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Resuelve ecuaciones cuadráticas I
IV. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas completando a trinomio cuadrado
perfecto; comprueba que las raíces encontradas son correctas.
1. x 2 − x − 1 = 0
2. x 2 − 3x − 2 = 0
3. x 2 + 10x + 20 = 0
4. 2x 2 + 4x − 6 = 0
5. x 2 − 5x + 24 = 0
6. 2x 2 − 8x − 5 = 0
7. 3x 2 − 12x + 15 = 0
8. x 2 + 6x − 4 = 0
9. x 2 − 2x − 10 = 0
10. x 2 − 5x + 2 = 0
11. 60x 2 − 30x + 120 = 0
12. 10x 2 − 30x + 1 = 0
V. A partir de las ecuaciones modeladas en el ejercicio anterior, encuentra la solución
de cada una de ellas aplicando un método algebraico.
1. Encuentra el número distinto de cero que es igual al doble de su cuadrado.
2. Si al doble del cuadrado de un número se le resta el triple del mismo el resultado
es cero. Halla el número, si éste es distinto de cero.
3. En un rectángulo, la base mide el triple que la altura. Si se disminuye en 1
centímetro cada lado, el área inicial disminuye en 15 centímetros. Calcular las
dimensiones y el área del rectángulo inicial. 4. Halla 3 números impares consecutivos, tales que si al cuadrado del mayor se le
restan los cuadrados de los otros 2, se obtiene como resultado 7.
5. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad
del padre será el doble de la del hijo, ¿cuántos años tiene ahora cada uno? VI. En equipos resuelvan los siguientes problemas, cuya solución será expuesta en
plenaria.
1. La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados es 53. Halla los
números.
301
B9
2. Un número positivo es 3/5 de otro y su producto es 2160. Encuentra los números.
3. Paola tiene tres años más que Brenda y el cuadrado de la edad de Adriana
aumentado en el cuadrado de la edad de Brenda equivale a 317 años. Determina
ambas edades.
4. Un número es el triple de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800. ¿Cuáles
son los números?
5. El cuadrado de un número disminuido en 9, equivale a 8 veces el exceso del
número sobre 2. Obtiene tales números.
6. Un tren ha recorrido 200 km en cierto tiempo. Para haber recorrido esa distancia
en 1 hora menos, la velocidad debía haber sido 10 km /h. Encuentra la velocidad
del tren.
7. Una empresa vende calzado deportivo a $40 el par si se piden menos de 50
pares. Si se compran 50 o más, hasta 600, el precio del par se reduce a una tasa
de $.04 por el número requerido. ¿Cuántos pares se pueden comprar con $1800?
8. Se desea usar una hoja de papel de 24 cm x 36 cm para un cartel rectangular
cuyo largo sea vertical. Los márgenes a los lados y en la parte superior deben
tener igual anchura, pero el margen inferior debe tener doble anchura que los
demás. Calcula el ancho de los márgenes si el área impresa debe tener 661.5
cm2.
9. Una pelota de beisbol se arroja directa hacia arriba con una velocidad inicial de
64 pies/s. El número de pies s, sobre el terreno después de t segundos, está
expresado por la ecuación: s = -16 t2 + 64 t. ¿Cuándo estará la pelota a 48 pies
sobre el terreno?
Autoevaluación
Resuelve en tu cuaderno de notas cada una de las situaciones planteadas,
determinando en cada uno de ellas: ecuación cuadrática y método algebraico de
solución. Elije la opción que muestra el resultado correcto a cada una. 1. Juan Antonio tiene un terreno de forma cuadrada con un área de 289 m2, que quiere
emplear como corral. ¿Cuántos metros de tela de alambre va a necesitar para
cercarlo por los cuatro lados?
a) 13
302
b) 15
c) 17
d) 19
Resuelve ecuaciones cuadráticas I
2. Si se aumenta en 4 cm el lado de un cuadrado, su área aumenta en 104 cm2. Calcular el área y perímetro del cuadrado inicial.
a) Área: 121 cm2
Perímetro: 44 cm
c) Área: 144 cm2
Perímetro: 48 cm
b) Área: 81 cm2
Perímetro: 36 cm
d) Área: 169 cm2
Perímetro: 52 cm
3. Determina el valor de m para que la ecuación 2x2 - 4x + m = 0 tenga una raíz
cuadrática doble (de multiplicidad 2).
a) m = 0
b) m = 1
c) m = 2
d) m = 3
4. Calcula el valor de x para el siguiente par de ecuaciones:
3x 2 + y = 12
y + 2 = 2( x2 + 2)
b) x = 2
a) x = ± 2
c) x = 3
d) x = ± 3
5. En un laboratorio se estudia el crecimiento de una bacteria peligrosa; el estudio
de su comportamiento fue encargado a Hugo, pero, se durmió y sólo alcanzó a
registrar los datos mostrados en la siguiente tabla:
Hora (x)
1
3
Crecimiento de una bacteria (y)
4
12
28
7
11
84
124
¿Cuál es la expresión algebraica que debió encontrar Hugo para determinar los
valores que faltan y así establecer la relación entre ambas columnas?
a) y = x 2 + 3
b) y = x + 3
c) y = 3x 2
d) y = 3x 2 + 1
303
B9
Evaluación formativa
A partir de la situación planteada realiza lo que se pide.
Dos obreros tardan 12 horas en hacer un trabajo. ¿Cuánto tardarían en hacerlo
separadamente, si uno tarda 5 horas más que el otro?
a) Encuentra la ecuación cuadrática que modela la situación.
b) Resuelve la ecuación cuadrática aplicando un método algebraico.
c) Verifica que el primer obrero tarda en realizar el trabajo, él solo, 21.75 horas,
es decir, 21 horas y 45 minutos; el segundo obrero tarda 5 horas más, es decir,
26 horas y 45 minutos.
304
Resuelve ecuaciones cuadráticas I
Escala de rango
Nombre del alumno:
Escala de valoración:
0 Nulo 1 Deficiente 2 Aceptable 3 Satisfactorio
Aspectos observables
Sí
No
Estimación
Comprendió la situación del planteada
Encontró la ecuación cuadrática correctamente
Resolvió la ecuación por algún método algebraico Se verificaron los resultados
TOTAL:
Cal =
Total×10
=
12
OBSERVACIONES:
Nombre de quien revisó:
305
Resuelve ecuaciones cuadráticas II
BLOQUE
10
Saberes
» Conocimientos
• Identifica la relación entre funciones y
ecuaciones cuadráticas.
• Reconoce la ecuación en dos variables
y=ax2+bx+c, como la forma de la función
cuadrática, y las ecuaciones en una variable
d=ax2+bx+c, como casos particulares de la
anterior.
• Describe la función cuadrática en la forma
estándar y=a(x–h)2+k para trazar su gráfica.
• Comprende el efecto del parámetro a en el
ancho y concavidad de la parábola, y asocia
las intersecciones-x de ésta con las raíces de
ax2+bx+c=0.
• Interpreta la fórmula cuadrática.
» Habilidades
• Resuelve ecuaciones cuadráticas por métodos
numéricos y gráficos.
• Representa y resuelve situaciones mediante
ecuaciones y funciones cuadráticas.
• Transita de ecuaciones a funciones
cuadráticas, y viceversa, al representar y
solucionar diversas situaciones.
• Ejecuta instrucciones y procedimientos
propios de las ecuaciones cuadráticas de
manera reflexiva, comprendiendo cómo cada
uno de sus pasos contribuye al alcance de un
objetivo.
• Describe el proceso para hallar las soluciones
de una ecuación cuadrática mediante la
fórmula general.
• Interpreta la naturaleza real o compleja de las
raíces, a partir del discriminante cuadrático.
»
• Explica que la ecuación cuadrática en dos
variables y=ax2+bx+c, representa una
relación funcional entre las variables porque
para cada valor de x obtiene un único valor
para y.
• Obtiene el valor de los parámetros a, b y c,
de una ecuación cuadrática.
• Traza las gráficas de funciones cuadráticas
tabulando valores y las identifica como
parábolas verticales.
• Tabula puntos cercanos al vértice,
para obtener éste mediante tanteos y
aproximaciones y lo identifica como el punto
más alto o más bajo de una parábola.
• Escribe la forma estándar de la función
cuadrática para ubicar el vértice (h, k) de la
parábola y trazar ésta calculando valores de
x alrededor de h.
• Anticipa la concavidad de la parábola
mediante el signo del parámetro a y
compara el ancho de distintas parábolas,
mediante el valor absoluto del parámetro a.
• Identifica gráficamente cuándo la ecuación
cuadrática ax2+bx+c=0 posee una, dos, o
ninguna solución real.
• Calcula el valor del determinante b2–4ac,
para anticipar la naturaleza de las raíces de
una ecuación cuadrática.
• Resuelve o formula problemas de su
entorno, u otros ámbitos, que pueden
representarse y solucionarse mediante una
ecuación o una función cuadrática.
• Elabora o interpreta gráficas y tablas
utilizando distintas escalas y realizando las
correspondientes conversiones de unidades,
en situaciones diversas que conllevan el uso
de funciones y ecuaciones cuadráticas.
SUGERENCIA DE EVIDENCIAS
DE APRENDIZAJE
UNIDAD DE COMPETENCIA
»
Construye e interpreta modelos
aritméticos, algebraicos y gráficos
aplicando las propiedades de los números
reales y expresiones algebraicas,
relacionando magnitudes constantes y
variables, y empleando las literales para la
representación y resolución de situaciones
y/o problemas algebraicos, concernientes
a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan
a explicar y describir su realidad.
Identifica las características presentes
en tablas, gráficas, mapas, diagramas
o textos, provenientes de situaciones
cotidianas y los traduce a un lenguaje
algebraico.
» Actitudes y valores
• Valora la importancia de la conexión entre
funciones y ecuaciones cuadráticas, para
examinar y solucionar situaciones.
• Aprecia las representaciones gráficas de
funciones cuadráticas como instrumento de
análisis visual de su comportamiento.
• Aprecia la utilidad de la fórmula cuadrática
y su discriminante, para resolver ecuaciones
cuadráticas completas con todo tipo de
coeficientes y conocer la naturaleza de las
raíces.
B10
INTRODUCCIÓN
Las ecuaciones cuadráticas tienen su representación gráfica para lo cual se
establece una relación con la función cuadrática; además, existe un método
de solución por fórmula general. Éstos son los temas para el desarrollo del
presente bloque. Evaluación diagnóstica
Efectúa en tu cuaderno los siguientes ejercicios y subraya la opción que muestra el
resultado correcto.
1. ¿Cuál enunciado corresponde a la expresión x 2 +
y
?
2
a) La mitad del cuadrado de un número más otro.
b) El cuadrado de un número más la mitad de otro.
c) La suma del cuadrado de un número con la mitad de otro.
d) El cuadrado de la mitad de dos números.
2. Los valores de x en la ecuación ( x − 7 ) = 25 son:
2
a) x1 = 5
x2 = 7
b) x1 = 2
x 2 = 12
c) x1 = −2
x 2 = 12
d) x1 = 5
x 2 = −7
3. Los valores de x en la ecuación x 2 = −64 son:
a)
x1 = 8i
x 2 = −8i
b)
x1 = 8
x 2 = −8
c) x1 = 32
x 2 = −32
4. ¿Cuál es la gráfica que corresponde a la ecuación y = x 2 − 1
308
d)
x1 = 32i
x 2 = −32i
Resuleve ecuaciones cuadráticas II
a)
b)
c)
d)
5. Una expresión equivalente a
a) 9i
−9 en el conjunto de números complejos es:
b) – 9
c) – 3
d) 3i
6. ¿Cuántas raíces puede tener una ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c =0?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
7. ¿Qué nombre recibe la gráfica de una ecuación cuadrática?______________________
8. ¿Qué valor toma la expresión x =
a) x = 1
b) x = 2
−b + b2 − 4ac
para a = 2, b = 4 y c = −6 ?
2a
c) x = 4
d) x = 6
309
B10
9. Y, ¿quévalortomalaexpresión x =
−b − b2 − 4ac
tambiénpara a = 2, b = 4 y c = −6 ?
2a
b) x = −2
a) x = 3
d) x = 2
c) x = −3
Actividad introductoria
Relacionando la ecuación cuadrática con su gráfica
Organizados en equipos de tres integrantes, y monitoreados por su profesor, realicen
los cálculos necesarios, registrándolos en su cuaderno de notas, para encontrar
la ecuación cuadrática que modele la situación planteada, así como su respuesta
correspondiente.
Vamos a poner en prueba sus habilidades, jugando a las adivinanzas:
1. ¿Cuántas monedas tengo en mi bolsillo, si al multiplicar el número de monedas que poseo por el mismo número menos cuatro, obtengo 21?
a) ¿Cómo se puede expresar algebraicamente la situación anterior?
b) ¿Qué similitud encuentras entre esta expresión encontrada y las ecuaciones
de las fórmulas que determinan el área de un cuadrado, un círculo y un
rectángulo?
Si sabemos que:
2. ¿Qúe dio el área de un rectángulo?
Con base en la ecuación y = x 2 + x − 2 , completen la siguiente tabulación:
x
-3
-2
-1
0
1
2
y
a) Ubiquen las coordenadas ( x,y ) obtenidas en la tabulación, en el plano, e
intenten trazar la gráfica correspondiente.
310
Resuleve ecuaciones cuadráticas II
b) ¿Qué características pueden mencionar de la gráfica obtenida?
c) ¿Para qué valor de x se tiene y = 0?
d) ¿Qué pueden conjeturar acerca de las tres representaciones del área del
rectángulo: figura, ecuación y gráfica
e) Grafiquen también la ecuación del área del cuadrado y = x 2
f) Hagan comparaciones entre las dos gráficas obtenidas de las fórmulas de un
rectángulo y del cuadrado.
Al finalizar, elíjase uno de los equipos para exponer sus resultados frente al grupo.
MÉTODO GRÁFICO
Un método más, donde podemos encontrar y observar la solución de una
ecuación cuadrática es el de la representación gráfica de una ecuación
cuadrática o de segundo grado, lo cual es una parábola. Esta representación se
establece a partir de la expresión y = ax 2 + bx + c la cual podemos referir como
función cuadrática, pues es una expresión en dos variables en donde el valor
de una de ellas y, corresponde uno y sólo un valor sujeto al valor que reciba x.
311
B10
Una función cuadrática es una expresión de la forma 2
y = ax 2 + bx + c , o bien, f ( x ) = ax + bx + c , con a, a,b,c
b, c, ∈  .
La solución de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 es
el valor(es) de x que
satisfacen la igualdad,
y por ser un caso
particular de la función
y = ax 2 + bx + c
Para graficar una función cuadrática puede aplicarse el método de tabulación,
en el cual se le asignan valores a x, para que al ser sustituidos en la función
y = ax 2 + bx + c , se tengan los valores de y, obteniendo parejas ordenadas que
se representan en el plano cartesiano para lograr trazar la gráfica.
En la parábola debemos reconocer un elemento importante llamado vértice,
que es el punto donde la curva cambia de dirección, o bien, el punto más bajo
o más alto de la parábola; la coordenada de este vértice se denota por (h, k),
como se observa en las siguientes figuras.
(pues se deduce si y =
0), podremos observar
gráficamente dicha
solución como las
abscisas de los puntos
donde la parábola
intercepta (corta) al eje x.
Si la gráfica no intercepta
al eje x, se dice que las
raíces son imaginarias
A partir del vértice, podemos describir la función cuadrática en su forma
estándar:
y = a ( x − h) + k
2
de donde puede trazarse también la parábola.
Si tenemos la función cuadrática de la forma y = ax 2 + bx + c , deducimos la
2
forma estándar y = a ( x − h) + k como sigue:
y = ax 2 + bx + c
b 

y = a x2 + x  + c
a 


b
b2 
b2
y = a x2 + x +
+c−
a
4a 
4a

2
b 
b2 

y = a x +  +  c − 
2a  
4a 

312
Resuleve ecuaciones cuadráticas II
Si hacemos:
Tenemos:
h=
b
2a
y k =c−
b2
4a
y = a ( x − h)2 + k
Así, para determinar el vértice (h, k) a partir de la función cuadrática
2


y = ax 2 + bx + c tendremos por fórmula  b , c − b  , pues
4a 
 2a
h=
b
2a
y k =c−
b2
4a
Los valores que corresponden a la solución de una ecuación cuadrática
ax 2 + bx + c = 0 , se denominan raíces o soluciones de la ecuación; éstas se
observan gráficamente como sigue:
• Una ecuación cuadrática puede tener
dos raíces; es decir, la parábola corta
dos puntos del eje x.
• Una ecuación cuadrática puede tener
sólo una raíz; es decir, la parábola
corta sólo un punto del eje x.
• Si la parábola no corta ningún punto
del eje x, entonces la ecuación
cuadrática no tiene raíces reales; éstas
son imaginarias.
Ejemplos
I. A continuación, se hace una tabulación para graficar la función cuadrática indicada,
de la forma y = ax 2 + bx + c y, a partir de ésta, se visualiza la solución o raíces de la ecuación ax 2 + bx + c = 0
313
B10
1. Graficar y = x 2 + x − 6
Tabulación:
x
–4
–3
–2
–1
0
1
2
y
P(x, y)
y = (–4) + (–4) – 6 = 6
y = (–3)2 + (–3) – 6 = 0
y = (–2)2 + (–2) – 6 = – 4
y = (–1)2 + (–1) – 6 = – 6
y = (0)2 + (0) – 6 = – 6
y = (1)2 + (1) – 6 = – 4
y = (2)2 + (2) – 6 = 0
P(–4, 6)
P(–3, 0)
P(–2, – 4)
P(–1, –6)
P(0, –6)
P(1, –4)
P(2, 0)
2
Gráfica:
En este ejemplo, podemos visualizar con claridad que las abscisas de las intersecciones
de la parábola con el eje x son: –3 y 2; luego, las soluciones o raíces de la ecuación
x 2 + x − 6 = 0 son: x1 = –3 y x2 = 2
Comprobación:
El método gráfico de
solución de la ecuación
ax 2 + bx + c = 0 se
determina correctamente
cuando los valores de las
abscisas de los puntos
de intersección de la
parábola, y el eje x, son
números enteros, de
otro modo sólo podrá
estimarse la solución
al recurrir entonces a
alguno de los métodos
algebraicos.
314
Para x1 = – 3
(–3)2 + (–3) – 6 = 0
9–3–6=0
0=0
Para x2 = 2
(2)2 + (2) – 6 = 0
4+2–6=0
0=0
Resuleve ecuaciones cuadráticas II
Al sustituir las raíces en la ecuación, se verifica que son correctas.
II. Ahora, en estos ejemplos, observemos que a partir de visualizar las raíces de
la ecuación cuadrática en la gráfica, podremos deducir la ecuación cuadrática
misma, así como la función lineal, aun si las raíces son imaginarias. 1.
2.
Para esta gráfica, como las raíces son:
x1 = 5, x 2 = 7 , a partir del método de
factorización, deducimos:
Para esta gráfica, como las raíces son:
x1 = −5, x 2 = 0 , a partir del método de
factorización, deducimos:
Ecuación cuadrática :
( x + 3 )( x − 1) = 0
x + 2x − 3 = 0
2
Ecuación cuadrática:
3x2 + 5x - 2 es expresión
algebraica 3x2 +5x -2 = 0
es: ecuación y =3x2 + 5x -2
es función
( x + 5 )( x + 0 ) = 0
x 2 + 5x = 0
Función cuadrática: y = x 2 + 2x − 3
Función cuadrática: y = x 2 + 5x
3.
4.
Para esta gráfica,como las raíces
son: x1 = 2, x 2 = 6 , a partir del método
de factorización y atendiendo que la
parábola se abre hacia abajo, deducimos:
Para esta gráfica , como la raíz es: x1 = 0 , a partir del método de
factorización y atendiendo que la
parábola se abre hacia abajo, deducimos:
315
B10
Ecuación cuadrática:
− ( x − 2 )( x − 6 ) = 0
−(x + 0) = 0
2
Ecuación cuadrática:
−x 2 + 8x − 12 = 0
Función cuadrática: y = −x + 8x − 12
2
−x 2 = 0
Función cuadrática: y = −x 2
La gráfica de una
ecuación de primer
grado corresponde a
una recta y la gráfica
de una ecuación
de segundo grado
corresponde a una
parábola.
5.
6
Para esta gráfica, como la raíz
es: x1 = 3 , a partir del método de
factorización, deducimos:
Para esta gráfica , como la raíz es: x1=
-4, a partir del método de factorización,
deducimos:
Ecuación cuadrática:
( x − 3)
2
=0
x 2 − 6x + 9 = 0
Función cuadrática: y = x 2 − 6x + 9
7.
316
Ecuación cuadrática:
.
(x + 4)
2
=0
x + 8x + 16 = 0
Función cuadrática: y = x 2 + 8x + 16
8.
2
Resuleve ecuaciones cuadráticas II
7. Para esta gráfica, como las raíces
son imaginarias, deduciremos la
ecuación de la siguiente manera:
8. Para esta gráfica, como las raíces son
imaginarias, deduciremos la ecuación
de la siguiente manera:
Partimos de la función cuadrática en
2
su forma estándar y = a ( x − h ) + k
, y sustituimos en ella el vértice
y
un
punto
(h,k ) = ( −4,4 )
( x,y ) = ( −3,5 ) identificados en la
parábola, para determinar así el valor
de a.
Partimos de la función cuadrática en su forma estándar y = a(x - h)2 + k, y sustituimos
1 8
en ella un vértice aprox. (h,k ) =  , − 
2 3
y un punto ( x,y ) = ( 0, −3 ) identificados
y = a ( x − h) + k
2
en la parábola, para determinar así el
valor de a.
y = a ( x − h) + k
2
5 = a ( −3 − ( −4 ) ) + 4
2
5 = a (1) + 4
a=5−4
a =1
Con este valor, determinamos la
función cuadrática en su forma
estándar como:
y = (x + 4) + 4
2
Un apostol predicaba a la
multitud mencionando
y = ax2 + bx +c a lo que
alguien pregunto ¿Qué es
ello? Y le fue contestado
“Una parábola”
2

 1 8
−3 = a  0 −    −
 2  3

 1 8
−3 = a   −
4 3
8

a = 4  −3 + 
3

 1  −4
a = 4 −  =
 3 3
Con este valor, determinamos la función
cuadrática en su forma estándar como:
Es decir: 2
4
1 8
y = − x −  −
3
2 3
Función cuadrática: y = x 2 + 8x + 20
Ecuación cuadrática: x 2 + 8x + 20 = 0
Es decir: 4
4
Función cuadrática: y = − x 2 + x − 3
3
3
4 2 4
Ecuación cuadrática: − x + x − 3 = 0
3
3
FÓRMULA GENERAL
Hemos esperado hasta este momento para estudiar otro método algebraico
de solución de una ecuación cuadrática, siendo ésta completa o incompleta,
es por fórmula general.
317
B10
Para resolver la ecuación ax 2 + bx + c = 0 , bastará identificar los coeficientes
de los términos de la ecuación cuadrática y sustituirlos en la fórmula general.
La fórmula general que permite encontrar las soluciones de la ecuación
ax2 + bx + c = 0 es:
x=
−b ± b2 − 4ac
2a
Donde:
a es el coeficiente del término cuadrático.
b es el coeficiente del término lineal.
c es el término independiente.
(Esta fórmula se justifica en el caso 2 del método por factorización antes
descrito).
La expresión b2 – 4ac se llama discriminante y determina las soluciones de la
ecuación cuadrática bajo las condiciones siguientes:
• Si b2 – 4ac > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales.
• Si b2 – 4ac = 0, la ecuación tiene una solución real.
• Si b2 – 4ac < 0, la ecuación tiene dos soluciones complejas (imaginarias).
Ejemplos
I. Resolvamos ecuaciones cuadráticas aplicando la fórmula general, y realicemos
también su comprobación.
1. 3x2 – 4x + 1 = 0
Se identifican los coeficientes de los términos: a = 3, b = – 4 y c = 1
Estos valores se sustituyen en la fórmula general:
x=
Donde: x=
318
−b ± b2 − 4ac
2a
− ( −4 ) ±
( −4 )
2(3)
2
− 4 ( 3 )(1)
Resuleve ecuaciones cuadráticas II
Simplificando:
4+2 6

= =1
x =
4 ± 16 − 12 4 ± 4 4 ± 2  1
6
6
=
=
=
x=
−
4
2
2
1
6
6
6
x =
= =
2

6
6 3
Así, las soluciones o raíces del sistema son: x1 = 1 y x 2 =
1
3
Comprobación:
Para x1 = 1
3 (1) − 4 (1) + 1 = 0
2
1
3
Para x2 =
 1
 1
3  − 4   + 1 = 0
3
3
1 4
− + 1= 0
3 3
−1+ 1 = 0
0=0
2
3 − 4 + 1= 0
4−4=0
0=0
2. 4x2– 4x + 1 = 0
Se identifica: a = 4, b = – 4 y c = 1
Estos valores se sustituyen en la fórmula general:
x=
−b ± b2 − 4ac
2a
Donde: x=
x=
− ( −4 ) ±
( −4 )
2( 4 )
2
− 4 ( 4 )(1)
4 ± 16 − 16 4 ± 0 4
2 1
=
= ,de donde x = =
8
8
8
4 2
Así, la solución o raíz del sistema es: x1 =
1
2
Comprobación:
2
 1
 1
4  − 4  + 1= 0
2
2
1− 2 + 1 = 0
−1+ 1 = 0
0=0
319
B10
3. 5x2 - 4x + 1 = 0
Se identifica: a = 5, b = – 4 y c = 1
Estos valores se sustituyen en la fórmula general:
Una raíz imaginaria es un
número cuyo cuadrado es
negativo; se representa
como bi, donde b es un
número real e i es la
unidad imaginaria con la
propiedad siguiente:
x=
−b ± b2 − 4ac
2a
Donde: x=
− ( −4 ) ±
i2 = – 1, de donde i = −1
Las soluciones
imaginarias se expresan
como a ± bi
x=
=
( −4 )
2(5)
2
− 4 ( 5 )(1)
4 ± 16 − 20
10
4 ± −4 4 ± 4 ( −1)
=
10
10
4 ± 4 −1
=
10
4 ± 2i
=
10
4 2i 2 i

= +
x1 = +

Luego, 
10 10 5 5

x = 4 − 2i = 2 − i
 2 10 10 5 5
Así, las soluciones o raíces del sistema son imaginarias:
2 i
x1 = +
5 5
y
2 i
x2 = −
5 5
Actividad
I. Relaciona las siguientes ecuaciones cuadráticas con su correspondiente función
cuadrática, construye la gráfica e identifica gráficamente, las raíces de la ecuación.
320
1. x 2 + 9 = 0
4. 7x 2 + 11 = 0
2. 3x 2 + 12 = 0
5. 5x 2 − 15 = 0
3. −2x 2 − 10 = 0
6. −81x 2 − 16 = 0
Resuleve ecuaciones cuadráticas II
7. −x 2 + 18 = 0
25. 3x 2 − 12x + 12 = 0
8. 8x 2 + 20 = 0
26. x 2 + 5x − 6 = 0
1 2
x −4=0
2
27. x 2 − 2x − 15 = 0
10. x 2 + 3x = 0
28. 3x 2 − 5x + 2 = 0
11. 3x 2 − 9x = 0
29.−63x 2 − 29x + 4 = 0
12. −x 2 − 4x = 0
30. −65x 2 − 29x + 4 = 0
13. 14x 2 − 17x = 0
31. x 2 − x − 1 = 0
14. −5x 2 − 20x = 0
32. x 2 − 3x − 2 = 0
15. 12x 2 − 48x = 0
33. x 2 + 10x + 20 = 0
16. −3x 2 − 18x = 0
34. 2x 2 + 4x − 6 = 0
9.
17.
1 2 1
x + x=0
2
3
1
4
18. x 2 − x = 0
2
3
35. x 2 − 5x + 24 = 0
36. 2x 2 − 8x − 5 = 0
37. 3x 2 − 12x + 15 = 0
19. x 2 − x − 2 = 0
38. x 2 + 6x − 4 = 0
20. x 2 − 3x − 4 = 0
39. x 2 − 2x − 10 = 0
21. x 2 + 10x + 25 = 0
40. x 2 − 5x + 2 = 0
22. 2x 2 + 5x − 3 = 0
41. 60x 2 − 30x + 120 = 0
23. x 2 − 10x + 24 = 0
42. 10x 2 − 30x + 1 = 0
24. 2x 2 − 3x − 5 = 0
II. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas aplicando la fórmula general,
comprueba que las raíces encontradas son correctas y construye la gráfica
visualizando que las soluciones en la gráfica y las encontradas por fórmula general
son las mismas.
321
B10
1. x 2 − 3x + 4 = 0
2. 2x 2 − 5x + 2 = 0
3. 2x 2 + 3x + 5 = 0
322
Resuleve ecuaciones cuadráticas II
4. x 2 + 6x + 9 = 0
5. 2x 2 − 5x + 1 = 0
6. x 2 − 5x + 14 = 0
323
B10
7. 3x 2 − 8x + 5 = 0
8. −3x 2 + 6x − 2 = 0
III. Diseña la ecuación que modele las situaciones planteadas y encuentra la solución
a cada una.
1. Encuentra el número distinto de cero que es igual al doble de su cuadrado.
2. Si al doble del cuadrado de un número se le resta el triple del mismo el resultado
es cero. Halla el número, si éste es distinto de cero.
3. En un rectángulo, la base mide el triple que la altura. Si se disminuye 1 centímetro
cada lado, el área inicial disminuye 15 centímetros. Calcula las dimensiones y el
área del rectángulo inicial. 4. Halla 3 números impares consecutivos, tales que si al cuadrado del mayor se le
restan los cuadrados de los otros 2, se obtiene como resultado 7.
5. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad
del padre será el doble de la del hijo, ¿cuántos años tiene ahora cada uno? 324
Resuleve ecuaciones cuadráticas II
IV. Mediante la visualización, obtén las raíces de la ecuación cuadrática representada
en cada una de las gráficas siguientes, además, usa tu cuaderno de notas para
determinar la ecuación cuadrática y función cuadrática correspondientes.
1.
2.
Ecuación cuadrática:
Ecuación cuadrática:
Función cuadrática:
Función cuadrática:
3.
4.
Ecuación cuadrática:
Ecuación cuadrática:
Función cuadrática:
Función cuadrática:
325
B10
7.
8.
Ecuación cuadrática:
Ecuación cuadrática:
Función cuadrática:
Función cuadrática:
Autoevaluación
Elije la opción correcta en cada uno de los ejercicios y resuelve en tu cuaderno de
notas la ecuación correspondiente a cada ejercicio aplicando la fórmula general.
1. ¿Cuál es la gráfica que representa correctamente los valores numéricos de la
ecuación y = −x 2 + 8x ?
a)
326
b)
Resuleve ecuaciones cuadráticas II
c)
d)
2. ¿Cuál es la función cuadrática que se relaciona con la siguiente gráfica
a) y = x 2 − 2x + 2
b) y = x 2 − 2x − 2
c) y = x 2 + 2x − 2
d) y = x 2 + 2x + 2
3. Identifica la gráfica de la función: y = x 2 + 2x − 1
a)
b)
327
B10
c)
d)
4. ¿Cuál es la función cuadrática que se relaciona con la gráfica?
a) y = −x 2 + 4x − 3
b) y = −x 2 + 4x + 3
c) y = −x 2 − 4x − 3
d) y = −x 2 − 4x + 3
Evaluación formativa
A partir de la situación planteada realiza lo que se pide.
1. En un laboratorio médico se investiga el crecimiento de la bacteria que produce el
cólera. Para ello se coloca la bacteria en una caja de petri con agua y componentes
nutrimentales. En la gráfica se representa el número de bacterias durante las
primeras horas del experimento.
328
Resuleve ecuaciones cuadráticas II
a) ¿Cuál es la ecuación que relaciona la gráfica y hace corresponder el número
de bacterias con el tiempo transcurrido?
a) y= 1+2x2
b) y= 1+x
c) y= 1+x2
d) y= 1+4x
b) ¿Cuántas bacterias había al iniciar el experimento?
c) Si el crecimiento de las bacterias se da de igual manera al transcurrir las
horas, ¿cuántas bacterias habrá después de transcurrir 5 horas? Escala de rango
Nombre del alumno:
Escala de valoración:
0 Nulo 1 Deficiente 2 Aceptable 3 Satisfactorio
Aspectos observables
Encontró la ecuación cuadrática correctamente Resolvió la ecuación por algún método algebraico Comprendió la situación del planteada
Se verificaron los resultados
Sí No
Total:
Estimación
Cal =
Total×10
=
12
Observaciones:
Nombre de quien revisó:
329
B10
Bibliografía
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Baldor, Aurelio (2006). Álgebra. México, Ultra.
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330