Download Prof. (a)

Bloque 4
Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que los alumnos:
1. Representen algebraicamente el término general, lineal o cuadrático, de una sucesión numérica
o con figuras.
2. Resuelvan problemas que implican el uso del teorema de Pitágoras y razones trigonométricas.
3. Resuelvan problemas que implican el uso de procedimientos recursivos, tales como el
crecimiento poblacional o el interés sobre saldos insolutos.
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Eje
Significado y uso de las literales
Tema
PATRONES Y FÓRMULAS
Subtema
Conocimientos y habilidades
Orientaciones didácticas
4.1. Determinar una expresión general
cuadrática para definir el enésimo término en
sucesiones numéricas y figurativas utilizando
el método de diferencias.

Esta tarea no es sencilla para los alumnos, por
lo que conviene, por lo menos al principio, guiar
tanto el descubrimiento del patrón como el
proceso de simbolización algebraica de la regla
que lo gobierna. Por ejemplo:
Si se propone una sucesión de figuras como la siguiente, algunas preguntas que se
podrían plantear son:
¿Cómo va creciendo la medida de la base de estas figuras rectangulares? ¿Cuánto medirán las
bases de las figuras que siguen en la sucesión? ¿Cómo va creciendo la altura? ¿Cuánto medirán
las alturas de las figuras que siguen en la sucesión? ¿Qué relación hay entre la medida de la base
y de la altura en cada figura? ¿Qué relación hay entre la medida de la base de cada figura y la
posición que ocupa en la secuencia? ¿Cuánto medirá la base de la figura que se halla en la
posición n de la sucesión? ¿Cuánto medirá la altura de la figura que se halla en la posición n de la
sucesión? ¿Cuántos cuadritos formarán la figura que se halla en la posición n?
Independientemente de que por este camino se halle la expresión algebraica que permite
determinar el número de cuadritos que forman cualquier figura de la sucesión, se sugiere aplicar
el método de diferencias, mismo que se describe en el Fichero de actividades didácticas,
Matemáticas. Pueden analizarse también los siguientes ejemplos:

¿Cuál es la expresión algebraica que determina el número de cubos que forman la figura
que ocupa la enésima posición de la siguiente sucesión?

¿Cuál es la expresión algebraica que permite conocer el total de caras que es posible ver
en cualquier figura que esté en la sucesión anterior?
En los tres casos la expresión algebraica que se obtiene es de segundo grado.
Plan de clase (1/3)
Escuela: _________________________________
Fecha: _____________________
Profr. (a): _________________________________________________
Curso: Matemáticas 3 Apartado: 4.1
Eje temático: SN y PA
Conocimientos y habilidades: Determinar una expresión general cuadrática para definir el
enésimo término en sucesiones numéricas y figurativas utilizando el método de diferencias.
Intenciones didácticas: Que los alumnos encuentren una expresión general cuadrática de la
forma y = x2 que represente el enésimo término de una sucesión figurativa usando
procedimientos personales.
Consigna: Organizados en equipos, analicen la siguiente sucesión de figuras y respondan lo
que se cuestiona. Si lo desean pueden utilizar su calculadora.
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 4
a) Si la sucesión continúa en la misma forma, ¿cuántos cubos se necesitan para formar la
figura 5? ¿Y para la figura 10? ¿Y para la figura 100?
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite conocer el número de cubos de cualquier
figura que esté en la sucesión?
c) Se sabe que una de las figuras que forman la sucesión tiene 2 704 cubos, ¿qué número
corresponde a esa figura en la sucesión?
d) Una figura con 2 346 cubos, ¿pertenece a la sucesión? ¿Por qué?
Consideraciones previas: Para las preguntas a) y b) tal vez sea necesario dar a los alumnos
alguna orientación, por ejemplo, indicarles que elaboren una tabla de dos columnas y pedirles
que en ella anoten el número de cubos que tienen las primeras figuras de la sucesión. Luego
pedirles que analicen la tabla y que traten de buscar la relación que existe entre el número de
la posición de la figura y el número de cubos con los que está formada. Esto les permitirá ver
que el número de cubos de la sucesión es: 1, 4, 9, 16, 25, …; y que se trata de los cuadrados de
los números que expresan el orden de las figuras. Por consiguiente, la expresión algebraica
que permite conocer el número de cubos de cualquier figura que esté en la sucesión es n2
En el caso del inciso c, es probable que algunos alumnos recurran al ensayo y error, otros tal
vez planteen una ecuación como: n 2  2 704 y a partir de ella determinen que la figura 52 es
la que estaría formada por 2 704 cubos.
En el caso del inciso d, se espera que los alumnos digan que una figura con 2 346 cubos no
pertenece a la sucesión porque no cumple con la regla general.
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Plan de clase (2/3)
Escuela: _________________________________
Fecha: _____________________
Profr. (a): __________________________________________________
Curso: Matemáticas 3 Apartado: 4.1
Eje temático: SN y PA
Conocimientos y habilidades: Determinar una expresión general cuadrática para definir el
enésimo término en sucesiones numéricas y figurativas utilizando el método de diferencias.
Intenciones didácticas: Que los alumnos encuentren una expresión general cuadrática de la
forma y = ax2 que represente el enésimo término de una sucesión figurativa usando
procedimientos personales.
Consigna: En equipos, con base en la siguiente sucesión de figuras, contesten
las preguntas que se plantean.
Fig 1
Fig 2
Fig 3
Fig 4
a) ¿Cuántos cuadritos tendrá la figura 7, 10 y 13, respectivamente?
b) ¿Cuántos cuadritos tendrá la figura 100?
c) Encuentren una expresión algebraica que permita determinar la cantidad
de cuadritos de cualquier figura que corresponda a la sucesión anterior.
Consideraciones previas: En el primer inciso se espera que los alumnos no
tengan dificultad en encontrar el número de cuadritos de las figuras solicitadas.
Sin embargo, en el caso del b) y c), tal vez sea necesario ayudarlos. Por
ejemplo, se les puede sugerir que encuentren la relación que existe entre el
número de la posición de la figura, el número cuadritos de la base y el número
de cuadritos de la altura; esto es con la finalidad de que se den cuenta que el
número de cuadritos de la altura es el doble del número de cuadritos de la base
y que el número de la posición de la figura es el mismo número de cuadritos de
la base. Con la determinación de estas relaciones se puede establecer la regla
general de la sucesión que se pide en el c). Por ejemplo, como la altura de
cada figura es el doble de la base, entonces si la base es n, la altura es 2n; por
lo que el número de cuadritos de cualquier figura es n(2n) que es lo mismo que
2n2.
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
________________________________________________________________
Plan de clase (3/3)
Escuela: _________________________________
Fecha: _____________________
Profr. (a): __________________________________________________
Curso: Matemáticas 2 Apartado: 4.1
Eje temático: SN y PA
Conocimientos y habilidades: Determinar una expresión general cuadrática para definir el
enésimo término en sucesiones numéricas y figurativas utilizando el método de diferencias.
Intenciones didácticas: Que los alumnos encuentren una expresión general cuadrática de la
forma ax2+ bx + c que represente el enésimo término de una sucesión figurativa usando el
método de diferencias.
Consigna: En la figura 1 de la siguiente sucesión se ven tres caras del cubo, en la figura 2 se ven
nueve caras.
Figura 1
Determinen lo siguiente:
Figura 2
Figura 3
a) ¿Cuántas caras se ven en la figura 3? _______¿Cuántas se verán en la figura 4?______
b) Si la sucesión de figuras continúa en la misma forma, ¿cuántas caras es posible ver en la
figura que ocupa el lugar 15? _______
c) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite conocer el total de caras que es posible ver
en cualquier figura que esté en la sucesión?
Consideraciones previas: En los incisos a y b es muy probable que los alumnos no tengan
dificultad para encontrar las respuestas:
a) 17 y 27
b) 269
En el caso del c) es muy probable que los alumnos no puedan determinar la regla por ensayo y
error; sin embargo, vale la pena dejarlos que lo intenten durante un tiempo breve. La regla
general de la sucesión es n2+ 3n –1. Aunque es posible encontrarla por ensayo y error, la
situación se presta para proponer el método llamado de diferencias, que consiste en lo
siguiente:
Paso 1: Se representa la sucesión de números (en este caso número de caras que se ven) de las
primeras figuras: 3, 9, 17, 27, 39, …
Paso 2: Se calculan las primeras y segundas diferencias, como se muestra en la siguiente
tablas:
Sucesión
3
9
Primeras
diferencias
9–3=6
Segundas
diferencias
17
17 – 9 = 8
8–6=2
27
27- 17 = 10
10 – 8 = 2
39
39 – 27 = 12
12 – 10 = 2
Cabe señalar que el hecho de que la segunda diferencia es constante, indica que se trata de
una expresión cuadrática, por tanto la expresión general es: an2+ bn + c en la que n representa
la posición de las figuras.
Paso 3: Se resuelve la siguiente tabla.
n= 1
n= 2
a(1)2+b(1)+c=
a+b+c
Expresión
obtenida al
sustituir el
valor de n
a(2)2+b(2)+c=
4a+2b+c
(4a+2b+c) –
(a+b+c)=3a+b
Primeras
diferencias
Segundas
diferencias
n=3
a(3)2+b(3)+c=
9a+3b+c
(9a+3b+c) –
(4a+2b+c) =5a+b
n=4
a(4)2+b(4)+c=
16a+4b+c
(16a+4b+c) –
(9a+3b+c) =7a+b
Paso 4: Al combinar los resultados de la tabla anterior, se pueden establecer cualquiera de los
tres siguientes sistemas de ecuaciones:
II
III
2a=2
2a=2
3a+b= 6
5a+b=8
7a+b=10
a+b+c=3
4a+2b+c=9
9a+3b+c=17
Paso 5: Al resolver, por ejemplo, el sistema I se tiene:
a(5)2+b(5)+c=
25ª+5b+c
(25a+5b+c) –
(16a+4b+c)=9a+b
(5a+b) – (3b+b) = 2a (5a+b) – (3b+b) = 2a (5a+b) – (3b+b) = 2a
I
2a=2
n =5
De la primera ecuación: 2a=2, a=2/2, a=1
Sustituyendo a en la segunda ecuación del sistema: 3(1)+b=6, 3+b=6, b=6 – 3, b=3
Sustituyendo a y b en la tercera ecuación del sistema: (1)+(3)+c=3, 4+c=3, c=3 – 4, c= –1
Y finalmente sustituyendo los valores de a, b y c en la expresión general de segundo grado
an2+ bn + c, se obtiene la expresión algebraica buscada.
(1)n2+ (3)n + (–1)= n2+ 3n –1
Una vez que los alumnos conozcan la expresión algebraica que permite conocer el número de
caras que se pueden ver, se les puede plantear el siguiente problema para que la usen.

¿Qué número corresponde en la sucesión a la figura en la que es posible ver 153 caras
de los cubos que la forman?
Con la finalidad de que los alumnos se familiaricen con esta técnica, hay que plantearles
muchos otros problemas como los siguientes:

¿Cuál es la regla general que permite determinar el número de cuadritos de cualquier
figura de la siguiente sucesión?
Figura 1

Figura 2
Figura 3
Encuentra la regla general que permite determinar cualquier término de cada una de
las siguientes sucesiones:
a) 5, 12, 21, 32, 45, …
b) 1, 6, 13, 22, 33, …
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Forma, espacio y medida
Eje
Medida
Tema
ESTIMAR, MEDIR Y CALCULAR
Subtema
Conocimientos y habilidades
Orientaciones didácticas
4.2. Aplicar el teorema de Pitágoras en la
resolución de problemas.

Sin duda alguna, el teorema de Pitágoras es una
herramienta fundamental en el cálculo
geométrico, y para que los alumnos puedan usarla
con soltura es necesario que conozcan la relación
entre las áreas de los cuadrados que se
construyen sobre los lados de un triángulo
rectángulo y logren un manejo adecuado de la
fórmula que expresa dicha relación. Un ejemplo
de los problemas que se pueden resolver
mediante el teorema de Pitágoras es el siguiente:
En un salón de fiestas se dejó como pista de baile una superficie cuadrada que será
cubierta con madera. ¿Cuántos metros cuadrados de madera se necesitarán para cubrir el
piso de la pista de baile?
Actividad complementaria: “Teorema de Pitágoras”, en Geometría dinámica. EMAT, México,
SEP, 2000, pp. 158-159.
Plan de clase (1/4)
Escuela:___________________________________
Fecha:__________
Prof. (a): _________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Apartado: 4.2
Eje temático: FEM
Conocimientos y habilidades: Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de
problemas.
Intención didáctica: Que los alumnos, a través de la elaboración de figuras
geométricas, deduzcan la relación entre las áreas de los cuadrados que se construyen
sobre los lados de un triangulo rectángulo.
Consigna: De manera individual, haz lo que se indica enseguida. Necesitas cartulina,
tijeras y juego geométrico.






a)
Traza un triángulo rectángulo con tres medidas diferentes que tú elijas.
Traza sobre cada uno de los lados un cuadrado.
Sobre el cuadrado mediano traza dos rectas que pasen por el centro, pero que sean paralelas a los
lados del cuadrado grande. (Observa el dibujo de abajo).
Recorta el cuadrado mediano sobre las rectas trazadas para obtener cuatro partes.
Recorta el cuadrado más pequeño.
Con las cuatro piezas y el cuadrado menor cubre el cuadrado construido sobre la hipotenusa, de
manera que no queden huecos ni piezas sobrepuestas.
C
o
m
e
n
t
e
n
s
u
s
b)
r
e
s
u
l
tados y anoten las conclusiones acerca de la relación que existe entre el área de los cuadrados de los
catetos y el área del cuadrado de la hipotenusa.
Escriban una expresión algebraica que represente dicha relación.
Consideraciones previas:
No olvidar pedir a los alumnos los materiales para la actividad: cartulina, juego
geométrico, lápiz y tijeras.
Es probable que los alumnos tengan dificultades con el manejo de las escuadras, por
lo que se les puede orientar al respecto. Durante la actividad se precisarán los
términos: triángulo rectángulo, cateto, hipotenusa, cuadrado, área, paralelas, centro de
un cuadrado. Con la manipulación de los recortes se pretende que relacionen las
áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo,
para que concluyan que “el área de los dos cuadrados construidos sobre los catetos
es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa” y que construyan la
expresión algebraica que lo representa, los alumnos podrán utilizar cualquier literal
para ello.
Observaciones posteriores:
_______________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_________________________________________________________
Plan de clase (2/4)
Escuela:_____________________________________
Fecha:__________
Prof. (a): __________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Apartado: 4.2
Eje temático: FEM
Conocimientos y habilidades: Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de
problemas.
Intención didáctica: Que los alumnos apliquen la fórmula del teorema de Pitágoras al
calcular la hipotenusa o uno de los catetos.
Consigna: En equipo resuelvan los siguientes problemas, pueden utilizar calculadora.
a) En la figura se ilustran tres poblados, el pueblo B está, en línea recta, 40 km al
norte de A y el pueblo C está, en línea recta, 30 km al este de B. ¿Cuál es la
distancia entre los pueblos A y C?
Consideraciones previas:
Es probable que los alumnos no sepan interpretar adecuadamente el problema. Si
sucediera que nadie en el grupo hace una clara interpretación de las posiciones de A,
B y C, el maestro podría orientarlos al respecto a través de preguntas como: ¿cuál es
el primer punto que debemos ubicar? ¿Dónde está el siguiente pueblo (B)?, etc.,
incluso se les puede ir preguntando el porqué de sus respuestas. Una vez hecho un
dibujo semejante al de abajo, se les dejará buscar la manera de responder la pregunta
del problema. Tal vez tampoco se les ocurra deducir que se pueden servir de la
fórmula obtenida en la sesión anterior, así que será necesario hacerlos recordar que
dada el área de un cuadrado el lado se calcula extrayendo la raíz cuadrada.
Plan de clase (3/4)
Escuela:____________________________________
Fecha:__________
Prof. (a): __________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Eje temático: FEM
Apartado: 4.2
Conocimientos y habilidades: Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de
problemas.
Intención didáctica: Que los alumnos apliquen la fórmula del teorema de Pitágoras al
calcular la hipotenusa o uno de los catetos.
Consigna: Los dos triángulos que aparecen abajo son semejantes. Encuentra el
perímetro de cada uno.
z
60 cm
32 cm
y
1
2
8 cm
x
Consideraciones previas:
Para resolver este problema no sólo van a aplicar el teorema de Pitágoras, sino que
tendrán que recordar las relaciones de semejanza en triángulos.
Es importante que mientras los alumnos trabajan, el maestro observe si han quedado
claros los dos conceptos o si hay dificultad en alguno de ellos.
Si el tiempo lo permite se puede pedir al grupo que resuelva los siguientes problemas,
si no, se pueden dejar de tarea y revisar sus procedimientos en una puesta en común
en la siguiente clase.
1. Calcular el área de un hexágono regular si se sabe que la longitud de cada uno de
sus lados mide 4m.
2. En la siguiente figura los triángulos son
semejantes. Calcula la longitud x y
determina la distancia entre los puntos A y
B.
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________
_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_________________________________________________________
Plan de clase (4/4)
Escuela:___________________________________
Fecha:__________
Prof. (a): __________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Apartado: 4.2
Eje temático: FEM
Conocimientos y habilidades: Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de
problemas.
Intención didáctica: Que los alumnos apliquen el teorema de Pitágoras para resolver
problemas de su entorno.
Consigna 1: Organizados en equipos de tres integrantes, resolverán los siguientes
problemas, pueden utilizar calculadora.
1. Un albañil apoya una escalera de 5 m contra un muro vertical. El pie de la
escalera está a 2m del muro. Calcula a qué altura se encuentra la parte
superior de la escalera.
2. En la esquina de una plaza rectangular se encuentra un puesto de helados. Si
estoy en la esquina opuesta diagonalmente, ¿cuántos metros tengo que
recorrer en diagonal para llegar al puesto? Los lados de la plaza miden 48m y
64m.
3. ¿Cuál es la máxima distancia que puedes recorrer sin cambiar de dirección en
una pista de patinaje en forma de rombo si el lado es 26m y la diagonal menor
40m?
Consideraciones previas:
En los problemas anteriores será muy común encontrar que los alumnos dibujan la
situación para ayudarse a comprenderla, sin embargo, en la puesta en común de cada
uno de los problemas se pueden compartir las diversas estrategias aplicadas. Aunque,
se les haya pedido resolver los tres problemas, es importante que no se haga la
puesta en común de los tres problemas al mismo tiempo, sino que se analicen los
procedimientos para la solución del primero y hasta que este quede perfectamente
claro, pasar al siguiente. En todos estos casos, se está planteando la ejercitación en
diversas situaciones del teorema de Pitágoras y se puede proponer más problemas
para consolidar lo que aprendieron o dejarles tareas del tema en su libro de texto. Si
se cuenta con aula de medios y Cabri se puede pedir a los alumnos que comprueben
el Teorema de Pitágoras usando el procedimiento que deseen.
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________
Forma, espacio y medida
Eje
Medida
Tema
ESTIMAR, MEDIR Y CALCULAR
Subtema
Conocimientos y habilidades
Orientaciones didácticas
4.3. Reconocer y determinar las razones
trigonométricas en familias de triángulos
rectángulos semejantes, como cocientes
entre las medidas de los lados. Calcular
medidas de lados y de ángulos de triángulos
rectángulos a partir de los valores de
razones trigonométricas. Resolver
problemas sencillos, en diversos ámbitos,
utilizando las razones trigonométricas.
Para el desarrollo de esta habilidad se puede
retomar la situación que plantea ampliar
fotografías de diferentes medidas que se usó para
el estudio de la semejanza. Pida a los alumnos
que dibujen sobre el plano cartesiano una
fotografía de 3 unidades de base y 4 de altura.
Enseguida pídales que dibujen otras tres
fotografías ampliadas (como se propuso en el
bloque 2, tercer apartado de este mismo grado).
Una vez que se han dibujado varios rectángulos cuya diagonal está sobre la misma recta, se
plantea el problema de averiguar la medida del ángulo formado por la diagonal y el eje
horizontal. Los alumnos pueden probar con el único recurso con el que cuentan, que es la
medición directa con el transportador, después de lo cual se les puede explicar que otra manera
de calcular la medida de ese ángulo es mediante los cocientes entre los lados del triángulo
rectángulo que se forma —por ejemplo, la base del triángulo (cateto adyacente) entre la altura
(cateto opuesto)—. Dichos cocientes son razones trigonométricas que se pueden traducir en
medidas de ángulos. Pídales que verifiquen con varios triángulos semejantes y con diferentes
cocientes. Finalmente dígales los nombres de las tres funciones directas: seno, coseno y
tangente. Para realizar esta actividad es conveniente contar con calculadoras que tengan
funciones trigonométricas.
Plan de clase (1/5)
Escuela:______________________________________ Fecha:__________
Prof. (a): ___________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Eje temático: FEM
Apartado: 4.3
Conocimientos y habilidades: Reconocer y determinar las razones trigonométricas
en familias de triángulos rectángulos semejantes, como cocientes entre las medidas
de los lados. Calcular medidas de lados y de ángulos de triángulos rectángulos a partir
de los valores de razones trigonométricas. Resolver problemas sencillos, en diversos
ámbitos, utilizando las razones trigonométricas.
Intención didáctica. Que los alumnos empiecen a construir la noción de razón
trigonométrica.
Consigna: Organizados en equipos y con base en la información que proporciona el
siguiente diagrama, completen la tabla. Redondeen sus resultados sólo hasta
centésimos. Después contesten las preguntas.
TRIÁNGUL
O
ÁNGUL
OA
AMB
27º
ANC
27º
AOD
APE
CATETO
CATETO
ADYACENT
E
OPUEST
O
6
14
HIPOTENUS
cat.opuesto
hipotenusa
cat.adyacente
hipotenusa
cat.opuesto
cat.adyacente
(SENO)
(COSENO)
(TANGENTE)
A
6.71
4
8.90
7
15.65
10
22.36
a) ¿Cómo fue el resultado de la razón seno en los cuatro
triángulos?______________________________________________
b) ¿Qué sucede con la razón coseno y tangente en los cuatro
triángulos?______________________________________________
c) ¿A qué creen que se deba?_________________________________
Consideraciones previas: Este es el primer acercamiento que tienen los alumnos a
las razones trigonométricas y su nombre, por lo que es probable que el maestro tenga
que decir al grupo qué se entiende por cateto opuesto y cateto adyacente a un ángulo,
o bien, que entre todos lo deduzcan, antes de iniciar con el llenado de la tabla.
También es probable que se den cuenta de que éstas no son las únicas relaciones,
pues existen sus inversas (cotangente, secante y cosecante). Aquí será necesario
indicarles que por lo pronto sólo estudiarán las tres primeras.
La discusión de las respuestas al inciso c es muy importante y se espera que los
alumnos se den cuenta de que se trata de triángulos semejantes y a eso se debe que
todos los cocientes que resultan de dividir, por ejemplo, el cateto opuesto entre la
hipotenusa son constantes. Este cociente constante, con ayuda de una calculadora,
puede servir para obtener el valor del ángulo y a la inversa, conociendo el valor del
ángulo se puede obtener el valor del cociente constante. Esto mismo sucede con otras
razones.
Si los estudiantes usaron transportador para medir el ángulo A para llenar la tabla,
habrá que hacerlos reflexionar en que la longitud de los lados no cambia la medida del
ángulo (concepto visto en grados anteriores).
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________
_________________________________________________________
_______________________________________________________________
Plan de clase (2/5)
Escuela:______________________________________ Fecha:__________
Prof. (a): ___________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Eje temático: FEM
Apartado: 4.3
Conocimientos y habilidades: Reconocer y determinar las razones trigonométricas
en familias de triángulos rectángulos semejantes, como cocientes entre las medidas
de los lados. Calcular medidas de lados y de ángulos de triángulos rectángulos a partir
de los valores de razones trigonométricas. Resolver problemas sencillos, en diversos
ámbitos, utilizando las razones trigonométricas.
Intención didáctica. Que los alumnos reflexionen acerca de la relación que existe
entre las razones trigonométricas de un ángulo y las de su complemento.
Consigna: Organizados en equipos, contesten lo que se plantea enseguida.
¿Cuánto suman los ángulos M y N en el triángulo rectángulo que aparece
abajo?________¿Qué nombre reciben esos ángulos?________________
sen M =
cos M =
10
8
tan M =
6
sen N =
¿Qué relación existe entre el seno de un ángulo y el coseno de sus
complemento?_________________________________________________________
cos N =
_________________________________________________________
¿Si el seno de un ángulo de 30 grados es igual a 0.5, ¿a qué es igual el coseno de un
ángulo de 60 grados?______________
tan N =
¿A qué es igual el producto de la tangente de un ángulo de 30 grados por la tangente
de un ángulo de 60 grados?__________________
Consideraciones previas: En este momento es importante que los alumnos
recuerden que los ángulos agudos de un triángulo rectángulo siempre son
complementarios (suman 90º) y dejarlos que exploren con diferentes triángulos
rectángulos para responder la última pregunta. También es importante que concluyan
que: el seno de un ángulo es igual al coseno de su complemento y que la tangente de
un ángulo es inversa multiplicativa a la tangente de su complemento.
Se les puede dejar como tarea el problema que se enuncia más abajo. La finalidad es
que indaguen la manera de obtener la medida que falta. Al revisarla es importante que
vean la necesidad de recurrir al teorema de Pitágoras para obtenerla.
Escriban las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente) para el siguiente
triángulo rectángulo.
5
4
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
___________________________________________________
Plan de clase (3/5)
Escuela:______________________________________ Fecha:__________
Prof. (a): __________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Eje temático: FEM
Apartado: 4.3
Conocimientos y habilidades: Reconocer y determinar las razones trigonométricas
en familias de triángulos rectángulos semejantes, como cocientes entre las medidas
de los lados. Calcular medidas de lados y de ángulos de triángulos rectángulos a partir
de los valores de razones trigonométricas. Resolver problemas sencillos, en diversos
ámbitos, utilizando las razones trigonométricas.
Intención didáctica. Que los alumnos usen las funciones trigonométricas para
resolver problemas.
Consigna 1. Organizados en parejas calculen la
altura del asta bandera, si a cierta hora del día el
ángulo que forma el extremo de su sombra con la
punta del asta mide 37º.
M
?
37°
L
20 m
N
Consideraciones previas: En la puesta en común es importante que los alumnos
expongan y argumenten claramente a sus compañeros su procedimiento y cálculo,
para que concluyan que dependerá de la situación que plantee el problema y los datos
que contenga, la elección de la razón trigonométrica.
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________
Plan de clase (4/5)
Escuela:______________________________________ Fecha:__________
Prof. (a): ___________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Eje temático: FEM
Apartado: 4.3
Conocimientos y habilidades: Reconocer y determinar las razones trigonométricas
en familias de triángulos rectángulos semejantes, como cocientes entre las medidas
de los lados. Calcular medidas de lados y de ángulos de triángulos rectángulos a partir
de los valores de razones trigonométricas. Resolver problemas sencillos, en diversos
ámbitos, utilizando las razones trigonométricas.
Intención didáctica. Que los alumnos usen las funciones trigonométricas para
resolver problemas.
Consigna 1. En parejas, resuelvan los problemas siguientes:
a) ¿A qué altura del piso se encuentra la punta del papalote, cuando el hilo que lo
sostiene mide 60 m y forma con el piso un ángulo de 53º.
A
60 m
?
53º
C
B
b) Calculen cuánto mide la sombra de la torre.
50 m
35°
n
sombra
Consideraciones previas: En la puesta en común los estudiantes fundamentarán por
qué usaron determinada función, es importante que se analice primero un problema y
hasta que todos estén de acuerdo y les quede claro se pasará al siguiente. Si el
tiempo lo permite se puede plantear el siguiente problema y si no se puede dejar como
tarea y analizarlo en la siguiente clase.
Encuentren la altura de la torre y la longitud del tirante que la sostiene.
y
x
65°
30 m
Observaciones posteriores: _______________________________________
_____________________________________________________________________
_________________________________________________________
.
Plan de clase (5/5)
Escuela:______________________________________ Fecha:__________
Prof. (a): ___________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Eje temático: FEM
Apartado: 4.3
Conocimientos y habilidades: Reconocer y determinar las razones trigonométricas
en familias de triángulos rectángulos semejantes, como cocientes entre las medidas
de los lados. Calcular medidas de lados y de ángulos de triángulos rectángulos a partir
de los valores de razones trigonométricas. Resolver problemas sencillos, en diversos
ámbitos, utilizando las razones trigonométricas.
Intención didáctica. Que los alumnos adquieran habilidad en la resolución de
triángulos rectángulos y establezcan relaciones entre funciones trigonométricas y
teorema de Pitágoras.
Consigna 1. Individualmente, calculen los valores que se piden.
a)
b)
B
c
5
23
37°
a
19°
b
A
B
C
C
b
A
b = __________
a = __________
c = __________
b = __________
 B = __________
 B = __________
c)
B
d)
B
62°
c
c
a
a
38°
A
3.4
C
A
34
C
a = __________
a = __________
c = __________
c = __________
 A = __________
 B = __________
Consideraciones previas: En la puesta conviene resaltar la utilidad del teorema de
Pitágoras para comprobar los resultados que se obtienen mediante razones
trigonométricas.
Consigna 2. Resuelve el siguiente problema. El metro cuadrado de cristal cuesta
$200.00, ¿cuánto costará una pieza de cristal que tiene forma de triángulo equilátero
cuyos lados miden 40 cm cada uno?.
Consideraciones previas: En el proceso de resolución se puede sugerir a los
alumnos que necesiten ayuda, el uso de un gráfico. Si existen condiciones, se sugiere
trabajar la resolución de problemas usando el Programa Cabri Géomètre (Geometría
Dinámica, EMAT) u otro Software.
Anexa tabla.
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________
_________________________________________________________
_______________________________________________________________
Eje
Tema
Subtema
Manejo de la información
Representación de la información
GRÁFICAS
Conocimientos y habilidades
4.5. Analizar la relación entre datos de distinta naturaleza, pero referidos a un
mismo fenómeno o estudio que se presenta en representaciones diferentes, para
producir nueva información.
Orientaciones didácticas
Con frecuencia, para tener idea del comportamiento de un fenómeno es necesario
consultar datos sobre diversos aspectos de ese fenómeno. Así, por ejemplo,
alrededor del crecimiento de estalactitas y estalagmitas en una gruta se pueden
plantear y analizar diversas preguntas, como las siguientes:

¿Qué son y cómo crecen las estalactitas y las estalagmitas? Las siguientes
tablas muestran cómo han crecido una estalactita y su correspondiente
estalagmita durante los últimos 6 años.
La cueva tiene 2 m de alto. Cuando se midió por primera vez se observó un perfil
como el siguiente:
Transcurridos dos años desde la primera
medición, ¿qué tan cerca estarán las dos puntas? ¿Y en 6 años? Hagan una
predicción acerca del momento en que se unirán la estalactita y la estalagmita.
Justifiquen su respuesta. Seguramente estas habilidades les servirán de base a los
alumnos para desarrollar otras más complejas, por ejemplo, la de producir o
derivar información nueva a partir de otra ya conocida.
PLAN DE CLASE (1/3)
Escuela: _____________________________________________Fecha: _________
Profr. (a): _____________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Apartado: 4.5
Eje temático: M. I.
Conocimientos y habilidades: Analizar la relación entre datos de distinta naturaleza,
pero referidos a un mismo fenómeno o estudio que se presenta en representaciones
diferentes, para producir nueva información.
Intenciones didácticas: Que los alumnos localicen información en un texto o en una
tabla y a la vez la representen gráficamente.
Consigna: En equipo, lean el siguiente texto y revisen la tabla que se presenta
posteriormente. Con base en ambas informaciones contesten lo que se indica.
MÉXICO VIVE YA UNA “CHATARRIZACIÓN” ALIMENTICIA
Karina Galarza Vásquez
El consumo de alimentos tradicionales ha disminuido en nuestro país y, al mismo
tiempo, han ganado terreno los productos “chatarra”. Si a esto se suma la reducción
de la actividad física, entenderemos por qué se han incrementado las enfermedades
crónico-degenerativas.
En la actualidad, la población mexicana sólo incluye en su alimentación cerca de 60
especies animales y vegetales, mientras que en la época prehispánica utilizaba hasta
200 variedades. Entre los alimentos que se están consumiendo en menor porcentaje
encontramos al amaranto, chía (semilla), quelites, nopales, tunas, pitahayas,
garambullo (cactáceo), mamey y zapote (amarillo, negro y blanco).
Las consecuencias del fenómeno que nos ocupa saltan a la vista, pues cada vez se
observan y reportan más casos de obesidad y sus consecuencias, como diabetes
mellitus (cifras elevadas de azúcar), enfermedades cardiovasculares e hiperlipidemias
(exceso de grasas en la sangre).
Efectos en la salud ¿Qué ha favorecido la problemática expuesta? La respuesta la da
el Dr. Luis Alberto Vargas al explicar que ello se asocia con tres sucesos:
industrialización, estandarización y pérdida de variedad de los alimentos, cuya
consecuencia es el creciente número de personas con sobrepeso u obesidad, lo cual
ha generado a su vez incremento de los casos de diabetes y otros padecimientos
asociados.
Tan sólo tomemos en cuenta que la diabetes mellitus es un importante problema de
salud pública en México. En los últimos cinco años ha llegado a ocupar la primera
causa de muerte, con 11% del total de las defunciones en ambos sexos, agrega el Dr.
Navarro Ocaña.
En referencia a la edad, apunta que en los últimos años el padecimiento se presenta
en personas de menor edad, cuando antes ocurría en individuos mayores de 50 años.
La siguiente tabla indica el consumo diario promedio de calorías que consumen los
jóvenes entre 13 y 22 años, en diferentes épocas de la historia de México. Según los
especialistas el consumo ideal para evitar problemas de salud se encuentra entre 1500
y 1800 calorías de consumo al día.
Años
1800
1850
1900
1950
2000
2007
Consumo diario
de calorías
1400
1400
1450
1800
2400
2500
1. ¿Cuáles fueron las causas de que entre los años 1800 a 1850
existiera una ingesta de calorías menor a la recomendada?
____________________________________________________
____________________________________________________
2. ¿En qué años se llegó al límite recomendado respecto al
consumo diario de calorías? __________
3. ¿Cuál es la diferencia entre el consumo en 2007 y el consumo
ideal? _____________________
4. ¿Qué problemas de salud ocasiona el exceso de consumo de
calorías? ¿Qué otro aspecto favorece este tipo de
consecuencias?
Consideraciones previas: Es muy posible que los alumnos necesiten revisar el
contexto histórico de México en los periodos señalados consultando diversas fuentes a
su alcance, para que visualicen los usos y costumbres de esos tiempos, así como
hacer referencia al tipo de alimentos que actualmente se consumen en la tienda o
cooperativa escolar, valorando su nivel nutricional.
Con la intención de vincular este tema con los estudiados anteriormente, se sugiere
proponer el siguiente problema:
Suponiendo que los hábitos alimenticios y de ejercicio físico de la población no
cambian y a partir del año 2000, cada 7 años se da la misma tasa de crecimiento en el
consumo de calorías, ¿cuál sería el consumo de calorías en los años 2014, 2021 y
2049?. Grafiquen los valores encontrados. ¿Qué tipo de crecimiento se da en esta
situación?
Observaciones posteriores:
PLAN DE CLASE (2/3)
Escuela: _______________________________________
Fecha: _________
Profr. (a): ___________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Apartado: 4.5
Eje temático: M.I.
Conocimientos y habilidades: Analizar la relación entre datos de distinta naturaleza,
pero referidos a un mismo fenómeno o estudio que se presenta en representaciones
diferentes, para producir nueva información.
Intenciones didácticas: Que los alumnos localicen información en gráficas y en
tablas.
Consigna: Organizados en parejas resuelvan el siguiente problema: Las siguientes
tablas muestran cómo han crecido una estalactita y su correspondiente estalagmita
durante los últimos 6 años.
Estalactita
Número de años desde la primera medición
0
1
2
3
4
5
6
Longitud en cm
70
72
75
76
78
80
82
Número de años desde la primera medición
0
1
2
3
4
5
6
Longitud en cm
80
83
85
88
90
92
94
134
Estalagmita
La cueva tiene 2 m de alto. Cuando se midió por primera vez se observó un perfil
como el siguiente:
a) Transcurridos dos años desde la primera medición, ¿qué tan cerca están las
dos puntas?_______________________ ¿Y después de 6 años?
________________
b) Hagan una predicción sobre el tiempo que transcurrirá para que se unan la
estalactita y la estalagmita. Justifiquen su respuesta.
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
Consideraciones previas: Para contestar las preguntas de este problema es
necesario consultar y relacionar la información contenida en las tablas y el esquema.
Este contexto es un buen motivo para que los alumnos investiguen qué son y cómo
crecen las estalactitas y las estalagmitas (contenido de geografía de México y el
mundo).
Observaciones Posteriores:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
___
PLAN DE CLASE (3/3)
Escuela: ____________________________________________ Fecha: _________
Profr. (a): ____________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Apartado: 4.5
Eje temático: M. I.
Conocimientos y habilidades: Analizar la relación entre datos de distinta naturaleza,
pero referidos a un mismo fenómeno o estudio que se presenta en representaciones
diferentes, para producir nueva información.
Intenciones didácticas: Que los alumnos localicen y operen con la información
presentada en tablas.
Consigna: Organizados en equipos, y con base en la información que se presenta en
las siguientes tablas, contesten las preguntas y hagan lo que se indica. Pueden usar
calculadora.
TABLA 1: POBLACIÓN (EN MILLONES)
TABLA 2: PRODUCTO INTERNO
BRUTO
(EN MILLONES DE USD)
Países
1999
2000
2001
1999
2000
2001
Argentina
33.1
33.8
36.0
283300
284400
271400
Bolivia
8.1
8.3
8.3
8100
8300
8100
Brasil
163.9
166.1
172.4
536600
602200
510400
Colombia
41.6
42.3
43.1
86200
83800
81700
Costa Rica
3.9
3.9
4.0
15800
15900
16400
Chile
15.0
15.2
15.5
1800
1800
1900
Ecuador
12.4
12.6
12.1
13700
13900
18000
El Salvador
6.2
6.3
6.4
12500
13200
14000
Guyana
0.8
0.8
0.8
600
600
600
Jamaica
2.6
2.6
2.6
7700
7800
8100
México
97.4
97.4
97.5
458400
543200
627900
Nicaragua
5.0
5.1
5.2
2200
2400
2500
Perú
25.2
25.7
26.1
51600
53500
54000
República Dominicana
8.4
8.6
8.8
17400
19600
21400
Trinidad y Tobago
1.3
1.3
1.3
6800
8200
9000
Venezuela
23.7
24.2
24.6
96500
117800
119700
a) ¿En cuántos millones se incrementó la población de Nicaragua de 1999 a 2001?
____________________
b) ¿Qué país obtuvo el mayor incremento de población en ese lapso?
_______________
c) ¿Qué país obtuvo el mayor crecimiento porcentual del PIB de 2000 a 2001?
_________
d) ¿Algún país disminuyó su PIB en ese lapso? ______ ¿Cuál?
____________________
e) Si Venezuela conserva su tasa de crecimiento de 2000 a 2001, ¿cuántos habitantes
tendrá en 2010? _____________________
f) Calculen el PIB per cápita de cada país correspondiente al año 2001.
Países
Producto Interno Bruto per
cápita (año 2001)
Argentina
Bolivia
Brasil
Colombia
Costa Rica
El PIB per cápita se
calcula dividiendo el PIB
entre la Población
Chile
Ecuador
El Salvador
Guyana
Jamaica
México
Nicaragua
Perú
República Dominicana
Trinidad y Tobago
Venezuela
g) ¿Qué país tiene el mayor PIB per capita? _________¿Y cuál el menor? ----------------
h) ¿El PIB per capita es un indicador confiable para asegurar que toda la población
tenga cierto nivel de bienestar? _______ ¿Por qué? __________________________
i) ¿Qué condiciones favorecen que un país mejore sustancialmente su PIB per capita?
_____________________________________________________________________
Consideraciones previas: En la pregunta c) es posible que los alumnos confundan
entre incremento absoluto e incremento porcentual, es importante que se comenten
ambas nociones y que identifiquen que en las preguntas a) y b) se trata de un
incremento absoluto (en millones de habitantes) mientras que en la c) de un
incremento porcentual, es decir, el tanto por ciento que aumentó el PIB en un
determinado lapso.
Es posible que los alumnos no conozcan o no recuerden qué es el Producto Interno
Bruto ni el Producto Interno Bruto per cápita, por lo que es necesario que el profesor
promueva un análisis de dichos conceptos.
“El Producto Interno Bruto (PIB) es el valor total de la producción de bienes y
servicios de un país durante un período (generalmente en un año, aunque a veces se
considera un trimestre). EL PIB es el indicador más importante de la vida económica
de un país.”
Observaciones posteriores:
TERCER GRADO
Examen correspondiente a los aprendizajes esperados del bloque 4.
Escuela: ____________________________________________Fecha: ____________
Profr(a).: __________________________________________Grupo: _____________
Alumno(a): ____________________________________________________________
Resuelve los siguientes problemas. Si consideras necesario, utiliza tu calculadora.
1. ¿Cuál es la expresión general que permite conocer el número de cuadritos de
cualquier figura de la siguiente sucesión?
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 4
2
a) 2n  1
2
b) 2n  1
c) 4n  1
d) 4n  1
2. A partir de la siguiente sucesión de figuras:
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
a) ¿Cuántos puntos tendrá la figura 7? ________¿Y la 12? ___________
b) ¿Qué expresión algebraica permite encontrar el número de puntos de cualquier
figura de la sucesión? ____________________________
c) ¿Habrá en la sucesión una figura con 965 puntos? ______ ¿En qué número de
posición? ______________
3. Se van a colocar tirantes para fijar mejor la torre de una antena de radio que mide
50 m de altura. Si las bases para los tirantes están a 40 m del pie de la torre y los
tirantes van a ir hasta el extremo más alto de la torre, ¿cuánto deberán medir los
tirantes? _________
4.
Calcular la altura de una torre si desde una distancia de 50 m se observa su punto más alto con un ángulo
de 48º.
48º
5. El propietario de un local para oficinas ofrece dos planes de arrendamiento:
$500.00 mensuales de renta más un aumento anual de $1000.00, o bien $500.00
mensuales de renta más 10% de aumento mensual. ¿Cuál es el plan que más le
conviene a la persona que desea rentar la oficina?_________________
6. En el año de 1990 la población de México era de 81.2 millones de habitantes. Si
para el año 2000 aumentó en 20%, ¿cuál será la población en los años 2010, 2020
y
2030
si
la
tasa
de
crecimiento
se
mantiene
constante?
______________________