 a31 a11a23a32 a12 a21a33 a33 Es fácil recordar el desarrollo del determinante de tercer orden mediante el procedimiento conocido como regla de Sarrus. » Ver ejemplos. a11 a12 a21 a22 a31 a32 an1 an 2 a13 a23 a33 an 3 a1n a2 n a3n ann Determinantes de orden cualquiera Def.: El determinante de una matriz cuadrad de orden n es el resultado de sumar todos los posibles productos de n elementos , uno de cada fila y uno de cada columna, con su signo o con el signo cambiado según un cierto criterio (criterio que no vamos a ver, pues nunca utilizaremos la definición para determinantes de orden superior a tres). Def.:Si en una matriz seleccionamos r filas y r columnas, los elementos en los que se cruzan forman una submatriz cuadrada de orden r. El determinante de esa submatriz se llama menor de orden r de la matriz inicial. Def.: Dada una matriz cuadrada de orden n , se llama menor complementario del elemento aij al determinante de la submatriz cuadrada de orden n 1 que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j . Se denota ij . Def.: Dada una matriz cuadrada de orden n , se llama adjunto del elemento aij al número Aij 1i j ij , es decir, el adjunto de aij coincide con su menor si i j es par y es de signo cambiado si i j es impar. Prop.: Propiedad 1: Si los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada se multiplican por sus respectivos adjuntos y se suman los resultados, se obtiene el determinante de la matriz inicial. Se dice entonces que el determinante está desarrollado por los elementos de esa línea. Esta propiedad nos permite hallar determinantes de orden superior a tres. » Ejercicio 16 y 17 de los ejercicios resueltos en video (ERV). Propiedades de los determinantes: Ya vimos una propiedad en el párrafo anterior, pero hay más: 2. El determinante de una matriz es igual que al de su traspuesta. 3. Si una matriz cuadrada time una línea (fila o columna) de ceros, su determinante es cero. 4. Si se permutan dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo. 5. Si multiplicamos por el mismo número todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado por ese número. 6. Se verifica An n An siendo An una matriz cuadrada de orden n. Es consecuencia de la propiedad anterior. Pág 6 MATEMÁTICAS APLICADAS CCSS II ÁLGEBRA Tema 2: Matrices y Determinantes. Teoría José Jaime Mas Bonmatí E-Mail: [email protected] IES LA ASUNCIÓN http://www.ieslaasuncion.org a a ' b b' c c ' 7. Se verifica d g e h f i a ' b' c ' a b c d g e h f d i g e h f . Se igual forma para otra fila o columna y para matrices i de cualquier orden. 8. Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante es cero. 9. Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o dos columnas) proporcionales, su determinante es cero. 10. Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su determinante es cero. Y recíprocamente: si un determinante es cero, tiene una fila (y una columna) combinación lineal de las demás. 11. Si a una línea de una matriz le sumamos una combinación lineal de las líneas paralelas, su determinante no varia. Esta propiedad nos permite “hacer ceros”. 12. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes: A B A B 13. Si los elementos de una fila (o columna) se multiplican por los respectivos adjuntos de otra paralela, el resultado de la suma es cero. » Ejercicio 18, 19, 20, 21 de los ejercicios resueltos en video (ERV). » Para casa: ANAYA Ej del 1 al 5 SM Ej del 23 al 37 Hallar la matriz inversa utilizando determinantes Prop.: Una matriz cuadrada A tiene inversa si y solo si A 0 , siendo A1 1 Adj At o bien A1 1 Adj At A siendo Adj A la matriz adjunta de A, es decir, la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento A aij por su adjunto Aij correspondiente. » Ejercicios del 22 al 27 de los ejercicios resueltos en video (ERV). » Para casa: Ejercicios de ANAYA y SM propuestos en las hojas de ejercicios. (Ver en Moodle) Ecuaciones matriciales Comentario: Ya resolvimos ecuaciones matriciales en tema 2, matrices, pero ahora sabemos hallar la matriz inversa fácilmente y las ecuaciones matriciales pueden ser más complicadas. Prop.: Un sistema de ecuaciones lineales puede escribirse como una ecuación matricial a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a11 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a21 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm am1 a12 a22 am 2 a1n x1 b1 a2 n x2 b2 A X B amn xn bn siendo A la matriz de los coeficientes, X la columna de las incógnitas y B la columna de los términos independientes. Llamamos matriz ampliada a la matriz de los coeficientes a la que añadimos la columna de los términos independientes, es decir A* A B » Ejercicios del 28 al 34 de los ejercicios resueltos en video (ERV). Regla de Cramer Def.: Un sistema de ecuaciones lineales es un sistema de Cramer si cumple: a) Tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. b) El determinante de la matriz de los coeficientes del sistema es distinto de cero. Prop.: Regla de Cramer: Un sistema de Cramer es siempre compatible determinado y la solución es: x1 A1 A2 An , x2 , .... , xn siendo Ai la matriz que resulta de sustituir en la matriz de los coeficientes A, la columna de A A A los coeficientes de xi por la columna de los términos independientes. Prop.: Los sistemas de Cramer también se pueden resolver por el método de la inversa ya que si el sistema es 1 despejar X al ser A inversible y es X A B » Ejercicios del 35 al 38 de los ejercicios resueltos en video (ERV). » Hacer los ejercicios de Selectividad correspondientes a este tema. Pág 7 A X B , podemos
