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Álgebra y G.A. – 2010 - II
Práctica 2
Matrices- Sistemas de Ecuaciones Lineales - Determinantes
UNIDAD II: MATRICES.
Matrices. Submatrices, elementos, filas, columnas. Diagonales.
Tipos de matrices: nulas; rectangulares; cuadradas: diagonales, escalares y matrices
identidad; matrices filas y matrices columnas. Matriz transpuesta de otra; matrices
simétricas. Propiedades.
Operaciones con matrices: suma, producto de escalares y matrices, producto de
matrices. Propiedades.
Matriz inversible y matriz inversa de una inversible. Propiedades.
Matrices reducidas y matrices escalonadas.
Rango de una matriz. Propiedades y propiedades del rango de las submatrices.
Transformaciones de matrices. Transformaciones elementales y matrices elementales.
Inversas de las mismas. Propiedades, conservación del rango.
Composición de transformaciones elementales. Propiedades y transformaciones
obtenidas.
Existencia y cálculo de la matriz inversa mediante transformaciones.
Matriz asociada a una transformación lineal entre espacios vectoriales.
Propiedades.
UNIDAD III: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
Expresión matricial. Matriz del sistema y matriz ampliada. Vector solución y conjunto
de soluciones de un sistema. Sistemas compatibles (determinados e indeterminados) e
incompatibles. Sistemas homogéneos.
Sistemas equivalentes. Análisis y resolución de un sistema de ecuaciones lineales
mediante transformaciones de matrices. Teorema de Rouché Frobenius.
UNIDAD IV:
DETERMINANTES.
Determinantes de matrices cuadradas. Propiedades. Propiedades de los determinantes de
matrices transformadas. Resolución de determinantes mediante transformaciones:
método de condensación.
Cálculo del rango de una matriz mediante determinantes. Existencia de la matriz inversa
de una matriz con determinante no nulo. Cálculo de la inversa mediante el método de la
adjunta. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante la regla de Cramer.
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Álgebra y G.A. – 2010 - II
Práctica 2
Nota: Los ejercicios señalados con: * son opcionales.
 1 3  5
3  2 2


1) Dadas las siguientes matrices: A  
B  
0 3 1 
1  1 2
Calcular:
a) A  B
b) A  B
c) A  B siendo:   3
 3 2


2) Dadas A    1 1 
 0 4


4
 1 2 0 3

B  
  1 1 3 1
a) Calcular A.B
b) ¿Puede calcularse B.A?
1 1 0


3) Sean A   0 2 1 
 3 1 2


a) Hallar A.B
4) Sean
1 0

I 2  
0 1
 2  0  3


B  3  2 1 
1 4
1 

b) Hallar B.A
c) ¿Qué conclusión se puede sacar?
1 0 0


I3  0 1 0
0 0 1


 3 2


A  1 1
 0 4


1 2
 ,
B  
3 4
Hallar:
a) A.I 2
b) I 3 . A
c) I 2 .B
e) ¿Qué conclusiones se pueden extraer?
5) Sea I n 
 
j j 1,...,n
i i  1,...,n
Sea A  ai j 
i 1,..n
j 1,..n
Demostrar que:
i  1,..n :  i  1

i
tal que: 
i, j  1,..n : i  j 


d) B.I 2

j
i
0

una matriz cuadrada con o( A)  n
I n . A  A.I n  A
a) B T . AT
6) Para las matrices del ejercicio 2 calcular:
2
b) ( A.B) T
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7*) Dadas las siguientes matrices:
 2 1  1
1



B  1 1 1 
C   1
2 1
2
3 


 2
 
1
F  
G  4  1
3
 
0
 
1 3 2

A  
3 1 4
 1 0 4


E  1 2 1
 0 2 3


0

1
1 
0
 1 5

D  
  1 1
 1  5


6 6 
H 
1 1 


2 7 


a) Realizar ,cuando se posible, las siguientes operaciones:
i) B + E
vi) A.C-D
ii) A B
vii) D xH
iii) A C
viii) F+G
iv) B² C
ix)(B+E)T
v) F²
x) 2C+3D
xi) 5F+GT
b) Realizar las siguientes operaciones y extraer conclusiones.
i) (B+E)T
ii) BT + ET
iii) (B+E)²
iv) B ²+2BE +E ²
 2  1 3

B  
 5 0 1
1 4 

8*) Dadas las siguientes matrices, A  
 2  1
Hallar:
a) c31 de la matriz C=BT
b) c23 de la matriz C=A. B
c) c22 de la matriz C=A²
9) Escribir explícitamente la matriz A  a i j 
i  1,..n
j 1,..m
, en cada caso:
a) A con dim A = 23, si  i=1,2:  j =1,..,3 : aij = i² + j
b) A cuadrada, o(A)= 3, si  i, j=1,...,3 : aij =  1
i j
 i, j
i  j  aij  1

c) A, con dim A = 32, si  i=1;...;3 :  j =1;2 :  i  j  aij  2
i ja 3
ij

10*) Hallar a,b,c,d  R, de manera que se verifiquen :
 0 4   3a 4   b 0 
  
  

d1) 
2
5
0
a
2

b

 
 

 2 a  1  3   6 
      
d2) 
5
1

   4   2b 
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a b 
0 1 a
  2  
  I2
d3) 
 2 
c d 
2
11*) Determinar, si es posible, la matriz X que verifica:
1 2
1 0
 X  

a) 
0 1
0 1
con: dim X = 22
2
3 
1
 3 


 
b)  4
5
6  X   6  con: dim X = 13
  1  2  3
  3


 
1 1 2 
 X  I 2
c) 
1 0  1
con: dim X = 32
 4  3

12) Sean las matrices A  
 1 1 
1 3 

B  
1 4 
a) Probar que B  A1
b) Probar que C no tiene inversa
c) Determinar si J  H 1 .
1 0 1


H   1 2  2
2 1 1 


 0 1/ 5 2 / 5


J    1 3 / 5 1/ 5 
  1 1/ 5 2 / 5


13) Hallar los rangos de las siguientes matrices:
3 1 2
 2


A    3 1 4 0
 1 2
3 2 

 2 3 1 2


B   2 1 4 1
 1 2 3 2


1 2

C  
 2 4
0 0

O  
0 0
4
1 2

C  
 2 4
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 4  3

D  
 1 1 
1 3 

E  
1 4 
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4 3 5  7


14) Sea la matriz A   0 2 6  5 
 8 1 9  3


Hallar el resultado de la siguiente transformación aplicada a la misma:






B




 

4 3
0 2
2
0
3 5

0
1
2
2
6/2
0 2
8 1
2 6
2 6

0
1 9
2
3 7 

2 5 

2 


 5/ 2 


2 5 
1 3 


2 
15) Obtener el mismo resultado aplicando sucesivamente transformaciones elementales.
16) a) A la matriz B obtenida en el ejercicio 14 en la cual se tiene que b31  8 aplicarle
la transformación P31 que utiliza dicho elemento como pivote: P31 ( B)  C
b) A la matriz C  ci j i 1,..3 obtenida, aplicarle la transformación P13 que usa c13
j 1,..4
como pivote:
P13 (C )  D
c) ¿Qué tipo de matriz es D?
17) a) A la matriz D obtenida en el ejercicio anterior aplicarle una transformación
elemental de tipo 3 que intercambie la primera fila con la tercera: e III (1, 3) ( D)  E
b) ¿De qué tipo es la matriz E obtenida?
 2 3 4 0


18) Sean las matrices A   1  2 2 3 
 4 2 0 1


1 0 0
0 1 0
1  2 0






EI   0 1 0
E III   1 0 0 
E II   0 1 0 
 0 0 3
0 0 1
0 0 1






Hallar:
a) E I . A
b) E II . A
c) E III . A
d) Obtener los mismos resultados con transformaciones elementales.
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Práctica 2
19) A las matrices obtenidas en el ejercicio anterior multiplicarlas por las siguientes
matrices:
1 0 0 
 1  2 0




a) E 'I   0 1 0 
b) E 'II   0 1 0 
c) E 'III  E III
 0 0 1 / 3
 0 0 1




d) Obtener los mismos resultados con transformaciones elementales.
20) Multiplicar:
a1) E I . E I'
a2)
E I' .EI
b1) EII . E II'
b2) E II' .E II
c) EIII .EIII
d) ¿Qué conclusiones pueden sacarse?
21) Utilizando transformaciones del tipo utilizado en esta práctica verificar si
las siguientes matrices tienen inversa y en caso de que las tengan hallarlas.
1 2

a) 
3 4
1 2

b) 
 2 4
 1 2 0


f)  3  1 1 
1
3 1 

1 2

c) 
3 5
0

0
g) 
1

0

0 1

d) 
1 0
1 0 0

0 0 1
1 0 0

0 1 1 
 1 2 0


e)  3  1 1 
 1 0 2


 2 1  1


h)  0 1 8 
 0 0  1


 x  x 2  x3  2 x 4  2
22) Dado el siguiente sistema  1
,
x

x

x


1
2
3
4

Determinar si las siguientes cuaternas son solución del mismo:
v  (3;1;0;0) , w  (1;1;0;0) ,
u  (0;1;0;0) ,
a  (0;0,0,1)
23) a) Decidir si (2;2;-2) ; (0;0;0) ; ( 0;-2;1) son solución del sistema:
2
 2x  y

z
0
x

 y  2z  2

b) Determinar si el sistema es compatible determinado o indeterminado.
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24) Utilizando la matriz del ejercicio (14) y la matriz transformada de la misma
obtenida en (17 a) resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
 4 x1 – 3 x2 + 5 x3 = - 7

x2 + 6 x3 = - 5
 8 x1 + x2 + 9 x3 = - 3
25) Utilizando el mismo método analizar y si es posible resolver los siguientes sistemas
de ecuaciones lineales:
a)  2 x1 – 4 x2 + 5 x3 = 2
- 3 x1 + 3 x2 – 4 x3 = - 2
 x1 - 5 x2 + 6 x3 = 2
b)  2 x1 – 4 x2 + 5 x3 = 2

 x1 - 5 x2 + 6 x3 = 2
c)  2 x1 – 4 x2 + 5 x3 = 0
- 3 x1 + 3 x2 – 4 x3 = 0
 x1 - 5 x2 + 6 x3 = 0
d)  4 x1 + 3 x2 + 5 x3 = 0

x2 + 6 x3 = 0
 8 x1 + x2 + 9x3 = 0
e)  2 x1 – 4 x2 + 5 x3 = 2
- 3 x1 + 3 x2 – 4 x3 = - 2
 x1 - 5 x2 + 6 x3 = 0
f)  x1 + x2 + 2 x3 = 2
 x1 + 3 x2
= 1
 2x1
- x3 = 3
26) Usando el resultado obtenido en (21 e) resolver el siguiente sistema:
 - x1 + 2 x2
= 4
 3 x1 - x2 + x3 = 1
 x1
+ 2 x3 = 0
27) Resolver los siguientes sistemas aplicando el método de la matriz inversa.
1
x  2 y
2 x  7 y  13

a) 
b)  x
z0
7
x  y

yz 2

28) Utilizando la matriz del ejercicio (14) y la matriz transformada de la misma
obtenida en (17 a) calcular el rango de las siguientes matrices:
4 3 5  7


A*   0 2 6  5 
8 1 9  3


4 3 5

A  0 2 6
8 1 9






29) Analizar, utilizando el Teorema de Rouche Frobenius los sistemas de los ejercicios
(24) y (25)
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Práctica 2
30) Analizar si los siguientes sistemas son compatibles determinados, compatibles
indeterminados o incompatibles. Escribir el conjunto solución.
 x yz 2

a.  2 x  y  z  1
 x  2 y  z  3

 2 x  y  3z  1

b. 4 x  2 y  6 z  2
 6x  3y  9z  5

 x yz 3

c. 2 x  2 y  2 z  6
 x  y  z 1

6 x  3 y  4 z  0
6 x  9 y  4 z  0

d. 
3y  4z  0

 x  y 
z0
31*) Analizar los posibles valores de b   , para los cuales el sistema es:
a) Compatible determinado
b) Compatible indeterminado.
c) Incompatible.
 3x  6 y  6 z  3

i) 2 x  2 y  3 z  1

2y  z  b

 x  6 y  3z  8

ii) 4 x  5 y  10 z  6
 5 x  by  13 z  0

32) Calcular los determinantes de las matrices del ejercicio (21).
Para las matrices de los incisos (e) y (f), aplica los métodos: Sarrus , Condensación
y Desarrollo por fila o columna .
Para la matriz del inciso (g ),aplica los métodos :Condensación y Desarrollo por fila
o columna .
33) Sabiendo que:
a)
f)
 4a
b
 4c
d
a  2b
b
c  2d
d
a b
c d
 6 , calcular:
b)
g)
b
a
d
c
c)
c
d
2a 2b
a
a  2c b  2d
d)
b 1
h) 0 0 0
c d 0
2c  a 2d  b
34) Calcular los siguientes determinantes.
a)
0 2
1 5
1 0
3
4
3 2 2 1
5 1
3
0
5
0
1
0
0
2
0
3
1
0
b)  1 1
0
0
0
0
0 1 0
0
1
0
9
3
0 1
a
c
b d
e)
4b
b
4d
d
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Práctica 2
35*) Determinar los valores de x
a) det(A) = 0
 R en cada caso, para que se verifique:
x x 

A  
 4 2x 
b) det (AT) = -9
7 
x5

A  
  1 x  3
36) Utilizando el método de los determinantes de las submatrices cuadradas verificar los
rangos calculados en el ejercicio (21).
37*) Determinar los valores que puede tomar a  R , para que las matrices sean
inversibles.
 1 1 3


B=  4 a 0 
 2 0 1


38) Hallar, si existen, las matrices inversas de las matrices del ejercicio (21), utilizando
el método de la adjunta.
a a 

A= 
 4 2a 
39) Indicar cuales de las siguientes matrices tienen inversa, y en caso de existir
calcularla utilizando el método de la adjunta.
0 2

a) 
0 1
 1 3

b) 
  1 3
 1 2 1


e)  0 2 3 
 0 0 8


 0 1 4


f)  1 4 16 
 5 1 2 


0 2

c) 
1 0
 1 0 3


d)  2 0 6 
 1 3 4


 2 5  2 4

g) 
1  2 3 5
40) Verificar utilizando Cramer los ejercicios (24) y (25).
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