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Ecuaciones binomias y trinomias
Ecuación binomia
Es una ecuación compuesta por dos términos en donde uno de los cuales es
independiente de la incógnita.
Genéricamente una ecuación binomia se representa por la fórmula:
Resolución de ecuaciones binomias
El método más práctico de resolver ecuaciones binomias lo encontramos en la
factorización o descomposición de factores.
Resolver las ecuaciones
Ecuación trinomia o cúbica
Son ecuaciones ordenadas respecto a x, que constan de tres términos y vienen
dadas por la fórmula general
, donde el primer término tiene un
exponente doble en comparación con el segundo término y el tercer término es
independiente de x.
La ecuación trinomia
, también puede escribirse de la forma:
Donde aplicando la ecuación general de segundo grado se halla el valor de , y
extrayendo la raíz enésima se encuentran los valores de x. Las ecuaciones
trinomias que presentan como primer término , reciben el nombre de ecuaciones
cuadráticas.
Resolver las ecuaciones
Función cúbica
Enunciados
Se sabe que el volumen de un cubo es igual al valor de su arista elevada al cubo
Entonces:
Funciones exponencial y logarítmica
Función exponencial
En forma general la función de la forma
se denomina
función exponencial con b como base, x es la variable independiente.
Función exponencial de base e
Son las funciones que vienen dadas por la fórmula
reciben el nombre de función exponencial natural.
y que
Función logarítmica
Recordemos que la potenciación y la logaritmación son operaciones inversas. En la
potenciación, conocida la base y el exponente, se halla el valor de la potencia, en la
logaritmación, conocida la base y la potencia se halla el exponente.
La función
, permite intercambiar su dominio y rango sin que deje de ser
función. Es decir invertir el orden de las parejas ordenadas, a estas funciones con
estas características se les llama funciones inversas y se denotan por
, que se lee
x a la menos uno de x. Para obtener la expresión correspondiente a una función inversa,
en cualquier función, se reemplaza la variable x por la variable y, y se despeja la
variable y.
Por lo tanto si
, entonces
la logaritmación son operaciones inversas entonces:
pero como lapotenciación y
En la figura se observa que el dominio de la función es el conjunto de los R+, y
elrango el conjunto de los R. Cuando la base es el número e, la abreviatura de lafunción
logarítmica de base e es ln y su expresión será:
Propiedades de los logaritmos
Resolver
Logaritmos comunes
Son los logaritmos decimales, que es el sistema empleado generalmente y que
tienen por base el número 10. La aplicación de los logaritmos es facilitar los
cálculos numéricos en los que intervienen operaciones de multiplicación, división y
potencias de números reales. En forma general se utiliza como se ha visto el símbolo
log x, que representa en realidad
para todo x >0. La tecla denominada
que aparece en la calculadora sirve para hallar con aproximación los logaritmos
decimales o comunes.
Recordando, nuevamente que la logaritmación es una operación inversa de la
potenciación, se tiene que:
De estas potencias se pueden deducir las siguientes propiedades para los
logaritmos comunes o logaritmos de base 10.
Log 1 = 0
Log 10 = 1......................log 0,1 = -1
Log 100 = 2....................log 0,01 = -2
Log 1000 = 3..................log 0,001 = -3
Log 10000 = 4.................log 0,0001 = - 4 etc.
También se puede concluir:
El logaritmo de todo número diferente de una potencia de base 10, es una fracción
propia o un número entero más una fracción propia.
Se sabe por las propiedades anteriores que log 1 = 0 y log 10 = 1, entonces losnúmeros
comprendidos entre 1 y 10 tendrán un logaritmo mayor que 0 y menor que 1; luego, su
logaritmo será una fracción propia.
Así sucesivamente se tiene que log 100 = 2 y log 1000 = 3, entonces los números
comprendidos entre 100 y 1000 tendrán un logaritmo mayor que 2 y menor que 3;luego,
su logaritmo será 2 más una fracción propia.
Por esto log 564 = 2 + 0,751279 = 2,751279.
También el logaritmo de un número comprendido entre 0,01 y 0,001
será mayorque -3 y menor que -2; luego, será -3 más una fracción
propia.
Característica y mantisa
Se ha visto que el logaritmo de todo número que no sea una potencia de base 10esta
conformado por una parte entera y una parte decimal. La parte entera recibe el nombre
de característica, y la parte decimal, mantisa.
Log 25 = 1,397940
La característica es 1 y la mantisa 0,397940 La mantisa siempre es positiva, pero
la característica puede ser cero si el número esta comprendido entre 1 y 10; positiva,
si el número es mayor que 10 o negativa si el número es menor que 1.
Las potencias de base 10 sólo poseen característica y su mantisa es cero.
Logaritmos naturales
Se ha definido también la función exponencial natural
donde la
funciónlogarítmica de base e se llama función logarítmica natural. Estas expresiones
sesimbolizan como
Los logaritmos naturales cumplenlas
mismas propiedades de los logaritmos decimales o comunes, de esta manerase tiene
que:
Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
Una ecuación es exponencial o logarítmica cuando la incógnita está ubicada o
expresada como exponente o logaritmo. En la solución de estas ecuaciones, las
funciones logarítmicas y sus propiedades al igual que las de logaritmos naturalesson de
gran aplicación y ayuda.
Ecuaciones exponenciales
En forma general una ecuación exponencial se describe como:
Que significa que para todo número a, real positivo diferente de 1, una
función f esfunción exponencial de base a si y solo si el exponente de a pertenece a los
números reales.
Resolver las siguientes ecuaciones
Ecuaciones logarítmicas
Como se dijo anteriormente, es la ecuación donde aparece el logaritmo de la incógnita.
Resolver las siguientes ecuaciones
Resolver las ecuaciones: