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Liceo Marta Donoso Espejo
Ecuaciones cuadráticas.
Guía de trabajo
Tema: Ecuaciones cuadráticas
Curso: 3°B, 3°D, 3°F (todos)
Introducción. En las semanas anteriores nos hemos abocado al estudio de la función
cuadrática. Así, has aprendido que dicha función tiene por representación gráfica una
parábola, que siempre esta parábola corta al eje y, que es una curva simétrica, que, según
el valor del coeficiente de x 2 , la función puede alcanzar un valor máximo o mínimo y
otras características que recordaremos resolviendo algunos problemas específicos.
I. Las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Marca el valor de verdad frente a
cada una. En caso de ser falsa, reemplaza la expresión en negrita por otra que la haga
verdadera.
1. La parábola correspondiente a la función y = x 2 + 7 x − 9 corta al eje y en el punto
(0,-9).
2. La parábola correspondiente a la función y = 2( x − 3) 2 − 8 tiene como eje de
simetría a la recta x = -8.
3. El vértice de la parábola correspondiente a la función y = x 2 − 10 x es el punto (5,25)
4. El eje de simetría de la parábola correspondiente a la función y = x 2 − 36 es el eje
x
5. La parábola correspondiente a la función y = 9 x 2 − 12 x + 4 corta al eje en dos
puntos.
6. La función y = −2 x 2 + 8 x + 4 tiene un valor máximo.
II. Dada la función y = 2 x 2 − 12 x + 22 :
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Obtenga una tabla de valores
Trace la parábola correspondiente
Exprese la función en la forma y = a( x − h) 2 + k
Determine el punto de intersección con el eje y
Determine ( si existen ) los puntos de intersección con el eje x
Determine el vértice de la parábola
Determine el eje de simetría de la parábola.
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III. Resuelva los siguientes problemas de Máximo y mínimo.
1) La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es 30 cm.
a) Calcular esos catetos para que su área sea máxima.
b) Calcular esos catetos para que su hipotenusa sea mínima.
2)
La fórmula h(t ) = 128t − 16t 2 expresa la altura que alcanza un objeto en t
segundos.
a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto?
b) ¿Cuánto tarda en llegar a su altura máxima?
c) ¿Cuánto tarda en regresar al piso?
3) La ganancia diaria, G, de una Empresa está dada por G = −2 x 2 + 120 x − 800 ,
siendo x el número de artículos producidos cada día. Calcular el número de
artículos para el cual se produce la máxima ganancia.
4) Se calcula que asistirán 14000 personas a un juego de Básquetbol si el valor de
la entrada es $ 700. Por cada $ 25 que se aumente la entrada, la concurrencia bajará
en 280 personas. Calcular el valor de la entrada que produzca la mayor
recaudación.
1
4
En un túnel de forma parabólica, dada por la ecuación f ( x ) = − x 2 + x , se
9
3
pide calcular:
a)
La altura que alcanza a 2 m del arranque del arco.
b)
La altura máxima.
c)
El ancho de la base del túnel.
5)
IV.
Como sabemos, la parábola de una función cuadrática puede cortar al eje x en
dos puntos, ser tangente al eje x o no cortar al eje x. Los posibles puntos de
corte se producen cuando la función cuadrática toma el valor 0.
Por ejemplo: La función y = x 2 − 13 x + 40 corta al eje x en los puntos (5,0) y
(8,0) pues las soluciones o raíces de la ecuación x 2 − 13x + 40 = 0 son: 5 y 8.
Pero, ¿cómo se resuelve una ecuación cuadrática?
Método de factorización
Este procedimiento se usa preferentemente cuando la expresión ax 2 + bx + c es
reductible, es decir cuando se puede factorizar.
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Resolver la ecuación x 2 + 2 x − 63 = 0
x 2 + 2 x − 63 = 0
( x + 9)( x − 7) = 0
x + 9 = 0, o, x − 7 = 0
x1 = −9
x2 = 7
Usando este procedimiento resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:
1) x 2 + 15 x + 56 = 0
2) x 2 + 3x − 88 = 0
3) x 2 − 4 x − 45 = 0
4) x 2 − 23x + 120 = 0
5) x 2 + x − 72 = 0
6) 6 x 2 − 19 x + 10 = 0
Método: Completación de un binomio al cuadrado.
Este procedimiento permite enfrentar cualquier ecuación cuadrática. Fue
muy útil en la resolución de problemas de máximo y mínimo. En este caso será una
herramienta algebraica que permitirá generar la fórmula con la cual podremos resolver
cualquier ecuación cuadrática.
Resolver la ecuación 3x 2 − 12 x + 5 = 0
3( x 2 − 4 x) + 5 = 0
3( x 2 − 4 x + 4) − 12 + 5 = 0
3( x − 2) 2 = 7
7
( x − 2) 2 =
3
7
x−2=±
3
x = 2±
7
3
Si, además, usamos algunas propiedades de las raíces aritméticas, expresaremos
finalmente las raíces de esta ecuación de la siguiente forma:
x1 =
6 + 21
3
x2 =
6 − 21
3
El método de completación de un binomio al cuadrado es un procedimiento poco práctico
y donde, si no se controla todo, es fácil incurrir en errrores. Sin embargo, si aplicamos este
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método a la ecuación general ax 2 + bx + c = 0 , sus raíces nos proporcionarán una fórmula
con la cual podremos resolver de manera directa cualquier ecuación cuadrática expresada
en la forma canónica.
Método de fórmula.
Usando la fórmula x =
− b ± b 2 − 4ac
, resolver las siguientes ecuaciones:
2a
1) 6 x 2 + 7 x − 3 = 0
2) 39 x 2 − 83 x = 56
4) ( x + 7)( x + 3) = 21
5) (5 x − 3)(2 x + 1) = 46 − x 6) 5 x( x − 6) = x − 30
7)
x 2 7
= +
2 3 6x
10) ax 2 + bx − c = 0
V.
8)
2x − 3 x − 5
+
=2
x +1 x −1
11) 6m 2 + bmx = 2b 2 x 2
3) 7 x 2 − 13x − 1 = 0
9)
7
10
6
−
−
=0
x − 3 x − 2 x −1
12) (2 x + c) 2 = 2 x − c
Resolución de problemas mediante ecuaciones cuadráticas.
Resolver problemas exige manejar una serie de destrezas entre las cuales está
la de resolver ecuaciones cuadráticas. Exige, por ejemplo, una lectura
comprensiva del texto, determinación correcta de la incógnita, expresión
fidedigna de las relaciones de esa incógnita con las constantes que plantea el
enunciado, etc
Tomemos el enunciado de un problema y analicemos una propuesta de pasos
para resolverlo.
“Dos números están en la razón 2:1. Si cada uno se aumenta en 3 unidades, la
suma de sus cuadrados es 306. Encontrar los números.”
La pregunta del problema está en la expresión “encontrar los números”. Se
responde denotando los números mediante la incógnita x
Sea x el número menor y 2x el número el número mayor.
El enunciado pide aumentar ambos números en 3 unidades. Esto es:
Los nuevos números son: (x+3) y (2x+3)
La suma de los cuadrados de estos números es 306. Esta expresión traducida a
lenguaje algebraico nos proporcionará la ecuación cuadrática que deberemos
resolver.
( x + 3) 2 + (2 x + 3) 2 = 306
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Reduciremos la ecuación obtenida a la forma canónica y así poder aplicar uno
de los métodos de resolución.
x 2 + 6 x + 9 + 4 x 2 + 12 x + 9 = 306
5 x 2 + 18 x − 288 = 0
Al aplicar el método de fórmula, se obtiene la siguiente secuencia:
a = 5 b = 18
c = 288
− 18 ± 18 2 − 4 ⋅ 5 ⋅ −288
10
− 18 ± 6084
x=
10
− 18 ± 78
x=
10
x1 = 6
x=
x 2 = −9,6
La ecuación determina sólo los valores que puede tener el número menor. Por
lo tanto, la respuesta a la pregunta del problema es:
1) Los números pedidos son 6 y 12
2) Los números pedidos son -9,6 y -19,2
A veces, es conveniente verificar la solución obtenida. Lo haremos con la
solución 2)
(−9,6 + 3) 2 + (−19,2 + 3) 2 = 306
(−6,6) 2 + (−16,2) 2 = 306
43,56 + 262,44 = 306
306 = 306
Resuelve los problemas siguientes:
1) Encontrar dos números su suma sea 30 y su producto 221.
2) Encontrar un número tal que dos veces su cuadrado exceda al propio
número en 45.
3) Separar 500 en dos números tales que la suma de sus recíprocos sea
igual al recíproco de 120.
4) El perímetro de un rectángulo es 320 cm. Calcular su área si su largo es
el triple de su ancho.
5) La diferencia entre los lados de un rectángulo es 70 cm. Calcular esos
lados sabiendo que su diagonal mide 130 cm.
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6) Un jardín rectangular de 6m por 4m es rodeado por una franja de
cemento de un ancho fijo y de modo que su área sea igual al área del
jardín. Encontrar el ancho de la franja pavimentada.
7) Dos motoristas distanciados por 130 km., parten para encontrarse. Si la
velocidad de uno es de 30 km/h y la velocidad del otro es 33 más que el
número de horas que pasan antes del encuentro. Determinar la distancia
recorrida por ambos antes de encontrarse y el tiempo transcurrido desde
que partieron.
8) Dos hombres pueden terminar un trabajo en 12 días, trabajando juntos.
Si el trabajador B tarda 10 días más que el trabajador A en hacer el
trabajo solo. Encontrar cuánto tarda A en hacer solo el trabajo.
9) La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 9. Si se multiplica
este número por otro cuyos dígitos están invertidos, el producto es 2430.
Encontrar el número.
10) Dos objetos se deslizan sobre los lados de un ángulo recto. Si uno está
a100 cm del vértice y se aproxima a él a 10cm/seg , y el otro objeto está
a 50 cm. del vértice y se aproxima a él a 15 cm/seg, encontrar cuándo
los dos objetos estarán separados por 150 cm.
VI.
Propiedades de las ecuaciones cuadráticas.
Al graficar la función cuadrática, puede ocurrir una de estas tres
situaciones:
a) La parábola corta al eje x en dos puntos.
b) La parábola es tangente con el eje x
c) La parábola no corta al eje x
La situación a) nos indica que la ecuación cuadrática asociada a la función
tiene dos soluciones reales y distintas.
La situación b) nos indica que la ecuación cuadrática tiene soluciones reales
e iguales.
La situación c) nos indica que la ecuación cuadrática no tiene soluciones
reales.
La fórmula utilizada para resolver ecuaciones cuadráticas nos proporciona
la herramienta para “discriminar” cuál de las tres situaciones se produce
frente a una ecuación cuadrática dada. En efecto, la expresión b 2 − 4ac que
llamaremos discriminante nos indicará la naturaleza de las soluciones o
raíces de dicha ecuación.
Analicemos pues qué tipo de raíces tiene la ecuación: 2 x 2 − 5 x + 3 = 0
En la ecuación, a = 2 , b = -5 y c = 3. Por lo tanto,
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b 2 − 4ac = (−5) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3
b 2 − 4ac = 25 − 24
b 2 − 4ac = 1
En este caso, la parábola corta al eje x en dos puntos. Por lo tanto, las raíces
de la ecuación dada son reales y distintas.
Naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática.
Si b 2 − 4ac > 0, las raíces de la ecuación son reales y distintas.
Si b 2 − 4ac > 0 y cuadrado perfecto, las raíces de la ecuación son reales,
distintas y racionales.
Si b 2 − 4ac = 0, las raíces de la ecuación son reales e iguales
Si b 2 − 4ac < 0, las raíces de la ecuación son complejas conjugadas.
Determine la naturaleza de las raíces de las siguientes ecuaciones:
1) 25 x 2 − 40 x + 16 = 0
2) 5 x 2 − 3 x + 2 = 0
3) 2 x 2 + 7 x + 6 = 0
4) 3x 2 − 8 x + 4 = 0