Download FUERZA DE ARRASTRE PRODUCIDA POR UN CAMPO

MEMORIAS DEL XVI CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM
22 al 24 DE SEPTIEMBRE, 2010 MONTERREY, NUEVO LEÓN, MÉXICO
FUERZA DE ARRASTRE PRODUCIDA POR UN CAMPO MAGNÉTICO SOBRE UN
DISCO EN MOVIMIENTO
Juan Leonardo Hernández Anda
Abismos #1, Colonia Atlanta, Cuautitlán Izcalli, Estado de México 54740, México.
E-mail: [email protected]
Angel Alfonso Rojas Salgado
Departamento de Ingeniería Mecánica, Facultad de Ingeniería, UNAM.
Apartado postal 70 256, Cd Universitaria, 04510 México D.F., México.
E-mail: [email protected]
RESUMEN
La mayoría de los libros que hablan sobre
magnetismo tratan a las corrientes de “eddy” como
corrientes parásitas las cuales deben eliminarse, y
hacen poca referencia a su uso. Sin embargo tienen
gran aplicación en la levitación magnética y en
sistemas de frenado magnético.
Un análisis para obtener la fuerza de arrastre
producida por el campo magnético de un electroimán
sobre un disco delgado que gira con una velocidad
angular constante, es presentado en este trabajo. Las
ecuaciones de Maxwell y el método de las imágenes
que retroceden, se usan para conocer el potencial
escalar magnético inducido en el disco y con éste la
fuerza de arrastre.
ABSTRACT
Most of the books that talk about magnetism treat
eddy currents as parasite currents that must be
avoided, and make few references to their use.
Nevertheless, they have great application on magnetic
levitation and magnetic drag systems.
An analysis for knowing drag forces produced over a
rotating thin disc by the magnetic field of an
electromagnet is presented on this work. The
Maxwell’s equations and the receding images method
are using to know the induced magnetic scalar
potential and the drag force over the disc.
I. INTRODUCCIÓN
El estudio de las corrientes de “eddy” en la mayoría
de los libros de Física se reduce a hallar la forma de
eliminarlas y evitar las pérdidas por el efecto Joule
[4,5].
Sin embargo, existen trabajos sobre la aplicación de
estas corrientes en la levitación magnética usada en
los trenes de alta velocidad (MAGLEV), como los de
Reitz [3] y Saslow [2]. Algunos fabricantes, como
Valeo-Telma, las han aplicado en la construcción de
frenos magnéticos para tracto-camiones.
En este trabajo, se usan las corrientes de “eddy" para
calcular la fuerza requerida para detener un disco en
movimiento de rotación, empleado en los sistemas de
frenado magnético.
Usando la teoría de las imágenes de Maxwell, se
construye una expresión del potencial escalar
magnético que produce un electroimán en un disco
rotatorio. Mediante el cálculo de su gradiente se
obtiene el campo magnético y con éste las fuerzas de
levitación y arrastre que se producen con el
movimiento del disco.
El potencial escalar magnético está en función del
monopolo magnético del imán (el momento
magnético dividido entre la distancia que hay entre
sus polos [3]), y éste a su vez está en función de la
permeabilidad del material con el que se construye el
núcleo del electroimán. Como se sabe, la
permeabilidad es una función no-lineal de la corriente
eléctrica que circula por el solenoide del electroimán.
La forma secuencial para hallar una expresión de la
fuerza de arrastre producida por un electroimán en
forma de herradura, las curvas de fuerza de arrastre y
par de torsión en el disco rotatorio en función de la
corriente en el electroimán, se muestra en los incisos
II al VI, y en el VII, un ejemplo de su aplicación.
II. POTENCIAL ESCALAR MAGNÉTICO
El potencial escalar magnético está definido solo en
regiones del espacio donde no hay corrientes, y
cuando eso ocurre es matemáticamente análogo al
potencial eléctrico en electrostática, por lo que se
emplea para resolver problemas de magnetostática.
El potencial escalar magnético [1], se define entonces
como:
(1) =
∑
∗
(1)
Donde q* es el monopolo magnético, con
dimensiones de intensidad de corriente por área entre
la unidad de longitud
, 0 la permeabilidad
ISBN: 978-607-95309-3-8
Derechos Reservados © 2010, SOMIM
MEMORIAS DEL XVI CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM
22 al 24 DE SEPTIEMBRE, 2010 MONTERREY, NUEVO LEÓN, MÉXICO
magnética del vacío y r1i la distancia al punto de
prueba. De esta forma la densidad de flujo magnético
será [2]
=−
Integrando y evaluando el resultado en x=0, que es la
posición del monopolo fuente, se obtiene el potencial
escalar magnético producido por el monopolo imagen
(2)
=
III. IMÁGENES DE MAXWELL
El método de imágenes de Maxwell es usado a para
calcular el potencial escalar magnético producido por
un monopolo magnético, localizado a una altura h de
una placa conductora, que se mueve con una
velocidad v, paralela a la placa y a lo largo del eje x.
El monopolo creará pares de imágenes de carga igual
y opuesta a cada incremento del movimiento del
monopolo fuente (igual en la nueva posición de la
imagen y opuesta en la antigua para cancelarse)
produciéndose así dos trenes de imágenes, uno
positivo y el otro negativo, cada uno con una
pendiente v0/v, v0 es la velocidad con la que los
monopolos imagen “retroceden” desde la superficie
del conductor hacia el infinito [2]
∗
(
1−
)
(6)
Las componentes de densidad de flujo magnético B,
se puede obtener a partir del potencial magnético
mediante la ecuación (2), para z=h
∗
=−
1−
∗
=−
(7)
1−
(8)
Y como las fuerzas se obtienen mediante
=−
∗
(9)
la fuerza de levitación es
=
(3)
d es el espesor de placa conductora y  la
conductividad del material de la placa, Fig.1.
v
+
h
∗
=
∗
1−
(10)
y la de arrastre
=−
LÁMINA
x+nv
=−
∗
=
∗
1−
(11)
z+h
z+h+(n+1)v0
v
0
Fig.1 Imágenes que retroceden para v>>vo
En el límite, v>>vo, las imágenes de los monopolos
prácticamente se cancelan excepto la última imagen
positiva.
Usando la ecuación (1), sumando explícitamente
sobre las imágenes generadas en diferentes instantes
n=t’, y pasando al límite donde n= dt’ se halla
que:
IV. MOMENTO MAGNÉTICO DE UNA ESPIRA
RECTANGULAR
El campo magnético producido por una espira
rectangular, de lados a y b (a>b), es similar al campo
eléctrico que produce un dipolo eléctrico.
Colocando el origen de las coordenadas en el centro
de la espira rectangular, Fig. 2, la corriente I que
circula por la espira solo tiene componentes en los
ejes x y y. Los lados opuestos de la espira tienen una
densidad de corriente uniforme, = / , y sus
cargas son opuestas, de tal manera que el potencial en
el punto P es el producido por las dos cargas
opuestas, es decir el de un dipolo magnético [1].
∗
=
4
( +ℎ+
+
) +( +
−
( +ℎ+
z
)
∗
) +( +
y r
)
(4)
Haciendo sustituciones y despreciando términos en
dt2 se llega a
=
∗
∫
′
∞
′
(5)
[(
′)
(
R
b
I
x
a
Fig. 2 Espira rectangular
′) ]
ISBN: 978-607-95309-3-8
Derechos Reservados © 2010, SOMIM
MEMORIAS DEL XVI CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM
22 al 24 DE SEPTIEMBRE, 2010 MONTERREY, NUEVO LEÓN, MÉXICO
Entonces, el potencial en el punto R puede calcularse
mediante la ecuación
=
∙
(12)
Donde p es el momento del dipolo de una distribución
de carga, y este momento es el producto de la carga
total de uno de los alambres por la distancia que hay
entre ellos.
=
(13)
El momento del dipolo está en la dirección de las y
negativas y por tanto el coseno del ángulo entre p y er
es – /r así,
∙
=−
(14)
=
∙
Sustituyendo a = / , se hallan las componentes
del vector potencial magnético
=
=
∗
(20)
donde q* es el monopolo magnético del solenoide.
VI. ELECTROIMÁN DE HERRADURA
Para producir la fuerza de arrastre en el disco
rotatorio, se usa un electroimán de sección
rectangular en forma de yugo con núcleo de acero al
bajo carbono Fig. 3.
La fuerza de arrastre dada por la ecuación (11), está
en función del monopolo magnético q*, que produce
una espira rectangular, multiplicado por la
permeabilidad relativa del hierro r
∗
=
(21)
Asímismo, el momento magnético del electroimán
será
=
(15)
=
Solenoide
∙
El vector A no tiene componentes en el eje z y por
tanto gira alrededor de él, y puede escribirse como:
=
(22)
∙
=−
× ∙
B2 H2
(16)
La magnitud de A depende directamente del producto
de Iab, por lo que a este producto se le conoce como
momento del dipolo magnético, se representa por
=
Hierro
(17)
y tiene la dirección perpendicular al plano formado
por los alambres de la espira. Una vez conocido el
vector potencial magnético A, el vector densidad de
flujo magnético B, se obtiene de
(18)
= ×
Aire
B1 H1
Fig. 3 Electroimán de herradura
La permeabilidad r, es la relación entre B, la
densidad de flujo magnético, y H, el campo
magnético, en gauss, y es altamente no lineal Fig. 4.
V.
MONOPOLO
MAGNÉTICO
DE
UN
SOLENOIDE CON ESPIRA RECTANGULAR
Si la espira se compone de N vueltas, la ecuación (17)
se transforma en
=
(19)
y teniendo en cuenta que un solenoide de longitud L
está formado por N espiras, entonces
ISBN: 978-607-95309-3-8
Derechos Reservados © 2010, SOMIM
MEMORIAS DEL XVI CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM
22 al 24 DE SEPTIEMBRE, 2010 MONTERREY, NUEVO LEÓN, MÉXICO
Pero en el electroimán se tienen dos campos
diferentes, en el núcleo de hierro y en el aire. Si H2 es
el campo en el hierro y H1 en el aire se tiene que
+
=
(29)
Donde l1 y l2 son los recorridos del campo magnético
en el aire y en el hierro respectivamente.
En el aire
= , pues no hay magnetización, y
como
= , entonces
=
y la ecuación
anterior se transforma en
+
=
(30)
o bien
=
+
(31)
que es la ecuación de una recta que pasa por (0,
Fig. 4 Curva de histéresis para un hierro blando
De esta forma
=
(23)
VI. REDUCCIÓN DEL CAMPO MAGNÉTICO
DEL ELECTROIMÁN POR EL ENTREHIERRO
Si el espacio del entrehierro es relativamente pequeño
en comparación con las otras dimensiones del
electroimán, es importante conocer que sucede con el
campo magnético en ese espacio.
Los campos magnéticos se rigen según las ecuaciones
∇∙
=0
(24)
∇×
=
(25)
El flujo magnético en el núcleo del electroimán es
constante, de tal forma que de la ecuación (24) se
tiene que
−
=0
y(
rectas sobre la curva a de la Fig. 4, para obtener los
valores de B2 y H2 que satisfagan ambas ecuaciones
para cada valor de NI.
VII. EJEMPLO
Se presenta el cálculo de la fuerza de arrastre y par de
torsión que produce el campo magnético de un
electroimán sobre un disco en movimiento, para ser
aplicado en el diseño de un freno electromagnético.
Un disco tiene un radio de 0.15m y espesor 0.019m,
gira a una velocidad angular de 1000 rpm en un
campo magnético generado por un electroimán en
forma de yugo de 100 espiras/m. El núcleo es de
acero al carbono con una sección transversal de
0.0025m2. La separación entre el disco y el
electroimán es de 0.001m y el polo está situado en el
extremo del disco.
De la ecuación (11) puede verse que las variables
requeridas para hallar la fuerza de arrastre inducida
por el electroimán son las (21), (3) y (11)
∗
∙
=
∫ ∙
(27)
e integrando se obtiene que
=
,0). Con estos dos puntos se pueden trazar las
(26)
= , y por lo tanto
Pero las áreas son iguales,
= . Usando la ecuación (25) en su forma
integral
∮
)
(28)
=
=−
=
∗
=
∗
1−
Para hallar el monopolo magnético ∗ es necesario
calcular primero r, mediante la ecuación (31) y la
curva a de la Fig. 4. La Fig.5 muestra los valores de B
y H que resultan de este proceso.
ISBN: 978-607-95309-3-8
Derechos Reservados © 2010, SOMIM
MEMORIAS DEL XVI CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM
22 al 24 DE SEPTIEMBRE, 2010 MONTERREY, NUEVO LEÓN, MÉXICO
Gauss
310
3
VIII. CONCLUSIONES
4000
Corrientes de baja intensidad pueden producir altas
fuerzas de arrastre
2000
BI
La fuerza de frenado se disipa en calor, elevando la
temperatura del disco, pero el disco no se gasta
0
0
1
0.5
0
HI
Gauss
1.5
1.03
Fig. 5. Curva B – H. Solución de la ecuación (31)
Para valores de N*I de 0 a 150 Amperes
Con los valores del campo en cada punto se calcula
ahí, el valor de la permeabilidad magnética mediante
= . La fuerza de arrastre FD generada por el
electroimán se muestra en la Fig. 6a y el par de
torsión T en la Fig. 6b.
El proceso de disipación de las corrientes de “eddy”
en forma de calor, no se desarrolla en este estudio, así
como la dinámica del disco.
FUERZA DE ARRASTRE
3
4.203 10 6000
Esta forma de frenado puede usarse en lugar de los
frenos hidráulicos, mediante la incorporación de un
eficiente sistema de enfriamiento
Debido al cambio de la permeabilidad relativa del
material del núcleo con la intensidad de la corriente,
es necesario estabilizar la velocidad del disco para
realizar mediciones precisas de la fuerza de frenado
El método de las imágenes tiene aplicación en la
levitación magnética
La no linealidad de la curva de histéresis hace
complicado la manipulación de las ecuaciones, pero
hace más interesante el estudio
El análisis presentado en este trabajo tiene aplicación
en el diseño de frenos para dinamómetros de
laboratorio usados en los centros de verificación de
automóviles
N
4000
FDdisc( I)
También tiene aplicación en el frenado de trenes de
alta velocidad y en tracto camiones, pues la fuerza de
frenado es mayor que la de los frenos convencionales
2000
0
0
50
100
NI( I)
Amperes
0
150
150
IX. REFERENCIAS
a)
PAR ELECTROMAGNÉTICO
N-m
525.369 1000
Tdisc ( I)
1. Feynman R. The Feynman Lectures on Physics,
definitive edition, Pearson, 2006
2. W. M. Saslow, Maxwell's theory of Eddy currents
in thin conducting sheets, and applications to
electromagnetic shielding and MAGLEV. Am Journal
of Physics, 60 (8), August 1992
500
0
0
0
La fuerza necesaria en el pedal es mínima, pues sólo
requiere mover una resistencia eléctrica
50
100
NI( I)
AMPERES
150
150
b)
Fig. 6 a) Fuerza de arrastre y b) par electromagnético
inducidos en el disco en función del campo
magnético generado por el electroimán.
Para una velocidad angular de 1000 rpm
3. John H. Reitz, Forces on Moving Magnets due to
Eddy Currents, Journal of Applied Physics
Volume 41, number 5, April 1970
4. Halliday D., Resnick R. & Walker J., Fundamentos
de Física, volumen 2 versión extendida, CECSA,
2006.
5. Ulaby F. Fundamentos de Aplicaciones en
Electromagnetismo, quinta edición, Pearson, 2007
ISBN: 978-607-95309-3-8
Derechos Reservados © 2010, SOMIM