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CONJUNTOS NUMÉRICOS
La noción de número es tan antigua como el hombre mismo ya que son
necesarios para resolver situaciones de la vida diaria.
Por ejemplo, usamos números para contar una determinada cantidad de
elementos (existen siete notas musicales, 9 planetas, etc.), para establecer un
orden entre ciertas cosas (el tercer mes del año, el cuarto hijo, etc.), para
establecer medidas (3,2 metros, , –4 ºC, 5,7 kg etc.), etc.
Conjunto numérico es una agrupación de elementos denominados
números, es decir, son caracteres que deben ser precisados por un adjetivo
para no presentar ambigüedad, por ejemplo: números naturales, números
enteros, números racionales, etc
Números naturales
Al conjunto más simple o elemental de números que sirven para contar {1,
2, 3, 4, ...} los llamaremos números naturales y lo anotaremos con la letra N.
Estos números están ordenados, lo que nos permite representarlos sobre
una recta del siguiente modo:
Como podemos observar en la recta numérica, el conjunto N tiene un primer
elemento, el 1; pero no existe un último, esto implica que el conjunto es
infinito.
Número Primo:
unidad.
Es aquel que se puede dividir sólo por si mismo y por la
Ejemplos: 1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29……
Sobre el conjunto de números Naturales, se pueden definir ciertas
operaciones como suma, resta, multiplicación y división, pero:
Se observa lo siguiente:
2+5=7
5+2=7
3 + 20 = 23
La suma de dos números naturales da
siempre como resultado un número
natural
2 . 7 = 14
5 . 8 = 40
10 . 3 = 30
La multiplicación de dos números
naturales da siempre como resultado
un número natural.
8–3=5
20 – 7 = 13
7 – 20 = ?
5–5=?
La resta de dos números naturales
no siempre da un número natural.
Así como necesitamos resolver el problema de la operación de resta,
en el diario vivir se escuchan expresiones como: “ 10 grado bajo cero”, 647 en
débito”, “8 pies bajo el nivel del mar”. Estas expresiones se refieren a
números menores que cero. Con estas situaciones surgen los enteros
negativos. Los enteros negativos, el cero y los números naturales (también
conocidos por enteros positivos) forman el conjunto de los números enteros,
estos son {…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}.
Números Enteros
Para solucionar el problema de la resta y dar solución a la representación
de diversas situaciones de la vida real, se crean los números negativos –1, –2,
–3, etc. como opuestos de los números naturales. Además se incorpora el cero
para dar solución a la resta de un número consigo mismo (para representar la
carencia de algo).
El conjunto de los números naturales, sus opuestos negativos y el cero
constituyen el conjunto de los números enteros, que se indica con la letra Z.
Notemos que N ⊂ Z.
( N es un subconjunto de Z )
Su representación sobre la recta numérica es la siguiente:
Las flechas indican los opuestos de cada número
Veamos algunos ejemplos:
♦ El opuesto de 2 es –2.
♦ El opuesto de −1 es 1
♦ El opuesto de 5 es –5, es decir –(–5) = 5.
♦ El opuesto de 0 es ...............
De esta manera, podemos redefinir la resta de dos números naturales como la
suma de dos enteros.
Ejemplo: Calcular
1)
23 − 12 = 23 + (–12) = ?
Solución: sumar –12 es lo mismo que restar su opuesto, o sea 12, es decir:
23 + (–12) = 23 – 12 = 11.
2)
9 – (–20) = ?
Solución: restar –20 es lo mismo que sumar su opuesto, o sea 20, por lo
tanto:
9 – (–20) = 9 + 20 = 29.
Módulo o Valor absoluto es el valor del número sin signo
Ejemplo ⎢12⎥ = 12
⎢− 5⎥ = 5
⎢− 12⎥ = 12
⎢5⎥ = 5
El valor absoluto es siempre positivo
Regla para la suma de enteros:
Si sumamos dos enteros del mismo signo se suman los módulos y se
conserva el signo.
Si sumamos dos enteros de distinto signo se restan los módulos y se
conserva el signo del módulo mayor.
Reglas de la multiplicación o división de enteros:
El producto o división de dos enteros del mismo signo es positivo.
El producto o división de dos enteros de signo distinto es negativo.
FACTORES Son los elementos de una multiplicación
Por ejemplo: 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 60
2 ⋅ 8 ⋅ 3 = 48
3, 4 y 5
2, 3 y 8
son factores de
son factores de
60
48
Descomposición en factores Primos:
24 = 2 3 ⋅ 3
Múltiplos de un Número n :
36 = 3 2 ⋅ 2 2
12 = 2 2 ⋅ 3
( n ∈ Naturales )
Es el conjunto obtenido al multiplicar el
conjunto de los Enteros por n.
Por ejemplo:
Múltiplos de 3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ........}
Múltiplos de 7 = {7, 14, 21,. 28, 35, 42, .........}
Al dividir dos números , a y b ; se dice que “ a “ es múltiplo de “ b “ si el
cuociente entre a y b ∈ Z.
Ejercicios
Efectuar las siguientes operaciones (Sin calculadora)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
8 + ( 5 + 3) =
( 4 + 3 ) + ( 5 + 6 ) =
( −12 + 15 ) + (− 4) − (−87) + (25 − 107) =
(−2) ·(− 4) + (7 − 12) – ( − 4 − 5) · (2) + 8
( − 3)⋅(−4) ÷(−6) + ( − 3 − 6)(−2) + 8 − 3(−5)
((− 2)⋅( −6)÷3 −5)·(− 4 − 2) + 10
Calcular los siguientes valores absolutos:
7.
8.
9.
⎢− 36⎥
⎢15⎥
⎢− 28⎥
Resolver (Sin calculadora):
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
(( − 5 + 8 − 7 ) ÷ ⎢− 2⎥ + ( − 3) · ⎢− 4⎥ + 5 ) · ( − 5 + 8 )
⎢− 5⎥·⎢2⎥ + ( − 3) (4) − ⎢− 6⎥ (3)
( − 4)(5) − 6 + 1 − ( −3)(− 2) − ⎢− 18⎥
20 + 14 − (−4) + 29 - (-8) + 25 =
5429 - 1349 + (1586 - (-4558) - 987) =
967 +257 *2 − 587 =
(-25)·(-241) + 95 ·14 =
-147*2 + -95* 3 - (-25)*(7) =
((-857*(-25)) + ((-84)*23)) =
(71 * -25) + ((-25)*(-21) + (-15)*24) =
( −9 − 27 ) + ( 6 − −2 ) =
-5 * 4 + 9 - 9 - -9
=
300 - 3 ( 5 - 2 ) + ( 6 *-15) + 4 (-12 *-25 + 36) =
15 - (19 - (8 - 17)) =
(-6 - 4) - (- 5 - 4 ) - 9 - (- 7 - 8 ) =
( 2 ( 5 - 8 ) - ( - 3) · ( 3 - 6 ) ) · (-1) + (-10) =
2 · ( (- 6 ) · ( 8 - 9 ) ) - ( - 5) · ( 6 - 8 ) · ( - 2 ) =
Si m = − 2 , n = − 1 , p = 0 , evaluar la expresión :
3mn − 2 (n − m ) + 240 mp
28.
Si
a = -1 ; b = 4 ; c = - 5 . Evaluar las siguientes expresiones:
a)
b)
c)
d)
ab - ac - bc
abc - 2a - 3b + 4c
(a - b)*(b - c)
( b - ac ) * b - 3c
Descomponer en factores primos:
29. a) 30 b) 10 c) 35 d) 28 e) 18 f) 9
g) 48 h) 27 i) 64
Soluciones
1)
5)
9)
13)
17)
21)
25)
28)
16
39
28
100
− 404
− 11
14
a) 11
2) 18
6) 16
10) −27
14) 9237
18) 19493
22) 1545
26) 32
b) − 10
29) a) 3 ⋅ 5 b) 2 ⋅ 5
f) 3 2 g) 2 4 ⋅ 3
Pero:
c) 7 ⋅ 5
h) 3 3 i) 2 5
3) 4
7) 36
11) −20
15) 894
19) − 1610
23) − 13
27) 4
c) − 45
d) 2 2 ⋅ 7
4)
8)
12)
16)
20)
24)
29
15
− 49
7355
− 28
5
d) 11
e) 3 2 ⋅ 2
Veamos ¿qué ocurre con la división de dos enteros?.
Observemos lo siguiente:
4 : 2 = 2 ya que 2 . 2 = 4
6 : 3 = 2 ya que 2 . 3 = 6
Si sumamos, restamos y multiplicamos enteros siempre se obtiene otro número
entero. Pero si dividimos dos enteros no siempre obtendremos otro entero.
Por ejemplo, 16 ÷ 2 = 8
en 3 ÷ 4 el resultado no es un entero.
Existen muchas divisiones donde el resultado no es un entero. Esta situación
nos lleva a definir otro conjunto numérico conocido por los números
racionales, que me permita incluir los resultados de aquellas divisiones que no
son enteros.
a
En general
= c = si se verifica que b ⋅ c = a
b
Recuerde , ¡¡¡ NO se puede dividir por “0” !!!
Números Racionales
Para resolver la situación de la división, habrá que introducir otro conjunto
numérico, el conjunto de los números racionales al que denotaremos con la
letra Q.
Un número racional es el cociente de dos números enteros a y b, siendo b
≠0.
a
Por lo tanto: Q = { / a,b ∈ Z, b ≠ 0}, donde a es el numerador y b el
b
denominador.
Notemos que Z ⊂ Q.
¿Por qué?
Un racional puede representarse en dos formas:
⎧ fraccionaria
⎪
⎪
⎪
Representación ⎨
decimal
⎪
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎪⎩
finito
⎧ periódico
inf inito ⎨
⎩semi periódico
Algunos ejemplos de números racionales:
5
7 3
6
, − , 2 , 25 , 1.25,
, 0.33333....
4
8 4
100
Si Representamos en la recta numérica algunos números racionales,
podemos ver:
Algunos ejemplos de números racionales:
♦
7
5
es racional pues 7 es entero y 5 es entero.
♦
−4
3
es racional pues –4 es entero y 3 es entero.
♦ 4 es racional pues
4
=4 y
1
4 y 1 son enteros.
♦ 0,3 es la expresión decimal de un número racional porque 0,3 =
y 10 son enteros.
3
y3
10
5
♦ 0, 5 es la expresión decimal de un número racional porque 0, 5 = y
9
5 y 9 son enteros.
♦ 0,15 es la expresión decimal de un número racional porque
15 − 1 14
7
0,15 =
=
=
y 14 y 90 son enteros, o 7 y 45 tb. son
90
90 45
enteros
Cada fracción es un número racional y cada numero racional consta de infinitas
fracciones equivalentes.
18 9 3 −3 −18
=
= =
=
24 12 4 −4 −24
Por ejemplo:
En esta ocasión la fracción original se simplificó, se amplificó por − 1
después por 6
y
Simplificar = Dividir numerador y denominador por un mismo número.
18 18:2 18:6 18:−6
=
=
=
24 24:2 24:6 24:−6
otro ejemplo de fracciones equivalentes :
3 6
9 12 15 −6
−9
=
=
=
=
=
=
5 10 15 20 25 −10 −15
En esta ocasión la fracción original se amplificó por 2, por 3, 4, 5, −2, − 3
Amplificar = Multiplicar numerador y denominador por un mismo número.
Por ejemplo :
3 3 * 2 3 * 4 3 * −2
=
=
=
5 5 * 2 5 * 4 5 * −2
El valor de un número racional NO varía si el numerador y denominador se
multiplican (amplifican) o dividen (simplifican) por el mismo número
distinto de cero.
Todo entero se puede escribir como Racional, dividiéndolo por la unidad.
5
5=
1
3
Por ejemplo: 3 =
1
c
c=
1
Todo número racional puede escribirse como una expresión decimal cuya
parte decimal puede ser periódica, pura o mixta, con un número finito de
cifras, o puede tener un número finito de cifras.
Para transformar un decimal a racional, se tienen que considerar los
siguientes procedimientos:
Decimal finito:
Se divide el valor decimal por una potencia de 10 que depende de la cantidad
de cifras decimales, simplificando finalmente al máximo el racional resultante.
Ejemplo:
25
1
=
100 4
125
1
=
0,0125=
10000 80
20971
2,0971 =
10000
2
1
=
100 50
3475
3,475 =
1000
0,25 =
0,02 =
0,4=
4 2
=
10 5
Decimal periódico:
Período es la o las cifras decimales que se repiten.
Para transformar un decimal periódico, se divide el valor periódico por una
cantidad de 9 que depende de la cantidad de cifras que tiene el período,
simplificando finalmente al máximo el racional resultante.
Ejemplo:
0 , 66666
. = 0, 6 =
6
2
=
9
3
0,103103103 .... = 0,103 =
103
999
0,373737 ..... = 0, 37 =
3,161616 .... = 3,16 =
37
99
316
99
Decimal semi periódico:
Es aquel, que antes de una o un grupo de cifras que se repiten, aparece un
conjunto de cifras que no vuelven a repetirse, estas se llaman anteperíodo
Se divide la cifra (formada por anteperíodo y período juntos, menos el
anteperíodo) por una cantidad de 9 que depende de la cantidad de cifras que
tiene el período, seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el
anteperíodo, (no se consideran las cifras del entero) simplificando finalmente al
máximo el racional resultante.
Ejemplo:
0,3161616 ..... = 0,3 16 =
0,1367676767 ..... = 0,1367 =
316 − 3 313
=
período = 16, anteperíodo = 3
990
990
1367 − 13 1354
677
=
=
9900
9900 4950
período = 67,
anteperíodo = 136
7,31313131….= 7, 31 =
731 − 7 724
=
99
99
período = 31 anteperíodo = 7 ( no
decimal)
01637 − 01 1636
409
=
=
99900
99900 24975
anteperíodo = 01
0,01637637637….= 0,01637 =
Período = 637,
Para transformar un Racional a decimal, se divide el numerador por el
denominador.
3/5 = 3 : 5 = 0.6
7/3 = 7 : 3 = 2.333
5/6 = 5 : 6 = 0.8333
(Decimal finito)
(Decimal infinito periódico)
(Decimal infinito semiperiódico)
Mínimo Común Múltiplo entre dos números, “a” y “b”, es el menor número
que es múltiplo de “a" y “b” al mismo tiempo.
Para encontrar el M.C.M. se descompone cada número en sus factores primos
siendo el M.C.M. el conjunto de todas las potencias (tomadas una sola
vez) con sus máximos exponentes
M.C.M entre 6 y 8
M.C.M entre 4 y 6
M.C.M entre 8, 12, y 10
M.C.M entre 4, 6 y 8
6=2·3
4 = 2²
8 = 23
6=2·3
M.C.M.= 3 · 2³ = 24
M.C.M.= 3 · 2² = 12
= 120
= 24
OPERACIONES CON LOS RACIONALES
SUMA
Para sumar y/o restar dos Racionales, se procede a calcular el M.C.M
entre los denominadores.
3 1 1 9 + 2 + 4 15 3
1
+ + =
=
= =1
4 6 3
12
12 4
4
MULTIPLICACIÓN
Para multiplicar dos Racionales, se multiplican numerador con
numerador y denominador con denominador.
a c ac
* =
b d bd
3 1 3
* =
5 4 20
DIVISIÓN
Para dividir dos Racionales, se multiplica el primero por el segundo
invertido.
a e a f
÷ = ⋅
b f b e
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS
Para todo número a, b y c:
Propiedad Conmutativa: a + b = b + a
a·b=b·a
Ejemplos:
5+3=3+5
2x4=4x2
Propiedad Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
Ejemplos:
2 + (3 + 4) = (2 + 3 ) + 4
5 x (1 x 7) = (5 x 1) x 7
Elemento Identidad de la Suma ( El cero (0)): a + 0 = a
Ejemplos:
8 + 0 = 8; -4 + 0 = -4
Elemento Identidad de la Multiplicación ( El uno (1) ): a · 1 = a
Ejemplos:
9 x 1 = 9; -3 x 1 = -3
Inverso Aditivo:
Ejemplo:
a + ( − a) = 0
6 + (-6) = 0
Inverso Multiplicativo:
Se define el inverso multiplicativo de un número a ≠ 0 al número
racional que multiplicado por a nos dé 1 (elemento multiplicativo neutro), es
decir:
Ejemplos:
7 x
1
7
a ⋅
1
= 1,
a
=
1 ;
a ≠ 0
cuando
3
4
x
4
3
=
1
Propiedad Distributiva:
a · (b + c) = a · b + a · c
Ejemplo:
5 · (3 + 4) = 5 · 3 + 5 · 4