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“Nociones de Lógica proposicional” Para poder obtener un lenguaje matemático correcto, introduciremos símbolos y conectivos. Estudiaremos la llamada lógica matemática o simbólica. Proposición Definición: es todo enunciado de cuyo significado tiene sentido decir que es verdadero o falso. Toda proposición está asociada a un “valor de verdad” que puede ser verdadero (V) o falso (F). Ejemplos: a) ¡Bien hecho! b) Vení para acá. c) El Sol gira alrededor de la Tierra. d) Dos es divisor de veinte. e) Marcelo terminó de cortar el césped. Si analizamos cada uno de estos ejemplos, podemos ver que el a) es una exclamasión, el b) una orden, mientras que el c),d) y e) son proposiciones ya que en ellas tiene sentido decir si son verdaderas o falsas. Notaciones y conectivos Las proposiciones se designan por medio de las letras p, q, r, etc. A partir de proposiciones simples se pueden obtener otras, simples o compuestas, es decir, se puede “operar” con proposiciones. Para las distintas operaciones se utilizan diferentes símbolos llamados “Conectivos lógicos”. A continuación se detallan los mismos: Conectivo Operación asociada Negación Conjunción Disyunción Disyunción exclusiva Implicación o condicional Doble implicación o bicondicional Notación p Pq Pq Pq p q pq Significado No p o es falso p P y q P o q (en sentido incluyente) P o q (en sentido excluyente) P implica q, o si p entonces q P si y sólo si q Operaciones proposicionales 1) Negación La negación de la proposición p es la proposición p (no p o es falso p) cuya tabla de calores de verdad es: p p V F F V 2) Conjunción La conjunción de las proposiciones p y q es la proposición p q ( p y q), cuya tabla de valores de verdad es: p q pq V V V V F F F V F F F F 3) Disyunción La disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p q (p o q con sentido incluyente), cuya tabla de valores de verdad es: p V V F F p q V V V F q V F V F 4) Disyunción exclusiva A menudo se utiliza “o” con sentido excluyente (es decir uno u otro, pero no ambos) La tabla de valores de verdad es: p V V F F q V F V F pq F V V F 5)Implicación o condicional La implicación de las proposiciones p y q, en ese orden, es la proposición pq (p implica q, o bien, si p entonces q). P se denomina antecedente de la implicación o condicional y q es el consecuente. La tabla de valores de verdad es: p V V F F q V F V F p q V F V V 5) Doble implicación o bicondicional Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p q (p si y sólo si q, o bien p sii q), cuya tabla de verdad es: p V V F F pq V F F V q V F V F Tautología, contradicción y contingencia Las tautologías son proposiciones cuyo único valor de verdad es: verdadera (V), independientemente de los valores de verdad de las proposiciones componentes. Ejemplo: (p q) p p V V F F q V F V F p F F V V pq V V V F (pq) p V V V V Llamaremos Contradicción a toda proposición cuya tabla de verdad es siempre falsa (F). Ejemplo: p p p V F pp F F q F V Implicaciones asociadas a una dada A partir de una proposición que tenga la forma de una implicación se pueden formar otras tres proposiciones distintas. En efecto, dada la implicación pq que llamamos directa, se pueden formar: 1) q p 2) p ( q) 3) q ( p) recíproca contraria contrarecíproca Función proposicional. Cuantificadores El símbolo se llama “cuantificador universal” y se lee “para todo”. El símbolo se llama “cuantificador existencial” y se lee “existe al menos uno” Negación de proposiciones que contienen cuantificadores. En general ( x A: p(x) ) es equivalente a x A / p(x) ( x A / p(x) ) es equivalente a x A : p(x) TRABAJO PRÁCTICO DE LÓGICA PROPOSICIONAL 1) Sean p: hace frío y q: está lloviendo. Describir con un enunciado verbal las siguientes proposiciones: a) p b) p q f) g) p q q j) q p c) p q h) d) p q p q i) e) q p pq 2) Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) b) c) d) e) f) g) h) Si 3 + 2 = 5 entonces 3 + 3 = 7 18 es múltiplo de 3 y 6 Si 3 + 2 = 7 entonces 4 + 4 = 8 10 + 10 = 20 si y sólo si 10 + 2 = 12 París está en Inglaterra o 3 + 2 = 5 Si 2 + 3 = 1 y 2 + 2 = 4 entonces 2 + 2 = 0 Si 24 es múltiplo de 6 entonces es múltiplo de 2 París está en Francia o 2 + 2 = 5 3) Confeccionar las tablas de valores de verdad de las siguientes proposiciones: a) p q p d ) p q g) p q r b) p q p q e) h) p q p q 4) Determinar si las siguientes proposiciones son tautologías: c) f) p q p q q p p q q p b) p q q r p r d) p p q a) p q p c) p p q 5) Sabiendo que p q es V y que p q q es V, determinar el valor de verdad de: q q 6) Determinar en cada caso, si la información que se da es suficiente para reconocer el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. a) p q r " r es verdadera " b) p q p q " q es verdadera " c) p q p r " p es verdadera y r es falsa " d) p q r " q es falsa " 7) Los valores de verdad de las proposiciones p, q, r y s son, respectivamente , V, F, F, V. Obtener los valores de verdad de: a ) p q r s c) p r r s b) r s p 8) Utilizando tablas de verdad probar la equivalencia de las siguientes proposiciones: a) p q b) p y p q y q p q 9) Aplicando las leyes lógicas simplificar las siguientes proposiciones: a) c) e) p q p q p q b) d) f) p q p q p q p q 10) Aplicando las leyes lógicas probar la equivalencia de las siguientes proposiciones: a) c) p q q r b) p p 11) Dado p p q r p p q p q r q p q q r p r p q r q A 1, 2,3, 4,5 hallar el valor de verdad de los siguientes enunciados: a) x A / x 3 10 c) x A / x 3 5 e) x A / y A : x 2 y 1 b) x A : x 3 10 d) x A: x 3 7 p 12) Negar las siguientes expresiones: a) x : p x q x b) x / p x q x c) x / q x p x d ) x : p x q x e) x : p x y / q y f ) x / p x q x r x g ) x / p x y : p y h) x : p x q x i) x / q x p x 13) Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados y luego negarlos: a) x / x 2 x b) x : x 2 0 c) d) e) a) x : x 2 2 x 0 x : x 1 x x / x 2 x x / x x