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Álgebra lineal
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Colecciones de ejercicios
1 1
es regular (o inversible) y calcule su matriz inversa.
-2 -3
5 -2
b) Resuelva la ecuación matricial AXA = B, siendo A la matriz anterior y B =
.
3 -1
1. [2014] [EXT-A] a) Compruebe que la matriz A =
2. [2014] [EXT-B] a) Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:
ax +2z = 0
ay-z = a .
x-y+z = 0
b) Si es posible, resuélvalo para el valor de a = 0.
1 1 1
x y z = 4, calcule, sin desarrollar ni utilizar la regla de Sarrus, los siguientes determinantes,
0 2 4
indicando en cada paso qué propiedad de los determinantes se está utilizando.
3x 3y 3z
x
y
z
a) 1 1 1
b) 3x 3y+2 3z+4 .
0 1 2
x+2 y+2 z+2
3. [2014] [JUN-A] Sabiendo que
ax+3y+z = a
4. [2014] [JUN-B] a) Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a: x+ay+az = 1
x+y-z = 1
b) Si es posible, resuélvalo para el valor de a = -1.
5. [2013] [EXT-A] Clasifique y resuelva, si es posible, el siguiente sistema de ecuaciones:
2x+3y+z = 1
2x+2y+z = 1 .
4x+5y+2z = 2
a b c
6 0 3 = 2, calcule, sin desarrollar ni utilizar la regla de Sarrus, los siguientes determinantes,
1 1 1
indicando en cada paso qué propiedad de los determinantes está utilizando.
1 1 1
a) 2 0 1 .
3a 3b 3c
a
b
c
b) 2a+6 2b 2c+3 .
a+1 b+1 c+1
6. [2013] [EXT-B] Sabiendo que
x+y+z = 1
7. [2013] [JUN-A] Discuta, en función del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones: x-ay+z = 1 .
ax+y+z = 4
No hay que resolverlo en ningún caso.
4 1
es regular (o inversible) y calcule su matriz inversa.
-3 -1
1 2
b) Resuelva la ecuación matricial AX + A2 = B, siendo A la matriz anterior y B =
.
3 4
8. [2013] [JUN-B] a) Compruebe que la matriz A =
9. [2012] [EXT-B] a) Dada la matriz A =
0 3 4
2
3
4
1 -4 -5 , calcule las potencias A , A y A .
-1 3 4
b) Calcule A2012.
14 de marzo de 2015
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x+y+z = 2
x+ay+a2z = -1 .
10. [2012] [JUN-A] a) Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:
ax+a2y+a3z = 2
b) Resuelva el sistema cuando sea compatible.
11. [2012] [JUN-B] Se dice que una matriz cuadrada A es ortogonal si cumple que At·A = I, donde
es la traspuesta de A.
a -a
Determine para qué valores de los parámetros a y b la siguiente matriz es ortogonal: A = a a
0 b
I denota la matriz identidad y At
b
0 .
-1
1 1 1
12. [2011] [EXT-A] Sabiendo que a b c = 6, sin utilizar la regla de Sarrus, el valor del siguiente determinante, indicando en cada
x y z
5
5
5
a
b
c
caso qué propiedad (o propiedades) de los determinantes se está utilizando:
.
y
z
x
+3a +3b +3c
2
2
2
a2 a a
13. [2011] [EXT-B] a) Determine para qué valor del parámetro a la matriz A =
a a2 1
a 1 a
es regular.
2
b) Estudie el rango de la matriz A en los casos en los que no sea regular.
14. [2011] [JUN-A] Demuestre, sin utilizar la regla de Sarrus y sin desarrollar directamente por una fila y/o columna que
x x+1 x+2
x x+3 x+4 = 0.
x x+5 x+6
Indique en cada caso qué propiedad (o propiedades) de los determinantes está utilizando.
15. [2011] [JUN-B] Discuta, en función de los parámetroa a y b, el siguiente sistema de ecuaciones. No hay que resolverlo:
x+ay+2z = 3
x-3y-z = -1
-x+8y+4z = b
16. [2010] [EXT-A] Definición de rango de una matriz. Calcular el rango de la matriz A =
1
0
1
1
1
2
3
1
-1
1
0
k
en función del parámetro k.
17. [2010] [EXT-B] Discutir y resolver el sistema siguiente en función de los posibles valores del parámetro k
18. [2010] [JUN-A] Calcular, si es posible, la inversa de la matriz A =
x+2y+4z = 0
-2x-4z = 0 .
x-y+z = k
1 2 0
1 1 1 .
-1 0 -1
19. [2010] [JUN-B] Enunciar el teorema de Rouche-Fröbenius. Aplicar dicho teorema para discutir si el sistema siguiente tiene
solución y si la solución es única en función de los posibles valores del parámetro k (no es necesario resolver el sistema):
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x-y+z = k
3x-3y = 0 .
x+ky+3z = 1
20. [2009] [EXT] Calcular, si es posible, la inversa de la matriz A =
-1 2 1
1 0 -1 .
2 1 -1
ax+y-z = 0
21. [2009] [EXT] Clasificar el sisguiente sistema según los valores del parámetro: 3x+2y+z = 0 .
-3x+z = 0
22. [2009] [JUN] Calcular el rango de la matriz A según los valores del parámetro. A =
1 2 1 a
1 -2 3 1
0 4 -2 1
23. [2009] [JUN] Estudiar si el siguiente sistema tiene solución y, en ese caso, resolver por Cramer:
24. [2008] [EXT] Calcular el rango de la matriz A según los valores del parámetro a: A =
x-y+z = -3
-x-y = 1 .
x-2z = -1
1 -1 -2 0
2 0 -4 2 .
-3 4 6 a
25. [2008] [EXT] i) Enunciar el teorema de Rouche-Fröbenius.
-2x+y-z = 1
ii) Resolver, si es posible, el sistema de ecuaciones lineales siguiente: -x+3y+2z = 2
x-y-2z = 3
1 2 -2
26. [2008] [JUN] Calcular, si es posible, la inversa de la matriz A = -1 3 -1 .
0 -2 1
27. [2008] [JUN] Calsificar el siguiente sistema, según los valores de los parámetros a y b:
x-y-z = b
-x+y = 2 .
x+ay+2z = -2
28. [2007] [EXT] i) Enunciar el teorema de Rouche-Fröbenius.
ii) Estudiar y resolver, cuando sea posible, el sistema siguiente:
29. [2007] [EXT] Calcule, si es posible, la inversa de la matriz A =
ax+by = 0
.
x+y = a
1 0 -1
1 1 -1 .
2 1 0
30. [2007] [JUN] i) Definiciñon de rango de una matriz.
ii) Calcular el rango de A según los valores del parámetro k: A =
1 3 3 1
k k 3 -1 .
-1 3 3 0
iii) Estudiar si podemos formar una base de 3 con las columnas de A según los valores del parámetro k. Indique con qué
columnas.
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kx+y-2z = 0
31. [2007] [JUN] i) Clasificar el siguiente sistema según los valores del parámetro k: -x-y+kz = 1 .
x+y+z = k
ii) Resolver el sistema por Cramer para k = 2.
32. [2006] [EXT] i) Definición de rango de una matriz.
ii) Calcule el rango de la matriz A en función de los valores del parámetro k: A =
1 k 1 2
2 0 -1 1 .
-1 1 1 0
iii) ¿Podemos formar una base de 3 usando los vectores formados con las columnas de A? ¿Con cuáles?
33. [2006] [EXT] i) Definición de matriz inversa de una matriz cuadrada.
1 2 2
ii) Calcule la inversa de la matriz B = 1 0 1 .
-1 1 -1
34. [2006] [JUN] i) Enuncie el teorema de Rouche-Fröbenius.
ii) Estudie, según los valores del parámetro a, el sistema de ecuaciones lineales siguiente:
ax+ay = a
x-y+az = a .
x+2y+3z = a
35. [2005] [EXT] (a) Enunciado del terorema de Rouche-Fröbenius.
ax + y + bz = -4
x - 2y + 3z = 1
(b) Los sistemas bx + ay + cz = -9 y x
+ z = -1 son equivalentes. Hallar a, b y c.
cx + by + az = -11
x
- z= 3
36. [2005] [JUN] Estudiar, según los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
ay +
z = a-1
-ax + (a+1)y
=
a
ax y + (2a-1)z = 2a+1
1 2 0
37. [2005] [JUN] (a) Para qué valores del parámetro k admite inversa la matriaz A = -1 1 k .
0 1 2
(b) Calcular A-1 en función de k.
38. [2004] [EXT] a) Definición de rango de una matriz.
1
0
1
c) Una matriz de tres filas y cuatro columnas verifica que su segunda
primera más la cuarta. ¿Cuál es el rango máximo que puede tener?
b) Discutir, según los valores del parámetro a, el rango de la matriz
a 1 a
1 a 1 .
a 0 1
columna es toda ceros y la tercera columna es igual a la
39. [2004] [JUN] a) Estudiar, según los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x+ay - z= a
2ax - y+az= 1
3x - y+ z=0
b) Resolverlo, si es posible, utilizando la regla de Cramer, para a = -1.
40. [2003] [EXT] a) Estudie, en función de los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
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2x +
ay +
z=5
x+
ay +
z= 1
2x + (a+1)y + (a+1)z = 0
b) Resuélvalo para a = 2, utilizando la regla de Cramer.
41. [2003] [JUN] a) Enuncie el teorema de Rouche-Fröbenius.
b) Discuta, en función de los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Soluciones
3 1
-2 -1
1. a)
b)
68 25
-49 -18
2. a) a=3: inc; a=0: c.i.; a{0,3}: c.d. b) (k,k,0) 3. -12, 8 4. a) a{-1,2}: c.i.; a{-1,2}: c.d. b) (k+1,0,k) 5. c.i.
a=1: inc; a=-1:c.i.; a{-1,1}:c.d.
8. a)
a{-1,0,1} b) a = 1: 1; a = 0: 2
k-1: c.d. 20.
1 3 -2
-1
-1 -1 0
2
1 5 -2
1 1
-3 -4
b)
0 5
-12 -21
9. a)
-1 0 1
2
1 4 4 ; -I; -A b) A
-1 -3 -3
15. a = 2, b = 5, c.i; a = 2, b  5: inc; a  2: c.d.
21. a=6: c.i; a6: c.d. 22. a=2: 2; a2: 3 23.
10. a) a-2: inc; a=-2: c.i. b) (1-2k,1+k,k)
16. k=-1: 2; k-1: 3
-9 4 -2
, ,
5 5 5
17. k=0: c.i. (-2,-,); k0: inc.
ab a2
,
b-a a-b
29.
1 -1 1
1
-2 2 0
2
-1 -1 1
31. a) k = 1: inc ; k = -1: c.i. ; k {-1,1}: c.d. b) (1,0,1) 32. ii) k =3: 2; k  3: 3 iii) k  3; 1ª,2ª,3ª
a{-6,0}: c.d. 35. (b) 3, 2, 1. 36. a = 1: incomp; a = 0: comp. ind.; a  {0,1}: comp.det. 37. (a) k6 (b)
incomp; a  {-4,1}: comp. det. b)
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-2 -5 7
, ,
3 6 6
40. a) a{-1,1}: inc. ; a{-1,1}: c.d. b) 4,
-1 -7
,
3 3
17 5 -19
, ,
10 10 10
24. a = 1: 2; a  1: 3. 25.
comp.ind; b  -2: inc. a  -1: comp. det. 28. b) a=b: a{-1,1}: c.i. (a-k,k) ; a{-1,1}: inc. ; ab: c.d.
; k  -3: 1ª,3ª,4ª.
x + ay + z = a
2x + ay + az = 1
x + y + az = 1
1
6-k
33. ii)
2-k -4 2k
2 2 -k
-1 -1 3
26.
1-k
,0,k
2
11. 
1
0
-1
-1 -2
-1 -1
-2 -2
18.
6. a) -2 b) 2 7.
2
,0
2
12. 15
13.
-2 -2
19. k=-1: inc;
1 1
2 1
-4
27. a = -1: b = -2:
-3
-5
30. b) rg(A) = 3, k c) k = -3: 1ª,2ª,3ª
-1 4 2
0 1 1
- -3 -2
34. ii) a = -6: inc. ; a = 0: c.i. ;
38. b) a = 0: 2; a  0: 3 c) 2 39. a) a  {-4,1}:
41. b) a = 1: c.i. ; a  1: c.d.
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