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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL MENDOZA
GUIA DE FISICA PARA INGRESO
SEMINARIO UNIVERSITARIO 2017
AUTOR: Ing. Edmundo Daniel Di Bari
CONTENIDOS
UNIDAD 1: UNIDADES, MEDICIONES Y OPERACIONES
UNIDAD 2: VECTORES: OPERACIONES Y APLICACIONES
UNIDAD 3: CINEMÁTICA Y VECTORES
UNIDAD 4: FUERZAS Y VECTORES
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UNIDAD 5: ELECTROSTÁTICA Y VECTORES
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MENDOZA – AGOSTO DE 2016
ING. EDMUNDO DANIEL DI BARI – COORDINADOR SEMINARIO UNIVERSITARIO
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL – FACULTAD REGIONAL
MENDOZA
SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO 2017
CÁTEDRA DE FÍSICA
PRÒLOGO
Esta Guía de introducción a los conceptos elementales de la FÌSICA, está orientada
básicamente para los alumnos postulantes al ingreso para algunas de las
especialidades de la Ingeniería que ofrece la Universidad Tecnológica Nacional –
Facultad Regional Mendoza (UTN – FRM).Pretende en primera instancia salvar las deficiencias que acarrean los alumnos
provenientes del nivel medio de educación, para luego intentar producir una nivelación
en los conocimientos generales, y por último hacerles ver que los fenómenos de la
naturaleza que nos acompañan día a día tienen una forma de ser representados,
simulados y modelados por aplicación de los conceptos físicos y con la
complementación inestimable de las matemáticas.En ésta primera etapa como potencial futuro estudiante de Ingeniería, se le hará ver
que la Física requiere de herramientas, y que para los humanos la primera resulta ser
su propia mente y de allí sus sentidos.A través del lenguaje se podrá expresar y comunicar consigo mismo y con los demás.
Y aquí aparecen las matemáticas como un lenguaje especial de cantidades y
relaciones.Pero los demás sentidos como la visión, la audición y el tacto constituirán las
primarias herramientas e instrumentos a través de las cuales podrá ir recogiendo con
el paso del tiempo toda la información que nos va proporcionando el universo
momento a momento, y que se irán complementando con el olfato y el gusto .Consecuentemente en la historia física de la naturaleza que irá descubriendo, les
permitirá reconocer y comprender el grado de evolución de la vida y alimentando su
curiosidad sobre el mundo que representa lo que se entiende como el deseo de
saber, que es lo que termina diferenciando en modo evidente a los humanos del resto
de los demás animales.Por lo tanto y a modo de ir entrando en tema se los instruirá en la resolución de
problemas, para lo cual deberán aplicar los mencionados sentidos en una forma
ordenada y lógica.-
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Para ello previamente se impartirá la teoría adecuada en cantidad y calidad de modo
tal de prepararlos para afrontar la resolución de problemas específicos de la Física,
pero también para que les sirva como una previa de lo que les va a tocar vivir en los
próximos años como estudiantes universitarios.Se los informará de los conceptos introductorios sobre cantidades, mediciones,
errores, cifras significativas, vectores, movimientos, acciones dinámicas tanto en la
mecánica como en la electrostática, conceptos todos éstos que verán con más
detenimiento y profundidad en la carrera de Ingeniería que pretenden iniciar.Además se los instruirá que los problemas existen, que hay que reconocerlos y
afrontarlos, y que una vez superada estas circunstancias hay que disolverlos, para así
poder continuar con las etapas subsiguientes.Estas acciones tienen como objeto fundamental poner a los alumnos con los pies
sobre la tierra, y fortalecer consecuentemente su espíritu para afrontar con firmeza y
voluntad el futuro.Un futuro en donde ellos son una parte muy importante, y en donde deben dejar de
pensar y actuar como sí todo dependiera de lo que hagan los demás.Concretados estos aspectos entiendo que notarán un fortalecimiento interior que los
hará madurar y ver la realidad y no la ficción que muchos han venido ejerciendo o por
ser inculcada o por absorción del medio en que les ha tocado desenvolverse.Como una etapa preliminar pero de aplicación permanente, en éste Seminario los
Docentes responsables de curso irán acompañando a los alumnos en la comprensión
de la necesidad de que se transformen en seres racionales responsables,
cumplimentando en tiempo y forma con las tareas que se les irán asignando día a
día.El alumno deberá utilizar estrategias para resolver problemas, que se fundamentan en
cumplimentar básicamente los siguientes pasos, y sobre los cuales el plantel Docente
de la cátedra insistirá fuertemente:



Interpretación de textos y lenguaje.-
Reconocimiento del tipo de problema.Ejecución de un esquema representativo del problema,
con detalles de ubicación en espacio y tiempo.-
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




Identificación de datos e incógnitas.-
Ver fórmulas específicas.Aplicar fórmulas.-
Resolver fórmulas.Controlar procedimientos y operaciones.-
Los resultados obtenidos en cuanto a la cantidad de alumnos que aprobaron el
Seminario de FÍSICA durante los ingresos correspondientes a los años 2007, 2008,
2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015 y 2016, que dieron un promedio del orden
del 89%, nos indica que la metodología aplicada es además de muy buena la lógica y
apropiada para una masa estudiantil carente en una inmensa mayoría de
conocimientos de la materia pero también de las matemáticas, y que además no
están acostumbrados a trabajar con objetivos claros y carentes del entrenamiento
para afrontar y asumir los fracasos.Los motivos de tales carencias surgen de dos (2) posibilidades generalizadas: o
porque no los obtuvieron en la etapa precedente o porque habiéndolos recibidos no
les llegaron en la forma que un estudiante que pretende seguir una carrera de
Ingeniería requiere.Justamente y a modo de compensar y / o fortalecer aspectos matemáticos
indispensables para encarar con más conocimientos y confianza la resolución de
problemas de la Física, se han incluido al final de ésta Guía dos (2) Apéndices que
tienen que ver con la Trigonometría y el Álgebra, de modo que los alumnos los
puedan consultar ante cualquier necesidad, y con el apoyo de Docentes, Tutores y de
éste Coordinador los apliquen correctamente cada vez que las circunstancias los
requieran.En consecuencia la idea es la de continuar con las metodologías empleadas, las
cuales por sí mismas se valen a pesar del cambio lógico del grupo de postulantes y
del plantel Docente año a año, pero por supuesto perfeccionándolas y adecuándolas
con el objeto de tender a mejorar la calidad del producto.-
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Por tanto con los antecedentes citados, entiendo que con todo lo programado se
espera que los alumnos posean un grado de entendimiento más acabado de las
realidades, y se encuentren mejor preparados y fortalecidos para iniciar con mejores
perspectivas ésta etapa Universitaria, en donde además de lo estrictamente
académico les debemos aportar ingredientes para alcanzar con el tiempo una
formación humana que se necesita para vivir en sociedad dignamente.-
Por último y en mí carácter de Coordinador del Seminario de Ingreso 2017 de FÍSICA
me cabe darles una bienvenida y desearles la mejor de las suertes, pero a la vez
solicitarles el máximo esfuerzo para poder alcanzar con éxito las metas que se les
propongan, recordando que el beneficio primario será para ustedes pero que en el
futuro se ampliará al País que está requiriendo de Profesionales de la Ingeniería
adecuadamente preparados en todos los aspectos.-
Ingeniero Edmundo Daniel Di Bari
Coordinador Seminario de Ingreso 2017
Cátedra de FÍSICA
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL – FACULTAD REGIONAL
MENDOZA
SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO 2017
Programa Analítico de la Cátedra de: FÍSICA
UNIDAD 1: Unidades - Mediciones - Operaciones.Introducción – Patrones de Medida – Definición de Magnitudes y sus diferentes
Clasificaciones - Sistemas de Unidades – Sistema Internacional SI – Notación Científica y
Prefijos - Ecuación de Dimensión y Análisis Dimensional – Conversión de Unidades –
Nociones sobre Metrología – Exactitud y Precisión – Concepto de Error – Cifras Significativas
– Ejemplos, Aplicaciones y Problemas.-
UNIDAD 2: Vectores: Operaciones y Aplicaciones.Cantidades Escalares y Vectoriales – Sistemas de Coordenadas – Componentes de un
Vector – Suma de Vectores – Resta de Vectores – Producto de Vectores – Producto de un
Vector por un Escalar – Producto Escalar de dos Vectores – Producto Vectorial de dos
Vectores – Ejemplos, Aplicaciones y Problemas.-
UNIDAD 3: Cinemática y Aplicaciones de Vectores.Concepto y definición de: Sistema de Referencia, Distancia Recorrida, Desplazamiento,
Rapidez y Velocidad – Velocidades Media e Instantánea – Aceleraciones Media e Instantánea
– Análisis Gráfico de los Movimientos – Movimiento Unidireccional con Aceleración Constante
– Análisis del Movimiento de Caída Libre en un medio ideal – Movimientos en dos y tres
dimensiones – Concepto de Trayectoria – Tiro oblicuo - Movimiento Circular - Ejemplos,
Aplicaciones y Problemas.-
UNIDAD 4: Estática - Dinámica y Aplicación de Vectores.Concepto de Fuerza - Nociones sobre Campos – Concepto sobre Partícula - Primera Ley de
la Dinámica – Sistemas de Referencia Inerciales – Segunda Ley de la Dinámica – Concepto
de Masa y Peso – Tercera Ley de la Dinámica – Rozamiento - Metodologías para encarar la
Resolución de Problemas – Concepto sobre Densidad y Peso Específico – Dinámica de las
Partículas – Ejemplos, Aplicaciones y Problemas. -
UNIDAD 5: Electrostática y Aplicación de Vectores.Concepto sobre Carga Eléctrica y sus Propiedades – Conformación de la Estructura de la
Materia – Definición de Conductores y de Aislantes – Fuerzas entre Cargas Eléctricas – Ley
de Coulomb – Noción sobre Campo Eléctrico – Cálculo del Campo Eléctrico para Cargas
Puntuales Distribuidas- Interacciones sobre Cargas Eléctricas sumidas en un Campo Eléctrico
– Dipolo eléctrico – Par Torsor - Ejemplos, Aplicaciones y Problemas.-
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MENDOZA
SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO 2017
CÁTEDRA DE FÍSICA
BIBLIOGRAFÍA PROPUESTA
Textos Básicos

Guía Ingreso para Seminario de FÍSICA – 2017 – UTN – FRM .
Autor : Ingeniero Edmundo Daniel Di Bari.-

Vectores y sus Aplicaciones a la FÍSICA – UTN – FRM .
Autor: Ingeniero Adalberto Ipohorski Lenkiewicz.-
Textos Complementarios
 FÍSICA – Serway – Faughn – Editorial Thompson – Sexta Edición – Año 2005. FÍSICA UNIVERSITARIA – Sears – Zemansky – Young – Freedman – Editorial
Addison – Wesley – Longman - Volúmenes I y II – Onceava (11°) u Doceava
(12°) Edición. FÍSICA PREUNIVERSITARIA – Primera Parte: Tomo 1 y Segunda Parte:
Tomo 1.Autor: Ingeniero César Luis Ángel Mallol. FÍSICA para Estudiantes de Ciencias e Ingeniería – Resnick – Halliday –
Editorial C.E.C.S.A Partes I y II – Edición Ampliada. FÍSICA – Alonso y J . Finn – Volúmenes I y II – Editorial Fondo Educativo
Interamericano S.A.-
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL – FACULTAD
REGIONAL MENDOZA
SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO 2017
CÁTEDRA DE FÍSICA
Período de Actividades – Año 2016
Inicio dictado del Seminario: Martes 11 de Octubre de 2016.Finalización dictado del Seminario: Martes 22 de Noviembre de 2016.-
Primer y Segunda Consultas: Martes 29 de Noviembre y Viernes 02 de
Diciembre de 2016.Global Integrador: Sábado 03 de Diciembre de 2016.-
=================================================================
Período de Actividades – Año 2017
Tercer y Cuarta Consultas: Lunes 06
y Viernes 10 de Febrero de 2017.-
Primer Recuperatorio: Sábado 11 de Febrero de 2017.-
Quinta Consulta: Martes 21 de Febrero de 2017.Segundo Recuperatorio: Miércoles 22 de Febrero de 2017.-
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SEMINARIO DE INGRESO 2017 - CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
Cátedra de FÍSICA: Años 2016 y 2017 - Comisiones días Lunes y Jueves
Días,
Mes y
Año
13 y 17
/ 10 / 16
17 y 20
/ 10 / 16
20 y 24
/ 10 / 16
24, 27 y
31 / 10 /
16
31 / 10
y 03 / 11
/ 16
03 y 07
/ 11 / 16
07 y 10
/ 11 / 16
10 y 14
/ 11 / 16
14 y 17
/ 11 / 16
17 y 21
/ 11 / 16
21/11/16
29/11 y
02/12/16
03/12/16
03/12/16
06/12/16
06 y 10
/ 02 / 17
11/02/17
14/02/17
21/02/17
Actividades
Magnitudes – Patrones – Sistema Internacional de Unidades (SI) – Notación
Científica – Análisis Dimensional – Conversión de Unidades – Errores - Cifras
Significativas – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 1.1 al
13.1 y Complementarios 1 al 9.Vectores – Componentes – Suma y Resta de Vectores – Ejemplos Aplicativos Planteo y Resolución de Ejercicios 1.2 al 11.2.Producto Escalar y Vectorial de Vectores – Determinantes - Ejemplos Aplicativos Planteo y Resolución de Ejercicios 12.2 al 30.2 y Complementarios 1 al 10.Cinemática – Sistemas de Referencia – Rapidez y Velocidad – Velocidades
medias e Instantáneas – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios
1.3 al 9.3.Aceleración – Movimiento unidireccional con aceleración constante – Análisis
Gráfico de Movimientos – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de
Ejercicios 10.3 al 21.3.Movimiento de Caída Libre – Movimientos en dos y tres direcciones – Tiro oblicuo
- Tipos de aceleración –Movimiento Circular- Ejemplos Aplicativos - Planteo y
Resolución de Ejercicios 22.3 al 42.3 y Complementarios 1 al 12.Concepto de Fuerza – Concepto de Campo - Leyes de la Dinámica – Masa y Peso
- Fuerza de rozamiento – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de
Ejercicios 1.4 al 17.4.Concepto de Densidad y Peso Específico - Ejemplos Aplicativos - Planteo y
Resolución de Ejercicios 18.4 al 33.4 y Complementarios 1 al 8.Cargas Eléctricas – Conductores y Aislantes – Fuerzas entre Cargas Eléctricas –
Ley de Coulomb – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 1.5 al
10.5.Campo Eléctrico – Fuerzas sobre cargas sumidas en un Campo Eléctrico – Dipolo
eléctrico – Par Torsor - Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios
11.5 al 18.5 y Complementarios 1 al 5. –
Complementación de Ejercitación y Repaso General.Atención de Consultas y firma de Carpeta de Trabajos Prácticos.Toma Global Integrador y corrección de la misma.Muestra de Evaluaciones, Aclaraciones y Consultas.Pasado de Notas a Sección Alumnos.Atención de Consultas.-
Toma Primer Recuperatorio, corrección, muestra, consultas y aclaraciones.Pasado de Notas a Sección Alumnos.Atención de Consultas.Toma Segundo Recuperatorio, corrección, muestra, consultas y
22/02/17
aclaraciones.24/02/17 Pasado de Notas a Sección Alumnos.-
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SEMINARIO DE INGRESO 2017 - CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
Cátedra de FÍSICA: Años 2016 y 2017 - Comisiones días Martes y Viernes
Días, Mes
y Año
11 y 14 /
10 / 16
14 y 18 /
10 / 16
18 y 21
/ 10 / 15
21, 25 y 28
/ 10 / 16
28/10 y 01
/ 11 / 16
01 y 08
/ 11 / 16
08 y 11 / 11
/ 16
11 y 15 / 11
/ 16
15 y 18 / 11
/ 16
18 y 22
/ 11 / 16
22 / 11 / 16
29/11 y
02/12/16
03/12/16
03/12/16
06/12/16
06 y 10
/
02 / 17
11/02/17
14/02/17
21/02/17
22/02/17
24/02/17
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Actividades
Magnitudes – Patrones – Sistema Internacional de Unidades (SI) – Notación
Científica – Análisis Dimensional – Conversión de Unidades – Errores - Cifras
Significativas – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 1.1 al 13.1
y Complementarios 1 al 9.Vectores – Componentes – Suma y Resta de Vectores – Ejemplos Aplicativos Planteo y Resolución de Ejercicios 1.2 al 11.2.Producto Escalar y Vectorial de Vectores - Determinantes – Ejemplos Aplicativos Planteo y Resolución de Ejercicios 12.2 al 30.2 y Complementarios 1 al 10.Cinemática – Sistemas de Referencia – Rapidez y Velocidad – Velocidades medias
e Instantáneas – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 1.3 al
9.3.Aceleración – Movimiento unidireccional con aceleración constante – Análisis
Gráfico de Movimientos – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios
10.3 al 21.3.Movimiento de Caída Libre – Movimientos en dos y tres direcciones – Tiro oblicuo Tipos de aceleración – Movimiento Circular - Ejemplos Aplicativos - Planteo y
Resolución de Ejercicios 22.3 al 42.3 y Complementarios 1 al 12.Concepto de Fuerza – Concepto de Campo - Leyes de la Dinámica – Masa y Peso Fuerza de rozamiento – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios
1.4 al 17.4.Concepto de Densidad y Peso Específico - Ejemplos Aplicativos - Planteo y
Resolución de Ejercicios 18.4 al 33.4 y Complementarios 1 al 8.Cargas Eléctricas – Conductores y Aislantes – Fuerzas entre Cargas Eléctricas –
Ley de Coulomb – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 1.5 al
10.5.Campo Eléctrico – Fuerzas sobre cargas sumidas en un Campo Eléctrico – Dipolo
eléctrico – Par Torsor - Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios
11.5 al 18.5 y Complementarios 1 al 5. –
Complementación de Ejercitación y Repaso General.Atención de Consultas y firma de Carpeta de Trabajos Prácticos.Toma Global Integrador y corrección de la misma.Muestra de Evaluaciones, Aclaraciones y Consultas.Pasado de Notas a Sección Alumnos.Atención de Consultas.Toma Primer Recuperatorio, corrección, muestra, consultas y aclaraciones.Pasado de Notas a Sección Alumnos.Atención de Consultas.Toma Segundo Recuperatorio, corrección, muestra, consultas y aclaraciones.Pasado de Notas a Sección Alumnos.-
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SEMINARIO DE INGRESO 2017 - CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
Cátedra de FÍSICA: Años 2016 y 2017 - Comisiones días Miércoles y Sábados
Días,
Mes y
Año
Actividades
Magnitudes – Patrones – Sistema Internacional de Unidades (SI) – Notación
12 y 15 / Científica – Análisis Dimensional – Conversión de Unidades – Errores - Cifras
10 / 16
Significativas – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 1.1 al
13.1 y Complementarios 1 al 9.15,19 y 22 Vectores – Componentes – Suma y Resta de Vectores – Ejemplos Aplicativos/ 10 / 16
Planteo y Resolución de Ejercicios 1.2 al 11.2.22 y 26 Producto Escalar y Vectorial de Vectores – Determinantes - Ejemplos Aplicativos
/ 10 / 16 - Planteo y Resolución de Ejercicios 12.2 al 30.2 y Complementarios 1 al 10.Cinemática – Sistemas de Referencia – Rapidez y Velocidad – Velocidades
26 y 29
medias e Instantáneas – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de
/ 10 / 16
Ejercicios 1.3 al 9.3.Aceleración – Movimiento unidireccional con aceleración constante – Análisis
29/10 y 02
Gráfico de Movimientos – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de
/11 / 16
Ejercicios 10.3 al 21.3.02 y 05 /
11 / 16
Movimiento de Caída Libre – Movimientos en dos y tres direcciones – Tiro oblicuo
- Tipos de aceleración – Movimiento Circular - Ejemplos Aplicativos - Planteo y
Resolución de Ejercicios 22.3 al 42.3 y Complementarios 1 al 12.-
Concepto de Fuerza – Concepto de Campo - Leyes de la Dinámica – Masa y
Peso - Fuerza de rozamiento – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de
Ejercicios 1.4 al 17.4.09 y 12 / Concepto de Densidad y Peso Específico - Ejemplos Aplicativos - Planteo y
11 / 16
Resolución de Ejercicios 18.4 al 33.4 y Complementarios 1 al 8.Cargas Eléctricas – Conductores y Aislantes – Fuerzas entre Cargas Eléctricas –
12 y 16 /
Ley de Coulomb – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 1.5
11 / 16
al 10.5.Campo Eléctrico – Fuerzas sobre cargas sumidas en un Campo Eléctrico –
16 y 19 /
Dipolo eléctrico – Par Torsor - Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de
11 / 16
Ejercicios 11.5 al 18.5 y Complementarios 1 al 5. –
19 / 11 / Complementación de Ejercitación y Repaso General.16
29/11 y
Atención de Consultas y firma de Carpeta de Trabajos Prácticos.02/12/16
03/12/16 Toma Global Integrador y corrección de la misma.03/12/16 Muestra de Evaluaciones, Aclaraciones y Consultas.06/12/16 Pasado de Notas a Sección Alumnos.06 y 10
Atención de Consultas./ 02 / 17
11/02/17 Toma Primer Recuperatorio, corrección, muestra, consultas y aclaraciones.14/02/17 Pasado de Notas a Sección Alumnos.21/02/17 Atención de Consultas.Toma Segundo Recuperatorio, corrección, muestra, consultas y
22/02/17
aclaraciones.24/02/17 Pasado de Notas a Sección Alumnos.05 y 09 /
11 / 16
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SEMINARIO DE INGRESO 2017 - CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
Cátedra de FÍSICA: Años 2016 y 2017 - Comisiones días Lunes, Miércoles y
Viernes (Escuela Pablo Nogues)
Días,
Mes y
Año
Actividades
Magnitudes – Patrones – Sistema Internacional de Unidades (SI) – Notación
12, 14 y Científica – Análisis Dimensional – Conversión de Unidades – Errores - Cifras
17/10/16 Significativas – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 1.1 al
13.1 y Complementarios 1 al 9.17 y 19 / Vectores – Componentes – Suma y Resta de Vectores – Ejemplos Aplicativos 10 / 16 Planteo y Resolución de Ejercicios 1.2 al 11.2.19 y 21 Producto Escalar y Vectorial de Vectores – Determinantes - Ejemplos Aplicativos 10 / 16 Planteo y Resolución de Ejercicios 12.2 al 30.2 y Complementarios 1 al 10.24, 26 y Cinemática – Sistemas de Referencia – Rapidez y Velocidad – Velocidades
28 / 10 / medias e Instantáneas – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios
16
1.3 al 9.3.28 y
Aceleración – Movimiento unidireccional con aceleración constante – Análisis
31 / 10 y Gráfico de Movimientos – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de
02/11/16 Ejercicios 10.3 al 21.3.02, 04 y Movimiento de Caída Libre – Movimientos en dos y tres direcciones – Tiro oblicuo
07 / 11 / - Tipos de aceleración –Movimiento Circular- Ejemplos Aplicativos - Planteo y
Resolución de Ejercicios 22.3 al 42.3 y Complementarios 1 al 12.16
Concepto de Fuerza – Concepto de Campo - Leyes de la Dinámica – Masa y Peso
07,09 y
- Fuerza de rozamiento – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de
11/11/16
Ejercicios 1.4 al 17.4.11 y 14 / Concepto de Densidad y Peso Específico - Ejemplos Aplicativos - Planteo y
11 / 16 Resolución de Ejercicios 18.4 al 33.4 y Complementarios 1 al 7.Cargas Eléctricas – Conductores y Aislantes – Fuerzas entre Cargas Eléctricas –
14 y 16
Ley de Coulomb – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 1.5 al
/ 11 / 16
10.5.16, 18 y Campo Eléctrico – Fuerzas sobre cargas sumidas en un Campo Eléctrico – Dipolo
21 / 11 / eléctrico – Par Torsor - Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios
16
11.5 al 18.5 y Complementarios 1 al 5. –
21/11/16 Complementación de Ejercitación y Repaso General.29/11 y
Atención de Consultas y firma de Carpeta de Trabajos Prácticos.02/12/16
03/12/16 Toma Global Integrador y corrección de la misma.03/12/16 Muestra de Evaluaciones, Aclaraciones y Consultas.06/12/16 Pasado de Notas a Sección Alumnos.06 y 10
Atención de Consultas./ 02 / 17
11/02/17 Toma Primer Recuperatorio, corrección, muestra, consultas y aclaraciones.14/02/17 Pasado de Notas a Sección Alumnos.21/02/17 Atención de Consultas.Toma Segundo Recuperatorio, corrección, muestra, consultas y
22/02/17
aclaraciones.24/02/17 Pasado de Notas a Sección Alumnos.-
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL – FACULTAD REGIONAL
MENDOZA
SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO 2017
Condiciones y Exigencias de Aprobación
Cátedra de FÍSICA
Además de las que conformen la Resolución que a tal efecto emita la UTN – FRM, se
pasan a enumerar las particulares para la Cátedra de Física:
Obligaciones:
1) Tener una asistencia mínima al cursado del Seminario, DEL SETENTA Y
CINCO POR CIENTO ( 75% ).-
2) Tener completa y además haber sido aprobada y visada por el Docente
correspondiente la “Carpeta de Trabajos Prácticos” conformada por la
totalidad de la ejercitación obrante en la Guía de la Cátedra de FÍSICA
(ejemplos
aplicativos,
problemas
con solución
y problemas
complementarios sin solución). Esto es de aplicación para los Alumnos
Regulares de Mendoza, Rivadavia, Tupungato, Maipú, Luján de Cuyo y San
Martín, Libres y A Distancia.-
3) Haber aprobado el Global Integrador con una nota igual o mayor a SESENTA
Y CINCO (65) puntos sobre un total de CIEN (100) puntos.-
4) En caso de no haber aprobado el Global Integrador, aprobar los exámenes
Primer Recuperatorio y / o Segundo Recuperatorio con una nota igual o
mayor a SESENTA Y CINCO (65) puntos sobre un total de CIEN (100) puntos.-
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL MENDOZA
SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO 2017
CÁTEDRA DE FÍSICA
HORARIOS DE DICTADO
Días: Lunes, Martes, Jueves y Viernes
Turno Mañana
Inicio: 8:00 horas
Recreo: de 10:00 a 10:20 horas
(ESTRICTO)
Finalización: 12:15 horas
Turno Tarde
Inicio: 14:30 horas
Recreo: de 16:30 a 16:50 horas
(ESTRICTO)
Finalización: 18:45 horas
Turno Noche
Inicio: 19:00 horas
Recreo: de 21:00 a 21:20 horas
(ESTRICTO)
Finalización: 23:15 horas
Días Miércoles
Turno Tarde: de 17:30 a 19:00 hs.
Turno Noche: de 19:00 a 20:30 hs.
Turno Noche: de 20:30 a 22:00 hs.
Días Sábados
Turno Mañana: de 8:00 a 14:00 hs.
Recreos: 10:00 a 10:20 hs. y de 12:00 a 12:20 hs. (ESTRICTO)
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Escuela Pablo Nogues
Día Lunes: de 13:00 a 16:00 hs.Día Miércoles: de 13:00 a 16:00 hs.Día Viernes: de 14:00 a 16:00 hs.-
--------------------------------------------------------------------------------------
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UNIDAD I
UNIDADES - MEDICIONES - OPERACIONES
La palabra FÍSICA en sus orígenes lingüísticos, implica
naturaleza.-
Su estudio consiste esencialmente en vincular conceptos
como el tiempo, espacio, velocidad, fuerza, etc. y con ellos expresar otros de modo de
poder interpretar y explicitar los fenómenos que nos rodean, en la búsqueda de dar
respuestas claras y concretas a los ¿cómo? los ¿por qué? los ¿cuándo? los
¿cuánto?, ¿los quienes?.El paso del tiempo y las múltiples experiencias han
mostrado a la FÍSICA como una ciencia natural básica, cuya existencia permite
estudiar a las partículas fundamentales existentes en la naturaleza, pero además lo
que acaece cuando las mismas actúan entre sí.Debe recordarse que justamente tales interacciones en su
expresión microscópica se remonta a los átomos, luego a las moléculas, para finalizar
macroscópicamente en los cuerpos como un conjunto de moléculas sobre las cuales
nos va a interesar conocer como se distribuyen, las posiciones que ocupan y como se
mueven.-
PATRONES DE MEDIDA
Se entienden como tales a aquellos que son responsables
de fijar condiciones, y se los utiliza de modo tal de homogenizar las mediciones de las
distintas magnitudes en modo internacional.Deben tener ciertas propiedades como ser: de
conocimiento público; al alcance de todos; fácilmente reproducibles e inalterables.Justamente
las
consideradas
como
Magnitudes
Fundamentales o Primarias, el tiempo, la masa y la longitud, son las que poseen
Patrones.Surgen así el metro (m) como patrón internacional de
longitud, y que se representa como dos (2) marcas sobre una barra de platino e iridio.-
16
ingeddb
Así mismo como patrón de masa se consideró un cilindro
de platino e iridio cuya altura resultaba igual a su diámetro, y se la designó como
kilogramo patrón (kg).Sin embargo la unidad fundamental es la correspondiente a
la magnitud tiempo (t),cuya unidad base es el segundo (s) que se la consideró como
la 1 / 86400 parte de la duración de un día solar medio determinada en todo un año, o
la que se consideró a partir del año 1967 que define al segundo (s) como la duración
de 9.192.631.770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los
dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de Cesio (Cs) 133.CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS
Las magnitudes físicas conforman todos aquellos entes que
nos permiten analizar las manifestaciones de la naturaleza, y que agrupados en
ecuaciones nos llevan a estudiar distintos comportamientos de los fenómenos que a
diario nos toca vivir, experimentar con los mismos, reproducirlos y simularlos
físicamente y matemáticamente.Existen varias formas de clasificarlas, que sin entrar en
detalle se pasarán a mostrar.-
Fundamentales o Primarias [ tiempo (T), longitud (L),
masa (M), fuerza (F) ]
Clasificación de
Magnitudes
Derivadas o Secundarias [ velocidad, aceleración,
trabajo, energía, potencia,
densidad, impulso, etc. ]
Clasificación de
Magnitudes
Escalares [ tiempo, masa, trabajo, energía, potencia,
densidad, etc. ]
Vectoriales [ desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza,
cantidad de movimiento lineal, impulso, etc. ]
Dimensionales [ L = longitud = 8,00 m ]
Poseen: nombre de la especie (L), cantidad o medida (8) y
unidad (m).
Clasificación de
Magnitudes
Adimensionales [ L = longitud = 8,00 ]
Tienen: nombre de la especie (L) y cantidad (8).-
Números [ 8,00 ]
Solo se identifican por la cantidad (8,00)
17
ingeddb
Lo que debe aclararse es que las clasificaciones
precedentes no son excluyentes entre ellas, es decir que una misma magnitud puede
constituir parte de una o de todas las formas de clasificación mostradas.-
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
Este surge como una necesidad de uniformar todas las
unidades a utilizarse, adoptándose el denominado SIMELA (Sistema Métrico Legal
Argentino). Este comprende básicamente para las magnitudes como la longitud, la
masa y el tiempo las unidades metro, kilogramo masa y segundo respectivamente en
lo atinente a la FÍSICA Mecánica.Justamente para facilitar la característica de reproducibles
y de acuerdo a los avances de las ciencias, las observaciones y las
experimentaciones, en la actualidad el patrón de longitud se representa como
1.650.763,73 longitudes de onda correspondiente a la luz roja-anaranjada que emite
el gas denominado kriptón 86. Por idéntica razón y tal como se indicó antes se debió
adecuar el patrón correspondiente al tiempo, como que un segundo se representa
como 9.192.631.770 períodos de la radiación de los átomos de Cesio (Cs) 133.Para el caso de la masa, se continúa empleando el modelo
que precedentemente se expusiera.-
Ejemplo Aplicativo 1.1)
3
Convertir 1.360,00 dm , a:
3
3
a) m . b) mm .-
3
1m
3
–3
3
3
1.360,00 dm x ------------------- = 1.360,00 x 10
m ≈ 1,4 m
3
3
10 dm
6
a)
3
10 mm
3
3
9
3
1.360,00 dm x -------------------- = 1.360,00 x 10 6 mm ≈ 1,4 x 10 mm
3
1 dm
b)
Ejemplo Aplicativo 2.1)
¿ A cuántos m / s equivalen 125,00 km / h?.-
18
ingeddb
3
10 m
1h
125 km / h x ----------------- x --------------- ≈ 34,7 m / s
1 km
3.600 s
CONCEPTO DE HOMOGENEIDAD
La mayoría de las magnitudes de la física se encuadran en
la designación de “dimensionales”, que implica que poseen por ejemplo nombre
propio o especie (tiempo), cantidad (4) y unidad (s):
t=4s
Que una ecuación resulte homogénea, implica que todos
los términos que la conforman tengan la misma dimensión, de modo tal de poder
sumar y / o restar cantidades que estén representadas por la misma dimensión. Lo
antes también debe ser aplicable a ambos lados de un signo igual de una ecuación de
la física, tal como se muestra a continuación:
Ecuación de Dimensión
Ecuación del fenómeno
V = VO + a.t
[ L/T]=[ L/T]+[ L/T
-2
.T ] = [ L / T ] + [ L / T ]
m/s =
m/s
+
m/s
Conjuntamente con lo antes indicado, debe preverse para
su plena aplicación lo concerniente al tema de conversión de unidades, caso contrario
se pueden cometer errores tanto en el aspecto numérico como en lo referido al tema
unidades. Para su mejor comprensión a continuación se muestra un modelo vinculado
con la ecuación planteada anteriormente:
Datos:
VO = 10 km / h
Ecuación a emplear:
a = 2,50 m / s2
t = 3 min
V=V0 + a.t
V = 10 km / h . 1h / 3.600 s . 1.000 m / 1 km + 2,50 m / s2 . 3 min . 60 s / 1 min =
V = 2,78 m / s + 450,00 m / s ≈ 453,00 m / s
MEDICIONES - TEORIA DE ERRORES
Una magnitud física es una propiedad susceptible de ser
medida o mensurada.-
19
ingeddb
Toda medición inexorablemente viene acompañada de
ciertos errores, entendiendo como tales a la incerteza en la determinación del
resultado de dicha medición, la cual puede provenir de distintas fuentes como ser uso
de instrumentos no adecuados, no conocimiento pleno de lo medible por afectación
del entorno, mal lectura del instrumento empleado, falta de definición, etc.Con respecto al error introducido por los instrumentos o por
los métodos de medición utilizados, deben definirse lo que se entiende por precisión y
por exactitud. La precisión representa la sensibilidad con que puede detectarse una
medición con un instrumento dado. En cambio la exactitud muestra la calidad con
que se ha calibrado nuestro instrumento con relación al patrón de medida
correspondiente.-
x x
x
x x
x x
x
x
x
x
x
x
Precisión
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Exactitud
CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORES
Según el origen de los errores, se los puede clasificar
como:
1) Errores introducidos por el instrumento.Error de apreciación ( σap ): que está vinculado con la mínima división que
puede discernir el observador, denominada apreciación nominal de una
medición.-
20
ingeddb
Error de exactitud ( σexac ): representa el error absoluto con que el
instrumento utilizado ha resultado calibrado.2) La interacción del método de medición respecto del objeto a medir.Este error se lo representa como σ int , y su determinación depende de la
medición realizada.3) Falta de definición en el ente sujeto a medición.Como se ha manifestado las magnitudes a medirse no están definidas con
precisión, entonces con σdef se define la no certeza asociada con tal falta de
definición.En general para una medición las fuentes de error antes
definidas están presentes, y permiten definir el error de medición nominal σ nom ,
como:
σ2
nom
= σ 2 ap + σ 2 def + σ 2
int
+ σ 2 exac
En cambio según su carácter, los errores pueden
clasificarse del siguiente modo:
a) Sistemáticos: éstos están dados por el sistema de medición (regla dilatada, reloj
que adelanta o atrasa, error de paralaje, etc.). Se caracterizan por afectar los
resultados en el mismo sentido, y el modo de acotarlos consiste en usar métodos
alternativos de medición y utilizar intercaladamente patrones confiables durante
la medición.b) Estadísticos: son los que se reproducen al azar, y se deben a motivos varios
como equivocación al contar las divisiones de una regla, o ubicarnos mal frente a
la escala de una balanza. Se particularizan por actuar tanto en exceso como en
defecto, y la forma de acotarlos es el de efectuar varias mediciones y luego
promediarlos. Se los identifica como σ est.c) Espurios: para entenderlos consideremos pretender medir el volumen de una
esfera, determinando su diámetro. Al introducirlo en la fórmula lo hacemos
equivocadamente o empleamos una fórmula no correcta o no usamos las
unidades adecuadas. La forma de delimitarlos consiste en una evaluación y
control cuidadoso de los procedimientos.Cuando se desea combinar los errores sistemáticos con los
estadísticos, lo usual es utilizar la suma de los errores absolutos en cuadratura, es
decir sumar los cuadrados y tomar su raíz cuadrada. Sí lo que medimos se representa
por Z y el error final es ΔZ , será:
21
ingeddb
_______________
__________________________________________
2
2
ΔZ =√ σ est + σ nom = √ σ 2 est + σ 2 ap + σ 2 def + σ 2 int + σ 2 exac
Los errores pueden además expresarse del siguiente
modo:
 Errores absolutos: que representan el valor de la no certeza en lo medido, y
que tienen la misma dimensión que el de la magnitud medida, y que se
expresan como:
Z = (Z ± ΔZ)
Donde se designa con po a: ( Z – ΔZ ) < Z < ( Z + ΔZ ), y se lo consigna
como el coeficiente de confianza. Errores relativos: se determinan como el cociente entre el error absoluto y el
valor más probable (valor que más veces se repite) o mejor valor de la
magnitud Z:
ЄZ = ΔZ/Z
 Error relativo porcentual: es el error relativo multiplicado por 100, es decir
Є Z %.Ejemplo Aplicativo 3.1)
Sí se pretende medir el espesor de un alambre de diámetro
3 mm y de longitud 1,00 m con una misma regla graduada en mm, es claro que los
errores absolutos que se cometerán en ambas mediciones resultará el mismo es decir
σ d = σ L = 1 mm. Sin embargo en lo atinente a la medición resulta mejor la de la
longitud que la del diámetro, donde los errores relativos cometidos serían
respectivamente de ЄL = 0,10 % y de Є d = 33 %.A veces, hay magnitudes que no se miden directamente
sino que se derivan de otras que sí han sido medidas directamente. Por ejemplo para
determinar el área de un rectángulo, se deben medir previamente las longitudes de
sus lados. La pregunta a responder es de qué manera los errores de las magnitudes
medidas directamente se propagarán para obtener el error cometido en la magnitud
derivada.Sí bien el proceso es bastante más complejo, para cálculos
preliminares se puede proceder de la siguiente forma:
22
ingeddb
Magnitud Derivada: V = V (x,y,z,….)
Error en V : ΔV
ΔV / V ≈ n . ІΔx / xІ + m . ІΔy / yІ + l . ІΔz / zІ
Como
caso
2
2
particular,
siendo
por
ejemplo:
Z = (X ±Y), sería:
2
(ΔZ) = (ΔX) + (ΔY)
( Ver Ejemplo Aplicativo 9.1), en el siguiente Tema)
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Cuando realizamos una medición con una regla graduada
en mm con cuidado, podremos asegurar nuestro resultado hasta la cifra de los
milímetros o en el mejor de los casos fracción del mm, pero nunca más. Por ejemplo
lo medido podría expresarse como: L = (95,2
+ / 0,5) mm o bien
L = (95 + / - 1) mm.En el primer caso diremos que nuestra medición posee
tres (3) cifras significativas y en el segundo solo dos (2). El número de cifras
significativas resulta ser igual al número de dígitos contenidos en el resultado de la
medición ubicados a la izquierda del primer dígito afectado por el error, incluyendo
éste dígito. El primer dígito, o sea el que está más a la izquierda, es el más
significativo ya que es el de que tenemos más seguridad (el 9), y el último o sea el
más a la derecha es el menos significativo por ser del que tenemos menos seguridad
(el 2).Debe aclararse que no tendría sentido expresar tal
medición como: L = (95,321 + / - 1) mm, ya que tenemos una no certeza del orden
de un (1) mm y mal podremos asegurar valores de las décimas, centésimas o
milésimas de mm.En lo habitual suele expresarse el error con una sola cifra
significativa, y solo en casos especiales pueden utilizarse más. También es usual
tomar en cuenta que el error en un resultado de una medición recae en la última cifra,
sí es que no se indica el error explícitamente. Por ejemplo sí se mide una longitud de
L = 95 mm, podemos suponer que el error es del orden del mm y como se expresó
antes el resultado de L tiene dos (2) cifras significativas.-
23
ingeddb
Una posible confusión puede surgir cuando se realiza un
cambio de unidades, por ejemplo sí para el caso planteado necesitamos expresar a L
en μmm (micro milímetros), con un resultado de L = (95.000 + / - 1.000) μ mm
¿Cuántas cifras significativas tendremos?. Claramente dos (2) e igual que antes, ya
que la última cifra significativa sigue siendo el cinco (5), que es donde cae el error.-
Sin embargo sí no se indica explícitamente el error en L, es
difícil
determinar
la
cantidad
de
cifras
significativas.
Nótese
que
95 mm = 95.000 μ mm, ya que el primero tiene dos (2) cifras significativas mientras
que el segundo posee cinco (5).Para evitar confusiones se utiliza la denominada notación
1
científica (o potencia de diez), como se muestra a continuación: 9,5 x 10 mm =
4
9,5 x 10 μ mm., comprobándose que ambos miembros de la igualdad tienen el
mismo número de cifras significativas, o sea dos (2).Esta temática de las cifras significativas se acrecienta
cuando con las cantidades medidas se deben realizar operaciones tales como la
suma, resta, multiplicación o división, y para clarificar las mismas se han establecido
reglas prácticas, que se explicitan a continuación.-
SUMA: para que el resultado de ésta operación resulte
adecuado siempre se deben sumar cantidades homogéneas y expresadas en la
misma unidad. Se opera primeramente tomando en cuenta el término o términos
cuya última cifra significativa ocupe el orden decimal más bajo, que siempre
representa a la cifra dudosa. En segundo lugar se procede a despreciar los dígitos
ubicados a la derecha de tal posición tomando en cuenta las reglas del redondeo, y
finalmente se procede a efectuar la suma solicitada.Debe recordarse que para efectuar la acción de
redondear, se procede de la siguiente manera: a) sí al dígito que se analiza le sigue
un número menor de cinco (5), no se lo afecta. b) en cambio sí el que lo precede es
igual o mayor que cinco (5), se lo incrementa en una (1) unidad.A continuación se muestra:
Ejemplo Aplicativo 4.1)
Efectuar la suma de las siguientes cantidades:
Datos: 1,74 cm; 55,367 cm; 0,025 cm y 4,312 cm.-
24
ingeddb
Suma:
1, 74 X
55, 36 7 X
0, 02 5 X
4, 31 2 X
----------------------61, 45 X X >>>> 61,45 cm >>> con el 5 dudoso ?
Como en éste caso la cifra dudosa resulta ser la correspondiente a las centésimas,
aplicando las reglas del redondeo, será equivalente a sumar:
1, 74
55, 37
0, 03
4 ,31
------------------61, 45 cm
RESTA: para operar en éste caso debe tenerse presente
que restarle a un número otro, implica sumárselo con el signo contrario.
Por tanto se trabaja con las mismas premisas que para la
Suma vista precedentemente.-
Ejemplo Aplicativo 5.1)
Efectuar la resta de las siguientes cantidades:
Resta
85, 4 X
36, 7 8
-------------48, 7 X
85, 4 (dudoso) ????
36, 8
-----------48 , 6
MULTIPLICACIÓN: se debe proceder de la siguiente
forma: a) sí las dos cantidades poseen el mismo número de cifras significativas, el
producto debe tener tal cantidad de cifras significativas. b) en cambio cuando el
número de cifras significativas de ambas cantidades son distintos, el producto deberá
tener una cantidad de cifras significativas igual al de menor o a lo sumo una (1) más.-
25
ingeddb
Ejemplo Aplicativo 6.1)
Efectuar el producto de las siguientes cantidades:
Producto
3,35 X
1,78 X
------------XXX X
2680 X
2345X
335X
----------------------5,95XXX ≈ 6 x 10 0
18,4X
3,6X
---------------XXX X
1104 X
552X X
----------------66,XXX ≈ 7 x 10 1
En algunas ocasiones el resultado de la multiplicación con
la aplicación del concepto de las cifras significativas nos puede llevar a una confusión,
la que se salva con el empleo de la notación científica.-
Ejemplo Aplicativo 7.1)
Efectuar el producto de las siguientes cantidades:
Producto
375,5X
41,7X
-----------------------------XXXXX
26285 X
3755X
15020X
---------------------------------4
1555(9) = 1,556 x 10 ≈ 2 x 10 4
DIVISIÓN: al igual que lo manifestado para el caso de la
resta, en ésta ocasión se aplican las mismas reglas que las vistas para la
multiplicación.-
Ejemplo Aplicativo 8.1)
Efectuar la operación de división que se solicita a
continuación:
26
ingeddb
87,8
1
---------- = 27,44 = 2,744 x 10
3,2
por cuanto 3,2 x 27,44 = 87,8
Ejemplo Aplicativo 9.1)
Se desea determinar la densidad δ de un cuerpo. Para ello
3
se ha medido su volumen dando como resultado V = (3,5 ± 0,4) cm siendo
Єv % = 6 %, y su masa m = (22,7 ± 0,1) g resultando Єm % = 0,4 %.Siendo por definición:
δ = m / V = 6,485714286 g / cm
3
Como la mayoría de las cifras y tal como se acaba de ver no son significativas,
deberemos acotar éste resultado. Además deberemos propagar los errores del
numerador y del denominador, de modo tal de poder determinar en qué cifra debe
caer el error en la densidad δ.-
O sea que: Δδ ≈ 0,41 g / cm
3
_____________
______________
2
2
2
2
[ Δδ = √ Δm + ΔV
= √ (0,1 ) + (0,4)
]
De acuerdo a lo visto precedentemente, será:
Δδ / δ ≈ 0,063
Por tanto para la densidad solo le va a corresponder una (1) sola cifra significativa,
con lo que el valor que se obtendría para la misma sería de:
δ = (6,5 ± 0,41) g / cm
3
con un
Єδ% = 6%
_____________________________________________________________________
27
ingeddb
SEMINARIO UNIVERSITARIO – CÁTEDRA DE FÍSICA
GUÍA DE PROBLEMAS A RESOLVER
UNIDAD 1 : CIFRAS SIGNIFICATIVAS, OPERACIONES ENTRE CANTIDADES
Y NOTACIÓN CIENTÍFICA
1.1)
Sabiendo que 1 nudo equivale a 1 milla náutica por hora, que una milla náutica
es igual a 1.852,00 m, que una yarda es igual a 3,00 pies y que 1 pie es igual
a 30,48 cm, calcular: a) ¿cuántas millas náutica corresponden a la unidad
yarda? b) ¿ cuántos km / h se corresponden con 30 nudos?.-
2.1)
Se necesita realizar un cierre perimetral de un terreno rectangular que posee
3
un frente de longitud igual a 10,253 m y un fondo de 10 m. Determinar el
perímetro de tal terreno.-
3.1)
En una envasadora de galletas se han armado tres (3) paquetes cuyos
3
3
3
volúmenes son de: 1,53 m , 3,336 cm y 0,998 dm . Calcular empleando cifras
significativas el volumen total en m3.-
4.1)
Dados los siguientes resultados obtenidos de experiencias físicas, indicar la
cantidad de cifras significativas que tienen cada uno de ellos: a) 2,205 kg
7
3
b) 0,3937 km c) 9,3 x 10 litros d) 1030 g / cm .-
5.1) Sobre las cantidades medidas y las operaciones planteadas, resolver y expresar
los resultados adecuando las cifras significativas y aplicando notación
científica.-
3
1,4 x 10
a) -----------------5
2,6 x 10
28
b) 3,7 x (15,72 – 9,45) x 10
–2
(8,34 + 0,659) x 3,015
c) -------------------------------12,03
ingeddb
6.1)
Un cubo de plástico tiene lados cuya longitud es de 6,22 mm. Determinar el
3
volumen de tal cubo en m , y expresarlo en notación científica.-
7.1)
Sí el radio de un círculo vale 4,00 x 10
expresarlo en mm 2.-
–3
cm, calcular el valor de su superficie y
3
8.1) Sabiendo que la unidad de volumen un (1) litro equivale a 1.000,00 cm , calcular
3
cuantas botellas de un (1) litro va a necesitar para envasar 800,00 m de
detergente.-
9.1)
Determinar la longitud que recorre cuando ha dado una vuelta completa a una
manzana de su barrio, considerando que cada cuadra mide 87,00 m. Expresar el
resultado en pulgadas.(1 pulgada = 2,54 cm)
10.1) Necesita pintar una pared que tiene 25,00 m de largo por 3,20 m de alto. Sí le
va a dar dos (2) manos de pintura y cada mano le insume 1,00 litros por cada
2
10,00 m
de pared, determinar cuantas latas de cuatro (4) litros de pintura
debe comprar para lograr lo propuesto.-
11.1) Determinar cuántos cubos sólidos de piedra caliza de lados igual a 20,00 cm se
puede almacenar en la caja de una camión de carga que posee las siguientes
3
medidas: (ancho = 4,20 m ; largo = 18,00 . 10 mm y alto = 195,00 cm).-
12.1) Al efectuar la medición del consumo eléctrico de cuatro (4) propiedades
agrícolas, se han obtenido los siguientes resultados: Medición 1:
127.000,00 w – h (vatios por hora) – Medición 2: 3.860.000,00 Cv – min
(caballo vapor por minuto) – Medición 3: 245.800,00 Kw – h (kilovatio por hora
y Medición 4: 8.896.000,00 w – s (vatios por segundo). Formulando los
resultados en notación científica o potencia de diez, indicar: a) ¿ a cuántos
Kw – h corresponde cada medición de energía eléctrica efectuada?. b) ¿cuál
de las mediciones es la de mayor valor?.-
13.1) Aplicando las técnicas de las cifras significativas, calcular el área A R del
rectángulo cuyos lados miden a = 34,00 cm y b = 28,00 cm descontando el
área A C del cuadrado interior mostrado en la figura, y expresarlo en : a) m 2 .
b) mm 2.-
29
ingeddb
a
10
10 cm
b
--------------------------------------------------------------------------------------
30
ingeddb
UNIDAD I I
VECTORES
Magnitudes – Clasificación
Las magnitudes de la física pueden clasificarse en una de
las formas, como vectoriales y escalares, tal cual ya se vio en la Unidad anterior.Las primeras tales como la fuerza, aceleración,
desplazamiento, momentos, cantidad de movimiento lineal, etc. se identifican por
poseer valor numérico (módulo o magnitud), dirección, sentido y algunas punto de
aplicación, y se representan como se muestra a continuación:
Dirección
(tangente)
Valor
numérico
o módulo
Sentido
Figura 1
Ejemplo:
v = 4,20 m / s (Velocidad)
En cambio las escalares solamente están identificadas por
la medida de la magnitud y la unidad utilizada correspondiente, tal como ocurre por
ejemplo con el tiempo, la masa inercial, el trabajo mecánico, las energías, la potencia,
etc.Ejemplo: Tiempo = t = 8 s >>>>>>>
donde: “8” es la medida, y “s” la unidad
Las magnitudes vectoriales se suelen trabajar asociadas
con sistemas de referencia, de modo tal de poder identificar con seguridad las
propiedades antes mencionadas.-
31
ingeddb
Tales sistemas pueden ser unidireccionales (única
dirección), bidireccionales (dos direcciones que definen un plano) o
tridimensionales (tres direcciones que definen un espacio).Atento al carácter de éste curso se propone trabajar con el
segundo de los sistemas de referencia indicados, de modo tal de introducir el
concepto de componentes de un vector, entendiendo como tal la descomposición de
tal magnitud vectorial según esas dadas dos (2) direcciones.A continuación se expone el caso de que las dos (2)
direcciones propuestas conformen entre ellas un ángulo recto (90°), que se denomina
sistema cartesiano ortogonal, designando como norma a la dirección horizontal
como eje “X” con sentido positivo a la derecha y a la vertical como eje “Y” con sentido
positivo hacia arriba, tal como se muestra en el siguiente modelo:
y (+)
V
VY
θ
O
x (+)
VX
Figura 2
donde las mencionadas componentes vendrían definidas como:
VX = V cos θ
(adyacente)
y
VY = V sen θ
(opuesta)
En muchas aplicaciones específicas se emplean para
identificar completamente una magnitud vectorial, el concepto de vectores unitarios
que tienen como propiedad que su valor es “uno” y su dirección identifica la
correspondiente al vector que se trata. Volviendo al ejemplo del vector velocidad
presentado anteriormente, la forma de representación sería la siguiente, considerando
como convención que los vectores unitarios siempre orientan a un eje de referencia
en su sentido positivo:
V = VX î + VY j
32
ingeddb
Nota: para identificar un vector las notaciones a emplear serán: en negrilla; como
Ā; como ā, o como ê.Operaciones con vectores
Adición de vectores
Esta primera de las operaciones a plantearse, puede
ejemplificarse a través de la idea del modelo “desplazamiento”. Es decir sí una
partícula se desplazara primeramente desde el punto P1 hasta otro P2 representado
por el vector posición r1, y luego lo hace desde el punto P2 hasta el P3 mostrado por
el vector posición r2, implica que en realidad el vector desplazamiento neto desde P 1
hasta P3 vale r = r1 + r2. Por tanto se puede manifestar que r = r1 + r2 representa la
suma de los vectores posición r1 más r2.Todo lo antes expresado se contiene en la siguiente figura,
de la cual además se deduce que el resultado del vector suma r no depende del
orden de los vectores sumandos, que implica que la adición de vectores resulta ser
“conmutativa”.-
y (+)
r
P3
r2
P2
P1
r1
Figura 3
O
x (+)
r1
r
r2
r
r2
O
r1
O
( r1 + r 2 ) = ( r 2 + r 1 )
33
ingeddb
C
r
E
β
r2 sen θ
r2
α
A
θ
r1
B
r2 cos θ
D
Figura 4
Geométricamente se verifica en la Figura 4 que:
AD = AB + BC = AB + r2 cos θ
y
DC = r2 sen θ
En consecuencia y aplicando el Teorema de Pitágoras, resulta:
r2 = (r1 + r2 cos θ)2 + (r2 sen θ)2 = r12 + r22 + 2 r1 r2 cosθ
____________________
O sea que: r = √ r12 + r22 + 2 r1 r2 cos θ
(1)
Ley o Teorema del coseno
Para completar la información de tal vector, resulta
necesario determinar su dirección lo que se consigue hallando el valor del ángulo α.
De la última figura se puede visualizar que:
CD = AC sen α
y que además:
CD = BC sen θ
Por tanto resulta que:
AC sen α = BC sen θ >>>>>>>>>>>>>>
r
r2
----------- = ---------sen θ
sen α
(2)
También se verifica geométricamente que:
BE = r1 sen α
y que además:
BE = r2 sen β
r2
r1
O sea que: r1 sen α = r2 sen β >>>>>>>>>>>> -------------- = --------------sen α
sen β
(3)
Comparando lo obtenido en (2) y (3) y procediendo, se logra:
34
ingeddb
r
r1
r2
----------- = ------------ = ---------sen θ
sen β
sen α
(4)
Ley o Teorema del seno
Para el caso especial que los vectores r1 y r2 resulten
perpendiculares entre sí, o sea que θ = π/2 se verifica que:
__________
r2
2
2
r = √ r1 + r2
Teorema de Pitágoras
y además: tg α = ------- (5)
r1
En cambio cuando lo que se pretende realizar es la
diferencia entre vectores, se debe proceder siempre sumándole al primer vector el
segundo con el sentido o signo cambiado, tal cual se muestra en el siguiente
esquema:
- r1
(r1 + r2) (adición)
r2
(diferencia)
r2
(r2 – r1)
θ
r1
π-θ
(diferencia)
( r1 – r2)
- r2
Figura 5
Vector diferencia = ( r1 – r2 ) = [ r1 + ( - r2 ) ]
Tal cual puede verse en la figura anterior el vector
diferencia no posee la propiedad conmutativa, es decir al cambiar el orden de los
vectores originales en la operación de diferencia o sustracción, se obtiene otro vector
opuesto al correspondiente a la primera operación efectuada.Cuando el modelo a resolver propone la suma de más de
dos (2) vectores se debe plantear por extensión lo indicado en la Figura 3, es decir
representar un vector a continuación del otro respetando por supuesto el valor
numérico, la dirección y el sentido de cada uno de ellos pero sin importar el orden,
como se muestra en la siguiente figura:
35
ingeddb
r1
r1
r3
r2
r2
O
r
r3
r = ( r1 + r 2 + r 3 )
Figura 6
Para solucionar analíticamente el tema y tal cual se vio en
la primera parte de ésta Unidad, se puede aplicar el método de las componentes y
para simplificar el planteo consideraremos que todos los vectores involucrados se
encuentran en un mismo plano.Por tanto la ecuación representativa de tal modelo, es la
siguiente:
r = (r1x i + r1y j) + (r2x i + r2y j) + (r3x i + r3y j) = (r1x + r2x + r3x) i + (r1y + r2y + r3y) j
O sea que:
rx = ( r1x + r2x + r3x ) = r cos α
y
ry = ( r1y + r2y + r3y ) = r sen α
donde y a modo de homogeneizar, el ángulo designado como α resulta ser aquel
que se mide entre el semieje positivo de las x y el vector r.Para completar los cálculos y definir plenamente al modelo,
deberemos aplicar lo indicado en la ecuación designada como 5.Ejemplo Aplicativo 1.2)
Sobre la pantalla del monitor de un osciloscopio, se observa
partiendo desde el eje x (+) en sentido antihorario un vector posición r1 equivalente a
13 m que forma con tal dirección un ángulo de 37°, y a continuación otro r2 de 21 m
que forma con la misma dirección un ángulo de 120°. Determinar:
a) el vector suma ( r1 + r2 ). b) el vector diferencia ( r1 – r2 ).-
36
ingeddb
a)
Componentes en la dirección x :
r x = 13 m . cos 37° - 21m . cos 60° = 10,4 m – 10,5 m = - 0,1 m
Componente en la dirección y :
r y = 13 m . sen 37° + 21 m . sen 60° = 7,8 m + 18,2 m = 26 m
r = - 0,1 m . i + 26 m . j
__________
2
r= √rx + ry2
__________________
= √ (-0,1 m ) 2 + (26 m ) 2 ≈ 26,00 m
ry
26 m
tg φ = --------- = ------------- = - 260
rx
- 0,1 m
>>>>>>>>>>
φ = arc tg - 260 ≈ - 89,8°
b)
Componentes en la dirección x :
r x = 13 m . cos 37° - ( - 21m . cos 60° ) = 10,4 m + 10,5 m = 20,9 m
Componente en la dirección y :
r y = 13 m . sen 37° - 21 m . sen 60° = 7,8 m - 18,2 m = - 10,4 m
r = 20,9 m . i - 10,4 m . j
__________
2
r= √rx + ry2
____________________
= √ (20,9 m ) 2 + (10,4 m ) 2 ≈ 23,3 m
ry
- 10,4m
tg φ = --------- = ----------------- = - 0,498 >>>>>>>> φ = arc tg – 0,498 ≈ - 26,5°
rx
20,9
Producto de Vectores
Se pueden presentar tres (3) situaciones en donde
aparezcan vectores en una operación de producto.-
37
ingeddb
1) Producto de un escalar por un vector
El resultado de ésta operación da “otro vector”, el cual no modifica ni su
dirección ni su sentido y solo cambia su magnitud o valor numérico.Por ejemplo sí el vector original fuese: r = 10,00 m. i y se lo multiplica por una
cantidad escalar tal como 2, el nuevo vector será: r'= 20,00 m. i.2) Producto Escalar de dos (2) vectores
En éste caso el resultado de la operación es un “escalar”.La forma de representación de tal operación es la siguiente: A . B = C, donde
con el punto ( . ) se representa el referido producto.El mismo tiene como magnitud o valor numérico lo siguiente:
A . B = A B cos θ, o sea el producto de los valores numéricos de los vectores
por el coseno del ángulo entre ellos conformado.Propiedades del producto escalar
a) A . A = A2 ------------------------->
b) A . B = 0 --------------------------->
que implica que el ángulo θ valga cero.que significa que el ángulo θ vale π/2,
y que encierra la condición de
perpendicularidad entre ambos
vectores.c) A . B = B . A ----------------------->
propiedad conmutativa (observar que en
cada uno de los productos señalados
el cos θ es el mismo).d) C . (A + B) = C . A + C . B ---------> que implica que éste producto es
“distributivo” respecto de la suma.-
B
A+B
β
δ
A
Figura 7
α
C
O
38
a
b
ingeddb
De la figura anterior se extrae que:
C . (A + B) = C (A + B) cos δ = C (Ob)
Además: C . A = C A cos α = C (Oa)
y también:
C . B = C B cos β = C (ab)
Por tanto sí se procede a efectuar la suma señalada más
arriba, resulta:
C . A + C . B = C ( Oa + ab) = C (Ob) con lo que se demuestra lo que se deducía
de la gráfica.En el producto planteado resulta conveniente recordar
entonces los resultados de los productos entre los versores unitarios:
i.i=j.j=k.k= 1
i.j=j.k=k.i= 0
Como se ha planteado anteriormente aquí también se
puede expresar tal producto por medio de las componentes rectangulares de los
vectores involucrados, arribándose a la siguiente ecuación:
A . B = A x Bx + A y By + A z Bz
Esta última expresión tiene aplicaciones interesantes como:
A . A = A2 = A x2 + A y2 + A z2
De igual modo que para la suma de vectores, se puede
deducir una fórmula equivalente a la señalada anteriormente como 1:
r2 = (r1 + r2) . ( r1 + r2) = r12 + r22 + 2 r1 r2 cos θ
Ecuación ésta que es aplicable para cualquier número de
vectores actuantes.3) Producto Vectorial de dos (2) vectores
Este producto que se representa por el signo “ x ” y se
muestra como A x B, da como resultado “otro vector” que resulta ser
perpendicular al plano definido por los vectores originales (concepto de dirección),
que avanza según la regla de la mano derecha, tirabuzón o batimiento (concepto
del sentido) al cual se le asigna por convención un signo, que resulta ser positivo
en el sentido contrario al de las agujas del reloj y negativo en el mismo sentido que
las agujas del reloj.-
39
ingeddb
__
+
Pulgar
Índice
Dedo Mayor
Y que además posee una magnitud o valor numérico
definido por:
│A x B│ = A B sen θ
AxB
B
Ooo
θ
Figura 8
A
BxA
Propiedades del producto vectorial
a) A x B = (- B x A ) ------------------------> que implica que éste producto no es
conmutativo.b) A x B = 0 -----------------------------------> que significa que sen θ = 0 o sea que
los vectores son paralelos.c) A x B ----------------------------------------> representa el área del paralelogramo
formado por dichos vectores, o
también puede interpretarse como
el doble del área del triángulo
formado con su resultante, tal cual
se muestra en la siguiente figura.-
40
ingeddb
AxB
B
Figura 9
O
θ
h
π/2
A
d) C x (A + B) = (C x A + C x B )
-------------------->
que significa que el producto
vectorial es “distributivo”
respecto de la suma.-
Tal cual se planteo con anterioridad, la comprobación de la
anterior propiedad se simplifica cuando los vectores resultan ser coplanares.y (+)
b
B
A+B
β
Figura 10
a
A
δ
α
x (+)
O
C
Además no debemos perder de vista que los tres productos
que aparecen en la propiedad identificada como d) resultan ser perpendiculares a la
hoja de papel.Tal cual se ha planteado con anterioridad, se cumple
entonces con lo siguiente:
│ C x (A + B │ = │ C │ │ A + B │ sen δ = C (Ob)
│ C x A │ = C A sen α = C (Oa)
41
y también:
│ C x B │ = C B sen β = C (ab)
ingeddb
Procediendo a efectuar la suma propuesta, resulta que:
│ C x A │ + │ C x B │ = C (Oa + ab) = C (Ob)
También en ésta ocasión debemos reflejar el resultado de
los diferentes productos vectoriales que resultan de combinar los vectores unitarios:
ixj = -jxi = k
jxk = -kxj = i
kxi = -ixk = j
ixi = jxj = kxk = 0
Sí expresáramos los vectores A y B en función de sus
respectivas componentes ortogonales y simultáneamente aplicamos la propiedad
distributiva antes desarrollada, se arribaría a la siguiente expresión:
A x B = i ( Ay Bz – Az By ) + j ( Az Bx – Ax Bz) + k ( Ax By – Ay Bx)
Otra manera de exponer la última ecuación es por medio
de determinantes, de acuerdo a siguiente formato:
i
j
k
Ax
Ay
Az
Bx
By
Bz
AxB =
Ejemplo Aplicativo 2.2)
Se cuenta con dos (2) vectores posición coplanares (mismo plano)
de las siguientes características: uno de 11,00 m ubicado a 32° con respecto al eje
positivo de las x, y el otro de 6,00 m que se encuentra formando un ángulo de 140°
respecto del mismo eje que el primero. Encontrar la resultante de ambos en forma
analítica.y (+)
140°
r1
r2
32°
x (+)
O
42
ingeddb
Deberemos plantear primeramente las componentes de cada vector:
r2x = r2 cos 140° = - 4,596 m
r2y = r2 sen 140° = 3,858 m
r1x = r1 cos 32° = 9,328 m
r1y = r1 sen 32° = 5,83 m
Luego:
rx = r1x + r2x = 9,328 m + ( - 4,596 m) = 4,732 m
ry = r1y + r2y = 5,83 m + 3,858 m = 9,688 m
Y la resultante aplicando el Teorema de Pitágoras, valdrá entonces:
___________
______________________
2
2
r = √ rx + ry
= √ (4,732 m) 2 + (9,688 m) 2 = 10,78 m
Además la dirección se determinaba como:
tg α = ry / rx = 2,047
o sea que: α = 64° medidos respecto del eje x +
Ejemplo Aplicativo 3.2)
Se le ha dado dos vectores fuerza que vienen representados
por las siguientes ecuaciones vectoriales:
F1 = 8 i + 2 j
y
F2 = - 3 i + 9 j
Determinar: a) su producto escalar. b) su producto vectorial. c) el ángulo entre ellos
conformado.De acuerdo a lo estudiado, resulta:
F1 . F2 = F1x . F2x + F1y . F2y = 8 (-3) + 2 (9) = - 24 +18 = - 6
a)
F1 x F2 = (8 i + 2 j) x (- 3 i + 9 j ) = 72 k + (+ 6 k) = 78 k
b)
F1 . F2 = F1 F2 cos θ >>>>>>
cos θ = - 6 / 78,293 = - 0,0766
43
F1 . F2
-6
cos θ = ------------- = --------------------------------------F1 . F2
2
2
2
2
√ 8 +2 .√ 3 +9
>>>>>>>>>>>>>>>>
θ = 94,4 °
c)
ingeddb
Ejemplo Aplicativo 4.2)
Se le presenta una situación de vectores coplanares, donde le
dan como datos los siguientes: r1 = vector posición uno = 4,00 m; r = vector resultante
de la suma entre los vectores r1 y r2 = 8,52 m; β = ángulo que se conforma entre el
segundo vector y la resultante = 25°, y le piden determinar: a) el valor del ángulo que
se forma entre el vector r1 y el resultante r. b) el valor del vector posición r2. c) el valor
del ángulo conformado entre los vectores r1 y r2.Sabemos que:
r
r2
r
r1
r2
----------- = ----------- = ----------sen Θ
sen β
sen α
(1)
β
α
Θ
α+β= Θ
(2)
r1
r
8,52 m
De 1): sen Θ = -------- sen β = ---------------- 0,423 = 0,90 >>>>>
r1
4,00 m
Θ = arc sen 0,90
Θ ≈ 64,3°
Luego de 2) resulta que: α = Θ - β = 64,3° - 25° ≈ 39,3°
a)
Volviendo a la ecuación 1), se obtiene:
sen α
sen α
0,633
r 2 = ----------- r = ------------ r1 = ----------sen Θ
sen β
0,90
De lo antes calculado:
!!!!!!!!!!!
8,52 m
0,633
= -----------------0,423
4,00 m
r2 ≈ 6m
b)
Θ ≈ 64,3°
c)
Para los alumnos
!!!!!!!!!!
Verificar estos resultados aplicando el “Teorema del Coseno”
44
ingeddb
≈
SEMINARIO UNIVERSITARIO – CÁTEDRA DE FÍSICA
GUÍA DE PROBLEMAS DE FÍSICA A RESOLVER
UNIDAD 2 : VECTORES
1.2)
La velocidad de una partícula que se encuentra moviendo en el plano (x,y)
está identificada por un valor numérico de 11,00 m / s y un ángulo de 110°
medidos respecto del eje x positivo. Determinar las componentes del
referido vector velocidad.-
2.2)
Un vector fuerza F posee componentes Fx = + 12,00 unidades y
Fy = - 92,00 unidades. El valor numérico de tal vector, resulta ser entonces:
(demostrar y luego marcar cual de las siguientes respuestas es la correcta):
a) 92,00 unidades
b) 91,00 unidades
c) 33,00 unidades
d) ninguna de las anteriores
3.2)
Un vector velocidad posee las siguientes componentes: Vx = - 21,00 unidades
y Vy = 56,00 unidades. Hallar: a) el valor numérico o magnitud del tal vector.
b) la dirección del mismo.-
4.2)
Sí en una operación con dos vectores Ā y Ū se comprueba que la magnitud de
la suma y de la diferencia son iguales, demuestre cómo resultan estar ubicados
ambos vectores entre sí.-
5.2)
Dado dos vectores representados como: Ā = (3 i + 4 j – 5 k)
y
Ē = ( - i + j + 2 k ), encontrar: a) el vector resultante. b) el valor numérico del
vector resultante. c) el vector diferencia (Ā – Ē). d) el ángulo conformado entre
los vectores datos.-
6.2)
En el análisis de un movimiento le han proporcionado los siguientes vectores
posición correspondientes al vuelo de un aeroplano: Ā = (3 i – 2j) y el
Ū = (- i – 4j), y le piden calcular: a) (Ā + Ū). b) (Ā – Ū). c) │ Ā + Ū │.
d) │ Ā – Ū │. e) la dirección que se origina tanto en el vector (Ā + Ū) como en
el vector (Ā – Ū), respecto del eje horizontal x.-
45
ingeddb
7.2)
Cuenta con tres vectores definidos como: A = ( 6 i – 8 j ); B = ( - 8 i + 3 j ) y
C = ( 26 i + 19 j ), y verifica que cuando produce la siguiente operación:
(a Ā + b B + C), obtiene como resultado cero. Determinar los valores de las
cantidades a y b.-
8.2) Dados dos vectores posición representados como: r1 = ( 4 i + 4 j – 8 k) y
r2 = ( + i – 6j – 5 k), su vector suma vale: (demostrar e indicar cuál de las
siguientes respuestas es la correcta):
a) r1 + r2 = (4 i – 24 j + 40 k)
b) r1 + r2 = (3 i – 2 j – 3 k)
c) r1 + r2 = (5 i – 2 j – 13 k)
d) ninguna de las anteriores
9.2)
Un repartidor de facturas de servicios públicos en su moto, debe desplazarse
inicialmente 400,00 m en la dirección Oeste del Norte que forma un ángulo de
30°. A continuación efectúa otro desplazamiento de forma tal que el
desplazamiento total llevado a cabo fue de 600,00 m en la dirección que forma
un ángulo de 20° al Sur del Oeste. Encontrar el valor numérico y la dirección
del segundo de los desplazamientos realizados.-
10.2) Un vector como el Ā posee única componente x ( - ) igual a 3,00 cm de
longitud y única componente y (+) igual a 2,00 cm de longitud.
a) Dar la expresión del vector Ā empleando la notación de vectores unitarios.
b) Determine el valor numérico y la dirección
del vector Ā.
c) ¿Qué vector Ū cuando se lo suma al Ā nos da un vector resultante o neto
sin componente en la dirección x y una componente en la dirección y ( - ) de
4,00 cm de longitud ?.11.2) Dadas las coordenadas de dos (2) puntos tales como P1 = (4;
P2 = (- 3; 6; 12), encontrar la distancia entre dichos puntos.-
5; - 7) y
12.2) Las posiciones del movimiento de una nave espacial vienen identificados por
los siguientes vectores: Ā = (3 i – 4 j + 4 k) y Ē = (2 i + 3 j – 7 k). Determinar:
a) el valor numérico de los vectores definidos como: C = (Ā + Ē)
y
D = (2 Ā – Ē). b) Exprese los vectores C y D en función de sus componentes
rectangulares.13.2) Dados los siguientes vectores posición: Ā = ( 3 i + 3 j ) , Ū = ( i – 4 j ) e
Ī = ( - 2 i + 5 j ), aplicando el método de las componentes determinar:
a) el valor numérico y la dirección de un vector definido como
Ō = ( Ā + Ū + Ī ). b) ídem anterior para otro vector expresado como:
V = ( - Ā - Ū + Ī ).-
46
ingeddb
14.2) Dados un par de vectores tales como: A = ( - i + 11 j ) y B = ( 5 i – 5 j), el
ángulo que conforman entre ellos vale: (demostrar e indicar cuál de las
siguientes respuestas es la correcta):
a) θ = 140,2 °
b) θ = 39,83°
c) θ = - 140,2 °
d) ninguna de las anteriores
15.2) Dado un vector A (oblicuo agudo con la horizontal) y otro B ( horizontal
positivo) y un paralelogramo MNOP como se muestra, proceda a expresar los
siguientes vectores: MO, NO, OP y PN, en función de los vectores A y B.N
O
P
M
16.2) De acuerdo a lo estudiado y para los siguientes casos, exprese las propiedades
que poseen como tales los siguientes vectores “A” y “B”: a) A + B = A – B.
b) A + B = C y | A | + | B | = | C |. c) A + B = C y A2 + B2 = C2.
d) | A + B | = | A – B |.-
17.2) En un triángulo como el que se muestra de lados a y b, demuestre que el área
del mismo tiene un valor de:
A = 1 / 2 | a x b |.-
a
h
α
b
18.2) Dados dos vectores posición representados como: r1 = ( 4 i + 4 j – 8 k) y
r2 = ( + i – 6j – 5 k), su producto escalar vale:
a) r1 r2 = (4 i – 24 j – 40 k)
b) r1 . r2 = (4 – 24 + 40) = + 20
c) r1 . r2 = ( - 4 + 24 - 40) = - 20
d) ninguna de las anteriores
Demostrar y marcar la respuesta correcta.47
ingeddb
19.2) Nos han dado dos vectores posición representados como: r1 = (3 i + 4 j – 5 k)
y r2 = ( - i + 2 j + 6 k). Determinar: a) sus longitudes. b) su producto escalar.
c) el vector suma. d) su producto vectorial.-
20.2) Contamos con el siguiente sistema de ecuaciones vectoriales:
(a + b) = (11 i – j + 5 k) y (a – b) = ( - 5 i + 11 j + 9 k ), y debemos calcular lo
siguiente: a) el vector a y el b. b) el ángulo que se conforma entre el vector a y
el vector (a + b).21.2) Dados dos vectores tales como el Ē y el Ō, aplicando las propiedades de los
productos escalar y vectorial entre vectores demostrar lo siguiente:
[(ĒxŌ) x Ē].Ē = 0
22.2) Para los siguientes pares de vectores, calcular el ángulo que se conforma
entre ellos:
a) A = - i + 6 j
B=3i-2j
b)
A=3i+5j
B = 10 i - 6 j
c)
A=-4i+2j
B = 7 i - 14 j
23.2) Una moto se desplaza con una rapidez de 10,00 m / s en dirección hacia el
Este. Determine que rapidez debe poseer una segunda moto que habiendo
partido hacia la dirección Nordeste desde el mismo punto y al mismo tiempo
que la primera pero formando un ángulo de 30° con el Norte, siempre se
encuentre al Norte de la ruta seguida por la primera moto.NOTA: para éste modelo de problemas emplear la ubicación correcta de
los puntos cardinales: el NORTE vertical hacia arriba; el SUR vertical
hacia abajo; el ESTE a la derecha del Norte y el OESTE a la izquierda del
Norte.24.2) En una prueba de tiro al blanco móvil con fusil, un competidor en reposo apunta
al objetivo que se ubica a 180,00 m de distancia medida en horizontal y que se
encuentra en movimiento normal al eje del fusil con una rapidez de 3,50 m / s.
Siendo la rapidez de la bala de 140,00 m / s, determinar: a) el ángulo medido
en horizontal que deberá existir entre la dirección del fusil y la del objetivo.
b) a cuantos metros por delante del objetivo debe apuntar el competidor para
hacer blanco.-
48
ingeddb
25.2) En el canal de Panamá para movilizar un barco de mediana envergadura, los
sistemas mecánicos de tierra ejercen una fuerza de 3 x 10 6 N mediante una
cadena de 80,00 metros de longitud. Se sabe que el barco debe navegar
siempre a una distancia de 10,00 metros de las orillas del canal. Calcular:
a) el valor efectivo de la fuerza responsable de que el barco navegue por el
canal. b) la fuerza que debe ejercer el motor del barco para poder mantenerse
siempre a la distancia de 10,00 metros de cada orilla del canal.-
26.2) Un móvil se desplaza con una velocidad v1 de 16,00 m / s que forma con el eje
positivo de las x un ángulo de 32°, mientras que otro móvil se desplaza con una
velocidad v2 de 9,00 m / s formando un ángulo de 180° con respecto al eje x
positivo. Encontrar en modo gráfico y analítico: a) el vector suma de
velocidades ( v1 + v2 ). b) el vector diferencia ( v1 - v2 ). c) el vector diferencia
( v2 - v1 ).27.2) Un vector representativo de una fuerza F posee componentes en las
direcciones x e y que valen respectivamente 11 N y – 7 N. a) muestre en
forma de notación de vectores unitarios la expresión del vector fuerza.
b) determine su valor numérico y su dirección.-
28.2) En un diagrama de vectores representativo de la localización de móviles (GPS)
de seguridad bancaria, nos proporcionan los siguientes datos vectoriales:
r1 = (6 i + 5 j) y r2 = ( - 10 i + 10 j) . Determinar: a) el ángulo existente entre
ambos vectores. b) sí cambiaran los signos de los vectores unitarios de ambos
vectores dato ¿cuánto valdría ahora el ángulo conformado entre dichos
vectores dato?.-
29.2) Cuatro fuerzas coplanares de 30,00; 40,00; 20,00 y 50,00 N respectivamente
se encuentran actuando simultáneamente sobre una partícula. Los ángulos que
existen entre cada una de la fuerzas en forma consecutiva son de 50°, 30° y
60° respectivamente. Determinar: a) la magnitud o valor numérico de la fuerza
resultante. b) el ángulo que conforma tal resultante con la fuerza de 30,00 N.-
30.2) Se han medido tres (3) vectores desplazamientos efectuados por un avión tanto
en valor numérico como en dirección, tal como se indica a continuación:
r 1 = 76,00 km, conformando un ángulo de 42° con respecto al eje X (+).r 2 = 12,00 km, ubicado sobre el eje Y (-).r 3 = 108,00 km, conformando un ángulo de 210° respecto del eje Y ( -).Calcular: a) el vector suma r = ( r 1 + r 2 + r 3 ) . b) el ángulo que se podrá
medir entre tal vector suma y el vector desplazamiento r 1.____________________________________________________________________
49
ingeddb
UNIDAD I I I
CINEMÁTICA
Se entiende como tal a la parte de la FISICA responsable
de analizar los movimientos independientemente de que los produjo y como los
produjo.Los movimientos, entendiendo como tal concepto al cambio
de posición que ocupa un cuerpo a medida que transcurre el tiempo, se pueden
clasificar de dos (2) maneras:
1. En función de “d
donde” se mueven.2. En función de “c
cómo” se mueven.Para complementar el estudio de los movimientos, resulta
necesario aclarar que cuando nos refiramos a un cuerpo el mismo reviste el carácter
de muy pequeño respecto de otros cuerpos que participan en el fenómeno que se
esté analizando, y entonces se lo identifica como cuerpo puntual, punto material o
partícula.Para identificar las características de lo señalado en el
punto 1), resulta indispensable definir el concepto de “trayectoria” entendiendo como
tal a la curva continua que se conforma vinculando las posiciones sucesivas que
ocupa una partícula cuando se mueve. En tal sentido los movimientos se pueden
clasificar del siguiente modo:
1.1)
Unidireccionales (única dirección ≡ recta)
1.2)
Bidireccionales (dos direcciones ≡ plano)
1.3)
Tridireccionales o Tridimensionales (tres direcciones ≡ espacio)
En cambio para mostrar las particularidades que resulta de
lo expresado en 2), debe indicarse lo que se denominan “estados de movimiento”,
los cuales son los siguientes:
2.1) Estado de reposo: (velocidad constante igual a cero)
2.2) Estado de movimiento uniforme: (velocidad constante distinta de cero)
2.3) Estado de movimiento variado: (velocidad variable)
50
ingeddb
MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO
A continuación y a modo de poder estudiar los distintos
movimientos, se va a proceder a emitir algunas definiciones importantes de aplicación
general:
a) Camino o distancia recorrida: resulta ser aquella que dista por ejemplo entre
dos puntos a y b, de modo tal que sí nos movemos de uno hacia el otro y
retornamos al primero, la distancia total recorrida resulta ser la suma de
( ab + ba ), y tiene el carácter de una “magnitud escalar”.-
Tal cual se puede deducir tal distancia recorrida nunca va a resultar nula sí la
partícula se encuentra cambiando de posición, es decir que cuando hay
movimiento y sin importar hacia donde sea el mismo para obtener ésta
distancia recorrida se debe a proceder a sumar todos los parciales efectuados.-
ida
a
b
vuelta
Distancia o camino recorrido en una dirección
Figura 1
51
ingeddb
b) Sistema de referencia: se considera como tal a todo elemento que se utiliza
para referir todo movimiento, y poder definir las magnitudes del mismo.-
O
O

O : origen
X (+)
І
Sistema de referencia unidireccional
Figura 2
c) Vector posición: es aquel vector que se utiliza para identificar las posiciones
que ocupa una partícula cuando se mueve, y se lo define como aquel que nace
en el origen del sistema de referencia utilizado y termina en donde se ubica
dicha partícula para un tiempo específico. Se lo designa como r.El mismo puede ser estudiado tal como se vio en la Unidad 2 por medio de su
valor numérico y su pendiente dada por la tg θ, o también por sus componentes
de acuerdo al sistema de referencia elegido, y finalmente expresado en término
de los versores unitarios correspondientes.__________
r = √ r x2+ r y2
tg θ =
rx
=
ry
----------rx
r . cos θ
r y = r . sen θ
r = rx . i + r y . j
52
ingeddb
Y (+)
(trayectoria)
P (posición)
r
Sentido positivo
θ
O
X (+)
Sistema de referencia bidireccional
Figura 3
d) Desplazamiento: utilizando el ejemplo anterior, esta magnitud que reviste el
carácter de “vectorial”, implica la diferencia entre el vector posición final
menos el inicial es decir ( ba – ab ) = 0. Esta particularidad nos pone de
manifiesto que bajo ciertas circunstancias, el desplazamiento puede resultar
nulo (por ejemplo cuando se retorna al punto de partida fijado en un
movimiento).-
53
ingeddb
y (+)
P1
(trayectoria)
r1
Δr
P2
r2
O
Sentido positivo
x (+)
Desplazamiento: Δr = (r2 – r1) (vector)
Sistema de referencia bidireccional
Figura 4
e) Rapidez y Velocidad: en general y a modo de prepararnos para comprender
los conceptos de la magnitud velocidad, se procederá a definir lo siguiente:
- Velocidad media: resulta ser una “magnitud vectorial” que se la
expresa como la razón entre el desplazamiento efectuado (Δr) y el
tiempo que le implicó efectuarlo (Δt).Δr
VM = ------Δt
- Velocidad media escalar o rapidez: se entiende como tal el cociente
entre la distancia total recorrida Δd y el tiempo que nos llevó efectuarla,
revistiendo el carácter de una “magnitud escalar”.-
VM
Δd
= -----Δt
Justamente por su concepción el concepto de velocidad
media solo sirve para evaluar lo acaecido entre el punto inicial y el final del
movimiento, pero no permite apreciar nada respecto de cómo se ha movido tal
partícula en alguno de los puntos intermedios. Es por ello que también se la conoce
como velocidad promedio.-
54
ingeddb
Por ejemplo sí alguien manifiesta que demoró para ir de la
Ciudad de Mendoza a la de San Martín distantes 40,00 km. 1,00 hora, solo se puede
asegurar que la velocidad media o promedio fue de 40 km / h. Pero pudo ocurrir que
tal conductor estuvo detenido cargando combustible 10 minutos, fue detenido por la
Policía Caminera durante otros 10 minutos, lo que lógicamente implica que en el resto
del tiempo es decir los otros 20 minutos, tuvo que marchar a velocidades superiores a
la indicada para alcanzar el promedio de 40 km / h.En tal sentido resulta necesario definir el concepto de
velocidad en un punto o velocidad instantánea (VI ) aplicando la siguiente
ecuación:
VI = lím
Δt
0
Δx
dx
------- = ------Δt
dt
donde: Δx = vector desplazamiento
x (+)
Δx
θ
t
O
Δt
Figura 5
Δx
donde: tg θ = -------- ≡ pendiente de la gráfica x = f (t) ≡ velocidad instantánea
Δt
Lo antes expuesto implica que el concepto geométrico de
velocidad instantánea, resulta ser el de la tangente en cada punto a la gráfica que
represente x = f (t), y que tal se puede visualizar puede resultar nula, positiva o
negativa.-
55
ingeddb
Ejemplo Aplicativo 1.3)
Un hámster demora 6,00 s en dar una vuelta completa alrededor
de un aro metálico circular de 1,85 m de longitud. Hallar: a) la rapidez media.
b) la velocidad media.-
V media escalar = rapidez =
∆x
1,85 m
--------- = -------------∆t
6s
∆r
0m
V media vectorial = --------- = ---------- = 0
∆t
6s
≈ 0,31 m / s
( ∆r = 0, pues vuelve al punto de partida)
f) Aceleración
Cuando por alguna razón se modifica alguna de las propiedades del vector
velocidad, es decir su valor numérico, o su dirección o su sentido, cuando el
tiempo está transcurriendo, tal cambio se manifiesta a través de la magnitud
denominada aceleración.Tal cual se procedió con la velocidad, se pueden definir una aceleración media
(aM ) y una instantánea ( a i ) según las siguientes representaciones:
V2 - V1
aM = ---------------------- =
t2 - t1
Δv
----------Δt
Donde V1 es la velocidad en el instante t1 o inicial y V2 la correspondiente al
instante de tiempo t2 o final del período de tiempo analizado.Igualmente se puede definir por iguales razones que las expuestas para la
velocidad media es decir la circunstancia de considerar solamente el instante
inicial y el final del movimiento y nada de lo intermedio, la denominada
aceleración instantánea o en un punto (magnitud vectorial) como:
a i = lím
Δt
56
0
Δv
---------Δt
=
dv
--------dt
ingeddb
Donde Δv representa el vector variación de velocidad entre dos instantes de
tiempo diferentes.-
v (+)
Δv
θ
t
O
Δt
Figura 6
Δv
donde: tg θ = -------- ≡ pendiente de la gráfica v = f(t) ≡ aceleración instantánea
Δt
Lo antes expuesto implica que el concepto geométrico de
aceleración instantánea, resulta ser el de la tangente en cada punto a la gráfica que
represente v = f (t), y que tal se puede visualizar puede resultar nula, positiva o
negativa.g) Movimiento unidireccional con velocidad constante
Para concretarse tal movimiento debe cumplimentarse que no se modifiquen ni el
valor numérico ni el sentido del vector velocidad, ya que la dirección está fijada
de antemano.Tal situación se muestra en la siguiente figura en donde se han representado
tanto las distancias recorridas (x1, x2 y Δx), como los vectores posición y el
desplazamiento logrado (r1, r2 y Δr).-
57
ingeddb
V1
V2
P1
P2
O
X(+)
∆x
x1
x2
Figura 7
r1
r2
∆r
∆ x = (x 2 - x 1 ) = distancia recorrida
(escalar)
∆ r = (r 2 - r 1 ) = desplazamiento
(vectorial)
Sistema de referencia unidireccional
Bajo tales circunstancias las ecuaciones generales a emplearse son las
siguientes para un movimiento sin aceleración:
V2 = V 1 + a t
(1)
V2 = V1 = V0 = velocidad inicial = constante
(2)
X = X0 + V0 t + 1 ∕ 2 a . t2
(3)
V + V0
(X + X0) = --------------- . t
2
(4)
donde: X0 es la posición inicial = 0 (por ejemplo)
V0 es la velocidad inicial
a = aceleración = 0
X = V0 t
(5)
V 2 2 = V 1 2 + 2 a (X – XO)
donde: V2 = V1 = V0 = cte.
(6)
y también
X0 = 0
a=0
58
ingeddb
V 2 2 = V 1 2 = constante
VM
o sea:
V1 + V2
= ------------------2
V2 = V1 = V0 = constante
= V0
(7)
(8)
Otra forma de ver y entender un Movimiento Rectilíneo
Uniforme (MRU), es a través del Análisis Gráfico a partir de las ecuaciones
señaladas precedentemente como (1), (2), (3) y (4), mediante la representación de
las funciones x = f (t), v = f (t) y a = f (t) tal como se muestra a continuación:
x(+)
x(+)
x(+)
v>0
v>0
v>0
t
O
x0
v=0
v=0
v=0
t
x0
O
v<0
v<0
v<0
t
O
x0 = 0
x0 > 0
x0 < 0
Condiciones Iniciales
v(+)
v>0
( x – x0)
v=0
t
O
v<0
a (+)
a=0
O
59
t
ingeddb
h) Movimiento unidireccional con aceleración constante
En éste caso se presenta solamente la variación del valor numérico del vector
velocidad de acuerdo al sistema de referencia indicado al inicio de éste tema y
las ecuaciones a emplearse son las siguientes:
V2 = V 1 + a t
(9)
X = X0 + V0 t + 1 ∕ 2 a . t2
(10)
Movimiento con
aceleración constante
V 2 2 = V 12 + 2 a (X – XO)
(11)
(V1 + V2 )
( X – X0 ) = ----------------- . t
2
(12)
Para considerar que un movimiento es acelerado se debe
verificar que los signos tanto de la velocidad como de la aceleración sean
coincidentes (ambos positivos o ambos negativos). En cambio para que resulte
desacelerado los signos tanto de la velocidad como de la aceleración deben ser
distintos (uno positivo y el otro negativo o viceversa).Al igual que en el MRU, los Movimientos Rectilíneos
Uniformemente Variados (MRUV) se pueden plantear, analizar y estudiar por medio
del Análisis Gráfico a partir de las ecuaciones señaladas como (9), (10), (11) y (12),
es decir graficar las funciones x = f (t), v = f (t) y a = f (t), de acuerdo al siguiente
detalle:
x(+)
x(+)
x(+)
a>0
a>0
a>0
θ
θ=0
θ
a<0
x0
x0
x0
a<0
a<0
O
v0 = 0
(pendiente nula)
60
t
t
O
v0 > 0
(pendiente + )
t
O
v0 < 0
(pendiente - )
ingeddb
v(+)
v(+)
v(+)
a>0
a>0
a>0
a=0
t
O
a=0
t
O
v0
a=0
v0
a<0
a<0
t
O
a<0
v0 = 0
v0 > 0
v0 < 0
Condiciones Iniciales
a (+)
a>0
a=0
t
O
a<0
Dentro de ésta especie de movimientos existe uno que se
desarrolla siguiendo una dirección vertical, y sobre la partícula que lo lleva a cabo
actúa una aceleración específica vertical y hacia abajo, denominada aceleración de la
gravedad para la cual adoptaremos el valor de g = - 9,80 m / s2.Tal movimiento se lo conoce como de “Caída Libre o Tiro
Vertical”, y responde al siguiente sistema de referencia:
61
ingeddb
y(+)
P
Figura 8
P
x (+)
P
O
Las ecuaciones específicas a utilizarse, son las siguientes:
V = V0 + ( - g ) t
Y = Y0 + V0 t + 1 ∕ 2 (- g ) . t2
V2 = V0 2 + 2 (- g) ( Y – Y0 )
(13)
(14)
Movimiento con aceleración
constante
(15)
( V + V0 )
( Y – Y0 ) = ------------- . t
2
(16)
Resulta importante destacar que los signos
consignados en todas las ecuaciones anteriores, siempre son los que en ellas
figuran, y que solo se modifican cuando cambian los signos de las magnitudes
del movimiento que aparecen en las mismas, tal como se muestra en la caída
libre, con la aceleración de la gravedad, por ejemplo.Ejemplo Aplicativo 2.3)
Un móvil incrementa su velocidad de 10,00 m / s a
32,00 m / s cuando desarrolla tal movimiento sobre una recta horizontal, y recorre en
tal circunstancia una distancia de 100,00 m. Determinar: a) la aceleración alcanzada.
b) el tiempo que necesitó para lograr esa aceleración. c) la distancia total que recorrió
hasta detenerse, supuesta a la aceleración como invariable.v2 - v02
a = -----------------------2.x
v 2 = v 0 2 + 2.a.x
(32,00 m / s ) 2 - 10,00 m / s ) 2
a = ---------------------------------------------------2 . 100,00 m
62
=
4,62 m / s 2
a)
ingeddb
( x – x0 ) = ( v + v 0 ) . t / 2
2 . 100 m
t = -------------------- ≈ 4,76 s
42,00 m / s
v 2 = v 0 2 + 2 (-a) x´
1.024,00 m / s
x´ = --------------------------------2 . 4,62 m / s 2
b)
≈ 110,8 m
x TOTAL = x + x´ = 100,00 m + 110,8 m ≈ 210,8 m
c)
Movimiento bidireccional
El sistema de referencia a utilizar tal cual como se vio con
anterioridad, es el siguiente:
y (+)
V1
P1
r1
Sentido Positivo
P2
∆r
r2
φ1
φ2
Figura 9
V2
x (+)
O
De acuerdo a lo antes definido, cabe recordar para éste
movimiento las siguientes definiciones:
VM
VI = lím
Δt
0
Δr
= -------Δt
Δr
dr
-------- = --------Δt
dt
Velocidad Media Vectorial
Velocidad Instantánea
donde: Δr = vector desplazamiento = ( r2 - r1 )
63
ingeddb
Del análisis de la gráfica anterior, se observa que cuando
hacemos tender (
) indefinidamente Δt a cero, implica que la posición de la
partícula identificada como P2 tiende a la posición marcada como P1 . Esto significa
que el desplazamiento Δr que representa la cuerda o secante entre las posiciones
antes mencionadas, tiende a confundirse con la tangente en la posición P1, con lo que
la velocidad instantánea resulta ser la tangente a la trayectoria en una posición
definida.Puede advertirse claramente que cuando la partícula pasa
de la posición P1 ( t1 ) a la posición P2 ( t2 ) , el vector velocidad pasa del V1 al V2 y
aún cuando el valor numérico fuese el mismo para ambos (por ejemplo 10 m / s) se
ve que sin lugar a dudas se ha modificado su dirección, lo que trae aparejado un
cambio de dicho vector velocidad que se traduce en una aceleración.En consecuencia en todas las trayectorias curvas existirá
una aceleración que siempre estará dirigida hacia la parte cóncava de la curva, tal
como se muestra a continuación tomando como referencia el esquema anterior:
donde: ΔV = ( V2 - V1 ) = V2 + ( - V1 )
V2
ΔV
- V1
a = ΔV / Δt (vector)
Figura 10
a
Es decir tomando en cuenta lo mostrado en la Figura 9,
cuando la concavidad resulta como se muestra hacia la derecha de la posición
P2, resultará aceleración positiva (a > 0), en cambio cuando la concavidad sea
como se visualiza entre la posición P1 y P2 será aceleración negativa (a < 0).Por lo tanto en un movimiento bidireccional existen dos (2)
componentes ortogonales de la “aceleración total” a. La primera que se
produce cuando se modifica el valor numérico del vector velocidad y que
siempre se ubica tangente a la trayectoria en una posición específica que se
denomina aceleración tangencial a t , y otra componente que aparece
64
ingeddb
producto del cambio de dirección del vector velocidad y que se ubica en la
dirección del radio de curvatura que posee la trayectoria en una posición
específica (es decir perpendicular a la dirección tangente) que se denomina
aceleración centrípeta, normal o radial ( a C , a N o a R ).Las mismas quedan definidas como:
a TOTAL ≡ a = a t + a C
a TOTAL
at
( Vector)
_________
≡ a = √ a t2 + a C2
(17)
( Valor numérico) (Pitágoras)
ΔV
= ----------- > < = 0
Δt
y
aC
V2
= ----------- > = 0
R
(18)
(19)
donde : R = radio de curvatura de la trayectoria en un punto
Δ V = cambio numérico del vector velocidad
Entonces en éste movimiento las ecuaciones a emplearse,
resultan ser:
at
V2 = V 1 + a t
(20)
r = r0 + V1 t + 1 ∕ 2 a . t2
(21)
V 22 = V 12 + 2 a (r – rO )
(22)
ΔV
= ----------- > < = 0
Δt
y
aC
V2
= ----------- > = 0
R
(23)
_________
a TOTAL ≡ a = a t + a C ( Vector)
o
a TOTAL ≡ a =
a t2+ a C2
( Valor numérico)
Como modelo de éste tipo de movimientos se puede
plantear el denominado Tiro Oblicuo, el cual consiste en lanzar una partícula con un
vector velocidad inicial v0 que forma con el eje positivo de las x un ángulo θ, y además
considerando que sobre la referida partícula solo se encuentra actuando la
aceleración de la gravedad del lugar en donde nos encontramos y que además en el
instante inicial tal partícula se encuentra ubicada en el origen de coordenadas, o sea
x0 = 0 e y0 = 0, para también t0 = 0.-
65
ingeddb
Tal como se va a demostrar éste movimiento bidireccional
desarrollado por ejemplo en el plano ( x,y ), resulta de superponer un MRU
(Movimiento Rectilíneo Uniforme) que se desarrolla sobre el eje x positivo con otro
MRUV (Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado) que se realiza
simultáneamente sobre el eje positivo de las y, por ejemplo.-
y (+)
V0
Θ
Figura 11
O
x (+)
g
Del diagrama precedente y tal como se ha estudiado, se
puede proceder a determinar las componentes del vector velocidad inicial V0 sobre
cada uno de los ejes dato, originando los siguientes pares de ecuaciones:
V0 X = VO cos θ
V0 Y = VO sen θ
(24)
(25)
Luego empleando la ecuación general: v = vO + at , se
lograría obtener el valor de la velocidad instantánea sobre cada eje:
VX = VOX = VO cos θ = cte.
(MRU)
VY = VOY + (- g) t = VO sen θ - gt
(26)
(MRUV)
(27)
De la ecuación general:
x = xo + Vo t + 1 / 2 a t 2
se
pueden deducir las posiciones instantáneas sobre cada uno de los ejes planteados y
de acuerdo al movimiento correspondiente, resultando:
x = Vox t = Vo cos θ. t
(MRU)
(28)
(MRUV)
29)
e
y = Voy t + 1 / 2 (- g) t 2 = Vo sen θ t - 1 / 2 g t 2
66
ingeddb
Sí ahora despejamos de la ecuación ( 28 ) el tiempo t y lo
reemplazamos en la ecuación ( 29 ) tendremos:
x
x
g x2
y = Vo sen θ ---------------- - 1 / 2 g -------------------- = x tg θ - 1 / 2 ------------------Vo cos θ
Vo 2 cos 2 θ
Vo 2 cos 2 θ
(30)
Ecuación ésta que matemáticamente se puede representar
como:
y=ax–bx2
(31)
que nos está expresando a una curva de tipo parabólica, de eje vertical, con la
concavidad hacia abajo y que se ubica desplazada del origen de coordenadas pero
que pasa por éste, tal cual se muestra en la gráfica siguiente.y (+)
1 Vy=0
Vy
Vo
VX
VX
Figura 12
g
Hmáx
θ
Vy
g
y=0
x (+)
O
2
X (Alcance)
En la misma se han diferenciado tres (3) puntos o estados
particulares, identificados como 0, 1 y 2, y que se distinguen como el origen ( 0 ), el
que se corresponde con la altura máxima que alcanza la partícula medida en vertical
(1) y el final que es cuando la partícula retorna al mismo nivel del que fue lanzada (2).En cada uno de ellos ocurren hechos particulares. En el
origen ( 0 ) se verifica en correspondencia con t 0 = 0 que:
x = xo = 0
67
e
y = yo = 0
ingeddb
En cambio en el (1), solo tiene valor numérico distinto de
cero la componente horizontal VX de la velocidad, con la consecuente anulación de
la componente vertical VY. Partiendo de ésta premisa y empleando la ecuación (27),
se podrá determinar el tiempo que le requiere a la partícula alcanzar tal estado y que
se denomina tiempo de culminación “tc”:
VY = VOY + gt = VO sen θ - gt = 0
VO sen θ
tc = -----------------g
(32)
Y ahora reemplazando tal tiempo en la ecuación (29),
podremos determinar la denominada “altura máxima” Hmáx como:
Vo sen θ
(Vo sen θ) 2
Hmáx = Vo sen θ ------------------- - 1 / 2 g --------------------------- =
g
g2
(Vo sen θ) 2
(Vo sen θ) 2
Vo 2 sen 2 θ
Hmáx = ----------------------- - 1 / 2 ---------------------- = ----------------------g
g
2g
(33)
Además cuando la partícula arriba al estado (2), se verifica
que la altura y vale cero (y = 0), y al tiempo que le demandó se lo designa como
“tiempo de vuelo” tv. Por tanto recurriendo a la ecuación (29), resultará:
y = Vo sen θ t - 1 / 2 g t 2 = 0
t . ( Vo sen θ – 1 / 2 g t ) = 0
(34)
Esta última ecuación matemáticamente posee dos raíces o
valores de t que verifican la igualdad a cero. La primera es cuando se cumple que t =
0, y que nos está ubicando en el origen o estado cero (0) ya evaluado. La segunda
posibilidad es que resulta cero lo que está contenido entre paréntesis, o sea:
2 Vo sen θ
(Vo sen θ – 1 / 2 g t) = 0 despejando el tiempo: tv = --------------------g
Comparando las ecuaciones (32) y (35), concluimos en que:
tv = 2 tc
(35)
(36)
Lo indicado por la ecuación anterior nos certifica que la
partícula tarda el mismo tiempo para ir del estado 0 al 1, que de éste al estado 2.-
68
ingeddb
Además para tal tiempo la partícula ha recorrido en
horizontal la máxima distancia que se denomina “alcance” X.Por tanto recurriendo a la ecuación (28) y reemplazando en
ella el tiempo dado por la ecuación (35), tendremos:
2 Vo sen θ
Vo 2
X = X máx = Vox t = Vo cos θ ---------------------- = ---------- (2 sen θ cos θ) =
g
g
Pero resulta que: (2 sen θ . cos θ) = sen 2 θ
Por tanto, nos quedaría lo siguiente:
Vo 2
X = -------- . sen 2 θ
g
(37)
Examinando la última expresión se puede observar que el
“alcance máximo teórico” se va a verificar para cuando el ángulo θ valga 45 ° por
cuanto la función sen 2 θ adopta el valor máximo posible igual a uno (1). En
consecuencia el alcance máximo teórico valdrá:
Vo 2
X máx = ---------g
(38)
El concepto de teórico antes expresado se refiere a que solo
se aplica cuando para la partícula en movimiento no existe ningún obstáculo en el
medio que se encuentra, o sea que solo se cumple en el vacío o en algún medio ideal
(sin rozamiento ni impedimento de ninguna especie) y cuando g = Cte.Analizando las ecuaciones deducidas y el andar del vector
velocidad en conjunto con el de la aceleración de la gravedad, se puede ver que entre
el estado 0 y el 1 el movimiento desarrollado resulta ser Uniformemente
Desacelerado al encontrarse en todo ese período ambas magnitudes en oposición,
mientras que entre el estado 1 y el 2 es Uniformemente Acelerado habida cuenta
que las magnitudes en cuestión en ese período resultan ser del mismo signo, tal cual
se muestra en la Figura 12.Además también se comprueba que la partícula cuando
arriba al estado 2, lo hace con una velocidad de igual valor numérico que con la que
fue lanzado en el estado 0 pero con distinta dirección (al igual que en el tiro vertical).-
69
ingeddb
Ejemplo aplicativo 3.3)
Una partícula se encuentra en el origen del sistema de
coordenadas (x;y) para t = 0, y posee una velocidad que tiene coordenada en x igual
a 20,00 m / s y en y de – 15,00 m / s. El movimiento que va a describir dicha
partícula en el plano ( x ; y ) solo va a poseer aceleración en la dirección x y de valor
constante igual a 4,00 m / s2. Determinar: a) las componentes del vector velocidad en
función del tiempo, y el vector velocidad neta también en función del tiempo. b) la
velocidad y la rapidez de tal partícula para t = 5,00s.-
vx = v0x + ax. t = ( 20,00 m / s + 4,00 m / s2 . t )
vy = v0y + ay. t = - 15,00 m / s
por cuanto ay = 0
a)
a)
Luego y de acuerdo al concepto de componentes, será:
v = vx + vy = [ ( 20,00 + 4,00 . t ) . i – 15,00 . j ] m / s
a)
Reemplazando en la última ecuación t = 5,00 s, resulta:
v = [( 20,00 + 4,00 . 5 ) . i – 15,00 . j ] m / s = ( 40,00 . i – 15,00 . j ) m / s
vy
- 15,00 m / s
= arc tg ------- = arc tg --------------------- = - 21º
vx
40,00 m / s
Además la rapidez resulta ser el valor numérico de v, y será igual a:
___________
_________________
2
2
v=
vx + vy
=
40 2 + ( - 15,00 ) 2
= 43,00 m / s
b)
b)
b)
Ejemplo Aplicativo 4.3)
Una moto habiendo partido desde el reposo, acelera tal
como se muestra en la gráfica a = f ( t ) que se adjunta. Determinar: a) la velocidad
de tal moto en t1 = 10,00 s y en t2 = 20,00 s. b) la distancia que pudo recorrer en
esos veinte (20) primeros segundos.-
70
ingeddb
a
m/s2
2
1
0
15
202020
20
t(s)
5
10
-1
-2
-3
Modelo típico de un MRUV combinado con un MRU, para aplicación de las
ecuaciones que se muestran a continuación, y con la extracción de valores y
consignas de la gráfica dato aportada.v10 = v0 + a10 . t10 = 0 + 2 m / s2 . 10 s = 20 m / s2
v20 = v15 + a20 . t5 = 20 m / s + ( - 3 m / s2 ) . 5 s = 5 m / s
x1 = v0 + 1 / 2 a1 . t12
a 1 = 2 m / s2
donde: v0 = 0
t1 = 10 s
x1 = 100 m
x2 = x1 + v15 . t2
donde: v15 = 20 m / s
y
t2 = 5 s
x2 = 100 m + 100 m = 200 m
2
x 3 = x2 + v15 . t3 + 1 / 2 a2 . t3
donde : t3 = 5 s
2
y
a2 = - 3 m / s2
2
x 3 = 200 m + 20 m / s . 5 s + 1 / 2 ( - 3 m / s ) 25 s = 200 m + 100 m – 37,5 m =
x 3 = x TOTAL = 262,50 m
71
ingeddb
Ejemplo Aplicativo 5.3)
Un auto en una picada sobre una ruta horizontal recta se
encuentra desplazándose hacia la derecha, habiendo partido desde un punto ubicado
a la izquierda del punto de largada una distancia de 36,00 m, con una rapidez igual a
80,00 km / h. Sí mantiene la aceleración constante e igual a 2,30 m / s 2 pero en
sentido contrario al indicado para la velocidad, hallar: a) el instante de tiempo para el
cual poseerá una rapidez igual a 8,00 m / s. b) el instante en que se detendrá.
c) la posición que ocupará para cuando su rapidez valga – 14,00 m / s. d) el tiempo
que la va a demandar para regresar al punto de partida.-
v0 - v
(22,22 - 8,00) . m / s
t = --------------- = ------------------------------------------ =
a
2,30 m / s2
v = v0 + ( - a) . t
t ≈ 6,18 s
a)
v0
22,22 m / s
td = -------- = ------------------------ ≈ 9,66 s
a
2,30 m / s2
0 = v0 + ( -a ) . td
v2 = v02 + 2 . (-a) . [ x – ( - x0 ) ]
b)
v02 - v2
x = - x0 + --------------------2.a
( 22,22 m / s)2 - ( - 14,00 m / s)2
x = - 36,00 m + ------------------------------------------------- = - 36,00 m + 64,72 m =
2 . 2,30 m / s2
x ≈ 28,72 m
Como:
Resultará que:
c)
x = - x0 (por regresar al punto de partida)
x = x0 + v0 . t + 1 / 2 . (-a) . t2
- x0 = - x0 + 22,22 m / s . t - 1 / 2 . 2,30 m / s2 . t2
72
ingeddb
( 1 / 2 . 2,30 m / s2 ) . t2 - (22,22 m / s) . t = 0
Aplicando la ecuación para resolver una cuadrática como la encontrada, arribamos a
los siguientes valores:
t 1 = 0 (cuando partió)
t 2 ≈ 19,32 s (al regresar)
y
d)
Ejemplo Aplicativo 6.3)
Un cuerpo mientras se desplaza lo hace respondiendo a
la siguiente ecuación: x = ( 2 – 5.t + 14.t 2 ), donde x representa distancia medidas en
metros (m) y t tiempos medidos en segundos (s). Determinar: a) el valor de la
velocidad inicial v 0. b) la aceleración a del movimiento. c) la distancia x recorrida en
un tiempo igual a 10,00 s.Su resolución se puede plantear por dos (2) procedimientos:
A) Derivando la ecuación dato
v = dx / dt = - 5 + 28.t
(v = v 0 + a.t)
Por tanto: v0 = - 5 m / s ( para t = 0)
a = dv / dt = 28 m / s 2
x = 2 – 5.10 + 14.10 2 = ( 2 – 50 + 1.400 ) . m = 1.352 m
B) Comparando Ecuaciones conceptualmente similares (dato y teórica)
(dato)
x = ( 2 – 5.t + 14.t 2 )
con
x = x 0 + v0.t + 1 / 2.a.t 2 (teórica)
por tanto:
x0 = 2m
v0 = - 5 m / s
a = 28 m / s 2
x = x 0 + v0.t + ½.a.t 2 = 2 m + ( - 5 m / s . 10 s) + 1 / 2. 28 m / s 2. (10 s) 2 =
x = ( 2 – 50 + 1.400) . m = 1.352 m
Ejemplo Aplicativo 7.3)
Una bicicleta que partió desde el origen de una carrera
(x 0 = 0 m) se encuentra desarrollando una velocidad que responde a la siguiente
ecuación: v = (20 + 10.t), donde la velocidad v se expresa en m / s y los tiempos t en
segundos (s). Calcular: a) la aceleración a del movimiento. b) la velocidad inicial v 0.
c) el valor del tiempo t para el cual la distancia recorrida valga 42,00 m.-
73
ingeddb
Su resolución se puede plantear por dos (2) procedimientos:
A) Derivando la ecuación dato
a = dv / dt = + 10,00 m / s 2
v = v 0 + a.t = 20,00 m / s + ( 10,00 m / s 2 . 0 s) = 20,00 m / s
42 m = x 0 + v0.t + 1 / 2.a.t 2
( para t = 0 s)
= 0 m + 20 m / s . t + 1 / 2 ( 10 m / s 2. t 2) =
42 m = 20 m / s . t + 5 m / s 2 . t 2
5 m / s 2 . t 2 + 20 m / s . t – 42 = 0
( a.x2 + b.x + c = 0 )
- b +/b 2 – 4.a.c
- 20 +/400 - 4.5.(- 42 )
t 1 – 2 = -------------------------------------------- = ------------------------------------------------ =
2.a
2 . (5)
t 1 = - 5,52 s (descartado)
y
t 2 = 1,52 s
B) Comparando Ecuaciones conceptualmente similares (dato y teórica)
(dato)
v = 20 + 10.t
con
v=v0+a.t
(teórica)
por tanto:
a = 10,00 m / s 2
v 0 = 20,00 m / s
42 m = x 0 + v0.t + 1 / 2.a.t 2
= 0 m + 20 m / s . t + 1 / 2 ( 10 m / s 2. t 2) =
42 m = 20 m / s . t + 5 m / s 2 . t 2
5 m / s 2 . t 2 + 20 m / s . t – 42 = 0
( a.x2 + b.x + c = 0 )
- b +/b 2 – 4.a.c
- 20 +/400 - 4. 5.(- 42 )
t 1 – 2 = -------------------------------------------- = -------------------------------------------------- =
2.a
2 . (5)
t 1 = - 5,52 s (descartado)
74
y
t 2 = 1,52 s
ingeddb
Ejemplo Aplicativo 7.4)
Un lanzador de martillo olímpico para intentar batir el
record existente de 78,65 m, le imprime al mismo una velocidad inicial V 0 de
30,6 m / s que forma con la dirección positiva del eje X un ángulo de 42°. Determinar:
a) el alcance logrado. b) la altura máxima que alcanzó tal martillo. c) tiempo de vuelo
d) ¿ se consiguió lograr lo pretendido ?.V 0 2 . sen 2 α
936,36 m / s 2 . 0,995
X = alcance = ------------------------ = ----------------------------------- ≈ 95,1 m
g
9,80 m / s 2
a)
V 0 2 . sen 2 α
936,36 m / s 2 . 0,448
h MÁXIMA = ----------------------- = -----------------------------------2 .g
19,6 m / s 2
b)
≈ 21,4 m
2 . V 0 . sen α
2 . 30,6 m / s . 0,669
t V = tiempo de vuelo = ----------------------- = --------------------------------g
9,80 m / s 2
SI ( de acuerdo al valor obtenido en “a”)
≈ 4,18 s
c)
d)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
75
ingeddb
MOVIMIENTO CIRCULAR
Este tipo de movimiento en dos direcciones se particulariza
por estar definido en una trayectoria circular de un único radio R y un único centro O.Tal cual se ha visto en los movimientos bidireccionales, la
posición de una partícula P queda definida o por medio de las coordenadas de la
misma, o por el vector posición “r” iniciado en el origen del sistema de referencia y
finalizado donde se encuentra tal partícula.Y (+)
v
P (t)
r
ΔS (arco)
Δθ
Y (+)
O
v
X (+)
R
Figura 13
Sí consideramos que la partícula se encuentra
desarrollando la trayectoria en modo antihorario, para un instante t poseerá una
posición como P (t), una velocidad lineal v tangente a la misma, pudiendo
consecuentemente haber barrido el ángulo Δθ y recorrido el arco ΔS, contados ambos
a partir de la dirección x (+).Justamente estos movimientos circulares se plantean
midiendo ángulos barridos (medidos en radianes) en lugar de distancias recorridas,
empleando magnitudes angulares en lugar de las lineales ya analizadas.Por tanto en primer lugar se pasa a definir a la que se
denomina rapidez angular y que se designa como ω, que pasa a medir el ángulo
barrido en un tiempo determinado:
Δθ
ω = ------(39)
Δt
Del mismo modo a lo ya visto, se podrá definir una rapidez
angular instantánea como:
76
ingeddb
ω=
lím
Δt
0
Δθ
dθ
---------- = ---------Δt
dt
(40)
Tomando en cuenta el sistema SIMELA la unidad que le va
a corresponder a ésta rapidez angular, será:
ω=1/s
ω = rad / s
o como
Debe recordarse que el radián resulta ser el ángulo
comprendido entre dos radios de una circunferencia que interceptan un arco cuya
longitud coincide con la del radio mencionado.-
Arco S = r
θ
O
Figura 14
r
r
Por tanto un ángulo θ S
ubicado en un plano con su vértice
en el centro de la circunferencia de radio r cuando intercepte al arco de largo S,
poseerá un valor que se denomina radián, el cual=se puede determinar cómo:
arco
S
r
Θ = ---------- = ---------(41)
radio
r
Por lo tanto cuando el arco tome un valor igual a la longitud
de la circunferencia o sea 2.π.r, le corresponderá un valor calculable cómo:
2.π.r
Θ = -----------. rad = 2.π.rad
r
Siendo θ = 360°, resultará que:
2.π.rad = 360°
1 rad = 360° / 2.π
Sin embargo estos movimientos requieren expresar a la
velocidad angular como un vector, y la ecuación que la expresa es la siguiente:
77
ingeddb
r x v
ω = --------------r2
(42)
Se muestra un producto vectorial de dos vectores, el de
posición r y el de velocidad lineal v, cuyo resultado será otro vector con las siguientes
propiedades:
 Valor numérico o magnitud:
ω = r . v . sen φ
donde
(43)
φ es el ángulo conformado entre el vector r y el vector v.-
 Dirección:
Perpendicular al plano de la trayectoria, pasando por el centro O. Sentido:
El que indica la Regla de la Mano Derecha o del Tirabuzón, o sea del modo en
como la partícula está girando respecto del centro O (para el caso mostrado,
resultaría ser saliente del plano de la hoja).Como convención se estipula que cuando el sentido de giro resulta antihorario
el signo de ω se considera positivo (ω > 0), y en cambio cuando sea en sentido
horario negativo (ω ˂ 0).Lógicamente sí se produce una variación de la rapidez
angular, aparece el concepto de aceleración angular α cuya expresión del valor
numérico sería:
Δω
dω
α = lím
---------- = --------(44)
Δt
0
Δt
dt
Aplicando el sistema SIMELA, la unidad que el corresponde
a ésta aceleración, será:
α = 1 / s2
o también como:
α = rad / s2
Habida cuenta lo ya estudiado y a lo planteado en la
ecuación (43), cuando la trayectoria sea una circunferencia el ángulo existente entre
el vector posición r y el vector velocidad v resultará igual a 90°, por lo que el
sen φ = 1, resultando entonces que:
ω=v/r
78
(45)
ingeddb
Además y tomando en cuenta la ecuación (45), resultará
que:
α = lím
Δt
Δω
-------- =
0 Δt
lím
Δt
Δv
---------- = 1 / r. lím
r .Δt
Δt
0
Δv / Δ t = a
0
t
/ r
at
α = --------r
(46)
Aceleración ésta que nos está indicando un cambio del
valor numérico del vector velocidad.Además se había visto que la aceleración centrípeta se
calculaba cómo:
v2
( ω . r) 2
a c = -------- = ------------------- = ω 2 . r
r
r
(47)
Aceleración ésta que muestra el cambio en la dirección del
vector velocidad.Consecuentemente se podrá definir la aceleración total
como:
a= √a
2
t
+ac
2
(48)
Lo que se visualiza de lo inserto en las ecuaciones (41),
(45), (46) y (47), es que el factor de conversión entre magnitudes lineales y angulares
resulta ser el radio r de la trayectoria.Tal cual se ha manifestado con anterioridad para estudiar
cualquier movimiento se requieren ecuaciones que contengan a las magnitudes del
mismo.En función de lo planteado cuando en un movimiento
circular se verifique que el vector velocidad angular ω y consecuentemente la rapidez
angular se mantengan constantes, resultará el denominado Movimiento Circular
Uniforme (MCU).-
Las ecuaciones del caso serán entonces las siguientes:
79
ingeddb
MCU
ω = ω0 = cte.
(49)
θ = θ 0 + ω0 . t
(50)
ω2 = ω02
( ω + ω0 )
(θ – θ0) = --------------- t
2
ω = ω0 = cte.
(51)
(52)
Como se ve las ecuaciones presentan el mismo formato
conceptual que las propuestas para un Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU).Consecuentemente cuando lo que ocurre es que tenemos
un movimiento en dónde la aceleración angular es constante, el mismo se denomina
como Movimiento Circular Uniformemente Variado (MCUV). Para el mismo y tal
cual ya se había planteado corresponde aplicar las siguientes ecuaciones:
ω = ω0 + α. t
MCUV
(53)
θ = θ 0 + ω0 . t + 1 / 2 . α . t 2
(54)
ω2 = ω02 + 2 . α (θ –θ0)
(55)
( ω + ω0 )
(θ – θ0) = -------------------- t
2
(56)
Atendiendo a que el movimiento circular resulta ser
repetitivo o sistemático, se entiende conveniente expresar dos (2) magnitudes que
poseen la capacidad de valorar tal aspecto.Las mismas son en primer lugar el Período T que
representa el tiempo que le implica a la partícula en efectuar un ciclo, o giro o vuelta
completa por primera vez alrededor del eje correspondiente. Por tanto en tal
circunstancia el ángulo barrido resulta ser igual a 2 . π . rad, por lo que en función de
lo antes definido, será:
2 . π rad
ω = -----------------T
2.π
T = -----------ω
(57)
Al medir un tiempo, la unidad en el sistema SIMELA (S.I.)
para T será el s.-
80
ingeddb
En segundo término se puede definir a la magnitud
encargada de determinar la cantidad de ciclos, o giros o vueltas efectuadas “n”
alrededor del eje de rotación en un tiempo determinado. La misma se la denomina
Frecuencia f, la cual viene expresada como:
f=n/t
(58)
Para el caso en que n = 1, resulta ser que:
t=T
Por tanto:
f=1/T
(59)
Y la unidad que le cabe en el sistema SIMELA (SI) será la
inversa del s, a la cual técnicamente se la reconoce como Hertz (Hz).Como conclusión y de acuerdo a lo mostrado en las
ecuaciones (57) y (59) resulta que:
2.π
ω = ------------ = 2.π.f
T
(60)
A modo de aclaración cabe señalar que en el lenguaje
común o corriente se suele hablar de unidades tales como revoluciones por minuto
(rpm) y revoluciones por segundo (rps), las cuales corresponden a la magnitud
frecuencia f y no a la velocidad angular ω , existiendo la siguiente correspondencia
numérica:
f = 1 rpm = 1 vuelta / 1 min = (1 vuelta / 1 min) . (1 min / 60 s) = 1 vuelta / 60 s =
f = 1 / 60 Hz
Resultando que:
ω = 2 . π . f = 2.π.1 / 60 Hz = 0,105 rad / s
Ejemplo Aplicativo 8.3)
Una rueda de bicicleta de 0,80 m de diámetro gira con una
aceleración angular constante igual a 1,20 rad / s2, habiendo partido desde el reposo.
Determinar en un punto del perímetro de la misma para el inicio del movimiento:
a) la aceleración tangencial. b) la aceleración centrípeta. c) la aceleración total.-
81
ingeddb
at = α. r = 1,20 rad / s2 . 0,40 m = 0,48 m / s2
ac = ω2 . r = 0 . 0,40 m = 0
a = at = 0,48 m / s2
Ejemplo Aplicativo 9.3)
La misma rueda del ejemplo anterior, en un momento
determinado disminuye su frecuencia de 200,00 rpm a 20,00 rpm en un tiempo de
3,00 s. Calcular para el tiempo indicado: a) la aceleración angular. b) el número de
revoluciones efectuadas n. c) el tiempo que requerirá para detenerse tal rueda.ω0 = 2.π.f = 2.π. 200,00 1 / min . (1 min / 60 s) = 6,7 . π rad / s
ω 3 = 2.π. f = 2 . π . 20,00 1 / min . (1 min / 60 s) = 0,67 . π rad / s
α = ω 3 – ω0 / t = ( 0,67 . π rad / s – 6,7 . π rad / s) / 3,00 s = - 2,01 . π rad / s2
Además:
(θ3 – θ0) = 2 . π rad / rev . (n rev)
(θ3 – θ0) =
Por tanto:
(θ3–θ0)
n = ------------------------2.π
( ω 32 - ω 02 )
---------------------------2.α
( ω 32 - ω 02 )
n = ----------------------- ≈ 5,53
4.π.α
Finalmente:
0 = ω 3 + α.t´
82
t´ = ω 3 / α ≈ 0,33 s
ingeddb
Ejemplo Aplicativo 10.3)
La sierra circular de una carpintería posee un diámetro de
1,20 m, y se encuentra girando respecto de un eje fijo horizontal con una rapidez
angular inicial igual a 6,00 . π rad / s. Producto de una aceleración angular constante
de 3,00 . π rad / s2 logra aumentar su rapidez. Determinar: a) la rapidez angular que
poseerá cuando han transcurrido 4,00 s contados desde el reposo. b) el ángulo
barrido por tal sierra en el tiempo señalado. c) la aceleración lineal de un punto
perimetral de tal sierra en el instante de 4,00 s. d) la aceleración total de tal punto en
el instante de tiempo mencionado.ω = ω0 + α . t = 6,00 π rad / s + 3,00 π rad / s2 . 4,00 s =
= 18,85 rad / s + 37,70 rad / s = 56, 55 rad / s
(θ – θ0) = ω0 . t + 1 / 2 . α . t2 =
= 6,00 .π rad / s . 4,00 s + 1 / 2 . 3,00 π rad / s2 . 16,00 s2 =
= 75,40 rad + 75,40 rad = 150,80 rad
(θ – θ0) = 150,80 rad . (360° / 2 . π) = 8.640,2 °
V = ω . R = 56,55 rad / s . 0,60 m = 33,93 m / s
a t = α . R = 3.π rad / s2 . 0,60 m = 5,65 m / s2
ac = ω2 . R = 3.198,00 (rad / s)2 . 0,60 m = 1.918,74 m / s2
a c >>>>>>>> a t
a= √a
2
t
2
+ac
= √ (31,92 + 3.681.563) ( m / s2 )2
=
1.918,75 m / s2
___________________________________________________________________________________________________
83
ingeddb
SEMINARIO UNIVERSITARIO – CÁTEDRA DE FÍSICA
GUÍA DE PROBLEMAS A RESOLVER
UNIDAD 3: CINEMÁTICA
1.3) Convertir 96 millas / h a : (km / h )
y a ( m / s ).-
( 1 milla = 1,609 km).-
2.3) Pasar una rapidez de 160 km / h a: (m / s) y a (milla / h).-
3.3)
De acuerdo a los sistemas de unidades S.I., transformar una aceleración de
2,56 m / s 2 a: ( mm / s 2 ) y a
( km / h 2 ).-
4.3) Un cohete de fuegos artificiales por un defecto se mueve solamente sobre un eje
horizontal X y se determina que su posición en función del tiempo viene dada
por la siguiente ecuación: x = 5 t 2 + 1, expresando a x en metros y al tiempo t
en segundos. Calcular: a) la velocidad promedio escalar o rapidez en los
siguientes intervalos de tiempo: (2 ; 3) s; (2 ; 2,10) s ; (2 ; 2,001) s ;
(2 ; 2,00001) s. b) la velocidad instantánea para t = 2,00 s.-
5.3) Un automóvil viaja a razón de 12,00 m / s como rapidez media durante un
trayecto de 5,00 km ¿cuánto demora tal recorrido en horas y en segundos?.-
6.3) Un camión se mueve en línea recta a razón de 82,00 km / h durante
5,00 minutos. Luego lo hace a razón de 66,00 km / h durante 4,00 minutos y
finalmente a 45,00 km / h durante 3,00 minutos. Determinar: a) la distancia total
recorrida. b) la rapidez desarrollada. Ambos resultados expresarlos en unidades
del sistema S.I.-
7.3) Un corredor de maratón olímpico, da dos vueltas y media sobre una pista circular
de 54,00 m de diámetro demorando un tiempo de un minuto y medio. Calcular:
a) la rapidez desarrollada. b) la velocidad media vectorial alcanzada.-
84
ingeddb
8.3)
Un camión que parte desde la ciudad de San Rafael hacia la ciudad de
Mendoza distante 205,00 km, lo hace con una rapidez constante de
84,00 km / h. En forma simultánea parte otro desde Mendoza hacia San Rafael
manteniendo una rapidez también constante pero igual a 65,00 km / h.
Determinar: a) el tiempo para el cual ambos camiones se encontrarán sobre la
Ruta Nacional N° 40. b) la distancia contada desde la ciudad de Mendoza en
donde se cruzarán.-
9.3)
Un automóvil de pruebas de velocidad, emplea 15,00 s para alcanzar una
velocidad de 120,00 km / h habiendo partido desde el reposo. Calcular:
a) el valor de la aceleración promedio en m / s 2. b) la distancia que recorrió en
el tiempo indicado, en metros. c) sí la aceleración adquirida se mantiene
constante, calcular el valor del tiempo en segundos que le demandará alcanzar
una velocidad de 210,00 km / h, contados a partir del reposo.-
10.3) El conductor del metro tranvía de Mendoza que lleva una rapidez de
45,00 km / h, ve de pronto que delante de él y a una distancia de 40,00 m se
encuentra en movimiento el último vagón del equipo de mantenimiento de
las instalaciones. Este marcha a una rapidez constante de 4,00 km / h en el
mismo sentido que el metro tranvía. Por tanto tal conductor aplica los frenos
con lo que consigue alcanzar una desaceleración constante igual a 1,00 m / s2,
mientras que el equipo de mantenimiento continúa moviéndose con la
velocidad antes indicada. Determinar: a) ¿chocarán el metro tranvía con el
equipo de mantenimiento?. b) Sí se produjese el choque, ¿dónde ocurrirá el
mismo?.-
11.3) Una partícula se encuentra en movimiento sobre la dirección X, y lo hace de
acuerdo a la siguiente ecuación: x = 2 + 3 . t + 1. t 2 donde x viene medida
en m y el tiempo t en s. Utilizando las ecuaciones del movimiento como
referencia y comparación determinar para cuando t = 4 s: a) la distancia
recorrida por la partícula. b) la velocidad de la misma. c) la aceleración que
obtuvo.-
12.3) En la siguiente gráfica se muestra el movimiento de tres (3) partículas A, B y C,
siguiendo todas idénticas trayectorias. Marcar entre los paréntesis, la letra que
se corresponde con el móvil que:
85
ingeddb




Viaja más rápidamente
A los cuatro (4) segundos, está detrás del A
Llega antes a la marca de los tres (3) km
Es el último que cruza al móvil C
x (km)
C
3
B
A
2
1
t (s)
0
1
2
3
4
5
13.3) Indique en cuales tipos de los movimientos que se indican a continuación:
(MRU); (MCU); (MRUV) y (MCUV) se aplican las siguientes ecuaciones:
a) v = x / t
b) ω = Cte.
c) v2 = vo 2 + 2.a.x
ω - ω0
d) t = --------------α
ω + ω0
e) θ = --------------------- • t
2
86
ingeddb
14.3) El desarrollo del movimiento de un automóvil sobre un camino recto, viene
representado por la gráfica de la velocidad en función del tiempo v = f ( t ) que
se muestra. A partir de la misma proceda a graficar: a) a la aceleración en
función del tiempo. b) a la posición en función del tiempo. c) calcular el valor
de la aceleración para t = 6 s. d) determinar la distancia recorrida por la
partícula en los intervalos de tiempo (0 ; 6) s y (0 ; 9) s.v (m/s)
8
6
4
2
0
-2
t (s)
3
4
5
6
7
8
9
-4
-
6
-
8
15.3) En una picada de autos en Lavalle, compiten un Fiat 128 que puede desarrollar
2
una aceleración constante de 4,90 m / s contra un Corsa. Sí ambos parten
desde el reposo, pero el Corsa sale 1,00 s antes que el Fiat y lo hace con una
2
aceleración constante de 3,50 m / s , determinar: a) el tiempo que le va a
demandar al Fiat en alcanzar al Corsa. b) la distancia que deberá recorrer el
Fiat antes de alcanzarlo. c) las velocidades de ambos autos en el instante que
se produce el alcance.-
16.3) En una carrera de rally, una camioneta para tomar una curva acciona los frenos
y disminuye su velocidad de 215,00 km / h hasta 60,00 km / h en un tiempo
de 6,00 s. Calcular: a) la aceleración desarrollada por dicha camioneta.
b) la distancia que recorrió en esos 6,00 s que duró el frenado.-
87
ingeddb
17.3) Un tren de pasajeros urbano al llegar a una estación lo hace a una velocidad de
60,00 km / h. Para detenerse en el andén correspondiente, demora 44,00 s.
Determinar considerando que el movimiento resulta ser uniformemente
desacelerado: a) la aceleración desarrollada. b) la distancia que recorrió hasta
detenerse.-
18.3) Una moto en un momento determinado desarrolla una velocidad de
40,00 m / s y la disminuye en modo uniforme accionando las marchas de la
misma a razón de 5,00 m / s 2 .Hallar: a) la velocidad que posee cuando han
transcurrido 6,00 s. b) la velocidad media desarrollada durante esos 6,00 s.
c) la distancia que debió recorrer en esos 6,00 s.-
19.3) Un auto que inicialmente se mueve con velocidad constante v1, comienza a
acelerar a razón de 1,00 m / s 2 durante 12,00 s. Sí dicho móvil recorre en el
tiempo citado una distancia de 190,00 m. a) ¿cuánto valdrá la velocidad v 1 de
tal auto cuando comenzó a acelerar?. b) ¿cuál será la distancia que recorre
hasta detenerse, considerando que la desaceleración lograda resultó del
mismo valor numérico que la aceleración dada como dato ?.-
20.3) Un paquete conteniendo repuesto electrónicos se encuentra en reposo sobre
una rampa (plano inclinado) que forma un ángulo de 22º con referencia a la
horizontal. Considerando que no existe rozamiento, determinar:
a) la aceleración que adquirirá una vez liberado desde la parte superior de tal
rampa. b) el tiempo que demora en recorrer 20,00 m sobre dicho plano
inclinado.21.3) El mismo paquete del problema anterior ahora se encuentra en una rampa que
forma con la horizontal un ángulo de 36º y no habiendo rozamiento entre el
paquete y la rampa, calcular: a) la aceleración que ahora adquirirá una vez
que partió desde el reposo de la parte superior de la rampa. b) la distancia
que habrá recorrido sobre tal rampa en un tiempo de 2,00 s.-
22.3) Desde la parte superior de una rampa para descarga de cubiertas para
camiones, se deja caer una de las mismas a partir del reposo. Sí tal plano
inclinado tiene una longitud de 30,00 m, una altura de 10,00 m y no ofrece
rozamiento alguno, calcular: a) la velocidad de tal neumático cuando llegó a
la base de tal plano inclinado. b) la velocidad del mismo neumático sí se lo
hubiese dejado caer en caída libre desde una altura de 10,00 m.-
88
ingeddb
23.3) Un trineo para nieve partiendo desde el reposo adquiere una aceleración
constante de 2,00 m / s 2 en un tramo recto. Calcular: a) la velocidad que
posee al cabo de 5,00 s. b) la distancia que pudo recorrer en tal tiempo. c) la
velocidad media desarrollada en el mismo tiempo. d) la distancia que habrá
recorrido para el instante en que su velocidad alcanza un valor de 40,00 m / s.-
24.3) En la siguiente gráfica se muestra la posición de un móvil que se encuentra
recorriendo una carretera horizontal en función del tiempo. Aplicando el
concepto geométrico de velocidad: a) trace la gráfica correspondiente de la
velocidad en función del tiempo. b) determine las velocidades en los
instantes de tiempo siguientes: 0,10 h; 0,30 h; 0,80 h y 1,00 h.-
x (km)
45
15
0
0,00
0,10
0,30
0,50
0,80
1,00
t (h)
25.3) En una competencia de bajada de montaña de nieve con tabla, en una
pendiente inclinada recta de 250,00 m de largo a un competidor en caída con
impulso se le miden dos velocidades. La primera de 186,00 km / h al principio
de la rampa y la otra de 214,00 km / h al final de dicha pendiente. Determinar
considerando que no existe rozamiento y que además la aceleración se
mantuvo constante: a) el valor del ángulo de la pendiente. b) el tiempo que le
demandó al competidor recorrer la distancia indicada.-
89
ingeddb
26.3) Analizando la siguiente gráfica de x = f (t), indicar el tipo de aceleración que
posee cada uno de los móviles 1, 2, 3, 4 y 5 que se encuentra desarrollando un
movimiento rectilíneo:
X (m)
1
2
3
O
t (s)
4
5
27.3) Para bajar una carga de resmas de papel desde la caja de una camioneta que
se encuentra a 0,98 m del piso se utiliza un plano inclinado de 3,50 m de largo
que no ofrece rozamiento. Sí a tal carga se le imprime en la caja de la
camioneta una velocidad de 1,03 m / s paralela a tal plano inclinado y hacia
abajo, calcular: a) la velocidad con que arriba al piso. b) el tiempo que le va a
demandar en llegar hasta el piso.-
28.3) Se ha lanzado un objeto en modo vertical hacia arriba con una velocidad inicial
de 9,80 m / s desde la ventana de un edificio que se encuentra a 20,00 m del
piso de la vereda. Encontrar: a) la máxima altura que alcanzará respecto del
nivel de la vereda. b) el tiempo que va a necesitar para alcanzarla.
c) la velocidad que tendrá tal objeto cuando llegue a la vereda. d) el tiempo
total transcurrido desde que fue lanzado hasta que tal objeto llegue a la
vereda.-
90
ingeddb
29.3) Desde una obra en construcción se cae un andamio desde una altura de
26,00 m. Simultáneamente otro obrero lanza en forma vertical y hacia abajo
otro andamio con una velocidad v0. Sí éste andamio choca contra el suelo
0,30 s antes que el que se dejó caer primeramente, calcular: a) el valor
de esa velocidad v0 b) el tiempo que emplea cada uno de los andamios en
llegar al suelo.30.3) Un objeto puntual se deja caer libremente partiendo desde el reposo. Calcular:
a) la aceleración que adquirió el objeto. b) la distancia que recorrió en 3,00 s.
c) la velocidad que alcanzó cuando recorrió 100,00 m. d) el tiempo que le
demanda al objeto en alcanzar una velocidad de 25,00 m / s. e) la distancia
recorrida durante el quinto segundo, contado desde que se lo dejó caer.-
31.3) Un saltador de trampolín olímpico de pileta de agua, una vez efectuado el
impulso necesario adquiere una velocidad vertical hacia arriba de 7,80 m / s
y demora 2,80 s en hacer contacto con el agua. Determinar: a) velocidad
con que llega al agua. b) la distancia total recorrida hasta hacer contacto
con el agua.32.3) Un paracaidista cuando se deja caer desde un avión en caída libre, se le miden
dos (2) velocidades de valores: v 1 = 98,00 km / h y v 2 = 123,00 km / h. Hallar:
a) el tiempo que transcurre entre esas dos (2) velocidades. b) la distancia que
recorre entre ambas velocidades mencionadas. c) la velocidad que tendrá
cuando pasó un tiempo de 1,21 s contados desde el momento que se le midió la
velocidad v 1, y expresarla en m / s y en km / h.33.3) Un aparato para lanzamiento de cohetes para lucha antigranizo efectúa un
disparo con una velocidad de 200,00 m / s que conforma un ángulo de 40° con
la horizontal. Determinar: a) el valor del alcance. b) el tiempo de vuelo.
c) la velocidad y la posición que posee el proyectil cuando han transcurrido
20,00 s, en valor numérico y dirección.-
34.3) Una mísil tierra aire es disparado formando un ángulo de 35° con la horizontal,
arribando al suelo cuando ha recorrido en horizontal una distancia igual a
4,00 km. Calcular: a) la velocidad inicial de ese mísil. b) el tiempo de vuelo.
c) la altura máxima. d) el valor de la velocidad cuando alcanza dicha altura
máxima.-
91
ingeddb
35.3) En un campo de prueba de proyectiles para defensa, se encuentran
desarrollando una práctica lanzándolos con una inclinación de 50° respecto
del suelo y con una velocidad inicial de 400,00 m / s. Los mismos deben
impactar contra una montaña que se ubica a 1.000,00 m del punto de
disparo, distancia ésta medida en horizontal. Determinar: a) el tiempo que le
va a demandar al proyectil hacer impacto contra la montaña. b) la altura del
impacto contra tal montaña, medida desde el suelo.-
36.3) En un movimiento del tipo tiro oblicuo, a la partícula lanzada que se encuentra
en el origen de coordenadas ( x ; y ) se le imprime una velocidad inicial
expresada
por
la
siguiente
ecuación
vectorial:
Vo = 3,00 m / s i + 4,00 m / s j. Determinar: a) el vector velocidad de la
partícula cuando ha pasado 1,00 s de efectuado el lanzamiento. b) la altura
máxima alcanzada. c) el tiempo de vuelo. d) el alcance logrado.-
37.3) En un partido de rugby al producirse la conversión de un try, el punto de disparo
se encuentra a 30,00 m de los postes en forma de “ H ”que se ubican a 4,00 m
del suelo, y la pelota está formando un ángulo de 39 º con la horizontal. Sí el
alcance que se obtiene resulta ser de 60,00 m, determinar: a) el valor de la
velocidad inicial V0 . b) la altura máxima que alcanzó la pelota. c) el tiempo de
culminación. d) demostrar sí la conversión resultó válida o no.-
38.3) Un disco que se encuentra describiendo un Movimiento Circular Uniforme
(MCU), gira a razón de 13,20 radianes cada 6,00 s. Calcular: a) el período T.
b) la frecuencia f. c) el tiempo que le va a demandar girar un ángulo igual a
780°. d) el tiempo que va a necesitar para ejecutar 12,00 revoluciones. Para
las dos (2) últimas preguntas, considerar que se cuenta a partir del estado de
reposo en t 0 = 0.39.3) Para un electrón que se encuentra desarrollando una trayectoria circular
alrededor de su núcleo, se le mide una velocidad lineal v de valor igual a
5
4 x 10
m / s. El campo magnético actuante le obliga a que la trayectoria
descripta tenga una longitud de 3,00 m. Determinar la aceleración centrípeta
que actúa sobre dicho electrón.-
40.3) Una partícula se encuentra desarrollando un movimiento circular cuya
2
trayectoria responde a la siguiente ecuación: θ = (3 . t + 2 . t). Sí los tiempos
viene medidos en s y los ángulos θ en radianes, calcular: a) la velocidad
angular para t = 0 s. b) la velocidad y la aceleración angular para t = 4 s.
c) el ángulo total que pudo barrer en un tiempo de 10,00 s, en radianes y en
grados.-
92
ingeddb
41.3) La velocidad angular de una plataforma circular para adiestramiento de
astronautas, aumenta en forma uniforme de 20,00 rad / s a 30,00 rad / s en un
tiempo igual a 5,00 s. Hallar: a) la aceleración angular de tal plataforma.
b) el ángulo total que recorrió, contado a partir de t 0 = 0.-
42.3) Un cuerpo inicialmente para cuando t = 0, se lo encuentra en la posición θ = 0
y con una velocidad angular ω = 0. Entonces se lo acelera en forma uniforme
sobre una trayectoria circular de 2,80 m de radio de acuerdo a la siguiente
ecuación α = (120,00 . t 2 - 48,00 . t + 16). Encontrar: a) la posición
angular θ y la velocidad angular ω de tal cuerpo para t = 2,00 s b) la
aceleración tangencial at para ese mismo tiempo. c) la aceleración
centrípeta a c también para el tiempo mencionado.__________________________________________________________________
93
ingeddb
UNIDAD I V
FUERZA
Esta magnitud física encuadrada como un vector, tiene
interpretaciones en la vida diaria como la causa que nos permite desplazar objetos,
levantarlos, o para modificar el estado de movimiento de un cuerpo, o para cambiar su
forma.Las fuerzas se presentan de dos (2) formas particulares.
Unas que se perciben como de contacto, por ejemplo la fuerza que ejercemos para
abrir el capó de un automóvil, y aquellas que se manifiestan a la distancia como
puede resultar la fuerza que un imán efectúa sobre un alfiler, y que subsisten por la
existencia de un campo, entendiendo como tal a toda región del espacio donde se
producen fenómenos particulares (campo gravitatorio, campos magnéticos, campo de
golf, campos de fútbol, campos de tenis, etc.).-
LEYES O PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA
Estas son las responsables de establecer las condiciones y
las relaciones particulares entre los cuerpos y las fuerzas como acciones dinámicas,
que se las conoce como las Leyes de Newton.-
Primera Ley de la Dinámica o Primera Ley de Newton o Principio de Inercia
Manifiesta que sí sobre un cuerpo no existe fuerza neta
actuante, el mismo o permanece en el estado de movimiento reposo, o en el de
Movimiento Rectilíneo Uniforme ( MRU ).-
A
continuación
se
muestra
un
esquema
dinámico
representativo.-
94
ingeddb
F1
F2
F 1 = F 2 (Valor numérico)
Misma recta de acción
Sentidos opuestos
Ejemplo de par equilibrado
Figura 1
Se reconoce como par equilibrado a todas dos (2)
fuerzas que resultan del mismo valor numérico, sentidos opuestos y misma recta de
acción (colineales), que poseen consecuentemente una fuerza neta o total igual a
cero, lo que implica que se lo puede aplicar o quitar a un cuerpo y no modificar el
estado de movimiento en que se encuentra.Desde el punto de vista de la estática, se manifiesta que
cuando un cuerpo se encuentra en el estado de reposo absoluto es decir que no se
traslada ni rota, se encuentra en “Equilibrio Estático”.-
Segunda Ley de la Dinámica o Segunda Ley de Newton o Principio de masa
Esta expresa que cuando sobre un cuerpo existe una
fuerza neta o total actuante distinta de cero, el mismo se acelerará en la misma
dirección y sentido que la fuerza actuante, y su valor numérico resultará proporcional
al valor de tal fuerza. La proporcionalidad la establece la magnitud física denominada
como masa inercial, que resulta ser aquella que representa la dificultad que
presentan los cuerpos cuando se pretende modificar su estado de movimiento. Posee
tres (3) propiedades dentro de la física clásica que son: siempre positiva; escalar y
constante.-
95
ingeddb
_
a
F
m
_
_
F=ma
Figura 2
De acuerdo al sistema SIMELA las unidades
correspondientes, habiendo adoptado como unidad patrón para la masa inercial el
kilogramo masa, resultan las siguientes para la fuerza en concordancia con lo
expuesto en la Figura 2 anterior:
F
1 kg
F
1 m / s2
F = 1 kg . 1 m / s2 = 1 N (Newton)
2
1 gr
1 cm / s
2
F = 1 gr . 1 cm / s = 1 dina
F
1 kg
9,80 m / s2
F = 1 kg . 9,80 m / s2 = 1 kgf
Figura 3
96
ingeddb
Justamente la última de las unidades permite expresar una
fuerza particular que es la que ejerce la tierra sobre todos los cuerpos que se
encuentran dentro de su campo de acción gravitatoria, y que se denomina peso de
los cuerpos que se representa como un vector vertical y hacia abajo, y que
responde a la siguiente ecuación:
w=m.g
>>>>>>>>>>>>>
donde: g = 9,80 m / s2
Respecto de los sistemas de referencia debe manifestarse
que en función del enunciado en las Leyes de Newton, los mismos se pueden
clasificar en dos (2) grandes grupos. Los primeros en dónde se cumplen dichas Leyes
que se los identifica como Inerciales, y aquellos en donde no se cumplen las mismas
conocidos como No Inerciales.Esta diferenciación resalta el hecho de que los conceptos
que se enuncian dentro de la FISICA clásica tengan el carácter de relativos, es decir
que su verdad está condicionada a que se cumplan ciertos requisitos
predeterminados, tal como se verá en el desarrollo de las Cátedras de FISICA I y
FISICA II fundamentalmente.Justamente y con referencia a la última de las enunciadas,
cabe mencionar que varios de los conceptos expuestos en ésta Guía se aplicaran
extensamente. Cabe mencionar y a modo de ejemplo los siguientes: Vectores;
Campos; Materia (tipos de cuerpos); Movimientos; Masa; Fuerzas; Trabajo; Energías;
Potencia, etc.-
Tercera Ley de la Dinámica o Tercera Ley de Newton o Principio de Acción y
Reacción.Las condiciones básicas que deben darse para la
aplicación de ésta Ley, son que deben participar más de un cuerpo y que los que
interactúan se encuentren dentro de un mismo campo.Bajo tales condiciones se puede expresar que para el caso
de dos (2) cuerpos, se determina que se ejercen fuerzas de un mismo valor
numérico, colineales (misma recta de acción) y de sentidos contrarios denominadas
de acción una y de reacción la otra aplicadas una en cada cuerpo, tal cual se
muestra en el siguiente esquema:
97
ingeddb
F21
F1 2
m2
m1
CAMPO
F12 = F21 (Valor numérico)
Figura 4
La particularidad de éste Principio que siempre se cumple,
es que solamente se puede visualizar convenientemente cuando las masas de los
cuerpos que interactúan resultan ser del mismo orden de magnitud.-
Rozamiento o Fricción
No es intención de ésta guía analizar los conceptos
técnicos del tema titulado.Sin embargo es necesario introducir la idea del efecto que
provoca el rozamiento en los movimientos, y en especial en el de desplazamiento o
traslación.Lo importante es tener presente que tal fenómeno se
manifiesta por medio de una fuerza, y que ésta siempre se va a oponer al movimiento
que intentemos posea un cuerpo, o al que tenga naturalmente.Es decir sí pretendemos que un cuerpo en estado de
reposo se ponga en movimiento, de acuerdo a las Leyes de Newton deberá existir
una fuerza neta en la dirección y sentido esperado de movimiento. Tal fuerza neta
estará conformada por ejemplo por la externa aplicada, como por la correspondiente a
la resistencia que me va a presentar la superficie por sobre donde se va a deslizar el
cuerpo en cuestión.-
98
ingeddb
Se muestra un modelo esquemático de lo señalado, donde
se indican tres (3) estados: el de reposo; el de inicio de movimiento y el del
movimiento ya establecido de acuerdo a lo determinado en el fenómeno que se
estudia.-
m
Σ F = 0 >>>>>> Estado de Reposo
Fext = 0
froz = 0
x (+)
m
Fext
f roz 1 = f roz estática
x (+) Sí : la Fext > f roz 1, se cumpliría
que: Σ F = m . a ≠ 0
(Inicio de Movimiento)
siendo: Σ F = (Fext – f roz 1 )
ΣF=m.a ≠ 0
(Movimiento ya establecido)
Fext
m
siendo: Σ F = (Fext – f roz 2 )
froz 2 = f roz cinética
x (+)
donde: f roz 2 < f roz 1
La práctica y las comprobaciones teóricas que se verán
durante el cursado de la Cátedra de FÍSICA I, permitirán verificar y comprobar lo
expresado en la última ecuación.Veremos
a
través
de
un
ejemplo
numérico
anteriormente indicado.-
99
ingeddb
lo
Ejemplo Aplicativo 1.4)
Una caja de masa m igual a 25,00 kg. se encuentra en
reposo sobre una superficie horizontal. Para ponerla en movimiento se le aplica
mediante una palanca una fuerza horizontal hacia la derecha de 100,00 N. Sí no
existe rozamiento entre la caja y la superficie determinar: a) la aceleración de la caja.
b) calcule lo solicitado en la parte a), pero ahora considerando que existe una fuerza
de rozamiento de 20,00 N por supuesto opuesta al movimiento.-
m
F
Caso a)
x (+)
Diagrama del cuerpo libre
Consiste en representar el fenómeno en cuestión reemplazando los vínculos por las
correspondientes reacciones de vínculo (fuerzas que se oponen al movimiento
natural) y además todas las fuerzas activas presentes.-
N
m
F
Figura 5
x (+)
m.g
Siendo: mg el peso de la caja, que es la fuerza con que la tierra atrae a la misma.
“N” es la fuerza que la superficie ejerce sobre la caja (reacción de vínculo).
“F” es la fuerza externa aplicada.
100
ingeddb
Optamos por el tradicional x horizontal e y vertical, y aplicamos las Leyes de Newton
que correspondan.
y (+)
Σ Fy = 0 >>>>>> N – m.g = 0
(no hay movimiento en el eje y)
N = m.g >>>>>>> N = 25,00 kg . 9,80 m / s 2 =
N = 245,00 N
N
Σ Fx = m . a x >>>>>>>> 100,00 N = 25,00 kg .
F
x (+)
a x = 100,00 N / 25,00 kg = 4,00 kg m / s 2 / kg =
o
m.g
a x = 4,00 m /s2
( caso a)
En cambio para lo consultado en el apartado b), se debe incluir el efecto del
rozamiento presente, dejándolo explicitado en el correspondiente diagrama del cuerpo
libre, tal como se muestra a continuación:
N
y
N
f roz
m
F
F
x (+)
f roz
m.g
o
m.g
x (+)
Ahora las ecuaciones correspondientes a las Leyes de Newton, son:
Σ Fy = 0 >>>>>> N – m.g = 0
(no hay movimiento en el eje y )
N = m.g >>>>>>> N = 25,00 kg . 9,80 m / s 2 = 245,00 N
Σ Fx = m . ax >>>>>> F – froz = m . ax >>>>> 100,00 N – 20,00 N = 25,00 kg . ax
ax = 80,00 N / 25,00 kg. = 3,20 kg m / s2 / kg = 3,20 m / s2
( caso b)
[ menor que los 4,00 m / s2 correspondiente al caso a) ]
101
ingeddb
Como tarea de investigación y comprobación, se le propone al alumno realizar un
trabajo semejante al llevado a cabo pero bajo la condición de que la fuerza externa
aplicada, forme un ángulo por ejemplo de 40° respecto del eje x positivo.Bajo tal condición debiera arribar a los siguientes resultados:
Caso a)
Caso b)
N = 180,70 N
N = 180,70 N
a x = 3,06 m / s2
a x = 2,26 m / s2
# TRABAJE PARA ELLO Y SAQUE CONCLUSIONES #
# LO APLICARÁ MÁS ADELANTE TANTO EN TEÓRIA COMO EN LA
PRÁCTICA #
Ejemplo Aplicativo 2.4)
En una guardería para perros, el veterinario empuja una
caja de alimentos que pesa 32,00 kgf sobre el piso haciendo que la misma se mueva
con velocidad constante igual a 1,82 m / s. Sí tal piso ofrece una fuerza de rozamiento
igual a 10,34 kgf, calcular: a) el valor de la fuerza horizontal F v que aplica el
veterinario para mantener tal movimiento, y expresarla en kgf y en N. b) Sí deja de
aplicar tal fuerza ¿en cuánto tiempo la velocidad de la caja valdrá cero ?.¡¡¡¡¡¡ No se olvide de realizar el Diagrama del Cuerpo Libre ¡¡¡¡¡¡
Sabremos entonces que:
F v = f r = 10,34 kgf ≈ 101,3 N
Además: f r = - m.a
o sea que:
Por tanto de la ecuación: v = v o + a.t
O sea:
102
a = - f r / m ≈ - 0,323 m / s 2
resulta que despejando: t = v – v o / a
t = 0 – 1,82 m / s / - 0,323 m / s 2 ≈ 5,63 s
ingeddb
Ejemplo Aplicativo 3.4)
Un velocista de masa igual a 82,00 kg que desarrolla un
movimiento rectilíneo, por efecto del viento que está corriendo a su favor aumenta su
velocidad de 8,00 m / s a 10,00 m / s en un tiempo de 0,80 s. Determinar: a) el valor
numérico de la aceleración adquirida por tal velocista. b) el valor numérico de la
fuerza ejercida por el viento sobre el velocista. c) el valor numérico de la aceleración
que adquiriría otro velocista de masa igual a 63,00 kg, sí sobre él el viento ejerce una
fuerza del mismo valor que la ejercida sobre el otro velocista en la misma carrera.De la ecuación: v = v0 + a . t
podemos despejar a la aceleración, resultando:
v - v0
( 10,00 – 8,00 ) m / s
a1 = --------------- = ------------------------------------ = 2,50 m / s2
t
0,80 s
a)
Y de la ecuación representativa de la Segunda Ley de Newton, podremos calcular la
fuerza en cuestión actuante sobre el primer velocista:
F = m1 . a = 82,00 kg . 2,50 m / s2 = 205,00 N
b)
Y para el otro velocista, resultará que:
F
205,00 N
a2 = ------- = -------------------------- = 3,25 m / s2
m2
63,00 kg
>
2,50 m / s2
c)
Ejemplo Aplicativo 4.4)
Para un objeto de 10,00 kg de masa, se le mide en un
instante dado una velocidad v1 = 8 . i m / s y once (11) segundos después otra
velocidad v2 = (19 . i + 10 . j) m / s. Sí la fuerza actuante sobre tal objeto se mantuvo
constante en el período de tiempo mencionado, hallar: a) el valor de las componentes
del vector fuerza actuante. b) el valor numérico y la dirección de tal vector fuerza.-
Δv
a = ------- =
Δt
103
(19 . i + 10 . j - 8 . i) m / s
------------------------------------------- =
11,00 s
( 11 . i + 10 . j ) m / s
-------------------------------------------11,00 s
ingeddb
Luego de acuerdo al método de las componentes, tendremos que:
a x = 1 m / s2
a y = 0,91 m / s2
y
Luego:
F x = m . ax = 10,00 kg . 1 m / s2 = 10,00 . i N
a)
F y = m . a y = 10,00 kg . 0,91 m / s2 = 9,10 . j N
a)
Por lo que, el valor de la fuerza neta valdrá:
F=
____________
2
2
Fx + Fy
=
________________
( 10 2 + 9,10 2 ) N 2
= 13,50 N
b)
y
F
Fy
x
O
Fx
Fy
9,10 N
= arc tg --------- = -------------Fx
10 N
42,3°
b)
_________________________________________________________________
104
ingeddb
Densidad y Peso Específico
Para poder interpretar el concepto de las magnitudes
enunciadas, resulta necesario comenzar a trabajar con la idea del volumen de un
cuerpo relacionado con su masa.Justamente la práctica nos muestra que resulta más fácil
mover (tender) un cable para conducción de energía eléctrica de aluminio que otro de
cobre sobre los soportes que lo sostendrán, teniendo ambos el mismo volumen. Tal
circunstancia está vinculada con la relación entre la masa del cuerpo en cuestión y su
volumen, que se denomina densidad y que se la representa por la letra delta ( δ ).Para interpretar claramente a tal magnitud supongamos
poseer un cuerpo homogéneo de masa M y volumen V conocidos. A tal cuerpo lo
comenzamos a dividir en n porciones cualesquiera de masas y volúmenes medibles
y / o calculables, tales como (m1 ;V1), (m2 ;V2), (m3 ;V3), ……, (mn ;Vn), tomando la
precaución que durante tal proceso se mantengan constantes tanto la temperatura
como la presión y que además se evite la presencia de impurezas.Sí ahora comenzamos a evaluar los resultados obtenidos
y los relacionamos, arribaríamos a lo siguiente:
m1
m2
m3
mn
M
--------- = --------- = --------- = --------- = ----------V1
V2
V3
Vn
V
= constante = densidad = δ
Para un cuerpo homogéneo tal magnitud se define como:
m
δ = ---------V
(1)
Tal densidad y bajo la condición de mantener tanto a la
temperatura como a la presión dentro de ciertos valores estables, resulta ser
totalmente independiente del lugar del universo donde se encuentre dicho cuerpo.Las unidades a emplearse serán:
Sistema SIMELA (SI)
kg
[ δ ] = -------3
m
Sistema c.g.s
g
[ δ ] = --------3
cm
105
ingeddb
Tal cual se ha manifestado precedentemente, la densidad
resulta ser dependiente del tipo de sustancia o cuerpo que se considere. Por tanto a
continuación se ofrece una Tabla donde se muestran valores de densidad para
distintos elementos tanto gaseosos, líquidos o sólidos de modo de tener una idea de
magnitud para cada caso, y por supuesto para un valor determinado de temperatura y
presión.Gases
a 0 °C y 1 atm
3
Densidad, en g / dm
Líquidos
a 20 °C y 1 atm
3
Densidad, en g / cm
Sólidos
a 20 °C y 1 atm
3
Densidad, en g / cm
Aire: 1,293
Oxígeno: 1,43
Ozono: 2,22
Helio: 0,18
Hidrógeno: 0,090
Agua: 1
Aceite: 0,83
Querosén: 0,80
Glicerina: 1,26
Mercurio: 13,60
Aluminio: 2,70
Estaño: 7,30
Hierro: 7,81
Cobre: 8,91
Platino: 21,40
Debemos agregar que la densidad definida mediante la
ecuación (1) es aplicable solamente a cuerpos homogéneos que implica que poseen
la misma composición o estructura a través de todo su volumen. De no ser así lo que
se está definiendo resulta ser una densidad promedio. Para un cuerpo heterogéneo la
densidad variará de un lugar a otro. En esos casos para conocer la densidad en un
lugar específico, deberá medirse una masa elemental dm contenida en un volumen
infinitesimal dV, con lo que la ecuación de la densidad queda expresada como:
dm
δ = ---------dV
(2)
Otro concepto útil resulta ser el de la conocida como
densidad relativa δ r, la que se puede entender como el cociente entre dos (2)
densidades de substancias diferentes por ejemplo δ1 y δ 2, resultando entonces:
δ2
δ r = --------(3)
δ1
Como se observa tal densidad relativa no posee unidades
(magnitud adimensional).En la mayoría de los casos se suele tomar tal densidad
relativa respecto de la del agua. En la Tabla siguiente se muestran la densidad de
varias substancias referidas al agua, en concordancia en algunos ejemplos con lo
mostrado en la Tabla precedente:
106
ingeddb
Gases
a 0 °C y 1 atm
-3
Aire: 1,293 x 10
-3
Oxígeno: 1,43 x 10
-4
Helio: 1,8 x 10
-5
Hidrógeno: 9 x 10
Líquidos
a 0 °C y 1 atm
Agua (4 °C): 1,000
Alcohol etílico: 0,791
Naftas: 0,67
Mercurio: 13,60
Sólidos
a 20 °C y 1 atm
Aluminio: 2,70
Hierro: 7,86
Hielo: 0,917
Uranio: 18,7
Pero también se trabaja con otra magnitud equivalente a la
densidad, pero que resulta ser fuertemente dependiente del lugar en donde se
encuentre la sustancia o cuerpo. A tal magnitud se la denomina Peso Específico y se
la identifica con la letra rho ( ρ ), y se la define como:
m.g
peso
ρ = ------------- = ---------------V
volumen
(4)
Las unidades correspondientes serán entonces:
Sistema SIMELA
N
[ ρ ] = -------3
m
Sistema c.g.s.
dina
[ ρ ] = ----------3
cm
Sistema Técnico Español
kgf
[ ρ ] = --------3
m
o
gf
-------3
cm
Tomando en cuenta lo indicado en la ecuaciones (1) y (4),
resulta que:
ρ = δ.g
(5)
Ejemplo Aplicativo 5.4)
Para dotar de agua potable a una casa de familia se
emplea un tanque en elevación, que posee una capacidad de 1.500,00 litros.
Suponiendo que la temperatura del agua se mantiene a 20°C, determinar el peso de
agua que deberá soportar tal tanque.-
107
ingeddb
Vimos de la ecuación (4) que:
peso = m . g = ρ V = δ . g . V
De la Tabla dada extraemos la densidad del agua, logrando operar como:
3
2
m . g = peso = 1 g / cm . 9,80 m / s . 1 litro
Como: 1 litro = 1 dm
3
resultará que:
3
2
3
3
3
3
m . g = 1 g / cm . 9,80 m / s . 1,50 .10 dm . 1 kg / 10 g . 10 cm
3
/ 1 dm
3
3
peso = m . g = 14,70 . 10 N = 1.500,00 kgf
Ejemplo Aplicativo 6.4)
Posee un volumen de 0,971 m
a) la masa del mismo. b) su peso. c) su peso específico.-
3
de aceite. Calcular:
De las fórmulas definidas, se logra:
3
3
6
3
5
2
masa = m = δ . V = 0,83 g / cm . 0,971 m .10 cm3 / 1 m = 8 x 10 g = 8 x 10 kg
2
2
2
2
peso = m . g = 8 x 10 kg . 9,80 m / s = 78,4 x 10 N = 8 x 10 kgf
2
3
3
peso específico = ρ = m .g / V = 78,4 x 10 N / 0,971 m = 8 x 10 N / m
3
Ejemplo Aplicativo 7.4)
En un taller metalúrgico se está trabajando con una
fundición de hierro cuya densidad relativa vale 7,20. Determinar: a) la densidad de la
3
3
misma en g / cm . b) la masa de 200,00 cm de fundición. c) el peso específico de la
3
fundición, en kgf / m 3. d) el peso de 20,00 m de fundición.Densidad de la fundición = δ r . δ agua = 7,20 . 1 g / cm
Masa de 200,00 cm
ρ
fundición
3
3
= 200,00 cm . 7,20 g / cm
= 7,20 . 1.000,00 kg / m
Peso de 20,00 m
108
3
3
3
3
3
= 1.440,00 gr
= 7.200,00 kg / m
3
= 7,20 g / cm
3
de fundición = 20 m . 7.200,00 kg / m
3
= 1,44 . 10
5
kgf
ingeddb
SEMINARIO UNIVERSITARIO – CÁTEDRA DE FÍSICA
GUÍA DE PROBLEMAS A RESOLVER
UNIDAD 4: DINÁMICA
1.4) Un cuerpo pesa 80,00 kgf y otro pesa 1.100,00 N ¿demuestre cuál pesa más?.2.4) Posee un sistema conformado por dos fuerzas coplanares concurrentes de
25,00 N cada una. Hallar el valor numérico de la resultante de ambas cuando el
ángulo entre ellas vale: a) 30°. b) 90°. c) 160°.3.4) Un pack de cerámicas de masa igual a 280,00 kg se encuentra sobre un plano
inclinado libre de fricción y de una inclinación de 37° respecto de la horizontal.
Determinar que fuerza debe ejercerse mediante la acción de una cuerda para
mantenerlo en reposo.4.4) Cuando a una partícula de masa igual a 11,00 kg se le aplica una fuerza, se
observa que su rapidez cambia de 25,00 km / h a 10,00 km / h en un tiempo de
3,00 s. Determinar el valor de fuerza aplicada, en N y en dinas.5.4) Un auto que pesa 1.400,00 kgf circula por una carretera horizontal a una
velocidad de 127,00 km / h. Ante la señalización de una barrera de ferrocarril
baja, el conductor acciona los frenos. Calcular la fuerza ejercida por los frenos
supuesta ésta constante en N, sí la distancia recorrida desde que se inicia el
frenado hasta llegar a tal barrera, es de 100,00 m.6.4) Para que una partícula varíe su velocidad de 5,00 m / s a 14,00 m / s se le debe
aplicar una fuerza de 98,00 N, recorriendo una distancia de 86,00 m. Hallar la
masa de dicha partícula.7.4) Un pescado de 14,00 kg. de masa se jala verticalmente hacia arriba mediante la
tanza de la caña de pescar alcanzando a obtener una aceleración constante de
1,25 m / s2. Considerando que tal tanza es inextensible y de masa despreciable,
hallar la tensión en la misma.8.4) Un cubito de hielo de masa igual a 11,00 g. al desprenderse de la cubitera que lo
contenía con una velocidad inicial de 0,09 m / s, se desliza sobre una superficie
horizontal durante 2,00 s y allí se detiene. Determinar: a) la fuerza que actúa
sobre el mismo. b) la distancia que recorrió hasta detenerse.-
109
ingeddb
9.4) Posee una caja en reposo que pesa 400,00 N y necesita que se acelere a razón
de 1,23 m / s2. Calcular la fuerza que debe aplicarse, cuando:
a) el movimiento sea sobre una superficie horizontal sin rozamiento.
b) el movimiento sea de tiro vertical ideal hacia arriba.-
10.4) Un carro de equipajes de un aeropuerto pesa cargado 2.200,00 N y está
detenido. Se lo desplaza aplicando una fuerza de 750,00 N que forma un
ángulo de 18° hacia arriba respecto de la horizontal. Calcular: a) la aceleración
de tal carro. b) la fuerza que el piso realiza verticalmente sobre él.-
11.4) Un contrapeso de 100,00 N de peso de un portón levadizo de un taller
mecánico, se encuentra suspendido del extremo de una cuerda metálica.
Determinar la aceleración de dicho contrapeso cuando la tensión en tal cuerda
fue de: a) 100,00 N. b) 40,00 N. c) 190,00 N.-
12.4) Para el mismo contrapeso del problema anterior, calcular la tensión de tal
cuerda cuando se lo acelera a razón de: a) 6,25 m / s 2 hacia arriba.
b) 6,25 m / s 2 hacia abajo.-
13.4) Una persona que pesa 70,00 kgf intenta descender por una cuerda que puede
soportar una carga máxima de 86,00 kgf. Determinar el valor mínimo de
aceleración con que podrá hacerlo, sin que se corte dicha cuerda.-
14.4) Posee una polea ideal de la cual ha colgado verticalmente dos masas. Una de
70,00 kg a un lado de la polea y la otra de 110,00 kg. al otro lado de dicha
polea. Considerando que no existe rozamiento, calcular: a) la aceleración que
va a adquirir la cuerda que une a ambas masas. b) la tensión a que se ve
sometida tal cuerda.-
15.4) Para desplazar un bloque de cemento que pesa 2.000,00 N en reposo sobre
una superficie horizontal debemos aplicar una fuerza de 950,00 kgf paralela a
la superficie horizontal durante un tiempo de 8,00 s. Sabemos además que el
piso ofrece una fuerza de fricción de 750,00 kgf que se opone al movimiento.
Determinar entonces la velocidad que adquirirá tal bloque cuando han
transcurrido los 8,00 s mencionados, en m / s y en km / h.-
110
ingeddb
16.4) En otro momento sobre el mismo bloque del problema anterior, se le aplica la
misma fuerza de 950,00 kgf pero formando un ángulo de 30° hacia abajo con la
horizontal. Sabiendo que cuando transcurrieron 5,00 s la velocidad del bloque
que partió del reposo vale 10,00 m / s, calcular el valor de la fuerza de
rozamiento que se opone al movimiento, en N.-
17.4) Para intentar levantar un auto de masa igual a 1.400,00 kg hasta una altura h
de 4,00 m, se utiliza un plano inclinado cuya longitud L vale 7,00 m aplicando
para ello una fuerza F paralela a tal plano inclinado que vale 9.700,00 N.
Determinar: a) el valor de la aceleración que alcanza tal auto en forma paralela
a tal plano inclinado. b) el valor de la reacción normal N con que reacciona ese
plano sobre el auto.-
18.4) Otro bloque como el del problema 4.15) y con las mismas condiciones
dinámicas, se lo pretende subir por un plano inclinado 42° respecto de la
horizontal. Bajo tal circunstancia determinar: a) la aceleración que posee tal
bloque. b) la velocidad que va a tener al cabo de los 8,00 s.-
19.4) Un plano inclinado forma con la horizontal un ángulo de 27° y posee en la parte
superior una polea ideal. Sobre tal plano se ubica un cuerpo de masa m 1 igual
a 65,00 kg unido a tal polea por medio de una cuerda inextensible que pasa
por la misma, sosteniéndose del otro extremo de la cuerda otro cuerpo de
masa m2 igual a 98,00 kg en forma suspendida, como se muestra en la figura.
Considerando que no existe ningún tipo de rozamiento, determinar el espacio
que recorrerá el cuerpo de 98,00 kg. partiendo desde el reposo en un tiempo
de 5,00 s.
Polea Ideal
m1
m2
27°
111
ingeddb
20.4) Una moto se encuentra descendiendo por un plano inclinado o rampa de 41°
respecto de la horizontal. La masa de la moto incluido el conductor es de
178,00 kg y partió desde el reposo en la parte superior del plano inclinado. Sí
éste le ofrece una fuerza de rozamiento de 48,00 N paralela a tal rampa y
contraria al movimiento, determinar: a) la aceleración que alcanza la moto.
b) la velocidad con que llegará a la base de la rampa sí el largo de la misma es
de 8,00 m, y expresarla en m / s y en km / h.-
21.4)
Dos (2) bolas de pool idénticas de masa m = 1,20 kg en reposo, son
impactadas por una tercera. Luego del impacto las dos (2) primeras se
mueven sobre el plano del paño con las siguientes aceleraciones:
a1 = 1,20 m / s2 . i y a2 = 0,86 m / s2 . i + 0,36 m / s2 . j. Considerando
solamente el movimiento de traslación determinar: a) el vector fuerza neta que
actúa sobre cada una de ellas. b) el valor numérico de la velocidad de cada
bola al cabo de 2,00 s contados a partir de haber sido impactadas.-
22.4) Sobre un cuerpo de masa igual a 20,00 kg se encuentran actuando
simultáneamente tres (3) fuerzas definidas como: F1 = 2,00 N i + 12,00 N j ;
F2 = 33,00 N i y F3 = 2,00 N i – 2,00 N j. Determinar: a) la dirección del
vector aceleración. b) el valor numérico de la aceleración. c) el vector
velocidad de tal cuerpo una vez que han transcurrido 8,00 s contados a partir
de que estaba en reposo.23.4) Sobre un objeto de masa igual a 180,00 kg. se encuentran actuando
simultáneamente dos (2) fuerzas F1 y F2 que le imprimen una aceleración
expresada como: a = (16,00 m / s2 . i – 7,00 m / s2 . j). Encontrar la expresión
vectorial de la fuerza F2 cuando: a) F1 = (8,00 . i + 8,00 . j) N
b) F1 = (8,00 . i - 8,00 . j) N.24.4) Posee un recipiente en forma de cubo de 0,20 cm de lado y lo llena con
3
3
mercurio de densidad igual a 13,60 x 10 kg / m . Determinar la masa de
mercurio vertida dentro del recipiente.25.4) Un bidón de una estación de servicio posee una capacidad para almacenar
3
110,00 kg de agua (densidad del agua = 1.000,00 kg / m ) o 73,00 kg de
3
nafta sin plomo. Calcular: a) la capacidad del bidón, en m . b) la densidad de la
3
nafta sin plomo, en gr / cm . 3
26.4) ¿Cuánto vale la masa de aire ambiente cuya densidad es de 1,20 kg / m , en
una habitación que tiene las siguientes medidas: 6,00 m x 7,00 m x 3,00 m?.-
112
ingeddb
27.4) Debe trasladar azúcar en envases individuales de las siguientes medidas:
16,00 cm x 8,00 cm x 5,00 cm. Calcular: a) la cantidad de tales envases que se
pueden meter en un conteiner de medidas: 22,00 m x 2,40 m x 2,40 m.
b) Sí la masa de azúcar de cada uno de los envases individuales es de
450,00 g ¿cuál es la masa total de azúcar dentro del conteiner?.
c) la densidad del azúcar.-
28.4) Cuenta con dos (2) cilindros macizos, uno de oro y el otro de titanio. El primero
tiene un diámetro de 10,00 cm y una altura de 30,00 cm, y conoce que la
4
densidad del oro es de 1,93 x 10 kg / m3. Hallar: a) el peso del cilindro de oro.
3
3
b) sí la densidad del titanio es de 4,50 x 10 kg / m , ¿cuánto valdría el peso
del cilindro de titanio de la misma dimensión que el de oro?. c) ¿qué altura
debiera tener otro cilindro del mismo diámetro que el mencionado al comienzo,
para que siendo de titanio tenga el mismo peso que el que era de oro? .( V cilindro = π h R 2 )
4
3
29.4) El tanque de combustible de su auto posee una capacidad de 5 x 10 cm .
3
Sabiendo que 51,00 gr de nafta sin plomo ocupa un volumen de 75,00 cm ,
determinar: a) la densidad de tal nafta. b) el peso específico de la misma.
c) el peso del combustible que almacena como máximo el tanque de
combustible.4
30.4) Un lingote de oro macizo de densidad igual a 1,93 x 10 kg / m3 posee una
masa de 1,93 mg. Para ser aplicado en una experiencia se lo lamina hasta
2
obtener una película transparente que cubre una superficie de 14,50 cm .
Determinar: a) el volumen de esos 1,93 mg de oro. b) ¿qué espesor en
Ángstrom (Å) tiene la referida película?. c) suponiendo que los átomos de oro
poseen un diámetro promedio de 5,00 Å ¿cuál será el número de capas
8
atómicas sobre la película mencionada? .(1 Å = 10 – cm )
31.4) En una empresa metalúrgica, a un empleado del depósito se le pide que
transporte al taller de herrería los siguientes materiales: una (1) varilla de hierro
y tres (3) de aluminio, de largo cada una igual a 276,2 cm y el mismo diámetro
de 2,54 cm, siendo todas las varillas de forma cilíndrica. Determinar: a) la masa
de cada varilla. b) la masa total a transportar. c) en función del resultado de los
apartados anteriores, para transportarlas ¿lo podrá hacer solo o requerirá de
algún tipo de ayuda?. Justifique su respuesta.32.4) Tiene dos (2) esferas de diámetros iguales y de un valor de 0,80 cm. Una de
4
3
plomo de densidad igual a 1,13 x 10 kg / m y otra de cuarzo de densidad
3
3
igual a 2,65 x 10 kg / m . Determinar: a) la masa de cada una de las esferas.
b) el peso de cada una de ellas.-
113
ingeddb
33.4) En una confitería se debe colocar mayonesa a doscientas (200) galletas de
agua que miden cada una (0,48 cm x 5,00 cm x 7,00 cm). Sí la densidad
3
3
de la mayonesa es de 0,87 x 10 kg / m y el espesor de la capa a colocar
es de 2,50 mm, calcular: a) la masa de mayonesa a colocar en cada galleta.
b) la masa total a emplear de mayonesa para las 200 galletas.
c) el volumen total de mayonesa utilizada. d) el peso total de la mayonesa
empleada.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
114
ingeddb
UNIDAD V
ELECTROSTÁTICA
En ésta Unidad se verá primordialmente además de los
conceptos básicos de Electrostática, la aplicación directa de lo planteado en las
unidades precedentes.Tanto por comentarios como por experiencia diaria, de una
manera u otra hemos podido comprobar que por ejemplo al intentar peinar nuestro
cabello con un peine de plástico en algunas ocasiones el mismo se eriza o levanta.
También podemos haber comprobado que al frotar una regla plástica cuando la
acercamos a trozos de papel pequeños, éstos resultan atraídos por la regla.Estas particularidades que se manifiestan en distintos tipos
de materiales tales como el cristal, ámbar, amatista, diamante, etc. se encuadran
dentro del “fenómeno ámbar” palabra derivada del griego que significa “eléctrica”.Esta nueva propiedad de los cuerpos de atraer a otros o
ser atraídos por otros, se explica como que han resultados “cargados eléctricamente”
y donde el rol protagónico lo tiene la magnitud física conocida como carga.Vale mencionar que la carga no se crea a través de los
procesos descriptos, sino que siempre está presente antes y después de haberlos
frotado por ejemplo.Además como por experiencias se ha verificado que
algunos cuerpos atraen a algunos pero rechazan a otros, se puede concluir en que
existen dos (2) clases de electricidad. Es decir que los cuerpos a través de procesos
se pueden cargar positivamente o negativamente, y que tal fenómeno lo identifica la
carga eléctrica designada con la letra q o Q.Pero se puede concluir en varias situaciones particulares
que constituyen la base de la electrostática (estudios de las cargas eléctricas en
estado de reposo y sus interacciones), y que resultan ser las siguientes:
 Existen solo dos (2) tipos de cargas eléctricas, las positivas y las negativas. El signo de la carga que adquiere un cuerpo resulta ser opuesto al que
adquiere el elemento con el cual se lo frotó. Cargas del mismo signo se repelen entre sí.-
115
ingeddb
 Cargas de distinto signo se atraen entre sí. En un sistema cerrado, la carga neta o total se conserva (ni se crea, ni se
destruye, solo se reagrupa).-
En la naturaleza existen cuerpos que van a permitir que las
cargas eléctricas se puedan desplazar y se los denomina conductores (metales y
aleaciones). En cambio a los que ofrecen una gran dificultad al paso de las cargas
eléctrica se los conoce como aisladores (porcelana, vidrio, madera seca, goma,
plásticos, etc).Lo antes indicado está fundamentado en la composición de
la estructura de la materia, la cual se encuentra conformada por partículas
subatómicas tales como los protones, los electrones y los neutrones, entre otros.Lo destacable es que los protones y los neutrones
conforman el núcleo compacto, y que los electrones los rodean, de modo tal de lograr
que el átomo llegue a tener un diámetro del orden de 10 – 10 m.Por supuesto los tres tipos de partículas poseen masa y
además carga eléctrica. Para tener una idea de magnitud de las mismas, a
continuación se muestran las relaciones de masa y carga eléctrica de cada una de
ellas.Electrón
Masa
9,10x 10 –
kg
Protón
31
Carga
19
1,602x 10– C
eléctrica
Masa
Carga
eléctrica
1,673x 10
Neutrón
–27
19
1,602x 10–
kg
C
Masa
1,675x 10
– 27
kg
Carga
No tiene carga
eléctrica
Comparando los valores anteriores se puede concluir en
que prácticamente todo el volumen del átomo se encuentra constituido por electrones,
pero su participación en la masa total es menor, o lo que es lo mismo manifestar que
en un átomo su masa se aglomera en su núcleo.Ahora bien cuando partículas cargadas interactúan entre sí,
se manifiestan fuerzas que podrán ser tanto de atracción como de repulsión
dependiendo del signo de las cargas en cuestión. Cuando estas acciones afectan a
una tercera partícula también cargada eléctricamente, puede resultar que las cargas
de ésta se neutralicen, lo que implica que el tercer cuerpo puntual se encuentra en
estado neutro.-
116
ingeddb
Por algún proceso físico se puede lograr añadir cargas a
una partícula neutra. Sí las cargas agregadas son de signo negativo, tal partícula
quedará cargada negativamente (ión negativo). En cambio sí las cargas agregadas
son de signo positivo quedará cargado positivamente (ión positivo).Justamente, aquellos cuerpos que posean cargas eléctricas
con facilidad para moverse conforman los denominados conductores, a los cuales se
les posibilita tal movimiento sin mucha dificultad mediante la aplicación de una fuente
externa de energía.En cambio a los que llamamos aislantes se caracterizan
por que sus cargas se encuentran ligadas fuertemente, y aún cuando se apliquen
fuentes externas de energía solo se alcanza un movimiento interno que no llega a
manifestarse como una conducción de cargas hacia el exterior.A modo de conocimiento puede indicarse que existe un
tercer grupo de cuerpos que bajo ciertas circunstancias (importante incremento de la
temperatura, por ejemplo), se puede lograr una conducción de cargas eléctricas hacia
el exterior de la molécula. Tales materiales se los conoce como semiconductores,
que significa que no son ni buenos conductores ni buenos aislantes.-
Interacciones entre cargas eléctricas – LEY DE COULOMB
El estudio de las interacciones entre cargas eléctricas fue
iniciado por el físico Charles Coulomb a fines del año 1700, en primera instancia para
medir el valor de la fuerza que aparecía entre cargas del mismo signo. El tiempo
permitió extender los resultados experimentales al caso de cargas de distinto signo.Básicamente lo que comprobó Coulomb mediante la
aplicación de la denominada Balanza de Torsión y que se muestra
esquemáticamente, se lograría colocando dos cargas eléctricas puntuales q 1 y q2 en
el vacío separados sus centros una distancia d.-
Fe
q1
q2
Fe
Figura 1
d
117
ingeddb
Se logró comprobar que la fuerza de interacción que
aparecía, resultaba ser directamente proporcional al producto de las cargas e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia existente entre el centro de
cada carga eléctrica.Pero además la experiencia permitió comprobar que sí
tales cargas se ubicaran del mismo modo en otro medio que no fuese el vacío por
ejemplo en un medio aislante, la fuerza de interacción medida resultaba ser menor
que la anterior.Entonces la denominada Ley de Coulomb en modo
matemático, tiene la siguiente expresión:
q1 . q2
Fe = K . ---------------d2
(1)
En la expresión (1) se observa la presencia de K que
representa una constante de proporcionalidad, la cual tiene las siguientes
particularidades:
Depende del medio ambiente en donde se coloquen las cargas eléctricas.Resulta dependiente del sistema de unidades que se emplee para las cargas,
la distancia entre ellas y la fuerza eléctrica (conversor de unidades).-
Justamente y para evaluar la segunda dependencia
enunciada, se recurre a lo visto en Sistema de Unidades específicamente en el c.g.s
para dos cargas ubicadas en el vacío, considerando que bajo tales circunstancias la
constante K valdrá:
K (c.g.s.) = 1 (sin unidad ≡ adimensional)
q1
.
q2
Con lo cual la ecuación (1) se transforma en: Fe = -------------d2
En consecuencia y para el sistema c.g.s. se puede definir lo
que se conoce como unidad de carga electrostática (uce) o ues, a partir de
considerar que las dos cargas son iguales a 1, y que se las separa 1 cm, o sea:
1
.
1
Fe = ------------- = 1 (unidad de fuerza en el sistema c.g.s.) ≡ 1 dina
1
118
ingeddb
______
Por tanto resulta que: 1 uce = 1 dina . 1 cm
Sin embargo y por razones prácticas, la unidad de carga
eléctrica en el Sistema SIMELA viene dada por el Coulomb que se la representa por
la letra C.Por tanto y volviendo a la ecuación (1), se puede
manifestar que la constante K tendrá un valor que surge cuando se poseen dos
cargas iguales de 1,00 C cada una, que se las separa 1,00 m y que la fuerza actuante
entre ellas resulta ser igual a 9 x 10 9 N. Por tanto el valor de tal constante bajo las
circunstancias explicitadas, resulta ser el siguiente:
Fe . d2
9 x 10 9 N . 1,00 m2
N . m2
9
K = ------------- = --------------------------------- = 9 x 10 ------------q2
1,00 C 2
C2
(2)
No obstante debe señalarse que la unidad de carga natural
es el electrón e, y cuya relación con el Coulomb (C) es la siguiente:
1 e = 1,602 x 10 –
19
C
Como la ecuación (1) representa una fuerza, resulta
importante expresarla como un vector aplicando los conceptos vistos con anterioridad,
resultando la siguiente expresión que permite establecer el sentido de la fuerza
eléctrica independientemente del signo de las cargas:
_
_
q1 . q2
_
_
r12
Fe = K ----------------- r (3)
siendo:
r = --------Versor
d2
r12
_
De acuerdo a lo planteado vectorialmente, r12 representa al
vector que nace en la carga q1 y finaliza en la q2 y r12 es el valor numérico o
magnitud del vector r12.Como las fuerzas entre las cargas mencionadas resultan
ser iguales en valor numérico y dirección pero de sentido contrario, la fuerza mostrada
en la ecuación (3) sería la que la carga q1 ejerce sobre la q2. Y sí quisiéramos
determinar la que la carga q2 hace sobre la q1 solo basta con cambiar el subíndice
1 por 2 y viceversa.Para muchos casos prácticos se introduce el concepto de
la denominada permitividad en el vacío que se la identifica con la letra épsilon
acompañada del subíndice cero ( ε0 ), la cual se vincula con la constante K de
acuerdo a la siguiente ecuación:
119
ingeddb
1
K = -----------4 π ε0
(4)
resultando que: ε0 = 8,854 x 10
– 12
C2 / Nm2
Habida cuenta que la unidad Coulomb ( C ) resulta ser muy
grande, en la práctica se suelen emplear otras más adecuadas como:
1 microcoulomb ( 1 μC ) = 10
1 nanocoulomb (nC) = 10
–9
1 picocoulomb ( 1 pC ) = 10
–6
C
C
–12
C
Finalmente y a modo de conclusiones se pueden
mencionar las siguientes:
 Para que se origine fuerza eléctrica Fe resulta necesario que existan más de
una (1) carga eléctrica q. Cuando se opera con más de dos (2) cargas eléctricas, la fuerza eléctrica neta
o resultante producto de la interacciones se obtendrá efectuando la suma
vectorial de la fuerza eléctricas (vectores) que resulten de las acciones mutuas
determinadas con cada par de cargas.-
Ejemplo Aplicativo 1.5)
En una experiencia de laboratorio se detecta que para dos
cargas eléctricas ubicadas en el vacío cuando se las separa 13,00 cm la fuerza
eléctrica medida es de 0,66 N ¿cuánto es el valor de cada carga?.-
Aplicando la ecuación (3) y utilizando solo valores modulares, resultará:
4
Fe . d2
0,66 N . (13,00 cm) 2
10 – m 2
13
q2 = -------------- = ---------------------------------- x --------------------- = 12,4 x 10 – C 2
K
9 x 10 9 N m 2 / C 2
1 cm 2
q = √ 12,4 x 10 –
120
13
C2
≈
1,11 x 10
–6
C
≈ 1 x 10
–6
C
ingeddb
Ejemplo Aplicativo 2.5)
En la misma experiencia anterior necesita generar una
fuerza eléctrica de valor igual a 0,33 N pero empleando cargas cuyos valores son de
q1 = 153,00 nC y q2 = - 86 nC. Determinar la distancia de separación que debe existir
entre ambas cargas eléctricas.-
De la misma ecuación (3):
K . q1 . q2
9 x 10 9 N . m 2 / C 2 . (153 nC) (- 86 nC)
(1 C) 2
2
d = -------------------- = ---------------------------------------------------------- x ---------------Fe
0,33 N
(10 9 nC) 2
d
2
= 3,59 x 10
–4
d = √ 3,59 x 10 – 4 m 2
m2
=
≈ 0,019 m
Ejemplo Aplicativo 3.5)
Tres cargas eléctricas puntuales se encuentran ubicadas
en el vacío en una misma dirección vertical, tal como se muestra. Sí los valores de
tales cargas son: q1 = 170,00 uce, q2 = - 280,00 uce y q3 = - 760,00 uce, determinar el
valor numérico, la dirección y el sentido de la fuerza neta actuante sobre la carga q2.-
q1
----
q1 q2
170,00 uce . (- 280,00 uce)
F12 = K ------------- = 1 . ---------------------------------------------d12
(10,00cm) 2
0,10 m
q2
----
F12 = 476,00 dinas
0,40 m
q3
(fuerza vertical y hacia arriba)
q3 . q2
(-760,00 uce) (-280,00 uce)
F32 = K ----------------- = 1 . -------------------------------------------d23 2
(40,00 cm) 2
---F32 = 133,00 dinas
(fuerza vertical y hacia arriba)
Por lo tanto la fuerza neta que termina actuando sobre la carga q2 será:
FN2 = F12 + F32 =
121
609,00 dinas
(fuerza vertical y hacia arriba)
ingeddb
Campo Eléctrico
Tal cual se ha definido un campo, éste resulta ser una
región del espacio en donde ocurren fenómenos particulares, y sí de interacciones se
trata las mismas resultan ser de “acción a distancia”.Justamente el modelo que acaba de describirse y que se
condensa en la Ley de Coulomb, posee las características particularizadas en el
párrafo anterior. Es decir puestas en interacción por lo menos dos (2) cargas
eléctricas, aparecerán fuerzas de acción a distancia de atracción o de repulsión de
acuerdo al signo de las cargas en cuestión. Por lo tanto resulta necesaria la presencia
de un campo, que por supuesto se denomina Campo Eléctrico.En consecuencia toda carga eléctrica que se coloque en
algún punto del espacio va a producir una modificación en su entorno, pasando a
crear un campo eléctrico.Por efecto de la Fuerza de Coulomb originada por una
carga q1, cualquier otra carga q2 colocada en tal entorno se verá afectada por tal
fuerza, que se la pasa a considerar como una Fuerza de Campo.En los modelos para evaluar campos eléctricos, se suele
emplear una carga casi siempre positiva de valor reducido y que se la denomina
carga de prueba q0.Justamente tomando tal carga de prueba, puede
cuantificarse el campo eléctrico existente en su alrededor mediante el empleo del
designado como Vector Intensidad de Campo Eléctrico Ē, al cual se lo define como
el cociente entre la fuerza eléctrica Fe que se mide sobre la carga de prueba q0
dividida por tal carga._
Fe
q0 (+)
Figura 2
Ē
_
_
Fe
Ē = ---------q0
122
(5)
Vector de la misma dirección que el vector
Fuerza Eléctrica
ingeddb
Tal vector cuando el signo de la carga de prueba sea
positivo tendrá la misma dirección y sentido que el de la fuerza eléctrica. En cambio
cuando el signo de la carga de prueba sea negativo, tendrá la misma dirección pero
su sentido será contrario al de la fuerza eléctrica.Tomando en cuenta lo mostrado en la ecuación (3), resulta
la forma vectorial de representar a la intensidad de campo eléctrico Ē:
_
q
_
_
r12
Ē = K ---------- . r
(6)
siendo:
r = -----------d2
r12
La unidad correspondiente en el sistema SIMELA será:
[1 N]
----------[1 C]
A continuación se pasará a mostrar un diagrama vectorial
que involucra a la fuerza eléctrica Fe, a la intensidad del campo eléctrico Ē y a la
distancia d, tanto para carga positiva como para carga negativa generadora del
campo.-
q
q0
+
+
d
_
Fe
Ē
Como característica se
menciona que para
cargas q + el vector
Ē siempre será radial
y siempre se aleja de
la carga q +.-
Figura 3
q
_
Fe
q0
En éste caso de carga
q - , el vector Ē seguirá
siendo radial pero
orientado hacia tal
carga q - .-
Ē
+
-
d
Figura 4
123
ingeddb
Para el caso de tener más de una carga q puntual, la
intensidad de campo eléctrico neto o total se determina mediante la suma vectorial de
cada uno de los vectores intensidad de campo eléctrico E individuales ocasionados
por cada una de las cargas eléctricas participantes. Pero además se verifica que el
campo eléctrico que produce cada carga en cualquier punto del campo, no se ve
influenciado por la existencia de las otras cargas eléctricas.Como conclusión entonces cabe mencionar que para crear
un Campo Eléctrico solo basta la presencia de una carga eléctrica, tal cual se muestra
en la ecuación (6).-
Ejemplo Aplicativo 4.5)
En un sistema de referencia en dos direcciones x e y, se
han ubicado dos cargas eléctricas que valen q1 = + 7,50 pC y q2 = - 15,00 pC, que se
encuentran posicionadas en (5,00 cm ; 0 cm) y (0 cm ; 4,00 cm) respectivamente.
Determinar: a) la fuerza neta actuante sobre una tercera carga q3 = + 12,00 pC que se
encuentra en el origen de coordenadas. b) la intensidad del campo eléctrico que las
tres cargas generan en un punto que tiene como coordenadas (5,00 cm ; 4,00 cm).Para encarar la solución sobre lo solicitado, resulta recomendable realizar el esquema
representativo de los datos consignados:
y (+)
q2 (-)
Figura 5
F23
q3 (+)
q1 (+)
F13
x (+)
124
ingeddb
A continuación procederemos a la aplicación de la ecuación (3) en forma sucesiva:
q1 . q3
9 x 10 9 . 7,50 x 10 - 12 . 12,00 x 10 - 12
F13 = K ------------- = ----------------------------------------------------- [N . m2 . C . C / C 2 .m 2 ]
d13 2
(0,05 ) 2
F13 = 3,24 x 10 – 10 N
(fuerza orientada según el eje x negativo)
Igualmente será:
q2 . q3
9 x 10 9 . 15,00 x 10 – 12 . 12,00 x 10 - 12
F23 = K . ------------ = -------------------------------------------------------- [N . m2 . C . C / C2 .m2]
d23
(0,04) 2
F23 = 1 x 10 – 9 N = 10 x 10 – 10 N
(fuerza orientada según el eje y positivo)
Por tanto la fuerza neta o resultante valdrá:
_____________
________________________________
2
2
Fn = √ F13 + F23
= √ (3,24 x 10 – 10 N) 2 + (10 x 10 – 10 N) 2 = 10,5 x 10 –10 N
Para establecer su dirección, se debe determinar la tangente que conforma ésta
fuerza neta con el eje x:
Fny
10 x 10 – 10 N
tg α = ---------- = ------------------------------ = - 3,086
F nx
- 3,24 x 10 – 10 N
Determinando entonces que: α = arc tg - 3,086 = 72° (con el eje x -), o también se
puede expresar como: α = (180° - 72°) = 108 ° (con eje x +).De acuerdo a lo visto, para determinar la intensidad del campo eléctrico emplearemos
la fórmula (6) tantas veces como cargas eléctricas participan en el ejemplo. Es decir:
125
ingeddb
7,50 x 10 - 12
–3
E1 = 9 x 10 9 --------------------------- [ N m 2 C 2 / m 2 C] = 42 x 10
N / C (según el
(0,04) 2
eje y + )
15,00 x 10 - 12
E2 = 9 x 10 9 ----------------------- [ N m 2 C 2 / m
(0,05) 2
2
3
C] = 54 x 10 – N / C ( según el eje
x-)
12,00 x 10 - 12
3
E3 = 9 x 10 9 ------------------------- [ N m 2 C 2 / m 2 C] = 26 x 10 – N / C
(0,064) 2
Este último vector intensidad de campo eléctrico conforma un ángulo con el eje
x +, que se determina como:
4
tg β = ------- = 0,8
5
por lo tanto: β = 38,66°
Resultando en consecuencia el siguiente diagrama vectorial:
y (+)
E1
E2
Figura 6
E3
q2
β
q3
x (+)
q1
126
ingeddb
Consecuentemente y en función del proceso para descomponer vectores según las
direcciones establecidas, resulta:
3
3
En x = - E2 + E3 cos β = - 54 x 10 – + 26 x 10 – . 0,781[N / C] = - 33,7 x 10 –
En y = E1 + E3 sen β = 42 x 10 –
3
3
+ 26 x 10 – . 0,625 = 58,25 x 10 –
3
3
N/C
N/C
Por lo tanto, resultará una intensidad de campo eléctrico neta como:
____________
3
En = √ En x2 + En y 2
= 33,7 x 10 – N / C
(Valor numérico)
Además conformará una dirección con el eje x + determinada como:
E ny
tg θ = ------------ = - 1,73
E nx
o sea que: θ = 60° (con el eje x -)
O también expresado como un ángulo de: (180° - 60°) = 120° con respecto al eje
x +.Corresponde para completar la información expresar a la intensidad de campo
eléctrico neta, en modo vectorial de la siguiente forma:
_
3
3
En = ( - 33,7 x 10 – .i + 58,25 x 10 – . j )
(N/C)
Representación del Campo Eléctrico
La representación de la Intensidad de un campo eléctrico,
se puede visualizar a través de la denominadas Líneas de Campo Eléctrico.-
Se adopta como convención que tales líneas salen desde
las cargas positivas y llegan a las cargas negativas, y que además su concentración
o densidad nos permite medir el valor de tal campo eléctrico.-
127
ingeddb
Menor
densidad
+
-
Menor
densidad
Mayor
densidad
Figura 7
Las líneas de campo eléctrico nos dan la representación
gráfica de tales campos eléctricos. En cualquier punto sobre una línea de campo la
tangente (pendiente) a la línea tiene la dirección del campo eléctrico Ē en tal punto.
Donde las líneas de campo eléctrico están muy cercanas una con otras el Ē resulta
importante o intenso, en cambio en donde las líneas de campo eléctrico se
encuentran separadas el Ē será más pequeño comparativamente.ĒB
ĒA
Campo Eléctrico
Uniforme de Alta
Densidad
B
A
Campo Eléctrico
Uniforme de Baja
Densidad
Figura 8
Además y tal cual se ha mostrado como la línea de campo
eléctrico coincide con la dirección del vector intensidad de campo eléctrico, se puede
inferir que las líneas de campo eléctrico son abiertas por cuanto nacen en una carga
positiva y arriban a una carga negativa.-
128
ingeddb
Otra de las propiedades de tales líneas es que no pueden
cruzarse, por cuanto sí lo hicieran significaría que en un mismo punto existirían
infinitos Ē (situación de incertidumbre).-
Dipolo Eléctrico
Se denomina de éste modo a todo par de cargas eléctrica
iguales pero de signo contrario, separadas una distancia d y puestas dentro de un
campo eléctrico Ē.Para una mayor sencillez se estudiará el fenómeno para el
caso de un campo eléctrico uniforme, tal como se muestra en el siguiente esquema:
_
Ē
q
+
d
_
_
Fe = q . Ē
_
p
Figura 9
Ē
d . sen φ
φ
- Fe = q . Ē _
q
⊗ >>>>> (Sentido del Par Torsor)
(Entrante al plano del esquema)
Ē
En tal modelo, analizadas las fuerzas actuantes se
concluye que la fuerza eléctrica neta o resultante FEN resulta ser igual a cero.-
129
ingeddb
Se define como Momento Dipolar Eléctrico p, al vector
que siempre se orienta desde la carga negativa hacia la positiva, y que se representa
como:
p=q.d
un Par Torsor
eléctrico Ē.-
(7)
Por tanto por efecto de las fuerzas eléctricas, se origina
cuyo efecto es el de poner al dipolo en forma paralela al campo
Tal Par Torsor resulta ser un vector definido como:
= d x FE
(8)
Que posee un valor numérico o magnitud o módulo
expresado como:
= d . FE . sen φ = d . Ē . q . sen φ
(9)
Su dirección resultará perpendicular al plano que forman d
y FE (propiedad del producto vectorial de dos vectores), y su sentido resultará de
aplicar la regla de la mano derecha, del tirabuzón o del batimiento (para el caso del
modelo planteado, resulta ser entrante al plano de la hoja).-
Torsor
Por tanto de la ecuaciones (7) y (8), resulta que el Par
queda también definido como:
= p x E
(10)
Ejemplo Aplicativo 5.5)
Una carga positiva de 2 μ C se suelta sin velocidad
inicial en un campo eléctrico uniforme vertical y hacia abajo de valor igual a
8.000,00 N / C. Determinar el tiempo que va a demorar tal carga en recorrer los
primeros 4,00 cm, sí su masa vale 4 x 10 – 2 kg.-
130
ingeddb
6
FN = FE + peso = q . E + m . g = 2 μ C . 10 – C / 1 μ C . 8.000,00 N / C +
+ 4 x 10 – 2 kg . 9,80 m / s2 =
6
= 16.000,00 x 10 – N + 39,2 x 10 – 2 N =
q+
m
FE
FN = 0,408 N
m.g
Pero por la Segunda Ley de Newton: FN = m . a >>>>> a = 0,408 N / 4 x 10 – 2 kg
a = 10,2 m / s2
Y sabemos de Cinemática que para éste caso se puede aplicar:
x=1/2.a.t
2
>>>>>>>>>
__________________
t = √ 0,08 m / 10,2 m / s 2 =
t ≈ 0,09 s
______________________________________________________________
131
ingeddb
SEMINARIO UNIVERSITARIO – CÁTEDRA DE FÍSICA
GUÍA DE PROBLEMAS A RESOLVER
UNIDAD 5 : ELECTROSTÁTICA
1.5) En un átomo de hidrógeno, suponiendo que el electrón describa una órbita
10
circular de radio igual a 0,53 x 10 –
m. alrededor del protón, calcular: a) la
fuerza de atracción eléctrica entre ellos. b) compararla a la fuerza calculada
precedentemente con la fuerza de atracción gravitatoria FG que se define como:
FG = G. m1 . m2 / r 2
( G = cte. de gravitación universal = 6,67 x 10 – 11 N.m 2 / kg 2 ).2.5) Dos cargas eléctricas puntuales q1 = 30,00 μC y q2 = - 80,00 μC se encuentra
separadas por una distancia de 15,00 mm. Hallar. a) la fuerza eléctrica que q 1
ejerce sobre q2. b) la fuerza eléctrica que q2 ejerce sobre q1.-
3.5) Una carga eléctrica q1 = 2,89 C se ve sometida a una fuerza de repulsión igual a
210,00 N cuando se encuentra interactuando con otra carga eléctrica q 2 que se
ubica a 6,20 m de la q1. Determinar el valor de la carga q2 e indicar su signo.4.5) Se ha logrado ubicar a tres (3) cargas eléctrica puntuales sobre una dirección
8
horizontal x (+), de valores q1 = 2,00 x 10 –
C; q2 = 200,00 nC y
q3 = - 1.600,00 μC. Se mide que la separación correlativa respectiva entre ellas
es de: 5,00 cm y 9,00 cm. Determinar: a) la fuerza neta actuante sobre la carga
q2. b) la fuerza neta que actúa sobre la carga q 3 .-
5.5) Cuenta con dos (2) cargas eléctricas puntuales de valores q1 = 76,80 nC y
q2 = - 0,620 C en el vacío. Se mide que la fuerza de interacción entre ellas vale
2
1,92 x 10 – N. Determinar: a) la distancia que las separa. b) tal fuerza de
interacción resulta ser ¿atractiva? o repulsiva?.-
132
ingeddb
6.5) Una carga puntual de – 8 nC está ejerciendo una fuerza de tipo atractiva de valor
3
numérico igual a 1,7 x 10 N sobre otra carga que se encuentra a 41,00 cm de
la primera. Hallar el valor numérico y el signo de la segunda carga.-
7.5) En un modelo de Laboratorio se han logrado ubicar a dos (2) cargas eléctricas
puntuales sobre una circunferencia de radio igual a 0,20 m, conformando la
distribución que se muestra. Determinar la fuerza eléctrica en valor numérico,
dirección y sentido que la carga
q2 = - 21,00 μ C ejerce sobre la
q1 = 10,00 μ C.q1
0
q2
q2
0,20 m
o
8.5) En un proceso de evaluación de acciones electrostáticas ha logrado ubicar tres
(3) cargas eléctricas en los vértices de un triángulo equilátero de 10,00 cm de
lado, tal como se muestra. Sí los valores de tales cargas son: q 1 = 2,00 μC,
q2 = 3,00 μC y q3 = 4,00 μC, determinar el valor numérico, dirección y sentido de
la fuerza neta que termina actuando sobre la carga q3 .q3
q1
q2
9.5) En una distribución de cargas eléctrica puntuales sobre la dirección x (+), se
encuentra la siguiente disposición: en x1 = 3,00 m una carga de 2,00 mC, y en
x2 = 4,00 m otra carga de 500,00 μC. Determinar a que distancia entre ambas
se debe colocar otra carga de 3,00 mC de modo tal que la fuerza neta sobre
ésta sea nula.-
133
ingeddb
10.5) En una zona del espacio se ubica una carga eléctrica puntual de valor igual a
6,00 μC. Calcular el valor numérico del campo eléctrico en un punto ubicado a
una distancia de 200,00 mm de tal carga.-
11.5) En una experiencia de laboratorio se detecta que para que una partícula de
2,00 g de masa permanezca en reposo, se la debe colocar bajo la acción de un
campo eléctrico de valor igual a 500,00 N / C y vertical y hacia abajo. Hallar el
valor y signo que debe poseer la carga eléctrica de tal partícula.-
12.5) Para el modelo del ejercicio 5.7) determinar el valor numérico, dirección y
sentido del campo eléctrico neto actuante sobre un punto ubicado
diametralmente opuesto a la carga q 2.13.5) Para un átomo de helio cuya carga vale q = + 2.e, determinar la intensidad del
campo eléctrico para un punto ubicado en el aire y a una distancia de 1,00 mμ
9
de su núcleo ( 1,00 mμ = 10 – m ).-
14.5) Un protón del átomo citado en el problema anterior, se ve sometido a un campo
eléctrico de intensidad igual a 500,00 N / C. Determinar: a) la aceleración que
adquiere tal protón. b) ¿cuántas veces tal aceleración es mayor que la
provocada
por
la
aceleración
de
la
gravedad
?.
( m protón = 1,67 x 10
- 27
kg
;
e = 1,602 x 10
- 19
C).-
15.5) En un acelerador de partículas atómicas libre de gravedad, un electrón se suelta
con velocidad inicial igual a cero dentro de una zona donde actúa un campo
4
eléctrico uniforme de intensidad igual a 2,00 x 10 N / C. Calcular:
a) la
aceleración que adquiere tal electrón. b) la velocidad que posee después de
haber viajado 4,00 cm en dirección horizontal. c) el tiempo que le demanda
para recorrer esos 4,00cm.-
16.5) En un proceso de Laboratorio se cuenta con cargas eléctricas que se
encuentran separadas 30,00 cm. en el vacío. Determinar entonces el campo
eléctrico en valor numérico y sentido que existiría entre ellas y en el punto
-- 9
medio, cuando las cargas valen: a) q1 = 30,00 x 10
C
y
-- 9
-- 9
-- 9
q2 = 60,00 x 10
C. b) q1 = 30,00 x 10
C y q2 = - 60,00 x 10
C.-
134
ingeddb
17.5) Debe ubicar a cuatro (4) cargas eléctricas puntuales en el aire de valor igual a
10,00 μ C cada una [dos (2) de ellas son positivas y las otras dos (2)
negativas], en las esquinas de un cuadrado de 30,00 cm de lado. Determinar:
a) ¿ Cómo debe ubicar a las cuatro (4) cargas eléctricas para que el campo
eléctrico en el centro de tal cuadrado valga cero, sí la carga colocada en la
esquina 1 es (+) ?. b) la fuerza neta actuante sobre la carga positiva que se
encuentra en la esquina 1.-
1
2
4
3
18.5) Se encuentra con una distribución de tres (3) cargas eléctricas puntuales en el
vacío que tienen idéntico valor numérico pero distintos signos como se muestra
a continuación. Habiendo efectuado mediciones se sabe que la fuerza eléctrica
que la carga q 2 ejerce sobre la carga eléctrica q 3 vale F 2 – 3 = 5.000,00 N.
Hallar: a) el valor numérico de esas tres (3) cargas eléctricas. b) el valor
numérico, la dirección y el sentido del campo eléctrico total E T o neto E N que
por efecto de las tres (3) cargas eléctrica termina actuando en el punto del
espacio señalado como O.d 1 – 2 = 18,00 cm
d 2 – 3 = 36,00 cm
q 1( + )
π/2
12°
q 2 (+ )
O
q3(-)
_____________________________________________________________________
135
ingeddb
SEMINARIO UNIVERSITARIO – CÁTEDRA DE FÍSICA
GUÍA DE PROBLEMAS A RESOLVER
SOLUCIONES
UNIDAD 1: UNIDADES, MEDICIONES Y OPERACIONES
–4
1.1)
a) ≈ 5 x 10
2.1)
Perímetro = 2.020,506 m = 2.021,00 m ≈ 2 x 10 m
millas náuticas
3
3.1)
4.1)
b) 55,56 km / h
VT = 1,53 m
a) 4
5.1)
a) 5,4 . 10
6.1)
V = 2,41 . 10
7.1)
5 x 10
8.1)
800 . 10
b) 4
–3
–7
c) 2
b) 2,3 . 10
m
3
-3
mm
2
3
botellas = 80 . 10
3
-1
d) 3 o 4
≈ 2 . 10
-1
=
= 50 x 10
241 . 10
-4
4
2
mm
=
2
Cantidad de latas = 4
11.1)
Cantidad de cubos = 17.010
–4
m
2
≈ 8 x 10
–2
b) ≈ 852 x 10 mm
2
≈ 8 x 10
4
2
13.1)
m
5
–4
2
mm
2
≈ 9 x 10
–2
4
–9
m
0
3
. π mm 2
botellas
pulgadas = 1,4 . 10
10.1)
a) ≈ 852 x 10
16 x 10
botellas = 8 . 10
9.1) L T = 348 m = 13.701 pulgadas = 137 . 10
12.1)
c) 2,26 ≈ 2. 10
m
4
pulgadas
2
≈ 9 x 10 mm
2
a) ≈ 127 Kw – h ; 47.349 Kw – h ; ≈ 245.800 Kw – h ; 2,47 Kw – h
b) La tercera medición
136
ingeddb
UNIDAD 2: VECTORES
1.2)
V X = - 3,76 m / s
2.2)
3.2)
4.2)
d) ninguna de las anteriores
V X ≈ 60 unidades
φ = - 69,4 °
Los vectores Ᾱ y Ū son perpendiculares entre sí ( Ᾱ ┴ Ū )
5.2) a) ( 2 i + 5 j – 3 k )
6.2)
V Y = 10,3 m / s
b) 6,16
a) (Ᾱ + ῡ ) = 2 i – 6 j
c) ( 4 i + 3 j – 7 k )
b) (Ᾱ - ῡ ) = 4 i + 2 j
d) │ Ᾱ - ῡ │= 4,47
c) │ Ᾱ + ῡ │= 6,32
e) β ≈ - 71,6 ° (288°)
7.2)
a = 5
8.2)
c)
d) φ ≈ 121 °
e) ϴ ≈ 26,6 °
b = 7
r1 + r2 = ( 5 i - 2 j - 13 k)
9.2)
≈ 660,80 m
10.2)
a) Ᾱ = ( - 3 i + 2 j ) b) A = 3,61 cm ; φ ≈ - 33,7 ° ≈ 146,3 ° c) Ū = 3.i – 6.j
137
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
β ≈ 56,6° al Sur del Oeste
ingeddb
12,2)
C ≈ 5,92
a)
b)
13.2)
r12 ≈ 20,3 unidades
r12 = - 7 i + j + 19 k
11.2)
a)
;
C=5i–j–3k
Ō = (Ᾱ + Ū + Ī ) = 2 i + 4 j
;
;
; │ V │ ≈ 8,48 ;
MO = Ᾱ + B ;
NO = B
;
φ ≈ 63,4 °
β ≈ + 135 ° = - 45 °
OP = - Ᾱ
;
PN = - B + Ᾱ
b) α = 0 ° (igual dirección e igual sentido)
a) B = 0
c) α = π / 2 (Ᾱ perpendicular a B)
17.2)
;
a) θ = 140,2 °
14.2)
16.2)
D = 4 i – 11 j + 15 k
│ Ō │= 4,47
b) V = ( - Ᾱ - Ū + Ī ) = - 6 i + 6 j
15.2)
D ≈ 19
d) α = π / 2 (Ᾱ perpendicular a B)
A = b . h / 2 = b . a . sen α / 2
donde: b . a . sen α = a x b
Ᾱ=1/2│axb│
b) r1 . r2 = (4 – 24 + 40) = + 20
18.2)
19.2)
a) r 1 = 7,07 ; r 2 = 6,40
c) r1 + r2 = 2 i + 6 j + k
138
;
;
b) a . b = - 25
d) r1 x r 2 = 34 i – 13 j +10 k
ingeddb
20.2)
a)
a=3i+5j+7k ;
b=8i–6j–2k
;
b) θ ≈ 55,2 °
21.2) El vector ( Ē x Ō ) resulta ser perpendicular tanto al vector Ē como al Ō.
El vector ( Ē x Ō ) x Ē, es normal tanto al vector ( Ē x Ō ) como al Ē.
a) 133,2 °
22.2)
23.2)
a)
25.2)
a)
α ≈ 1,43 °
b)
6
d = 4,50 m
6
F ≈ 2,98 x 10 N
b) F´ ≈ 0,38 x 10 N
v 2 - v 1 = (- 22,57 i – 8,48 j) >>>>>>>>>> φ ≈ + 20,6°(del eje X -)
o - 159,4° (del eje X +)
a)
F = 11 i – 7 j
b)
F ≈ 13 N
θ ≈ 95,2 °
28.2)
a)
29.2)
a) FN ≈ 85,08 N
3 0 .2 )
c) 143 °
a) v 1 + v 2 = (4,57 i + 8,48 j) >>>>>>>>>>> α ≈ + 61,7°(del eje X +)
b) v 1 - v 2 = (22,57 i + 8,48 j) >>>>>>>>>> β ≈ + 20,6°(del eje X+)
c)
27.2)
90 °
v 2 = 20,00 m / s
24.2)
26.2)
b)
a) r ≈ ( 2,5 . i + 132,4 . j )
;
φ ≈ - 32,5 °
b) θ ≈ 95,2 °
b) φ ≈ 75,8 °
o
r ≈ 132,5 km ;
φ ≈ 88,9°
b) θ ≈ 46,9°
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------139
ingeddb
UNIDAD 3: CINEMÁTICA
1.3)
2.3)
3.3)
4.3)
≈ 154,5 km / h
≈ 42,91 m / s
44,44 m / s
;
2,56 x 10
a) 25 m / s
3
mm / s
;
2
33.178 km / h
20,5 m / s
b)
5.3)
≈ 99,44 milla / h
≈ 0,12 h
;
20 m / s
;
2
20 m / s
20 m / s
;
≈ 417 s
6.3)
a) ≈ 13.483 m
b) ≈ 18,73 m / s
7.3)
a) ≈ 4,71 m / s
b) = 0,6 m / s
8.3)
a) t ≈ 1,38 h
b) x ≈ 89,4 km
9.3)
a) ≈ 2,22 m / s
2
b) ≈ 249,75 m
c) ≈ 26,3 s
10.3) a) Sí se produce el choque por cuanto t E = 12,50 s > 4,4 s
11.3)
12.3)
140
a) 30,00 m
b) 11,00 m / s
b) x ≈ 45,32 m
2
c) 2,00 m / s
C ; B ; C ; A
ingeddb
13.3)
a) MRU
14.3)
c) - 4,00 m / s
15.3)
2
c) MRUV
d)
v Corsa ≈ 22,61 m / s
a) ≈ - 7,175 m / s
17.3)
a) ≈ - 0,38 m / s
y
2
b) ≈ 229 m
10 m / s
b) ≈ 366,7 m
b) 25 m / s
c) 150 m
a) ≈ 9,83 m / s
19.3)
a) ≈ 3,67 m / s
20.3)
x9 = 44,00 m
v Fiat ≈ 26,75 m / s
2
a)
;
e) MCUV
b) ≈ 73 m
16.3)
18.3)
d) MCUV
x6 = 34,00 m
≈ 6,46 s
a)
c)
b) MCU
b) ≈ 48,32 m
2
b) ≈ 3,3 s
2
21.3)
a) ≈ 5,76 m / s
b) ≈ 11,52 m
22.3)
a) ≈ 14 m / s
b) ≈ 14 m / s
23.3)
a) 10 m / s
24.3)
b)
25.3)
141
b) 25 m
c) 5 m / s
d) 400 m
v = 30,00 km / h ( para t = 0,10 h
y para t = 0,30 h )
v = 60,00 km / h ( para t = 0,80 h
y para t = 1,00 h)
a) φ ≈ 10,14 °
b) ≈ 4,50 s
ingeddb
26.3)
1) a = cte = 0 (reposo)
2) a = cte = 0 (MRU)
4) a = cte > 0 (MRUV)
27.3)
28.3)
a) ≈ 24,90 m
29.3)
a)
b)
t 1 = 2,30 s y
a) – 9,80 m / s
2
b)
c) ≈ 22,1 m / s
1,00 s
b) ≈ – 44,10 m
33.3)
34.3)
a)
36.3) a)
b) ≈ - 22,72 m
≈ 3,89 s
( 3 m / s . i – 5,8 m / s . j)
c) ≈ 0,833 s
c) ≈ 39,08 m / s ≈ 140,7 km / h
c) ≈ 167,4 m / s ;
≈ 3.125 m ;
b) 26,24 s
a) v 0 ≈ 204,00 m / s
d) v x = v 0x ≈ 167,00 m / s
35.3)
142
e) ≈ - 44,10 m
b) ≈ 21,8 m
a) 4.020 m
d) ≈ 3,26 s
c) ≈ – 44,3 m / s
a) ≈ – 19,6 m / s
32.3) a) ≈ 0,709 s
≈ 1,27 s
b) v0 ≈ 3,20 m / s
t 2 = 2,00 s
d) ≈ 2,55 s
31.3)
(MRUV)
5) a = cte = 0 (reposo)
≈ 4,50 m / s
a)
30.3)
3) a = cte < 0
b)
t v
≈
23,90 s
α ≈ - 23,7 °
ϴ ≈ 11,3 °
c) h
MÁX
≈ 700 m
b) ≈ 1.116 m
>>>>> ϴ ≈ - 62,7°
b) 0,82 m
d) ≈ 2,45 m
ingeddb
37.3)
a) ≈ 24,5 m / s
b) ≈ 12,14 m
c) ≈ 1,57 s
h ˂ y máxima
d) SI, pues para un tiempo de 1,57 s resulta que:
Siendo h la altura de los postes en forma de H, medida desde el suelo
38.3)
a) T ≈ 2,86 s
42.3)
a)
2
m/s
≈ 3 x 10
m/s
2
θ = 320,00 rad ≈ 18.334,6 °
θ = 125 rad ≈ 7.162°
b)
b) ω = 800,00 rad / s
c) a t = 1.120,00 m / s
d) a c = 1.792.000,00 m / s
143
11
d) t2 ≈ 34,3 s
2
α = 2,00 rad / s 2
a) θ = 800,00 rad
c) t1 ≈ 6,19 s
b) ω 4 = 26,00 rad / s ; α = 6,00 rad / s
a) ω 0 = 2,00 rad / s
c)
41.3)
10
a c ≈ 33,33 x 10
39.3)
40.3)
b) f ≈ 0,35 Hertz
2
2
ingeddb
UNIDAD 4: FUERZA
1.4) m1 . g = 80,00 kgf ≈ 784 N ; m2 . g = 112,24 kgf ≈ 1.100 N ( el Segundo )
2.4)
≈ 48,3 N
a)
b) ≈ 35,36 N
≈ 1.651,9 N
3.4)
≈ - 15,29 N ≈
4.4)
- 1,53 x 10 6 dinas
≈ - 8.708,00 N
5.4)
6.4)
≈
99 kg
7.4)
≈
154,7 N
8.4)
a)
11.4) a) 0 m / s
144
≈
50,2 N
2
a)
b)
0,09 m
b) ≈ 450 N
a) ≈ 3,18 m / s
10.4)
13.4)
- 5 x 10 – 4 N
≈
a)
9.4)
12.4)
c) ≈ 8,68 N
2
b) ≈
1.968 N
2
; b) – 5,88 m / s (hacia abajo) ; c) 8,82 m / s
163,8 N
2
(hacia arriba)
b) 36,22 N
≈
- 1,81 m / s 2
ingeddb
a) ≈ 2,18 m / s
14.4)
76,8 m / s
15.4)
≈
276,48 km / h
a) ≈ 1,32 m / s 2
17.4)
b) ≈ 11.260 N
2
a) ≈ - 8,69 m / s
18.4)
b) ≈ - 69,6 m / s
19.4)
21.4)
b) ≈ 838,6 N
≈ 7.654,8 N ≈ 781 kgf
16.4)
20.4)
2
51,5 m
a) ≈ 0,709 s
a)
b) ≈ 21,8 m
1,44 N . i
+ 1,44 N
;
(1,032 N . i + 0,432 N . j)
b)
2, 40 m / s
22.4) a) φ ≈ 15,1 °
23.4)
a)
26.4)
145
;
;
≈ + 1,12 N
;
b) ≈ 1,92 m / s
;
≈ 140,7 km / h
φ = 0°
β ≈ 22,7°
≈ 1,86 m / s
2
( 2.872 . i – 1.268 . j ) N
c) v = 14,82 m / s . i + 4 m / s . j
b)
( 2.872 . i – 1.252 . j ) N
≈ 0,11 g
24.4)
25.4)
c) ≈ 39,08 m / s
a) 0,11 m
3
b) 0,664 g / cm
3
151,2 kg
ingeddb
27.4)
a) 198.000
a) ≈ 446,4 N
28.4)
29.4)
a)
0,68 g / cm
–4
cm
89.100 kg
c)
≈ 703 kg / m
b) ≈ 104,1 N
c)
≈ 129 cm
b)
3
b)
2
664,4 g / cm . s
3
30.4)
a) 10
b)
31.4)
a) m Hierro ≈ 11 kg
;
2
3
c) ≈ 333,2 N
690 Å
c) 138
m Aluminio ≈ 11 kg ;
b) m Total ≈ 22 kg
c) No por cuanto el peso de lo que debe transportar, asciende a la cantidad de
aproximadamente 215,60 N ≈ 22,00 kgf
32.4)
a) m Plomo ≈ 3 x 10
–3
kg
b) peso Plomo ≈ 3 x 10
33.4)
a) ≈ 7,6 x 10
–3
c) ≈ 1,75 x 10
-3
-2
N
kg = 7,6 g
m
3
–4
y
m Cuarzo ≈ 7 x 10
y
peso Cuarzo ≈ 7 x 10
kg
-3
N
b) ≈ 1,52 kg
d) ≈ 1,52 kgf ≈ 14,9 N
__________________________________________________________________
146
ingeddb
UNIDAD 5: ELECTROSTÁTICA
1.5)
a)
Fe ≈ 82 x 10
–9
b) Fg ≈ 36,1 x 10
N
Fe ≈ 0,23 x 10
2.5) a) F1-2 = 96.000,00 N = 96 x 10
40
3
≈
. Fg
2 x 10
39
– 48
N
. Fg
N (fuerza que q 1 ejerce sobre q 2 )
3
b) F2-1 = 96.000,00 N = 96 x 10 N (fuerza que q 2 ejerce sobre q 1 )
3.5)
4.5)
5.5)
q 2 = 310 x 10
–9
C ≈ 3 x 10
C >>>>>>>>>>>>>>> Positiva
a) ≈ 356 N
(dirección x (+) y hacia la derecha)
b) ≈ 370,7 N
(dirección x (-) y hacia la izquierda)
a) ≈ 149 m
b) Atractiva
6.5)
≈ 4 C
7.5)
≈ 23,6 N
8.5)
–7
>>>>>>>>
Positiva
φ = - 45 ° ( + 135° )
F N = ( - 1,8 N . i + 15,6 N . j )
│FN│ ≈ 15,7 N ;
;
φ ≈ - 83,4 ° respecto del eje horizontal dirección x ( - ), o + 96,6 ° respecto del
eje horizontal dirección x ( + )
9.5)
a ( + 0,67 m ) de x1,
10.5)
1.350 x 10
147
3
o
a ( - 0,33 m ) de x2
N / C ≈ 1,4 x 10
6
N/C
ingeddb
≈ 3,92 x 10
11.5)
≈ 884 x 10
12.5)
3
8
16
16.5)
4
>>>>>>>>>>>>>
N / C ≈ 3 x 10
2
≈ 5 x 10
m/s2
Negativa
φ = - 64 ° [ respecto del eje x (+) ]
;
8
14.5) a) ≈ 479,6 x 10 m / s
15.5) a) ≈ 0,35 x 10
C
N/ C
≈ 28,84 x 10
13.5)
–5
10
9
m/s
N/C
2
b) ≈ 0,17 x 10
≈ 5 x 10
b)
8
9
veces
a) 1,20 x 10 N / C (en sentido hacia la carga de 30,00 x 10
4
–9
b) 3,60 x 10 N / C (en sentido hacia la carga de – 60,00 x 10
1 (+)
17.5)
–8
c) ≈ 0,5 x 10
m/s
s
C)
–9
C)
2(-)
a)
4(-)
b)
( + 6,46 N. i - 6,46 N. j)
o
3 (+)
;
≈ 9N
; ≈ - 45° respecto del eje x (+)
225 ° respecto del eje x (-)
18.5) a) q 1 = q 2 = q 3 ≈ 2,68 x 10
–4
C ≈ 3 x 10
–4
C
b) E NO ≈ ( 15 x 10 7 . i - 200 x 10 7 . j ) N / C
E NO ≈ 200,6 x 10 7 N / C
Φ ≈ - 85,7° [ medidos respecto del eje x (+) ]
____________________________________________________________________
148
ingeddb
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL – FACULTAD REGIONAL
MENDOZA
SEMINARIO UNIVERSITARIO 2016
CÁTEDRA DE FÍSICA
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS DE FÍSICA PARA PRACTICAR DURANTE EL
DESARROLLO DEL SEMINARIO
Unidad 1
1) Una empacadora de manzanas debe construir un galpón que de frente tenga
una longitud de 23,730 m, de fondo una de 10 2 m y una altura de 9,00 m.
Determinar el volumen de dicho galpón en: a) m3. b) km3.2) En una construcción de una casa, se han conformado pilas de cerámica para
pisos de los siguientes volúmenes: una de 21,3 m 3, otra de 8,888 cm3 y la
última de 0,733 dm3. Calcular el volumen total de cerámicas en m3, empleando
los conceptos de cifras significativas.3) a) El radio del núcleo de un átomo vale cerca de 10 – 15 metros, mientras que el
radio del universo observable es de 10 28 centímetros. Encuentre la relación de
ambas distancias extremas. b) la vida media de una partícula nuclear elemental
es de alrededor de 10 – 15 segundos. En cambio la edad del Universo es cerca
de 4 x 10 9 años (1 año = 365,24 días). Encuentre la relación de tales intervalos
extremos. En ambos casos de la respuesta en notación científica.4) Proceda a resolver las operaciones matemáticas que se indican a continuación,
expresando los resultados aplicando los conceptos de cifras significativas y de
notación científica.2,6 x 10 4
-------------------------- + 4 x (6,31 – 2,87) - 25 x 102
11 x 10 5
5) Para un triángulo rectángulo cuyos dos lados valen: altura h = 30,00 cm y base
b = 0,10 m, hallar su área y expresarla en m2.-
149
ingeddb
6) Dadas las siguientes cantidades, proceder a: a) expresarlas en notación
científica. b) efectuar las operaciones indicadas en cada caso, aplicando los
conceptos de cifras significativas.5.1)
32.600 x 0,000706
5.2)
0,03 x √ 640.000
( 3 x 102 ) 3 x (2 x 10 - 5) 2
5.3) ----------------------------------------------------3,6 x 10 - 8
7) Determinar cuántas baldosas de medidas: ancho = 0,22 m; largo = 0,22 m y
espesor = 0,04 m, se pueden apilar acostadas en una habitación que posee las
siguientes medidas: alto = 2,50 m; ancho = 3,50 m y largo = 3,00 m.8) Armando protecciones contra avalanchas de nieve, ha debido emplear
seiscientos diez (610) cubos de hormigón armado pesando cada uno de ellos
3.360,00 N. Calcular el peso total de los cubos empleados aplicando los
conceptos de las cifras significativas y de la notación científica, y además
expresando los resultados en: a) kgf. b) libras (lb). c) toneladas (T).(1 T = 10 3 kgf)
(1 lb = 0,456 kgf)
9) En un depósito de productos para almacenes se han recibido tres (3) cajones
conteniendo botellas de detergente. Los mismos contiene los siguientes
volúmenes: el primero un volumen de 30.000,00 ml, el segundo un volumen de
36.000,00 ml y el tercero un volumen de 66.000,00 ml. Sí cada botella tiene
una capacidad de 300,00 ml, calcular: a) la cantidad total de detergente
recibido expresado el litros (L) y en dm 3 . b) la cantidad de botellas de un (1)
litro de capacidad que harán falta para envasar el volumen total de detergente.__________________________________________________________________
Unidad 2
1) Dados tres (3) vectores a, b y c orientados como se muestra, determinar
gráficamente las siguientes operaciones entre vectores: 1.1) a + b.
1.2) a + b + c. 1.3) a - b. 1.4) a + b - c.-
150
ingeddb
a
c
b
2) Sí se sabe que el vector suma de otros dos (2) vectores fuerza que forman un
ángulo recto vale 10 N y que uno de ellos mide 6 N, calcular: a) el valor del otro
vector. b) el vector suma sí el ángulo entre los vectores originales fuese de
120°.-
3) Dado el siguiente triángulo rectángulo en donde el cateto opuesto o vale
2,00 m / s, el adyacente a 5,00 m / s, calcular: a) el valor de la hipotenusa h.
b) el valor del ángulo ϕ .-
o
h
ϕ
a
4) Dado un vector velocidad de 26 m / s que forma un ángulo de 53 ° con la
dirección x (+), hallar sus componentes vertical y horizontal.-
5) Un vector fuerza F posee componentes
Fx = + 12,00 unidades y
Fy = - 92,00 unidades. La dirección de tal vector, resulta ser entonces:
(demostrar y luego marcar cual de las siguientes respuestas es la correcta)
a) – 82,6 °
b) + 82,6 °
c) – 7,43 °
d) ninguna de las anteriores
151
ingeddb
6) Una caja cuyo peso vertical y hacia abajo vale 300 N se encuentra apoyado
sobre un plano inclinado 25° con la horizontal. Sí la única fuerza actuante es tal
peso, hallar sus componentes paralela y normal a tal plano inclinado.-
7) Un golfista da tres golpes para lograr introducir la pelota al hoyo. El primer golpe
mueve a la pelota 3,66 m al norte; el segundo golpe 1,83 m al sureste y el
tercero 0,92 m al suroeste. Calcular cual debió ser el desplazamiento de tal
pelota para que la misma entrara en el hoyo con el primer golpe.-
8) Un maratonista en una competencia recorre 500 m hacia el Este. A continuación
recorre 300 m hacia el Sur, luego 180 m hacia el Oeste y finalmente 110 m hacia
el Norte. Determinar: a) la distancia total recorrida d T. b) el vector
desplazamiento r medido desde el punto inicial de partida, en valor numérico,
dirección y sentido.-
9) Un barco pesquero ha efectuado los siguientes desplazamientos: 6,00 km hacia
el Norte; 3,00 km hacia el Oeste; 4,00 km en una dirección que forma 60 ° con el
Norte hacia el Oeste, y finalmente 5,00 km en una dirección que forma 30 ° con
el Sur contados hacia el Oeste. Hallar el vector suma de todos los vectores
desplazamiento en forma gráfica y analítica por el método de las componentes.-
10) Un competidor del Dakar 2014 lee en su navegador satelital que para poder
arribar al siguiente puesto de control deberá primeramente recorrer 186,00 km
en dirección Sureste. Luego desplazarse 103,00 km en una dirección de 12° al
Norte del Este. Calcular entonces el desplazamiento total efectuado,
expresándolo como: a) sus componentes cartesianas. b) su valor numérico. c) su
dirección. d) graficar en un sistema cartesiano ortogonal (x ; y) que contenga a
los puntos cardinales todos los desplazamientos efectuados por tal
competidor.-
Para reforzar la interpretación del texto, complementar sus repuestas y
afianzar los conceptos, los alumnos deben realizar el análisis grafico con
un buen uso de los puntos cardinales y / o direcciones establecidas y
señaladas.-
152
ingeddb
Unidad 3
1) Un balón de futbol habiendo partido desde el reposo se mueve en forma
horizontal y se le mide una aceleración constante igual a 4,60 m / s 2. Calcular:
a) la velocidad instantánea que tendrá al cabo de 3,00 s. b) la velocidad
media o rapidez durante los primeros 6,00 s de iniciado el movimiento. c) la
distancia que recorrió medida desde el estado de reposo, durante esos
6,00 s.-
2) Un automóvil de competición para evitar impactar con otro reduce su velocidad
de 190,00 km / h a 63,00 km / h. Sí durante ese tiempo recorre una distancia
igual a 74,00 m, hallar: a) la desaceleración provocada. b) la distancia que
recorre a continuación hasta detenerse, considerando que mantiene tal
desaceleración constante. c) la distancia total recorrida hasta detenerse.-
3) Un automóvil se encuentra parado en un semáforo esperando ser habilitado
para arrancar, y cuando el semáforo cambia a verde acelera a razón de
1,80 m / s2 en modo constante. En ese preciso momento una furgoneta para
transporte de correspondencia que se mueve con una rapidez constante de
30,80 km / h lo alcanza y lo pasa. Determinar: a) la distancia medida desde el
semáforo en que el automóvil alcanzará a dicha furgoneta. b) la rapidez que
poseerá el automóvil en ese instante de tiempo. c) la distancia que separa a
esos móviles 4,00 minutos más tarde.-
4) En una competencia previa a las Olimpiadas 2014 correspondiente a los
100,00 m llanos libres, habiendo partido desde el reposo a un participante se
le mide una rapidez de 12,03 m / s en el momento que está pasando por la
marca de los primeros cincuenta metros (50,00 m). Sí durante todo el recorrido
mantuvo la aceleración constante, determinar: a) la aceleración lograda. b) la
velocidad con que llega a la meta. c) el tiempo que le demandó en recorrer
esos 100,00 m.-
5) Mediante la aplicación de los conceptos gráficos de los movimientos, proceda
a representar utilizando las gráficas v = f (t) y a = f (t) en forma conjunta, los
siguientes movimientos: a) MRU. b) Reposo. c) MRUA. d) MRUD.-
153
ingeddb
v
o
a
o
t
t
6) Un cuerpo que está en reposo se lo suelta y cae libremente. Calcular la
posición y velocidad del mismo, para los siguientes tiempos: a) 1,00 s.
b) 2,00 s. c) 3,00 s. d) 4,00 s.-
7) En una práctica sobre movimientos de caída libre, se deja caer una esfera de
acero desde lo alto de una plataforma y se mide que demora 8,00 s en llegar
al suelo. Determinar: a) la velocidad con que llega al suelo. b) la altura a que
se encuentra tal plataforma respecto del suelo.-
8) Un móvil que partió desde el reposo, cuando transcurrió un tiempo de 7,00 s se
le mide una rapidez de 36,00 km / h. Calcular: a) la aceleración de ese móvil,
en m / s 2. b) la distancia que logra recorrer en esos 7,00 s, en m y en km.
c) ¿para qué tiempo su rapidez valdrá 116,00 km / h?.-
9) Una caja conteniendo piezas metálicas se encuentra bajando por una rampa
sin fricción que forma un ángulo de 38° con respecto a la horizontal. Calcular:
a) la velocidad de la caja al cabo de 8,00 s contados desde el estado de
reposo. b) el tiempo que empleará para recorrer los primeros 8,00 m.-
10) Para el caso en que un balón de futbol se lo lance con una velocidad inicial
v o de 14,50 m / s y con un ángulo de inclinación de 14° con la horizontal,
hallar: a) el alcance X. b) la altura máxima H MÁX. c) el tiempo de culminación
t C. d) el tiempo de vuelo t V.-
154
ingeddb
11) Un motor eléctrico que se encuentra girando a razón de 900,00 rpm las reduce
a 300,00 rpm habiendo efectuado 50,00 revoluciones. Determinar:
a) su aceleración angular. b) el tiempo que requirió para efectuar esas
50,00 revoluciones.-
12) ¿Cuántas vueltas dará una rueda en un tiempo de 5,00 s, que habiendo partido
desde el reposo estuvo afectada de una aceleración angular igual a
20,00 ( 1 / s2 ). b) ¿Cuántas vueltas habrá efectuado durante el quinto
segundo?-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Unidad 4
1) Sobre un cuerpo de masa igual a 12,00 kg se le aplica una fuerza que logra que
varíe su rapidez de 8,60 m / s a 2,40 m / s en un tiempo de 14,00 s. Calcular
el valor de tal fuerza: a) en N. b) en dinas. c) en kgf.-
2) Un piano de 196,00 kg de masa se encuentra suspendido del extremo de un
cable. Determinar la tensión T a que se ve sometido tal cable, cuando:
a) el piano esté acelerado hacia arriba a razón de 6,30 m / s2. b) el piano esté
acelerado hacia abajo a razón de 6,30 m / s2.-
3) Un bloque de cemento de masa igual a 75,00 kg que se encuentra en reposo
sobre una superficie horizontal, se le aplica una fuerza horizontal igual a
38,00 kgf durante un tiempo de 7,00 s. Sí la superficie le ofrece una fuerza de
rozamiento horizontal igual a 8,60 kgf, hallar: a) la velocidad de tal bloque al cabo
de 7,00 s. b) la distancia que recorrió en tal tiempo de 7,00 s.-
4) Un tejo de hockey que pesa 0,25 lb resbala sobre una pista de hielo recorriendo
una distancia de 50,00 pies y se detiene. a) sí su velocidad inicial fue de
6,10 m / s, calcular la fuerza de fricción o rozamiento f r entre el tejo y el hielo.
b) ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento dinámico o cinético μ d ?1 lb = 1 libra = 0,4536 kgf
155
1 pie = 30,48 cm
ingeddb
5) Al mismo bloque del ejercicio anterior en otro momento se lo ubica en un
plano inclinado 36° con respecto a la horizontal, el cual le presenta una fuerza
de rozamiento igual a 110,00 N. Calcular la fuerza F que debería aplicarse a tal
bloque de modo que: a) el bloque se encuentre en estado de reposo.
b) el bloque ascienda con velocidad constante. c) que el bloque ascienda con una
aceleración de 1,80 m / s2 paralela al plano inclinado.6) Un objeto cuya masa vale 23,00 kg se encuentra inicialmente en estado de reposo
en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas (x ; y). Bajo tales
circunstancias se le aplica una fuerza F constante de forma tal que al cabo de
11,00 s el desplazamiento experimentado está expresado por la siguiente
ecuación: r = (43,00 m . i + 37,00 m . j). Calcular entonces: a) la aceleración
que se le provocó por efecto de ésa fuerza al citado objeto. b) el valor numérico
de tal fuerza. c) la dirección de dicha fuerza.7) Se ha demostrado que 51 g de nafta ocupan un volumen igual a 75 cm3. Hallar:
a) su densidad absoluta. b) su densidad relativa.-
8) Un tanque para almacenamiento de líquidos pesa vacío 23,00 kgf. Cuando se lo
llena de agua su peso pasa a valer 73,00 kgf, y cuando se lo llena con glicerina
pesa 85,00 kgf. Determinar la densidad relativa de la glicerina.-
_________________________________________________________________
Unidad 5
1) El núcleo de un átomo de helio posee una carga equivalente a + 2 e, y el del
átomo de neón + 10 e. Sí ambos se encuentran en el vacío y separados por
una distancia igual a 3,00 milimicras, calcular: a) el valor de la fuerza eléctrica
existente entre ambos núcleos. b) Indicar sí tal fuerza resulta ser de atracción o
-- 19
-- 9
de repulsión.( e = 1,60 x 10
C)
(1 milimicra = 1 mμ = 10
m).-
2) Dos cargas eléctricas puntuales de igual carga eléctrica y masa de 0,10 g cada
una se encuentran suspendida de un mismo punto mediante dos (2) hilos de
longitud cada uno de ellos igual a 13,00 cm. Producto de la fuerza de repulsión
eléctrica que se produce entre tales cargas, las mismas se separan una
distancia horizontal igual a 0,10 m. Determinar el valor de la carga de cada una
de ellas.-
156
ingeddb
3) Para una carga eléctrica puntual q1 = 5 x 10 – 9 C ubicada en el vacío,
determinar: a) el valor del campo eléctrico E actuante sobre un punto P que se
encuentra a 30,00 cm de tal carga. b) el valor de la fuerza eléctrica actuante
– 10
sobre otra carga eléctrica q2 = 4 x 10
C que se colocara en el punto P antes
mencionado.4) Para la distribución de cargas eléctricas puntuales q1 y q2 que se muestra a
continuación, calcular: a) la intensidad o valor numérico, dirección y sentido del
campo eléctrico E obrante entre ambas cargas (en el punto P), sí se
encuentran separadas en el vacío 10,00 cm. b) la fuerza eléctrica F en valor
–8
numérico dirección y sentido actuante sobre una carga q3 = + 4 x 10
C que
se la ubica en el punto medio P del segmento que une a las cargas q1 y q2.-
q1 = + 20 x 10
-- 8
q2 = - 5 x 10
C
–8
C
P
5 cm
5 cm
5) Producto de interacciones dinámicas se ha conformado una distribución de cargas
eléctricas puntuales en el vacío, las cuales han adoptado una distribución como la
que se muestra a continuación. Bajo tales circunstancias determinar: a) el valor
numérico, dirección y sentido de la fuerza neta FN o fuerza total FT que termina
actuando sobre la carga eléctrica identificada como q 3. b) el campo eléctrico neto
EN o total ET en valor numérico, dirección y sentido que actúa sobre el punto
señalado como O, producto de las acciones de las tres (3) cargas eléctricas
mostradas.q1
q 1 = + 100,00 C
q2
q 2 = - 14.000,00 uce
q 3 = - 4.000,00 μ C
O
d 1 – 2 = 0,80 m
42°
d 2 – 3 = 1,20 m
q3
d 3 – O = 0,20 m
157
ingeddb
APÉNDICES
Estos tiene como finalidad la de que los alumnos cuenten
en modo complementario con una información a mano, sencilla y apropiada que les
posibilite las herramientas matemáticas necesarias para encarar la resolución de los
problemas de Física con una mayor seguridad, y les permita lograr mejores resultados
en los distintos exámenes que deberán sortear para aprobar el Seminario de Ingreso.-
APÉNDICE A
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Debemos recordar que la Trigonometría es la parte de las
Matemáticas que se funda en las propiedades particulares que posee un triángulo
rectángulo. Por definición, un triángulo rectángulo es aquel en el que uno de sus
ángulos vale 90° o π / 2.Tomemos como referencia al siguiente triángulo rectángulo,
en el cual al lado opuesto al ángulo agudo φ se lo conoce como “o”, al lado
adyacente al mismo ángulo como “a”, y finalmente al lado que hace las veces de
hipotenusa “h”.(90° - φ)
h
o
φ
90°
90°90
a
Las tres (3) funciones trigonométricas básicas que se
pueden determinar para tal triángulo son las funciones seno (sen), coseno (cos) y
tangente (tg). Tomando justamente como referencia al ángulo φ, tales funciones
quedan definidas como:
158
ingeddb
lado opuesto a φ
o
sen φ = ----------------------------- = ----------- (1)
hipotenusa
h
a
sen ( 90° - φ) = -------h
(4)
cos φ = -------------------------- = -------- (2)
hipotenusa
h
o
cos (90° - φ) = --------h
(5)
lado opuesto a φ
o
tg φ = --------------------------------- = --------lado adyacente a φ
a
a
tg (90° φ) = ----------o
(6)
lado adyacente a φ
a
(3)
De la observación de las ecuaciones anteriores, se deduce
que:
sen φ = cos (90° - φ)
cos φ = sen (90° - φ)
Es decir que el seno de un ángulo, siempre va a resultar
siendo igual al coseno de su ángulo complementario.-
Y que además cuando un ángulo empieza a aumentar de
0° a 90°, su seno aumenta de cero (0) a uno (1), su coseno disminuye de uno (1) a
cero (0) y su tangente lo hace de cero (0) a infinito (∞).-
Estos conceptos los podrán aplicar cada vez que se quiera
trabajar con magnitudes vectoriales, en modo complementario al Teorema de
Pitágoras, el Teorema del Seno y el Teorema del Coseno, que se proponen
extensamente desarrollados en la Unidad II – Vectores, de ésta Guía.-
------------------------------------------------
159
----------------------------------------------------
ingeddb
Ejemplo A 1
Tomando como base el triángulo rectángulo antes
mostrado, supongamos que o = 2,00 cm, a = 5,00 cm, y se quiere hallar el valor de h
y de φ.-
Haciendo uso de las ecuaciones expuestas en el Apéndice
en conjunto con el Teorema de Pitágoras, podremos operar de la siguiente forma:
2
2
2
2
2
h = a + o = 25,00 cm + 4,00 cm = 29,00 cm
O sea que: h = √ 29,00 cm
2
2
(Teorema de Pitágoras)
≈ 5,39 cm
Además:
o
2,00 cm
tg φ = -------- = --------------- = 0,4
a
5,00 cm
______________________________
Es decir que: φ = arc tg 0,4 ≈ 21,8°
______________________________
Tampoco
debemos
olvidar
algunas
relaciones
trigonométricas que resultarán de aplicación sistemática, como las siguientes:
sen (- φ ) = - sen φ
cos ( - φ ) = cos φ
sen (- φ ) = - tg φ
(sen 2 φ + cos 2 φ) = 1
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
160
ingeddb
APÉNDICE B
ALGEBRA
Como una de las reglas básicas a tener presente, resulta
ser la forma de cómo poder despejar una incógnita x en una ecuación del tipo
lineal.Veamos el siguiente modelo:
12 . x = 36
Para despejar x, podemos multiplicar o dividir a cada lado
de la igualdad por un mismo factor, por ejemplo dividir a ambos lados de la igualdad
por el número 12, resultando:
12 x
36
------------ = -----------12
12
Con lo que:
x=3
También nuestra incógnita se puede presentar de la
siguiente forma:
x + 14 = 56
En estos casos se debe proceder a sumar o restar una
misma cantidad numérica en cada lado de la igualdad, por ejemplo restar en ambos
lados la cantidad 14, resultando lo siguiente:
x + 14 – 14 = 56 – 14
O sea que:
x = 42
De forma general se podrán presentar distintas situaciones,
las cuales se podrán abordar respetando las siguientes Reglas Básicas:
Multiplicando:
Dividiendo:
161
(a / b) . ( c / d )
=
a.c
----------b.d
(a / b)
a.d
-------------- = ----------( c / d)
b.c
ingeddb
Sumando:
a
c
a.d ± b.c
-------- ± ------ = --------------------b
d
b.d
Ejemplo B 1
Para las siguientes ecuaciones, proceda a despejar la
incógnita x:
a) 6 . x + 15 = 30
6 . x + 15 – 15 = 30 -15
>>>>>>>>>>>>>>>>
15
x = -------- = 2,5
6
b) 2 . x + 8 = 6 . x – 20
>>>>>>>>>>
4 . x = 28
6 . x – 2 . x = 20 + 8
>>>>>>>>>>>>>>>>>>
28
x = ---------- = 7
4
Potencias
Cuando se deban multiplicar potencias de una dada
cantidad x, se deberán aplicar las siguientes Reglas:
n
x .x
m
= x
n+m
En cambio cuando sea necesario dividir potencias, se
usará la siguiente Regla:
n
x
n-m
----------- = x
m
x
Y para los casos en que la potencia resulte ser una
fracción, se aplicará la siguiente Regla:
162
ingeddb
n
x
1/n
=
x
Finalmente cualquier cantidad x elevada a una potencia
enésima, se representa como:
(x
n
)
m
= x
n.m
Ejemplo B 2
Verifique las siguientes ecuaciones con potencias:
3
5
5
11
a) 3 + 3 = 27 + 243 = 270
b) x / x
3
c) ( x )
d) 80
7
1/5
= x
= x
5 – 11
3.7
= x
= x
–6
21
≈ 2,40225
Factorización
Otras de las aplicaciones de las Matemáticas será la de la
Factorización.A continuación se muestran algunas de las fórmulas más
corrientes:
Factor Común:
a . x + a . y + a . z = a . (x + y + z)
Cuadrado Perfecto:
a + 2.a.b + b
Diferencia de Cuadrados:
163
2
2
2
a - b
2
= (a+b)
2
= (a + b).(a - b)
ingeddb
Ecuaciones Lineales
En general una ecuación de las designadas como
Lineales, se la puede representar de la siguiente forma:
y= m.x + b
en la cual tanto m como b resultan ser constantes.La denominación como Lineal se debe a que cuando se
representa a y en función de x [ y = f ( x ) ] , la gráfica que se obtiene es una recta.A continuación se modela la ecuación antes mostrada, en
donde a b se la conoce como la ordenada al origen y representa técnicamente el
valor de y al cual la línea recta corta al eje vertical y. En cambio la constante m
resulta ser igual a la pendiente de la línea recta, resultando ser además igual a la
tangente (tg) del ángulo que tal línea recta forma con el eje horizontal x.y
(x2 , y2)
∆y
(x1 ,y1)
Θ
∆x
(0,b)
θ
x
(0,0)
Sí se toman dos (2) puntos cualesquiera de la línea recta
identificados por sus coordenadas (x1 , y1) y (x2 , y2), la pendiente de dicha línea
recta vendrá expresada de la siguiente forma:
Pendiente = tg θ
y2 - y1
∆y
= ---------------------- = ---------------x2 - x1
∆x
De la observación de la ecuación y la gráfica
correspondiente, se advierte que tanto m como b pueden tomar valores positivos o
negativos cualesquiera.-
164
ingeddb
Sí m > 0 la pendiente de tal línea será positiva. En
cambio cuando m < 0 la pendiente de tal línea recta resultará ser negativa.-
Para una mejor comprensión, en la siguiente gráfica se
muestran distintas posibilidades en lo referente a las pendientes.-
y
I
II
III
x
o
m > 0
y
b < 0
II) m < 0
y
b > 0
III) m < 0
y
b < 0
I)
Ejemplo B 3
Determine la pendiente de las siguientes tres (3) líneas
rectas, identificadas por las siguientes coordenadas: a) (0, - 4) y (4 , 2). b) (0 , 0) y
(2 , - 5). c) (- 5 , 2) y (4 , - 2).∆y
2 – (- 4 )
6
Pendiente de a = --------------- = ------------------- = -------------- = + 1,5
∆x
4-0
4
∆y
-5–0
5
Pendiente de b = -------------- = ------------------ = - ---------- = - 2,5
∆x
2–0
2
165
ingeddb
∆y
- 2–2
-4
Pendiente de c = -------------- = ------------------ = ---------- ≈ - 0,4444
∆x
4 – (- 5)
9
Ecuaciones Cuadráticas
El modo de expresar más básico a una ecuación
cuadrática, resulta ser de la siguiente forma:
2
a.x + b.x + c = 0
Para dicha ecuación se reconoce a x como la incógnita o
cantidad a determinar, y a, b y c son factores numéricos de valores identificados
como coeficientes de la ecuación.La solución de tal ecuación posee dos (2) raíces, las cuales
se pueden determinar por medio de la siguiente expresión:
- b ±
2
b - 4.a.c
x = ------------------------------------------------2.a
Ejemplo B 4
Resuelva la siguiente ecuación cuadrática:
2
2.x – 4.x – 9 = 0
- (- 4) ± √ (- 4)2 – 4.2. (-9)
4 ± √ 16 + 72
4 ± 9,38
x = ----------------------------------------------------- = -------------------------- = --------------------2. 2
4
4
x1 ≈ 3,345
166
x2 ≈ - 1,345
ingeddb
Resolución de ecuaciones lineales
Dentro de algunos de los temas que se van a plantear en el
Seminario de Física, habrá problemas que contendrán dos (2) incógnitas.-
Para tales escenarios, una solución única solo será factible
sí se poseen por lo menos dos (2) ecuaciones. Debemos señalar que para los casos
en que el número de incógnitas fuese “ n ”, se requerirán también “ n ” ecuaciones
mínimamente.La forma más básica para solucionar tal tipo de situaciones,
consiste en despejar de una de las ecuaciones una de las incógnitas para luego
reemplazarla en la otra, quedando el sistema reducido entonces a una (1) ecuación
con una (1) sola incógnita.-
Ejemplo B 5
Resuelva los siguientes pares de ecuaciones que contienen
dos (2) incógnitas:
a)
(11 . x - 9 . y) = 56
Respuesta:
b)
x ≈ 18,71
(125 - V ) = 15 . p
Respuesta:
y
V ≈ 83,00
(9.x+3.y)=8
e
y
y ≈ 16,64
( V - 15 ) = 30 . p
y
p ≈ 2,778
____________________________________________________________________
167
ingeddb
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL MENDOZA
SEMINARIO UNIVERSITARIO 2017
CÁTEDRA DE FÍSICA
INDICE

CARÁTULA: página 1.-

PRÓLOGO: páginas 2 a 5.-

PROGRAMA ANALÍTICO DE FÍSICA: página 6.-

BIBLIOGRAFÍA PROPUESTA: página 7.-

PERÍODOS DE ACTIVIDADES: página 8.-

CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES: páginas 9, 10 , 11 y 12.-

CONDICIONES Y EXIGENCIAS DE APROBACIÓN: página 13.-

HORARIOS DE DICTADO: páginas 14 y 15.-

UNIDAD I: UNIDADES – OPERACIONES - MEDICIONES:
páginas 16 a 30.-
168

UNIDAD II: VECTORES: páginas 31 a 49.-

UNIDAD III: CINEMÁTICA: páginas 50 a 93.-

UNIDAD IV: DINÁMICA: páginas 94 a 114.-

UNIDAD V: ELECTROSTÁTICA: páginas 115 a 135.-
ingeddb

SOLUCIONES DE PROBLEMAS PROPUESTOS: páginas 136 a 148.-

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS: páginas 149 a 157.-

APÉNDICES: páginas 158 a 167.-

ÍNDICE: páginas 168 y 169.-
___________________________________________________________________________
169
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