Download “Nociones de Lógica proposicional”

Document related concepts

Lógica proposicional wikipedia , lookup

Bicondicional wikipedia , lookup

Tabla de verdad wikipedia , lookup

Negación lógica wikipedia , lookup

Proposición wikipedia , lookup

Transcript
“Nociones de Lógica proposicional”
Para poder obtener un lenguaje matemático correcto, introduciremos símbolos y conectivos. Estudiaremos
la llamada lógica matemática o simbólica.
Proposición
Definición: es todo enunciado de cuyo significado tiene sentido decir que es verdadero o falso.
Toda proposición está asociada a un “valor de verdad” que puede ser verdadero (V) o falso (F).
Ejemplos:
a) ¡Bien hecho!
b) Vení para acá.
c) El Sol gira alrededor de la Tierra.
d) Dos es divisor de veinte.
e) Marcelo terminó de cortar el césped.
Si analizamos cada uno de estos ejemplos, podemos ver que el a) es una exclamasión, el b) una orden,
mientras que el c),d) y e) son proposiciones ya que en ellas tiene sentido decir si son verdaderas o falsas.
Notaciones y conectivos
Las proposiciones se designan por medio de las letras p, q, r, etc.
A partir de proposiciones simples se pueden obtener otras, simples o compuestas, es decir, se puede
“operar” con proposiciones.
Para las distintas operaciones se utilizan diferentes símbolos llamados “Conectivos lógicos”.
A continuación se detallan los mismos:
Conectivo






Operación asociada
Negación
Conjunción
Disyunción
Disyunción exclusiva
Implicación o condicional
Doble implicación o bicondicional
Notación
p
Pq
Pq
Pq
p q
pq
Significado
No p o es falso p
P y q
P o q (en sentido incluyente)
P o q (en sentido excluyente)
P implica q, o si p entonces q
P si y sólo si q
Operaciones proposicionales
1) Negación
La negación de la proposición p es la proposición p (no p o es falso p) cuya tabla de calores de verdad
es:
p
p
V
F
F
V
2) Conjunción
La conjunción de las proposiciones p y q es la proposición p  q ( p y q), cuya tabla de valores de verdad
es:
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
3) Disyunción
La disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p  q (p o q con sentido incluyente), cuya
tabla de valores de verdad es:
p
V
V
F
F
p q
V
V
V
F
q
V
F
V
F
4) Disyunción exclusiva
A menudo se utiliza “o” con sentido excluyente (es decir uno u otro, pero no ambos)
La tabla de valores de verdad es:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pq
F
V
V
F
5)Implicación o condicional
La implicación de las proposiciones p y q, en ese orden, es la proposición pq (p implica q, o bien, si p
entonces q).
P se denomina antecedente de la implicación o condicional y q es el consecuente.
La tabla de valores de verdad es:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p q
V
F
V
V
5) Doble implicación o bicondicional
Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p  q (p si y sólo si q, o bien p sii q),
cuya tabla de verdad es:
p
V
V
F
F
pq
V
F
F
V
q
V
F
V
F
Tautología, contradicción y contingencia
Las tautologías son proposiciones cuyo único valor de verdad es: verdadera (V), independientemente de
los valores de verdad de las proposiciones componentes.
Ejemplo: (p  q)   p
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p
F
F
V
V
pq
V
V
V
F
(pq)  p
V
V
V
V
Llamaremos Contradicción a toda proposición cuya tabla de verdad es siempre falsa (F).
Ejemplo: p   p
p
V
F
pp
F
F
q
F
V
Implicaciones asociadas a una dada
A partir de una proposición que tenga la forma de una implicación se pueden formar otras tres
proposiciones distintas.
En efecto, dada la implicación pq que llamamos directa, se pueden formar:
1) q  p
2)  p  ( q)
3)  q  ( p)
recíproca
contraria
contrarecíproca
Función proposicional. Cuantificadores
El símbolo  se llama “cuantificador universal” y se lee “para todo”.
El símbolo  se llama “cuantificador existencial” y se lee “existe al menos uno”
Negación de proposiciones que contienen cuantificadores.
En general
 ( x  A: p(x) ) es equivalente a  x  A /  p(x)
 ( x  A / p(x) ) es equivalente a  x  A :  p(x)
TRABAJO PRÁCTICO DE LÓGICA PROPOSICIONAL
1) Sean p: hace frío y q: está lloviendo. Describir con un enunciado verbal las siguientes proposiciones:
a)
p
b) p  q
f)

g) p  q
q
j) q  p
c) p  q
h)
d) p  q
p
q
i)
e) q 
p
pq
2) Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Si 3 + 2 = 5 entonces 3 + 3 = 7
18 es múltiplo de 3 y 6
Si 3 + 2 = 7 entonces 4 + 4 = 8
10 + 10 = 20 si y sólo si 10 + 2 = 12
París está en Inglaterra o 3 + 2 = 5
Si 2 + 3 = 1 y 2 + 2 = 4 entonces 2 + 2 = 0
Si 24 es múltiplo de 6 entonces es múltiplo de 2
París está en Francia o 2 + 2 = 5
3) Confeccionar las tablas de valores de verdad de las siguientes proposiciones:
a)  p  q   p
d )  p  q   
g)  p  q  r
b) p  q
 p  q 
e)
h)
 p  q
 p  q 
4) Determinar si las siguientes proposiciones son tautologías:
c) 
f)
p q
 p  q     q  p  
 p  q  q  p
b)  p  q    q  r     p  r 
d) p  p  q
a) p  q  p
c) p  p  q
5) Sabiendo que p  q es V y que
 p  q  
q es V, determinar el valor de verdad de:
q   q
6) Determinar en cada caso, si la información que se da es suficiente para reconocer el valor de verdad
de las siguientes proposiciones compuestas.
a)  p  q   r
" r es verdadera "
b)  p  q    p q 
" q es verdadera "
c)  p  q    p  r 
" p es verdadera y r es falsa "
d) p  q  r 
" q es falsa "
7) Los valores de verdad de las proposiciones p, q, r y s son, respectivamente , V, F, F, V. Obtener los
valores de verdad de:
a )  p  q   r   s
c) p  r  r  s
b) r  s  p
8) Utilizando tablas de verdad probar la equivalencia de las siguientes proposiciones:
a) p  q
b)
p
y
 p  q
y
q
p q
9) Aplicando las leyes lógicas simplificar las siguientes proposiciones:
a)
c)
e)
 p  q
 p  q
 p  q
b)
d)
f)
 p  q
 p  q
 p  q  
p  q
10) Aplicando las leyes lógicas probar la equivalencia de las siguientes proposiciones:
a)

c) 

p  q   q   r 
b) p   p 
11) Dado

  p
p  
 q  r   
p   p   q 
 
p  q   r   q  p  

q    q   r  p 

r 
p  q
 r   q
A   1, 2,3, 4,5  hallar el valor de verdad de los siguientes enunciados:
a)  x  A / x  3  10
c)  x  A / x  3  5
e)  x  A / y  A : x 2  y  1
b)  x  A : x  3  10
d)  x A: x  3  7

p 
12) Negar las siguientes expresiones:
a) x : p  x   q  x 
b) x / p  x   q  x 
c) x / q  x   p  x 
d ) x : p  x   q  x 
e) x : p  x    y / q  y 
f ) x /  p  x   q  x    r  x 
g ) x /
p  x   y : p  y 
h) x : p  x   q  x 
i) x / q  x   p  x 
13) Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados y luego negarlos:
a)  x  / x 2  x
b) x  : x 2  0
c)
d)
e)
a)
x  : x 2  2 x  0
x  : x  1  x
x / x  2  x
 x  / x  x
Related documents