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MODALIDAD SEMIPRESENCIAL
Te rc e r C i c l o d e E d u c a c i ó n G e n e ra l B á s i c a p a ra Ad u l t o s
Matemática
3
Matemática
3
Matemática
Tercer Ciclo de Educación
General Básica para Adultos
MODALIDAD SEMIPRESENCIAL
3
Ministro de Educación de la Nación
Prof. Dr. Hugo Oscar Juri
Secretario de Educación Básica
Lic. Andrés Delich
Subsecretario de Educación Básica
Lic. Gustavo Iaies
[email protected]
Material elaborado por los
Equipos Técnicos del Programa de
Acciones Compensatorias en Educación
del Ministerio de Educación.
Ministerio de Educación de la Nación. Santa Fe 1548. Buenos Aires.
Hecho el depósito que marca la ley 11.723. Libro de edición argentina.
ISBN 950-00-0261-4. Primera Edición. Primera Reimpresión.
Índice
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
El espacio geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Angulos poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Cuerpos poliedros y redondos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Algunas posiciones relativas de dos rectas en el espacio . . . . . . . . . . . .
19
Semirrectas y segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Comparación de segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Conjuntos numéricos y operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Relaciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Operaciones con números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Operaciones combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Operaciones con números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
Funciones
69
.............................................................
Claves de Corrección
..............................................
93
Anexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Introducción
E
n este libro, usted trabajará sobre cuerpos geométricos; conjuntos numéricos y funciones. Podrá distinguir entre los números naturales, los números enteros y los números racionales y operaciones posibles para realizar con ellos.
Utilizará varios lenguajes: el coloquial, que es el de nuestra vida
cotidiana; el gráfico que es el que permite representar, leer e interpretar datos de una serie de observaciones; y el algebraico, en el
que las letras -que representan diferentes números- y los números
se vinculan para expresar operaciones, propiedades y fórmulas.
Por ejemplo, la fórmula que permite calcular la superficie de un
rectángulo; la fórmula correspondiente a la tabla de multiplicar
por siete; la proporcionalidad directa.
A lo largo de los módulos encontrará referencias a términos tales
como: generalización, simbolización, notación, etc. No se preocupe
si no nota diferencias entre algunas de estas expresiones o no las
comprende en su totalidad. En la medida en que se vayan utilizando encontrará referencias y distinciones entre estos conceptos.
Le recomendamos que solicite en su centro los Libros 1 y 2 de Matemática. Le servirán como ayuda para repasar algunos de los temas que resultan imprescindibles para comprender mejor los que
se desarrollan aquí.
Este libro se acompaña de un anexo en el que se incluyen una serie de cuerpos geométricos para armar y las instrucciones
respectivas. Contar con ellos es de fundamental importancia y facilitará notablemente la comprensión de los conceptos geométricos
explicados en el libro.
5
Ministerio de Cultura y Educación de la Nación
El espacio geométrico
A
l observar el mundo que nos rodea es posible reparar en la
enorme diversidad de formas que hay en él. Los postes de luz, los
edificios, las casas, las diversas partes de los autos, los electrodomésticos, los envases de golosinas, las herramientas, los colectivos,
los trenes, los árboles, las montañas, el camino que describen los
ríos y arroyos, los animales, etc. Todos ellos poseen características
particulares que los distinguen a unos de otros. Todos estos elementos están o se mueven en “el espacio físico”.
7
La geometría es la rama de la matemática que estudia las formas
del espacio y para ello genera abstracciones ideales de las formas
que existen en la realidad.
¿Qué significa que la geometría genera abstracciones ideales?
En el espacio físico nada es perfecto; por más esmero que se ponga
en pulir una bola de billar, ésta nunca será una esfera perfecta. Si
se la observa a través de un microscopio nos sorprendería comprobar cuán irregular es su superficie. En cambio, el espacio geométrico es “idealmente perfecto”; en él la esfera es un cuerpo en cuya
superficie no imaginamos ninguna irregularidad. Lo mismo sucede
con los cuerpos y las figuras y con las líneas; por ejemplo, la recta.
El espacio geométrico es ilimitado. En él hay puntos, rectas, planos, figuras como triángulos, cuadriláteros, círculos, y cuerpos como esferas, prismas, cubos.
Las formas más comunes, por ejemplo el cuadrado, el cubo, son a
su vez nombradas y clasificadas, porque de este modo es posible
estudiar sus propiedades y las relaciones entre sus elementos, y
aplicar estos conocimientos en la resolución de problemas.
Si tomamos la hoja de papel en la que están escritas estas palabras y la observamos es probable que digamos que tiene la forma de un rectángulo.
Sin embargo, la hoja no es un rectángulo. Un rectángulo tiene sólo dos dimensiones: largo y ancho, pero su espesor es nulo; no posee profundidad.
8
Si a esta hoja la colocamos de canto ante nuestros ojos veremos una línea cuyo grosor dependerá del espesor del papel.
Dado el pequeño espesor de las hojas de papel es que tendemos a despreciarlo y considerarlas figuras planas. La hoja tiene largo, ancho y
espesor: se trata de un cuerpo. Una caja de zapatos, una heladera, las
cajas de los medicamentos, son cuerpos similares a la hoja.
Los rectángulos, círculos, cuadrados, triángulos, etc., son formas
sin espesor alguno, son figuras planas. Al trabajo con las figuras
planas se lo llama bidimensional, pues sólo poseen dos dimensiones: largo y ancho.
Los objetos que manipulamos cotidianamente son cuerpos y poseen tres dimensiones. Al trabajo con cuerpos se lo denomina tridimensional, pues en él importan el ancho, el largo y el espesor.
En los Módulos Nº4 y Nº5
se trabajó con figuras planas, en particular con el
rectángulo, y con cuerpos
como el prisma. Solicite
los módulos en el centro y
repase lo que allí se desarrolla sobre el tema. Le será de utilidad para abordar
el trabajo con este libro.
Para empezar es conveniente recordar cómo se representan y designan los principales entes geométricos (aquello que es o existe).
Algunos de ellos seguramente le resulten familiares, por ejemplo el
punto. Usted debe haber utilizado alguna vez la frase: “acordamos
tal punto de encuentro” refiriéndose a una posición en particular.
Podríamos tomar un lápiz con buena punta y hacer una marca sobre
un papel para representar la posición mencionada anteriormente,
pero si tomamos un portaminas y hacemos otra marca a su lado; podríamos observar con una lupa cuál de ellas es más grande.
9
En la abstracción que la geometría hace del punto no se consideran
ni su forma ni su tamaño. Cuando se desea señalar una posición determinada se representa con una cruz sin necesidad de hacer referencia a la forma que posee el punto y mucho menos a su tamaño. Para
designar los puntos se utilizarán letras mayúsculas de imprenta.
A
B
Del mismo modo que la noción de punto, la recta es una palabra a
la que se acude habitualmente. Cuando queremos ir de una localidad a otra desviándonos lo menos posible decimos que el trayecto
es recto. De lo contrario decimos que hemos dado rodeos para llegar. Transitar por una recta es ir desde una posición hasta otra por
el camino más corto posible.
La línea recta es una sucesión de puntos que no tiene ni principio
ni fin, es infinita. Imagine la recta que sugiere el borde de la mesa.
La recta matemática atraviesa las personas, las paredes, y continúa, continúa... Tiene infinitos puntos. Para designar las rectas se
utilizaran letras minúsculas de imprenta.
10
Así como es posible imaginar trayectorias infinitas, es posible
concebir superficies sin borde alguno a las que llamaremos planos.
Imagine el plano que sugiere la superficie de la mesa. ¿Atraviesa a
las personas que están sentadas? ¿Por qué? ¿Corta a las paredes?
¿Por qué?
Para designar los planos se utilizaran letras griegas. Por ejemplo:
α alfa; β beta, δ delta, ε épsilon; γ gama.
Puntos X
los designamos con una letra imprenta mayúscula por ejemplo A.
Se lee punto A.
Rectas
las designamos con una letra imprenta minúscula, por ejemplo r.
Se lee recta r.
Plano
los designamos con letras del alfabeto griego,
α Se lee plano alfa.
β Se lee plano beta.
γ Se lee plano gama.
β
γ
α
11
Estas notaciones o formas de designar puntos, rectas y planos es
convencional. Posiblemente usted encontrará en algún libro otra
forma de identificar estos elementos, pues no todos los autores utilizan la misma nomenclatura (forma de nombrarlos).
Cuando dibujamos una recta o un plano sólo se puede hacer la representación de una parte de ellos, ya que en realidad son infinitos.
Nuestra vida diaria no se desarrolla en un mundo bidimensional
sino en uno de tres dimensiones, por lo que la geometría espacial
resulta fundamental para conocer en una forma más completa
nuestro entorno.
Observe uno de los ángulos del salón en el que se encuentra. Está
determinado por dos paredes. Si nos detenemos en el piso es posible que veamos un ángulo ya conocido para nosotros, el ángulo
recto. Este último ángulo es plano, a diferencia del determinado
por las paredes al que llamamos ángulo diedro.
12
Actividad Nº1
a Tome una trozo de papel y trace sobre él una recta a la que
llamaremos r. Pliegue el plano por la recta r, como se muestra en el dibujo.
Al espacio comprendido entre ambas caras se lo llama ángulo diedro. Llamaremos arista a la recta r. Llamaremos α y β a
los planos de cada una de sus caras
b Sus caras son semiplanos con borde en la arista r. ¿Qué es un
semiplano?
c Determine la clase de ángulo que forman las hojas de
esta puerta giratoria
En el Módulo Nº 2 se trabajó sobre la clasificación
de los ángulos planos en
agudos, obtusos, rectos y
llanos.
Seguramente habrá podido apreciar ángulos agudos y obtusos. Pero en realidad, si observa una puerta giratoria reconocerá que sus
hojas forman ángulos rectos.
Cuando pasamos de la realidad (tridimensional, tres dimensiones) a
la imagen plana (bidimensional, dos dimensiones) el ángulo recto,
de acuerdo con la posición que adoptemos, se verá agudo u obtuso.
Si un ángulo diedro es menor o igual que uno llano se lo denomina “diedro convexos”, si supera al diedro llano se lo llama “diedro cóncavo”.
diedro convexo
diedro cóncavo
Ángulos poliedros
O
bserve ahora uno de los ángulos del salón en el que usted se
encuentra. El determinado por el techo, la pared del frente y la pared que se encuentra a su izquierda. Usted está observando un ángulo poliedro. El prefijo poli significa muchos, por lo tanto un ángulo poliedro es un ángulo de dos o más caras.
En particular el ángulo ubicado en el rincón del salón se encuentra
determinado por el plano que contiene al piso, junto a otros dos
planos que contienen a sendas paredes; a cada uno de esos planos
le corresponde una cara. Es por ello que a este poliedro en particular se lo denomina ángulo triedro, dado que posee tres caras.
14
Actividad Nº2
a Recorte y arme el triedro cuyo desarrollo se adjunta en el anexo
b ¿Cuántos planos lo determinan?
c ¿Cuántas caras tiene?
d ¿Cuántos vértices?
e ¿Cuántas aristas?
15
A partir de ahora debe armar el grupo de cuerpos que se encuentran en el anexo. Será necesario que cuente con ellos para resolver
las próximas actividades.
Actividad Nº3
a
Observe la pirámide que armó. Seguramente podrá reconocer
en ella ángulos poliedros. Indique cuántas caras tiene cada uno.
b
Tome el cubo. Reconozca en él sus ángulos poliedros.
¿Cuántas caras tiene cada ángulo?
Cuerpos poliedros y redondos
O
bserve las fotos y los esquemas de los cuerpos que se presentan
a continuación:
prisma de base
cuadrada
16
cilindro
hexaedro
o cubo
pirámide de
base cuadrada
esfera
Actividad Nº4
a Observe los cuerpos que armó y luego complete, según corresponda, el nombre del cuerpo o la forma que precibe al mirarlo de arriba, de abajo o del lateral.
vista
superior
vista
superior
vista
inferior
vista
inferior
vista
lateral
vista
superior
vista
superior
vista
inferior
vista
inferior
vista
lateral
vista
lateral
vista
lateral
b Señale cuáles son poliedros e indique por qué. Si es necesario,
consulte el Módulo Nº2.
Actividad Nº5
Observe los cuerpos armados.
a Considere el prisma de base cuadrada
¿Cuántas caras tiene?
...........
¿Cuántas aristas tiene?
...........
¿Cuántos vértices tiene? ...........
17
b Considere la pirámide
¿Cuántas caras tiene?
...........
¿Cuántas aristas tiene?
...........
¿Cuántos vértices tiene? ...........
c ¿Por qué no le hemos pedido que arme una esfera?
d Identifique entre los cuerpos el que coincida con el dibujo
siguiente.
e Observe el cubo y note que:
tiene ........... caras.
tiene ........... aristas.
tiene ........... vértices
Dos caras distintas no están en un mismo plano. Cada arista
es común a ........... caras.
18
Algunas posiciones relativas de dos
rectas en el plano y en el espacio
A
nalicemos pares de aristas de un cubo.
Las rectas que contienen a estas aristas se denominan paralelas. Busque en la habitación en la que se encuentra un par de rectas paralelas.
Simbólicamente a//b
Se lee: la recta a es paralela a la recta b,
a es paralela a b.
Cuando escribimos en forma simbólica se utilizan símbolos como //
que permiten una lectura rápida y precisa.
Las rectas que contienen a estas aristas se denominan perpendiculares. Ubique en la habitación en la que se encuentre un par de
rectas perpendiculares.
Simbólicamente a c
Se lee: “la recta a es perpendicular a la recta b,
a es perpendicular a c.
Las rectas que contienen a estas aristas se denominan alabeadas. Identifique en la habitación en la que se encuentre un par de rectas alabeadas.
Las rectas alabeadas no tienen símbolo matemático que
las represente. Decimos: las rectas a y c son alabeadas entre sí.
19
Actividad Nº6
a Ubique en una habitación prismática (con forma de prisma) los
ángulos diedros cuyas aristas están remarcadas. Sus aristas
¿son paralelas, perpendiculares o alabeadas?
En la misma habitación, ubique el ángulo diedro que forman la
b pared del frente y la de su derecha; y el ángulo diedro determinado por el piso y la pared que está a su espalda. Sus respectivas
aristas ¿son paralelas, perpendiculares o alabeadas?
20
c Teniendo en cuenta las tres posiciones relativas de las dos rectas
tratadas anteriormente, mencione aquellas que considera seguras para la trayectoria de dos aviones acrobáticos.
Las siguientes figuras muestran dos cuerpos. El primero de ellos es
un poliedro cóncavo, dado que uno de los ángulos que lo conforman
es cóncavo; es decir supera los 180º (ángulo llano). El otro poliedro
es convexo, dado que todos los ángulos que lo constituyen son inferiores a los 180º. Al ángulo de 180º se lo denomina ángulo llano.
ángulo convexo
poliedro cóncavo
poliedro convexo
21
Actividad Nº7
a Observe los siguientes cuerpos poliedros convexos y complete en
el cuadro el número de vértices, de caras y de aristas de cada uno.
cuerpos
1 prisma triangular recto
Nº de vértices
(V)
Nº de caras
(C)
Nº de aristas
(A)
relación entre
V, C y A :
V+C-A= ?
6
5
9
2
2 prisma cuadrangular recto
3 prisma cuadrangular oblicuo
4 prisma pentagonal
5 octaedro
6 tetraedro
7 pirámide cuadrangular
b Observe la relación que existe entre los vértices, caras y aristas de cada cuerpo. Para ello realice la siguiente operación: al
número de vértices súmele el número de caras y réstele el número de aristas: V + C - A. Complete la última columna del
cuadro con los resultados correspondientes.
22
Actividad Nº8
Si un poliedro convexo tiene 16 vértices y 10 caras ¿se puede
asegurar cuántas aristas tiene? Si su respuesta es sí, diga
cuántas aristas tiene y qué cálculo realizó para saberlo.
En matemática es muy frecuente buscar regularidades, es decir, un patrón de
comportamiento sistemático que pueda ser utilizado como regla para ser aplicado a
nuevos casos. Pero esto no es suficiente para estar seguros de que la regla sea aplicable a
todos los casos. En los próximos libros veremos que para ello es necesario demostrar la
propiedad. En la Actividad Nº7 usted lo que hizo fue generalizar una propiedad, la
relación que existe entre el número de vértices, caras y aristas. Dado que en los casos
particulares mencionados en el cuadro notamos que existe la regularidad, la suponemos
válida para el resto de los casos y por eso la generalizamos.
Semirrectas y segmentos
C
uando deseamos resolver situaciones en las que se trabaja con
porciones de líneas rectas como por ejemplo la cantidad de alambre necesario para cercar un predio, o la cantidad de pegamento
para sellar una pecera de vidrio, o la cantidad de burlete que necesitamos comprar para colocarlo en una ventana, debemos pensar
en nuevas entidades geométricas contenidas en la recta. Ellas son:
las semirrectas y los segmentos.
23
Semirrectas
El siguiente esquema representa un tramo de la ruta 8. La ruta está representada con una recta y la ciudad de La Carlota con un punto.
A Río IV
La Carlota
A Venado Tuerto
Desde La Carlota existen dos posibilidades de transitar la ruta: hacia
Río IV o en sentido contrario hacia Venado Tuerto. Cada una de estas partes de la recta es una semirrecta que tienen distinto sentido.
Para expresar en general este caso particular diremos que La Carlota es el punto A, Río IV el punto Q y Venado Tuerto el punto P.
Q
A
P
Desde La Carlota podemos dirigirnos hacia Río IV, se circulará por
la semirrecta de origen A que contiene al punto Q.
Si vamos desde la Carlota hacia Venado Tuerto se transita por la
semirrecta de origen A que contiene al punto P.
La forma de simbolizarlo o notación que se utiliza es:
AP se lee: semirrecta de origen A que pasa por P
AQ se lee: semirrecta de origen A que pasa por Q
También se puede decir que la semirrecta “contiene” al punto
P o el punto P pertenece a la semirrecta de origen A.
24
Actividad Nº9
a Dibuje una recta y marque en ella un punto.
b ¿Cuántas semirrectas quedan determinadas?
c ¿Qué tienen en común?
d ¿Cómo son los sentidos de las semirrectas?
Segmentos
Si en el esquema anterior de la ruta 8 en lugar de una ciudad indicamos dos tendríamos:
La Carlota
Arias
La porción de la recta comprendida entre Arias y La Carlota se denomina segmento.
Al punto que identifica la posición de La Carlota lo denominamos
B y al punto que identifica la posición de Arias A.
La recta que contiene a ambos puntos la denominamos r. La longitud del segmento será la distancia que separa al punto A del punto B. Si en un mapa medimos la longitud del segmento cuyos puntos extremos identifican a dos localidades y consideramos su escala, podemos calcular la distancia que separa ambas ciudades.
Además de los puntos extremos, un segmento está constituido por
todos los puntos intermedios. Todos ellos pertenen a una misma
recta. Es decir:
Dados los puntos A y B de la recta r, llamaremos segmento a
dichos puntos y a todos los puntos de la recta r
comprendidos entre A y B. Al segmento se lo nombra por los
r
extremos y se lo simboliza AB.
B
A
25
Actividad Nº10
Con los puntos A, B, C, D y E de la siguiente figura es posible
indicar muchos segmentos, por ejemplo AB, AC, CE... Escriba
otros 4 segmentos.
E
C
D
B
A
Suponga que el trazado de las principales calles de una ciudad es el
siguiente:
A
B
H
C
G
E
D
F
La intersección de las calles fue designada con una letra imprenta
mayúscula por estar representada por un punto. De esta manera han
quedado determinados varios segmentos.
Podemos caminar de A hacia B (segmento AB) y continuar de B
hacia H (segmento BH).
A
H
B
También podríamos caminar de A hacia B (segmento AB) pero continuar de B hacia C (segmento BC).
26
A
B
C
En los dos casos mencionados los segmentos son consecutivos. Tienen un extremo en común, “donde termina uno empieza el otro”. En
el primer caso, los segmentos consecutivos (AB, BH) no están en la
misma recta. En cambio (AB, BC) están alineados.
Si tomamos varios segmentos consecutivos no alineados, por
ejemplo AB, BH, HG, GE , formamos una línea llamada poligonal
abierta -empezamos a caminar en A, terminamos en E-.
A
B
H
E
G
También podríamos haber tomado los segmentos AC, CE, EG, GA,
formándose una nueva poligonal llamada poligonal cerrada -empezamos a caminar en A y terminamos en A, es decir, volvemos al
punto de partida-. Toda poligonal cerrada determina en el plano
dos regiones, una interior con respecto a la poligonal y otra exterior respecto de la poligonal.
A
C
G
E
La región interior determinada por una poligonal cerrada junto
con la propia poligonal, recibe el nombre de polígono. Se trata de
una figura plana, limitada por segmentos llamados lados.
27
A
polígono
C
G
E
región exterior
a la poligonal
Actividad Nº11
a Observe la figura que representa el trazado de calles de la ciudad y nombre:
•dos segmentos consecutivos alineados;
•dos segmentos consecutivos no alineados;
•dos segmentos no consecutivos;
•4 segmentos que formen una poligonal cerrada;
•5 segmentos que formen una poligonal abierta.
A
B
H
C
G
E
D
F
Si no lo recuerda la clasificación de polígonos puede consultar el Módulo Nº 3.
28
b Clasifique los polígonos según la cantidad de lados.
c Identifique por lo menos un triángulo, un cuadrilátero y un
pentágono.
Comparación de segmentos
¿Cómo son los segmentos AB y CD?
D
B
A
C
Al comparar dos segmentos, por ejemplo AB y CD, podemos observar si tienen la misma dirección (están en rectas paralelas) o comparar su longitud.
Para comparar las longitudes de ambos segmentos usaremos un
compás. Este instrumento nos permite comparar y trasladar longitudes. Al colocar la punta seca (punta metálica del compás) en uno
de los puntos extremos del segmento y la punta húmeda (punta
que posee la mina de lápiz) en el otro punto extremo, podemos
comparar la longitud del segmento AB con la del segmento CD.
Esas longitudes admiten tres posibilidades. Como puede observar
en el dibujo 1, AB es más largo o es mayor que CD. Simbólicamente se escribe AB>CD. En el dibujo 2 AB<CD y en el dbujo 3 AB=CD.
Dibujo 1
C
D
CD < AB
Dibujo 3
Dibujo 2
C
D
CD = AB
C
D
CD > AB
29
Las relaciones de orden se expresan simbólicamente del siguiente
modo:
símbolo
se lee
<
menor
>
mayor
≤
menor o igual
≥
mayor o igual
Para el caso AB=CD encontrará que en algunos textos se utiliza el
término “congruente” en lugar del igual, incluso signos como = o =c
para indicar esta relación. Nosotros utilizaremos el término igual (=)
pero debe recordar que los segmentos sólo tienen igual su longitud.
En geometría para dibujar dos segmentos iguales (que tengan la
misma longitud) se procede de la siguiente manera:
B
A’
B’
A
Si tenemos el segmento AB y queremos dibujar otro igual bastará
con dibujar una línea recta en el lugar en donde queremos obtener
el nuevo segmento y marcar sobre ella un punto. Con la punta seca del compás haciendo centro (pinchando) en A abrimos el compás hasta B y tomamos la medida de AB .
Manteniendo la abertura del compás, apoyamos la punta seca en el
punto señalado en la recta dibujada previamente, y marcamos sobre ella el otro extremo del segmento. Así el nuevo segmento A’B’
será igual al AB.
30
Actividad Nº12
Compare los siguientes pares de segmentos utilizando el compás. Coloque > (mayor que), < (menor que) o = (igual que) según
corresponda.
a AB . . . . . . . . MN
B
M
N
A
R
b RS . . . . . . . . S T
T
TR ........ ST
S
A
B
c AB . . . . . . . . B C
AB ........ CD
D
C
Actividad Nº13
Observe el cuerpo ABCDEFGH.
Una hormiga está parada en el punto A. Desea llegar al punto E,
pasando por los seis puntos restantes. Mencione al menos un
recorrido posible. Utilice como ayuda el prisma que construyó.
31
Actividad Nº14
a Calcule la cantidad de cinta de enmascarar (cinta de papel engomada que usan los pintores para no pasarse al pintar bordes) que será necesaria si desea pintar un mural a un metro y
medio de altura en la siguiente habitación:
Habitación: Largo: 6 m. Ancho: 4m. Alto: 3m
Puertas (1,2,3): Ancho: 1m. Largo: 2m
Ventana (1): Alto: 1m. Largo: 3m
(se encuentra a la mitad de altura entre el piso y el techo.
b Calcule la longitud del burlete que será necesario utilizar para sellar una pecera de vidrio de 70 cm de largo, 30 cm de alto y 40 cm de ancho.
32
Conjuntos numéricos
y operaciones
R
eflexione unos instantes sobre algunas de las actividades que realiza cotidianamente; por ejemplo, poner el despertador, tomar un colectivo, pagar el boleto, hacer compras. Para realizar alguna de estas
actividades debe contar; para otras medir, pero para todas debe utilizar números. Con ellos podemos poner el despertador para que suene
a las 7 de la mañana, utilizando en este caso un número natural. Si le
pedimos al panadero 3/4 kg. de pan, empleamos un número racional.
Podemos pagar $ 0,70 el boleto del colectivo, apelando en este último
caso a un número racional expresado como decimal.
Para poder contar objetos sólo se requieren números como 1, 2, 3,
etc. No se necesitan números como el 3,5 ó 1/4. La cantidad de glóbulos rojos o de glóbulos blancos en un análisis de sangre, la cantidad de personas que votaron a uno u otro candidato en una elección, son ejemplos frecuentes de esta forma de representar cantidades. En otras ocasiones contamos para indicar un orden en particular: el quinto día hábil de cada mes se cobra el sueldo, entre por la
segunda puerta de aquel corredor, yo me bajo en el quinto piso.
Cuando se quiere expresar la altura o el peso de una persona, por
ejemplo, los números naturales no son suficientes. En estos casos es
preciso utilizar números racionales, que son aquellos con los cuales
se pueden representar partes de un entero. Mido un metro setenta;
peso setenta y tres kilogramos y medio; compré tres cuartos kilos de
pan; el colectivo costó $ 0,70; necesito medio metro de cinta.
En todas estas expresiones se utilizan números racionales. Algunas
veces se representan por medio de fracciones: 3/4 kg de pan, 1/2 m de
cinta. En otras ocasiones la forma de representar estos números es
por medio de expresiones decimales, como los $ 0,70 del costo del colectivo o el 1,70 m con que mencionamos la estatura de la persona.
Si no recuerda esta forma
de representar números
racionales consulte en los
Libros 1 y 2.
33
Actividad Nº15
a Trate de resolver mentalmente los siguientes problemas.
Problema 1: En una empresa trabajan 24 empleados administrativos y 6 empleados de mantenimiento ¿Con cuánto personal cuenta la empresa?
Problema 2: La temperatura era de 8º pero a las 7 de la mañana descendió 10˚. ¿Cuál era la temperatura a esa hora?
Problema 3: ¿Cuánto dura en horas un partido de fútbol?
Problema 4: En una cuenta bancaria hay un saldo negativo
de $55,30. Si se depositan $30 ¿cuál es el nuevo saldo?
Para resolver cada uno de los problemas anteriores lógicamente utilizó números. Pero la solución de cada una de ellos
requirió diferentes tipos de números.
b Determine qué clase de números utilizó para resolver cada
problema:
• Problema 1 .............
• Problema 2 .............
• Problema 3 .............
• Problema 4 .............
Actividad Nº16
Marque con una cruz cuáles de las siguientes situaciones tienen como respuesta un número natural.
La cantidad de países del mundo.
La temperatura de los días más fríos de invierno.
El dinero por la venta de entradas que se recauda en un espectáculo.
La cantidad de hojas que cayeron este otoño del árbol del patio.
34
Los números pueden ser positivos, negativos ó 0. Todos los números mayores que 0 son positivos y todos los números menores que 0
son negativos.
Muchas situaciones no pueden ser representadas con números naturales. Por ejemplo:
En el caso del Problema 2 de la Actividad Nº15 seguramente habrá
respondido que la temperatura es de 2 grados bajo cero, o expresado
matemáticamente -2˚.
Los números enteros negativos y los naturales, a los que pertenece
el 0 forman el conjunto de los números enteros.
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
4
5
/2
1
-1/4
-1,5
-21/2
0
1,5
N a t u ra l e s
E n t e ro s
31/2
Racionales
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Los números enteros y los racionales, excepto el 0, están formados
por el signo, que puede ser positivo o negativo, y por el valor absoluto del número. Pero ¿qué es el valor absoluto de un número?
35
Veamos un ejemplo:
Si algo está a 21 metros por encima del nivel del mar, simplemente decimos que tiene una altura de 21 m ¿Cuál es la altura de aquello que se encuentra a 21 metros por debajo del nivel del mar?
Estas dos alturas tienen en común que ambas se encuentran a la
misma distancia del 0 (21 m). Tanto el objeto que está sobre el nivel del mar como el que está debajo se hallan a 21m de distancia
del nivel cero.
Esta condición de los números se llama valor absoluto y se simboliza así:
36
|21|=21
Se lee valor absoluto de 21 es 21
|-21|=21
Se lee valor absoluto de-21 es 21
Generalizando
|X| se lee valor absoluto de X y nos indica la distancia con
respecto al de 0
Para simbolizar que no nos referimos a un número entero en particular sino a cualquiera de ellos se utiliza una letra. En este caso la
letra simboliza cualquier número entero o racional.
El valor absoluto siempre es un número positivo porque la distancia a 0 siempre lo es.
Sin embargo se debe recordar que existen dos números que tienen
la misma distancia a 0, uno positivo y uno negativo. Por ejemplo,
el número 18 es el valor absoluto de dos números enteros el 18 y el
-18, es decir que los dos cumplen con la condición de que su valor
absoluto sea 18.
|-18| = 18
18 = 18
Los números que tienen igual valor absoluto pero diferentes signos; como el 21 y el -21, se denominan números opuestos.
3/4 tiene por opuesto a
7 tiene por opuesto a
-12 tiene por opuesto a
-3/4
-7
12
Generalizando
a
tiene por opuesto a
-a
En los conjuntos de números enteros y racionales, los números
pueden ser positivos o negativos. Estos últimos son precedidos por
el signo -. Para no confundir este signo con la operación de sustracción, cada vez que se utiliza un número negativo en un cálculo en el que puede generar confusión lo encerraremos entre paréntesis. Por ejemplo:
la suma entre 4 y -2 se escribe 4 + (-2)
la resta entre 3 y -1/2 se escribe 3 - (-1/2)
la suma entre -3 y 4 se escribe -3 + 4 porque el - de -3 no se
puede prestar a confusión.
37
Relaciones de orden
T
odo conjunto numérico es un conjunto ordenado. Dado dos números cualesquiera, que podemos simbolizar con a y b existen tres
posibilidades:
a igual que b
a mayor que b
a menor que b
Si se trabaja con números positivos o con el 0 se puede reconocer
con facilidad cuál es el mayor. Por ejemplo:
8 > 0
1,5 < 3
4 > 1/2
Analice qué sucede cuando alguno de los números o los dos son
negativos.
Situación a
Si a las cinco de la mañana el termómetro indica que la temperatura es de -6º y a las diez de la mañana indica 6º. ¿A qué hora la
temperatura fue mayor?
La temperatura fue mayor a las diez de la mañana porque 6 es mayor que -6
6 > -6
Al comparar un entero negativo con otro positivo, el positivo
siempre es mayor que el negativo.
Situación b
Si a las cinco de la mañana el termómetro indicaba -6º y a las diez
de la mañana indicaba -2º ¿A qué hora la temperatura fue mayor?
La temperatura fue mayor a las diez de la mañana porque -2 es
mayor que -6.
-2 > -6
38
Piense en el valor absoluto de cada uno de los enteros
|-6| = 6
|-2| = 2
-2 > -6
Si se comparan dos enteros negativos el de mayor valor absoluto
resulta menor que el de menor valor absoluto.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Operaciones con números naturales
E
n módulos anteriores se trabajó con algunas de las operaciones
que se pueden realizar con números naturales para obtener sumas,
restas, divisiones y multiplicaciones.
Actividad Nº17
En Villa del Sauce viven 8640 personas.
a Si 4.415 son mujeres ¿cuántos hombres viven en el pueblo?
Antes de resolver estime entre qué valores estará comprendido el número de hombres que vive en ese pueblo.
b El último fin de semana además de los habitantes de la Villa,
382 personas estuvieron de visita. ¿Cuántas personas había
en ese momento?
c ¿Cuántas familias viven en el pueblo suponiendo que cada
familia está compuesta por 4 personas?
d Si cada 12 habitantes hay un vehículo, ¿cuántos vehículos
hay en la Villa?
39
e Para mantener el camino de entrada los habitantes decidieron
poner $ 20 por automóvil. ¿Cuánto recaudaron? Realice primero el cálculo mentalmente y luego hágalo por escrito.
f Nombre qué operaciones utilizó para resolver cada situación.
Revise en el Módulo Nº 2
el concepto de división.
Para hallar el resultado de una división de números naturales es posible
utilizar diversos procedimientos para llegar a un resultado correcto; sin
embargo algunos de ellos pueden resultar más trabajosos que otros.
Analice el siguiente ejemplo.
Una cooperativa quiere trasladar 16 toneladas de cereales en una
camioneta que tiene una capacidad de carga de dos toneladas.
¿Cuántos viajes serán necesarios?
El problema puede ser resuelto de diversas maneras.
1
Haciendo sumas parciales de la carga de cada viaje. Para saber si
llegó al resultado se compara esta suma parcial con el total de toneladas a trasladar. Si la cantidad de toneladas es menor, se continúan agregando viajes. En caso contrario se suspenden los viajes.
Nº de viaje
carga trasladada
en cada viaje
carga trasladada
en total
1º
2 toneladas
2 toneladas
2º
2 toneladas
4 toneladas
3º
2 toneladas
6 toneladas
4º
2 toneladas
8 toneladas
5º
2 toneladas
10 toneladas
6º
2 toneladas
12 toneladas
7º
2 toneladas
14 toneladas
8º
2 toneladas
16 toneladas
Trate de pensar cómo evitar un procedimiento tan arduo.
2
40
Otro procedimiento consiste en considerar el total de toneladas a
trasladar e ir descontando a ese total las dos toneladas que se despachan en cada viaje. Así sucesivamente hasta que queden cero
toneladas a trasladar.
Nº de viaje
carga a trasladar
carga que
se traslada
carga que queda
para trasladar
1º
16 toneladas
2 toneladas
14 toneladas
2º
14 toneladas
2 toneladas
12 toneladas
3º
12 toneladas
2 toneladas
10 toneladas
4º
10 toneladas
2 toneladas
8 toneladas
5º
8 toneladas
2 toneladas
6 toneladas
6º
6 toneladas
2 toneladas
4 toneladas
7º
4 toneladas
2 toneladas
2 toneladas
8º
2 toneladas
2 toneladas
0 toneladas
Nuevamente piense si es posible evitar un proceder tan arduo.
Ambos procedimientos resultan sumamente extensos. Con seguridad usted debe haber advertido que la manera más sencilla de resolver el problema es utilizando la división:
16 : 2 = 8
dividendo
divisor
16 2
0 8
cociente
resto
16 es el dividendo (cantidad que se desea dividir); el dos es el divisor
(cantidad por la que se quiere dividir); el resto es el cero (cantidad
que queda sin dividir), y el 8 es el cociente (resultado de la división).
En general se expresa
dividendo
divisor
a b
r c
resto
cociente
41
Actividad Nº18
a Resuelva las siguientes operaciones.
9
2
9
5
22
7
b ¿Qué resultado se obtiene si en cada caso multiplica el divisor
por el cociente y se le suma el resto?
Observe que el resto es siempre menor que el divisor y que el divisor es distinto de 0.
Calcular la división significa encontrar otros dos números, el cociente y el resto, de tal manera que al multiplicar cociente por divisor y sumar el resto se obtenga el dividendo..
Simbólicamente a = b . c + r
Actividad Nº19
a Resuelva las siguientes operaciones.
8
4
15
3
21
7
b ¿Cuál es el resto en cada una de ellas?
c ¿Qué se obtiene al multiplicar el cociente por el divisor?
Cuando en una división el resto es 0 se llama división exacta.
Simbólicamente a = b . c
La división exacta es la operación inversa a la multiplicación.
42
Operaciones combinadas
E
n muchas ocasiones no es suficiente realizar una sola operación
para resolver un problema; para hallar el resultado es necesario
combinar diversas operaciones. A esta secuencia de operaciones se
la denomina cálculo combinado u operaciones combinadas.
Por ejemplo: a un festival concurrieron 80 mujeres y 120 hombres. Las
mujeres pagaron $ 5 la entrada y los hombres $ 10. ¿Cuánto se recaudó?
Para contestar esta pregunta podemos seguir el siguiente razonamiento:
80 mujeres a $ 5 c/u es
120 hombres a $ 10 c/u es
En total
80.5
= 400
120.10
= 1.200
$400+$1200 = $1600
Si se escribe en un sólo cálculo:
80.5
el dinero recaudado por
las entradas de las mujeres
+
120.10
el dinero recaudado por
las entradas de los hombres
Suponga que le pedimos a dos personas que realicen este cálculo:
Persona 1
80 . 5
400 + 120
520 . 10
= 400
= 520
= 5.200
Seguramente responderá que la recaudación es de $ 5.200
Persona 2
80 . 5
= 400
120 . 10
= 1.200
Total 400 + 1.200 = 1.600
Sabemos que la respuesta correcta es $ 1.600. Las cuentas parciales están correctamente resueltas en ambos casos, pero el resultado
final no coincide. La diferencia se encuentra en el orden en que cada una de las personas ha resuelto las operaciones.
43
La Persona 1 las resolvió en el orden en que van apareciendo las
operaciones: primero aparece una multiplicación por lo tanto primero obtiene un producto; luego aparece una adición, obtiene una
suma; luego aparece otra multiplicación y obtiene un producto al
que considera resultado final.
La Persona 2 lo resuelve estableciendo un orden de prioridad en las
operaciones: primero resolvió los productos, luego resolvió la suma.
La Persona 2 llegó al resultado correcto porque respetó la convención matemática que establece que los signos más y menos separan
términos. Es decir que las multiplicaciones y divisiones deben ser
resueltas en una primera instancia mientras que las adiciones y las
sustracciones se resuelven en una segunda instancia.
Una convención es el resultado de un acuerdo: dado que, como hemos visto, un cálculo
puede ser interpretado de diversos modos, todos se han puesto de acuerdo en comenzar
por los productos y cocientes y finalizar por las sumas y las restas, a menos que éstas estén entre paréntesis. Si sólo se tienen divisiones y multiplicaciones se resuelven en el orden que aparecen, de izquierda a derecha. Más adelante veremos que al considerar otras
operaciones además de adición, sustracción, multiplicación y división, también debe convenirse un orden de prioridad para las operaciones.
Analice las siguientes situaciones.
• Juan compra 3 chocolates y luego 4 chocolates más a $ 5 cada
uno. ¿Cuánto gastó?
En este caso es preciso primero sumar la cantidad de chocolates
3 + 4 y luego multiplicar por el precio de cada uno.
En estos casos, donde es necesario primero realizar las sumas o las
restas y luego las divisiones o multiplicaciones, se coloca, por convención, la suma o la resta entre paréntesis
(3 + 4) . 5 = 35
44
• Un CD tiene 5 temas de 3 minutos cada uno y 7 de 5 minutos
de duración cada uno ¿Cuál es la duración total?
Cálculo
5. 3 + 7. 5
5. 3 + 7. 5
15 + 35
=
= 50
El CD tiene una duración de 50 minutos.
En síntesis
Para resolver estos cálculos:
•Primero se resuelven las operaciones que están entre paréntesis.
•Si no hay paréntesis, los signos “+” y “-”, separan en términos.
Esto nos obliga a realizar primero las multiplicaciones y divisiones y después las sumas y restas.
•Con las multiplicaciones y divisiones se opera de izquierda a
derecha.
Por ejemplo:
1) (3 + 5) . 4 =
8
. 4 = 32
Primero se resuelve la suma que está entre paréntesis
2) 40 - 4.5 + 12 : 4 = 40 - 4 . 5 + 12 : 4
= 40 - 20 + 3
= 23
3) 60: 20 . 5 =
3 . 5 = 15
De izquierda a derecha.
4) 24 : 6 - 2 . 5 + (4 +3). 2 = 24 : 6 - 2 . 5 + (4 + 3) . 2
= 4 - 10 + 14
= 8
45
Actividad Nº20
Escriba un cálculo que exprese las operaciones que hay que hacer para resolver las siguientes situaciones:
a Usted ha comprado un artículo por cuatro pesos y dos artículos por
cinco pesos cada uno. Calcule mentalmente cuánto dinero gastó.
b En una cuenta bancaria se realizan siete depósitos de cinco pesos cada uno; se descuenta la mitad de cuatro pesos por gastos
administrativos y se acredita un peso a modo de interés por el
dinero depositado. ¿Cuál es el saldo de esa cuenta?
Actividad Nº21
Separe en términos y resuelva los siguientes cálculos. Trate de
resolver mentalmente al menos los tres primeros ejercicios.
46
5.3-6:2
=
3+2.5
=
4 . 5 : 10
=
(8 - 3): 5 + 4 . 3
=
(12 + 4) : (8 - 4)
=
24 : 2 : 2 - 30 : 10 + 5 . 8
=
Actividad Nº22
Escriba un cálculo que le permita resolver las siguientes situaciones. Luego resuelva el cálculo.
a Para presenciar un espectáculo una familia paga 2 entradas
para mayores de $ 8 cada una y 4 entradas para menores de
$ 3 cada una. ¿Cuánto gastó por las entradas?
b Un señor compra 4 latas de pintura a $ 15 cada una, 3 pinceles
a $ 3 cada uno y 2 espátulas a $ 4 cada una. Por la compra la
hacen un descuento $ 12. ¿Cuánto debe abonar?
c Un buzo se encuentra en el mar a 20 metros de profundidad. Realiza 3 descensos de 8 m cada uno. ¿A qué profundidad se encuentra? ¿Los números que utiliza en esta situación son naturales?
d Un tanque está lleno hasta su tercera parte, siendo su capacidad de 750 litros. Se extraen 8 baldes de 12 litros cada uno.
¿Cuántos litros de agua restan en el tanque?
47
Operaciones con números enteros
H
asta acá usted ha trabajado con operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división con números naturales. Ahora
estudiará qué sucede con estas cuatro operaciones cuando se utilizan números enteros.
Suma y resta
Para realizar operaciones de suma con números enteros se deben
considerar distintas posibilidades. Analice los siguientes casos.
1
Un alpinista asciende 2500 metros el primer día, el segundo
día sube 800 metros más.
¿A qué altura se encuentra?
2500 + 800 = 3300
en ambos casos se asciende por lo tanto el resultado es mayor
que cero y el resultado será positivo.
2
En el banco tengo un saldo negativo de $ 50, depósito $ 200.
¿Cuál es el nuevo saldo?
- 50 + 200 = 150
Se deposita más de lo que debía. El saldo es positivo.
3
A las 3 de la tarde la temperatura era de 5º , un tiempo después
descendió 8º. ¿Cuál es la temperatura en ese instante?
5 + (- 8) = -3
Descendió más grados de los que había. El resultado es negativo.
Este ejemplo se puede escribir directamente así: 5 - 8 = -3
48
4
Una persona debe $ 250 al banco con el que opera habitualmente,
y contrae con la misma institución una nueva deuda de $120.
¿Cuál es monto total de su deuda?
- 250 + (-120) = - 370
La acumulación de deudas sólo incrementa el monto de la deuda,
sin que se pierda la condición de deudor. Es por ello que el resultado es un número negativo, de valor absoluto igual a la suma
de los valores absolutos de los sumandos.
Al sumar dos enteros pueden darse 3 situaciones:
• un positivo más otro positivo; Problema 1
• un negativo más un positivo o un positivo más un negativo;
Problemas 2 y 3
• un negativo más otro negativo; Problema 4
Actividad Nº23
a A partir de las situaciones anteriores complete el siguiente cuadro.
valor absoluto
del 1º sumando
2500 + 800 = 3300
-50 + 200 = 150
2500
800
valor absoluto
de la suma
signo
del reultado
3300
50
5 + (-8) = -3
-250 + (-120)= -370
valor absoluto
del 2º sumando
8
250
b ¿En qué casos el valor absoluto de la suma es la suma de los
valores absolutos? ¿Por qué?
c Explique en los casos restantes por medio de qué operación
obtuvo el valor absoluto de la suma.
49
Si uno de los números es positivo y el otro negativo el resultado de
la suma tendrá el mismo signo que el del número de mayor valor absoluto. Y tiene por valor absoluto la resta de los valores absolutos.
Ejemplo: -6 + 4 = -2
es negativo porque -6 tiene mayor valor absoluto que 4 y el valor
absoluto del resultado es 2 por ser 6 - 4 = 2
Si los dos números son negativos el resultado es negativo y el valor absoluto se obtiene con la suma de los valores absolutos.
Ejemplo: -3 + (-4) = -7
es negativo por ser ambos negativos y el valor absoluto de la suma
es 7 por ser 3 + 4 = 7
Volvamos a analizar el problema de las temperaturas.
A las 3 de la tarde la temperatura era de 5˚, un tiempo después descendió 8˚ ¿cuál es la temperatura en ese instante?
5 + (- 8) = -3
Descendió más grados de los que había. El resultado negativo.
También se señaló que se puede escribir directamente
5 - 8 = -3
En este caso se reemplazó la operación suma por su inversa, la resta, pero para que la expresión sea equivalente se reemplazó el -8
por su opuesto el 8.
Cuando se realizan estos dos cambios se obtienen expresiones
equivalentes. Así,
5 + (-3) = 5 - 3
3 - (-2) = 3 + 2
- 4 + (-7) = - 4 - 7
En general
a + (-b)
a - (-b)
50
=a-b
=a+b
Como ya se sabe sumar números enteros, no importa cuál sea su
signo, cada vez que se tenga una resta entre enteros se lo transforma en una expresión equivalente pero cuya operación sea la suma.
Por ejemplo si quiere restar
Restar dos números enteros entre sí es sumar al primero el
opuesto del segundo
4-8
=
es lo mismo que 4 + (-8)
= -4
7 - (- 3)
=
es lo mismo que 7 + 3
= 10
-5-7
=
-5 + (- 7)
= -12
-8+6
= -2
- 8 - (- 6) =
Actividad Nº24
Calcule mentalmente cuántos años vivieron las siguientes
personas y verifique los resultados.
Alejandro Magno (-356 a -323)
Augusto (-63 a 14)
51
Suma Algebraica
Se denomina suma algebraica a los cálculos que sólo involucran adiciones y sustracciones sucesivas. Por ejemplo, podemos conocer el saldo
del resumen de una cuenta bancaria realizando una suma algebraica.
crédito
débitos
saldo
$ 320
2/5/99
saldo anterior
5/5/99
depósito en efectivo
12/5/99
extracción
$ 135
$ 385
17/5/99
débito automático
$ 62
$ 323
22/5/99
depósito cheque 48 hs.
30/5/99
mantenimiento de cuenta
$ 520
$ 200
$ 473
$ 150
$6
$ 467
A partir del saldo anterior $ 320 sumando dinero a la cuenta (crédito) y restando dinero por diferentes motivos (débito), se arribó al
nuevo saldo $ 467.
La operación 320 + 200 - 135 - 62 + 150 - 6 es una suma algebraica.
Las sumas algebraicas pueden resolverse de dos maneras:
1
Tal como en el resumen bancario, es decir a medida que vamos agregando una suma o resta calculamos el resultado parcial o saldo:
luego
a continuación
luego
por último
2
52
320
520
385
323
473
+
+
-
200 = 520,
135 = 385,
62 = 323,
150 = 483 y
6 = 467
Se suma todo lo que ingresó
320 + 200 +150 = 670
Se suma todo lo que se retiró
135 + 62 + 6 = 203
Se calcula lo que quedó restando
los resultados anteriores
670 - 203
= 467
Observe esta otra suma algebraica
34 - 14 - 50 + 20 - 12 + 8 =
Primer método: sumas parciales sucesivas
34
20
-30
-10
-22
+
+
14
50
20
12
8
= 20
= -30
= -10
= -22
= -14
Resultado final -14
Segundo método: sumas agrupando todos los positivos y todos
los negativos.
Suma de los números positivos 34 + 20 + 8 = 62
Suma de los números negativos 14 + 50 + 12 = 78
Diferencia
62 - 78 = -14
Por cualquiera de los métodos arribamos al resultado final correcto, por lo tanto según nos convenga utilizaremos uno u otro.
34 - 14 - 50 + 20 - 12 + 8 = -14
Actividad Nº25
Resuelva mentalmente los siguientes problemas.
a A las 8 de la mañana había -7˚, luego subió 6˚, más tarde subió 8˚ y por la noche descendió 5˚. ¿Cuál es la temperatura en
ese momento?
b Un avión se halla a 7.000 m de altura. Para evitar una tormenta sube 1.500 m, luego otros 1.000 m. Se mantiene a esa
altura un tiempo. Posteriormente desciende 500 m, luego baja 1.200 m y posteriormente sube 300 m. En ese momento ¿a
qué altura se encuentra?
c Una sonda marina se encuentra a -800 m. Si sube 200 m, luego
120 m y finalmente 250 m más ¿a qué altura se encuentra?
53
Multiplicación de enteros
Usted ya trabajó con la multiplicación de números naturales. Por
ejemplo 8 . 5 = 40. El 8 y el 5 se denominan factores y el 40, su resultado, se llama producto.
¿Qué ocurrirá si los factores son negativos o uno de ellos lo es?
Para analizar cómo se obtienen los productos donde intervienen
números negativos, completaremos la siguiente tabla. Cada celda
contiene el producto del número que encabeza la columna por el
número que encabeza la fila. Por ejemplo la celda coloreada contiene un seis porque la fila está encabezada por un tres y la columna está encabezada por un dos, se tiene que multiplicar, tres por
dos es seis (3 . 2 = 6).
x
3
2
1
0
3
9
6
3
0
-1
-2
-3
2
1
0
-1
-2
-3
Observe que cada fila es una sucesión al igual que cada columna.
La primera fila es:
9 6 3 0
Es decir cada celda a la derecha de otra será la que la precede menos tres, que es el número que encabeza la fila. Con esta observación se puede completar toda la fila.
54
x
3
2
1
0
-1
-2
-3
3
9
6
3
0
-3
-6
-9
2
1
0
-1
-2
-3
Cada columna también es una sucesión, del mismo modo que la
primera fila.
En el caso de la primera columna la diferencia de cada nuevo casillero es 3. Por ello si se resta 0 - 3 = -3 y así sucesivamente se puede completar la columna.
En la segunda columna cada celda inferior a otra es dos unidades
menor que aquella que la precede.
En cada fila y en cada columna la sucesión es diferente.
x
3
2
1
0
-1
-2
-3
3
9
6
3
0
-3
-6
-9
2
6
4
2
0
-6
1
3
2
1
0
-3
0
0
0
0
0
0
-1
-3 -2
3
-2
-6 -4
6
-3
-9
-6
-3
0
3
6
9
55
Observe que cada una de las filas o columnas es parte de lo que comúnmente denominamos la tabla del... La primera fila es parte de la
tabla del 3; la segunda de la tabla del 2; la última de la tabla del -3.
Actividad Nº26
Complete la tabla y coteje sus resultados con los que figuran
en las claves de corrección.
Actividad Nº27
a Busque en la tabla los resultados de:
3 . 3
3 . (-1)
(-2) . 3
(-3) . (-3)
=
=
=
=
b Determine el signo del resultado cuando se multiplican:
Dos números positivos.
Dos números negativos.
Uno número positivo y uno negativo.
Como habrá observado, el producto de un número negativo y un
positivo es negativo
2 . (- 3) = - 6 ó - 1 . 3 = - 3
El producto de dos números negativos es positivo
-3 . (- 2) = 6, -1 . (-2) = 2
En la multiplicación:
• Si los dos números tienen el mismo signo, el producto es positivo.
• Si los números tienen signo distinto, el producto es negativo.
• Un número entero por 0 es igual a 0.
56
Cuando se multiplican dos números enteros el signo del resultado
se obtiene siguiendo la regla que está resumida en el recuadro. No
olvide que el valor absoluto del producto se calcula de igual modo
que si se tratara de números naturales.
Observe algunos ejemplos:
-5 . 3
= -15
pues 5 . 3 es 15 y el producto de dos signos distintos es “-”
-4 . (-3)
= 12
pues 4 . 3 es 12 y el producto de dos signos iguales es “+”
6
. (-5)
= -30
pues 6 . 5 es 30 y el producto de dos signos distintos es “-”
Actividad Nº28
Obtenga mentalmente el resultado de los siguientes cálculos:
4 . (-12)
=
15 . 12
=
20 . 5 . (-2)
=
10 . (- 4) . 5 . (-2) =
Actividad Nº29
Separe en términos y luego resuelva mentalmente.
4.5+ 9
12 . 2 - 4 . 8
=
=
15 . 4 + 12 - 6 . (-3) =
57
Actividad Nº30
En el mes de julio María cobró $60 por horas extras y decidió
comprar ropa para su hijo.
¿Cuánto dinero le quedará según compre alguna de las siguientes ofertas?
a Dos pantalones a $15 cada uno.
b Tres camisas a $20 cada una.
c Dos pares de zapatos a $36 cada uno.
Actividad Nº31
Halle el número que falta:
2 . ___
= -6
___ . (-5) = -20
10 . ___ = 60
58
Actividad Nº32
Escriba simbólicamente el cálculo que se indica y resuelva
mentalmente:
a El doble de cuatro.
b El triplo de menos dos.
c El cuádruple de ocho.
d El siguiente número entero de cuatro.
e El entero anterior a menos cuatro.
División de números enteros
Tal como ya se analizó calcular la división exacta entre un número
(dividendo) y otro distinto de 0, (divisor), es hallar un tercer número
tal que multiplicado por el segundo de como resultado el primero.
Simbólicamente
a : b = c porque b . c = a
Esta división exacta no siempre es posible entre números naturales
o enteros. Por ejemplo;
9: 4 =
4 . __ = 9
(no se puede hallar ningún número natural que
multiplicado por 4 sea 9)
Para realizar operaciones de división exacta con números enteros se
tiene que hallar, por un lado, el valor absoluto de la división y por
otro, habrá que considerar que los números que intervienen en la división pueden ser los dos positivos, los dos negativos o uno positivo
y uno negativo. Por lo tanto además de hallar el valor absoluto de la
división se debe aplicar la regla de los signos, para saber si el resultado es negativo o positivo tal como se realizó con la multiplicación.
59
Si se quiere hallar el resultado de 24 : (-4) habrá que pensar que
número multiplicado por (-4) da por resultado 24.
(-4) . ___ = 24
24 : (-4) = -6
pues 24 : 4 es 6 y por ser de diferentes signos el resultado es “-”
-15 : (-5) = 3
pues 15 : 5 es 3 y por ser ambos negativos el resultado es “+”
Actividad Nº33
Halle el cociente en cada división:
16 : (-4)
=
132 : 3
=
125 : (-25)
=
456 : (-12)
=
Analice algunos casos particulares
División por 1
a) 6 : 1 = 6
b) -6 : 1 = -6
c) -1215 : 1 = -1215
Al dividir por 1 el número no cambia.
a:1=1
División por - 1
a) 6 : (-1) = -6
b) -15 : (-1) = 15
c) 293 : (-1) = -293
Al dividir por -1 cambia sólo el signo del número.
a : (-1) = -a
60
0 dividido por cualquier número
a) 0 : 15 = 0
b) 0 : (-6) = 0
c) 0 : (- 18) = 0
0 dividido por cualquier número distinto de 0 es 0
0 : a = 0 (a ≠ 0)
Habrá notado que cada vez que enunciamos una división de manera general o en forma simbólica aclaramos que el divisor tiene que
ser distinto de cero.
Por definición, dividir dos números a y b es encontrar un tercer
número c que cumpla con la condición de que al multiplicar c . b
el resultado debe ser a. Por ello,
8 : 2 = 4 pues
4. 2 = 8
Si se acepta el 0 como divisor toda división perdería su sentido,
dado que el resto no puede ser mayor que el divisor. Piense un resultado y verá que esto siempre ocurre.
Llamamos x al posible resultado de dividir un número por cero. Por
ejemplo:
8: 0=x
Este número x tendrá que cumplir la condición x . 0 = 8
Pero ningún número multiplicado por 0 da 8.
Por lo tanto, no se puede dividir por cero.
Y 0:0=?
Este caso merece un análisis especial. Nuevamente piense en la definición de división.
0 : 0 = x , el resultado tendrá que cumplir que x . 0 = 0
Para cualquier valor de x esto se cumplirá; entonces todos los números pueden ser la respuesta de 0 : 0, por lo que no puede darse
un resultado. De todos modos vale lo expresado anteriormente: no
se puede dividir por cero.
61
Actividad Nº34
Separe en términos y resuelva. Recuerde que separar en términos significa “seccionar” el cálculo dividiéndolo en sectores separados con los signos de sumas y restas o con paréntesis, para
determinar qué operaciones se deben realizar primero.
a 12 : 4 + 63 : 63
=
b 100 : (-20) - 16 : (-8)
=
c 14 : (-1) - 25 : 5 + 36 : (-12) =
d 18 : (-1) + 4 : (-4) - 12 : 6
=
e (-1 + 2) ( 4 - (-12) : 4
=
Potenciación
Le sugerimos que busque
en el Módulo Nº 5 lo trabajado sobre potenciación. Le facilitará el estudio de este tema.
Hasta aquí usted ha trabajado cuatro operaciones con números enteros: la adición, la sustracción, la multiplicación y la división. A
continuación estudiará una quinta operación: la potenciación.
Comencemos con un ejemplo.
El próximo domingo se jugarán 6 partidos para completar la fecha
del campeonato de fútbol. ¿Cuántos resultados distintos podrán
darse? ¿Serán más de 30?
El primer partido puede resultar local (L), empate (E) o visitante (V).
Para cualquiera de estos resultados el segundo encuentro también
admite las tres posibilidades. Observe el esquema:
62
1º partido
2º partido
3º partido
L
L
E
V
L
L
E
E
V
L
V
E
V
L
L
E
V
E
L
E
E
V
L
V
E
V
L
L
E
V
V
L
E
E
V
L
V
E
V
3 resultados
9 resultados
27 resultados
Por un problema de espacio no es posible hacer el esquema hasta el
6º partido, pero podemos seguir analizando la situación.
63
1º partido
2º partido
3º partido
4º partido
5º partido
6º partido
3 resultados
3 . 3 = 32 = 9 resultados
3 . 3 . 3 = 33 = 27 resultados
3 . 3 . 3 . 3 = 34 = 81 resultados
3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 35 = 243 resultados
3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 36 = 729 resultados
Como puede observar siempre se multiplica el número 3 por sí mismo.
Recuerde que el número que se multiplica por otro se llama factor.
Los números que intervienen en una potenciación se denominan:
exponente
36 = 729
potencia
base
Podemos definir la potenciación como una multiplicación de tantos factores iguales a la base como indique el exponente.
Simbólicamente an = b
a . a . a ....
nº veces
=b
Actividad Nº35
Calcule cuántos resultados distintos pueden darse en la fecha
completa de fútbol, si en total son 10 partidos.
64
Actividad Nº36
Las potencias que más frecuentemente se utilizan son los
cuadrados (exponente 2) y los cubos (exponente 3).
Complete esta tabla de cuadrados y cubos:
bd
1
b2
2
3
4
5
6
7
8
9
9
(b . b)
10
11
12
100
b3
(b . b . b )
Actividad Nº37
Resuelva
43 + 24 =
73 - 34 =
33 . 42 =
Es correcta la igualdad (4 + 3)2 = 42 + 32 ¿Por qué?
Actividad Nº38
Escriba simbólicamente las siguientes expresiones y resuelva:
a El cubo de tres, más el cuadrado de cinco.
b El cuadrado de la suma de tres más cuatro.
c La cuarta potencia de cinco, menos el cubo del doble de tres.
65
Hasta aquí se trabajaron potencias con base positiva. ¿Qué sucede
cuando la base es negativa?
Tal como se señaló, elevar un número b (base) a una potencia n
(exponente) es multiplicar el número b por sí mismo n veces.
Cuando el número base de una potencia es negativo se debe aplicar la regla de los signos para multiplicar negativos.
Por ejemplo,
(-2)3 = (-2) . (-2) . (-2) =
=
4
. (-2) = -8
Actividad Nº39
¿Es posible encontrar alguna regularidad para hallar el signo
del resultado de una potencia?
Resuelva los siguientes cálculos e intente responder a la pregunta anterior.
a (- 2)4 = (- 2). (- 2). (- 2). (- 2)
=
b (- 5)2 = (- 5). (- 5)
=
c (- 3)4 = (- 3). (- 3). (- 3). (- 3)
=
d (- 4)3 = (- 4). (- 4). (- 4)
=
e (- 1)5 = (- 1). (- 1). (- 1). (- 1). (- 1)
=
f (- 10)3 = (-10). (- 10). (- 10)
=
g Cuando la base es negativa, como en los ejemplos anteriores, el
resultado puede ser “-” o “+”. ¿De qué depende? Trate usted de
dar una respuesta comparando los valores de las dos columnas.
66
Actividad Nº40
Resuelva:
(-3)4 =
83
=
(-2)7 =
(-6)3 =
55
=
(-3)5 =
(-1)125 =
(-1)46 =
03
=
0138 =
Cuando se realizan operaciones combinadas, antes de resolver
cualquier cálculo deben hallarse las potencias, a menos que se indique lo contrario colocando paréntesis. Por ejemplo,
(-2)3 + 1 = -8 +1 = -7
(3+1)3 - 1 = 43 - 1 = 64 - 1 = 63
Actividad Nº41
Separe en términos y resuelva. Tenga en cuenta el orden en el
que deben realizarse las operaciones.
(-4)2 + 33
=
(-6)3 - (-2)4
=
(-3)3 + 5 : (-5)
=
(6-2)3 + (8-10)
4
=
5 . (-2)2 - 43 : (-2) =
(-1)32 + 4 . (-1)5
=
67
Funciones
C
on acepciones ligeramente diferente el término “función” lo
usamos con frecuencia en nuestra vida cotidiana. Muchas veces oímos o decimos expresiones tales como:
• El precio de las entradas a la cancha está en función de la ubicación en el estadio.
• Elegiré el abrigo para esta noche en función de la temperatura.
• La cantidad de alimento para un perro está en función de su
tamaño.
• El aumento del presupuesto es función del gasto público.
• El perímetro de un terreno cuadrado es función de la medida
del lado.
En estos ejemplos la palabra función está empleada en distintos
contextos; sin embargo el significado es casi el mismo.
Las mismas frases podrían ser expresadas del siguiente modo sin
que su sentido cambie sustancialmente:
• El precio de las entradas a la cancha depende de la ubicación
en el estadio.
• El abrigo que elegiré para esta noche dependerá de la temperatura.
• La cantidad de alimento para un perro depende de su tamaño.
• El aumento del presupuesto depende del gasto público.
• El perímetro de un cuadrado depende de la medida del lado.
En estas situaciones, como en otras, se puede observar que existe
cierta relación entre dos sucesos, donde uno depende del otro. Sin
embargo en matemática no siempre que existe una relación se trata
de una función. Si bien existe relación entre el abrigo que elijo y la
temperatura, o entre la cantidad de alimento para un perro y su tamaño, no se puede hablar de funciones en términos matemáticos.
Sí puede decirse en cambio que el perímetro de un cuadrado es
función de la medida del lado porque si variamos el valor del lado,
por ejemplo lo duplicamos, su perímetro también variará al doble;
si disminuimos el lado, entonces el perímetro también disminuirá.
Éste es un caso de función. Sobre el concepto de función se trabajará en las próximas páginas.
69
En el Módulo Nº4 se trabajó sobre esta situación. Le
sugerimos que consulte lo
que allí se trabajó.
Analicemos la siguiente situación.
La proporción de arena y cal para preparar una mezcla de construcción es: un balde de cal, 3 baldes de arena.
En la tabla se representan los valores que vinculan la cantidad de
baldes de cal con la cantidad de baldes de arena.
cal
arena
1
3
2
6
3
9
6
18
7
21
15
45
La primera columna contiene los valores que representan el número de baldes de cal; la segunda representa otro conjunto: el del número de baldes de arena.
Observe la tabla: en todos los casos para todos los valores de la
primer columna siempre es posible hallar un valor para la segunda.
Por otra parte, a cada valor que representa el número de baldes de
cal le corresponde un único valor que representa el número de baldes de arena. Por ello podemos decir que se trata de una función,
ya que a cada cantidad de cal le corresponde una única cantidad
de baldes de arena.
2
6
3
6
9
18
7
21
1
3
15
45
Estos dos conjuntos pueden representarse en un gráfico de ejes
perpendiculares que se llaman cartesianos.
70
Sobre el eje horizontal, llamado de las abscisas, se representan los valores correspondientes al número de baldes de cal, se denomina x. Sobre el eje vertical, llamado de las ordenadas, se representan los valores
que corresponden al número de baldes de arena, denominado y. Al
punto 0, 0 es decir x = 0 e y = 0 se lo llama origen de las coordenadas.
Para representar los valores sobre cada eje deben marcarse previamente segmentos iguales entre sí. La escala que se utiliza para
marcar los segmentos depende de los valores máximos que se
quieran representar en cada eje. Por ejemplo, en la situación que
se está analizando el valor máximo que se va a representar para los
baldes de cal es 15 y el máximo para los baldes de arena es 45.
bolsas de arena
Gráficos de puntos
60
40
20
0
0
5
10
15
20
bolsas de cal
71
Actividad Nº42
En una zona cercana a la localidad de Ströeder en la provincia de Buenos Aires el rendimiento de la cosecha de trigo fue
de treinta bolsas por hectárea en cada campo.
Complete la tabla considerando que el rendimiento de cada
hectárea es siempre el mismo.
superficie del campo
Nº de bolsas de trigo
10 ha.
300 bolsas
15 ha.
20 ha.
27 ha.
5 ha.
150 bolsas
40 ha.
La relación entre la superficie del campo y la cantidad de bolsas cosechadas por hectárea ¿es una relación de proporcionalidad? ¿por qué?
Los valores que usted incluyó en la tabla pueden ser representados
en un gráfico cartesiano para facilitar el análisis de la variación en
el rendimiento de cada hectárea.
En el eje horizontal x se representan la cantidad de hectáreas de cada
campo expresadas en hectáreas y en el eje vertical y la cantidad de
bolsas cosechadas en cada campo.
1300
1200
1100
1000
Nº de bolsas
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
72
0
5
10
15
20
25
30
superficie del campo
35
40
45
Como podrá observar las escalas utilizadas para representar los valores en cada eje son diferentes, en el eje horizontal x los valores
están señalados de cinco en cinco hectáreas porque el valor máximo que se quiere representar es 45 (hectáreas). En el eje vertical y
es de cien en cien bolsas, porque el valor máximo es 1300 (bolsas).
En el gráfico se observa la relación entre la superficie del campo y
su rendimiento o cómo es el rendimiento de cada campo en función de su superficie.
Podríamos decir que el rendimiento “depende de” la superficie del
campo o que el rendimiento es función de la superficie sembrada.
La expresión “depender de” indica que entre los elementos de dos
conjuntos hay alguna relación que los vincula.
Actividad Nº43
a Un fabricante de zapatillas entrega en un comercio 40 pares
por los que le pagan $ 400. ¿Cuánto le pagarán el mes siguiente si entrega 50 pares al mismo precio por cada par?
b Complete la tabla con los valores correspondientes. Para representar la cantidad de pares de zapatillas utilice la letra x, y
para el dinero que deben pagarle la letra y.
x
y
zapatillas
$
40
400
20
10
50
c Con los valores de la tabla construya un gráfico cartesiano.
Un ejemplo muy común de función son las tablas de multiplicar.
Por ejemplo, si pensamos en un número cualquiera y lo multiplicamos por 4 obtenemos su cuádruplo. Para cada número diferente el
cuádruplo también será diferente.
73
En el lenguaje algebraico, la tabla de multiplicar por cuatro se simboliza así:
y=4.x
x
-1
0
1
2
y=4.x
-4 porque
0
“
1
“
8
“
4 . (-1) = -4
4. 0 =0
4. 1 =4
4. 2 =8
En esta expresión x representa a cualquier número, por eso es una
variable. También y es una variable ya que puede tomar diferentes
valores, aunque su valor dependerá del valor que tome x. Por eso
se dice que x e y son variables.
Podemos decir que x es una variable independiente ya que puede
tomar cualquier valor, e y es una variable dependiente porque su
valor depende del valor que tome x.
Por ejemplo, en el caso de la Actividad Nº43 la cantidad de los pares de zapatillas es la variable independiente y el dinero que recibirá el fabricante es la variable dependiente, pues la suma de dinero que reciba dependerá de la cantidad de zapatillas que entregue.
Actividad Nº44
La siguiente tabla representa algunos de los valores de la relación “el doble de”.
A
B
4
8
5
10
-2
-4
-8
-16
a Construya un gráfico cartesiano para representar los valores
de la tabla.
b Observando el gráfico responda las preguntas.
Cuando x vale 4, ¿cuánto vale y?
Cuando x vale -2 ¿cuánto vale y?
74
¿Qué otro valor además de 10 vale y cuando x vale 5?
¿Qué otro valor además de -8 vale y cuando x vale 4?
¿Algún número de la columna x no tiene un valor que le
corresponda?
¿Algún número de la columna x tiene más de un valor
que le corresponda?
Como puede observar a cada valor de x le corresponde sólo un valor de y. Por ello se dice que es una función.
Se simboliza así: y = 2 . x
Analice esta otra situación.
En la tabla siguiente se consignan las edades en meses de un bebé
y su peso en kilogramos. Si relaciona cada edad con el peso correspondiente podrá ver que también se trata de una función.
edad en meses
peso en kg.
1
4,100
2
5
3
5,600
4
6,300
5
6,400
6
¿Por qué es también una función? Porque a cada edad del bebé le
corresponde uno y sólo un valor de su peso en kilogramos. En el
ejemplo se señala que el bebé pesa lo mismo a los 5 que a los 6 meses. Pero si usted observa la tabla, a cada número que corresponde
a la edad, le corresponde un solo peso.
75
Actividad Nº45
Represente en un gráfico cartesiano los valores de la función
anterior.
kg
6.5
6.0
5.5
5.0
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
edad en meses
-0.5
1
2
3
4
5
6
En síntesis podemos decir que:
Dados dos conjuntos A y B se llama función
a toda relación que hace corresponder a cada elemento de A
uno y sólo un elemento de B.
Al analizar si una relación es una función, se tiene que garantizar que
a cada uno de los posibles valores de la variable independiente le corresponda un solo valor. En los ejemplos trabajados anteriormente se
conocen algunos valores, pero conviene analizar qué sucede con los
valores intermedios de los conocidos y verificar si es cierto que se
puede encontrar un único resultado para cada valor inicial.
Por ejemplo, en el caso de los pares de zapatillas no se consideran los
valores 15, 28, 35, etc. Pero es evidente que para cualquier cantidad de
pares de zapatillas (es decir para cualquier número natural) se puede
hallar el correspondiente valor de dinero a cobrar, y este valor es único
porque se mantiene constante el precio para cada par de zapatillas.
76
En este caso no tiene sentido analizar los valores 3,5; 1/2; 3/4. Porque los pares de zapatillas son números enteros positivos. Por ello
diremos que el dominio de esta función son los números enteros
positivos. Si analiza como se calcula el valor correspondiente al
monto a cobrar observará que lo que se mantiene constante es el
precio de un par de zapatillas $ 10.
monto total = $ 10 . cantidad de pares de zapatillas.
Decir que el dominio de la función son los enteros positivos significa que la variable cantidad de zapatillas sólo puede tomar valores enteros positivos.
El ejemplo de los pares de zapatillas es un caso particular de hallar
un número que sea 10 veces mayor que otro. Esta expresión general puede simbolizarse:
y = 10 . x
donde y será el resultado de multiplicar
por 10 cualquier valor que tome x.
Observe algunos de los valores en la tabla
x
y
-1
0
1
1/2
0.25
-10
0
10
5
2,5
Como se muestra en la tabla no importa si x es negativo o una fracción, se puede afirmar que a cada valor de x le corresponde un único
valor de y.
77
En algunas funciones los valores de x pueden ser cualquier número de la recta numérica. A cada uno de ellos le corresponde un determinado valor de y, que se puede calcular mediante alguna expresión matemática. En estos casos se suelen unir los puntos del
gráfico que quedan determinados por los valores de x y de y para
analizar las gráficas de las funciones.
78
En este caso al unir los puntos se obtiene una recta. En la recta trazada están todos los pares de valores en los que y es el doble de x.
79
Si consideramos la situación planteada anteriormente sobre el peso
del bebé, donde no sabemos qué pasa con el peso del bebé en los
tiempos intermedios, no deben unirse los puntos como en el ejemplo
anterior. Simplemente afirmamos que es una función, pero no podemos asegurar que valores tomará y entre los valores intermedios de x.
80
Actividad Nº46
a Analice las funciones “el doble de” y “el cuádruplo de” que como se señaló se pueden expresar como: y = 2 . x (el doble de) e
y = 4 . x (cuádruplo de). ¿Qué valores puede tomar x?
b ¿Pueden unirse los puntos de los gráficos? ¿Qué se obtiene?
c Construya los gráficos correspondientes a cada función. No
olvide considerar los valores negativos.
Al iniciar el tema funciones dijimos que el perímetro de un cuadrado
está en función del lado. Analicemos por qué se trata de una función.
Usted ya sabe que el perímetro es la suma de los lados, y como en
el cuadrado los cuatro lados son iguales se puede calcular multiplicando por 4 la longitud del lado.
perímetro del cuadrado = 4 . lado
p =4.l
Si compara esta expresión con la función “cuádruple de” verá que es
un caso particular de y = 4 . x ¿Por qué decimos un caso particular?
porque el lado no puede tomar valores negativos, siempre es positivo.
81
Ministerio de Cultura y Educación de la Nación
Analice nuevamente los gráficos que usted construyó.
y=4.x
y=2.x
y = 10 . x
82
En todos los casos se obtuvo una recta. Analice qué sucede en los
siguientes casos.
y=5.x
y = (-2) . x
Como puede observar los gráficos de estas funciones son rectas
que pasan por el origen de las coordenadas.
Actividad Nº47
a ¿Podría predecir el gráfico de la función si y = 100 . x ?
b Intente generalizar la expresión matemática cuyo gráfico son
las rectas que pasan por el origen de las coordenadas.
Generalizando:
todas estas expresiones que multiplican a la variable independiente x
por algún valor k para hallar y puede expresársela como y = k . x
83
Su gráfica siempre es una recta que pasa por el origen. A esta función
se la llama función lineal y representa la proporcionalidad directa.
Actividad Nº48
En un artículo periodístico se informa que “... el 20% de los
alumnos de una escuela llegan a clase en colectivo...”.
a Construya una tabla de valores. La variable independiente x
representa el número de alumnos y la variable dependiente y
el número de alumnos que llegan en colectivo.
x
y
cantidad de alumnos
cantidad de alumnos
que llegan en
colectivo
b Represente los datos en un gráfico cartesiano.
c ¿”El 20% de” es una función? Si contestó afirmativamente
¿qué tipo de función es?
Existen funciones donde sus gráficos son rectas pero que no pasan
por el origen de coordenadas. Un ejemplo de ellas es la llamada
“tarifa del taxi”. Averigüe en su localidad cómo son las tarifas de
los taxis o remises y construya su tabla de valores y el gráfico.
84
Tomemos como ejemplo la tarifa de los taxis en la ciudad de
Buenos Aires.
Cuando se pone en marcha el reloj, éste marca $ 1,12 y a continuación, por cada unidad recorrida en metros (aproximadamente se
calcula que son unos 170 metros), marca $ 0,14.
Observe la tabla: cada unidad indicada en la columna de las abscisas equivale a 170 m recorridos por el taxi. Entonces por cada unidad recorrida, el reloj del taxi suma a la cifra anterior (la indicada
por el reloj en ese momento) $ 0,14. Aquí no consideramos el tiempo en el que el taxista tenga que esperar al pasajero, detenerse en
un semáforo, el tránsito.
Tabla de valores
variable independiente
variable dependiente
x
y= 1,12 + 0,14 . x
(cada unidad equivale a 170 m)
(costo)
0
1
2
3
4
5
6
1,12
1,26
1,40
1,54
1,68
1,96
85
El gráfico de esta función es:
La fórmula para expresar esta función es:
y = 0,14 . x + 1,12
donde 0,14 es el aumento del viaje por cada unidad (en metros)
que ha recorrido el taxi y 1,12 representa el costo inicial del viaje.
Analice este otro caso
Para calcular el número “siguiente de un entero” se debe sumar 1
al número inicial. Por ejemplo, el “siguiente de 3 es 4” “el siguiente de 8 es 9” “el siguiente de -2 es -1”.
y = x + 1 (donde y es el siguiente de... y x es el número inicial)
Para graficar esta función primero se construye una tabla.
86
x
y
-2
-1
-1
0
0
1
1
1
2
3
Observe que la gráfica es una recta que no pasa por el origen de
coordenadas.
Actividad Nº49
Grafique las siguientes funciones.
y=3.x+2
y = 2 . x -1
87
Actividad Nº50
Un terreno rectangular tiene una superficie de 100 m2.
a Determine los posibles valores del ancho y del largo. Complete la tabla.
Recuerde que para calcular la superficie del rectángulo se debe multiplicar el largo por el ancho. Por lo tanto deberá considerar pares de números que multiplicados entre sí den por
resultado 100.
largo
(variable independiente)
ancho
(variable dependiente)
1m
100m
2m
4m
25m
5m
8m
10m
20m 25m 50m 100m
12,5m
b Señale si se trata de una función y explique por qué.
c ¿Es una función de proporcionalidad? ¿Por qué?
Observe el gráfico. En él se representaron los valores de la tabla
anterior.
88
La gráfica de este tipo de funciones de proporcionalidad inversa se
llama hipérbola.
La superficie del cuadrado está en función del valor del lado. En el
cuadrado el largo y el ancho son iguales. Por lo tanto la superficie
es igual al cuadrado del lado.
sup = l2
(lado por lado)
l
sup.
1
2
2
4
3
9
4
16
Si se analiza la expresión general y = x2
x
y
-1
1
0
0
-2
4
1
1
2
4
La gráfica de este tipo de función se llama parábola.
Como usted ha observado a partir de los ejemplos anteriores, las
funciones pueden tener diferentes representaciones gráficas. Aquí
sólo se han trabajado algunas de ellas:
• cuando sólo se pueden representar los puntos que cumplen
con la función, como en el ejemplo del peso del bebé;
• cuando la gráfica es una recta que pasa por el origen de las coordenadas. Su forma algebraica es siempre y = k . x y son directamente proporcionales;
89
• cuando la gráfica es una recta que no pasa por el origen de las
coordenadas. Su expresión general es y = k . x + b;
• cuando la gráfica es una hipérbola, (como en el ejemplo de los
lados de los rectángulos equivalentes en superficie) que representa a todas las funciones en las que las variables dependientes e
independientes se mantienen constantes k = y . x. La relación
entre x e y es de proporcionalidad inversa.
• cuando la gráfica es una parábola (como en el ejemplo de la superficie del cuadrado). La expresión puede ser y = x2.
Actividad Nº51
Los siguientes son ejemplos de funciones.
• En la fiesta del 25 de mayo de una escuela la cooperadora
decidió regalar a cada alumno tres alfajores. Si asistieran
65 niños ¿cuántos alfajores repartirá la asociación cooperadora? ¿si asistieran 56 alumnos? ¿si fueran al acto 120 alumnos? Calcule cuántos alfajores deberá repartir la cooperadora si solamente van al acto 45 alumnos.
• Para un asado que organicé en mi casa invité a 7 personas.
Ya disponía de 1,5 kilos de carne. Si se calcula 0,5 kg por
persona ¿cuánto kilos necesitaré? ¿cuánta carne deberé
tener si llegaran 3 personas más?
90
a Escriba la fórmula que corresponde a cada función e indique si
alguna o ambas representan una proporcionalidad directa.
b Construya una tabla de valores y un gráfico para cada caso.
Actividad Nº52
Teniendo en cuenta la siguiente consigna: “escribir nueve pares
de números positivos cuya multiplicación sea 36 y nueve pares de
números negativos cuya multiplicación también sea 36”,
a Construya la tabla de valores.
b Represente gráficamente todos los valores obtenidos.
c Señale de qué tipo de proporcionalidad se trata.
Actividad Nº53
Indique cuáles de las siguientes relaciones son de proporcionalidad. Si lo son, señale cuáles son directas y cuáles son inversas.
Velocidad y tiempo empleado en recorrer un mismo espacio.
Base y altura de un rectángulo de superficie 36 m2
Lado y perímetro de un cuadrado.
Radio y longitud de una circunferencia.
Radio y superficie del círculo.
Edad y peso de una persona.
Cantidad de cajitas cúbicas iguales que caben en otra y el volumen de las mismas.
Espacio recorrido y velocidad de un auto en un tiempo dado.
91
Actividad Nº54
a Tómele las pulsaciones a un familiar o amigo teniendo en
cuenta los siguientes tiempos y complete la tabla:
tiempo (en seg.)
10
20
30
40
50
60
Nº de pulsaciones
b Grafique el número de pulsaciones en función del tiempo
transcurrido.
c ¿Qué clase de función obtuvo aproximadamente?
Intente escribir la fórmula.
92
Claves de corrección
Actividad Nº1
a
b Un semiplano es la porción de plano que queda determinado por
una recta (borde)
Si se tiene un plano (α) y sobre el se determina una recta (r) quedan
determinados dos sectores del plano. A cada uno se lo llama semiplano. Para poder reconocer a cual de ellos se hace mención se determina un punto en cada uno de ellos.
En este caso el punto A pertenece a un semiplano y B al otro.
Por eso se dice que los semiplanos son:
• de borde r al que pertenece el punto A;
• de borde r al que pertenece el punto B.
c Se observan en el dibujo ángulos agudos y obtusos. Sin embargo los
ángulos determinados son diedros rectos, dado que sus caras (hojas
de la puerta) son perpendiculares entre sí.
93
Actividad Nº2
a
b Lo determinan 3 planos (cada uno de ellos contiene a una de sus caras).
c Tiene 3 caras. En el triedro por usted armado las caras serán tres ángulos planos agudos
d Tiene 1 vértice
e Tiene 3 aristas (semirectas que concurren en el vértice)
Actividad Nº3
a La pirámide tiene: Un ángulo tetraedro (de cuatro caras).
Cuatro ángulos triedros (de tres caras).
En total posee cinco ángulos poliedros.
b El cubo tiene:
Ocho ángulos triedros (de tres caras).
Actividad Nº4
a El cuerpo cuyas vistas superior e inferior son cuadrados y su vista lateral es un rectángulo es un prisma de base cuadrada.
El cuerpo cuya vista superior es un círculo, lo mismo que su vista inferior y su vista lateral es un rectángulo, es un cilindro.
El cuerpo cuya vista superior es un punto (se puede observar también parte de la base), su vista inferior es un cuadrado, y su vista lateral es un triángulo es una pirámide cuadrangular.
El cuerpo cuyas vistas superior, inferior y lateral son cuadrados se
llama cubo o hexaedro.
94
b Cuando se menciona poliedros se puede hacer referencia a ángulos
de varias caras o a cuerpos que tienen ángulos poliedros.
El prisma, la pirámide y el cubo son cuerpos poliedros.
El cono y el cilindro no son cuerpos poliedros.
Actividad Nº5
a Prisma de base cuadrangular: 6 caras, 12 aristas y 8 vértices.
b Pirámide: 5 caras, 8 aristas y 5 vértices.
c No existe desarrollo de la esfera. Lo más cercano a él es pensar en la
cáscara de una fruta de forma cercana a una esfera, como puede ser
una manzana, luego del ser pelada.
d el cubo o hexaedro.
e Observando el cubo note que:
Tiene 6 caras.
Tiene 12 aristas.
Tiene 8 vértices.
Dos caras no están en un mismo plano. Cada arista es común a dos caras.
Actividad Nº6
a Paralelas.
b Alabeadas.
c Alabeadas y paralelas.
95
Actividad Nº7
Nº de vértices
(V)
Nº de caras
(C)
Nº de aristas
(A)
relación entre
V, C y A :
V+C-A= ?
1 prisma triangular recto
6
5
9
2
2 prisma cuadrangular recto
8
6
12
2
3 prisma cuadrangular oblicuo
8
6
12
2
4 prisma pentagonal
10
7
15
2
5 octaedro
6
8
12
2
6 tetraedro
4
4
6
2
7 pirámide cuadrangular
5
5
8
2
cuerpos
Actividad Nº8
a Si tiene 16 vértices y 10 caras, la suma será 26. Como la resta de esta suma menos el número de aristas tiene que ser 2, el número de
aristas tiene que ser 24.
V + C
= 16 + 10 = 26
V + C
- A
=2
26 –
___
=2
por lo tanto el número de aristas es 24.
96
Actividad Nº9
a
b Quedan determinadas dos semirrectas.
c Tienen en común el punto de origen y la dirección de recta de la que
forman parte.
d Los sentidos de las semirrectas son opuestos.
Actividad Nº10
a
Usted debe haber escrito cuatro de cualesquiera de los siguientes 10
segmentos:
AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE
Actividad Nº11
a En todos los casos no hay una única respuesta. Las que presentamos
aquí son a modo de ejemplo.
Dos segmentos consecutivos alineados: AB y BC
Dos segmentos consecutivos no alineados: HG y GE
Dos segmentos no consecutivos: HB y CE
Cuatro segmentos que forman una poligonal cerrada: HB, BC, CF, FH
Cinco segmentos que forman una poligonal abierta: HA, AB, BC, CE y ED
b Los polígonos se pueden clasificar según la cantidad de lados en:
Gráfico
Nº lados
Nombre
3
Gráfico
Nº lados
Nombre
Triángulo
7
Heptágono
4
Cuadrilátero
8
Octógono
5
Pentágono
10
Decágono
6
Hexágono
20
Dodecágono
97
A
B
H
C
G
E
D
F
B
H
B
H
C
F
A
E
B
F
H
Actividad Nº12
B
a AB = MN
M
N
A
b RS < ST
TR > ST
R
T
S
A
c AB > BC
AB = CD
98
D
B
C
Actividad Nº13
Una de las respuestas posibles como ejemplo es:
AG, GH, HD, DC, CB, BF, FE
Actividad Nº14
a Recuerde que para proteger el piso también se utiliza cinta de enmascarar.
Pared A: 9 m, pared B: 13 m, pared C: 9 m, y pared D: 13 m.
Total de cinta: 44 m.
b Se tiene cuatro aristas de 30 cm. dos aristas de 70 cm y dos aristas
de 40 cm.
4 . 30 +2 . 70 +2 . 40 = 120 + 140+80 = 340.
Se necesitan 340 cm de burletes, teniendo en cuenta que un metro
hay 100 cm, se necesitarán 3,4 metros.
Actividad Nº15
a Problema 1:
24 + 6 = 30 En la empresa trabajan como empleados 30 personas.
Problema 2:
8º - 10º = - 2º a las 8 de la mañana la temperatura es de - 2º o 2º bajo cero.
Problema 3:
Un partido de fútbol dura 1,5 horas o 1 1/2 horas (1 hora y media)
Problema 4:
El saldo sigue siendo negativo, pero ahora es de $ - 25,30.
b En el Problema 1, números naturales.
En el Problema 2, números enteros.
En el Problema 3, números racionales.
En el Problema 4, números racionales que también pueden ser negativos.
99
Actividad Nº16
La cantidad de países del mundo y la cantidad de hojas que cayeron
del árbol. En este último caso no podemos decir el número exacto,
pero seguro que es natural.
El dinero que se recauda en el espectáculo depende del precio de la
entrada y de la cantidad de espectadores que asisten. Si el valor de la
entrada es un número natural la recaudación también lo será. Si el precio de la entrada es con centavos (es un número racional) el resultado
también lo será, aunque según el caso puede ser sin decimales, es
decir entero. Por ejemplo: si el precio es con cincuenta centavos y el
número de espectadores es par(ejemplo : 200 espectadores a $ 2,50
cada entrada, 200 . 2,5 = 500) el resultado será un racional entero .
Si el precio de la entrada es con cincuenta centavos y el número de
espectadores es impar(ej:precio de entrada $ 2,50, cantidad de espectadores: 205, 205 . 2,50 = 512,5) la recaudación estará dada por
un número racional con decimales.
Actividad Nº17
a Viven 4225 hombres (8640 - 4415)
b Había 9022 personas (8640 + 382)
c 2160 familias (8640 : 4)
d Hay 720 vehículos (8640 : 12)
e $ 14.400 (720. 20)
f En la situación a) sustracción (resta, es el resultado de la operación);
en la b) adición (suma, es el resultado de la operación); en las c) y d)
división (el cociente es el resultado), y en la e) multiplicación( el resultado es el producto).
Actividad Nº18
a
9 2
1 4
9
4
5
1
22
1
7
3
b Si se multiplica el divisor por el cociente y se le suma el resto se obtiene un número que es igual al dividendo.
100
Actividad Nº19
a
8 4
0 2
15 3
0 5
21 7
0 3
b El resto en todas las operaciones es 0.
c Al multiplicar el divisor por el cociente se obtiene el dividendo, si el
resto es 0.
Actividad Nº20
a Se puede escribir 1 . $4 + 2 ($5) = pero como en la multiplicación
por 1 se obtiene siempre como resultado el número por el que se está multiplicando, se suele no escribir el 1. En este caso
$ 4 + 2 . $5
=
$ 4 + $10
= $14
b 7 . $5 - $4 : 2 + $1 = $35 - $2 + $1 = $34
Actividad Nº21
5 . 3 - 6 : 2=
primero se resuelve la multiplicación y la división y luego se resta
15
- 3 = 12
3 + 2.5 =
si no hay paréntesis se resuelve primero la multiplicación y luego la suma.
3 + 10
= 13
4 . 5: 10
=
se resuelven en el orden en que aparecen la multiplicación y la división
20 : 10
=2
(8 - 3) : 5 + 4 . 3 =
en el primer término hay un paréntesis. Hay que resolverlo antes de dividir.
Hay que resolver la multiplicación indicada en el segundo término antes de sumar.
5 : 5 + 12
= 1 + 12 = 13
101
(12 + 4) : (8 - 4) =
primero hay que resolver la suma y la resta porque están entre paréntesis, luego se realiza la división.
16
:
4
=4
24 : 2 : 2 - 30 : 10 + 5 . 8
=
en el primer término se realizan las divisiones en el orden que aparecen.
En el segundo término se divide. En el tercer término se multiplica. Recién al
final se resta al primer término el segundo y, al resultado, se le adiciona el tercero.
6
- 3
+ 40
= 43
Actividad Nº22
a 2. 8 + 4. 3 = 16 + 12 = 28
Respuesta: La familia gastó $ 28
b 4. 15 + 3. 3 + 2. 4-12 = 60 + 9 + 8-12 = 65
Respuesta: Debe abonar $ 65
c -20 - 3. 8 = -20 - 24 = -44
Respuesta: Se encuentra a una altura de -44 metros (44 metros de
profundidad)
Los números utilizados son enteros
d 750 : 3 - 8. 12 = 250 - 96 = 154
Respuesta : Restan 154 litros.
Actividad Nº23
a
valor absoluto
del 1º sumando
valor absoluto
de la suma
signo
del reultado
2500
800
3300
+
-50 + 200 = 150
50
200
150
+
5 + (-8)= -3
5
8
3
-
250
120
370
-
2500 + 800 = 3300
-250 + (-120)= -370
102
valor absoluto
del 2º sumando
b El valor absoluto del resultado de una suma de números enteros es
la suma de los valores absolutos de los números cuando se suman
enteros de igual signo.
c El valor absoluto de la suma es la diferencia entre los valores absolutos de los sumandos, cuando los signos de los números que se están sumando son distintos.
Actividad Nº24
a Alejandro Magno (-356 a - 323) 33 años (- 323 + 356)
b Augusto (- 63 a 14) 77 años (14 + 63)
Actividad Nº25
a -7 + 6 + 8 - 5 = 2
La temperatura es de 2º
b 7000 + 1500 + 1000 - 500 - 1200 + 300 = 8100
La altura es de 8100 m.
c -800 + 200 + 120 + 250 = - 230
La zonda marina se encuentra a -230 m
Actividad Nº26
x
3
2
1
0
-1
-2
-3
3
9
6
3
0
-3
-6
-9
2
6
4
2
0
-2
-4
-6
1
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
-3 -2
-1
0
1
2
3
-2
-6 -4
-2
0
2
4
6
-3
-9
-3
0
3
6
9
-6
103
Actividad Nº27
a
3. 3 = 9
3 . (-1) = -3
(-2) . 3 = -6
(-3) . (-3) = 9
b Con dos factores positivos el producto es positivo.
Con dos factores negativos el producto es positivo.
Con un factor negativo y otro positivo el producto es negativo.
Actividad Nº28
a 4 . (-12)
b 15 . 12
c 20 . 5 . (-2)
d 10 . (-4) . 5 . (-2)
= -48
= 180
= -200
= 400
Actividad Nº29
a 4 .5+ 9
b 12 . 2 - 4. 8
c 15 . 4 + 12 - 6 . (-3)
= 20 + 9 = 29
= 24 - 32 = - 8
= 60 + 12 + 18 =90
Actividad Nº30
a Si lleva 2 pantalones
b Si lleva 3 camisas
c Si lleva dos pares de zapatos
104
$60 - 15. 2 = 60 - 30 = 30
Le quedarán $ 30
$60 - 20 . 3 = 60 - 60 = 0
No le queda nada
$60 - 36 . 2 = 60 - 72 = -12
No le alcanza para comprar esta oferta
Actividad Nº31
a 2 . (-3)
b 4 . (-5)
c -10 . (-6)
= -6
= -20
= 60
Actividad Nº32
a El doble de ... significa que al número hay que multiplicarlo por 2. En
este caso
2.4 =8
b El triple de ... significa que al número hay que multiplicarlo por 3. En
este caso
3 . (-2) = -6
c El cuádruple de ... significa que al número hay que multiplicarlo por 4. En
este caso
4 . 8 = 32
d En el conjunto de los números naturales y en el de los enteros siempre
puede hallarse el número siguiente. Para ello basta sumarle 1.
En este caso
4+1=5
e Del mismo modo puede considerarse para “el entero anterior”. Para
calcularlo hay que restar 1. En este caso
-4 - 1 = -5
Actividad Nº33
a 16 : (-4)
= -4
b 132 : 3
= 44
c -125 : (- 25) = 5
d 456 : (-12) = -38
porque (-4) . (-4)
porque (44) . 3
porque (-25) . 5
porque (-12) . (-38)
= 16
= 132
= -125
= 456
105
Actividad Nº34
a 12 : 4 + 63 : 63
b 100 : (-20) - 16 : (- 8)
c 14 : (- 1) - 25 : 5 + 36 : (- 12)
d 18 : (-1) + 4 : (-4) - 12 : 6
e (-1+2) ( 4 - [ (-12) : 4 ]
= 3+1
=-5+2
= - 14 - 5 - 3
= - 18 - 1 - 2
= 4 - (-3)
=4
=-3
= - 22
= -21
= 4 + 3= 7
Actividad Nº35
En 10 partidos se pueden dar 310 = 59.049 resultados distintos.
Actividad Nº36
b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
b2
(b . b)
1
4
9
16
25
36 49 64
b3
(b . b . b )
1
8
27
64 125 216 343 512 729 1000 1331 1728
81 100 121 144
Actividad Nº37
a 43 + 24 = 64 + 16
= 80
73 - 34 = 343 - 81 = 262
33 . 42 = 27. 16
= 432
b No, porque (4 + 3)2
= 49 y 42 + 32 =25.
En el primer miembro de la igualdad se tiene que sumar primero (4+3)
y luego elevarlo al cuadrado. En el segundo miembro primero se hallan los cuadrados de 4 (16) y de 3 (9) y luego se suman.
No es lo mismo el cuadrado de una suma que la suma de los cuadrados.
106
Actividad Nº38
a El cubo de tres, más el cuadrado de cinco 33 + 52= 27 + 25 = 52
b El cuadrado de : tres más cuatro (3 + 4)2 = 72 = 49
c La cuarta potencia de cinco, menos el cubo del doble de tres
54 - (2 . 3)3 = 54 - 63
=
= 625 - 216 = 409
Actividad Nº39
a (- 2)4 = (- 2) . (- 2) . (- 2) . (- 2)
= 16
b (- 5)2 = (- 5) . (- 5)
= 25
c (- 3)4 = (- 3) . (- 3) . (- 3) . (- 3)
= 81
3
d (- 4) = (- 4) . (- 4) . (- 4)
= -64
e (- 1)5 = (- 1) . (- 1) . (- 1) . (- 1) . (- 1) = -1
f (- 10)3= (- 10) . (- 10) . (- 10)
= -1.000
g Si la base es negativa el signo depende del exponente. Si es par el resultado será positivo. Si es impar el resultado será negativo.
Actividad Nº40
(-3)4
83
(-2)7
(-6)3
55
(-3)5
(-1)125
(-1)46
03
0138
= 81
= 512
= -128
= -216
= 3125
= -243
= -1
=1
=0
=0
107
Actividad Nº41
(-4)2 + 33
= 16
(-6)3 - (-2)4
= -216 - 16 = -232
(-3)3 + 5 : (-5)
(6-2)3 + (8-10)
+ 27 = 43
= -27 - 1
4
= -28
= 64
+ 16 = 80
5 . (-2)2 - 43 : (-2) = 20
+ 32 = 52
(-1)32 + 4 . (-1)5
-4
=1
=3
Actividad Nº42
a
superficie del campo
Nº de bolsas de trigo
10 ha.
300
15 ha.
450
20 ha.
600
27 ha.
810
5 ha.
150
40 ha.
1200
b Si se mantiene constante el rendimiento de cada hectárea la relación entre la cantidad de hectáreas y la cantidad de bolsas cosechadas es de proporcionalidad directa, porque al variar la cantidad de
hectáreas(por ejemplo al doble) la cantidad de bolsas tendrá la misma variación (necesariamente será el doble).
Actividad Nº43
a La relación entre el dinero que le pagarían y el número de pares de zapatillas es de proporcionalidad directa. Le pagarán $500 por los 50 pares de zapatillas del mismo precio que las del mes anterior porque:
por 40 pares de zapatillas cobró
$ 400
por 1 par de zapatillas cobraría
400 : 40
y por 50 pares de zapatillas cobraría 400 : 40 . 50
108
Usted pudo haberlo resuelto por proporciones. La relación que existe en
el primer mes entre el total cobrado y el número de pares de zapatillas
entregadas debe ser la misma que en el segundo mes. Por ello,
400
x
=
40
50
x=
400 . 50
40
b
x
y
zapatillas
$
40
400
20
200
10
100
50
500
109
Actividad Nº44
a
b Cuando x vale 4 y vale 8
Cuando x -2 vale y vale -4
Ningún otro valor. Existe un único valor de y para x= 5 que es y = 10
Existe un único valor para y cuando x= -4 que es -8
Todos los números de la columna x tienen su correspondiente valor de y.
A cada valor de x le corresponde un solo valor de y.
110
Actividad Nº45
Actividad Nº46
a x puede tener cualquier valor: puede ser un entero positivo, puede
ser cero, puede ser un entero negativo, puede ser un racional negativo o puede ser un racional positivo
b Sí, se obtendría una recta que pasa por el origen de coordenadas
c
111
Ministerio de Cultura y Educación de la Nación
Actividad Nº47
a Será una recta que pasa por el origen de coordenadas
b La variable y será igual al producto de una constante por la variable x .
y=k.x
Actividad Nº48
a Se propone la siguiente tabla sólo a modo de ejemplo. La cantidad
de alumnos siempre es positiva y entera.
b
112
x
y
cantidad de alumnos
cantidad de alumnos
que llegan en
colectivo
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
10
c El “20 % de “ ha provocado que a cada cantidad de alumnos le corresponda una y sólo una cantidad de alumnos que viajan en colectivo, por lo tanto estamos ante una función. Como su representación gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas, es
una función de proporcionalidad directa.
Actividad Nº49
y= 3x+2
y= 2x-1
113
Las funciones en las que la variable independiente se multiplica por algún valor y luego se le suma (o resta) otro tienen como gráficas rectas
que no pasan por el origen de las coordenadas. En forma simbólica
y = k . x + b donde k y b son valores dados en cada caso.
Actividad Nº50
a
largo
cm
ancho
cm
1
100
2
50
4
25
5
20
8
12,5 m
10
10
20
5
50
2
100
1
b Se trata de una función en los números positivos porque a cada valor de la variable independiente (el largo) le corresponde un y sólo
un valor de la variable dependiente (el ancho). Se toman sólo valores positivos porque se miden
c Si se tienen diferentes rectángulos todos con igual superficie, lo que se
mantiene constante es el producto del largo por el ancho. Al variar el
largo, el ancho tendrá que modificarse en forma inversa. Si el largo se
duplicó necesariamente el ancho tiene que reducirse a la mitad, si el largo se triplica, el ancho se reduce a su tercera parte, etc. Por ello la relación entre el largo y el ancho es una proporcionalidad inversa.
114
Actividad Nº51
a La fórmula es y = 3. x
donde x es la cantidad de alumnos e y la cantidad de alfajores. Es directamente proporcional
b
x
y
cantidad de alumnos
cantidad de alfajores
65
56
120
45
195
168
360
175
a La fórmula es y = 0,5 . x - 1,5
donde x es la cantidad de personas, y la carne que necesito agregar y 1,5 es por la carne que ya
tenía. No es directamente proporcional.
b
x
y
comensales
cantidad de carne
en kilogramos
7
10
2
3.5
Actividad Nº52
y
x
1º número 2º número
1
36
2
18
3
12
4
9
6
6
9
4
12
3
18
2
36
1
-1
-36
-2
-18
-3
-12
-4
-9
-6
-6
-9
-4
-12
-3
-18
-2
-36
-1
Actividad Nº3
Velocidad y tiempo a espacio constante: es una función de proporcionalidad inversa.
Base y altura de un rectángulo con superficie constante: es una
función de proprcionalidad inversa.
Lado y perímetro de un cuadrado: es una función de porporcionalidad directa.
Radio y longitud de la circunferencia: es una función de proporcionalidad directa.
116
Radio y superficie del círculo: no hay entre ellos relación de proporcionalidad, no es ni directamente poporcional, ni inversamente proporcional. Sí existe relación de proporcionalidad directa entre la superficie del círculo y el cuadrado del radio.
Edad y peso de una persona: no existe relación de proporcionalidad
Cantidad de cajas que entran en otra y volumen de las mismas: son
inversamente proporcionales.
Espacio y velocidad a tiempo constante: son directamente proporcionales
Actividad Nº54
Depende de cada persona, se dará una tabla que sólo sirve de ejemplo:
a
Tiempo
(en segundos)
10
20
30
40
50
60
Nº de pulsaciones
por minuto
15
30
45
60
75
90
b
c Es una función de proporcionalidad directa. Por ello en general al
tomar el pulso se cuentan los latidos durante 10 ó 15 segundos y
luego se multiplica por 6 o por 4 para averiguar las pulsaciones en
60 segundos (1 minuto)
En este caso y = 1,5 . x
117
ANEXO
Instrucciones para el armado del
ángulo tiedro
1) Extraiga la cartulina titulada ángulo triedro.
2) Recorte el contorno del ángulo.
3) Con el borde de la tijera, suavemente, remarque las líneas internas del dibujo, las que serán futuros plegados del cuerpo. Tenga
cuidado de no cortar por las líneas, sólo debe marcarlas como indica el siguiente gráfico, ayudándose para ello con una regla.
4) Doble por cada una de las líneas.
5) Coloque cola de pegar en la aleta de la cara cuadrada rotulada y
péguela en el borde de la cara inmediata.
6) En la zona interior del cuerpo colocar una cinta engomada sobre
la aleta que termina de pegar
Instrucciones para el armado de un
prisma de base cuadrada
1) Extraiga la cartulina que contiene el desarrollo del prisma de
base cuadrada.
2) Recorte el contorno del desarrollo.
3) Con el borde de la tijera, suavemente, remarque las líneas internas del dibujo, las que serán futuros plegados del cuerpo. Tenga
cuidado de no cortar por las líneas, sólo debe marcarlas como indica el siguiente gráfico, ayudándose para ello con una regla.
119
4) Doble por cada una de las líneas.
5) Coloque cola de pegar en la aleta de la cara cuadrada rotulada como
A y péguela en el borde de la cara rectangular inmediata a su derecha.
6) En la zona interior del cuerpo colocar una cinta engomada sobre
la aleta A que termina de pegar. No se reiterará a lo largo de las
instrucciones este paso pero se recomienda llevarlo adelante luego
del pegado de cada aleta.
7) Pegar la aleta B de la cara rectangular en la región interna de la
cara cuadrada que posee la aleta A.
8) Colocar cola de pegar a las aletas C y D.
9) Pegar la cara cuadrada que contiene a la aleta E, sobre las aletas C y D.
10) Colocar cola de pegar en las aletas E, F y G.
11) Cerrar el prisma con las tres aletas hacia su interior y presionar
suavemente sobre la posición de estas tres últimas aletas (las aletas E,
F y G no podrán contener cinta engomada como las restantes aletas).
Instrucciones para el armado de un
cubo
1) Extraiga la cartulina que contiene el desarrollo del cubo o hexaedro.
2) Recorte el contorno del desarrollo.
3) Con el borde de la tijera, suavemente, remarque las líneas internas del dibujo, las que serán futuros plegados del cuerpo. Tenga
cuidado de no cortar por las líneas, sólo debe marcarlas como indica el siguiente gráfico, ayudándose para ello con una regla.
4) Doble por cada una de las líneas.
5) Coloque cola de pegar en la aleta de la cara cuadrada rotulada como
A y péguela en el borde de la cara cuadrada inmediata a su derecha.
6) En la zona interior del cuerpo colocar una cinta engomada sobre
la aleta A que termina de pegar. No se reiterará a lo largo de las
instrucciones este paso pero se recomienda llevarlo adelante luego
del pegado de cada aleta.
120
7) Pegar la aleta B de la cara cuadrada en la región interna de la
cara cuadrada que posee la aleta A.
8) Colocar cola de pegar a las aletas C y D.
9) Pegar la cara cuadrada que contiene a la aleta E, sobre las aletas C y D.
10) Colocar cola de pegar en las aletas E, F y G.
11) Cerrar el cubo con las tres aletas hacia su interior y presionar suavemente sobre la posición de estas tres últimas aletas (las aletas E, F
y G no podrán contener cinta engomada como las restantes aletas).
Instrucciones para el armado de una
pirámide de base cuadrada
1) Extraiga la cartulina que contiene el desarrollo del prisma de
base cuadrada.
2) Recorte el contorno del desarrollo.
3) Con el borde de la tijera, suavemente, remarque las líneas internas del dibujo, las que serán futuros plegados del cuerpo. Tenga
cuidado de no cortar por las líneas, sólo debe marcarlas como indica el siguiente gráfico, ayudándose para ello con una regla.
4) Doble por cada una de las líneas.
5) Coloque cola de pegar en la aleta de la cara triangular rotulada como
A y péguela en el borde de la cara triangular inmediata a su derecha.
6) En la zona interior del cuerpo colocar una cinta engomada sobre la
aleta A que termina de pegar. No se reiterará a lo largo de las instrucciones este paso pero se recomienda llevarlo adelante luego del pegado de cada aleta.
7) Pegar la aleta B en la región interna de la cara triangular que
posee la aleta C.
8) Colocar cola de pegar a las aletas C y D.
9) Cerrar la pirámide con las dos aletas hacia su interior y presionar
suavemente sobre la posición de estas dos últimas aletas (las aletas C
y D no podrán contener cinta engomada como las restantes aletas.
121
Instrucciones para el armado de un
cilindro
1) Extraiga la cartulina que contiene el desarrollo del cilindro.
2) Recorte el contorno del desarrollo.
3) Con el borde de la tijera, suavemente, remarque las líneas internas del dibujo, las que serán futuros plegados del cuerpo. Tenga
cuidado de no cortar por las líneas, sólo debe marcarlas como indica el siguiente gráfico, ayudándose para ello con una regla.
4) Doble por cada una de las líneas previamente remarcadas con la tijera.
5) Coloque cola de pegar en la aleta de la cara triangular rotulada como A y péguela en la cara interna del rectángulo, de modo tal de formar un tubo de cartulina.
6) En la zona interior del cuerpo colocar una cinta engomada sobre
la aleta A que termina de pegar. No se reiterará a lo largo de las instrucciones este paso pero se recomienda llevarlo adelante luego del
pegado de cada aleta.
7) Pegar el círculo sobre las aletas B.
8) Pegar el segundo cÌrculo sobre las aletas C, con lo que se cerrara
el cilindro.
122
Cubo o Hexaedro
Desarrollo del Cilindro
Prisma de base cuadrada
Pirámide
Triedro
Material de distribución gratuita
3
MODALIDAD SEMIPRESENCIAL
Te rc e r C i c l o d e E d u c a c i ó n G e n e ra l B á s i c a p a ra Ad u l t o s
Matemática
3
Matemática
3