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Plan de clase (1/4)
Escuela: ________________________________________________ Fecha: ____________
Profesor (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3 Secundaria
Eje temático: SNyPA
Contenido: 9.1.1 Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas
sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos personales u operaciones
inversas para resolver problemas que implican una ecuación cuadrática.
Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas. Si lo consideran
necesario, utilicen su calculadora y traten de justificar sus respuestas.
1. El cuadrado de un número menos 5 es igual a 220. ¿Cuál es ese número?
2. Un número se elevó al cuadrado, el resultado se multiplicó por 4 y luego se restó 6 a lo
que se obtuvo, el resultado final fue 30. Hay dos posibles soluciones, ¿cuáles son?
3. El cuadrado de un número más el mismo número es igual a 306. ¿Cuál es ese número?
4. El producto de dos números naturales consecutivos es 552. ¿Cuáles son esos números?
Consideraciones previas:
Se sugiere hacer un alto para analizar los procedimientos utilizados cuando la mayoría de los
equipos termine de resolver el primer problema. Es probable que utilicen el ensayo y error, es
decir, que vayan probando con diferentes números hasta encontrar el que cumple con las
condiciones del problema. En este momento conviene pedirles que formulen una ecuación,
darles unos minutos y analizar las ecuaciones formuladas. Si se representa el número
buscado con la letra x, la ecuación correspondiente al primer problema es:
x2 – 5 = 220.
Una vez establecida la ecuación, se sugiere preguntar:
¿Qué se puede hacer para resolver una ecuación como ésta?
Un procedimiento es simplificar la ecuación y obtener:
x2 = 225
Esta ecuación se puede resolver sacando raíz cuadrada en ambos miembros para obtener el
valor de x.
Otro procedimiento son las operaciones inversas, es decir, hacer el camino de regreso: a 220
sumarle 5, luego sacar raíz cuadrada al resultado.
Haga notar que, en cualquiera de los casos (puede haber más procedimientos), se obtienen
dos soluciones: 15 y -15, pues ambos números son raíces cuadradas de 225. Además, es
muy conveniente comprobar que estos números cumplen con las condiciones del problema.
La finalidad de hacer un alto después de resolver el primer problema es socializar los
recursos utilizados para que más alumnos tengan elementos adicionales para resolver los
siguientes problemas. Si bien no se pide que planteen ecuaciones, se sugiere que se haga
notar su utilidad para resolverlos.
El segundo problema tiene asociada la ecuación:
4x2 – 6 = 30
La cual también se puede resolver mediante operaciones inversas. Los números que
cumplen con las condiciones del problema son +3 y -3.
Los dos problemas finales tienen asociadas las ecuaciones más complejas:
x2 + x = 306
y
x (x + 1) = 552
En ambas ecuaciones aparecen, además de términos cuadráticos de x, términos lineales de
la incógnita. Es probable que los estudiantes las resuelvan mediante ensayo y error. Otro
procedimiento posible, es el de factorización, el cual se estudiará en el bloque 2 (G9B2C1).
Las soluciones son 17 y -18, para el problema 3; y para el problema 4, la solución es 23 (y su
sucesor 24). En este último problema hay que notar que, como se buscan números
naturales, el número -24, aunque sí es solución de la ecuación correspondiente no es
solución del problema.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
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2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
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3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
¿De qué número se trata?
Plan de clase (2/4)
Escuela: _______________________________________________ Fecha: _____________
Profesor (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3 Secundaria
Eje temático: SNyPA
Contenido: 9.1.1 Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas
sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
Intenciones didácticas: Que los alumnos planteen ecuaciones cuadráticas para modelar
problemas en contextos intramatemáticos y las resuelvan mediante procedimientos
personales u operaciones inversas. Además que concluyan que una ecuación de este tipo
tiene dos soluciones.
Consigna: En equipo resuelvan los siguientes problemas. Para ello, planteen y resuelvan
una ecuación para cada caso. Si consideran necesario, utilicen su calculadora y traten de
justificar sus respuestas.
1. El cuadrado de un número es igual al triple del mismo. ¿De qué número se trata?
2. El cuadrado de un número menos el doble del mismo número es igual a 24. ¿Cuál es
ese número?
3. El cuadrado de un número es igual a la tercera parte del mismo más 8. ¿Cuál es ese
número?
Consideraciones previas:
Es necesario dar al menos 15 minutos para la discusión e iniciar con la revisión de las
ecuaciones para ver si las que plantearon los diferentes equipos son iguales, equivalentes o
distintas. Después, hay que analizar los procedimientos que usaron para resolverlas. Las
ecuaciones que resultan de los problemas anteriores son cuadráticas y pueden resolverse
por ensayo y error, procedimiento que probablemente utilicen los alumnos.
Conviene decir en esta sesión que las tres ecuaciones que resultan son de segundo grado
porque, a diferencia de las de primer grado, la incógnita está elevada al cuadrado. Además,
es importante comprobar que las dos raíces que se obtienen de su solución cumplen con la
ecuación incluyendo la negativa, si es que la hay. Por ejemplo, para el primer problema (cuya
ecuación correspondiente es x2 = 3x) las soluciones son 3 y 0. Para el segundo la ecuación
x
correspondiente es x2 – 2x = 24, con soluciones 6 y -4. El tercero tiene ecuación x2 –
= 8,
3
8
con soluciones 3 y  . Esta última solución es difícil de ser obtenida por ensayo y error. Se
3
sugiere que no la dé de entrada, sino que pregunte:
Además de 3, ¿habrá otra solución?
Se debe hacer notar que todas las ecuaciones cuadráticas resueltas hasta el momento han
tenido dos soluciones, por lo tanto, es seguro que la anterior también tenga dos soluciones.
Una vez que los alumnos hayan planteado y resuelto problemas como los anteriores, se
puede proponer ejercicios de resolución de ecuaciones como las siguientes:
a)
b)
c)
d)
x2 - 4 = 0
(x - 5)2 = 144
2x2 – 8 = 0
x2 +2x = 21
Es importante insistirle a los alumnos que verifiquen las dos soluciones de las ecuaciones.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
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2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
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3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
¿Cuál de las dos es?
Plan de clase (3/4)
Escuela: ________________________________________________ Fecha: ____________
Profesor (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3 Secundaria
Eje temático: SNyPA
Contenido: 9.1.1 Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas
sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
Intenciones didácticas: Que los alumnos planteen ecuaciones cuadráticas para modelar
problemas en diversos contextos y las resuelvan mediante procedimientos personales u
operaciones inversas. Además, que determinen si las dos soluciones de la ecuación cumplen
con las condiciones del problema.
Consigna. En equipo resuelvan los siguientes problemas. Para ello, planteen y resuelvan la
ecuación correspondiente a cada caso. Si lo consideran necesario, utilicen su calculadora.
1. El parque de una colonia está ubicado en un terreno cuadrado. El estacionamiento es un
cuadrado de 50 m de lado, ubicado en una esquina del terreno. El resto es el jardín con
un área de 14 400 m2. Calculen cuánto mide por lado todo el terreno.
50
50
x
x
Ecuación: _________________________________________________________________
2. A una pieza de cartón de forma cuadrada (Figura A), se le recortan cuadrados en las
esquinas para hacer una caja sin tapa (Figura B), con las siguientes medidas:
Altura = 10 cm
Volumen =1 000 cm3.
Calculen la medida del lado de la pieza de cartón que se necesita para hacer la caja.
x
x
Figura A
Figura B
Ecuación: _________________________________________________________________
Consideraciones previas:
Se espera que los alumnos planteen ecuaciones para resolver los problemas. Si es
necesario, ayúdelos a identificar los datos, la incógnita y las relaciones relevantes de cada
problema. Dé tiempo suficiente para esto.
Aquí no se trata sólo de dar respuesta a los problemas planteados, pues podrían resolverse
en forma aritmética sin mucha dificultad; sin embargo, el propósito es que precisamente la
sencillez para encontrar su solución les permita encontrar la relación entre los datos para
transformarlos en una ecuación cuadrática.
Con base en lo anterior, es probable que los alumnos razonen de la siguiente forma: El
terreno es cuadrado, por lo tanto su área se obtiene elevando la medida de su lado al
cuadrado (x2), el estacionamiento también es cuadrado, así que su área será igual a (50 x 50
= 2 500) y el área del jardín es de 14 400 m 2. Por lo que la ecuación puede quedar
expresada de la siguiente forma:
x2 = 14 400 + 2 500
la cual se puede simplificar hasta obtener x2 = 16 900 y determinar el resultado del problema,
que es 130 m.
Otra forma de ver este problema consiste en plantear que al área del terreno se le resta la
del estacionamiento y se tiene la del jardín, por lo que se obtiene:
x2 – 2 500 = 14 400
Una ecuación que también pudiera surgir es 50(x – 50) + x(x – 50) = 14 400, basada en una
segmentación del terreno como la que se muestra enseguida:
50
50(x – 50)
50
x
x(x – 50)
x
Es importante discutir y dar espacio para los distintos razonamientos empleados y que los
alumnos se den cuenta que cualquiera de ellos, aunque parezcan diferentes, son válidos, es
decir, que las ecuaciones obtenidas son equivalentes.
También hay que hacer notar que la ecuación tiene dos soluciones: x1 = 130 y x2= –130, pero
que sólo una de ellas cumple con las condiciones del problema, puesto que las longitudes no
pueden ser negativas.
El razonamiento para formular la ecuación del segundo problema es más complejo, pues hay
que relacionar la longitud de la altura (10 cm) con las medidas de los lados de la base de la
caja (x – 20). Hay que esperar a que los alumnos realicen la tarea por sí solos y sólo
brindarles ayuda si es muy necesario. La ecuación que resulta es 1000  ( x  20) 2 (10) .
Para solucionar esta ecuación, se puede usar el procedimiento de operaciones inversas: si
se divide entre 10 se obtiene 100 = (x – 20)2 y si a ésta se le extrae raíz cuadrada se obtiene:
±10 = x – 20, de donde resulta que x puede ser 30 o 10. Es importante descartar la solución x
= 10 a partir del contexto del problema.
Es probable que los alumnos obtengan este mismo resultado por otros medios, como ensayo
y error, lo importante es que sepan explicar el procedimiento utilizado y por qué el resultado
cumple con las condiciones del problema.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
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2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
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3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
A la inversa
Plan de clase (4/4)
Escuela: _______________________________________________ Fecha: _____________
Profesor (a): _______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3 Secundaria
Eje temático: SNyPA
Contenido: 9.1.1 Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas
sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
Intenciones didácticas: Que los alumnos traduzcan al lenguaje común ecuaciones
cuadráticas y las resuelvan usando procedimientos personales.
Consigna: Organizados en parejas, inventen un problema que se pueda resolver con cada
una de las ecuaciones presentadas. Resuelvan y comprueben resultados. Pueden utilizar
calculadora.
a) x (x +3) = 270
b) a2 + a = 132
c) 3n2 – n =102
Consideraciones previas:
La traducción de una ecuación a un problema no es una tarea sencilla pero es importante
que los alumnos la lleven a cabo, con el fin de que le busquen sentido a una expresión
algebraica.
Los problemas inventados pueden corresponder a diferentes contextos tales como cálculo de
áreas, edades, números, dinero, etcétera, sin embargo, para una misma ecuación, los
problemas siempre tendrán la misma estructura. Por ejemplo, para la del inciso a, los
problemas pueden ser:
-
El largo de un rectángulo mide tres unidades más que el ancho y el área es 270 m 2,
¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
El producto de dos números es 270. Si uno es tres unidades mayor que el otro,
¿cuáles son los números?
Juan es tres años mayor que su hermano Luis. Si el producto de sus edades es 270,
¿qué edad tiene cada uno?
Los procedimientos para resolver estas ecuaciones pueden ser todavía de ensayo y error, es
hasta el siguiente bloque cuando se empieza el estudio formal de procedimientos
algebraicos.
Es importante que verifiquen las dos soluciones de las ecuaciones y que decidan, a partir del
contexto de los problemas formulados, cuál es la que permite dar una respuesta lógica al
problema.
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
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2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
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3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
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