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Licenciatura de Matemáticas Página 1 de 5
Ampliación de geometría y topología
CÓDIGO: 28206
Curso 2000-2001
Carga docente: 4’5 créditos teóricos y 1’5 prácticos (segundo cuatrimestre).
Profesores: Harald Günzel
Departamento: Estadística e Investigación Operativa
OBJETIVOS
El objetivo primero de la Topología es el estudio de la continuidad, concepto
estrechamente relacionado con el de proximidad. Este concepto tardó mucho tiempo en
adquirir la precisión y generalidad deseables, siguiéndose diversos caminos en el proceso
de su formalización. La topología, definida como un sistema de conjuntos “abiertos”,
conduce a la noción de continuidad matemática, elaborada sobre una idea de proximidad de
carácter muy general. En relación con el concepto de espacio topológico, el objetivo de la
asignatura es que el alumno adquiera familiaridad con las nociones básicas de conjuntos
abiertos y cerrados, sistemas de entornos, continuidad, completitud, compacidad, conexión,
etc. El estudio en paralelo de los espacios métricos permitirá al alumno acceder a versiones
particulares de las nociones anteriores, y conocer sus aplicaciones a diferentes problemas
de interés, tanto en el ámbito de las propias matemáticas come en el de las aplicaciones.
PROGRAMA
1. Espacios topológicos: Bases y sub-bases. Espacio producto. Entornos. Acumulación y
adherencia. Densidad y separabilidad. Topología relativa. Conexión. Compacidad.
2. Continuidad: Continuidad local y global. Continuidad y conexión. Conjuntos arcoconexos. Continuidad y compacidad. Funciones reales continuas y su álgebra. Límites.
3. Separación: Axiomas de separación. Espacios de Hausdorff, regulares y normales.
Existencia de funciones continuas. Lema de Urysohn. Teorema de extensión de Tietze.
4. Espacios métricos: Espacios métricos usuales. Espacios normados. Espacio métrico
producto. Sucesiones de Cauchy y completitud. Algunos espacios métricos completos.
Espacios de Banach. Espacios métricos compactos. Metrizabilidad.
5. Continuidad en espacios métricos: Continuidad y límites. Funciones reales continuas.
Continuidad uniforme. Teorema del punto fijo en aplicaciones contractivas. Aplicación
a la resolución de ecuaciones.
OBSERVACIONES
Conocimientos previos: Se supone que el alumno cursó con aprovechamiento Análisis
Matemático I (28101), Álgebra Lineal (28102) y, fundamentalmente, Geometría y
Topología I (28202). Deberá poseer, asimismo, conocimientos de funciones de varias
variables, que es uno de los objetivos de Análisis Matemático II (28201). 
Prácticas: Resolución de problemas en el aula.
Evaluación: Examen final en Junio, Septiembre y Diciembre.
BIBLIOGRAFÍA
Referencias básicas:
 Linés Escardó, E., Análisis Matemático II (1er Tomo), UNED, Madrid, 1990.
 Kelley, J.L., General Topology, Van Nostrand Reinhold, Princeton 1970.
 Jameson, G.J., Topology and Normed Spaces, Chapman and Hall, Londres, 1974.
Referencias complementarias:
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


Fleitas, G. y Margalef, J., Problemas de Topología General, Alhambra Editorial,
Madrid, 1970.
Munkres, J.R., Topology. A first course, Prentice Hall, 1975.
Choquet, G., Cours d’Analyse. Tome II: Topologie, Masson et Cie, Paris, 1964.
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Ampliación de geometría y topología
EXTENSIONS OF GEOMETRY AND TOPOLOGY
CODE: 28207
Credit units: 4,5 (theory) + 1,5 (practice), second semester.
Teachers: To be determined.
Department: To be determined.
Academic Year 1999-2000
OBJECTIVES
This course provides the foundations of general topology and metric spaces. The student
should become familiar with the notions of proximity and continuity, in some different
scenarios covered by the general theory. Translating concepts like continuity, completion,
connected and compact spaces, etc., into the more particular context of metric spaces, will
give insight on the rather natural ideas underlying the general concepts.
CONTENTS
1.- Topological spaces: Bases and subbases. Product space. Neighbourhoods.
Accumulation and closure. Dense sets. Relative topology. Connected sets.
Compactness.
2.- Continuity: Continuity at a point. Continuous extension. Arcwise-connected sets.
Continuity and compactness. Real-valued functions and their algebra. Limits.
3.- Separation: Hausdorff, regular y normal spaces. Existence of continuous functions.
Urysohn lemma. Tietze extension theorem.
4.- Metric spaces: Some well-known metric spaces. Normed spaces. Cauchy sequences
and complete spaces. Banach spaces. Compact metric spaces. Metrizability.
5.- Continuity in metric spaces: Continuity and limits. Uniform continuity. Fixed
point theorem for contractive mappings. Solving equations.
REMARKS
Prerequisites: Linear Algebra (28102), Mathematical Analysis I (28101), Geometry and
Topology I (28202), and familiarity with functions of several variables, studied in the
second chapter of Mathematical Analysis II (28201).
Practice: Problem-solving in the computing room.
Evaluation: Finals in June, September and December .
BIBLIOGRAPHY
Basic references:
 Linés Escardó, E., Análisis Matemático II (1er Tomo), UNED, Madrid, 1990.
 Kelley, J.L., General Topology, Van Nostrand Reinhold, Princeton 1970.
 Jameson, G.J., Topology and Normed Spaces, Chapman and Hall, Londres, 1974.
Complementary references:
 Fleitas, G. y Margalef, J., Problemas de Topología General, Alhambra Editorial,
Madrid, 1970.
 Munkres, J.R., Topology. A first course, Prentice Hall, 1975.
 Choquet, G., Cours d’Analyse. Tome II: Topologie, Masson et Cie, Paris, 1964.
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