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COLEGIO COLOMBO BRITÁNICO
“Formación en la Libertad y para la Libertad”
MATEMÁTICAS - LÓGICA
GRADO:6O
DOCENTE: Nubia E. Niño C. FECHA: 19 / 01 / 16
Guía Didáctica
1-1
Desempeño: * Reconoce expresiones del lenguaje que pueden ser proposiciones e identifica los conectivos lógicos
para formar proposiciones compuestas.
APRENDE:
Proposiciones: es un enunciado al cual se le puede asociar el concepto de falso o verdadero, pero no ambos; para
nombrarlas, habitualmente, se utilizan letras minúsculas.
Ejemplos: a) Son proposiciones: * Perú es un país de Sudamérica. * Bogotá es la capital de Argentina.
2
2
2
* 3 + 4 = 7 . * 3 es divisor de 15 y 4 es divisor de 20.
b) No son proposiciones: * Expresiones interrogativas: ¿Tu nombre es Ángel?
* Expresiones admirativas: ¡Viva el Perú! * Expresiones que indican ruego o súplica: ¡Por favor, deme una
oportunidad!
Proposiciones simples o atómica: son aquellas que carecen de palabras de enlace como: y, o, entonces; para
negarlas, se les antepone la expresión “no es verdad que” o se le añade un “no”
p: Todos los triángulos son isósceles------------> (F); Negarla: V ( p) = todos los triángulos no son isósceles
s: 8 es un número par ---------------------------------> (V); Negarla: F ( s) = 8 no es un número par
Proposiciones compuestas o moleculares: son expresiones que pueden descomponerse en otras que a su vez son
proposiciones simples. Están unidas por palabras de enlace como y, o., si solo si, entonces, llamados conectivos
lógicos.
Conectivos Lógicos: Son elementos que sirven de enlace entre las proposiciones, para formar otra, denominada
proposición molecular.
Conectivo Lógico
O
Y
Si…entonces
Si y solo si
No
Notación





Nombre
Disyunción
Conjunción
Implicación
Equivalencia
Negación
La conjunción: ()
Es aquel conectivo (y) que actúa sobre las dos o más proposiciones simples. Para dar como RESPUESTA EL VALOR
(V) sucede cuando las proposiciones simples que conforma la proposición compuesta son todas verdaderas de lo
contrario su respuesta o resultado será (F)
Ejemplo: Se necesita una secretaria que sepa inglés y español nuevamente tenemos 4 posibilidades:
Resultado Conjunción
*La secretaria no sabe inglés ni español
*La secretaria no sabe inglés y sabe español
*La secretaria sabe inglés y no sabe español
*La secretaria sabe inglés y español
p: la secretaria sabe inglés
q: la secretaria sabe español
La disyunción:(v)
Es aquel conectivo (o) que actúa sobre las dos o más proposiciones simples.
Para dar como RESPUESTA EL VALOR (F) sucede cuando las proposiciones simples que conforma la proposición
compuesta son todas falsas de lo contrario su respuesta o resultado será (V)
Ejemplo. Se necesita una secretaria que sepa inglés o español
Nuevamente tenemos 4 posibilidades:
Resultado disyunción
*La secretaria no sabe inglés y no sabe español
*La secretaria no sabe inglés y sabe español
*La secretaria sabe inglés y no sabe español
*La secretaria sabe inglés y español
p: la secretaria sabe inglés
q: la secretaria sabe español
Proposición Condicional o implicación lógica: ()
“Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples, condicionadas una de la
otra”.
La cual se indica de la siguiente manera: p → q Se lee “Si p entonces q”.
A la proposición “p” le llamaremos antecedente y a la proposición “q” le llamaremos consecuente.
La implicación entre dos proposiciones simples es FALSA solo cuando el ANTECEDENTE es verdadero y el
CONSECUENTE es falso.
Ejemplo p: Juan saca 10 en su examen.
q: Juan va al paseo el fin de semana.
p → q se lee: “Si Juan saca 10 entonces Juan va al paseo el fin de semana”.
Antecedente
consecuente
Proposición de equivalencia o bicondicional: ()
“Una proposición de equivalencia o bicondicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples,
condicionadas una de la otra, con la característica de que la condición debe cumplirse forzosamente”.
Se indica la proposición de equivalencia o bicondicional de la siguiente manera: p ↔ q Se lee “p si y solo si q”.
La equivalencia entre dos proposiciones simples es VERDADERA cuando AMBAS son verdaderas, o cuando
ambas son falsas.
Ejemplo
p: Juan va al paseo el fin de semana
q: Juan saca 10 en su examen
p ↔ q se lee: “Juan va la paseo el fin de semana si y solo si Juan saca 10 en su examen”.
Conectivo lógico
APOYO - VÍDEOS RECOMENDADOS:
Observa estos vídeos que te ayudarán a aprender y afianzar el tema de proposiciones lógicas:
Proposiciones Lógicas - http://youtu.be/ihhbv4CwU7c
Clases de Proposiciones - http://youtu.be/P0lStV5buYY
Conectores Lógicos - http://youtu.be/mu4l18wbpgU
Conectores Lógicos - http://youtu.be/sAEPxXLfpcs
Conectores lógicos y tablas de verdad - http://youtu.be/kANelfBRR9Y
APLICACIÓN:
NOTA  Todo el taller se desarrolla en el cuaderno; mostrar proceso y dar claramente la(s) respuesta(s).
Trabajar ordenadamente.
Grado de dificultad: Los puntos # 7, # 8, # 15, # 17, tienen un grado de dificultad alto; los demás puntos tienen un
grado de dificultad básico.
ACTIVIDADES:
Para cada ejercicio realice el proceso que justifique su respuesta.
1) ¿Cómo defines una proposición?
2) Escribe 4 frases o proposiciones matemáticas verdaderas
3) Escribe 4 frases o proposiciones matemáticas falsas
4) De los siguientes enunciados, determina cuales son proposiciones y de qué tipo; escribe el valor de verdad de cada
proposición.
a) El sol es una estrella.
b) Los gatos y los perros son mascotas.
c) El cielo es azul y los campos son verdes.
d) Dos es mayor que tres.
e) Un número es primo si y solo si tiene dos divisores.
f) Si llueve y hace sol sale el arco iris.
g) 3 + 4 – 3 = 5
h) ¡Hola!
i) ¿Juan es amigo de Pedro?
j) Veinte es un múltiplo de 5
k) Un número natural es par o impar
l) Si hoy es miércoles, entonces ayer fue lunes
m) Algunos días son soleados
5) Identifica las proposiciones simples y clasifica en verdadera o falsa las siguientes frases:
a) Siete es un número natural ____________
b) ¡Lave el carro! _________________
c) Cali es la capital de la República de Colombia _______________
d) 4 x 5 = 9 ____________________
e) Todo triangulo tiene tres lados __________________
f) 3 + 9 es menor que 11 ____________
g) ¡Siéntese! ___________
h) 101 es un numero par __________
6) Escribe la negación de cada una de las proposiciones dadas en el punto 4
7) Considera las siguientes observaciones:
“Sólo hay dos formatos de foto: rectangular y cuadrada. Las fotos son en color o en blanco y negro. Si la foto es
cuadrada, entonces es una foto en blanco y negro. Si es rectangular, es una foto digital en color.
En caso de que la foto sea en blanco y negro o digital, entonces es un retrato. Si es un retrato, es la foto de mi amigo.”
a) Construir la base de conocimiento escribiendo fórmulas bien formadas de lógica proposicional que representen lo
expresado en el párrafo anterior.
Para escribir las fórmulas, utilizar las letras: A, B, C, D, E, F, G.
Letras
A
B
C
D
E
F
G
Indicaciones
la foto es en color
la foto es en blanco y negro
la foto es cuadrada
la foto es rectangular
la foto es digital
la foto es un retrato
la foto es de mi amigo
fórmula bien formada:
1. Sólo hay dos formatos de foto: rectangular y cuadrada.
2. Las fotos son en color o en blanco y negro.
3. Si la foto es cuadrada, entonces es una foto en blanco y
negro.
4. Si es rectangular, es una foto digital en color.
5. En caso de que la foto sea en blanco y negro o digital,
entonces es un retrato.
6. Si es un retrato, es la foto de mi amigo.
8) Considere los enunciados representados por las proposiciones p y q:
p: 4 es un número primo
y
q: 4 es divisor de 32
Formar las relaciones que se indican, a partir de las proposiciones simples dadas; decir el valor de verdad:
a) p  q
b) q  p
c) p  q
d) p  q
e) p  q
f) q  p
9) Considere las proposiciones, p: Él es ingeniero Administrativo, q: Él es ingeniero de sistemas, r: Él es empresario.
Escribir en forma simbólica los siguientes enunciados:
a) Él no es Ingeniero Administrativo, ni de sistemas, pero si Empresario.
b) Él no es Ingeniero Administrativo y es ingeniero de sistemas.
c) Ser Ingeniero Administrativo o Empresario es lo mismo que ser ingeniero de Sistemas.
d) Si él es Ingeniero Administrativo y de Sistemas, entonces es Empresario.
e) Si no es Ingeniero Administrativo y es ingeniero de sistemas, entonces es Empresario.
10) Señalar las proposiciones que son conjunciones:
a) Medellín es una ciudad o es una capital
c) Si estamos en verano entonces hace calor
b) El 2 es un número par y es un número primo
d) Iré a jugar solo si me dan permiso
11) Considere los enunciados representados por las proposiciones p, q, r:
p: la ballena azul es el animal más grande del mundo
q: la ballena azul come krill
r: El krill es un crustáceo
(Significado de krill) = Banco de crustáceos planctónicos semejantes al camarón, que constituye el alimento principal
de las ballenas.
Formar las conjunciones que se indican, a partir de las proposiciones simples dadas; decir el valor de verdad:
a) p  q
b) q  r
c) p  r
d) p  q
e) q  r
12) Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas o cuáles son falsas; sustentar o justificar las
falsas.
a) Si las dos proposiciones simples de una disyunción son falsas, la disyunción es falsa
b) Si alguna de las proposiciones simples de una disyunción es falsa, la disyunción es falsa
c) Si alguna de las proposiciones simples de una conjunción es verdadera, la conjunción es verdadera
d) Si las dos proposiciones simples de una conjunción son verdaderas, la conjunción es verdadera
13) Escribir el valor de verdad de las siguientes disyunciones:
a) 3 es un número impar o es un número primo
b) 20 no es múltiplo de 4 o de 15
c) Un número dígito es 0 o 9
d) 2 es un divisor de 9 si solo si 4 es un número par.
14) Sean p, q y r las proposiciones siguientes:
p: "está lloviendo"
q: "el sol está brillando"
r: "hay nubes en el cielo"
Traducir las siguientes oraciones a notación simbólica utilizando las letras asignadas y los conectivos lógicos:
Está lloviendo y el Sol brillando
Si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo
Si no está lloviendo, entonces el Sol no está brillando y hay nubes en el cielo
El Sol está brillando si, y sólo si, no está lloviendo
Si no hay nubes en el cielo, entonces el Sol está brillando
15) Sean p, q y r del ejercicio 14. Traducir las siguientes proposiciones simbólicas a oraciones en español:
1
2
3
4
5
(p  q)  r
p ⇔ (q  r)
 (q  p)  r
(p ⇒ r) ⇒ q
[p ⇔ (q  r)]
16) Lectura:
"Caía una espesa lluvia. Juan se despertó y lanzó un gemido ¡Aj,… aj,… el colegio! Se levantó de la cama y se sentó
en una silla. Oyó la bocina de un auto o el silbato de un policía. Entonces se estremeció. Por causa del frío o del
miedo. Estaban haciendo tanto ruido. Repentinamente se le iluminó la cara. ¡Qué bien! Se habían acordado de algo.
Las clases no empiezan hoy, sino mañana"
A) Redactar una lista de las proposiciones simples de la lectura leída
p: ___________________________________________________________________________________________
q: ___________________________________________________________________________________________
r: ____________________________________________________________________________________________
s: ____________________________________________________________________________________________
t: _____________________________________________________________________________________________
B). En base a las proposiciones anteriores hacer una lista de proposiciones compuestas
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
17) Completar las siguientes tablas de verdad: de acuerdo a la definición de conjunción, o disyunción, o implicación, o
equivalencia.
pq
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p
q
r
p
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pq
r
q
V
V
F
F
q⇒ r
r
V
F
V
F
p  q
q⇒ r
q
V
V
F
F
r
V
F
V
F
q r
(p  q) ⇒ r
r
F
V
V
F
⇒
q
V
F
V
F
 rp
APOYO – ACTIVIDADES INTERACTIVAS (LÚDICAS):
En estas páginas encontraras actividades interesantes (Interactivas) para el estudio de la lógica proposicional.
http://www.primaria.librosvivos.net/archivosCMS/3/3/16/usuarios/103294/9/Lengua_es_ud9_Las_conjunciones/frame_
prim.swf
http://www.educaplay.com/es/coleccion/1606/2/logica_proposicional.htm
http://www.educaplay.com/es/coleccion/1606/4/logica_proposicional.htm
Fuentes Bibliográficas:
Salazar Suárez, Francia. Hipertexto 6, Editorial Santillana, 2010
Rodríguez Sáenz, Benjamín. Matemáticas Prentice Hall 6, Editorial Pearson, 2000
Salgado Ramírez, Diana. Nuevas Matemáticas 6, Editorial Santillana 2007
http://www.gestiopolis.com/que-es-logica-proposicional/
http://www.monografias.com/trabajos/iartificial/pagina4_11.htm
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Logica_Proposicional/LogicaProposicional_3b.ht
ml
www.tareasplus.com - https://youtu.be/kANelfBRR9Y
www.tareasplus.com - https://youtu.be/ihFqtV2HbcI
www.tareasplus.com – https://youtu.be/ag1jUWttta0
http://www.monografias.com/trabajos-pdf5/logica-proposicional-ejercicios-resueltos/logica-proposicional-ejerciciosresueltos.shtml
http://www.monografias.com/trabajos71/logica-proposicional/logica-proposicional2.shtml
Imágenes de: https://ericmat.wordpress.com/2010/06/17/proposiciones-conjunciones-disyunciones-implicaciones/
http://librorecetas.com/tabla/tabla-de-verdad-bicondicional-ejemplos.html
“En las matEmáticas Es dondE El Espíritu EncuEntra los ElEmEntos que más ansía:
la continuidad y la pErsEvErancia”
Jacques Anatole