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GTP 3. Cálculo II - 2011
3
3.1 Trayectorias: velocidad y longitud de arco
Funciones con valores vectoriales
3.1
Trayectorias: velocidad y longitud de arco
1. Para cada una de las siguientes curvas determinar los vectores velocidad y aceleración para
el valor especificado de t.
a) r (t) = 6ti + 3t2 j + t3 k, en t = 0
¢
¡
b) σ (t) = cos2 t, 3t − t3 , t , en t = 0
2. Hallar los vectores velocidad y aceleración y la ecuación de la recta tangente para cada una
de las siguientes curvas en el valor dado de t.
a) r (t) = cos t i + sen 2t j, en t = 0
√
b) r (t) = 2t i + et j + e−t k, en t = 0
3. Probar que si σ es una trayectoria con aceleración nula entonces σ es una recta o un
punto.
4. Hallar trayectorias σ (t) cuyas imágenes sean las curvas dadas. Graficar.
a) {(x, y) : y = ex }
ª
©
b) (x, y) : 4x2 + y 2 = 1
c) Una recta en R3 que pasa por el origen y el punto a
ª
©
d) (x, y) : 9x2 + 16y 2 = 4
5. Probar las siguientes reglas para trayectorias diferenciables en R3
a)
b)
c)
dρ
d
dσ
dt [σ (t) · ρ (t)] = dt · ρ (t) + σ (t) · dt
dρ
d
dσ
dt [σ (t) × ρ (t)] = dt × ρ (t) + σ (t) × dt
d
dt
{σ (t) · [ρ (t) × τ (t)]} =
dσ
dt ·[ρ (t) × τ
(t)]+σ (t)·
h
dρ
dt
i
£
× τ (t) +σ (t)· ρ (t) ×
dτ
dt
¤
(t)
6. Sea σ (t) una trayectoria, v (t) la velocidad y a (t) la aceleración. Supongamos que
F : R3 → R3 , que m > 0 y que F [σ (t)] = ma (t). Probar que
d
[mσ (t) × v (t)] = σ (t) × F [σ (t)]
dt
(Tasa de cambio del momento angular igual a torque). ¿Qué se puede concluir si F [σ (t)]
es paralelo a σ (t)?
7. Calcular la longitud de arco de la curva dada en el intervalo propuesto.
a) σ (t) = (sen 2πt, cos 2πt, 2πt) en el intervalo [0, 1]
b) s (t) = ti + t (sen t) j + t (cos t) k en el intervalo [0, π]
c) ti + tj + 23 t3/2 k en el intervalo [t0 , t1 ]
d) s (t) = (cosh t, sinh t, t) en el intervalo [0, t] 1
1
Existiendo programas de cálculo simbólico y numérico, no está entre los intereses centrales de este curso la
habilidad para el cálculo de integrales. Pero si no se tiene acceso a esas facilidades, cualquier tabla de integrales
le dirá que
] s
r
s
1q s 2
+C
x x + a2 + a2 ln x + x2 + a2
x2 + a2 dx =
2
1
GTP 3. Cálculo II - 2011
3.2 Campos vectoriales
8. Sea c (t) , a ≤ t ≤ b, una trayectoria. Sea s = ϕ (t) una nueva variable definida por la
función ϕ estrictamente creciente de clase C 1 en [a, b] , con ϕ0 libre de ceros. Se define
d : [ϕ (a) , ϕ (b)] → R3 por d = c◦ ϕ−1 . La trayectoria d es una reparametrización de
c.
a) Ver que las curvas imágenes de c y d son las mismas.
b) Probar que c y d tienen la misma longitud.
c) Si la función ϕ (t) se elige como
s = ϕ (t) =
Z
a
3.2
t°
°
°c0 (τ )° dτ ,
la curva d se dice parametrizada por la longitud de arco. Ver que en ese caso la
longitud de d es la longitud del intervalo de parametrización de la variable s y
que
°
°
°
°d
° d (s)° = 1.
°
° ds
Campos Vectoriales
1. Una partícula de masa m se mueve sobre una trayectoria r (t) de auerdo con la ley de
Newton, en un campo de fuerza F = −∇V en R3 , donde V es una función dada de
energía potencial.
a) Probar que la energía
°2
1 °
E = m °r0 (t)° + V (r (t))
2
es constante en el tiempo. (Idea: calcular dE/dt).
b) Probar que si la partícula se mueve sobre una superficie equipotencial entonces su
rapidez es constante.
2. Suponer que las isotermas en una región son esferas centradas en el origen. Probar que el
campo vectorial de flujo de energía actúa sobre rayos con centro en el origen.
¢
¡
3. Mostrar que σ (t) = e2t¡, ln |t| , 1/t ¢, para t 6= 0, es una línea de flujo para el campo de
velocidad F (x, y, z) = 2x, z, −z 2 .
4. Calcular el rotacional, ∇ × F, de los siguientes campos vectoriales.
a) F (x, y, z) = xi + yj + zk
b) F (x, y, z) = yzi + xzj + xyk
¢
¡
c) F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 (3i + 4j + 5k)
d) F (x, y, z) =
yzi+xzj+xyk
x2 +y2 +z 2
5. Calcular la divergencia ∇ · F de cada uno de los campos del ejercicio 4.
6. Verificar que el campo
V (x, y) =
y
x
i−
j
x2 + y2 x2 + y2
es incompresible.
¡
¢
7. Sea F (x, y, z) = 3x2 yi + x3 + y3 j
2
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4.1 Integrales de trayectoria
a) Verificar que rot F = 0
b) Hallar una función f tal que F = ∇f
c) ¿Es cierto que a) es condición necesaria para la existencia de la f de b)?
8. Probar las siguientes identidades.
i) ∇ (f + g) = ∇f + ∇g
ii) ∇ (cf ) = c∇f
iii) ∇ (f g) = f ∇g + g∇f
iv) div (F + G) = div F + div G
v) rot (F + G) = rot F + rot G
vi) div (f F) = f div F + F · ∇f
vii) div (F × G) = G· rot F − F· rot G
viii) div rot F = 0
ix) rot (f F) = f rot F + ∇f × F
x) ∇ · (f ∇g − g∇f ) = f ∇2 g − g∇2 f
p
9. Sean r (x, y, z) = (x, y, z) y r = x2 + y 2 + z 2 = krk . Probar las siguientes identidades.
a) ∇ (1/r) = −r/r3 si r 6= 0
¢
¡
b) ∇2 (1/r) = 0 si r 6= 0.(∇2 = ∂ 2 /∂x2 + ∂ 2 /∂y2 + ∂ 2 /∂z 2 = ∆, el "laplaciano")
¡
¢
c) ∇ · r/r3 = 0
d) ∇ × r = 0
4
4.1
Integrales sobre trayectorias y superficies
Integrales de trayectoria
1. Evaluar las siguientes integrales de trayectoria
R
σ
f (x, y, z) ds, donde
a) f (x, y, z) = x + y + z y σ : t 7→ (sen t, cos t, t) , t ∈ [0, 2π]
b) f (x, y, z) = cos z, y σ como en la parte a)
c) f (x, y, z) = x cos z y σ : t 7→ ti + t2 j, t ∈ [0, 1]
d) f (x, y, z) = yz y σ : t 7→ (t, 3t, 2t) , t ∈ [1, 3]
2. Reparametrizaciones. Supongamos que σ : I1 → R3 es una trayectoria y que h :
I → I1 es una biyección de clase C 1 . Si I = [a, b] y I1 = [a1 , b1 ], necesariamente será
h (a) = a1 , h (b) = b1 (caso crec.), o bien h (a) = b1 , h (b) = a1 (caso decrec.). Si definimos
ρ = σ ◦ h, ρ es una trayectoria de la cual se dice que reparametriza a la curva σ∗ . En
el caso crec. decimos que ρ conserva la orientación y en el caso decrec. que la invierte.
Nótese que kρ0 (t)k = kσ0 (h (t))k |h0 (t)|
a) Probar que en ambos casos
R
σ
f ds =
R
3
ρ fds.
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4.2 Integrales de línea
b) SlR la longitud de la curva σ ∗ es , y k (s) es la función longitud de arco: k (s) =
s
0
−1 : [0, ] → [a , b ] da, con el procedimiento
1 1
a1 kσ (τ )k dτ , la inversa h = k
descripto, una reparametrización ρ llamada parametrización con la longitud de
arco. Pruebe que kρ0 (t)k = 1 para todo valor de t y que, por lo tanto,
Z
Z
f ds =
f [ρ (t)] dt.
ρ
0
s
σ
s
b1
b1
a1
a1
σ
a
b
a
t
ρ
b
t
ρ
b
b
a
a
La flecha sobre la curva indica el sentido en que es recorrida por ρ
4.2
Integrales de línea
1. Sea F (x, y, z) = xi + yj + zk. Evaluar la integral de F a lo largo de cada una de las
trayectorias siguientes.
a) σ (t) = (t, t, t) ; 0 ≤ t ≤ 1
b) σ (t) = (cos t, sen t, 0) ; 0 ≤ t ≤ 2π
c) σ (t) = (sen t, 0, cos t) ; 0 ≤ t ≤ 2π
¡
¢
d) σ (t) = t2 , 3t, 2t3 ; −1 ≤ t ≤ 2
2. Evaluar las siguientes integrales.
R
a) σ xdy − ydx,
σ (t) = (cos t, sen t) ,
0 ≤ t ≤ 2π.
R
b) σ xdx + ydy,
σ (t) = (cos πt, sen πt) ,
0 ≤ t ≤ 2.
R
c) σ yzdx + zxdy + xydz, donde σ es la poligonal (1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1) .
R
d) σ x2 dx − xydy + dz,donde σ es la parábola z = x2 , y = 0, desde (−1, 0, 1) hasta
(1, 0, 1) .
3. Considerar la fuerza F (x, y, z) = xi + yj + zk. Calcular el trabajo realizado al mover una
partícula a lo largo de la parábola y = x2 , z = 0, desde x = −1 hasta x = 2.
4. Sea σ una trayectoria suave
a) Suponer que F es perpendicular a σ 0 (t) en σ (t) . Probar que
Z
F · ds = 0.
σ
4
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4.3 Superficies parametrizadas
b) Si F es paralelo a σ 0 (t) en σ (t) (esto es, si F [σ (t)] = λ (t) σ0 (t) con λ (t) > 0),
probar que
Z
Z
F · ds = kFk ds
σ
σ
5. Sea σ una trayectoria y T el vector tangente unitario (T = σ0 / kσ 0 k). ¿Qué es
?
R
σ
T · ds
6. Probar que si C es una curva cerrada y F un campo gradiente, entonces la integral de
F a lo largo de C no depende de la particular trayectoria σ con que se parametrice la
curva. ¿Cuánto vale esa integral?
7. Evaluar
Z
2xyz dx + x2 z dy + x2 y dz,
C
cuando C es una curva simple que conecta (1, 1, 1) con (1, 2, 4) .
2
2
2
8. Suponer que ∇f (x, y, z) = 2xyzex i + zex j + yex k. Si f (0, 0, 0) = 5, hallar f (1, 1, 2) .
9. Consideremos el campo gravitacional (r = (x, y, z) , r = krk)
F (r) =
−r
,
r3
r 6= 0.
Mostrar que el trabajo realizado por la fuerza gravitacional sobre una partícula que se
mueve desde r1 hasta r2 a lo largo de cualquier trayectoria sólo depende de los radios
r1 y r2 .
4.3
Superficies parametrizadas
1. Hallar una expresión para el plano tangente a la superficie dada en el punto indicado.
a) x = 2u,
y = u2 + v,
b) x = u2 − v 2 ,
y = u + v,
z = v 2 , en (0, 1, 1)
z = u2 + 4v, en
¡
¢
− 14 , 12 , 2
2. Hallar una expresión para un vector unitario normal a las siguientes superficies.
a)
b)
x = 3 cos θ sen φ,
y = 2 sen θ sen φ,
para θ ∈ [0, 2π] y φ ∈ [0, π] .
z = cos φ
x = sen v,
y = u,
z = cos v
para 0 ≤ v ≤ 2π y −1 ≤ u ≤ 3.
3. Considerar la superficie en R3 parametrizada por
Φ (r, θ) = (r cos θ, r sen θ, θ) ,
0 ≤ r ≤ 1,
0 ≤ θ ≤ 4π.
a) Esbozar y describir la superficie.
b) Hallar una expresión para una normal (unitaria) a la superficie.
c) Hallar una expresión para el plano tangente a la superficie en un punto genérico
(x0 , y0 , z0 ) .
4. Dada una esfera de radio 2 con
√ ¢ en el origen hallar la ecuación para el plano que es
¡ centro
tangente a ella en el punto 1, 1, 2 , considerando a la esfera como:
5
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4.5 Integrales de funciones escalares
a) Una superficie parametrizada por Φ (θ, φ) = (2 cos θ sen φ, 2 sen θ sen φ, 2 cos φ) ;
b) Una superficie de nivel de f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 ;
p
c) La gráfica de g (x, y) = 4 − x2 − y2 .
*5. Sea Φ una superficie suave; esto es, Φ es de clase C 1 y Tu × Tv 6= 0 en (u0 , v0 ).
a) Usar el teorema de la función implícita para mostrar que la imagen de Φ cerca de
(u0 , v0 ) es la gráfica de una función C 1 de dos variables, digamos z = f (x, y) (esto
se cumplirá si la componente z de Tu × Tv es distinta de cero).
b) Mostrar que el plano tangente en Φ (u0 , v0 ) generado por Tu y Tv coincide con el
plano tangente a la gráfica de z = f (x, y) en ese punto.
4.4
Area de una superficie
1. Hallar el área de la esfera unitaria S representada paramétricamente por
x = cos θ sen φ,
y = sen θ sen φ,
z = cos φ.
2. Sea Φ (u, v) = (u − v, u + v, uv) y sea D el disco unitario en el plano uv. Hallar el área
de Φ (D) .
p
3. Hallar el área de la parte de la esfera unitaria cortada por el cono z ≥ x2 + y 2 .
4. Mostrar que si T (u, v) = (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)), entonces para los vectores Tu y Tv
vale la fórmula
s∙
¸
¸
¸
∙
∙
∂ (x, y) 2
∂ (y, z) 2
∂ (x, z) 2
kTu × Tv k =
+
+
.
∂ (u, v)
∂ (u, v)
∂ (u, v)
5. Hallar el área de la porción de esfera unitaria que queda fuera del cilindro x2 + y2 = 1/2.
4.5
Integrales de funciones escalares
R
1. Calcular S xy dS cuando S es la superficie del tetraedro con lados z = 0, y = 0, x+z = 1
y x=y
2. Sea Φ : D ⊂ R2 → R3 una superficie parametrizada y llamemos
°
°
°
°
° ∂Φ °2
° ∂Φ °2
∂Φ
∂Φ
°
°
·
,
G=°
F =
E=°
° ∂v ° .
° ∂u ° ,
∂u ∂v
√
a) Mostrar que kTu × Tv k = EG −R F 2 y deducir fórmulas para el área A (S) y para
integrales de escalares sobre S: S f dS
b) En qué se convierte la fórmula si Tu ⊥ Tv ?
c) Usar lo anterior para calcular la superficie de una esfera de radio R.
R
3. Calcular S z dS, donde S es el hemisferio superior de radio a, esto es, el conjunto de los
p
(x, y, z) con z = a2 − x2 − y2 .
R
4. Evaluar S xyz dS, donde S es el triángulo con vérices (1, 0, 0) , (0, 2, 0) y (0, 1, 1) .
R
5. Evaluar S z dS, donde S es la superficie z = x2 + y 2 , x2 + y 2 ≤ 1.
6
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5.1. Teorema de Green
p
6. Una superficie metálica S tiene la forma de un hemisferio z = R2 − x2 − y 2 , 0 ≤
x2 + y 2 ≤ R2 . La densidad de masa en (x, y, z) ∈ S está dada por m (x, y, z) = x2 + y 2 .
Hallar la masa total de S.
7. Sea S la esfera de radio R.
a) Usar argumentos de simetría para probar que
Z
Z
Z
2
2
x dS =
y dS =
z 2 dS.
S
S
S
b) Usar este hecho para evaluar con muy pocos cálculos
c) Ayuda esto en el ejercicio anterior?
R
S
x2 dS.
8. Se define el promedio de la función f sobre la superficie S por
Z
1
fS =
f dS.
A (S) S
¢¢
R ¡ ¡
(El nümero f S es el que provoca que S f (x, y, z) − f S dS = 0)
a) Hallar el promedio de z 2 sobre la esfera unidad.
b) Se define el centro de gravedad (x, y, z) de una superficie S tomando como coordenadas
los valores promedio de las funciones coordenadas. Por ejemplo, x =
R
1
A(S) S x dS. Calcular el centro de gravedad del triángulo de vértices (1, 0, 0) , (0, 1, 0)
y (0, 0, 1) .
9. Hallar las coordenadas del centro de gravedad del primer octante de la esfera de radio R
4.6
Integrales de funciones vectoriales
1. Supongamos que la temperatura en un punto de R3 está dada por T (x, y, z) = 3x2 + 3z 2 .
Calcular el flujo de calor a través de la superficie x2 + z 2 = 2, 0 ≤ y ≤ 2. Considerar
F = −∇T.
2. Calcular el flujo de calor a través de la esfera unidad S si T (x, y, z) = x. Puede interpretar
físicamente su respuesta?
3. Sea S la superficie cerrada formada por el hemisferio x2 + y2 + z 2 = 1, z ≥ 0 y su base
x2 + y 2 ≤ 1, z = 0. Sea E el campo eléctrico definido por E (x, y, z) = 2xi + 2yj + 2zk.
Calcular el flujo eléctrico a través de S.
√
4. El campo de velocidad de unfluido está descripto por F = yj (medido en metros por
segundo). Calcular cuántos metros cúbicos de fluido por segundo están cruzando la superficie x2 + z 2 = y, 0 ≤ y ≤ 1, en la dirección en que y crece.
R
5. Evaluar S (∇ × F) · dS, donde S es la superficie x2 + y 2 + 3z 2 = 1, z ≤ 0 y F =
yi − xj + zx3 y 2 k. Tomar la normal unitaria n apuntando hacia arriba.
¡
¢
¡
¢
R
6. Evaluar S (∇ × F)·dS, donde F = x2 + y − 4 i+3xyj+ 2xz + z 2 k y S es la superficie
x2 + y2 + z 2 = 16, z ≥ 0. Tomar la normal unitaria n apuntando hacia arriba.
7
GTP 5. Cálculo II - 2011
5
5.1
5.2. Teorema de Stokes
Teoremas integrales del Análisis Vectorial
Teorema de Green
R
1. Evaluar C y dx − x dy, donde C es la frontera del cuadrado [−1, 1] × [−1, 1] orientada
positivamente.
2. Hallar el área del disco de radio R usando el teorema de Green.
3. Verificar el teorema de Green para el disco de centro (0, 0) y radio R y las funciones:
a) P (x, y) = x + y, Q (x, y) = y
b) P (x, y) = 2y, Q (x, y) = x
4. Hallar el área encerrada entre un arco de cicloide: x = a (θ − sen θ) , y = a (1 − cos θ)
(a > 0, 0 ≤ θ ≤ 2θ) y el eje x.
y
6
3
x
3
6
9
12
15
18
5. Sea D una región para la que se cumple el teorema de Green y sea f una función armónica
en D. Probar que
Z
∂f
∂f
dx −
dy = 0.
∂x
∂D dy
6. Demostrar que las siguientes formas diferenciales son exactas y encontrar una función potencial.
a) y dx + x dy
b) yex dx + [ex + (y + 1) ey ] dy
c) cosh x cos y dx − senh x sen y dy
d)
7. Resolver los siguientes problemas con valores iniciales.
a) (y − 1) dx + (x − 3) dy = 0,
b) x dy + y 2 dx = 0,
¡
¢
cot y + x2 dx − x csc2 y dy
y (0) = 2/3
y (1) = 0.2
8. a) Verificar el teorema de la divergencia para F = xi + yj y el disco unitario.
b) Evaluar la integral de la componente normal de 2xyi − y 2 j alrededor de la elipse
x2 y2
+ 2 = 1.
a2
b
8
21
GTP 5. Cálculo II - 2011
5.2
5.3. Teorema de Gauss
Teorema de Stokes
1. Verificar el teorema de Stokes para el hemisferio superior z =
campo vectorial radial F (x, y, z) = xi + yj + zk
p
1 − x2 − y2 , z ≥ 0, y el
Ley de Faraday
Si E (t, x, y, z) y H (t, x, y, z) representan los campos eléctrico y magnético en el tiempo
t y S es una superficie a la que se aplica el teorema de Stokes, entonces
Z
Z
∂
E · ds = −
H · dS
∂t S
∂S
2. Sea S una superficie con frontera ∂S y supongamos que E es un campo eléctrico
perpendicular a ∂S. Mostrar que el flujo magnético inducido a través de S es constante
en el tiempo.
3. Sea S la superficie cilíndrica con tapa formada por el cilindro
©
ª
S1 = (x, y, z) : x2 + y2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1
y la tapa
n
o
S2 = (x, y, z) : x2 + y 2 + (z − 1)2 = 1, z ≥ 1
¢
¡
¢
R
¡
y sea F (x, y, z) = zx + z 2 y + x i + z 3 yx + y j + z 4 x2 k. Calcular S (∇ × F) · dS.
4. Sea S el triángulo con vértices (1, 0, 0) , (0, 1, 0) y (0, 0, 1). Verificar el teorema de Stokes
para F (x, y, z) = yzi + xzj + xyk en esta superficie.
5.3
Teorema de Gauss
1. Sea S una superficie cerrada. Usar
el teorema de Gauss para mostrar que si F es un
R
campo vectorial C 2 , entonces S (∇ × F) · dS = 0.
2. Sea F = x3 i + y 3 j + z 3 k. Evaluar la integral de superficie de F sobre la esfera unitaria.
R
3. Evaluar ∂Ω F · dS, donde F = xi + yj + zk y Ω es el cubo unitario (en el primer octante).
Realizar los cálculos directamente y verificar usando el teorema de la divergencia.
4. Repetir el ejercicio 3. para
a) F = i + j + k
b) F = x2 i + y 2 j + z 2 k
5. Evaluar
R
S
F · dS, donde F = 3xy2 i + 3x2 yj + z 3 k y S es la esfera unitaria.
6. Probar las identidades de Green
Z
Z
∂Ω
∂Ω
f ∇g · n dS =
(f ∇g − g∇f ) · n dS =
9
Z
ZΩ
Ω
¢
¡ 2
f ∇ g − ∇f · ∇g dV
¡ 2
¢
f ∇ g − g∇2 f dV